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Kapitel 9Fuzzy-Regelung

29. Juni 2005

kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno

Plan

I Klarung der prinzipiellen Unterschiede zwischen derklassischen Regelungstechnik, und der Fuzzy-Regelung,

I Vorstellen von zwei intuitiv motivierte Methoden derFuzzy-Regelung,

I einzelnen Schritte des Entwurfs und Probleme, die bei Entwurfund Optimierung eines Fuzzy-Reglers auftreten konnen,

I Entwicklung eines Fuzzy-Reglers, dem eine saubere Semantikauf der Basis von Gleichheitsrelationen zugrundeliegt. Es stelltsich heraus, daß dadurch einer der intuitiv motiviertenFuzzy-Regler auf einer formalen Basis hergeleitet werden kann.

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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno

Allgemeiner Ansatz

I Methoden der Fuzzy-Regelung werden anhand eines sehrvereinfachten Modells einer Regelstrecke vorgestellt,

I Fuzzy-Regelung wird als Moglichkeit aufgefaßt, nichtlineareKennfeldregler zu definieren, wobei die nichtlineareUbertragungsfunktion definiert werden kann, ohne jedeneinzelnen Wert des Kennfeldes angeben zu mussen,

I Entwicklung entspricht einer Art wissenbasierter Interpolation.

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Modell eines regelungstechnischen Problems

I gegeben: technisches System (z.B. Motor, Klimaanlage)

I wir schreiben ein gewunschtes Verhalten vor (z.B. bestimmteDrehzahl, Raumtemperatur)

I Ausgangsgroße: eine Große, die sich im Laufe der Zeitverandern kann, die auf einen vorgegebenen Sollwerteingestellt werden soll (Drehzahl, Raumtemperatur),

I Ausgangsgroße wird durch eine Stellgroße, die wir regulierenkonnen, beeinflußt ( Stromzufuhr, Gaspedal, Große derOffnung des Thermostatventils),

I Storgroßen, die ebenfalls einen Einfluß auf die Ausgangsgroßeausuben und sich im Zeitverlauf andern konnen (Beladung,Außentemperatur, Sonneneinstrahlung durch ein Fenster).

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Meßwerte

I der aktuelle Stellwert wird auf der Basis der aktuellenMeßwerte fur die Ausgangsgroße ξ und fur die Anderung derAusgangsgroße M ξ = dξ

dt bestimmt,

I Wird die Ausgangsgroße in diskreten Zeittakten gemessen,setzt man M ξtn+1 = ξtn+1 − ξtn , so daß M ξ nicht zusatzlichgemessen werden muß.

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Stabbalance-Problem

F

g

M

m

θ

F Kraft

M punktformige Masse

m punktformige Masse

g Erdbeschleunigung

θ Neigungswinkel

1

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Meßgroßen und Stellgroße

Meßgroßen Winkel θ und Winkelgeschwindigkeit θ = dθdt ,

Ausgangsgroße Winkel relativ zur vertikalen Achse,

Stellgroße Kraft F .

Eine negative Winkelgeschwindigkeit entspricht einer Bewegungdes Stabes im Uhrzeigersinn.

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Bezeichnungen

I i.A. wird nicht nur ξ und ξ gemessen, sondern auch hohereAbleitungen von ξ oder weitere Großen,

I aktuelle Stellgroße darf als weitere Meßgroße verwendetwerden,

I Meßgroßen bzw. Eingabegroßen ξ1, . . . , ξn mit Werten aus Xi

und eine”Stellgroße“ η mit Werten aus Y

I Losung der regelungstechnischen Aufgabe: Bestimmung einergeeigneten Kontrollfunktion

ϕ : X1 × . . .× Xn → Y mit: (x1, . . . , xn) 7→ y

x1, . . . , xn– Meßwerte, y– Stellwert

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Fortsetzung– Stabbalance-Problem

X1 = [−90, 90] fur den Winkel (in Grad),X2 = [−45, 45] fur die Winkelgeschwindigkeit (in Grad proSekunde)Y = [−10, 10] fur die Kraft (in Newton)

I klassisch wird ϕ oft als Losung von Differentialgleichungenermittelt,

(M+m)sin2θ·l ·θ+m·l ·sinθ·cosθ·θ2−(m+M)·g ·sinθ = −F ·cosθ

F (t) muß so bestimmt werden, daß limt→∞{θ(t)} = 0 und θgeeigneten Verlauf hat.

