Experimentelle Identifikation und nichtlineare Regelung

Experimentelle Identifikation und nichtlineare Regelung eines einachsigen servohydraulischen Antriebs

Jan Ulrich Gücker

Die vorliegende Arbeit wurde vom Fachbereich Maschinenbau der Universität Kassel als Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) angenommen. Erster Gutachter: Prof. Dr. H. Hahn Zweiter Gutachter: Prof. Dr. A. Matzenmiller Tag der mündlichen Prüfung 1. März 2005 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar Zugl.: Kassel, Univ., Diss. 2005 ISBN-10: 3-89958-185-7 ISBN-13: 978-3-89958-185-0 URN urn:nbn:de:0002-1859 © 2006, kassel university press GmbH, Kassel www.upress.uni-kassel.de Umschlaggestaltung: 5 Büro für Gestaltung, Kassel Druck und Verarbeitung: Unidruckerei der Universität Kassel Printed in Germany

Vorwort

Diese Dissertation entstand in den Jahren 1996 bis 2000 im Rahmen meiner Tatigkeit im Fach-gebiet Regelungstechnik und Systemdynamik des Fachbereichs Maschinenbau der Universitat–Gesamthochschule Kassel.

Mein besonderer Dank gilt in diesem Zusammenhang dem Leiter des Fachgebiets, Herrn Prof.Dr. rer. nat. H. Hahn. Er hatte die Idee zur vorliegenden Arbeit und hat daruberhinaus durchzahlreiche Anregungen, Diskussionen und wertvolle Hinweise das Gelingen der Arbeit ermoglicht.

Herrn Prof. Dr.–Ing. A. Matzenmiller danke ich sehr herzlich fur die Ubernahme des Korreferats.Den Professoren Dr.–Ing. M. Link und Dr. rer. nat. W.–J. Becker danke ich fur die Beteiligungam Promotionsverfahren.

Außerdem danke ich der Deutschen Forschungsgemeinschaft DFG fur die Forderung der Disser-tation im Rahmen des Graduiertenkollegs ”Identifikation von System- und Materialeigenschaf-ten”.

Zusatzlich gilt mein Dank der Industrieanlagen-Betriebsgesellschaft mbH (IABG), die mir denhydraulischen Antrieb fur meine Forschungsuntersuchungen zur Verfugung gestellt hat. Der Fir-ma Fichtel & Sachs, Schweinfurt mochte ich fur die Uberlassung des Hydraulikaggregatsdanken.

Ebenso gilt mein Dank Herrn Dr. rer. nat. H.–J. Sommer und allen Mitarbeitern des FachgebietsRegelungstechnik und Systemdynamik fur ihre freundschaftliche Unterstutzung wahrend meinerTatigkeit im Fachgebiet Regelungstechnik und Systemdynamik.

Schließlich danke ich meiner Freundin Angela fur die große Geduld und Unterstutzung, die siemir wahrend meiner Tatigkeit an der Universitat–Gesamthochschule Kassel und danach entge-genbrachte.

Kassel, im September 2004 Jan Ulrich Gucker

meinen Eltern

und

meiner Freundin Angela

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis V

1 Einleitung 11.1 Einfuhrung und Ziel der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Erkenntnisstand 52.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Modellbildung von elektro-servohydraulischen Antrieben . . . . . . . . . . . . . 62.3 Regelung von elektro-servohydraulischen Antrieben . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Lineare Regelung von elektro-servohydraulischen Antrieben . . . . . . 92.3.2 Nichtlineare Regelung von elektro-servohydraulischen Antrieben . . . . 11

2.4 Identifikation von elektro-servohydraulischen Antrieben . . . . . . . . . . . . . 13

3 Laboraufbau des servohydraulischen Linearantriebs 153.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Hydraulische und mechanische Komponenten des servohydraulischen Antriebs 15

3.2.1 Hydraulikversorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Hydraulikzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.3 Mechanische Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.4 Fundament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.5 Servoventil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.6 Hydraulikkreislauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.1 Beschreibung des Ventilwegsensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.2 Beschreibung der Drucksensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.3 Beschreibung des Differenzdrucksensors . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.4 Beschreibung des Wegsensors fur die Zylinderkolbenauslenkung . . . . 213.3.5 Beschreibung des Wegsensors fur das Fundament . . . . . . . . . . . . 213.3.6 Beschreibung der Beschleunigungssensoren fur die mechanische Last

und das Fundament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.7 Beschreibung des Gleichspannungsmessverstarkers Typ AE101 . . . . 22

3.4 Beschreibung der Hardware des Rechnersystems . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

V

VI Inhaltsverzeichnis

4 Mathematische Modellbildung eines servohydraulischen Linearantriebs 274.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Nichtlineare nicht reduzierte Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Nichtlineare reduzierte Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Lineare nicht reduzierte Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5 Lineare reduzierte Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Linearisierung der nichtlinearen Modellgleichungen des servohydraulischenAntriebs in einer Ruhelage 475.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Linearisierung der nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen . . . . . . . . . 48

5.2.1 Nichtlineare Zustandsraumdarstellung der nichtlinearen reduziertenModellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.2 Bestimmung der Ruhelagen der nichtlinearen reduzierten Modellglei-chungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.3 Linearisierung des nichtlinearen reduzierten Modells durch Taylorrei-henentwicklung um eine statische Ruhelage des Systems . . . . . . . . 53

5.3 Linearisierung der nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen . . . . . 565.3.1 Nichtlineare Zustandsraumdarstellung der nichtlinearen nicht reduzier-

ten Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3.2 Bestimmung der Ruhelagen der nichtlinearen nicht reduzierten Modell-

gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3.3 Linearisierung des nichtlinearen nicht reduzierten Modells durch Tay-

lorreihenentwicklung um eine statische Ruhelage des Systems . . . . . 625.4 Einstellung der Ruhelage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4.1 Reproduzierbarkeit der Ruhelage im Laborexperiment . . . . . . . . . 675.4.2 Ruhelage in der Rechnersimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.5 Reduktion des linearen nicht reduzierten Modells . . . . . . . . . . . . . . . . 695.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Experimentelle Identifikation und Modellvalidierung eines einachsigen ser-vohydraulischen Antriebs 736.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Vorgehensweise bei der parametrischen Identifikation des servohydraulischen

Antriebs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 Identifikation der Ansteuerung des Servoventils . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.3.1 Experimentelle Aufnahme eines Frequenzgangs . . . . . . . . . . . . . 816.3.2 Lineares Modell 3. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.3.3 Identifikation nichtlinearer Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.3.3.1 Nichtlineares Modell 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 886.3.3.2 Nichtlineares Modell 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 896.3.3.3 Nichtlineares Modell 3. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.3.4 Approximation der Totzeit durch lineare Modelle . . . . . . . . . . . 946.4 Identifikation des Druckaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4.1 nichtlinearer, nicht reduzierter Druckaufbau . . . . . . . . . . . . . . 956.4.2 nichtlinearer, reduzierter Druckaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4.3 linearer, reduzierter Druckaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Inhaltsverzeichnis VII

6.4.4 linearer, reduzierter Druckaufbau und Lastmechanik . . . . . . . . . . 1066.4.4.1 ohne Fundament (starre Lagerung) . . . . . . . . . . . . . . 1066.4.4.2 mit Fundament (nachgiebige Lagerung) . . . . . . . . . . . 107

6.4.5 Gegenuberstellung der geschatzten Parameter . . . . . . . . . . . . . 1146.5 Identifikation der Lastmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.6 Identifikation der Mechanik des Fundaments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.7 Modellvalidierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7 Nichtlinearer und linearer Reglerentwurf fur einen servohydraulischen Lin-earantrieb 1337.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2 Verfahren der exakten Ein-/Ausgangs-Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . 1357.3 Nichtlinearer Reglerentwurf fur einen servohydraulischen Linearantrieb . . . . 145

7.3.1 Nichtlinearer Reglerentwurf fur nichtlineare reduzierte Modellgleichun-gen mit statischem Ventilmodell ohne Modell des Fundaments . . . . 146

7.3.2 Nichtlinearer Reglerentwurf fur die nichtlinearen reduzierten Modell-gleichungen bei statischem Ventilmodell mit Modell des Fundaments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.3.3 Nichtlinearer Reglerentwurf fur die nichtlinearen reduzierten Modell-gleichungen mit linearem Ventilmodell 1. Ordnung und Modell des Fun-daments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.3.4 Nichtlinearer Reglerentwurf fur die nichtlinearen reduzierten Modell-gleichungen mit linearem Ventilmodell 3. Ordnung und mit Modell desFundaments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.4 Linearer Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.4.1 Linearer Kompensationsregler fur lineare reduzierte Modellgleichungen

mit statischem Ventilmodell ohne Fundament . . . . . . . . . . . . . . 1687.4.2 Linearer Kompensationsregler fur lineare reduzierte Modellgleichungen

mit statischem Ventilmodell mit Fundament . . . . . . . . . . . . . . . 1707.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8 Untersuchung des Regelkreisverhaltens 1738.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.2 Gegenuberstellung des Regelkreisverhaltens von Laborexperiment und Rech-

nersimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1748.2.1 Rechteck mit abgerundeten Flanken als Fuhrungssignal . . . . . . . . 1778.2.2 Erdbebensignal als Fuhrungssignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.2.3 Sinus-Sweepsignal als Fuhrungssignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9 Zusammenfassung 193

Literaturverzeichnis 199

A Anhang zur mathematischen Modellbildung eines servohydraulischen Lin-earantriebs 203A.1 Nichtlineares, formales Modell des Servoventils . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203A.2 Bildung der Ubertragungsfunktion der linearen Modelle entstanden aus den

zugehorigen nichtlinearen Modellen des Servoventils . . . . . . . . . . . . . . . 205

VIII Inhaltsverzeichnis

A.3 Leckflusse aufgrund hydrostatischer Lagerung der Zylinderkolbenstange . . . . 206A.4 Reduktion der nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen mit Leck-

flussen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207A.5 Analytisch berechnete Ubertragungsfunktionen aus den linearen reduzierten

Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209A.5.1 Analytisch berechnete Ubertragungsfunktionen aus den linearen redu-

zierten Modellgleichungen ohne Fundamentmodell . . . . . . . . . . . 209A.5.2 Analytisch berechnete Ubertragungsfunktionen aus den linearen redu-

zierten Modellgleichungen mit Fundamentmodell . . . . . . . . . . . . 211

B Anhang zur Linearisierung der nichtlinearen Modellgleichungen des servo-hydraulischen Antriebs in einer Ruhelage 217B.1 Partielle Ableitungen der Flussfunktionen qZI und qZII . . . . . . . . . . . . . 217B.2 Reduktion des linearen nicht reduzierten Modells . . . . . . . . . . . . . . . . 219

C Anhang zur experimentellen Identifikation und Modellvalidierung 225C.1 Beschreibung der verwendeten Identifikationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . 225

C.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225C.1.2 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

C.1.2.1 Der Least-Squares-Schatzalgorithmus . . . . . . . . . . . . 226C.1.2.2 Statistische Eigenschaften des Least-Squares-Schatzalgo-

rithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227C.1.2.3 Bewertung des Least-Squares-Schatzalgorithmus . . . . . . 228C.1.2.4 Vorgehensweise bei der parametrischen Identifikation unter

Verwendung der linearen Regression . . . . . . . . . . . . . 229C.1.2.5 Lineare Regression mit Storung auf dem Regressor . . . . . 235

C.1.3 Pradiktionsfehlermethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236C.1.3.1 Zusammenhang Simulations- und Pradiktionsfehler . . . . 237C.1.3.2 Unterschiedliches Eingehen einer Storung bei einem linearen

zeitdiskreten System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238C.1.4 Parameterschatzung mittels nichtlinearer Optimierung . . . . . . . . 241

C.2 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242C.2.1 Diskretisierung eines Systems 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 243

C.3 Parametersensitivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244C.3.1 Parametersensitivitat eines linearen Systems 1. Ordnung . . . . . . . 245

D Anhang zum Reglerentwurf 249D.1 Anhang zum Entwurf des nichtlinearen Reglers NLBF8OR . . . . . . . . . . . 249D.2 Partielle Ableitungen der nichtlinearen reduzierten Flussfunktion . . . . . . . . 253D.3 Nichtlinearer Reglerentwurf fur nichtlineare erweiterte Modellgleichungen . . . 254

D.3.1 Nichtlinearer Reglerentwurf fur nichtlineare nicht reduzierte Modell-gleichungen mit statischem Ventilmodell ohne Modell des Fundaments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

E Anhang zum Laborexperiment und zur Rechnersimulation 271E.1 Generierung der Soll-Trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

E.1.1 Fuhrungssignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Inhaltsverzeichnis IX

E.1.2 Analytische Berechnung der Soll-Trajektorie fur ein Rechtecksignal mitabgerundeten Flanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

E.1.3 Approximation Soll-Trajektorie uber ein Referenzmodell (Zustandsva-riablenfilter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

X Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Einfuhrung und Ziel der Arbeit

Elektro-servohydraulische Antriebe finden seit vielen Jahren zahlreiche Anwendung in ver-schiedenen Bereichen der Technik (z.B. Prufstands-, Pressen- und Werkzeugmaschinentechnik).Im Vergleich zu elektrischen Antrieben zeichnen sich servohydraulische Antriebe u.a. durch einehohe Leistungsdichte und eine hohe Dynamik bei der Erzeugung von Linearbewegungen aus.Besondere Kennzeichen der Servohydraulik im Vergleich zur herkommlichen Hydraulik sind dieVerwendung schneller, stetig arbeitender Ventile und deren Einsatz innerhalb geschlossener Re-gelkreise [1].

