View
214
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU
GEOTEHNIĈKI FAKULTET
VALENTINA ŢERJAVIĆ
GEOSTATISTIČKO MODELIRANJE RAZINE PODZEMNE VODE
DIPLOMSKI RAD
Varaţdin, 2011
SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU
GEOTEHNIĈKI FAKULTET
DIPLOMSKI RAD
GEOSTATISTIČKO MODELIRANJE RAZINE PODZEMNE VODE
KANDIDAT: MENTOR:
Valentina Ţerjavić Doc.dr.sc.Ivan Kovaĉ
Varaţdin, 2011
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode
Sadrţaj:
1. UVOD ........................................................................................................................ 1
2. OSNOVNI POJMOVI GEOSTATISTIKE ............................................................... 3
2.1. Regionalizirana varijabla ................................................................................... 3
2.2. Variogram .......................................................................................................... 4
2.3. Teorijski modeli ................................................................................................. 6
3. EKSPERIMENTALNI VARIOGRAM .................................................................. 11
4. UKLAPANJE TEORIJSKOG MODELA U EKSPERIMENTALNI
VARIOGRAM ........................................................................................................ 13
4.1. Linearni teorijski model ................................................................................... 13
4.2. Potencijski teorijski model (Power model) ...................................................... 14
5. METODA KRIGINGA ........................................................................................... 15
6. MODELI RAZINE PODZEMNE VODE ............................................................... 19
6.1. Grafiĉki modeli razine podzemne vode ........................................................... 19
6.2. Procjena razine podzemne vode razliĉitim interpolacijskim metodama .......... 24
6.3. Razrada geostatistiĉkih modela ........................................................................ 26
6.3.1. Linearni modeli ......................................................................................... 26
6.3.2. Power modeli ............................................................................................ 28
7. ZAKLJUĈAK .......................................................................................................... 31
8. POPIS LITERATURE ............................................................................................. 33
9. SAŢETAK ............................................................................................................... 34
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 1
1. UVOD
Geostatistika se razvila u okviru rudarske discipline s ciljem procjene pojavljivanja
rudnih tijela i leţišta mineralnih sirovina. Njezin razvoj zapoĉeo je D.J.Krige (1951.),
juţnoafriĉki rudarski inţenjer, koji je analizirao koncentraciju zlata u rudnicima juţne
Afrike primjenjujući znanje iz vjerojatnosti i statistike. Francuski znanstvenik Georges
Matheron je teoriju Krigea izrazio kao ekvivalent metodi najmanjih srednjih kvadrata iz
ĉega je proizašla metoda prostorne interpolacije koju je u ĉast dr. Krigeu nazvao
kriging. Daljnji razvoj geostatistike je najviše vezan uz Matherona koji je 1986. u
Pariškoj rudarskoj školi u Fontainbleau utemeljio centar za geostatistiku i morfološku
matematiku i objavo brojne radove na podruĉju geostatistike, stoga se on smatra
utemeljiteljem geostatistike.
Sama rijeĉ geostatistika (geo = zemlja (grĉ.) i status = stanje (lat.)) je vezana za
tehniĉke metode kojima se analiziraju i procjenjuju vrijednosti varijabli distribuiranih u
vremenu i prostoru. Naziv je vezan uz porijeklo geostatistike jer je njezina primjena bila
ograniĉena iskljuĉivo u geološke svrhe [1]. U današnje vrijeme geostatistika ima širu
primjenu, bavi se analizama i procjenama prostornih i vremenskih varijabli odnosno
pojava kao što su primjerice, transmisivnost, poroznost, hidrauliĉka provodljivost ili
koncentracija i izvori oneĉišćenja. Ovdje je vaţno naglasiti njezinu primjenu u
projektima istraţivanja podzemnih voda i zaštite okoliša te kod seizmiĉkih i geofiziĉkih
istraţivanja, a koristi se i u drugim znanstvenim disciplinama, primjerice u biologiji,
zoologiji, meteorologiji, ĉak i u astronomiji.
Zadatak ovog rada je analiza i izrada modela razine podzemne vode na crpilištu
Varaţdin koje je smješteno uz zapadnu granicu grada, u blizini groblja. Sadrţi 11
zdenaca pomoću kojih se zahvaća voda iz šljunkovito-pjeskovitog kvartarnog
vodonosnika. Zbog tankih krovinskih naslaga vodonosnik je ugroţen od oneĉišćenja s
površine terena zbog ĉega se zdenci B-1 i B-2, koji su najplići, ne koriste još od 1986.
godine. TakoĊer je uoĉeno da forsiranim crpljenjem dolazi do povećanja koncentracije
nitrata u podzemnoj vodi. Izdašnost pojedinog zdenca je 100 l/s, ali je zbog povećane
koncentracije nitrata vodopravnom dozvolom ukupno crpljenje ograniĉeno na 500 l/s.
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 2
Upravo zbog prevelike koncentracije nitrata danas je u pogonu samo jedan zdenac [2].
Uz zdence je na vodocrpilištu izgraĊena i mreţa piezometarskih bušotina (Slika 1.).
Slika 1. Prostorni raspored zdenaca i piezometara na vodocrpilištu Varaţdin
Na temelju ukupno 30 rezultata mjerenja iz bunara i piezometarskih bušotina
primjenom razliĉitih interpolacijskih metoda potrebno je procijeniti vrijednosti za svaku
pojedinu toĉku/mjerenje i izraditi modele razine podzemne vode. Kako se ulazni podaci
odnose na aktivne zdence, radi se o dinamiĉkoj razini podzemne vode što znaĉi da bi na
grafiĉkim modelima RPV trebala biti vidljiva pojava hidrauliĉkog lijevka.
Uz kriging korišteno je još šest interpolacijskih metoda: inverzna udaljenost (inverse
disatance), najbliţi susjed (nearest neighbor), pokretne sredine (moving average), radial
basis function, local polynomial i minimalna zakrivljenost (minimum curvature). Glavni
cilj rada je usporediti dobivene rezultate procjena i prostorne modele kako bi se utvrdila
pouzdanost kriging metode u odnosu na ostale korištene metode, na konkretnom sluĉaju
modeliranja razine podzemne vode.
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 3
2. OSNOVNI POJMOVI GEOSTATISTIKE
2.1. Regionalizirana varijabla
Budući da geostatistika prouĉava prostornu ovisnost meĊu podacima/varijablama,
vaţna je veliĉina varijable i njezin poloţaj u prostoru pa se govori o regionaliziranoj
varijabli. Stoga se geostatistiĉka disciplina još naziva teorija regionaliziranih varijabli.
Regionalizirana varijabla je bilo koja varijabla distribuirana u prostoru ili vremenu a
opisuje funkcije oblika Z(x1), Z(x1,x2) ili Z(x1,x2,x3) ovisno o tome radi li se o varijabli
u jednoj, dvije ili tri dimenzije [1]. Ovdje su to koordinate toĉaka sa izmjerenim
razinama podzemne vode, odnosno trodimenzionalne varijable Z(x1,x2,x3).
Glavne osobine regionaliziranih varijabli su kontinuiranost u vremenu i prostoru,
meĊutim nema mjerenja pojedinih varijabli na svakoj koordinati plohe po kojoj su
distribuirane varijable što znaĉi da se ne mogu znati vrijednosti varijabli na ĉitavom
prostoru, nego je vrijednost varijable poznata samo na uzorkovanim lokacijama.
Radi se o toĉkastim mjerenjima iz kojih se ţeli rekonstruirati što toĉnije cjelovito
prostorno pruţanje promatrane veliĉine u jednoj, dvije ili tri dimenzije. Nove vrijednosti
procijenjene su iz podataka koji su toĉkasto izmjereni na konaĉnom broju lokacija.
Promjena tih vrijednosti u prostoru, posljedica je ponašanja svojstvenog promatranoj
varijabli (što je ujedno jedna od kljuĉnih pretpostavki geostatistike). Što toĉnijim
opisivanjem tih svojstava moguće je dobro procijeniti vrijednosti regionalizirane
varijable. [3].
Studija (prouĉavanje) takvih varijabli za koje se pretpostavlja da su meĊusobno
povezane (regionalizirane varijable) se naziva „strukturna analiza― ili „variogramska
analiza (variogram modeling)―. Nakon strukturnih analiza vrši se predviĊanje na
neuzorkovanim lokacijama pomoći metode kriginga. Koraci geostatistiĉkog istraţivanja
ukljuĉuju: analizu istraţivanih podataka, strukturnu analizu (proraĉun i modeliranjem
variogramima) i predviĊanje (kriging) [4].
