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Integrale Indefinito e l’Antiderivata 1
Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione.
Nota la variazione istantanea di una grandezza (p.es. la velocità) è necessario
sapere come si comporta tale grandezza istante per istante (p.es. la posizione) .
Nota allora una funzione f(x) il problema consiste nel trovare un’altra funzione F(x)
tale che F’(x)=f(x)
Ad es. se f(x)=x^2, potrebbe essere F(x)=(x^3)/3
Def.
Data la funzione f , si chiama anti-derivata o primitiva di f in un intervallo I una
funzione F tale che per ogni x di I vale: F’(x)=f(x)
Nota 2.
Si mostrerà in seguito che una funzione f continua in un intervallo [a;b] ammette
sempre una primitiva (magari non esprimibile elementarmente).
Nota 3.
Una conseguenza dei corollari del teorema di Lagrange afferma che la funzione
primitiva di una data funzione f non è unica. Le primitive sono infatti infinite e
differiscono una dall’altra per una costante addivita. (Cfr. il secondo corollario al
teorema di Lagrange).
Nota 1.
Una funzione primitiva deve essere una funzione derivabile sull’intervallo I.
2
Integrale Indefinito e l’Antiderivata 2
Es.
Sia f(x)=x^2. Allora: 3
)(3x
xF È una primitiva. Ma lo sono anche:
13
)(3
1 x
xF 23
)(3
2 x
xF 33
)(3
3 x
xF In quanto:
2
321 )()(')(')(')(')(' xxfxFxFxFxFxF k
kx
xFk 3
)(3
Def.
Si chiama integrale indefinito della funzione f l’insieme delle primitive in un
intervallo I.
dxxf )(
f
Si indica con:
Ed è costituito da tutte le funzione della forma F(x)+c con c=costante ed F primitiva di f
Nota
Vale per definizione:
cxfdxxf )()('
Nota
Variabile di integrazione muta:
oppure
Notare:
• Simbolo di integrale
•Funzione integranda
•Variabile di integrazione
•Differenziale della variabile di integrazione
dyyfdttfdxxf )()()(
3
Integrale Indefinito e l’Antiderivata 3
Nota.
Mentre nell’operazione di derivazione di associa ad una funzione un’altra
funzione (la sua derivata), nell’integrale indefinito si associa ad una
funzione una classe (insieme) di funzioni.
Inoltre, non tutte le funzioni ammettono una primitiva su un determinato intervallo I
(una condizione sufficiente è che siano continue). Una funzione primitiva deve essere
una funzione derivabile e quindi deve possedere alcune proprietà di regolarità. Allo
scopo vale il seguente teorema:
Per alcune funzioni (anche abbastanza “semplici”) non esiste la forma analitica
“semplice” per l’integrale indefinito: ad es.:
)ln(
1
x x
ex2xe
Nota: Esistenza dell’integrale indefinito.
Il calcolo integrale risulta “più difficile” rispetto al calcolo delle derivate…
4
Integrale Indefinito e l’Antiderivata 4
Teorema.
Sia f derivabile in un intervallo I, allora f’ può avere discontinuità solo di II° specie:
Nota.
Non ogni funzione definita in un intervallo é una funzione derivata.
Ad esempio funzioni con discontinuità eliminabili o di I° specie in determinato
intervallo, non sono derivate di nessuna funzione.
As es.
0x1-per 1
1x0per 1)( ]1,1[ xfI
Nota.
Alla funzione f(x)=|x| non si può applicare il teorema precedente relativamente
all’intervallo I=[-1,1] in quanto la funzione non è derivabile in x=0 e quindi non lo è in
tutto l’intervallo I.