Der in dieser Arbeit untersuchte elektro-servohydraulische Antrieb ist ein Gleichgangzylindermit durchgehender Zylinderkolbenstange, der eine starre Last vertikal bewegt. Der hydrauli-sche Zylinder wird von einem schnellen intern lagegeregelten Servoventil bei konstantem Versor-gungsdruck gesteuert. Ein moglichst exaktes Nachfahren von vorgegebenen hoch dynamischenBeschleunigungsverlaufen ist die Aufgabe der in dieser Arbeit untersuchten Regelung.Der hydraulische Antrieb kann dann als einachsige Variante zur Durchfuhrung von Tests zumNachweis von Dauerfestigkeiten oder Betriebs- bzw. Funktionssicherheiten eingesetzt werden[2, 3].

Das Ziel dieser Arbeit ist

• die experimentelle Identifikation der Modellparameter und

• die Entwicklung einer identifikationsgestutzten nichtlinearen Regelung

einachsiger servohydraulischer Antriebe.

Fur den nichtlinearen Reglerentwurf kommt das Verfahren der exakten Linearisierung [4, 5] zumEinsatz, durch dessen Anwendung die technischen Eigenschaften servohydraulischer Antriebeverbessert werden sollen, um damit ihre Einsatzgebiete auszudehnen. Das Verfahren der exaktenLinearisierung ist sehr systematisch und unterstutzt das Verstandnis der Regelstrecke.Der Entwurf nichtlinearer Regelalgorithmen nach dem Verfahren der exakten Linearisierungsetzt die genaue Kenntnis von Regelstreckenmodell und Modellparametern voraus. Die Modell-gleichungen der Regelstrecke werden aus den Grundgesetzen der Physik abgeleitet. Die Modell-parameter werden in der experimentellen Identifikation bestimmt.Bei der experimentellen Identifikation sollen die Potentiale der Pradiktionsfehlermethode [6]genutzt werden.

1

2 Kapitel 1. Einleitung

Die Funktions- und Leistungsfahigkeit des entworfenen nichtlinearen Regelalgorithmus wird inder Rechnersimulation getestet und am servohydraulischen Antrieb im Laborexperiment uber-pruft.

1.2 Gliederung der Arbeit

Einen Uberblick uber den Stand der Technik bezuglich der Modellbildung, der linearen und dernichtlinearen Regelung sowie der experimentellen, parametrischen Identifikation von elektro-servohydraulischen Antrieben gibt das Kapitel 2.Der Laboraufbau des elektro-servohydraulischen Antriebs mit den verwendeten hydraulischenund mechanischen Komponenten, den eingebauten Sensoren und dem zur Implementierung derRegelalgorithmen eingesetzten Rechnersystem wird in Kapitel 3 beschrieben.

lineare

nicht reduzierte

reduzierte

(Kap. A.4)annahmenReduktions-

nicht reduzierte

reduzierte

Pol-/Nullstellen-Kurzung(Kap. 5.5)

(Kap. 5.2)

Linearisierung

(Kap. 5.3)

Linearisierung

Red

ukti

on

Linearisierung

(Kap. 4.3)Modellgleichungen

nichtlineare


nichtlineare


lineare


Bild 1.1: Beziehung der vier Typen von Modellgleichungen des elektro-servohydraulischen An-triebs uber die Reduktion (vertikal dargestellt) und uber die Linearisierung (horizontaldargestellt)

Die vier Typen von Modellgleichungen des elektro-servohydraulischen Antriebs, die in dieserArbeit verwendet werden, siehe dazu das Bild 1.1, werden in Kapitel 4 vorgestellt. Den Aus-gangspunkt bilden die nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen, aus denen sich durchReduktion die nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen ergeben.Die Linearisierung in einer Ruhelage der beiden Typen von nichtlinearen Modellgleichungen desservohydraulischen Antriebs wird in Kapitel 5 ausfuhrlich dargestellt, um dann die Reduktion deslinearen nicht reduzierten Modells im Frequenzbereich anhand einer Pol-/Nullenstellenkurzungzu untersuchen.In Kapitel 6 wird die experimentelle, parametrische Identifikation der einzelnen Teilsysteme undeine Modellvalidierung fur den servohydraulischen Antrieb durchgefuhrt.Die Entwicklung von nichtlinearen Reglern nach dem Verfahren der exakten Linearisierung aufBasis der nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen ist Gegenstand des Kapitels 7. DurchVariation der Ordnung der linearen Modelle zur Modellierung der Servoventilansteuerung unddurch eine zusatzliche Berucksichtigung eines mitschwingenden Fundaments entstehen verschie-den aufwendige Regelalgorithmen. Zum Vergleich werden lineare Regelalgorithmen in analoger

1.2 Gliederung der Arbeit 3

Weise nach dem Verfahren der exakten Ein-/Ausgangs-Linearisierung basierend auf dem linea-risierten, reduzierten Modell des servohydraulischen Linearantriebs entwickelt.In Kapitel 8 wird die Funktions- und Leistungsfahigkeit der entwickelten nichtlinearen undlinearen Regler am servohydraulischen Antrieb im Laborexperiment untersucht. Die aus Labor-experimenten erzielten Ergebnisse werden den Ergebnissen von Rechnersimulationen gegenuber-gestellt.

4 Kapitel 1. Einleitung

(Kap.7.3

)

Identifikation1

Tech

nolo

gie

Experi

ment

Sof

twar

eH

ardw

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Rec

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Lab

orT

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Modelle

Prozess3

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(Kap.5.2

)

(Kap.5.3

)

(Kap.A

.4)

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(Kap.4.4

)

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(Kap.4.5

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(Kap.4.2

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(Kap.4.3

)

(Kap.5.5

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(Kap.6.3

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(Kap.6.4

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(Kap.6.3

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(Kap.7.4

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(Kap.6.3

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(Kap.6.4

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(Kap.6.4

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(Kap.8)

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Kapitel 2

Erkenntnisstand

2.1 Einleitung

Servohydraulische Antriebe werden schon seit langem in Forschung und Industrie untersucht undeingesetzt. Im folgenden wird speziell der Stand der Technik aus den Bereichen Modellbildung,Identifikation und Regelung einachsiger servohydraulischer Linearantriebe dokumentiert.

Hydraulische Antriebe sind Energieumformer und erzeugen gemaß ihrer Ausfuhrung als Hydrau-likzylinder oder -motor eine Linear- oder Drehbewegung. Als Arbeitsmedium wird Ol verwendet.Eine Ventil- oder Pumpensteuerung dosiert die Energie fur den hydraulischen Antrieb. Eine Ven-tilsteuerung besitzt ein gutes dynamisches Verhalten, aber einen schlechten Wirkungsgrad. Beider Pumpensteuerung verhalt es sich genau umgekehrt, sie besitzt einen guten Wirkungsgrad,aber ein schlechtes dynamisches Verhalten. In der vorliegenden Arbeit ist fur die Aufgabenstel-lung ein gutes dynamisches Verhalten des Antriebs erforderlich, der Wirkungsgrad spielt eineuntergeordnete Rolle.Servohydraulische Antriebe sind hydraulische Antriebe, die in Regelkreisen betrieben werden.Die Regelgroßen umfassen mechanische Großen wie Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung undKraft fur Linearbewegung bzw. Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung undDrehmoment fur Drehbewegungen oder hydraulische Großen wie Druck und Volumenstrom. Einelektro-servohydraulischer Antrieb verwendet elektrische Signale zur Steuerung. In der vorlie-genden Arbeit wird eine Beschleunigungsregelung untersucht, die eine Geschwindigkeits- undLageregelung einschließt.

Eine detaillierte Beschreibung der technischen Grundlagen von hydraulischen Antrieben bieten[8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14].

Elektro-servohydraulische Antriebe zeichnen sich gegenuber elektrischen und pneumatischen An-trieben durch hohe Krafte bei kleinem Einbauvolumen aus. So lassen sich Linearbewegungendurch Hydraulikzylinder ohne zusatzliche Getriebe realisieren.

Hydraulische und pneumatische Antriebe werden in der Literatur zu fluidtechnischen Antriebenzusammengefasst.Pneumatische Antriebe besitzen aufgrund der starken Kompressibilitat, der geringen Dichteund der starken Temperaturabhangigkeit des Arbeitsmediums Luft ein erheblich komplexeresDruckerzeugungsverhalten als hydraulische Antriebe [1], was die Regelung pneumatischer An-triebe erschwert [7].

Beispiele fur den Einsatz von elektro-servohydraulischen Antrieben sind einachsige und raumli-che Prufstande [2], Achsantriebe in Handhabungssystemen [15], Antriebe von Groß- und Schwer-

5

6 Kapitel 2. Erkenntnisstand

lastrobotern (z.B. Betonpumpen) [16, 17] und Abstandseinstellungen von Walzen bei Pressen[18].

Der Einsatz von hydraulischen Antrieben wird erschwert durch ihre geringe Dampfung [19] undihre hochgradig nichtlinearen Eigenschaften. Zu den wesentlichen Nichtlinearitaten zahlen dienichtlineare Fluss-Druckrelation des Servoventils und die mechanische Reibung des Zylindersund der mechanischen Last.

2.2 Modellbildung von elektro-servohydraulischen Antrieben

Die mathematischen Modellgleichungen fur elektro-servohydraulische Antriebe werden sehr de-tailliert in [1, 8] hergeleitet. Die Herleitung erfolgt aus Rahmengleichungen, die auf Bilanzglei-chungen und Erhaltungssatzen der Physik beruhen, und aus konstitutiven Relationen, die durchMaterialeigenschaften und konstruktive Relationen bestimmt werden.

Die in den Modellgleichungen der elektro-servohydraulischen Antriebe enthaltenen Herausfor-derungen fur die Regelung werden im folgenden kurz diskutiert.

Die Fluss-Druckrelation des Servoventils, welches die Volumenflusse des Ventils in Abhangigkeitder Drucke in den Zylinderkammern und des Ventilwegs beschreibt, ist aufgrund turbulenterStromung und Ventilumschaltung nichtlinear [1]. Diese Nichtlinearitat kann bei einem Gleich-gangzylinder fur kleine Aussteuerungen gut linearisiert werden. Viele Antriebe mit Gleichgang-zylindern werden laut [20] so ausgelegt, dass der Lastdruck betragsmaßig kleiner als zwei Dritteldes Versorgungsdrucks ist. In der vorliegenden Arbeit wird diese Nichtlinearitat im nichtlinearenRegler berucksichtigt.

Das Modell fur die mechanische Reibung des Zylinders setzt sich zusammen aus einem ge-schwindigkeitsproportionalen viskosen Reibungsanteil (Dampfung), einem Coulomb- und einemHaftreibungsanteil (Stribeck-Reibung). Die Reibungskrafte des Coulomb- und des Haftreibungs-anteils hangen nichtlinear von der Zylinderkolbengeschwindigkeit ab. Die Haftreibung besitzt einkomplexes und daruberhinaus wenig reproduzierbares Verhalten und ist stark abhangig von derAusfuhrung und von der Fertigungsgute der Lager fur die Zylinderkolbenstange des Antriebs.Zur mathematischen Beschreibung der Reibung werden Approximationen durch Messkurven her-angezogen [21]. Die Reibungskrafte erschweren eine genaue Positionierung der Antriebe. In dervorliegenden Arbeit wurde ein servohydraulischer Antrieb mit hydrostatischer Lagerung verwen-det, der fast keine Reibung besitzt, so dass auf ein nichtlineares Reibmodell verzichtet werdenkonnte.

In den Modellgleichungen wird die konstitutive Relation ρ = ρB · p des Arbeitsmediums Ol

verwendet. Eine Anderung der Dichte ρ entsteht durch eine Druckanderung p verknupft uberdie stromungsmechanische Kompressibilitat B und die nominelle Dichte ρ des Ols.Die Kompressionseigenschaften des Arbeitsmediums Ol hangen nichtlinear vom Druck und vonder Temperatur ab [9]. So wird z.B. in [20] und in [16] die stromungsmechanische Kompressibi-litat als eine lineare Funktion des auf das Ol einwirkenden Drucks angesetzt. In der vorliegendenArbeit wie auch in [1] wird die stromungsmechanische Kompressibilitat vereinfacht als eine Kon-stante angenommen.In der Praxis muss berucksichtigt werden, dass in die stromungsmechanische Kompressibilitatneben der Kompressibilitat des Hydraulikols auch die Elastizitat der umgebenden Zylinderwan-dung, der Verbindungsleitungen zum Servoventil sowie der Dichtungen am Kolben und an derKolbenstange eingehen [20]. Daruberhinaus haben ungeloste Luftanteile im Ol einen sehr starkenEinfluss auf die stromungsmechanische Kompressibilitat [9].