I dazu muß die Gleichung ein gutes Modell der Realitat sein,d.h. man braucht physikalische Kenntnisse uber den Prozeß!

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Alternative

I ein Mensch kann Fahrrad fahren, ohne uberhaupt zu wissen,was Differentialgleichungen sind,

I bei der klassischen regelungstechnischen Methode wird derProzeß modelliert,

I stattdessen soll das Verhalten eines Menschen, der diesenProzeß regeln kann, zu modelliert und zu simuliert werden.

I Das Aufstellen eines Modells fur das Verhalten einesmenschlichen

”Regelungsexperten “heißt kognitive Analyse

I der Experte formuliert sein Wissen in Form von linguistischenRegeln.

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Fuzzy IF-THEN-Regeln

Wenn θ ungefahr Null und θ ebenfalls ungefahr Null ist,dann muß auch F ungefahr Null sein.

I Pramisse beschreibt eine Situation in Form einer (unscharfen)Spezifikation der Werte der Meßgroßen, Konklusion gibt einengeeigneten (unscharfen) Stellwert fur diese Situation,

I eine automatisierte Regelung erfordert aber, daß beigegebenen scharfen Werten fur die Meßgroßen ein geeigneterscharfer Wert fur die Stellgroße berechnet wird.

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Architektur eines Fuzzy-Reglers

fuzzy fuzzy

Meß-

werte

nicht

fuzzy

nicht

fuzzy

Regler-

ausgabe

Wissens-

basis

Fuzzyfikations-

interface

Defuzzyfikations-

interface

Entscheidungs-

logik

geregeltes-

System

1

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Komponenten eines Fuzzy-Reglers

I Fuzzifizierungs-Interface nimmt den Meßwert auf,transformiert ihn gegebenenfalls in einen geeignetenWertebereich (Skalierung), umwandeln des Meßwertes ineinen linguistischen Term oder eine Fuzzy-Menge,

I Wissensbasis beinhaltet zum einen Informationen uber dieWertebereiche der Meß- und Stellgroßen, eventuelleNormierungen und die zu den linguistischen Termenassoziierten Fuzzy-Mengen (Datenbasis), enthalt eine(Fuzzy-)Regelbasis,

I Entscheidungslogik aus den Meßgroßen werden mit Hilfe derWissensbasis Informationen uber die Stellgroße gewonnen,

I Defuzzifizierungs-Interface bestimmt aus den gewonnenenInformationen uber die Stellgroße einen scharfen Stellwert.

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Partitionierung

I Experte formuliert sein Wissen in Form von linguistischenRegeln,

I linguistische Terme werden festgelegt: jede der MengenX1, . . . ,Xn und Y wird mit Hilfe von Fuzzy-Mengen

”partitioniert“,

I auf X1 definiert man p1 verschiedene Fuzzy-Mengen

µ(1)1 , . . . µ

(1)p1 ∈ F(X1) und assoziiert jede dieser Fuzzy-Mengen

mit einem linguistischen Term (negativ klein, negativ mittel,ungefahr Null)

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Partitionierung auf R

Falls X1 = [a, b] ⊂ R,”im Inneren“oft Dreiecksfunktionen:

µx0,ε(x) = 1−min{ε · |x − x0|}

”am linken Rand“

µ(1)1 (x) =

{1, falls x ≤ x1;

1−min{ε · (x − x1), 1}, sonst.

”am rechten Rand“

µ(1)p1 (x) =

{1, falls xp1 ≤ x ;

1−min{ε · (xp1 − x), 1}, sonst.