5
La Tabella delle anti-derivate immediate 1
-1a c
1
1
a
xdxx
aa cxdx
x ln
1
c xx edxe c
)ln( a
adxa
xx
c )cos()( xdxxsen c )()cos( xsendxx
c )tan())(tan1()(cos
1 2
2 xdxxdx
x
c )arctan(1
12
xdxx
c )(1
1
2
xarcsendx
x
c )()( xChdxxSh c )()( xShdxxCh
6
La Tabella delle anti-derivate immediate 2
c )(1
1
2
xarcsendx
x
c )()( xChdxxSh c )()( xShdxxCh
cxxxSettShdxx
2
21lnc )(
1
1
cxxxSettChdxx
1lnc )(1
1 2
2
7
Proprietà Integrale Indefinito
Dalle proprietà della derivata discende:
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
dxxfkdxxfk )()(
p. di addivitità (*)
p. di omogeneità (**)
Es. Integrazione polinomi cxxxxdxxxx 32
1
5
2332 23524
dx
x
xxx2
24 332
dx
xxx
2
2 3132 c
xxxx
3||ln3
3
2 3
gfHgfH ')((*) fFfF ')( gGgG ')(
)'(''' GFGFgfH )(cGFH
kfHkfH ')((**) fFfF ')(
)()'('' ckFHkFkFH
8
Antiderivate quasi immediate 1
Consideriamo:
cxfdxxf
xf )(ln
)(
)('
dx
xx
x
1
122
cxxcxx )1ln(1ln 22
dx
xx )ln(
1cx )ln(ln
dx
ex
ex
x
)(
)1(cex x ln
cxdxx
xdx
x
x
1ln2
1
1
2
2
1
1
2
22
cxdxx
xdx
x
xdxx
)cos(ln
)cos(
)sin(
)cos(
)sin()tan(
9
Antiderivate quasi immediate 2
Consideriamo:
-1kcon 1
)()(')(
1
ck
xfdxxfxf
kk
cx
dxxx 2
)(sin)cos()sin(
2
cx
dxx
x 3
)(ln)(ln 32
c
xc
xdxxxdxxx
12
1
6
1
2
121
2
11
62625252
cx
dxxxdxxx 2
)(cos)cos()sin()cos()sin(
2
Nota: costante
2
1
2
)(cos)(sin
2
)(cos
2
)(sin 2222
xxxx
10
Antiderivate quasi immediate 3
)(' )()( cedxxfe xfxf
)ln()('
)()( c
a
adxxfa
xfxf
cedxxe xx )sin()sin( )cos(
cedxxedxxe xxx
222
2
1)2(
2
1
cdxdxx
xx
)2ln(
2)1(22
11
Antiderivate quasi immediate 4
))(cos()(')( cxfdxxfxfsen
))(()(')(cos cxfsendxxfxf
))(tan()('))((cos
12
cxfdxxfxf
cx
dxxxsendxxxsen
3
)cos(3)(
3
1)(
32323
cxdxxx
dxxx
)tan(2)(cos2
12
)(cos
122
12
Antiderivate quasi immediate 5
))(()('
)(1
1
2cxfarcsendxxf
xf
))(arctan()(')(1
12
cxfdxxfxf
cxarcsendxxx
dxxx
)(2
12
1
1
2
1
1
1 2
44
cx
dxx
dxx
3
arctan3
1
3
1
319
13
9
122
13
Antiderivate quasi immediate 6
ccxfSettShdxxf
xf
(x)f1f(x)ln ))(()('
1)(
1 2
2
ccxfSettChdxxfxf
1-(x)ff(x)ln ))(()('1)(
1 2
2
cxxcxSettShdxx
x
)(sin1)sin(ln))(sin(
)(sin1
)cos( 2
2
cxxcxSettChdxx
dxx
142ln2
1)2(
2
1
14
2
2
1
14
1 2
22
14
Riassunto: cambiamento di variabili
)()(:NOTO cxGdxxg
))(()('))(( cxfGdxxfxfg
Quanto sinora fatto può essere così riassunto:
Possiamo calcolare:
Poiché: )('))(()('))(('))(( xfxfgxfxfGxfGD
Possiamo anche usare un cambiamento di variabili nell’integrale indefinito:
cyGdyygdxxfxfgdxxfdy
xfyxfy
)()()()('))((
)('
)(
cxfG ))((
15
Integrazione Funzioni Razionali
Consideriamo ora integrali del tipo:
dxxD
xN
)(
)(
Con N(x) e D(x) polinomi nella variabile x.