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 4
2.2. Variogram
Variogram prikazuje strukturu sluĉajnog polja koje moţe ovisiti samo o udaljenosti
izmeĊu dviju mjernih toĉaka i razlici vrijednosti meĊu njima [1]. Koristi se za
odreĊivanje ponašanja odabranih varijabli u prostoru, odnosno za definiranje prostorne
zavisnosti [5]. Kako se ne analiziraju stvarne vrijednosti varijable Z(x) nego njihove
razlike, to omogućuje povećanje broja podataka za variogram [1].
Kod proraĉuna eksperimentalnog variograma (Slika 2.) prvo je potrebno odrediti
hod/korak (lag distance), odnosno udaljenost h meĊu parovima toĉaka, zatim se izdvoje
svi parovi toĉaka koji imaju meĊusobnu zadanu udaljenost h. Prema izrazu (1) se
dobiva vrijednost variograma za zadanu udaljenost h. Zadaju se nove udaljenosti
(povećava se korak) te se raĉunski postupak ponavlja za svaki zadani korak.
2
12
1
N
i
hii xZxZN
h (1)
- Gdje su: h – variogram
N – broj parova na meĊusobnoj udaljenosti h
ix – vrijednost varijable na koordinati z(xi)
hix – vrijednost varijable na koordinati z(xi+h)
Slika 2. Proraĉun eksperimentalnog variograma (preuzeto: Syed Abdul Rahman Shibli
(2003), www.ai-
geostats.org/pub/AI_GEOSTATS/AI_GEOSTATSFAQ/FAQ_Geostatistics_01.pdf)
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 5
Terminološki su pojmovi variogram i semivariogram jednaki jer je variogramsku
jednadţbu moguće pojednostavniti tako da se iz nazivnika eliminira broj 2 pa se
dobivena funkcija (2) naziva semivariogramom [6].
2
1
12
n
i
hii xZxZn
h (2)
Slika 3. Eksperimentalni variogram sa uklopljenim teorijskim modelom (preuzeto:
Golden Software, Inc., 2002, www.wi.zut.edu.pl/gis/Surfer_8_Guide.pdf)
Osnovni parametri variogramske krivulje:
- Odstupanje (C0), ili „efekt grumena― je pojava kada krivulja sijeĉe os ordinata
u nekoj pozitivnoj vrijednosti C0, odnosno vrijednost variograma na nultoj
udaljenosti h. Upućuje na razliku u vrijednostima vrlo bliskih uzoraka koji se u
praksi smatraju uzorcima s jedinstvene lokacije [5]. Moţe se takoĊer pojaviti
kao posljedica varijabilnosti na udaljenosti manjoj od udaljenosti uzorkovanja i
zbog grešaka u mjerenju. Naziv „efekt grumena― ima porijeklo iz rudarskog
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 6
inţenjerstva od eksploatacije zlatne rude koja se najĉešće pojavljuje u
grumenima.
- Prag (σ2) odgovara vrijednosti stvarne varijance podataka. Ukupna vrijednost
praga jednaka je zbroju vrijednosti odstupanja i strukturne varijance:
CC 0
2 . Nakon dosezanja praga (ako ga postiţe) variogramska krivulja
najĉešće prestaje pravilno rasti te nastavi oko njega oscilirati [6].
- Domet ili doseg (a) je horizontalna udaljenost (h) na kojoj semivariogram prvi
put presijeca prag. Pretpostavlja se da u horizontalnom smjeru iznad dometa ne
postoji prostorna korelacija podataka, odnosno kovarijanca je jednaka nuli. [6].
- Udaljenost ili korak (h) se odnosi na udaljenost meĊu varijablama, odnosno
mjernim toĉkama. Svaka udaljenost ĉini jedan razred. Toj vrijednosti udaljenosti
ĉesto je dodijeljena odreĊena tolerancija kako bi se povećao broj ulaznih
podataka, a nazvana je odmakom. To znaĉi da se granicama razreda dodaje
vrijednost odmaka, šireći tako interval razreda. Odmak se u najvećem broju
primjena semivariogramskog raĉuna postavlja na 1/2 vrijednosti udaljenosti h,
jer se na taj naĉin maksimalno povećava broj parova podataka, a time i
pouzdanost prostorne analize [6].
Na manjoj udaljenosti (h) vrijednost variograma (semivarijanca) će takoĊer biti
manja, i obrnuto, pri većoj udaljenosti će vrijednost variograma biti veća. To je zbog
toga što će parovi izdvojenih toĉaka koji imaju meĊusobno manju udaljenost vjerojatno
biti meĊusobno sliĉniji u odnosu na izdvojene parove pri većoj udaljenosti. Odnosno,
ako se podaci pravilnije mijenjaju onda vrijednost variograma raste sporije i obratno
kad se podaci nepravilnije mijenjaju vrijednost variograma raste brţe, krivulja je strmija
i manji je domet.
2.3. Teorijski modeli
Teorijski model variograma predstavlja matematiĉku aproksimaciju
eksperimentalnog variograma i njegovih parametara. Parametri teorijskog variograma
koriste se kod proraĉuna kriging metodom, te teorijski variogram mora ispunjavati
odreĊena numeriĉka svojstva kako bi se mogla riješiti kriging jednadţba. Zbog toga je
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 7
vaţno pravilno odabrati teorijski model i ostvariti što bolju aproksimaciju. Postoji
nekoliko teorijskih modela a razlikuju se po tome sadrţavaju li prag te po naĉinu
ponašanja krivulje u blizini ishodišta [6].
Za proraĉun variograma i aproksimaciju teorijskih modela u ovom radu je korišten
raĉunalni program Golden Software Surfer koji sadrţi dvanaest osnovnih teorijskih
modela: eksponencijalni, gaussov, dvije vrste potencijskih (power) modela, sferni,
logaritamski, linearni, wave (hole effect model), rational quadratic model,
pentaspherical model i kubni (Slika 4).
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 8
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 9
Slika 4. Teorijski modeli variograma (preuzeto: Golden Software, Inc., 2002,
www.wi.zut.edu.pl/gis/Surfer_8_Guide.pdf)
U literaturi se najĉešće spominju: sferni, eksponencijalni, gaussov i linearni model:
- Sferni model se primjenjuje kada variogramska krivulja prema pragu raste vrlo
brzo, što je sluĉaj kod velike razlike u vrijednostima podataka na malim
udaljenostima i velike vrijednosti ekstremnih podataka [6].
- Eksponencijalni model primjenjuje se na skupu gdje vrijednosti postupno rastu
i padaju, a iznosi ekstrema su mali u odnosu na iznose u preostalome dijelu
skupa. Tada krivulja postupno raste prema pragu uz veći doseg [6].
- Gaussov model upućuje na vrlo ujednaĉen skup podataka s obzirom na razlike
izmeĊu njihovih vrijednosti. Ovaj model se na poĉetku ponaša paraboliĉno i ima
toĉku infleksije [6].
- Linearni model se primjenjuje kada vrijednosti podataka postupno rastu s
povećanjem udaljenosti h, promijene varijabilnosti nisu toliko male kao i kod
gaussovog modela ali su u prosijeku u velikoj mjeri postupne.
Sferni model doseţe vrijednost praga na horizontalnoj udaljenosti dometa a, dok
eksponencijalni i gaussov model doseţu prag asimptotski gdje im domet predstavlja
udaljenost na kojoj semivarijanca doseţe 95% vrijednosti praga (slika 5). Linearni
model nema izraţen prag [7].
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 10
Slika 5. Odnos sfernog, eksponencijskog i gaussovog teorijskog modela (preuzeto:
Geoff Bohling, 2005)
Aproksimaciju eksperimentalne krivulje moguće je naĉiniti stvaranjem sloţenoga
modela koji tvori zbroj dvaju ili više osnovnih teorijskih modela razliĉitih dometa i
pragova. Takav sloţeni model naziva se ugnijeţĊenim modelom i iskazuje se kao zbroj
više osnovnih modela [6]:
...)()()()( 321 hhhh (3)
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 11
3. EKSPERIMENTALNI VARIOGRAM
Variogramska analiza razine podzemne vode vodocrpilišta u Varaţdinu provedena je
na temelju 30 ulaznih podataka; 10 mjerenja iz bunara i 20 mjerenja iz piezometarskih
bušotina. Kako proraĉun geostatistiĉkom metodom kriginga koristi vrijednosti
izraĉunate variogramom., procijenjene vrijednosti dobivene krigingom ovise o
izraĊenom eksperimentalnom variogramu i aproksimaciji teorijskim modelom.