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Partitionierung

I linguistische Terme wie”ungefahr Null“,

”positiv klein“

konnen, bezogen auf die Meßgroße ξ1, durchaus etwas anderesbedeuten als fur die Meßgroße ξ2

I Dreiecksfunktionen werden vor allem deswegen verwendet,weil die innerhalb des Fuzzy- Reglers durchzufuhrendenBerechnungen bei stuckweise linearen Funktionen sehr einfachwerden

I haufig werden die Fuzzy-Mengen so gewahlt, daß sie derDisjunktheitsforderung

i 6= j ⇒ sup{min{µ(1)i (x), µ

(1)j (x)}} ≤ 0.5.

entsprechen.

I entsprechende Partitionierung µ1, . . . µp ∈ F(Y ) wird auchfur Y vorgenommen.

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Partitionierung Stabbalance

-90 negativ mittel ungefahr Null positiv mittel 90

negativ groß negativ klein positiv klein positiv groß

1

0.5

1

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Partitionierung Stabbalance

I fur X1 wie Abbildung, Dreiecke haben eine Breite von 45 (einViertel des Grundbereichs),

I fur X2 (Winkelgeschwindigkeit) Tragermengen mit eine Breitevon 22.5,

I fur Y = [−10, 10] Tragermengen der Fuzzy-Mengen mit einerBreite von 5

Die Partitionierungen und zugohrigen linguistischen Terme bildendie Datenbasis

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Regelbasis

I Regelbasis besteht aus k Kontrollregeln der Form

if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η is B | (r = 1, . . . , k).

I Ai1,r , . . . ,Ain,r und B sind linguistische Terme, die den

Fuzzy-Mengen µ(1)i1,r

, . . . µ(n)in,r

bzw. µir gemaß denPartitionierungen der Mengen X1, . . . ,Xn bzw. Y entsprechen

I Kontrollregeln werden beim Ansatze von Mamdani nicht alsImplikationen, sondern im Sinne einer stuckweise definiertenFunktion verstanden werden.

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Regelbasis Stabbalance

θ

θ

ng nm nk uN pk pm pg

ng pk pgnm pmnk nm nk pkuN ng nm nk uN pk pm pgpk nk pk pmpm nmpg ng nk

if θ is ungefahr Null and θ is negativ mittelthen F is positiv mittel.

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Entscheidungslogik

I zunachst wird jede Regel Rr einzeln ausgewertet,

if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η is B

I man bestimmt den Erfullungs- oder Akzeptanzgrad zu demdie Pramisse bei vorgegebenen Meßwert erfullt ist, furj = 1, . . . n berechnet man µ(j)(xj), d.h. wie gut xj demlingustischen Term von µ(j) entspricht

I da (x1, . . . , xn) die Terme Ai1,r , . . . Ain,r erfullen soll, mussen

die Werte µ(j)ij,r

(xj) konjunktiv verknupft werden,

αr := min{µ(1)i1,r

(x1) . . . µ(n)in,r

(xn)}

αr gibt den Erfullungsgrad der Regel Rr an.

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Ausgabe

I als Ausgabe von Rr ergibt sich die Fuzzy-Menge vonStellwerten, die man durch

”Abschneiden“ der Fuzzy-Menge

µir der Regel Rr beim Grad αr

I zu jedem moglichen Stellwert y berechnen wir:

µoutput(Rr )x1...,xn (y) = min{µ(1)

i1,r(x1) . . . µ

(n)in,r

(xn), µir (y)}

I falls µ(1)i1,r

(x1) = . . . = µ(n)in,r

(xn) = 1, folgt

µoutput(Rr )x1...,xn (y) = µir (y),

falls fur ein j gilt µ(j)ij,r

(xj) = 0 dann folgt µoutput(Rr )x1...,xn (y) = 0.

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Output-Stabbalance I

I Sei θ = 36◦, (θ) = −2.25◦ · s−1.

I Es gibt nur zwei Regeln, fur die der Wert αr nicht Null wird,namlich:

R1 if θ is positiv klein and ˙theta is ungefahr Null then Fis positiv klein, und

R2 if θ is positiv mittel and ˙theta is ungefahr Null thenF is positiv mittel.

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Output-Stabbalance I

αr = 0.4 = min{0.4, 0.8} und wir erhalten:

µoutput(R1)36,−2.25 (y) =

25 · y , falls 0 ≤ y ≤ 1,

0.4, falls 1 ≤ y ≤ 4,

2− 25 · y falls 4 ≤ y ≤ 5,

0, sonst.

