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Introduction aucalcul quantiqueIntroduction au
calcul quantique
Frédéric MagniezCNRS - LRI
Groupe quantique du LRIhttp://www.lri.fr/quantum
2
Vers la nanotechnologie
Taille des composants
Nombre des composants
Vitesse
Gordon Moore 1965
Empêcher ou utiliser les phénomènes quantiques ?
Limitation théorique atteinte en 2020 !!!
Apparition de phénomènes quantiques...
3
Le photon
Caractéristiques :
• la direction,
• la longueur d’onde,
• la polarisation.
4
Filtre polarisant
?
Sortie d’un filtre polarisant :
Lumière polarisée selon la direction du filtre.
Lumière orthogonale au filtre ne passe pas.
5
Jouons avec les photons
50%
50%
• Polarisation verticale : Photon jamais détecté.• Polarisation horizontale : Photon toujours détecté.• Polarisation diagonale : Photon détecté 1 fois sur 2 !
Polarisation diagonale = Mélange statistique ?
100 %
Polarisation diagonale = superposition quantique ...
6
Superposition quantique
)
Etat polarisation : superposition
Filtre : mesure
Mesuredétecté
non détécté
L’observation perturbe le système
θcos2θ
sin2θ
→
↑
θ
7
Evolution quantique
Transformations qui préservent la superposition ?
Condition nécessaire : isométrie
Une isométrie : la lame demi-onde
Symétrie orthogonale autour de son axe
Transformations orthogonales :telle que
Orthogonale Réversible⇒
G ∈O(2)
G ∈R2×2 tGG=Id
8
Le qubit
Bit classique : élément déterministe
Bit probabiliste : distribution probabiliste
Bit quantique : superposition quantique
b∈ 0,1{ }
d =(p,q) avec p,q∈ 0,1[ ] tq p+q=1
ψ ∈C 0,1{ } tq ψ =1
ψ =α 0 +β1 avec α 2
+β 2
=1
0 = → et 1 = ↑
9
Evolution du qubit
Transformations unitaires :
G
Unitaire Réversible :⇒
G*
G ∈U(2)
G ∈C2×2 tq G*G =Id
ψ ′ ψ =Gψ
′ ψ =Gψ ψ
Mesure : Lire et Modifier
Mesureα 0 +β11
0α
2
β 2
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Un premier exemple
Le problèmeEntrée :
Sortie : 0 ssi f est constante f : 1,K ,N{ }→ 0,1{ } soit constante, soit balancée
Complexité en requêtes
Contrainte : f est une boîte noire
Déterministe : 1+N/2 requêtes
Quantique : 1 requête
f(3) = ?
f(3) = 1
11
Solution quantique (N=2)
Implémentation de f
Sfb −1( )f(b)
bα 0 +β1 (−1) f(0)α 0 + −1( )f (1)
β 1
Attention : n’est pas nécessairement réversible ! xa f (x)
Circuit quantique
0 H Sf MesureH ?
Porte Hadamard : lame demi-onde à 22,5°
Hb12
0 + −1( )b1( )
12
Analyse (N=2)
0 H Sf MesureH ?
Initialisation : 0
0 +1( )/ 2Parallélisation :
Appel de la fonction : −1( )f (0)
0 + −1( )f(1)
1( )/ 2
Interférences : −1( )f (0)
0 +1( )+ −1( )f(1)
0 −1( )( )/2
−1( )f (0)
+ −1( )f (1)
( )0 + −1( )f (0)
− −1( )f(1)
( )1( )/2Au final :
f constante 0
f non constante 1
H Mesure0
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Systèmes à 2-qubit
Définition : ψ ∈C 0,1{ }2
tq ψ =1
ψ =α 00 +β 01+γ 10 +δ11 avec α 2
+β 2
+γ2
+δ2=1
C 0,1{ }2
=C 0,1{ } ⊗C 0,1{ } mais 00 + 01 = 0 ⊗ 0 +1( )
00 +11 ≠ψ 1 ⊗ ψ 2
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
Transformations unitaires : ψ a Gψ avec G ∈U(4)
MesureMesureαx x
x∈0,1{ }2∑ x
αx
2
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Le problème des cadenas
Le problèmeEntrée :Sortie :
f : 1,K ,N{ }→ 0,1{ } telle que ∃!x0; f(x0) =1
Contrainte : f est une boîte noire
Complexité en requêtes Probabiliste : (N) requêtesQuantique : ( N) requêtes
x0
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Remarques préliminaires
Implémentation de f
Sfαxx∑ x
Double porte Hadamard
Hx1 0 + −1( )x1 1( )/ 2
αxx∑ x −2αx0x0
Hx2 0 + −1( )x2 1( )/ 2
Hx = x1x2
H−1( )
x•y
y∑ y( )/ 2
avec x•y=x1y1 +x2y2 mod 2
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Solution quantique (N=4)
0 HSδ0
H?