Se n è il grado di N(x) e d il grado di D(x) e n≥d, l’algoritmo di divisione dei
polinomi permette di scrivere attraverso il quoziente Q(x) ed il resto R(x)
della divisione come segue:
)(
)()(
)(
)(
xD
xRxQ
xD
xN
Allora Q(x) ha grado q=n-d ed il resto R(x) ha grado r<d. In tutta
generalità supporremo che n<d, potendoci ridurre a questo caso.
Ci occuperemo in particolare dei casi n≤1 e d ≤2 (sempre con n<d) per
semplicità.
16
Integrazione Funzioni Razionali : denominatore di primo grado
Consideriamo integrali del tipo:
dx
bax
k
dx
bax
k
dx
a
bx
a
kdx
a
bxa
k11
ca
bx
a
kln
cbaxa
k ln
Es.
cxdx
x
dxx 5
1ln
5
2
5
1
1
5
2
15
2
17
Integrazione Funzioni Razionali Δ>0 (1)
Consideriamo ora integrali del tipo:
04con 2
2
acbdx
cbxax
qmx
))(( 21
2 xxxxacbxax
Se x1 ed x2 sono le soluzioni reali e distinte dell’eq. di 2° grado associata al
denominatore vale:
La funzione integranda viene così riscritta:
))((
1
21
2 xxxx
qmx
acbxax
qmx
Si procede poi allo sviluppo in frazioni parziali del secondo fattore:
)()())(( 2121 xx
B
xx
A
xxxx
qmx
( Il procedimento vale
anche per m=0 )
18
Integrazione Funzioni Razionali Δ>0 (2)
dx
xx
Bdx
xx
A
adx
cbxax
qmx
21
2
1
qBxAx
mBA
12
Grazie al principio di identità dei polinomi, il seguente sistema lineare permette di
trovare i valori di A e B:
))((
)(
))(( 21
12
21
12
xxxx
BxAxBAx
xxxx
BxBxAxAx
In conclusione:
cxxa
Bxx
a
A 21 lnln
19
Integrazione Funzioni Razionali Δ>0 (3)
dx
xxdx
xx )1(4
1
45
12
dx
xx 45
12
)1(4
4)(
)1(4)1(4
1
xx
BAxBA
x
B
x
A
xx
3/1
3/1
14
0
B
A
BA
BA
dxx
dxx
dxxx 1
1
4
1
3
1
45
12
cx
xcxx
3
1
4ln1ln4ln
3
1
20
Integrazione Funzioni Razionali Δ>0 (4)
dx
xx
xdx
xx
x
)1(2
1
15
2
1
12
152
dx
xx
x
12
152
)1(2
12
)(
)1(
2
1)1(
2
1
15
xx
BAxBA
x
B
x
A
xx
x
4
1
12/
5
B
A
BA
BA
dx
xdx
xdx
xx
x
1
4
2/1
1
2
1
12
152
cxx 1ln22/1ln2
1
21
Integrazione Funzioni Razionali Δ=0 (1)
Consideriamo ora integrali del tipo:
04con 2
2
acbdxcbxax
q
2
0
2 )( xxacbxax
In questo caso, se x0 é la radice doppia del denominatore abbiamo:
dxxxa
qdx
cbxax
q2
0
2 )(
1c
xxa
q
)(
1
0
Es.
dx
xx 144
32
dxx
dxx 22 )2/1(
1
4
3
)12(
13
cx
cx
24
3
)2/1(
1
4
3
22
Integrazione Funzioni Razionali Δ=0 (2)
Consideriamo ora integrali del tipo:
04con 2
2
acbdx
cbxax
qmx
(*))(
12
0
2
dx
xx
qmx
adx
cbxax
qmx
Si procede allo sviluppo in frazione parziali della funzione integranda:
2
0
0
2
0
0
0
2
0
2
0 )()(
)(
)()()( xx
BxABx
xx
xxBA
xx
B
xx
A
xx
qmx
Il seguente sistema lineare permette di determinare A e B:
qBxA
mB
0
dx
xx
B
xx
A
a )()(
1(*)
0
2
0
cxxBxx
A
a
0
0
ln)(
1
23
Integrazione Funzioni Razionali Δ=0 (3)
Es.