Za proraĉun eksperimentalnog variograma i aproksimacije teorijskim modelima
korišten je raĉunalni program Golden Software Surfer. Pri izradi eksperimentalnog
variograma u Surferu potrebno je odabrati parametre variograma: broj koraka (number
of lags) i širinu razreda (lag width), anizotropija je ovdje zanemarena (omnidirectional
variogram). Širina razreda se odnosi na udaljenost meĊu parovima toĉaka,
povećavanjem širine razreda povećava se i broj parova koji ulaze u taj razred što je
vaţno ako se uzme u obzir to da broj parova ne bi smio biti manji od 30.
Na slici 6 je prikazan eksperimentalni variogram kod kojeg je dobivena vrijednost
varijance od 29.2802 , broj koraka je 27 i širina razreda je 240.
Slika 6. Eksperimentalni variogram
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 12
Tablica 1. Koordinate parova toĉaka eksperimentalnog variograma, 29.2802
lag distance (h) parovi točaka
83,00 130,26 35,00
102,28 177,85 55,00
107,26 177,30 60,00
113,74 180,45 66,00
128,27 200,11 80,00
135,19 209,18 87,00
140,58 217,18 92,00
161,05 221,42 89,00
185,82 226,51 110,00
199,62 230,54 127,00
217,45 238,06 153,00
231,24 255,22 166,00
241,94 265,49 169,00
263,19 286,53 172,00
291,53 302,76 172,00
307,74 309,22 190,00
312,48 314,61 185,00
321,96 316,39 171,00
326,55 316,54 164,00
329,45 315,29 159,00
332,46 320,55 153,00
343,89 333,13 130,00
352,16 344,65 113,00
366,39 365,52 87,00
377,01 353,97 70,00
381,58 360,92 61,00
389,60 369,77 44,00
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 13
4. UKLAPANJE TEORIJSKOG MODELA U EKSPERIMENTALNI
VARIOGRAM
Nakon što se odaberu parametri eksperimentalnog variograma radi se aproksimacija
teorijskim modelom. U ovom dijelu rada prikazani su aproksimirani modeli variograma
korišteni kod proraĉuna kriging metodom, odnosno njihovo uklapanje u dobiveni
eksperimentalni variogram. Iz slike 6 je vidljivo da eksperimentalni variogram prelazi
vrijednost praga i postupno raste s povećanjem udaljenosti h. Stoga su najbolja
uklapanja ostvarena linearnim i potencijskim, odnosno power modelima.
4.1. Linearni teorijski model
Parametri potrebni za izradu linearnog teorijskog modela su nagib (slope) i
odstupanje (nugget effect). Na slici 7 je prikazan uklopljeni linearni model sa nagibom
0.5 i odstupanjem 150.
Slika 7. Uklopljeni linearni model variograma
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 14
4.2. Potencijski teorijski model (Power model)
Za izradu power teorijskog modela u Surferu su odabrani parametri (Slika 8):
Odstupanje (nugget effect): 150
Strukturnu varijancu (scale): 130
Domet (length): 265
Power (n): 1.45
Slika 8. Uklopljeni power model variograma
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 15
5. METODA KRIGINGA
Kriging je metoda optimalne procjene neke varijable koja je raspodijeljena u prostoru
i mjerena na nekom konaĉnom broju lokacija. Primjerice mjerenja varijable Z u
toĉkama prostora x1, x2, …, xn, koje mogu istovremeno oznaĉavati toĉke u jednoj, dvije
ili tri dimenzije. Problem procjene neke varijable sastoji se u odreĊivanju vrijednosti Z
u nekoj toĉki prostora x0 u kojoj nema mjerenja. Uzastopnim pomicanjem poloţaja
toĉke x0 moguće je doći do procjene cijelog polja varijable Z, odnosno njezine cjelovite
prostorne distribucije [1]. Pri tome je potrebno znati udaljenost izmeĊu nepoznate toĉke
u kojoj se radi procjena i poznatih toĉaka, te vrijednosti varijable u poznatim toĉkama.
Kao rezultat kriging metode se dobiva kartografski prikaz (grafiĉki model) koji
prikazuje prostorni raspored podataka.
Glavna svojstva kriging metode su da procjena mora biti nepristrana i varijanca
razlike izmeĊu stvarnih i procijenjenih vrijednosti u odabranim toĉkama najmanja
moguća (varijanca kriginga). Uvjet nepristranosti je zadovoljen ako nema vanjskih
utjecaja na varijable, a zbroj svih teţinskih koeficijenata jednak je 1. Varijanca kriginga
ili kvadratna pogreška procjene predstavlja razliku svih pravih i procijenjenih
vrijednosti, a njezina formula glasi [8]:
n
ZZn
iiaprocjenjenprava
1
2
2 (4)
- gdje je n – ukupni broj procijenjenih ili mjerenih vrijednosti
Ovaj matematiĉki izraz se koristi za ocjenu kvalitete dobivenih procijenjenih
vrijednosti tako da se zanemare vrijednosti dobivene na jednoj lokaciji te se procijene
nove vrijednosti s obzirom na preostale postojeće podatke. Taj se postupak ponavlja za
svaku mjerenu vrijednost. Drugi korijen σ2 se naziva standardna pogreška procjene.
Kriging metoda se moţe primijeniti na toĉku ili na blok, a blok je simuliran brojnim
toĉkama koje se onda integriraju. TakoĊer postoji nekoliko tehnika kriging metode a
razlikuju se po obliku matriĉne jednadţbe, odnosno prema podruĉju i vrsti podataka na
koje se primjenjuju [8]:
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 16
- jednostavni kriging (Simple Kriging)
- obiĉni kriging (Ordinary Kriging)
- indikatorski kriging (Indicator Kriging)
- univerzalni kriging (Universal Kriging)
- disjunktivni kriging (Disjunctive Kriging)
U svrhu izrade modela razine podzemne vode, ovdje je primjenjivano toĉkasto
krigiranje i tehnika obiĉnog kriginga koja je stoga detaljnije objašnjena.
Proraĉun kriging metodom svodi se na rješavanje linearnih jednadţbi iz kojih se
izraĉunavaju teţinski koeficijenati, nakon ĉega se mogu izraĉunati vrijednosti
procijenjene varijable i procijeniti varijanca kriginga. Teţinski koeficijent ili ponder (λ)
pridruţen je svakom podatku ukljuĉenom u postupak krigiranja kako bi se procijenio
njegov utjecaj na ukupni proraĉun i on predstavlja mjeru udaljenosti podataka od toĉke
procjene, a ne i stvarne vrijednosti podataka na toj lokaciji [8]. Stoga se vrijednost
varijable koja se procjenjuje moţe matematiĉki opisati na ovaj naĉin:
n
i
iik ZZ1
(5)
- gdje je: kZ – vrijednost procijenjena krigingom
i – teţinski koeficijent i-te varijable (toĉke/podatka)
iZ – vrijednost poznate i-te toĉke
n – broj okolnih toĉaka koje imaju poznate vrijednosti
Teţinski koeficijenti se dobivaju rješavanjem linearnih jednadţbi koje se mogu
prikazati u obliku matriĉne jednadţbe kriginga:
BxA (6)
101...11
1...
1
1...
1...
2
1
2
1
21
22221
11211
nk
k
k
nnnnn
n
n
h
h
h
x
hhh
hhh
hhh
(7)
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 17
- gdje je: nnhhh ,..., 2111 – vrijednosti variograma ovisne o
udaljenostima meĊu poznatim toĉkama
nkkk hhh ,..., 21 – vrijednosti variograma ovisne o
udaljenostima izmeĊu toĉke koja se procjenjuje i okolnih poznatih
toĉaka
n ,..., 21 – teţinski koeficijenti
μ – Lagrangeov multiplikator
U prvoj matrici na lijevoj strani A i u matrici na desnoj strani B vrijednosti su
izraţene vrijednošću variograma ili kovarijance, odnosno ovise o udaljenostima
usporeĊenih lokacija. Druga matrica na lijevoj strani sadrţi teţinske koeficijente
koji se izraĉunavaju iz prve dvije spomenute matrice:
1 AxB (8)
Raspisivanjem matrice kriginga dobiva se sustav linearnih jednadţbi:
1...
...
...
...
...