αr = 0.6 = min{0.6, 0.8} und wir erhalten:

µoutput(R2)36,−2.25 (y) =

25 · y − 1, falls 2.5 ≤ y ≤ 4,

0.6, falls 4 ≤ y ≤ 6,

3− 25 · y falls 6 ≤ y ≤ 7.5,

0, sonst.

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Auswertung der Regel R1

22.5 36 450

positiv klein

Winkel θ

0.4

1

-11.5 -2.25 11.25

θ

ungefahr Null

Winkelgeschwindigkeit

0.4

1

0 2.5 5

positiv klein

Kraft F

0.4

1

Auswertung der Regel R2

4536 67.522.5

positiv klein

0.6

1

-11.5 -2.25 11.25

θ

ungefahr Null

1

2.5 5 7.5

F

positiv klein

0.4

1 1

1

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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno

Auswertung

I Fuzzy-Mengen, die aus der Auswertung der anderen Regelnkommen, brauchen nicht berucksichtigt zu werden,

I nachdem die Entscheidungslogik jede einzelne Regelausgewertet hat, mussen die Ergebnis-Fuzzy-Mengen mittelsMaximumbildung zu einer Fuzzy-Menge zusammengesetztwerden

I µx1...,xn(y) = maxr=1,...k{min{µ(1)i1,r

(x1) . . . µ(n)in,r

(xn), µir (y)}}I diese Fuzzy-Menge geht an das Defuzzyfizierungs-Interface.

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Die Fuzzy-Menge µoutput36,−2.25

0.4

0.6

1

1 3.5 4 6 7.5

1

I Entscheidungslogik berechnet keinen scharfen Stellwert,sondern beschreibt den Stellwert nur in Form einerFuzzy-Menge

I Aufgabe des Defuzzifizierungs- Interface ist es, aus derFuzzy-Menge µoutput fur jedes x1, ..., xn einen scharfenStellwert y zu gewinnen:

”defuzzifizieren“ .

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Max-Kriterium-Methode

I es wird ein beliebiger Wert y ∈ Y ausgewahlt, fur den dieFuzzy-Menge µoutput

x1,...,xn ihren maximalen Zugehorigkeitsgradannimmt, (im Beispiel y ∈ [4, 6])

I Vorteil: Methode ist auch anwendbar, wenn Y eine keineTeilmenge der reellen Zahlen ist,

I Nachteil: das Verhalten des Fuzzy-Reglers istnicht-deterministisch, kann sehr sprunghaft sein.

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Mean-of-Maxima-Methode (MOM)

Y muß ein Intervall sein,

Max(µoutputx1...,xn

) = {y ∈ Y | ∀y ′ ∈ Y : µoutputx1...,xn

(y ′) ≤ µoutputx1...,xn

(y)}

muß nicht leer und (Borel-)meßbar sein.

η =1∣∣Max(µoutputx1...,xn)

∣∣ · ∑y∈Max(µoutput

x1...,xn )

y

η =1∫

y∈Max(µoutputx1...,xn ) dy

·∫

y∈Max(µoutputx1...,xn )

ydy

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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno

Beispiel

Fuzzy-Regler soll ein Modellauto so lenken, daß es Hindernissenautomatisch ausweicht. Ergebnis der Entscheidungslogik beiHindernis genau in Fahrtrichtung

1

Weiche nach links oder nach rechts aus

1

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Mean-of-Maxima-Methode (MOM)

I nicht unbedingt η ∈ Max(µoutputx1...,xn),

I fuhrt (bei Dreiecksfunktionen auf Y ) zu einem unstetigemVerlauf der Stellgroße.

I oft wird Max(µoutputx1...,xn) durch die Fuzzy-Menge µir bestimmt,

bei der der Erfullungsgrad der Pramisse von Rr am großten ist,

I Max(µoutputx1...,xn) ist dann ein symmetrisches Intervall um den

Punkt yir , bei dem µir den Wert 1 hat,

I erreicht eine andere Regel Rs hohere Prioritat pendelt andertsich das Verhalten sprunghaft zu yis .