0 H H
Initialisation : 00
00 + 01+10 +11( )/ 2Parallélisation :
Appel de f : −1( )f( x)
xx∑( ) /2= x
x∑( )/ 2− x0
Interférences : 00 − −1( )x0•y
y∑ y( )/ 2
Sf
H
H
Appel de :0
Regroupement :
−00 − −1( )x0•y
y∑ y −200( )/2=−H ⊗ H x0
−x0
Mesure0
0
H
H
H
H
H
HMesure x0
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Analyse géométrique
sinθ( ) = 1N
Plan=VectR x0 , ψ 0( )
S
x0⊥ oSψ 0
=R2θ
x0
ψ 0 = 1N Σ xx0
⊥
θ
Sx0
⊥ =Sf
Sψ 0
=−H⊗n
oSδ0oH⊗n
ψ1
ψ 2
ψ3
G =−Sf oH oSδ0
oH
T ≈π4
N itérations de G
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Transformée de Fourier quantique
QFTnH
H
H
M M M
QFTn x =1
2n/ 2 −1( )x•y
y∑ y
avec x•y= xiyi mod 2i∑
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Un peu de théorie
f : 0,1{ }n→ CToute fonction se décompose dans
δx( )x∈0,1{ }n : f = f(x)δx .x∑
χy( )y∈ 0,1{ }n , avec χy(x) = −1( )
x•y .
La base de Dirac :
La base de Fourier :
f =12n
ˆ f (y)χyy∑ , avec ̂ f (y)= χy(x) f(x) .
x∑
Transformée de Fourier discrète
Analogue quantique f : 0,1{ }n→ C tq f 2 =1
f = f(x) x QFTn ⏐ → ⏐ ⏐x∑ QFTn f =
12n/2
ˆ f (y) yy∑ .
Remarque : Implémentation efficace de QFT !
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Le problème de Simon
Le problèmeEntrée :
Sortie : s
f : 0,1{ }n → 0,1{ }
n tq ∃!s∈ 0,1{ }n, s≠0n ,
f (x) = f(y) ⇔ (x =y ou x=y⊕ s) .
Complexité en requêtes
Contrainte : f est une boîte noire
Probabiliste : requêtes
Quantique : O(n) requêtes
Ω 2n/4( )
Idée : utiliser QFT pour rechercher la période s.
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Solution quantique0n
U f
Mesure ?
Initialisation : 0n 0n
x 0n∑ /2n/2Parallélisation :
Appel de la fonction : x f(x) /2n/ 2∑Interférences :
Au final :
y ∈s⊥Mesure0n QFTn QFTn
−1( )x•y
y f(x) / 2n∑−1( )
x•y+ −1( )
x⊕s( )•y( ) y f (x) /2n∑−1( )
x•y1+ −1( )
s•y( ) y f(x) /2n∑
−1( )x•y
y f(x) / 2n−1
y : s•y=0∑
0n0n
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Retrouver la période
Après n itérations : sont observés y1,y2,K ,yn ∈s⊥
Avec probabilité (1) : sont de rang (n-1) y1,y2,K ,yn
Résoudre le système :
y1 •t =0
y2 •t =0
M
yn •t =0
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
Solutions : et !0n s
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GénéralisationGroupe abélien G quelconque
Il existe un circuit quantique polynomial en ln|G| qui trouve la période d’une fonction quelconque sur G.
FactorisationEntrée : n NSortie : un diviseur non trivial de n
Calcul de l’ordre d’un élémentEntrée : n,a NSortie : le plus petit entier q tq aq =1 mod n
Réduction : Factorisation Calcul de l’ordre≤RVérifier PGCD(a,n)=1
aq/2 =-1 mod naq/2 −1( ) aq/ 2 +1( ) =0 mod n
PGCD aq/ 2 ±1,n( )
Calculer l’ordre q de a mod nRecommencer si q impair ou SinonRenvoyer
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Principales applications
• Cryptographie– Protocole de distribution de clés secrêtes [Bennett, Brassard 84]
Implémentation : ~ 100 km
• Information quantique– Téléportation [B, B, Crépeau, Jozsa, Peres, Wooters 93]
Réalisation [Bouwmeester, Pan, Mattle, Eibl, Weinfurter, Zeilinger 97]
• Algorithmique– Factorisation, logarithme discret, ... [Shor 94]
– Recherche [Grover 96]Nb qubits ? 1995 : 2, 1998 : 3, 2000 : 5 [Chuang (IBM)] - 7 [Los Alamos]
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A suivre...• Problèmes ouverts
– problème des collisions
– isomorphisme de graphes– classes de complexité quantique
• Lienshttp://www.lri.fr/quantum
• Stages, thèseshttp://www.lri.fr/algo/stages
Classique Quantique
Plusieurs collisions
Unique collision Θ N( )
Θ N( ) Ω N4( )−Ο N3( )
Ω N( )−Ο N3/4( )
f : 1,K ,N{ }→ 1,K ,N{ }
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