21
2211
22222121
11212111
n
nknnnnn
knn
knn
hhhh
hhhh
hhhh
(9)
Jednadţba obiĉnog kriginga razlikuje se od jednostavnog kriginga po tome što sadrţi
Lagrangeov multiplikator μ kojim se minimalizira iznos varijance kriginga i
zadovoljava uvjet nepristranosti, kako bi se dobili pouzdaniji rezultati procijene. Iz
jednadţbe (9) vidljivo je da se dodavanjem Lagrangeovog mutiplikatora μ u matricu
kriginga zadovoljava uvjet nepristranosti, odnosno dobiva se:
n
i
i
1
1 (10)
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 18
Budući da se u metodi kriginga odnosi meĊu usporeĊivanim toĉkama izraţavaju
variogramom, kvaliteta procjene teţinskih koeficijenata ovisi o naĉinjenom
variogramskom modelu. Variogramski model s većim brojem kontrolnih toĉaka, većim
dometom (uz uvjet da je domet veći od meĊusobne udaljenosti toĉaka), i bez
anizotropije uglavnom ima veću pouzdanost kod procjene teţinskih koeficijenata.
Porast vrijednosti semivariograma ukazuje na porast pouzdanosti procjene, odnosno
veća vrijednost dobivena za neki par pokazuje da je i meĊusobni utjecaj tih toĉaka veći.
Dodatnu kvalitetu procjeni daje što pravilniji raspored kontrolnih toĉaka [8].
Nakon završetka procjene na promatranoj mreţi podataka (gridu) algoritam kriginga
raĉuna grešku procjene ĉija se vrijednost moţe usporediti s izmjerenom vrijednosti na
poznatoj toĉki koja je upotrijebljena kao ulazni podatak. Na taj naĉin se odreĊuje
pouzdanost procjene i kvaliteta promatranog prostornog modela [8].
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 19
6. MODELI RAZINE PODZEMNE VODE
Interpolacijskim metodama se procjenjuju vrijednosti regionalizirane varijable u
toĉkama promatrane mreţe podataka. U ovom radu se radi o mreţi podataka sa
izmjerenim razinama podzemne vode, te su primjenom metode kriginga i nekoliko
interpolacijskih metoda napravljeni grafiĉki modeli i dobivene procjene nepoznatih
vrijednosti RPV.
6.1. Grafiĉki modeli razine podzemne vode
Na temelju izvršene variogramske analize, krigingom je izraĊen prostorni prikaz
odnosno model razine podzemne vode vodocrpilišta u Varaţdinu. Osim kriginga
korištene su i ostale ovdje spomenute interpolacijske metode kako bi se dobiveni modeli
RPV mogli meĊusobno usporediti. Modeli RPV izraĊeni su primjenom raĉunalnog
program Golden Software Surfer.
Za izradu modela RPV kriging metodom korišten je model variograma kojim su
dobiveni najlošiji rezultati procjene, odnosno najveća vrijednost kvadratne pogreške
procijene (221.01). Radi se o linearnom modelu sa slijedećim parametrima:
odstupanje (nugget effect): 80
nagib (slope): 0.75
Na slikama su prikazani modeli razina podzemne vode izraĊeni svakom od ovdje
spomenutih interpolacijskih metoda.
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 20
Slika 9. Model razine podzemne vode izraĊen kriging metodom
Slika 10. Model razine podzemne vode izraĊen metodom Inverse Distance
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 21
Slika 11. Model razine podzemne vode izraĊen metodom Nearest Neighbor
Slika 12. Model razine podzemne vode izraĊen metodom Moving Average
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 22
Slika 13. Model razine podzemne vode izraĊen metodom Radial Basis Function
Slika 14. Model razine podzemne vode izraĊen metodom Local polynomial
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 23
Slika 15. Model razine podzemne vode izraĊen metodom minimum curvature
Iz dobivenih modela razine podzemne vode vidljivo je da kriging metoda i metoda
radial basis function daju najbolje prostorne prikaze razine podzemne vode, dok su
metodama local polynomial, minimum curvature i inverse distance takoĊer dobiveni
zadovoljavajući modeli RPV. Kako se radi o dinamiĉkoj razini podzemne vode zbog
aktivnog bunara B-4, na ova ĉetiri modela je jasno vidljiva pojava hidrauliĉkog lijevka,
odnosno pad potencijala oko zdenca B-4. Metode moving average i nearest neighbor su
dale jako loše prostorne prikaze RPV, pogotovo metoda moving average iz ĉije
prostorne analize nema vidljivog smanjenja piezometarske razine vode prema aktivnom
bunaru B-4.
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 24
6.2. Procjena razine podzemne vode razliĉitim interpolacijskim metodama
Kako bi se bolje usporedili modeli RPV s obzirom na njihovu kvalitetu procjene u
ovom su dijelu rada prikazane procijenjene vrijednosti dobivene pojedinim
interpolacijskim metodama i izraĉunate su njihove kvadratne pogreške procjene. Time
se dolazi do glavnog cilja rada koji je usporedba dobivenih rezultata procjene i modela
RPV kriging metode sa ostalim interpolacijskim metodama.
Za odreĊivanje procijenjenih vrijednosti u svakoj od ovih 30 toĉaka, u Surferu je
korišten „Cross validation process―, odnosno proces unakrsne validacije. Ovaj
algoritam procijene radi tako da se izostavi prvi ulazni podatak te se na temelju ostalih
poznatih podataka i tehnike interpolacijske metode izraĉuna vrijednost izostavljene
toĉke, odnosno procjena i rezidual/pogreška (razlika mjerene i procijenjene vrijednosti),
zatim se izostavljeni podatak vraća u ulazni skup podataka i izostavlja se slijedeći
podatak. Opisani postupak se ponavlja za svaku slijedeću toĉku, odnosno sa svih n
podataka [9].
Stoga je u svakoj od spomenutih geostatistiĉkih metoda koristeći „Cross validation
process― izostavljen po jedan ulaznih podatak ponavljajući postupak sa svih 30 mjerenja
i dobivene su procijenjene vrijednosti i reziduali za svaku toĉku/mjerenje.
U tablici 2 su prikazane procijenjene vrijednosti za svaku pojedinu toĉku/mjerenje
dobivene razliĉitim interpolacijskim metodama i njihove kvadratne pogreške procjene.