2.2 Modellbildung von elektro-servohydraulischen Antrieben 7

Somit ist im konkreten Fall der Wert der stromungsmechanischen Kompressibilitat unsicher undkann sich auch im Laufe des Betriebs andern.In der vorliegenden Arbeit werden die Werte der stromungsmechanischen Kompressibilitat bzw.der daraus abgeleiteten hydraulischen Kapazitat durch eine parametrische Schatzung bestimmt.In [18] wird, um das Problem eines unsicheren Wertes der stromungsmechanischen Kompres-sibilitat zu umgehen, ein nichtlinearer modellbasierter Regler nach dem Verfahren der exaktenLinearisierung durch Wahl eines speziellen Ausgangs so entworfen, dass in dem entwickeltenRegelgesetz die stromungsmechanische Kompressibilitat nicht mehr enthalten ist. Der Wert derstromungsmechanischen Kompressibilitat bestimmt aber weiterhin die Stabilitat der Regelungmit.

Das dynamische Verhalten eines hydraulischen Gleichgangzylinders ist abhangig von der Po-sition des Zylinderkolbens [20]. Die Kennkreisfrequenz des Antriebs nimmt in Mittelstellungden niedrigsten Wert an, was den dynamisch ungunstigsten Fall darstellt. Zu den Endlagen hinnimmt die Kennkreisfrequenz zuerst sehr gering und dann sehr stark zu. In der vorliegendenArbeit wird der Zylinder nur geringfugig um die Mittelstellung heraus ausgelenkt, so dass derbeschriebene Effekt vernachlassigt werden kann.

Die Ansteuerung des Ventilkolbens eines zweistufigen hydraulischen Servoventils besteht aus demTorquemotor, aus dem Dusen-Prallplatten-System als der ersten hydraulischen Stufe und ausdem Kolbenventil als der zweiten hydraulischen Stufe. Eine zusatzliche Lageregelung des Ventil-kolbens erfordert die Erfassung und Ruckfuhrung des Ventilkolbenwegs. Dieses komplexe Systemwird fur hinreichend kleine Ansteuerungsamplituden gut durch ein lineares Ubertragungssystem2. oder 3. Ordnung zwischen der Ventileingangsspannung und dem Ventilkolbenweg beschrieben.

Aufgrund der Volumenstrombegrenzung der ersten hydraulischen Stufe kommt es bei zu großenAnsteuerungsamplituden zu einer Begrenzung der Ventilkolbengeschwindigkeit [20]. Bei dem in[20] betrachteten Servoventil wurde statt der Lageregelung eine mechanische Ruckfuhrung miteiner Ruckstellfeder betrachtet.

In der vorliegenden Arbeit ist in Kapitel 6.3 auch eine Begrenzung der Ventilkolbengeschwindig-keit beim Servoventil beobachtet worden. Zur Modellierung dieses Effekts werden nichtlineareModelle 1. bis 3. Ordnung der Servoventilansteuerung aufgestellt und die unbekannten Para-meter anhand von Verlaufen der Ventileingangsspannung und des gemessenen Ventilkolbenwegsgeschatzt, siehe Abschnitt 6.3.3.Bei Servoventilen mit einer gerateinternen Lageregelung ist eine Steigerung der Ventildynamikuber zusatzliche Ruckfuhrungen nicht moglich [22].Die in der vorliegenden Arbeit betrachteten nichtlinearen Regler konnen den Effekt nicht kom-pensieren, da es sich um eine nicht uberwindbare Leistungsgrenze des Servoventils handelt.

Zur Modellierung von Verlusten in hydraulischen Zylindern werden im Modell interne und ex-terne laminare Leckflusse angenommen, z.B. in [20]. Ein laminarer Leckfluss ist proportionalzur Druckdifferenz. In [23] hangt der laminare Leckfluss noch zusatzlich von der Zylinderkol-bengeschwindigkeit ab. Der interne Leckfluss fließt zwischen den Kammern und die externenLeckflusse fließen jeweils von den Kammern nach außen.

Die an den Steuerkanten des Servoventils auftretenden Leckflusse werden meist dem Zylinderzugerechnet, um die Fluss-Druckrelation des Servoventils einfach zu halten.

Bei einem hydraulischen Zylinder mit hydrostatisch gelagerter Zylinderkolbenstange, wie in dervorliegenden Arbeit verwendet, sind die Leckflusse betriebsbedingt besonders hoch.


Im allgemeinen erhohen Leckflusse die Dampfung der hydraulischen Antriebe, was von Vor-teil fur deren Regelung ist. Andererseits wird durch Leckflusse der Wirkungsgrad der Anlageverschlechtert.Bei Gleichgangzylindern wurde in [18] beobachtet, dass Leckflusse, die an den Steuerkanten desServoventils entstehen, einen Offset auf den Drucken in den Zylinderkammern bewirken. DieserEffekt fuhrt zusatzlich zu einen Offset auf dem Ventilweg und zu unterschiedlichen Dynamikenfur positive und negative Bewegungen der Zylinderkolbenstange.In der vorliegenden Arbeit wurde bei der Bestimmung der Ruhelage des nichtlinearen nichtreduzierten Modells im Abschnitt 5.3.2 Vergleichbares festgestellt. Die Werte der Drucke inden Zylinderkammern und des Ventilwegs, die sich fur die Ruhelage einstellen, hangen von denLeckflussen ab.

Bei hydraulischen Antrieben mit großen Lasten und großen Kraften durfen bei der Modellie-rung die Elastizitaten der Befestigungskonstruktion des mechanischen Aufbaus nicht mehr ver-nachlassigt werden [20, 15].In [20] wird systematisch untersucht wie die Elastizitaten der mechanischen Kraftubertragungs-elemente das dynamische Verhalten des servohydraulischen Antriebs beeinflussen. Dazu werdenvier Strukturen mit starr gekoppelter oder komplexer Last und mit starrer oder elastischerZylinderaufhangung unterschieden.Durch die Elastizitaten kommt es neben der hydraulischen Resonanz des Antriebs zu weiterenschwach gedampften Resonanzen, die das Verhalten des Antriebs fur die Regelung verschlechtern[20].In der vorliegenden Arbeit ist die Dynamik des Aufspannfeldes, auf dem der servohydraulischeAntrieb aufgebaut ist, nicht mehr vernachlassigbar und wurde als lineares schwingungsfahigesSystem 2. Ordnung in die Modellgleichungen aufgenommen und teilweise auch in den linearenund nichtlinearen Reglern berucksichtigt.

Ein doppeltwirkender Hydraulikzylinder, bei dem beide Seiten des Kolbens mit Druck beauf-schlagt werden, kann hydraulisch in beide Richtungen bewegt werden. Als ein Gleichgangzy-linder wird ein doppeltwirkender Hydraulikzylinder mit durchgehender Zylinderkolbenstangeund demzufolge gleich großen Kolbenflachen bezeichnet. Als ein Differentialzylinder wird eindoppeltwirkender Hydraulikzylinder mit verschieden großen Kolbenflachen bezeichnet.Der Gleichgangzylinder, wie er in der vorliegenden Arbeit verwendet wird, erzeugt aufgrund dergleich großen Kolbenflachen eine der Differenz der Drucke in den Zylinderkammern proportionaleKraft. Bei Gultigkeit weiterer Symmetriebedingungen, siehe Gleichungen (4.15b) bis (4.15i), istdie Dynamik des Gleichgangzylinders nahezu unabhanigig von der Bewegungsrichtung.Beim Differentialzylinder hingegen ist das statische und dynamische Verhalten aufgrund der ver-schieden großen Kolbenflachen davon abhangig, ob die Zylinderkolbenstange ein- oder ausfahrt.Durch dieses richtungsabhangige Verhalten besitzt der Differentialzylinder fur die Regelungungunstigere Eigenschaften als der Gleichgangzylinder.Bei manchen Anwendungen, z.B. Schwerlastrobotern [16], lassen sich aus Grunden des Baurau-mes jedoch nur Differentialzylinder einsetzen.Die Modellgleichungen des Differentialzylinders schließen den Gleichgangzylinder als Spezialfallein. Es findet jedoch beim Ubergang vom Differentialzylinder zum Gleichgangzylinder eine Re-duktion der Modellgleichungen statt, da sich die beiden Druckaufbaugleichungen der Drucke inden Zylinderkammern zu einer Druckaufbaugleichung des Differenzdrucks zusammenfassen las-sen. Dieser Reduktionsschritt und die sich daraus ergebenden Konsequenzen fur die Regelungdes Gleichgangzylinders werden z.B. in [1, 16, 24] diskutiert.

2.3 Regelung von elektro-servohydraulischen Antrieben 9

In [24] wird gezeigt, dass fur den linearisierten Fall in den ermittelten Ubertragungsfunktionenbeim Gleichgangzylinder eine Pol–Nullstellenkompensation auftritt.Eine andere Herangehensweise wird in [25] beschritten, wo unter Verwendung von graphentheo-retischen Methoden gezeigt wird, dass das nichtlineare nicht reduzierte Zustandsmodell einesservohydraulischen Stellantriebs nicht vollstandig steuerbar ist. Fur eine Lageregelung aber ent-steht ein steuerbarer Unterraum, wenn die beiden Drucke in den Zylinderkammern zu einemDifferenzdruck zusammengefasst werden.

In der vorliegenden Arbeit wird im Abschnitt 5.5 der Reduktionsschritt an linearen Modellenverdeutlicht. Hierzu werden in das lineare nicht reduzierte Modell, das durch Linearisierung dernichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen entstanden ist, die Symmetriebedingungen,siehe Gleichungen (4.15a) bis (4.15i), eingesetzt und so durch eine stabile Pol-Nullstellenkurzungdas lineare reduzierte Modell erhalten, das durch Linearisierung der nichtlinearen reduziertenModellgleichungen entstanden ist. Die Stabilitat dieses durch die Reduktion entstehenden inter-nen Systems ist fur die Regelung wichtig.

2.3 Regelung von elektro-servohydraulischen Antrieben

2.3.1 Lineare Regelung von elektro-servohydraulischen Antrieben

Einschleifige lineare Regler, wie der P-, der PDT1 oder der PPT1-Regler, werden schon sehrlange mit großen Erfolg eingesetzt [8, 11, 12, 19]. Diese Regler konnen als analoge Schaltungenaufgebaut werden. Fur den Reglerentwurf wird eine linearisierte Beschreibung der Regelstreckeum einen festen Referenzpunkt verwendet.Bereits ein P-Regler erzielt bei der Lageregelung einer Lastmasse ein stationar exaktes Fuhrungs-verhalten, weil die Regelstrecke integral wirkendes Verhalten besitzt [1].

Hydraulische Antriebe mit einschleifigen Regelkreisen erreichen nur geringe Regelguten [19], daaufgrund der geringen Dampfung des servohydraulischen Antriebs der Verstarkungsfaktor deseinschleifigen Reglers nicht sehr weit aufgedreht werden kann. Durch eine Uberdimensionierungdes Zylinderdurchmessers wurde fruher die Dynamik des Regelkreises weiter verbessert [26].Ein großerer Zylinderdurchmesser erhoht die effektive Steifigkeit der Olsaule und damit auchdie Kennfrequenz des hydraulischen Antriebs, was in einem verbesserten dynamischen Regel-kreisverhalten resultiert. Diese Maßnahme erfordert aber auch großere Volumenflusse fur dieBewegung der Zylinderkolbenstange, was kostspieligere Systemkomponenten zur Folge hat.

In vielen praktischen Anwendungen reichen die entworfenen linearen einschleifigen Reglerbezuglich Genauigkeit und dynamischer Leistungsfahigkeit aus und sind daher noch sehr ge-brauchlich in der industriellen Praxis.

Gegen den Einfluss der Schwerkraft bei einem stehenden servohydraulischen Gleichgangzylinderwird in [23] ein zusatzlicher integrierender Anteil im Lageregler verwendet. Der Einsatz von Inte-gratoren in Lagereglern fur servohydraulische Antriebe ist im allgemeinen problematisch wegendes integral wirkenden Verhaltens der Regelstrecke. Theoretisch kommt es bei einem einschleifi-gen Regelkreis mit zwei Integratoren zur Instabilitat, die aber praktisch aufgrund vorhandenerReibung als eine Arbeitsbewegung in Erscheinung tritt [23]. In [22] wird der Einsatz eines schal-tenden Integrators vorgeschlagen. Der Integrator wird hierzu im Großsignalbereich und in einemkleinen Bereich um den Sollwert herum abgeschaltet.

Der Einfluss von Elastizitaten in der Verankerung des hydraulischen Zylinders und der mecha-nischen Last wird in [20] systematisch auf einschleifige Regler und Regelungen mit Hilfsgroßen


untersucht. Durch die Elastizitaten der mechanischen Ubertragungselemente verschlechtern sichdie statischen und dynamischen Eigenschaften der Antriebe.

Fur den Entwurf einschleifiger Regelkreise werden Wurzelortskurven-Verfahren und Frequenz-kennlinien-Verfahren verwendet [27, 28]. Beide Verfahren sind nicht streng systematisch undverlangen vom Anwender eine gewisse Erfahrung.