dx
xx
x
169
52
dx
x
x2)3/1(
5
9
1
)3/1()3/1()3/1(
522
x
B
x
A
x
x2)3/1(
)3/1(
x
xBA2)3/1(
3/1
x
BABx
3/1453/
1
ABA
B
dx
xdx
x )3/1(
1
)3/1(
3/14
9
12 cx
x
)3/1(ln
)3/1(
1
3
14
9
1
24
Integrazione Funzioni Razionali Δ=0 (4)
Un metodo alternativo consiste nel far comparire al numeratore, con opportune
trasformazioni algebriche, la derivata del denominatore:
Es.
dx
xx
x
169
52
dx
xx
x
169
)5(18
18
12
dx
xx
xdx
xx
x
169
84618
18
1
169
9018
18
122
dx
xxdx
xx
x
169
84
169
618
18
122
dx
xx
2
2
)3/1(9
184)13(ln
18
1
cx
x
)3/1(
1
9
84)13ln(
18
1 2c
xx
)3/1(
1
9
8413ln2
18
1
cx
x
)13(
1
9
1413ln
9
1
25
Integrazione Funzioni Razionali Δ<0 (1)
Consideriamo ora integrali del tipo:
04con 1 2
2
acbdxcbxax
Si deve ottenere il completamento del quadrato dei primi due termini (ax2+bx)
al denominatore e poi integrare in arcotangente.
14
1
4
124
1
2
dx
xx
4
3
2
12
12
dx
x
12
12
3
4
4
3
12
dx
x
12
12
3
2
1
3
42
dx
x
dx
x 13
1
3
4
1
3
42
3
1
3
4 xy
dxdy3
4
dy
y 4
3
1
1
3
42 cy arctan
3
3cx
3
1
3
4arctan
3
3
124
12
dxxx
dy
y 1
1
3
12
26
Integrazione Funzioni Razionali Δ<0 (2)
Consideriamo ora integrali del tipo:
04con 2
2
acbdx
cbxax
qmx
Si lavora in modo da fare comparire a numeratore la derivata del
denominatore; quello che rimane si integra in arcotangente come nel caso
precedente:
1
22
2
12
dx
xx
x
1
22
dx
xx
x
1
42
2
12
dx
xx
x
1
312
2
12
dx
xx
x
dx
xxdx
xx
x
1
13
1
12
2
122 (*)
14
1
4
1
13 1ln
2
1
2
2
dx
xx
xx
27
Integrazione Funzioni Razionali Δ<0 (3)
cx
3
1
3
2arctan
3
2
dx
x
dx
xx4
3
2
1
1
14
1
4
1
12
2
dx
x 12
1
3
2
1
3
422
dx
x 13
1
3
2
1
3
42
dxdy3
2
3
1
3
2 xy
dyy 1
1
2
3
3
42
cy)arctan(3
2
cxxx
3
1
3
2arctan
3
6 1ln
2
1(*) 2
28
Integrazione Funzioni Razionali Δ<0 (2bis)
Consideriamo ora integrali del tipo:
04con 2
2
acbdx
cbxax
qmx
Si lavora in modo da fare comparire a numeratore la derivata del
denominatore; quello che rimane si integra in arcotangente come nel caso
precedente:
13
123
3
12
dx
xx
x
13
122
dx
xx
x
13
36
3
12
dx
xx
x
13
416
3
12
dx
xx
x
dx
xxdx
xx
x
13
14-
13
16
3
122 (*)
112
1
12
13
14- 13ln
3
1
2
2
dx
xx
xx
29
Integrazione Funzioni Razionali Δ<0 (3bis)
cx
11
1
11
6arctan
11
2
dx
x
dx
xx12
11
32
13
1
112
1
12
13
12
2
dx
x 132
13
11
12
1
11
1222
dx
x 111
1
11
6
1
11
122
dxdy11
6
11
1
11
6 xy
dyy 1
1
6
11
11
122
cy)arctan(11
2
cxxx
11
1
11
6arctan
11
8- 13ln
3
1(*) 2
30
Integrazione per Parti (1)
Particolare tecnica di integrazione. Date due funzione f,g continue con derivata continua :
fg'f'g'fg '' fgf'gfgf'g'fg 'fgf'gfg
dxxgxfxgxfdxxgxf' )(')()()()()(
Applicata all’integrale del prodotto di due funzioni di cui deve essere nota, in
partenza, una primitiva di una delle due (nell’es. la f).