25
Tablica 2. Prikaz procjena i pogrešaka procjena kriging metode i ostalih interpolacijskih metoda
METODA
kriging inverse distance nearest neighbor moving average RBF local polynomial minimum curvature
toĉka mjerenje procjena rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual (Δ)
Δ2 procjena rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual (Δ)
Δ2 procjena rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual (Δ)
Δ2 procjena rezidual
(Δ) Δ2
B - 1 108,00 125,18 17,18 295,22 124,53 16,53 273,20 125,00 17,00 289,00 125,58 17,58 309,17 128,97 20,97 439,63 124,53 16,53 273,10 124,82 16,82 283,05
B - 2 103,00 118,20 15,20 231,06 123,72 20,72 429,43 126,00 23,00 529,00 126,54 23,54 554,06 128,92 25,92 671,75 116,52 13,52 182,83 119,14 16,14 260,56
B - 3 107,00 112,26 5,26 27,70 107,64 0,64 0,40 107,00 0,00 0,00 126,38 19,38 375,76 112,59 5,59 31,30 114,12 7,12 50,63 108,76 1,76 3,10
B - 4 94,00 111,72 17,72 313,87 110,01 16,01 256,29 109,00 15,00 225,00 127,11 33,11 1096,3
5 105,56 11,56 133,55 115,43 21,43 459,39 105,44 11,44 130,89
B - 5 101,00 118,45 17,45 304,39 112,61 11,61 134,88 110,00 9,00 81,00 127,68 26,68 711,75 102,85 1,85 3,43 122,34 21,34 455,43 107,86 6,86 47,04
B - 6 118,00 136,08 18,08 326,84 139,20 21,20 449,46 140,00 22,00 484,00 126,44 8,44 71,31 136,81 18,81 353,86 135,71 17,71 313,69 131,68 13,68 187,20
B - 7 108,00 129,59 21,59 466,16 126,99 18,99 360,55 130,00 22,00 484,00 125,36 17,36 301,37 135,36 27,36 748,70 134,42 26,42 698,26 111,85 3,85 14,80
B - 8 125,00 128,32 3,32 11,00 129,94 4,94 24,42 130,00 5,00 25,00 125,65 0,65 0,43 126,19 1,19 1,42 128,55 3,55 12,57 129,35 4,35 18,91
B - 9 131,00 145,42 14,42 207,95 156,15 25,15 632,74 158,00 27,00 729,00 125,96 -5,04 25,37 154,38 23,38 546,42 139,53 8,53 72,68 149,47 18,47 341,26
B - 10 126,00 145,45 19,45 378,46 144,29 18,29 334,52 145,00 19,00 361,00 126,85 0,85 0,72 140,61 14,61 213,33 145,58 19,58 383,56 139,83 13,83 191,41
P - 0 128,00 112,88 -15,12 228,53 109,31 -18,69 349,14 110,00 -18,00 324,00 126,71 -1,29 1,65 124,50 -3,50 12,25 118,59 -9,41 88,47 120,05 -7,95 63,26
P - 11 126,00 107,32 -18,68 348,88 105,07 -20,93 438,03 103,00 -23,00 529,00 125,65 -0,35 0,12 102,19 -23,81 567,12 111,01 -14,99 224,85 106,53 -19,47 379,04
P - 12 125,00 115,01 -9,99 99,84 108,88 -16,12 259,94 108,00 -17,00 289,00 124,92 -0,08 0,01 105,38 -19,62 384,99 116,80 -8,20 67,24 109,83 -15,17 230,14
P - 13 107,00 112,98 5,98 35,76 107,59 0,59 0,35 107,00 0,00 0,00 126,38 19,38 375,76 102,76 -4,24 17,96 114,87 7,87 61,90 106,28 -0,72 0,52
P - 14 109,00 104,54 -4,46 19,88 96,68 -12,32 151,76 94,00 -15,00 225,00 126,56 17,56 308,20 97,77 -11,23 126,01 112,39 3,39 11,52 99,39 -9,61 92,35
P - 15 110,00 115,02 5,02 25,22 107,44 -2,56 6,56 101,00 -9,00 81,00 127,36 17,36 301,27 109,21 -0,79 0,63 120,27 10,27 105,45 111,22 1,22 1,49
P - 16 140,00 125,55 -14,45 208,72 118,40 -21,60 466,49 118,00 -22,00 484,00 125,63 -14,37 206,51 121,73 -18,27 333,95 127,01 -12,99 168,83 121,41 -18,59 345,63
P - 17 146,00 140,68 -5,32 28,28 130,73 -15,27 233,31 148,00 2,00 4,00 124,36 -21,64 468,29 157,69 11,69 136,56 141,86 -4,14 17,16 146,69 0,69 0,48
P - 18 130,00 126,06 -3,94 15,55 125,15 -4,85 23,49 125,00 -5,00 25,00 125,46 -4,54 20,60 128,90 -1,10 1,20 126,95 -3,05 9,30 128,47 -1,53 2,35
P - 19 158,00 131,51 -26,49 701,79 130,87 -27,13 735,78 131,00 -27,00 729,00 124,96 -33,04 1091,4
5 133,63 -24,37 594,09 131,54 -26,46 699,95 136,13 -21,87 478,28
P - 20 145,00 134,67 -10,33 106,81 126,66 -18,34 336,42 126,00 -19,00 361,00 125,58 -19,42 377,01 130,87 -14,13 199,71 136,46 -8,54 72,91 133,38 -11,62 134,98
P - 21 140,00 133,86 -6,14 37,71 124,06 -15,94 254,14 139,00 -1,00 1,00 122,75 -17,25 297,56 113,11 -26,89 722,85 156,49 16,49 271,87 140,24 0,24 0,06
P - 22 139,00 118,72 -20,28 411,15 117,69 -21,31 454,25 125,00 -14,00 196,00 125,15 -13,85 191,72 83,50 -55,50 3079,83 122,81 -16,19 262,03 130,23 -8,77 76,87
P - 23 144,00 124,72 -19,28 371,83 120,41 -23,59 556,55 108,00 -36,00 1296,00 116,71 -27,29 744,51 92,82 -51,18 2619,67 107,07 -36,93 1363,47 211,29 67,29 4527,49
P - 24 150,00 141,35 -8,65 74,89 131,60 -18,40 338,64 145,00 -5,00 25,00 131,36 -18,64 347,56 158,94 8,94 79,90 126,40 -23,60 556,94 158,16 8,16 66,56
P - 25 146,00 113,17 -32,83 1077,91 118,34 -27,66 765,09 108,00 -38,00 1444,00 124,04 -21,96 482,31 113,95 -32,05 1027,21 101,64 -44,36 1967,62 146,14 0,14 0,02
P - 26 131,00 132,77 1,77 3,12 127,37 -3,63 13,14 133,00 2,00 4,00 133,56 2,56 6,53 128,59 -2,41 5,81 99,62 -31,38 984,62 143,52 12,52 156,75
P - 27 148,00 132,92 -15,08 227,27 128,38 -19,62 384,99 140,00 -8,00 64,00 125,33 -22,67 513,78 142,10 -5,90 34,87 132,72 -15,28 233,55 146,86 -1,14 1,30
P - 29 131,00 134,77 3,77 14,24 122,84 -8,16 66,59 139,00 8,00 64,00 121,83 -9,17 84,03 120,72 -10,28 105,66 145,89 14,89 221,63 140,21 9,21 84,88
P - 30 133,00 138,50 5,50 30,21 131,32 -1,68 2,83 158,00 25,00 625,00 128,63 -4,37 19,08 198,66 65,66 4311,44 142,63 9,63 92,69 129,10 -3,90 15,20
kvadratna
pogreška
procjene (σ2)
221,01 291,11 332,57 309,47 583,50 346,14 271,20
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 26
Promatrajući vrijednosti kvadratnih pogrešaka procjena prikazanih u tablici 2. vidi se
da je metodom kriginga dobivena znatno manja kvadratna pogreške procjene (221.01) u
odnosu na ostale interpolacijske metode, ĉime se kriging metoda istiĉe kao najbolja
metoda (od ovdje usporeĊivanih) za modeliranje razine podzemne vode. Nakon
pogreške procijene dobivene kriging metodom najmanja slijedeća pogreška procjene
dobivena je metodom minimum curvature (271.20) što znaĉi da bi metoda minimum
curvature bila do kriginga slijedeća metoda po kvaliteti procjene. Najveća vrijednost
kvadratne pogreške procjene dobivena je metodom RBF (583.50).
6.3. Razrada geostatistiĉkih modela
U ovom dijelu su za proraĉun kriging metodom korišteni razliĉiti linearni i power
modeli variograma te je prikazano kako razliĉite aproksimacije tim teorijskim modelima
i promijene vrijednosti njihovih parametara utjeĉu na rezultate procjene RPV kriging
metodom. Teorijski modeli dobiveni su uklapanjem tako da su uzimane razliĉite
vrijednosti odstupanja (od 80 do 160) i promatrane su promijene procijenjenih
vrijednosti Z (razina podzemne vode) dobivenih krigingom. Kao što je već spomenuto u
teorijskom dijelu rada ovdje se radi o toĉkastoj i obiĉnoj kriging metodi što je uzeto u
obzir pri unosu podataka u Surfer.
6.3.1. Linearni modeli
Razliĉiti linearni modeli variograma su dobiveni uvrštavanjem razliĉitih vrijednosti
odstupanja i uklapanjem nagiba. U Tablici 3 prikazane su procijenjene vrijednosti, i
reziduali, i izraĉunate su vrijednosti kvadratnih pogrešaka procijenjenih vrijednosti
dobivenih kriging metodom za te teorijske modele.
