Határozott integrál

Határozott integrál

Összegek, területek, térfogatok

1

Területszámítás

• Görbe vonal által határolt terület kiszámítása.

• A terület felosztása: minden résznek csak az egyik határoló vonala görbe vonalú.

• Görbe vonalú trapéz.

2

Görbe vonalú trapéz

• A görbe vonalat az y=f(x) függvény grafikonjának tekinthetjük.

• Keressük az y=f(x) grafikonja és az x-tengely közötti rész területét.

3

A görbe vonalú trapéz területe

• Téglalapokkal közelítjük a keresett területet.

• Az [a,b] szakaszt felosztjuk az a=x0, x1,..., xn=b pontok segítségével.

• Az így kapott téglalapok magasságai az xk pontokban vett függvényértékek: f(xk).

ΔTk

)()( 1 kkkk xfxxT

kkk xxfT )(

A görbe vonalú trapéz területe

Az osztópontok n számának növelésével pontosabb eredményt kapunk.

43210 TTTTTT

4433221100 )()()()()( xxfxxfxxfxxfxxfT

1

0

)(n

kkk xxfT

1

0

)(n

kkk xxfT

1

0

)(limn

kkk

nxxfT

1

0

)(limn

kkk

nxxfT

Példa

• Az y=x2 függvény alatti terület a [0,1] intervallumon.

• Osztópontok:

1,4

3,

2

1,

4

1,0

xk Δxk f(xk) f(xk)·Δxk

0 0,25 0 0

0,25 0,25 0,0625 0,015625

0,5 0,25 0,25 0,0625

0,75 0,25 0,5625 0,140625

1 - 1

0,21875T

1

0

)(n

kkk xxfT

1

0

)(n

kkk xxfT

A határozott integrál

Az f függvény [a,b] intervallumon értelmezett határozott integrálja az

összeg, ahol az xk osztópontokat az intervallum pontjai közül választottuk úgy, hogy a köztük levő távolság n növelésével zérushoz közelít.

n

kkk

n

b

a

xxfxxf0

)(limd)(

A határozott integrál jele

b

a

xxf d)(b

a

xxf d)(

Felső határ

Alsó határ

Integráljel

Integrandus

Integrálási változó

Az integrálási változó

• A függvény egy adott intervallumon vett határozott integráljának értéke a függvénytől függ, nem attól, hogy milyen betűvel jelöljük a független változóját.

• Ha a t vagy u betűt jobban kedveljük, mint az x-et, nyugodtan írhatjuk

b

a

xxf d)( b

a

ttf d)( b

a

uuf d)(helyett vagy

Geometriai értelmezés

• Az y=f(x) pozitív függvény [a,b] intervallumon vett határozott integrálja egyenlő az adott intervallumon vett görbe vonalú trapéz területével.

b

a

xxf d)(

Példa• Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és

számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:

3

1

d)22( xx

42

42

2

hat

4d)22(3

1

xx

Példa• Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk

ki az integrál értékét területszámítással:

4

1

d)3( xx

hba

t2

2

45d)3(

4

1

xx

5,222

455

2

27

A határozott integrál tulajdonságai

• Az állandó szorzótényező kiemelhető az integrál elé:

b

a

b

a

xxfcxxfc d)(d)(

A határozott integrál tulajdonságai

• Az összeg, különbség tagonként integrálható:

b

a

b

a

b

a

xxgxxfxxgxf d)(d)(d)()(

+

Példa

5d)(1

1

xxf 7d)(1

1

xxg

1

1

d)(3)(2 xxgxf

1

1

1

1

d)(3d)(2 xxgxxf 317352

A határozott integrál tulajdonságai

• Az integrálás határait feloszthatjuk:

c

a

c

b

b

a

xxfxxfxxf d)(d)(d)(

Példa

5d)(1

1

xxf 2d)(4

1

xxf

4

1

d)( xxf

4

1

1

1

d)(d)( xxfxxf 3)2(5

A határozott integrál tulajdonságai

• Ha a-tól a-ig integrálunk, az eredmény 0:

0d)( a

a

xxf

A határozott integrál tulajdonságai

• Az integrálás határait felcserélve, az integrál előjelet vált.