Spesso ci si riferisce alla f’ ( f’(x)dx ) come “fattor differenziale” ed alla g come
“fattor finito”
Nota
In alcuni casi è vantaggioso considerare anche f’=1
Es. L’integrale del logaritmo
dxx)ln( dxx
xxxdxx1
)ln()ln()1( cxxx )ln(
'fgfgf'g
31
Integrazione per Parti (2)
dxxx )cos(2
xdxxsenxxsen 2)()( 2
Es.
)cos()('
)( 2
xxf
xxg
xdxxsenxxsen )(2)( 2
dxxxxxxsen ))cos(()cos(2)( 2 cxsenxxxxsen )(2)cos(2)( 2
)()('
)(
xsenxf
xxg
In generale si usa [ P(x) polinomio ] :
dxxhxP )()(
axe
bxsen
bx
xhxf
xPxg
)(
)cos(
)()('
)()(
dxxlxh )()(La scelta di f’ e g è
indifferente
ax
ax
ebxbxsenxl
ebxbxsenxh
),cos(),()(
),cos(),()(
)()('
)arctan(
)ln()()(
xPxf
x
xxhxg
32
Integrazione per Parti (3)
dxex x2
dxexexsen xx )cos()(
Es.
xexf
xxg
)('
)( 2
xdxexe xx 22
cxxex )22( 2
Es. dxexsen x)(
xexf
xsenxg
)('
)()(
dxexsenexexsen xxx )()cos()(
dxexsenexexsen xxx )()cos()( xxx exexsendxexsen )cos()()(2
c
xxsenedxexsen
xx
2
)cos()()(
dxexexe xxx 22 cexexe xxx 222
33
Integrazione per Parti (4)
dxxsen )(2
dxxxxsenx )cos())cos(()()cos(
Es.
)()('
)()(
xsenxf
xsenxg
dxxxsenx )(cos)()cos( 2
dxxsenxxsenxdxxsenxsenx )()()cos())(1()()cos( 22
)()cos()(2 2 xsenxxdxxsen cxsenxx
dxxsen
2
)()cos()(2
Alternativa:
dxxsen )(2
dxx
2
)2cos(1 dxxx )2cos(
2
1
2
1 c
xsenx
2
)2(
2
1
2
1
cxsen
x4
)2(
2
1
Integrazione per Parti (5)
dxx)(cos2
dxxsenxsenxxsen ))()(()cos()(
Es.
)cos()('
)cos()(
xxf
xxg
dxxsenxxsen )()cos()( 2
dxxxxxsendxxxxsen )(cos)cos()())(cos1()cos()( 22
)cos()()(cos2 2 xxsenxdxx cxsenxx
dxx
2
)()cos()(cos2
Es. dxxsendxx ))(1()(cos 22
cxxsenx
cxxsenx
x
2
)cos()(
2
)cos()(
dxx)(cos2....
2
)2cos(1
dx
xEs.
cxsen
x4
)2(
2
1
Integrazione per Parti (6)
dxxCh )(2
dxxShxShxChxSh )()()()(
Es.
)()('
)()(
xChxf
xChxg
dxxShxChxSh )()()( 2
cxxChxSh
dxxCh
2
)()()(2
dxxChxChxSh 1)()()( 2 dxxChxxChxSh )()()( 2
dxxSh )(2
dxxChxChxShxCh )()()()(
Es.
)()('
)()(
xShxf
xShxg
dxxChxShxCh )()()( 2
cxxChxSh
dxxSh
2
)()()(2
dxxShxShxCh 1)()()( 2 dxxShxxShxCh )()()( 2
36
Integrazione per Sostituzione (1)
E’ la tecnica più difficile e generale. Per applicarla bisogna infatti sostituire
nell’integrale indefinito alla variabile x un’altra funzione con l’obiettivo non di
risolvere immediatamente il calcolo ma di semplificarlo.