27
Tablica 3. Procjene, reziduali i kvadratne pogreške procjena linearnih modela
METODA
KRIGING
model
linearni model
parametri
nugget 80, slope 0,75 nugget 100, slope 0,69 nugget 120, slope 0,62 nugget 130, slope 0,58 nugget 140, slope 0,55 nugget 150, slope 0,5 nugget 160, slope 0,45
toĉka mjerenje procjena rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2
B - 1 108,00 125,18 17,18 295,22 124,90 16,90 285,70 124,61 16,61 275,81 124,45 16,45 270,65 124,31 16,31 266,17 124,14 16,14 260,50 123,97 15,97 254,89
B - 2 103,00 118,20 15,20 231,06 117,70 14,70 216,22 117,41 14,41 207,74 117,34 14,34 205,62 117,32 14,32 204,98 117,35 14,35 205,81 117,44 14,44 208,61
B - 3 107,00 112,26 5,26 27,70 112,90 5,90 34,86 113,56 6,56 42,98 113,90 6,90 47,66 114,21 7,21 52,05 114,63 7,63 58,21 115,08 8,08 65,21
B - 4 94,00 111,72 17,72 313,87 112,30 18,30 334,87 112,96 18,96 359,64 113,35 19,35 374,29 113,70 19,70 388,21 114,20 20,20 407,92 114,75 20,75 430,41
B - 5 101,00 118,45 17,45 304,39 119,06 18,06 326,03 119,64 18,64 347,60 119,95 18,95 359,14 120,22 19,22 369,52 120,58 19,58 383,48 120,97 19,97 398,62
B - 6 118,00 136,08 18,08 326,84 135,51 17,51 306,65 134,92 16,92 286,42 134,61 16,61 275,96 134,34 16,34 266,88 133,98 15,98 255,26 133,60 15,60 243,46
B - 7 108,00 129,59 21,59 466,16 129,35 21,35 455,96 129,11 21,11 445,71 128,99 20,99 440,42 128,88 20,88 435,86 128,74 20,74 430,10 128,60 20,60 424,42
B - 8 125,00 128,32 3,32 11,00 128,26 3,26 10,65 128,24 3,24 10,52 128,24 3,24 10,53 128,25 3,25 10,57 128,27 3,27 10,68 128,29 3,29 10,84
B - 9 131,00 145,42 14,42 207,95 143,77 12,77 163,05 142,23 11,23 126,04 141,47 10,47 109,54 140,82 9,82 96,52 140,02 9,02 81,42 139,23 8,23 67,77
B - 10 126,00 145,45 19,45 378,46 145,14 19,14 366,25 144,71 18,71 349,96 144,44 18,44 339,90 144,17 18,17 330,22 143,79 17,79 316,49 143,35 17,35 300,97
P - 0 128,00 112,88 -15,12 228,53 113,69 -14,31 204,70 114,58 -13,42 180,14 115,07 -12,93 167,24 115,51 -12,49 155,98 116,11 -11,89 141,48 116,74 -11,26 126,75
P - 11 126,00 107,32 -18,68 348,88 108,15 -17,85 318,49 109,04 -16,96 287,81 109,52 -16,48 271,66 109,96 -16,04 257,42 110,55 -15,45 238,82 111,19 -14,81 219,48
P - 12 125,00 115,01 -9,99 99,84 115,78 -9,22 85,09 116,46 -8,54 72,96 116,79 -8,21 67,47 117,06 -7,94 63,06 117,40 -7,60 57,81 117,73 -7,27 52,85
P - 13 107,00 112,98 5,98 35,76 113,59 6,59 43,46 114,20 7,20 51,85 114,52 7,52 56,57 114,81 7,81 60,95 115,19 8,19 67,04 115,60 8,60 73,90
P - 14 109,00 104,54 -4,46 19,88 106,00 -3,00 9,01 107,46 -1,54 2,39 108,22 -0,78 0,61 108,89 -0,11 0,01 109,78 0,78 0,60 110,70 1,70 2,90
P - 15 110,00 115,02 5,02 25,22 115,85 5,85 34,26 116,69 6,69 44,72 117,13 7,13 50,82 117,52 7,52 56,57 118,04 8,04 64,62 118,59 8,59 73,71
P - 16 140,00 125,55 -14,45 208,72 126,13 -13,87 192,43 126,60 -13,40 179,43 126,82 -13,18 173,79 126,98 -13,02 169,44 127,17 -12,83 164,52 127,34 -12,66 160,24
P - 17 146,00 140,68 -5,32 28,28 140,12 -5,88 34,61 139,50 -6,50 42,20 139,16 -6,84 46,72 138,86 -7,14 51,04 138,44 -7,56 57,20 137,98 -8,02 64,27
P - 18 130,00 126,06 -3,94 15,55 126,28 -3,72 13,85 126,52 -3,48 12,14 126,64 -3,36 11,27 126,76 -3,24 10,53 126,90 -3,10 9,59 127,06 -2,94 8,67
P - 19 158,00 131,51 -26,49 701,79 131,48 -26,52 703,39 131,43 -26,57 706,18 131,39 -26,61 708,02 131,36 -26,64 709,85 131,31 -26,69 712,52 131,25 -26,75 715,65
P - 20 145,00 134,67 -10,33 106,81 135,51 -9,49 90,00 136,18 -8,82 77,79 136,45 -8,55 73,06 136,65 -8,35 69,77 136,84 -8,16 66,62 136,96 -8,04 64,65
P - 21 140,00 133,86 -6,14 37,71 133,44 -6,56 43,01 132,95 -7,05 49,73 132,66 -7,34 53,85 132,40 -7,60 57,82 132,03 -7,97 63,54 131,62 -8,38 70,14
P - 22 139,00 118,72 -20,28 411,15 119,10 -19,90 396,00 119,43 -19,57 382,85 119,60 -19,40 376,51 119,73 -19,27 371,16 119,91 -19,09 364,43 120,09 -18,91 357,67
P - 23 144,00 124,72 -19,28 371,83 124,34 -19,66 386,71 123,87 -20,13 405,13 123,60 -20,40 415,98 123,36 -20,64 426,12 123,02 -20,98 440,03 122,67 -21,33 455,12
P - 24 150,00 141,35 -8,65 74,89 141,32 -8,68 75,30 141,25 -8,75 76,55 141,18 -8,82 77,75 141,10 -8,90 79,20 140,96 -9,04 81,76 140,76 -9,24 85,35
P - 25 146,00 113,17 -32,83 1077,91 113,69 -32,31 1044,11 114,23 -31,77 1009,15 114,53 -31,47 990,40 114,80 -31,20 973,64 115,16 -30,84 951,34 115,54 -30,46 927,54
P - 26 131,00 132,77 1,77 3,12 132,71 1,71 2,93 132,64 1,64 2,67 132,58 1,58 2,51 132,53 1,53 2,35 132,45 1,45 2,11 132,36 1,36 1,85
P - 27 148,00 132,92 -15,08 227,27 132,61 -15,39 237,00 132,30 -15,70 246,59 132,14 -15,86 251,59 132,00 -16,00 255,97 131,82 -16,18 261,71 131,64 -16,36 267,72
P - 29 131,00 134,77 3,77 14,24 134,10 3,10 9,60 133,33 2,33 5,43 132,89 1,89 3,59 132,49 1,49 2,22 131,94 0,94 0,88 131,34 0,34 0,11
P - 30 133,00 138,50 5,50 30,21 138,33 5,33 28,45 138,20 5,20 27,01 138,12 5,12 26,26 138,06 5,06 25,55 137,95 4,95 24,53 137,83 4,83 23,29
kvadratna
pogreška
procjene (σ2)
221,01 215,09 210,50 208,65 207,32 206,04 205,24
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 28
Rezultati su pokazali da je najmanja kvadratna pogreška procjene (205.24) dobivena
variogramom sa parametrima (Tablica 3.):
odstupanje (nugget effect): 160
nagib (slope): 0.45
Pri uklapanju linearnog teorijskog modela s povećanjem vrijednosti odstupanja
smanjuje se vrijednost nagiba. Iz razliĉitih vrijednosti odstupanja i nagiba moţe se
vidjeti da veće vrijednosti odstupanja i manje vrijednosti nagiba daju bolje rezultate
procjene, odnosno manje kvadratne pogreške procjena.
6.3.2. Power modeli
Pri izradi power modela uvrštavane su razliĉite vrijednosti odstupanja, a strukturne
varijance su dobivene kao razlike vrijednosti praga i odstupanja. Kada je 1n power
teorijski model odgovara linearnom modelu. Tako je vrijednost dometa dobivena
uklapanjem power modela kod kojeg je 1n i vrijedi za sve ostale aproksimirane power
modele. Kod ostalih power modela parametar n je dobiven uklapanjem.
U tablici 4 su prikazani rezultati aproksimacija, te procijenjene vrijednosti i reziduali
dobiveni kriging metodom za razliĉite power modele. TakoĊer su izraĉunate kvadratne
pogreške procjene.