Ist ein sehr genaues lineares Modell der Regelstrecke vorhanden, so lassen sich durch einen Kom-pensationsregler bestimmte Eigenschaften der Regelstrecke vollstandig unterdrucken, indem Pol-und Nullstellen der Ubertragungsfunktionen von Regler und Strecke sich gerade kompensieren.

Fur den industriellen Einsatz von Reglern sind einfache Einstellvorschriften wunschenswert.Eine automatisierte Adaption des Reglers wird in Anwendungsfallen angestrebt, in denen ofteine Inbetriebnahme oder eine Nachfuhrung des Reglers erforderlich ist. In [29] und [30] adaptiertbeispielsweise eine Fuzzy-Set-Logik, in die aus der Erfahrung bekannte Einstellregeln eingebautsind, automatisch einen PI-Regler eines Kraftregelkreises zum Testen von Pruflingen mit zumTeil unbekannter oder sich verandernder nichtlinearer Charakteristik.

Durch eine Aufnahme von weiteren Hilfsgroßen, z.B. der Zylinderkolbengeschwindigkeit, derZylinderkolbenbeschleunigung oder des Differenzdrucks in die Regelung, kann das dynamischeVerhalten des Regelkreises erheblich verbessert werden.Bei einem Multi-Sensor-Regler [28] werden Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung durchSensoren erfasst und uber Faktoren zuruckgefuhrt. Hiermit wird dem Regelkreisverhalten eineDynamik aufgezwungen.Zur Erfassung der Hilfsgroßen werden weitere Sensoren benotig, die die Kosten der Anlageerhohen. Eine Rekonstruktion von Hilfsgroßen und dadurch eine Einsparung von Sensoren wirddaher angestrebt.Im Falle, wenn zusatzlich zum Zylinderkolbenweg nur die Zylinderkolbenbeschleunigung gemes-sen wird, kann die Zylinderkolbengeschwindigkeit uber einen Velocity-Computer [31] rekonstru-iert werden.Werden Geschwindigkeit und Beschleunigung nicht durch Sensoren erfasst, besteht die Moglich-keit, sie durch eine einfache und durch eine zweifache numerische Differentiation zu rekonstruie-ren [22, 23]. Hierbei spielt die Auslosung der Wegsensors und dessen Digitalisierung eine entschei-dende Rolle. Durch unterschiedliche numerische Differentiationsansatze wird zwischen Storungenund Phasenverschiebung ein Kompromiss gefunden [23].

Durch einen linearen Zustandsregler lasst sich die Dynamik des Regelkreises beliebig vorgeben,vorausgesetzt ein lineares Zustandsraummodell der Strecke ist vorhanden und alle Zustands-großen stehen fur die Ruckfuhrung zur Verfugung.Der Einsatz von Sensoren zur Erfassung der Zustandsgroßen ist aufwendig, kostspielig oder zumTeil technisch nicht moglich. Als Alternative bietet sich eine Schatzung der Zustande durch einenZustandsbeobachter an.Hierbei werden zur Lageregelung elektro-servohydraulischer Antriebe lineare Zustandsvektor-ruckfuhrungen in Verbindung mit linearen zeitkontinuierlichen Zustandsbeobachtern vollstandi-ger und reduzierter Ordnung [19, 32] sowie nichtlinearen Zustandsbeobachtern [25] verwendet.Zur Vermeidung von Lagefehlern im Fuhrungs- und im Storverhalten und zur Verbesserung derLaststeifigkeit wird in [32] eine einfache Erweiterung des Regelungskonzeptes um eine integrie-rende Ausgangsruckfuhrung vorgeschlagen.In [24] werden digitale Zustandsregler fur eine Lageregelung eines elektrohydraulischen Vor-schubantriebs entwickelt und in Festkommaarithmetik realisiert.

2.3 Regelung von elektro-servohydraulischen Antrieben 11

In der vorliegenden Arbeit werden im Unterkapitel 7.4 die linearen Regler in analoger Weisewie die nichtlinearen Regler nach dem Verfahren der exakten Ein-/Ausgangs-Linearisierung ent-worfen. Als Entwurfsmodell der linearen Regler dient ein linearisiertes reduziertes Modell desservohydraulischen Antriebs.

2.3.2 Nichtlineare Regelung von elektro-servohydraulischen Antrieben

Von einer nichtlinearen Regelung des servohydraulischen Antriebs wird erwartet, dass sie eingutes und stabiles Fuhrungsverhalten im gesamten Arbeitsbereich liefert.Ein linearer Regler kann dies nur in einem eingeschrankten Arbeitsbereich um den Arbeitspunktder Linearisierung erreichen, an dem der Approximationsfehler der Arbeitspunktlinearisierungmittels Taylor-Reihenentwicklung des linearen Modells hinreichend klein ist.Mit dem Verfahren der exakten Linearisierung [4, 5, 33, 34, 35] wird fur ein nichtlineares Systemeine nichtlineare Ruckfuhrung der Zustande entworfen, die das nichtlineare System im gesamtenArbeitsbereich ohne einen Approximationsfehler in ein lineares System uberfuhrt.Fur die erfolgreiche Umsetzung eines Regler nach dem Verfahren der exakten Linearisierung mussvon der zu regelnden Strecke ein sehr genaues analytisches Modell in Form einer nichtlinearenZustandsraumdarstellung mit bilinearem Eingang und differenzierbaren Systemfunktionen vor-liegen. Daruberhinaus mussen die Signale aller Systemzustande fur die nichtlineare Ruckfuhrungverfugbar sein. Es muss sichergestellt sein, dass durch die nichtlineare Zustandsruckfuhrung keininstabiles internes System entsteht.Das Verfahren der exakten Linearisierung wurde in [36, 37, 15, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 16, 26, 44, 18]zur nichtlinearen Regelung servohydraulischer Antriebe vorgeschlagen und erfolgreich umgesetzt.Das Verfahren der exakten Linearisierung wird auch als Prinzip der nichtlinearen Systement-kopplung bezeichnet [21].

Ein servohydraulischer Antrieb lasst sich im Prinzip unterteilen in einen hydraulischen Krafter-zeuger und die vom diesem Krafterzeuger angetriebene Mechanik.Der Krafterzeuger besitzt durch die nichtlineare Durchflusscharakteristik der Ventile, diepositionsabhangige Steifheit infolge zylinderpositionsabhangigen Kammervolumens und durchrichtungsabhangige Dynamik beim Differentialzylinder ein nichtlineares Verhalten, welchesdurch analytische Funktionen beschrieben werden kann.Bei der angetriebenen Mechanik sind Reibungskrafte und Elastizitaten ein Problem. Reibungs-krafte konnen ein kompliziertes, nichtlineares und daruber hinaus wenig reproduzierbares Ver-halten besitzen. Elastizitaten erhohen den Modellierungsaufwand der Mechanik.

Fur Modelle zu Systemen mit signifikanten, nichtlinearen Reibungskraften ist das Verfahrender exakten Linearisierung nicht erfolgreich einsetzbar [16, 38, 39], weil sich die Reibungskrafteaufgrund starker Streuungen nicht mehr mit Hilfe analytischer Funktionen abschatzen lassen.In [16, 38, 39] und in [26] werden daher Kaskaden-Regelkreise zur Lageregelung servohydrauli-scher Antriebe fur Gleichgang- und Differentialzylinder vorgeschlagen, bei dem der innere Re-gelkreis die Druckdifferenzkraft und der außere Regelkreis die Zylinderkolbenposition regelt.Die Regelstrecke des inneren Regelkreises ist der nichtlineare hydraulische Krafterzeuger mitder Druckdifferenzkraft als Ausgang, mit dem Ventilkolbenweg als Eingang und mit der Zylin-derkolbengeschwindigkeit als externer Storung. Die Beschreibung des Krafterzeugers ist durchanalytische Funktionen moglich, die sich leicht ermitteln lassen.In [16] wird fur den nichtlinearen hydraulischen Krafterzeuger eine nichtlineare Zustandsruck-fuhrung nach dem Verfahren der exakten Linearisierung entworfen. Beim Differentialzylinder-modell entsteht mathematisch eine Nulldynamik erster Ordnung, deren Stabilitat nachgewiesen


wird. Beim Gleichgangzylinder ist die Nulldynamik physikalisch immer noch vorhanden. Siewird jedoch durch die Zusammenfassung der beiden Drucke in den Zylinderkammern zu einemDifferenzdruck im Modell nicht mehr berucksichtigt.In [26] wird der Regler des inneren Regelkreises aus einer Lyapunov-Analyse der nichtlinearenModellgleichungen des Servoventils und des hydraulischen Zylinders abgeleitet und damit auchdie Stabilitat des Regelkreises gezeigt. Die grundsatzliche Form des Regelgesetzes entsprichtdabei der Form der exakten Linearisierung.Die Kompensation der auftretenden Reibungskrafte erfolgt bei beiden Ansatzen im außerenRegelkreis durch eine Storgroßenaufschaltung einer geschatzten Reibungskraft, zu deren Be-rechnung auch nicht analytische Funktionen eingesetzt werden konnen.

Die in [21, 36, 37, 15, 40, 18] fur den gesamten servohydraulischen Antrieb nach dem Verfahrender exakten Linearisierung entworfenen nichtlinearen Regler berucksichtigen nur einen linearen,geschwindigkeitsproportionalen, viskosen Reibungsanteil.Die nichtlinearen Coulomb- und Haftreibungsanteile werden fur den hydraulischen Antrieb alsEinfluss einer Storgroße aufgefasst. Das Ziel besteht darin, robuste Regelverfahren bezuglich derStorgroßeneinwirkung einzusetzen, um so auf die genaue Kenntnis der Reibkraft verzichten zukonnen.

Da in der vorliegenden Arbeit ein servohydraulischer Antrieb mit hydrostatischer Lagerungverwendet wurde, der fast keine Reibung besitzt, konnte ein nichtlinearer Regler nach demVerfahren der exakten Linearisierung fur den gesamten servohydraulischen Antrieb entworfenund umgesetzt werden.

Mit der Berucksichtigung von Elastizitaten aus dem Geratebau im Regler bei hydraulisch ange-triebenen Systemen beschaftigen sich beispielsweise [15] und [16].In [15] werden an einem Handhabungsgerat, das mit zwei hydraulischen Differentialzylindernangetrieben wird, nichtlineare Regelungsverfahren zur Erzeugung eines linearen, entkoppeltenSystemverhaltens untersucht, wobei einer biegeelastischen Mechanik eine besondere Berucksich-tigung zukommt.Die Fertigung von Handhabungsgeraten in Leichtbauweise verbessert das Verhaltnis zwischenEigengewicht und Nutzlast und verringert dadurch den Energieverbrauch wahrend des Arbeits-vorgangs. Durch die Verwendung von Standardmaterialien zeigen die Handhabungsgerate jedochauch elastische Verformungen, wie sie bei gegenwartigen Handhabungssystemen auftreten, wenndiese im Grenzbereich betrieben werden. Um weiterhin ein lineares Regelkreisverhalten sicher-zustellen, werden die im Geratebau auftretenden biegeelastischen Verformungen in der Regelungberucksichtigt.Die Regelstrecke des Handhabungsgerates mit den Armenden als Ausgangen bekommt durch dieBerucksichtigung biegeelastischer Effekte ein nicht minimalphasiges Verhalten. Fur die Lagere-gelung der Armenden darf das Verfahren der exakten Linearisierung nicht angewendet werden,da dann ein instabiles internes System entsteht. Es wird eine Modifikation der exakten Lineari-sierung vorgeschlagen, bei der die Systembeschreibung gedanklich so modifiziert wird, dass einminimalphasiges System vorliegt.In [15] wird außerdem gezeigt, dass die exakte Linearisierung aus dem Grenzbereich einer spe-ziellen bereichsweise adaptierten linearen Regelung hervorgeht.In [16] wird fur Schwerlastroboter mit hydrostatischen Antrieben (z.B. eine Autobetonpumpe)eine nichtlineare Regelung und eine Schwingungsdampfung mit Hilfe von virtuellen passivenmechanischen Feder-Dampfer-Elementen entwickelt. Zur Regelung der Antriebe wird ein neuesnichtlineares Kaskaden-Regelungskonzept auf der Basis der exakten Linearisierung vorgestellt,

2.4 Identifikation von elektro-servohydraulischen Antrieben 13

wobei ein wesentlicher Aspekt die Entwicklung der praktischen Anwendbarkeit des Verfahrensist.

Alternative Ansatze zur Regelung servohydraulischer Antriebe, die Parameterschwankungenund Nichtlinearitaten berucksichtigen, sind beispielsweise adaptive Regler, kunstliche neuronaleNetzwerke oder Sliding-Mode-Regler.

In [17] wird fur einen Schwerlast-Handhabungskran, der aus einer offenen Kette mit 6 hydraulischangetriebenen Gelenken besteht, ein auf einem linearisierten Modell der Regelstrecke basierenderadaptiver Regler entwickelt, um die sich wahrend der normalen Bewegung andernde Dynamikzu kompensieren.In [45] wird eine statische Eingangsnichtlinearitat in Form einer Totzone eines Proportional-ventils durch ein kunstliches neuronales Netzwerk kompensiert. Hierbei wird ausgenutzt, dassein kunstliches neuronales Netzwerk ohne eine strukturelle Anderung verschiedene Arten vonnichtlinearem Verhalten beschreiben kann.Ein Sliding-Mode-Regler ist robust bezuglich großer Parameteranderungen der Regelstrecke undbesitzt eine globale Stabilitat. Es gestaltet sich aber im Einzelfall schwierig, die Umschaltbedin-gung des Reglers auszuwahlen und abzustimmen.In [46] wird ein Sliding-Mode-Regler zur Lageregelung eines servohydraulischen Antrieb miteiner elastisch angekoppelten Masse vorgestellt.