dttgtgfdxxf )('))(()(
È necessario alla fine del calcolo dell’integrale a secondo membro (nella
variabile t) ritornare alla valutazione dell’integrale a primo membro (nella
variabile x) mediante l’inversione della relazione x=g(t). Perciò, più
precisamente, la relazione precedente diventa:
dttgdx
tgx
)('
)(
)(1)('))(()(
xgtdttgtgfdxxf
37
Integrazione per Sostituzione: applicazioni simili al cambiamento di variabile (2)
Es.
dx
e
eex
xx
12
2
t
dtdxdxedt
et
x
x
Tipologia dxeF ax)(
t
dt
t
tt
12
2
dt
t
t
1
12
dt
t
t
1
12
dtt
dtt
t
1
1
1 22
)arctan(
1
2
2
12
tdtt
t
xet
ctt )arctan(1ln2
1 2 cee xx )arctan(1ln2
1 2
Sostituzione
ta
dtdxdxaedt
et
ax
ax
(F : funzione razionale)
38
Integrazione per Sostituzione: applicazioni simili al cambiamento di variabile (3)
Es.
dx
x
x
3
35
tdtdxdxx
dt
xt
232
1
3
Tipologia dxbaxxF ),(
tdtt
t2
5
dtt)5(2 cxxct
txt
2
3
2
33102
52
cxx 310
Sostituzione:
dta
tdxdx
bax
adt
baxt
2
2
F funzione razionale
39
Integrazione per Sostituzione: applicazioni simili al cambiamento di variabile (4)
Es.
dxx
xsenx
)(cos
)())cos(3(2
dxxsendt
xt
)(
)cos(
Tipologia dxbxbxsenF ))cos(),((
cxx
)cos(ln)cos(
3
ctt
dtt
tln
3)(
)3(2
dtt
dxdxtdxxsendt
xt
2
2
1
11)(
)cos(
Sostituzione :
F funzione razionale
40
Integrazione per Sostituzione: applicazioni simili al cambiamento di variabile (4)
Es.
dxex 1
dtt
tdxdx
t
tdx
e
edt
et
x
x
x
1
2
2
1
12
1
2
2
dtt
tdt
t
ttdxex
1
2
1
21
2
2
2
cee xx )1arctan(212
cttdt
tdtdt
t
t)arctan(22
1
122
1
112
22
2
41
Integrazione per Sostituzione: Esempi particolari (0)
dxx21
dttsendx
tx
)(
)cos(
dxx21
dttChdx
tShx
)(
)(
dxx 12
dttShdx
tChx
)(
)(
42
Integrazione per Sostituzione: Esempi particolari (1)
Es.
dttsent ))(()(cos1 2
dttdx
tsenx
)cos(
)(
dxx21
dttsendttsentsen )())()(( 2
cxxxsen
cttsent
xt
2
)arccos())(arccos(
2
)cos()()arccos(
cxxx
2
)arccos(1(*)
2
Se effettuo la sostituzione
dttsendx
tx
)(
)cos(
cxarcsenxx
2
)(1 2
:(x))sen(arccos (*) )arccos(xy 22 1)(cos1)()cos( xyysenxy
43
Integrazione per Sostituzione: Esempi particolari (2)
Es.
dttChtSh )( )(1 2
dxx21
dttChdttChtCh )())()(( 2
cxSettShxx
cttChtSh
xSettSht
2
)(1(*)
2
)()( 2
)(
dttChdx
tShx
)(
)(
1ln:)( 2 xxxSettSh
:x))Ch(SettSh( (*) )(xSettShy 22 1)(1)()( xyShyChxySh
44
Integrazione per Sostituzione: Esempi particolari (3)
Es.
dttShtCh )( 1)(2
dxx 12
dttShdttShtSh )())()(( 2
cxSettChxx
cttChtSh
xSettCht
2
)(1(*)
2
)()( 2
)(
dttShdx
tChx
)(
)(
1ln:)( 2 xxxSettCh
:x))Sh(SettCh( (*) )(xSettChy 11)()()( 22 xyChyShxyCh
45
Integrazione per Sostituzione: Esempi particolari (4)
c )(1
1
2
xarcsendx
x
cxxxSettShdxx
2
21lnc )(
1
1
cxxxSettChdxx
1lnc )(1
1 2
2
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