29
Tablica 4. Procjene, reziduali i kvadratne pogreške procjena power modela
METODA KRIGING
model
power
parametri
nugget 114,59, scale 165,7,
length 265, power 1
nugget 80, scale 200, length
265, power 0.97
nugget 100, scale 180, length
265, power 1
nugget 120, scale 160, length
265, power 1.16
nugget 130, scale 150, length
265, power 1.22
nugget 140, scale 140, length
265, power 1.32
nugget 150, scale 130, length
265, power 1.45
nugget 160, scale 120, length
265, power 1.55
toĉka mjerenje procjena rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2 procjena
rezidual
(Δ) Δ2
B - 1 108,00 124,66 16,66 277,61 125,20 17,20 295,94 124,89 16,89 285,18 124,36 16,36 267,77 124,09 16,09 258,85 123,72 15,72 246,97 123,25 15,25 232,58 122,87 14,87 221,16
B - 2 103,00 117,45 14,45 208,83 118,34 15,34 235,31 117,68 14,68 215,61 116,79 13,79 190,25 116,58 13,58 184,49 116,40 13,40 179,59 116,41 13,41 179,90 116,73 13,73 188,62
B - 3 107,00 113,44 6,44 41,43 112,24 5,24 27,48 112,94 5,94 35,26 113,70 6,70 44,84 114,08 7,08 50,15 114,54 7,54 56,80 115,11 8,11 65,78 115,72 8,72 76,11
B - 4 94,00 112,84 18,84 354,85 111,75 17,75 314,98 112,33 18,33 336,09 112,92 18,92 357,88 113,32 19,32 373,25 113,84 19,84 393,66 114,61 20,61 424,87 115,55 21,55 464,24
B - 5 101,00 119,54 18,54 343,66 118,41 17,41 302,94 119,09 18,09 327,16 119,82 18,82 354,19 120,17 19,17 367,48 120,59 19,59 383,69 121,13 20,13 405,02 121,71 20,71 429,00
B - 6 118,00 135,03 17,03 290,07 136,12 18,12 328,18 135,48 17,48 305,58 134,62 16,62 276,25 134,19 16,19 262,21 133,66 15,66 245,24 133,02 15,02 225,63 132,46 14,46 209,00
B - 7 108,00 129,16 21,16 447,56 129,62 21,62 467,31 129,34 21,34 455,42 128,91 20,91 437,37 128,69 20,69 428,23 128,39 20,39 415,66 127,96 19,96 398,56 127,53 19,53 381,60
B - 8 125,00 128,24 3,24 10,53 128,36 3,36 11,26 128,26 3,26 10,63 128,03 3,03 9,17 127,95 2,95 8,70 127,82 2,82 7,98 127,67 2,67 7,11 127,55 2,55 6,50
B - 9 131,00 142,50 11,50 132,20 145,56 14,56 212,08 143,68 12,68 160,90 141,27 10,27 105,44 140,18 9,18 84,36 138,88 7,88 62,07 137,39 6,39 40,86 136,16 5,16 26,61
B - 10 126,00 144,79 18,79 353,21 145,40 19,40 376,41 145,12 19,12 365,49 144,87 18,87 356,26 144,62 18,62 346,76 144,28 18,28 333,99 143,71 17,71 313,61 142,97 16,97 288,03
P - 0 128,00 114,41 -13,59 184,61 112,90 -15,10 228,06 113,74 -14,26 203,41 114,76 -13,24 175,20 115,37 -12,63 159,47 116,15 -11,85 140,39 117,19 -10,81 116,94 118,26 -9,74 94,86
P - 11 126,00 108,87 -17,13 293,39 107,32 -18,68 348,96 108,20 -17,80 316,87 109,19 -16,81 282,50 109,76 -16,24 263,88 110,46 -15,54 241,37 111,42 -14,58 212,63 112,46 -13,54 183,22
P - 12 125,00 116,34 -8,66 74,99 114,95 -10,05 101,09 115,81 -9,19 84,39 116,74 -8,26 68,19 117,12 -7,88 62,13 117,51 -7,49 56,06 117,92 -7,08 50,19 118,27 -6,73 45,30
P - 13 107,00 114,09 7,09 50,27 112,96 5,96 35,47 113,62 6,62 43,89 114,33 7,33 53,74 114,68 7,68 58,96 115,08 8,08 65,30 115,58 8,58 73,61 116,12 9,12 83,11
P - 14 109,00 107,19 -1,81 3,27 104,49 -4,51 20,35 106,08 -2,92 8,55 107,91 -1,09 1,19 108,84 -0,16 0,02 109,98 0,98 0,95 111,40 2,40 5,77 112,84 3,84 14,76
P - 15 110,00 116,54 6,54 42,71 114,96 4,96 24,62 115,90 5,90 34,77 117,02 7,02 49,32 117,57 7,57 57,32 118,24 8,24 67,92 119,08 9,08 82,49 119,94 9,94 98,78
P - 16 140,00 126,53 -13,47 181,56 125,48 -14,52 210,80 126,16 -13,84 191,66 126,95 -13,05 170,27 127,24 -12,76 162,75 127,55 -12,45 154,92 127,84 -12,16 147,89 128,02 -11,98 143,49
P - 17 146,00 139,62 -6,38 40,72 140,59 -5,41 29,23 140,09 -5,91 34,98 139,83 -6,17 38,12 139,57 -6,43 41,31 139,30 -6,70 44,93 138,89 -7,11 50,59 138,33 -7,67 58,79
P - 18 130,00 126,47 -3,53 12,45 126,07 -3,93 15,44 126,29 -3,71 13,76 126,46 -3,54 12,53 126,56 -3,44 11,85 126,64 -3,36 11,28 126,71 -3,29 10,81 126,78 -3,22 10,38
P - 19 158,00 131,44 -26,56 705,60 131,51 -26,49 701,76 131,48 -26,52 703,51 131,35 -26,65 710,06 131,27 -26,73 714,64 131,13 -26,87 722,12 130,92 -27,08 733,45 130,71 -27,29 744,84
P - 20 145,00 136,07 -8,93 79,69 134,55 -10,45 109,24 135,55 -9,45 89,24 136,88 -8,12 66,00 137,35 -7,65 58,45 137,88 -7,12 50,70 138,31 -6,69 44,78 138,41 -6,59 43,46
P - 21 140,00 133,04 -6,96 48,40 133,76 -6,24 38,92 133,42 -6,58 43,33 133,31 -6,69 44,76 133,12 -6,88 47,38 132,91 -7,09 50,26 132,58 -7,42 55,13 132,06 -7,94 63,06
P - 22 139,00 119,38 -19,62 385,12 118,79 -20,21 408,24 119,12 -19,88 395,26 119,14 -19,86 394,26 119,22 -19,78 391,20 119,27 -19,73 389,12 119,38 -19,62 385,03 119,59 -19,41 376,57
P - 23 144,00 123,96 -20,04 401,55 124,74 -19,26 371,06 124,31 -19,69 387,60 123,56 -20,44 417,97 123,07 -20,93 437,93 122,34 -21,66 469,28 121,15 -22,85 521,95 119,71 -24,29 589,94
P - 24 150,00 141,27 -8,73 76,24 141,23 -8,77 76,89 141,32 -8,68 75,34 142,10 -7,90 62,45 142,43 -7,57 57,35 143,01 -6,99 48,83 143,82 -6,18 38,25 144,38 -5,62 31,53
P - 25 146,00 114,13 -31,87 1015,57 113,37 -32,63 1064,45 113,72 -32,28 1042,29 113,34 -32,66 1066,82 113,34 -32,66 1066,49 113,23 -32,77 1074,11 113,11 -32,89 1081,58 113,19 -32,81 1076,50
P - 26 131,00 132,65 1,65 2,73 132,77 1,77 3,14 132,71 1,71 2,92 132,57 1,57 2,48 132,48 1,48 2,20 132,33 1,33 1,77 132,06 1,06 1,12 131,69 0,69 0,48
P - 27 148,00 132,35 -15,65 244,86 132,94 -15,06 226,95 132,59 -15,41 237,51 132,16 -15,84 250,88 131,94 -16,06 257,89 131,66 -16,34 267,00 131,30 -16,70 278,79 130,97 -17,03 289,96
P - 29 131,00 133,48 2,48 6,13 134,65 3,65 13,34 134,06 3,06 9,36 133,74 2,74 7,49 133,38 2,38 5,68 132,96 1,96 3,86 132,30 1,30 1,68 131,36 0,36 0,13
P - 30 133,00 138,22 5,22 27,26 138,47 5,47 29,97 138,33 5,33 28,36 138,36 5,36 28,77 138,38 5,38 28,94 138,44 5,44 29,58 138,52 5,52 30,49 138,55 5,55 30,83
kvadratna
pogreška
procjene
(σ2)
211,24 221,00 214,81 210,08 208,34 207,18 207,24 209,03
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 30
Rezultati za power modele dobiveni kriging metodom pokazali su da su najbolje
aproksimacije ostvarene variogramima ĉije se vrijednosti odstupanja kreću izmeĊu 140 i
150. Najmanja kvadratna pogreška (207.18) dobivena je variogramom sa parametrima:
odstupanje (nugget effect): 140
prag (scale): 140
domet (length): 265
potencija (power): 1.32.