Die Dynamik der Ventilansteuerung hat bei der Verwendung moderner Servoventile nur einengeringen Einfluss auf das Gesamtsystem und wird daher haufig fur den Entwurf nichtlinearerRegler vernachlassigt [36, 26, 16, 18].Der in [21] fur einen elektrohydraulischen Servorotationsantrieb nach dem Verfahren der exak-ten Linearisierung entworfene nichtlineare Regler berucksichtigt fur die Dynamik der Ventilan-steuerung ein lineares System zweiter Ordnung. Der nichtlineare Regler konnte aber aufgrundmangelnder Rechenleistung derzeit nur in der Rechnersimulation getestet werden.

In der vorliegenden Arbeit werden nichtlineare Regler nach dem Verfahren der exakten Linear-isierung erfolgreich zur Regelung des servohydraulischen Antriebs im Laborexperiment einge-setzt. Die Regler berucksichtigen lineare Systeme bis zur dritten Ordnung fur die Dynamik derVentilansteuerung.

2.4 Identifikation von elektro-servohydraulischen Antrieben

Die Systemidentifikation beschaftigt sich allgemein mit dem Erstellen mathematischer Modellevon dynamischen Systemen aus gemessenen Ein-/Ausgangsdaten [6].Die Parameterschatzung bestimmt bei gegebener Modellstruktur die besten Werte fur die un-bekannten Modellparameter aus den gemessenen Daten.Im Rahmen dieser Arbeit werden Modelle mit physikalisch interpretierbaren und dadurch an-schaulichen Parametern eingesetzt, die aus einer physikalisch motivierten Modellbildung stam-men, vergleiche Kapitel 4.Beim vorliegenden servohydraulischen Antrieb konnten die Parameterwerte zum Teil aus techni-schen Daten der Konstruktion oder aus den Spezifikationen der Hersteller ubernommen werden.Die Bestimmung von Schatzwerten der verbleibenden unbekannten Parameter erfolgt aus Sen-sorsignalen, die wahrend eines normalen Betriebs des servohydraulischen Antriebs gemessenwerden.


Gelingt es eine Modellgleichung in die Form der linearen Regression zu bringen, so dass einAusgang linear von den unbekannten zu schatzenden Parametern abhangt, konnen die Para-meter mittels Least-Squares-Algorithmus geschatzt werden [47, 48, 6]. Dies ist die numerischeinfachste und sicherste Methode, weil dadurch ein globales Minimum gefunden wird. Hierzuist aber erforderlich, dass alle in der Modellgleichung beteiligten Modellvariablen durch Sen-soren erfasst werden. Eine nachtragliche Rekonstruktion von nicht verfugbaren Eingangs- oderAusgangsgroßen aus anderen gemessenen Daten, z.B. von zeitlichen Ableitungen durch nume-rische Differentiation ist moglich, verschlechtert aber das Ergebnis, weil Voraussetzung fur dieAnwendbarkeit der linearen Regression verletzt werden, siehe Kapitel C.1.2.3.Die Rekonstruktion durch numerische Differentiation lasst sich umgehen, wenn die vorliegendeModellstruktur eine lineare, zeitkontinuierliche Ubertragungsfunktion ist. Dann lassen sich dieParameter einer aquivalenten linearen, zeitdiskreten Ubertragungsfunktion mittels der Pradikti-onsfehlermethode schatzen und anschließend in die gesuchten Parameter umrechnen. Die Pradik-tionsfehlermethode [6, 48] berucksichtigt unterschiedliche Eingangsorte einer externen Storung(equation error: z.B. ARX , output error: z.B. OE). Zusatzlich kann durch lineare Fehlermodelle(z.B. ARMAX, BJ) eine spektrale Zusammensetzung der externen Storung modelliert werden.Durch die bessere Modellierung der externen Storung konnen Bias und Varianz der geschatztenParameter reduziert werden.In der vorliegenden Arbeit wird untersucht, in wie weit sich die Vorteile der Pradiktionsfehler-methode zur Schatzung der Parameter physikalisch motivierter Modelle von servohydraulischenAntrieben nutzen lassen.

Die hier verfolgte Vorgehensweise zur Schatzung physikalisch interpretierbarer Parameter vonservohydraulischen Antrieben wird auch in [26] verwendet. In [26] werden mit Hilfe einer ”Offline-Identifikation” die Koeffizienten des Ventilflusses und die stromungsmechanische Kapazitat furdie spatere Verwendung in einem nichtlinearen Regler geschatzt.

Um die Modellbildung zu umgehen, bietet die Systemidentifikation mit Black-box-Modellen eineAlternative, die aber nicht Gegenstand der Untersuchungen in der vorliegenden Arbeit ist.Black-box-Modelle besitzen eine Modellstruktur, die ”flexibel” genug ist, das Verhalten deszu identifizierenden Systems zu beschreiben. Die Systemidentifikation in Verbindung mit derParameterschatzung und der Modellvalidierung versucht ein passendes Modell mit geeignetenModellgleichungen zu finden.Als erster Schritt fur die Identifikation dynamischer Systeme werden in [6] lineare, zeitdiskreteUbertragungsfunktionen vorgeschlagen.In [14] werden Fuzzy-Logik Modelle und kunstliche neuronale Netzwerke fur die Identifikationservohydraulischer Antriebe eingesetzt.

Kapitel 3

Laboraufbau des servohydraulischen Linearantriebs

3.1 Einleitung

Dieses Kapitel beschreibt

• die hydraulischen und mechanischen Komponenten,• die Sensoren und Auswerteelektronik und• die Hardwarekomponenten des Rechnersystems,

die fur den Laboraufbau des servohydraulischen Antriebs verwendet werden (Bild 3.1) 1.

3.2 Hydraulische und mechanische Komponenten des servohy-draulischen Antriebs

Der servohydraulische Antrieb besitzt folgende hydraulische und mechanische Komponenten:

• Hydraulikversorgung (Bild 3.2(a)),• Hydraulikzylinder (Bild 3.2(c)),• mechanische Last (Bild 3.1),• Fundament (Bild 3.1),• Servoventil (Bild 3.2(c) und Bild 3.2(b)) und• Komponenten des Hydraulikkreislaufs (Bild 3.3).

Die Hydraulikanlage des Laboraufbaus wurde, unterstutzt durch mehrere Studien– und Diplom-arbeiten ([49], [50], [51], [52]), im Rahmen der Dissertation [7] konstruiert und aufgebaut.

3.2.1 Hydraulikversorgung

Das Hydraulikaggregat (Bild 3.2(a)), ausgefuhrt als Axialkolbenpumpe mit 15 kW Antriebslei-stung, 35 l/min Volumenstrom bei 280 bar Oldruck, wurde von der Firma Fichtel & Sachs,Schweinfurt zur Verfugung gestellt. Das Aggregat wurde vollstandig mechanisch undelektrisch uberarbeitet ([50], [51]).

1Der hydraulische Antrieb von (Bild 3.1) wurde dem Fachgebiet RTS dankenswerterweise von derIndustrieanlagen-Betriebsgesellschaft mbH (IABG) fur die Forschungsuntersuchungen zur Verfugung gestellt.

15

16 Kapitel 3. Laboraufbau

Feder−Dämpfer

Stahlstangen

Schlitten

Kolbenstange

mechanische Last

Servoventil

hydraulischer Antrieb

Inertialsystem

Fundament

Elemente

Gehäuse desAntriebs

Leckflussleitung

Bild 3.1: Laboraufbau des servohydraulischen Antriebs am Fachgebiet Regelungstechnik undSystemdynamik (RTS), Fachbereich Maschinenbau, Universitat Kassel

3.2.2 Hydraulikzylinder

Der verwendete Hydraulikzylinder (Bild 3.2(c)) ist ein Hydropuls-Langszylinder PL25 der Fir-ma Carl Schenk AG, Darmstadt. Der Zylinder ist ein doppeltwirkender Krafterzeuger mitgleich großen Kolbenflachen in beiden Zylinderkammern (Gleichlaufbauart), dessen durchgehen-de Kolbenstange unter den ublichen Einsatzbedingungen durch eine hydrostatische Lagerunglaut Herstellerangaben vollkommen spielfrei und frei von Gleitreibung gefuhrt wird. Im Zylinderist ein induktiver Wegaufnehmer eingebaut (siehe Kapitel 3.3.4). Der Hydropuls-LangszylinderPL25 hat

• einen Verfahrweg von ±125mm,• eine Nennkraft von Fn = 25kN bei einem hydraulischen Druck von ca. 270 bar und• eine ’dynamische Vollast’ Fdyn = 20kN (Fdyn = 0.8 · Fn).

An dem Hydraulikzylinder ist ein Servoblock montiert, der als Trager zum Aufbau des Servo-ventils und der beiden Hydrospeichern (Druckol- und Ruckolspeicher) dient (siehe Bild 3.2(c)).

3.2.3 Mechanische Last

Die mechanische Last besteht aus maximal zwolf einzelnen quadratischen Stahlplatten, die starrmit der Kolbenstange des Hydraulikzylinders verschraubt werden (Bild 3.1 zeigt 6 Stahlplatten).Eine Stahlplatte besitzt eine Masse von ca. 29, 5 kg. Die Masse der mechanischen Last kann durchdie Anzahl der verschraubten Stahlplatten variiert werden. Die mechanische Last wird zusatzlichdurch bis zu zwei Schlitten und zwei Stangen gefuhrt, um Querkrafte der Kolbenstange auf den

3.2 Komponenten 17

(a) Hydraulikaggregat (b) Servoventil

Induktiver Wegsensor

Rucklaufleitung

Servoventil

Druckleitung

Rucklaufspeicher

Druckspeicher

Hydraulikzylinder

(c) Hydraulikzylinder mit Servoventilblock und Druckan-schlussleitungen

Bild 3.2: Hydraulische Komponenten des servohydraulischen Antriebs (Fachgebiet RTS)


Hydraulikzylinder gering zu halten. Der Schlitten besitzt eine Masse von 5, 5 kg. Die maximalmogliche mechanische Last betragt ca. 400 kg.

3.2.4 Fundament

Das Fundament (Bild 3.1) aus Stahl mit einer Masse von ca. 1,5 t sitzt gelagert mit 8 Gummi-puffern auf dem Hallenboden auf. Die Gummipuffer sind von der Firma EFFBE-Werk FritzBrumme GmbH aus Raunheim und tragen die Typenbezeichnung KE-5.

3.2.5 Servoventil

Das eingesetzte Servoventil (Bild 3.2(c) und Bild 3.2(b)) vom Typ D769-318A mit elektronischerLageregelung von der Firma Moog aus Boblingen besitzt laut Herstellerangaben die folgendentechnischen Daten:

• Nennvolumenstrom von 38 l/min bei ∆pN = 70bar,• Nennsignal: Spannungs-Ansteuerung ±10V ,• Nulluberdeckung,• lineare Kennlinie zwischen Ventilweg und Offnungsquerschnitt uber der Steuerkante,• Ausgang fur Signal des Ventilwegsensors (10V =− 0.6mm),• nutzbare Bandbreite bis 100 Hz,• maximaler Betriebsdruck von 315 bar.

3.2.6 Hydraulikkreislauf

Das Bild 3.3 zeigt den installierten Hydraulikkreislauf mit den einzelnen Komponenten [49].Die Druckspeicher am Zylinder (Teile 13, 14 des Hydraulikschaltplanes in Bild 3.3) und in derVersorgungsleitung (Teil 12) dienen zur Glattung der Druckschwankungen und zur kurzfristigenErhohung des Volumenstroms. Die Ruckschlagventile (Teile 7, 8), der Druckwachter (Teil 11)und das vorgeschaltete Druckbegrenzungsventil (Teil 6) sowie deren elektrische Auswertung [51]dienen der Sicherheit der Anlage.

3.3 Sensoren

Im servohydraulischen Prufstand sind Sensoren fur folgende physikalische Großen eingebaut:

• Ventilweg xV ,• Kammerdrucke pI und pII des Hydraulikzylinders,• Differenzdruck pL der Zylinderkammern,• Druck pS in der hydraulischen Versorgungsleitung,• Druck pR in der hydraulischen Rucklaufleitung,• Zylinderkolbenauslenkung xk relativ zum Zylinderkolbengehause,• Zylinderkolbengeschwindigkeit xk relativ zum Zylinderkolbengehause,• Beschleunigung der mechanischen Last in vertikaler Richtung xka relativ zum Inertialsystem,• Verschiebung des Fundamentes in vertikaler Richtung xG relativ zum Hallenboden (Inertial-

system) und• Beschleunigung des Fundamentes in vertikaler Richtung xG relativ zum Inertialsystem.