I ruckartige Anderungen in der Regelstrecke und starkeBelastung der Stelleinrichtung sind die Folge

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Schwerpunktsmethode (Centre-of-Gravity-Methode, COG)

I Voraussetzungen wie bei MOM,

I η berechnet sich als Wert, der unter dem Schwerpunkt derdurch µoutput

x1...,xn und der y-Achse begrenzten Flache liegt,

η =1∫

y∈Y µoutputx1...,xn(y)dy

·∫

y∈Yy · ∈ µoutput

x1...,xn(y)dy

I Vorteil: fast immer ein relativ glattes Regelverhalten,

I Nachteile: Schwerpunktsbildung ist formal aus der Sicht derTheorie der Fuzzy-Mengen kaum zu rechtfertigen, ist sehraufwendig zu berechnen, Anomalien konnen trotzdemauftreten.

I heißt auch Centre-of-Area-Methode (COA)

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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno

Beispiel

Defuzzyfizierung fur Stabbalance mit Mittelwerts- undSchwerpunktmethode

0.4

0.6

1

1 3.5 4 6 7.5

COG MOM

1

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Konvexe Fuzzy-Mengen

I Anomalie bei Defuzzyfizierung mit MOM oder CGA tritt beikonvexen Fuzzy-Mengen nicht auf,

I Konvexe Fuzzy-Mengen konnen als Reprasentation eineseinzelnen (unscharfen)Wertes oder Intervalls aufgefaßt werden,

I manchmal sind aber zwei gegensatzliche Kontrollaktionenplausibel,

I die Kontrollregeln beschreiben in diesem Fall einnicht-deterministisches Verhalten des Kontrollexperten, dersich zwischen zwei Alternativen (z.B. nach links oder nachrechts auszuweichen) entscheiden kann

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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno

Defuzzifizierung

(i) Umwandlung einer Fuzzy-Menge in scharfe Werte,

(ii) Auswahl einer Aktion unter mehreren Kontrollaktionen.

I falls die zu defuzzifizierende Fuzzy-Menge einen einzelnen(unscharfen) Stellwert reprasentiert, entfallt (ii),

I falls die Fuzzy-Menge aber eine Menge mit mehrerenElementen darstellt, mussen die Aufgaben (i) und (ii)durchgefuhrt werden, wobei die Reihenfolge beachtet werdenmuß,

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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno

Defuzzifizierung

I zuerst (ii): bestimmen eine (Teil-)Fuzzy-Menge aus µoutputx1...,xn ,

die nur ein Element wiedergibt und defuzzyfizieren diese (z.B.mit MOM oder COG),

I zuerst (i), wir erhalten eine mehrelementige Menge moglicherWerte und wahlen danach einen beliebigen Wert aus

I Ausweg: Kontrollregeln so formulieren, daß sie einendeterministischen Kontrollexperten modellieren,

I bessere Zuverlassigkeit und Vorhersagbarkeit,

I formal: bei der Spezifikation der Regeln werden keineRelationen R ∈ ((X1 × ...× Xn)× Y ) beschrieben, sondernsich auf eine Funktion ϕ : X1 × ...× Xn → Y

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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno

Der Unterschied

I ist eine Modifizierung des Ansatzes von Mamdani,

I die Mengen X1, . . . Xn fur die Meßgroßen werden wie beiMamdani durch Fuzzy-Mengen partitioniert,

I die moglichen Stellwerte Y werden nicht partitioniert,

I Regelbasis besteht aus k Kontrollregeln der Form

if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η = fr (ξ1 . . . ξn)

I f : X1 × ...× Xn → Y , meist linear: fr (x1, . . . , xn) =∑

a(r)i xi

η(ξ1 . . . ξn) =

∑i=1,.k αr · fr (ξ1 . . . ξn)∑

i=1,.k αr

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Tagaki-Sugeno

I die mit den Erfuullungsgraden der Pramissen gewichteteSumme der Ausgabewerte der einzelnen Regeln wird alsStellwert verwendet,

I eine Defuzzifizierung ist daher beim Sugeno-Regler nichtnotwendig.

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