0d)( a

a

xxf

b

a

a

b

xxfxxf d)(d)(

0d)(d)( a

b

b

a

xxfxxf

Példa

2d)(4

1

xxf

1

4

d)( xxf 4

1

d)( xxf 2)2(

A határozott integrál tulajdonságai

• Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény folytonos és integrálható, akkor van legalább egy olyan x0 az intervallumban, hogy:

abxfxxfb

a

)(d)( 0

A határozott integrál tulajdonságai

• Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény maximuma M, és minimuma m, akkor:

Mabxxfmabb

a

d)()(

Példa

• Igazoljuk az egyenlőtlenséget: 2dcos11

0

xx

A [0,1] intervallumon

10coscos1cos x

211cos11cos1 x

201dcos11cos1)01(1

0

xx

2dcos11

0

xx

y=cosx

A Newton-Leibniz tétel

• Ha F(x) az f(x) függvény primitív függvénye az [a,b] intervallumon akkor:

)()(d)( aFbFxxfb

a

)()(d)( aFbFxxfb

a

Példa

1

0

2 d xx 1

0

3

3

x

3

0

3

1 33

3

1

3

6

dsin

xx 3

6

cos

x 63

coscos 2

3

2

1366,0

2

13

Feladatok

0

2

d)52( xx 6

4

3

d)2

5( xx

4

133

4

0

3d)

43( x

xx 8

2

2

3 d)32( xxx 12

1

0

2 d)( xxx 1

4

0

3 d xx5

412

32

15 6

d1

xx 2

12

1

22

d2

xx

1

Helyettesítés a határozott integrálnál

• Új változó bevezetésekor ügyelni kell arra, hogy az integrálás határai is megváltozhatnak!

2

1

4 d)32( xx

12

112

dd

dd2

32

tx

tx

tx

tx

tx

1

1

4

2

d tt

1

1

5

52

1 t5

1))1(1(

10

1 55

Parciális integrálás

b

a

b

a

ba uvvuvu dd

b

a

b

a

ba uvvuvu dd

1

0

d xxex

x

x

evxu

xevxu

dd

dd 1

0

1

0d xexe xx

1

0

01 01 xeee 1001 eeee

Területszámítás integrállal

• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.

xy

xxt d4

1

4

1

3

3

2x

33 14

3

2t

3

24

3

14

Területszámítás integrállal

• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=2 egyenesek által határolt síkrész területét.

22 xxy

xxx d22

1

2

6

11

6

11 t

6

11

6

7

Területszámítás integrállal

• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.

22 xxy

xxxxxxt d2d24

2

22

1

2

6

59

6

59t

Területszámítás integrállal

• Számítsuk ki a két függvény grafikonja által határolt terület nagyságát:

1. A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok.

2. A grafikonok felrajzolása, a keresett terület azonosítása.

3. Az integrálok kiszámítása.

2xy xy

Területszámítás integrállalA grafikonok metszéspontjainak meghatározása –

integrálási határok:

2xy xy

xx 2

xx 4 04 xx

0)1( 3 xx

01 x 12 xA grafikon felrajzolása

Területszámítás integrállal

Az integrálok kiszámítása:

1

0

21

0

dd xxxxT

1

0

2 d xxx

Felső határoló

görbe

Alsó határoló

görbe

3

1

33

21

0

33

xxT

A forgástestek térfogata

• Az y=f(x) folytonos függvény grafikonjának x=a és x=b közötti részének x tengely körüli forgatásával egy forgástestet kapunk.

A forgástestek térfogata

12

112

102

0 )(...)()( nn xxfxxfxxfV

12

112

102

0 )(...)()( nn xxfxxfxxfV

b

a

xxfV d)( 2 b

a

xxfV d)( 2

A gömb térfogata222 ryx 222 xry

r

r

xyV d2

r

r

xxr d)( 22

r

r

xxrV

3

32

3

3

4rV

A görbe ívhossza

• A görbét a P0, P1,...,Pn pontok segítségével részekre osztjuk.

• A görbe vonalat a pontokon át húzott húrokkal helyettesítjük

nn PPPPPPL 12110

110 nLLLL

A görbe ívhossza

• A k-adik húr hossza (Pitagorasz-tétel):222kkk yxL

2

222 1

k

kkk

x

yxL

2

1

k

kkk x

yxL

A görbe ívhossza110 nLLLL

2

1

11

2

1

11

2

0

00 111

n

nn x

yx

x

yx

x

yxL

)(lim0

xfx

y

x

2112

112

00 )(1)(1)(1 nn xfxxfxxfxL

xxfLb

a

d)(1 20 xxfL

b

a

d)(1 20

A kör kerülete• A félkörív hossza:

22)( xrxf 22

)(xr

xxf

22

22)(

xr

xxf

22

22 1)(1

xr

xxf

22

2

xr

r

r

r

r

r xr

xrxxfL

22

2 dd)(1 r rk 2

Vége!!!