3.3 Sensoren 19

Drucküberwachung

M

P

R

Druckloses Anfahren+

Blasenspeicherentladung

R

M

M

T

15

P R

1314

n= 1460 U/min

P= 15 KW

P

R

P

R

T

Kühlwasser

Kühlwasser

P

P

P

P

R

T

10

1

2

7

11

Druckbegrenzung

3

45

6

8

9

12

16

17

18

19

20

Bild 3.3: Hydraulikschaltplan des Hydraulikkreislaufs mit Rucklauftank (Teil 1), Axialkolben-pumpe (Teil 2), Ruckschlagventil in der Zuleitung (Teil 3), Druckfilter (Teil 4),Beluftungsfilter (Teil 5), vorgeschaltetem Druckbegrenzungsventil (Teil 6), einstellba-rem Druckbegrenzungsventil (Teil 7), TUV–gepruftem Druckbegrenzungsventil (Teil8), Manometerabsperrventil (Teil 9), Manometer (Teil 10), Druckschalter (Teil 11),Blasenspeicher (Teil 12), Membranspeicher (Teil 13 und Teil 14), Servoventil (Teil 15),Hydraulikzylinder (Teil 16), Rucklauffilter (Teil 17), Ruckschlagventil in der Rucklei-tung (Teil 18), Wasserkuhler (Teil 19) und Leckolpumpe (Teil 20)


Bemerkung: Auf den Einbau von Volumenflussmessgeraten wurde verzichtet, da es durchEinfugen dieser Messgerate in den entsprechenden hydraulischen Leitungen zu Druckverlu-sten kommt, die die dynamischen Eigenschaften des servohydraulischen Antriebs verschlechternwurden. Volumenflusssensoren sind sehr teuer und waren nur fur die Identifikation und nicht furdie Regelung erforderlich.

3.3.1 Beschreibung des Ventilwegsensors

Das verwendete Servoventil vom Typ D769-318A besitzt einen internen Wegaufnehmer mit Aus-werteelektronik zur elektronischen Lageregelung. Der Wegaufnehmer arbeitet auf der Basis einesDifferentialtransformators. Das Signal des Wegaufnehmers ist uber einen Kontakt nach außengelegt. Einer elektrischen Spannung von +10V entspricht ein Ventilweg von −0.6mm und einerelektrischen Spannung von -10V entspricht ein Ventilweg von 0.6mm.

3.3.2 Beschreibung der Drucksensoren

Zur Erfassung der Hydraulikdrucke pI , pII , pS und pR werden Absolutdruckaufnehmer vomTyp PM3A der Firma Hottinger Baldwin Messtechnik HBM verwendet. Die Abso-lutdruckaufnehmer sind zur Messung von statischen und dynamischen Drucken geeignet. AlsMesssystem der Absolutdruckaufnehmer PM3A wird eine temperaturkompensierte Wheatstone-Brucke aus HBM-Dehnungsmessstreifen verwendet. Die HBM-Dehnungsmessstreifen sind aufeiner Messmembran befestigt. Aufgrund hoher Eigenfrequenz (> 100kHz) der Messmembranlassen sich rasche Druckanderungen verzerrungsfrei messen. Die Signale der Absolutdruckauf-nehmer werden mit Gleichspannungsverstarkern (HBM Typ AE101) aufbereitet (siehe Kapitel3.3.7). Der Absolutdruckaufnehmer PM3A besitzt laut Herstellerangaben einen Messbereich von0 bis 500 bar bei einem Fehler von 0.15% vom Endwert. Die Gleichspannungsverstarker sind aufeine Grenzfrequenz von 6 kHz eingestellt.Um eine bessere Auflosung bei der Druckmessung zu erhalten, werden die Gleichspannungs-verstarker der Drucksensoren pI , pII , pS auf einen Messbereichsendwert von 300 bar und derGleichspannungsverstarker des Drucksensors pR auf einen Messbereichsendwert von 100 bar ein-gestellt. Der Messbereichsanfang ist einheitlich auf 0 bar festgelegt. Die Ausgangsspannung derGleichspannungsverstarker betragt am Messbereichsanfang 0 V und am Messbereichsende 10 V.

3.3.3 Beschreibung des Differenzdrucksensors

Zur Erfassung der Druckdifferenz zwischen den beiden Zylinderkammern wird ein Differenz-druckaufnehmer vom Typ PMDD der Firma Schenk verwendet. Der Differenzdrucksensorwird am Servoblock des Hydropuls-Zylinders montiert, so dass er mit beiden Zylinderkam-mern verbunden ist. Jeder der beiden im Aufnehmergehause angeordneten Messfuhler wird vomDruckol einer Kammer beaufschlagt. Zwei Dehnungsmessstreifen, die in jedem Messfuhler zueiner Wheatstone’schen Halbbrucke verschaltet sind, wandeln den Druck der Zylinderkammerin ein dem Druck proportionales elektrisches Signal um. Die beiden Halbbrucken der Messfuhlersind wieder zu einer Vollbrucke geschaltet. Ist der Druck in den beiden Zylinderkammern unter-schiedlich, ist auch die Vollbrucke verstimmt und sie gibt ein der Druckdifferenz proportionalesMesssignal ab. Das Messsignal des Differenzdruckaufnehmers wird mit dem Gleichspannungs-verstarker (HBM Typ AE101) aufbereitet (siehe Kapitel 3.3.7). Der Sensor besitzt laut Her-stellerangaben einen Nenndifferenzdruck von maximal ∆pn = 500 bar mit einem Fehler von< ±0.5% vom Nenndifferenzdruck. Der Messverstarker ist auf eine Grenzfrequenz von 6 kHz

3.3 Sensoren 21

xk

Mittelstellung Eingefahren Ausgefahrenxk = 0 mmUxk = 0 V

xk = 125 mmUxk = +10 V

xk = −125 mmUxk = −10 V

xk = −125 mm

xk = 0 mm

xk = 125 mm

Kolben-stange

Zylinder-gehause

Bild 3.4: Grafische Darstellung der Position der Zylinderkolbenstange bezuglich des Zylinder-kolbengehause mit entsprechender Ausgangsspannung der Auswerteelektronik

eingestellt. Um eine bessere Auflosung bei der Druckmessung zu erhalten, wird der Gleich-spannungsverstarker des Differenzdrucksensors auf einen Messbereichsanfang von -50 bar undeinen Messbereichsendwert von 50 bar eingestellt. Die Ausgangsspannung des Gleichspannungs-verstarkers betragt am Messbereichsanfang -10 V und am Messbereichsende 10 V.

3.3.4 Beschreibung des Wegsensors fur die Zylinderkolbenauslenkung

Im Hydraulikzylinder ist ein induktiver Wegaufnehmer eingebaut, der die Position der Zylin-derkolbenstange bezuglich des Zylinderkolbengehauses vermisst. Diese Zylinderkolbenpositionwird als Zylinderkolbenweg xk bezeichnet. Die Auswerteelektronik des Wegaufnehmers ist soeingestellt, dass sie in Mittelstellung der Zylinderkolbenstange (xk = 0) eine Ausgangsspan-nung von Uxk = 0V anzeigt (siehe Bild 3.4). Ist die Zylinderkolbenstange in das Zylinder-gehause eingefahren (xkmax = 125mm), so liegt am Ausgang der Auswerteelektronik eine Span-nung von Uxk = 10V an. Ist die Zylinderkolbenstange ganz aus dem Zylindergehause ausge-fahren (xkmin = −125mm), so liegt am Ausgang der Auswerteelektronik eine Spannung vonUxk = −10V an.Der Wegaufnehmer ist als induktive Halbbrucke ausgefuhrt. Er wird an den Universal-Messverstarker MV312 der Firma Carl Schenk AG, Darmstadt angeschlossen. Der Universal–Messverstarker MV312 ist ein Tragerfrequenz–Messverstarker fur Voll- und Halbbruckenschal-tung und arbeitet mit einer Tragerfrequenz von 5 kHz.

3.3.5 Beschreibung des Wegsensors fur das Fundament

Zur Erfassung der Verschiebung des Fundamentes in vertikaler Richtung wird das beruhrungs-lose optische Wegmesssystem optoNCDT 1605 mit einem Laser–Sensor von der Firma Micro-Epsilon aus Ortenburg verwendet. Der Laser–Sensor LD1605-20 arbeitet bei einer Wellenlangevon 675nm (sichtbares Rotlicht) und besitzt einen Abtastbereich von ±10 mm bei einem Aus-gangsspannungsbereich von ±10 V und einem Grundabstand in der Messbereichsmitte von65 mm. Die Linearitatsabweichungen sind kleiner 60 µm (≤ ±0.30 % des Messbereiches). Die


Reaktionszeit des Sensors wurde auf 2 ms eingestellt, wobei ein Kompromiss zwischen Rausch-empfindlichkeit und Messgenauigkeit gefunden wurde. Zur mechanischen Entkoppelung wurdeder Sensor mit drei Bindfaden von der Decke hangend befestigt (vgl. Bild 3.5).

Bild 3.5: Beruhrungsloses optisches Wegmesssystem optoNCDT 1605 und DMS-Beschleunigungssensoren Typ 89010 zur Erfassung der Verschiebung und derBeschleunigung des Fundamentes in vertikaler Richtung

3.3.6 Beschreibung der Beschleunigungssensoren fur die mechanische Lastund das Fundament

Zur Erfassung der Beschleunigung der mechanischen Last und der Beschleunigung des Funda-ments (vgl. Bild 3.5) werden DMS-Beschleunigungssensoren des Typ 89010 der Firma Bur-ster aus Gernsbach und der dazugehorigen Auswerteelektronik SEMMEG 9000 eingesetzt. DieAuswerteelektronik ubernimmt die Speisung der Dehnungsmessstreifen (DMS) in den Sensorenund die Verstarkung und Tiefpassfilterung der Sensorsignale. Die Tiefpassfilter werden hard-waremaßig auf eine Grenzfrequenz von 1 kHz eingestellt. Der Ausgangsspannungsbereich desVerstarkers betragt ±10 V. Der Beschleunigungssensor der mechanischen Last besitzt einenMessbereich von ±10 g. Der Beschleunigungssensor des Fundaments besitzt einen Messbereichvon ±5 g. Der Arbeitsfrequenzbereich der Beschleunigungssensoren betragt 0 bis 250 Hz beieiner Resonanzfrequenz von ca. 600 Hz.

3.3.7 Beschreibung des Gleichspannungsmessverstarkers Typ AE101

Der Gleichspannungsmessverstarker vom Typ AE101 dient zur aktiven Signalaufbereitung derpassiven Vollbrucken der Druckaufnehmer. Unter aktiver Signalaufbereitung versteht man dieWandlung des vom Sensorelement kommenden Signals in ein definiertes bzw. standardisiertes

3.4 Beschreibung der Hardware des Rechnersystems 23

elektrisches Ausgangssignal. Der Gleichspannungsmessverstarker vom Typ AE101 besteht auseinem einstellbarem Differenzverstarker mit anschließender analoger Filterung durch ein Bessel-Tiefpassfilter 3. Ordnung, dessen Grenzfrequenz sich zwischen 10 Hz und 6 kHz umschalten lasst.Die Bruckenspeisespannung wird fur alle Sensoren auf eine Gleichspannung von 5 Volt einge-stellt. Die Ausgangsspannung des Gleichspannungsmessverstarkers betragt ±10 V bei einemmaximalen Lastwiderstand von 4 kΩ. Er besitzt die Genauigkeitsklasse 0.1 und eine Linearitats-abweichung <0.05 % vom Endwert.

3.4 Beschreibung der Hardware des Rechnersystems

Das Rechnersystem dient zur

• Implementierung der Regelalgorithmen und zur

• Durchfuhrung von Identifikationsexperimenten.

Die Hardware des Rechnersystems, dargestellt im Bild 3.6, besteht aus:

• einer Transputermesskarte ADWIN der Firma Jager-electronic und

• einem DSM–860/16–Board der Firma DSM.