MeĊusobni utjecaj navedenih parametara je takav da se povećanjem vrijednosti
odstupanja smanjuje strukturna varijanca i povećava se vrijednost power-a (n), a domet
se ne mijenja. Povećanjem vrijednosti dometa povećala bi se i vrijednost power-a.
Power modeli sa većim vrijednostima odstupanja, većim dometom, većim power-ima i
manjim vrijednostima strukturne varijance pokazuju manju pogrešku procjene.
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 31
7. ZAKLJUĈAK
Glavni cilj rada bio je usporedba modela razine podzemne vode dobivenih razliĉitim
interpolacijskim metodama i njihovih rezultata procjene kako bi se odredila
najpouzdanija interpolacijska metoda za modeliranje RPV. U tu svrhu je korištena
geostatistiĉka metoda kriginga i šest razliĉitih interpolacijskih metoda. Usporedba
procijenjenih vrijednosti koje su dobivene pojedinim interpolacijskim metodama se
sastoji od usporedbe njihovih kvadratnih pogrešaka procjene.
Kako algoritam kriging metode proraĉunava procijenjene vrijednosti na temelju
aproksimiranih variograma koji ulaze u matricu kriginga, prvo je provedena
variogramska analiza. Variogramskom analizom je traţen teorijski model variograma
kojim je ostvareno najbolje uklapanje u eksperimentalni model, i koji daje najbolje
rezultate procjene kriging metodom. Budući da dobiveni eksperimentalni variogram
postupno raste s povećanjem udaljenosti h i nema izraţeni prag, najbolje aproksimacije
su dobivene linearnim i power modelima.
U tablici 5 su prikazane vrijednosti kvadratnih pogrešaka procjena dobivenih iz
procjena geostatistiĉkom metodom kriginga i razliĉitim interpolacijskim metodama.
Tablica 5. Kvadratne pogreške procjena za kriging i ostale interpolacijske metode
METODA kvadratna pogreška procjene (σ2)
kriging 221,01
inverse distance 291,11
nearest neighbor 332,57
moving average 309,47
RBF 583,5
local polynomial 346,14
minimum curvature 271,2
Iz tablice 5 se vidi da je geostatistiĉkom metodom kriginga dobivena znatno manja
kvadratna pogreške procjene u odnosu na ostale interpolacijske metode. TakoĊer su
krigingom i metodom RBF dobiveni najbolji grafiĉki modeli RPV. MeĊutim, metoda
RBF daje najlošije rezultate procjena i najveću vrijednost kvadratne pogreške procjene.
Provedena je daljnja variogramska analiza koja se sastoji od traţenja linearnih i
power modela koji se najbolje uklapaju u eksperimentalni variogram. Uzimane su
razliĉite vrijednosti njihovih parametara i promatrani su rezultati procjena dobiveni
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 32
kriging metodom (Tablice 3 i 4). Zbog bolje preglednosti, u tablici 6 prikazane su samo
vrijednosti kvadratnih pogrešaka procjena izraĉunatih iz procjena kriging metodom za
razliĉite linearne modele, odnosno u tablici 7, za razliĉite power modele.
Tablica 6. Kvadratne pogreške procjena za razliĉite linearne modele
METODA KRIGING
model linearni
parametri σ2
nugget slope
80 0,75 221
100 0,69 215,09
120 0,62 210,5
130 0,58 208,65
140 0,55 207,32
150 0,50 206,04
160 0,45 205,24
Kao što se vidi iz tablice 6, najmanja kvadratna pogreška procjene iznosi 205.24, a
dobivena je za linearni model variograma sa odstupanjem od 160 i nagibom 0.45.
Tablica 7. Kvadratne pogreške procjena za razliĉite power modele
METODA KRIGING
model power
parametri σ2
nugget power
114,595 1 211,24
80 0,97 221
100 1 214,81
120 1,16 210,08
130 1,22 208,34
140 1,32 207,18
150 1,45 207,24
160 1,55 209,03
Najmanje vrijednosti pogrešaka procjena power modela dobivene su sa vrijednostima
odstupanja izmeĊu 140 i 150.
Na osnovi dobivenih rezultata moţe se zakljuĉiti da se geostatistiĉka metoda kriginga
istiĉe kao najpouzdanija metoda (od ovdje usporeĊivanih) za modeliranje razine
podzemne vode.
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 33
8. POPIS LITERATURE
[1] Andriĉević R., Gotovac H., Ljubekov I. (2006): Geostatistika, Sveuĉilište u
Splitu, GraĊevinsko-arhitektonski fakultet
[2] Tušar B (2008): Vodoopskrba u varaţdinu,
www.em.com.hr/media/ege/casopis/2008/3/82.pdf
[3] Malvić T: Geomatematika,
http://bib.irb.hr/datoteka/303700.Vijesti_tema_broja_44_1.pdf
[4] Syed Abdul Rahman Shibli (2003) Geostatistics FAQ — Frequently Asked
Questions,
www.ai-geostats.org/pub/AI_GEOSTATS/AI_GEOSTATSFAQ/FAQ_Geostatistics_01.pdf
[5] Malvić T, Gaćeša S (2006): Geostatistika u opisivanju leţišta ugljikovodika
http://bib.irb.hr/datoteka/382718.UVODNI.pdf
[6] Malvić T (2008): Primjena geostatistike u analizi geoloških podataka, udţbenici
Sveuĉilušta u Zagrebu
[7] Geoff Bohling (2005): Intraduction to geostatistic and variogram analysis,
Kansas Geological Survey
[8] Malvić T (2005): Kriging, www.geologija.hr/pdf/Kriging_2.izd..pdf
[9] Golden Software, Inc. (2002): Surfer-User’s Guide, 809 14th Street, Golden,
Colorado 80401-1866, U.S.A., www.wi.zut.edu.pl/gis/Surfer_8_Guide.pdf
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 34
9. SAŢETAK
AUTOR: Valentina.Ţerjavić
NASLOV RADA: Geostatistiĉko modeliranje razine podzemne vode
KLJUĈNE RIJEĈI: geostatistika, variogram, kriging, pogreška procjene
Geostatistiĉka disciplina u današnje vrijeme ima široku primjenu, a u ovom radu je
analizirana pouzdanost i primjenjivost geostatistike na sluĉaju modeliranja razine
podzemne vode crpilišta u Varaţdinu. Na temelju poznatih koordinata zdenaca i
piezometara izraĊeni su grafiĉki modeli dinamiĉke razine podzemne vode i napravljene
su procjene RPV (odnosno Z koordinata) za svaki ulazni podatak. Pri tome je korištena
geostatistiĉka metoda kriginga i razliĉite interpolacijske metode. Usporedba dobivenih
modela i procjena pokazala je da se geostatistiĉom metodom kriginga dobivaju
najmanje pogreške kod procjene RPV, ĉime je potvrĊena njezina pouzdanost u
modeliranju razine podzemne vode. Uz to, kod procjene kriging metodom analiziran je
problem odabira najboljeg teorijskog modela variograma koji ulazi u proraĉun matrice
kriginga. Usporedbom nekoliko kombinacija variogramskih parametara odreĊen je
teorijski model kojim su dobiveni najbolji rezultati procjene kriging metodom.
Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________
Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 35
ABSTRACT:
AUTHOR: Valentina Ţerjavić
TITLE: Geostatistical modeling of the groundwater level
KEY WORDS: geostatistics, variogram, kriging, error assessment
Today geostatistics has wide range of possible applications. This paper analyses
reliability and applicability of geostatistics in the case of groundwater level modeling at
the well field in Varaţdin. Based on the known coordinates of the wells and piezometers
grafical models of dynamic groundwater level and groundwater level assessments (Z
coordinat) were carried out for every input data. The used methods were kriging
(geostatistical method) and various interpolation methods. Comparison of the resulted
models and assessments has shown that kriging method has the smallest error when
assessing groundawater level. In that way the reliability of the kriging method in
modeling groundwater level has been confirmed. Also with kriging method assessment
the problem of selecting the best theoretical model of variogram which enters in the
calculation of the kriging matrix was analysed. Comparing several combinations of
variogram parameters the theoretical model which gave the best results in kriging
assessments was selected.
Recommended