ADWIN DSM-860/16

Bild 3.6: Einsteckkarten des Rechnersystems (links: Transputermesskarte ADWIN, mitte undrechts: DSM–860/16–Board)

Die Transputermesskarte ADWIN ist eine Messwerterfassungskarte, die als Einsteckkartefur den PC gefertigt wird. Sie besitzt

• 16 Analogeingange und• 2 Analogausgange

mit jeweils einer Auflosung von 12 Bit. Die Signale der 16 Analogeingange werden uber zwei8-Kanal-Multiplexer mit zwei nachgeschalteten Analog-Digital-Wandlern erfasst. Ein Analog-Digital-Wandler besitzt eine Summenabtastrate von 100 kHz. Zur Signalverarbeitung besitztdie Messwerterfassungskarte einen Transputer T805/25 mit 4 MB Arbeitsspeicher. Transputer


16 AnalogInT805 T222 i860

ISA-BUS

Standard PC (’486, 40 MHz, 16MB RAM)

RISC-i860-KarteADWIN-Karte

Link1 Link0

Link0

6 AnalogOut

Bild 3.7: Blockschaltbild der Rechnersystems

sind multitasking- und multiprozessorfahige Mikroprozessoren. Die Analog-Digital- und Digital-Analog-Wandler werden vom Transputer direkt angesprochen. Die Verbindung zwischen PCund Transputer T805 erfolgt uber einen der vier Kommunikationsports (Links) des Transputers(Link 0). Uber ein Serverprogramm wird das Anwenderprogramm vom PC in den Transputergeladen und anschließend ausgefuhrt. Wahrend der Ausfuhrung des Anwenderprogramms imTransputer findet uber diesen Link die Kommunikation zwischen Transputer und PC statt, umzum Beispiel Messdaten der Analog-Digital-Wandler auf dem PC abspeichern zu konnen. Dierestlichen drei Links stehen zum Ankoppeln weiterer Transputer zur Verfugung. Im vorliegendenRechnersystem wird uber den Link 1 des Transputer T805 der Transputermesskarte ADWINder Transputer T222 auf dem DSM–860/16–Board angeschlossen (siehe das Blockschaltbild desRechnersystems im Bild 3.7).Die Programmierung erfolgt uber den Host-PC in Parallel–C (Transputer).Das DSM–860/16–Board ist eine Einsteckkarte fur den PC, auf der sich

• ein RISC-Prozessor i860 der Firma Intel mit 8 MB Arbeitsspeicher und

• ein Transputer T222 zur Kommunikation mit anderen Transputern

befinden. Ein Risc-Prozessor ist ein Mikroprozessor, der aufgrund seines kompakten und ef-fizienten Befehlsatzes eine hohe Rechenleistung besitzt. Der Risc-Prozessor i860 auf demDSM–860/16–Board wird mit 40 MHz getaktet. Er ist uber eine Mapped-I/O - Schnittstelle mitdem PC verbunden. Uber diese Schnittstelle wird das Anwenderprogramm vom PC in den Pro-grammspeicher des Risc-Prozessors i860 auf dem DSM–860/16–Board geladen und anschließendausgefuhrt. Ebenfalls uber diese Schnittstelle findet die Kommunikation zwischen PC und i860bei Ausfuhrung des Anwenderprogramms statt. Die Verbindung des Risc-Prozessors i860 mitdem Transputer T222 findet uber eine Dual-Ported-RAM Schnittstelle statt. Alle vier Links desTransputers T222 sind fur Ankopplung an weitere Transputer frei. Die DSM 860-Karte besitztkeine Analogschnittstellen.Im vorliegenden Rechnersystem ubernimmt die Transputermesskarte ADWIN die Aufgaben zurMesswerterfassung und Datenvorverarbeitung und das DSM–860/16–Board fuhrt die Berech-nung der Regelalgorithmen durch.

3.5 Zusammenfassung

In diesem Kapitel wurden

3.5 Zusammenfassung 25

Sensor fur Messbereich Ausgang max. FehlerVentilweg xV ±6 · 10−4 m ±10VDrucke pI , pII , pS 0...300 bar 0...10 V ≤0.15%Druck pR 0...100 bar 0...10 V ≤0.15%Differenzdruck pL −50 bar... + 50 bar ±10 V ≤ 0.5%Zylinderkolbenauslenkung xk ±125 mm ±10 VAuslenkung des Fundaments xG ±10 mm ±10 V ≤0.3%Beschleunigung xka ±10 g ±10 V ≤5%Beschleunigung xG ±5 g ±10 V ≤5%

Tabelle 3.1: Ubersicht der einzelnen Sensoren mit ihren Messbereichen, ihren Ausgangsspan-nungen und ihren auf den Messbereichsendwert bezogenen maximalen Fehlern

• die hydraulischen Komponenten• die Sensoren und• die Hardwarekomponenten des Rechnersystems,

fur den Laboraufbau des servohydraulischen Prufstands beschrieben. In der Tabelle 3.1 ist eineUbersicht der einzelnen Sensoren mit ihren Messbereichen, ihren Ausgangsspannungen und ihrenauf den Messbereichsendwert bezogenen maximalen Fehlern gegeben.


Kapitel 4

Mathematische Modellbildung eines

servohydraulischen Linearantriebs

4.1 Einleitung

Die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten Typen von Modellgleichungen eines servohydrauli-schen Linearantriebs sind :

• nichtlineare nicht reduzierte Modellgleichungen (Abschnitt 4.2)Sie enthalten die meisten Details des Prozessverhaltens und werden als Streckenmodell in derRechnersimulation des Laborexperiments eingesetzt (vgl. Kapitel 8). Fur eine Verwen-dung als Streckenmodell im Reglerentwurf sind sie zu umfangreich.

• nichtlineare reduzierte Modellgleichungen (Abschnitt 4.3)Sie werden aus den nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen aufgrund mehrerer Re-duktionsannahmen entwickelt und dienen beim nichtlinearen Reglerentwurf als Strecken-modell (vgl. Kapitel 7.3).

• lineare nicht reduzierte Modellgleichungen (Abschnitt 4.4)Sie werden aus den nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen durch Linearisierung ineiner Ruhelage berechnet (vgl. Kapitel 5.3). Mittels dieses Modells wird der Reduktionsschrittzum linearen reduzierten Modell untersucht (vgl. Kapitel 5.5).

• lineare reduzierte Modellgleichungen (Abschnitt 4.5)Sie werden aus den nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen durch Linearisierungin einer Ruhelage berechnet (vgl. Kapitel 5.2) und dienen beim linearen Reglerentwurfals Streckenmodell (vgl. Kapitel 7.4).

Alle genannten Modellgleichungen werden als Modellhypothese bei der parametrischen Iden-tifikation eingesetzt (vgl. Kapitel 6).

4.2 Nichtlineare nicht reduzierte Modellgleichungen

Die nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen des servohydraulischen Linearantriebssind der Ausgangspunkt fur die

• Rechnersimulationen zur

• Validierung des Streckenmodells und zur• Erprobung der entworfenen Regelalgorithmen, fur die

27

28 Kapitel 4. Mathematische Modellbildung

• Modellreduktion zum Erzeugen nichtlinearer reduzierter Modellgleichungen, die als Strecken-modell fur den nichtlinearen Reglerentwurf dienen, fur die

• Bestimmung der statischen Ruhelage mit anschließender Linearisierung zur Bildung derlinearen nicht reduzierten und der linearen reduzierten Modellgleichungen, die als Strecken-modell fur den linearen Reglerentwurf dienen und fur die

• parametrische Identifikation als Modellhypothese.

Der servohydraulische Antrieb wird in die folgenden drei Teilsysteme unterteilt:

Teilsystem I: Ansteuerung der Servoventilmechanik (Servoventil),Teilsystem II: Volumenflusse uber die Steuerkanten des Servoventils und

Druckaufbau in den Zylinderkammern (Hydraulik)Teilsystem III: Mechanik der Last und des Fundaments (Mechanik).

Die Modellgleichungen fur die Teilsysteme sind aus [1] ubernommen worden.

Im Bild 4.1 ist das Wirkschaltbild des servohydraulischen Antriebs und im Bild 4.2 die Mechanikdes servohydraulischen Antriebs dargestellt (vgl. Bild 3.1).

Das Teilsystem I (Servoventil) wird durch die folgenden Modellgleichungen beschrieben:

• Modellgleichung fur die elektromagnetische Ansteuerung der Ventilkolbenstange

FV + a′M · FV = k′M · a′M · u′M , (PT1-Verhalten) (4.1)

• Sattigungkennlinie F ′V (FV ) (vgl. Bild 4.3) der durch die elektromagnetische Ansteuerung

erzeugten Kraft FV

F ′V := F ′

V (FV ) =

FVmax fur FV > FVmax

FV fur −FVmax < FV < FVmax

−FVmax fur FV < −FVmax

, (4.2)

• Modellgleichung fur die Bewegung der Ventilkolbenstange

mV · xV + dV · xV = F ′V und (4.3)

• Modellgleichungen fur den Lageregler (P-Regler)

xV d = k′V · uM , (4.4a)exV = xV d − xV , (4.4b)u′M = kpV · exV . (4.4c)

Bemerkung 4.1 (Einfuhrung gestrichener Parameter k′V , k′M , a′M): Die gestrichenenParameter k′V , k′M , a′M werden zur Unterscheidung der Parameter des linearen Servoventil-modells (4.25) und (4.26) eingefuhrt (vgl. [1]).

Bemerkung 4.2 (Rechnersimulation des physikalischen Modells des Servoventils):In der Rechnersimulation wird das Modell des Servoventils mit den physikalischen Parameterndurch ein Modell mit formalen Parametern (vgl Kapitel A.1) ersetzt, beim dem sich die Para-meter eindeutig aus dem Ein-/Ausgangsverhalten identifizieren lassen.

4.2 Nichtlineare nicht reduzierte Modellgleichungen 29

laminarer und turbulenter

hydrostatisches Lager

hydrostatisches Lager

Zylinderkolbenstange

Zylinderkammer II

Leck

fluss

qL

EI

Feder–DampferElemente

pS

pIIFV

FV

xV

xV

xV

q4

q2

q1

pS

Servoventil–steuerkanten

mechanische Last

Inertialsystem

Steuereingang uM

mG

cG dG

xG

xG,xG

elektro-magnetischer

Antrieb

Servoventil–mechanik

Servoventil

Servoventil–kolben

Zylinderkolben

mk

gxkaxka

xka

q3

Zylindergehause

Fundament

Bypassfluss qBP , qBPL

Versorgungsdruck

Versorgungsdruck

pS

druckVersorgungs-

RucklaufdruckpR

Zylinderkammer I

pI

Leck

fluss

qL

EII

Bild 4.1: Wirkschaltbild des servohydraulischen Antriebs

Das Teilsystem II (Hydraulik) wird durch die folgenden Modellgleichungen beschrieben:

• Modellgleichungen fur den Druckaufbau in den Zylinderkammern I und II

pI · AI

B· (lI0 + (xka − xG)) + AI · (xka − xG) = qZI(xV , pI , pII) , (4.5a)

pII · AII

B· (lII0 − (xka − xG))−AII · (xka − xG) = −qZII(xV , pI , pII) (4.5b)

mit den Volumenflussen

qZI(xV , pI , pII) := q2(xV , pI) −q1(xV , pI) −qBP (pI , pII) −qBPL(pI , pII) −qLEI(pI), (4.6a)qZII(xV , pI , pII) := q4(xV , pII) −q3(xV , pII) −qBP (pI , pII) −qBPL(pI , pII) +qLEII(pII), (4.6b)


Fuhrung

dG

mk

ElementeFeder–Dampfer

Fundament

Inertialsystem

mechanische Last

mG

cG

pII

pI

Tisch

Hydraulikzylinder

xka

xka

xka

xG

xG

xG

xk := xka − xG

xk := xka − xG

Zylindergehause


Bild 4.2: Mechanik des servohydraulischen Antriebs

SattigungFVmax

FV [N ]−FVmax

F ′V [N ]

1

F ′VFV

Bild 4.3: Sattigungkennlinie F ′V (FV ) der durch die elektromagnetische Ansteuerung erzeugten

Kraft FV (vgl. Gleichung (4.2))

• Modellgleichungen fur die Volumenflusse uber die Servoventil-Steuerkanten;

q1(xV , pI) := −αD1 ·π ·d1 ·√

2/ρ·√|pI−pR| ·sign (pI−pR) ·(xV +xu1)·σ (−xV −xu1) , (4.7a)

q2(xV , pI) := αD2 ·π ·d2 ·√

2/ρ·√|pS−pI | ·sign (pS−pI) ·(xV −xu2)·σ ( xV −xu2) , (4.7b)

q3(xV , pII) := −αD3 ·π ·d3 ·√

2/ρ·√|pS−pII | ·sign (pS−pII) ·(xV +xu3)·σ (−xV −xu3) , (4.7c)

q4(xV , pII) := αD4 ·π ·d4 ·√

2/ρ·√|pII−pR|·sign (pII−pR)·(xV −xu4)·σ ( xV −xu4) , (4.7d)


Hier wurde bereits fur beide Zylinderkammern die gleiche spezifische Dichte ρ des Arbeits-mediums Ol angenommen, was der Annahme in Gl. (4.15c) entspricht.

• Modellgleichungen fur die Leckflusse aufgrund hydrostatischer Lagerung der Zylinderkolben-stange (siehe hierzu auch Anhang A.3)

qLEI(pI) := kLEPI · pI − kLEPSI · pS (Kammer I) , (4.8a)qLEII(pII) := kLEPII · pII − kLEPSII · pS (Kammer II) , (4.8b)

• Modellgleichungen fur laminaren bzw. turbulenten Bypassfluss

qBPL(pI , pII) := kBPL · (pI − pII) (laminar) , (4.9a)

qBP (pI , pII) := αBP ·ABP ·√

2/ρ ·√|pI − pII | · sign (pI − pII) (turbulent) . (4.9b)

Bemerkung 4.3 (Leckflusse aufgrund hydrostatischer Lagerung): Das Zustandekom-men der Gleichungen (4.8a) und (4.8b) der Leckflusse aufgrund hydrostatischer Lagerung derZylinderkolbenstange wird im Kapitel A.3 beschrieben.

Das Teilsystem III (Mechanik) wird durch die folgenden Modellgleichungen beschrieben:

• Modellgleichung der Lastmechanik

mk · xka + dk · (xka − xG) = AI · pI −AII · pII︸︷︷︸=:Fhyd

+ mk · gφ und (4.10)

• Modellgleichung der Mechanik des Fundaments mit Feder–Dampfer–Elementen

mG · xG − dk · (xka − xG) + dG · xG + cG · xG = −AI · pI + AII · pII︸︷︷︸=−Fhyd

+ mG · gφ (4.11)

Bemerkung 4.4 (Senkrechte oder waagerechte Einbaulage des Zylinders): Uber dieKonstante gφ := g · sin(φ) in den Gleichungen (4.10) und (4.11) ist das Behandeln eines waage-recht liegenden (sin(φ) = 0, gφ = 0) und eines senkrecht stehenden Zylinders (sin(φ) = 1, gφ = g)moglich. Der Winkel φ bezeichnet den Winkel zwischen Horizontale und Zylinderkolbenstange.

Die Modellgleichungen (4.1) bis (4.11) enthalten die folgenden Modellvariablen :

uM Ventileingangsspannung [V],xV Ventilkolbenweg (Ist-Wert) [m],xV d Ventilkolbenweg (Soll-Wert) [m],exV Fehler des Ventilkolbenwegs [m],u′M Eingangsspannung der elektromagnetischen Ansteuerung [V],FV Ansteuerkraft der Ventilkolbenstange vor Sattigung [N],F ′

V Ansteuerkraft der Ventilkolbenstange nach Sattigung [N],

xka Zylinderkolbenweg bezogen auf das Inertialsystem [m],xG Verschiebung des Fundaments bezogen auf das Inertialsystem [m] ,xk := xka − xG Zylinderkolbenweg relativ zum Fundament [m] (vgl. Bild 4.2),pI , pII Drucke in den Zylinderkammern I, II [ N

m2 ],


pS Versorgungsdruck [ Nm2 ],

pR Rucklaufdruck [ Nm2 ],

q1 , q2 , q3 , q4 Volumenflusse uber die Servoventil–Steuerkanten 1, 2, 3, 4 [m3

s ],qLEI , qLEII Leckflusse des Antriebs [m

3

s ],qBP turbulenter Bypassfluss des Antriebs [m

3

s ],qBPL laminarer Bypassfluss des Antriebs [m

3

s ],Fhyd durch die Hydraulik erzeugte Kraft [N]

und die Modellparameter :

k′V stationarer Ubertragungsfaktor des Servoventils [mV ]kpV Verstarkungsfaktor des Lagereglers im Servoventil [V

m ],k′M Verstarkungsfaktor des elektromagnetischen Antriebs [NV ],a′M Polstelle der Ubertragungsfunktion zur Gleichung (4.1) [1s ],FVmax Sattigung der magnetischen Kraft FV [N],mV Masse der Ventilkolbenstange [kg],dV linearer Dampfungskoeffizient der Ventilkolbenmechanik [N·sm ],

lI0 , lII0 Zylinderkammerlangen I, II in Mittenposition des Kolbens [m],AI , AII Zylinderkolbenflachen der Kammern I, II [m2],B stromungsmechanische Kompressibilitat [ N

m2 ],ρ spezifische Dichte des Arbeitsmediums Ol [ kg

m3 ],αD1 , αD2 , αD3 , αD4 Durchflusskoeffizienten der Ventilsteuerkanten [1],d1 , d2 , d3 , d4 Durchmesser der Ventilsteuerkanten [m],xu1 , xu2 , xu3 , xu4 Uberdeckungsverhaltnisse [m],kLEPI , kLEPSI Leckflusskoeffizienten der Kammer I [m

4·skg ] ,

kLEPII , kLEPSII Leckflusskoeffizienten der Kammer II [m4·s

kg ] ,kBPL Koeffizient des laminaren Bypassflusses [m

4·skg ]

αBP ·ABP Koeffizient des turbulenten Bypassflusses [m2],mk Masse der Last und der Kolbenstange [kg],dk linearer Dampfungskoeffizient der Lastmechanik [N·sm ],mG Masse des Fundaments [kg],dG linearer Dampfungskoeffizient der Feder-Dampfer-Elemente [N·sm ] ,cG Federsteifigkeit der Feder-Dampfer-Elemente [N

m ] undg Gravitationskonstante [m

s2].

In den Gleichungen (4.7a) bis (4.7d) wird die Sprungfunktion σ(x) verwendet, die wie folgtdefiniert wird:

σ(x) =

1 fur x ≥ 00 sonst

. (4.12)

Das Blockschaltbild zu den nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen (4.1) bis (4.11) istim Bild 4.4 dargestellt.


Tei

lsys

tem

II

-+

AI

AII

AI

AII

kL

EP

Ik

LE

PS

I

kL

EP

II

kL

EP

SII

-

+

∫∫

kB

PL

q BP(p

I−

p II)

(4.9

b)

BA

I·(l I

0+x

ka−x

G)

BA

II·(

l II0−

xk

a+x

G)

−1 mG

c G mG

dG

mG

dk

mG

∫

dk

mk

∫ ∫

k′ V

- +

+- -

+

- +

q 1(x

V,p

I,p

R)

(4.7

a)

(4.7

b)

q 2(x

V,p

I,p

S)

p I

-+

-

p II

p I p II

Dru

ckau

fbau

der

Kam

mer

I(4

.5a)

(4.7

c)q 3

(xV,p

II,p

S)

q 4(x

V,p

II,p

R)

(4.7

d)

-

xka−x

G

xka−x

G

xV

p I p R xV

p I p S xV

p II

p S xV

p II

p R

p I

+ +

p I p II

p II

q 2

q BP

L

p I p II

+-q L

EI

+q L

EII

p S p S

Dru

ckau

fbau

der

Kam

mer

II(4

.5b)

(4.8

b)

(4.8

a)

q BP

p I−p

II

q 4q 3q 1

++ -

xka−x

G

xka−x

G

Fhyd

xka−x

G

-

∫

+

++

+

+

-

1 mk

g φ

xka

xka

Las

tmec

han

ik(4

.10)

Mec

han

ikdes

Fundam

ents

(4.1

1)+x

ka

xG

-

xG

-

xka−x

G

xG

xka

+

+

g φ-

xka−xG

xka

xG

xV

∫F

Vx

V

Sat

tigu

ng

−+

−

+x

VF′ V

−e xV

+

u′ M

FV

kp

Vk′ M·a′ M

a′ M

1m

V

∫ dV

mV

∫u

M

elek

trom

agnet

isch

eLag

ereg

ler

Anst

euer

ung

Ven

tilm

echan

ik(4

.3)

Sat

tigu

ngs

kennlinie

der

erze

ugt

en

Anst

euer

ung

der

Ser

vove

ntilm

echan

ik

(4.4

a),(4

.4b),

(4.4

c)(4

.1)

Kra

ft(4

.2)

xV

xV

d

Tei

lsys

tem

ITei

lsys

tem

III

Mec

han

ikV

olum

enflu

sse

und

Dru

ckau

fbau

(Hyd

raulik

)

Bild

4.4:

Blo

cksc

halt

bild

zude

nni

chtl

inea

ren

nich

tre

duzi

erte

nM

odel

lgle

ichu

ngen

(4.1

)bi

s(4

.11)


Bemerkung 4.5 (Reibung): In diesen Untersuchungen wird ein servohydraulischer Antriebmit hydrostatischer Lagerung der Kolbenstange verwendet, der sich durch sehr geringe Rei-bungskrafte auszeichnet. Im Falle der Verwendung von Antrieben ohne hydrostatische Lagerungmussen Reibungskrafte in den Modellgleichungen erganzt werden. Standard-Reibmodelle sind:

• Coulomb-Reibmodell mit Reibungskraft Fc

Fc = ck · sign (xk) und (4.13)

• Stribeck-Reibmodell mit Reibungskraft FRS

FRS(xk, xk) :=

sign (xk) ·(

Fhaft ·( |xk|−xk,krit

xk,krit

)4)

furund fur

|xk| ≤ xk,krit

sign (xk) = sign (xk)0 sonst

.

(4.14)

mit den Modellparametern ck , Fhaft und xk,krit.

4.3 Nichtlineare reduzierte Modellgleichungen

Die nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen des servohydraulischen Linearantriebs werdenaus den nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen (4.1) bis (4.11) aufgrund folgenderReduktionsannahmen entwickelt [1]:

1. Der Arbeitszylinder hat zug- und druckseitig gleiche Zylinderkolbenflachen

Ak := AI = AII . (4.15a)

2. Der Arbeitszylinderkolben wird um die Mittelstellung herum ausgesteuert

L/2 := lI0 = lII0 . (4.15b)

3. Es wird angenommen, dass die Dichte des Arbeitsmediums Ol in beiden Zylinderkam-mern in erster Naherung gleich ist

ρ := ρI = ρII . (4.15c)

4. Beim Servoventil liegt folgende Leitwertanpassung der Steuerkanten vor (vgl. [1])

Y1(·) ≡ Y3(·) und (4.15d)Y2(·) ≡ Y4(·) .

5. Die Druckversorgung wird als ideal angenommen

pS + pR = pI + pII ≡ 0 und damit (4.15e)pS + pR = pI + pII = konstant.

6. Die Ventilkolbendurchmesser erfullen die Symmetriebedingung

d := d1 = d2 = d3 = d4 . (4.15f)

4.3 Nichtlineare reduzierte Modellgleichungen 35

7. Die Ventiluberdeckungen erfullen die Symmetriebedingung

xu := xu1 = xu2 = xu3 = xu4 . (4.15g)

8. Die Durchflusskoeffizienten erfullen die Symmetriebedingung

αD := αD1 = αD2 = αD3 = αD4 . (4.15h)

9. Die Leckflusskoeffizienten erfullen die Symmetriebedingungen, da die hydrostatischenLager gleich ausgebildet sind

kLEP := kLEPI = kLEPII und (4.15i)kLEPSI = kLEPSII .

Bemerkung 4.6 (hydraulischer Leitwert, siehe Annahme 4): Der hydraulische Leitwertbzw. sein Kehrwert der hydraulische Widerstand, die hydraulische Kapazitat und die hydrau-lische Induktivitat sind die drei elementaren konstitutiven Relationen, die ahnlich wie in derElektrotechnik durch ein zweipoliges passives Netzwerkelement dargestellt werden [1]. Bei einerSteuerkante kann die Beziehung zwischen dem durch sie stromenden Volumenfluss q und dem anihr abfallenden Differenzdruck ∆p := p1 − p2 wie folgt durch einen Leitwert Y (xV ) beschriebenwerden (vgl. Bild 4.5):

q = Y (xV ) ·√|∆p| · sign (∆p) = Y (xV ) · fp(∆p) , (4.16)

wobei die Druckabhangigkeit in der Funktion fp(∆p) abgekurzt wird:

fp(∆p) :=√|∆p| · sign (∆p) . (4.17)

Der Leitwert Y (xV ) selbst ist vom Ventilweg xV abhangig:

Y (xV ) := αD · π · d ·√

2/ρ · (xV − xu) · σ(xV − xu) . (4.18)

Hiermit lassen sich die Modellgleichungen (4.7a) bis (4.7d) fur die Volumenflusse uber dieServoventil-Steuerkanten wie folgt schreiben:

q1(xV , pI)= −Y1(xV ) · fp(pI−pR) , (4.19a)q2(xV , pI)= Y2(xV ) · fp(pS−pI) , (4.19b)

q3(xV , pII)= −Y3(xV ) · fp(pS−pII) und (4.19c)q4(xV , pII)= Y4(xV ) · fp(pII−pR) . (4.19d)

Die beteiligten hydraulischen Leitwerte Y1(xV ) bis Y4(xV ) lauten:

Y1(xV ) := αD1 ·π ·d1 ·√

2/ρ·(xV +xu1)·σ (−xV −xu1) , (4.20a)

Y2(xV ) := αD2 ·π ·d2 ·√

2/ρ·(xV −xu2)·σ ( xV −xu2) , (4.20b)

Y3(xV ) := αD3 ·π ·d3 ·√

2/ρ·(xV +xu3)·σ (−xV −xu3) und (4.20c)

Y4(xV ) := αD4 ·π ·d4 ·√

2/ρ·(xV −xu4)·σ ( xV −xu4) . (4.20d)


Y (xV ) = αD · π · d ·√

2/ρ · (xV − xu) · σ(xV − xu)

q, p1 q, p2

xV

Druckabfall ∆p := p1 − p2√|∆p| · sign (∆p)

q = Y (xV ) ·√|∆p| · sign (∆p)

Bild 4.5: Darstellung einer Steuerkante, an der die Druckdifferenz ∆p := p1 − p2 abfallt unddurch die der Fluss q fließt; die Steuerkante besitzt einen durch den Ventilweg xV

veranderbaren Leitwert Y (xV ).

Bemerkung 4.7 (Leitwertanpassung der Steuerkanten, siehe Annahme 4): Im Bild 4.6werden die vier Steuerkanten des Servoventils als Bruckenschaltung dargestellt [1]. Die Brucken-schaltung besteht aus den vier hydraulischen Leitwerten Y1(xV ) bis Y4(xV ), die in Gl. (4.20a)bis Gl. (4.20d) beschrieben werden. Da der Volumenfluss qS , der in die Anlage fließt, gleich demVolumenfluss qR ist, der aus der Anlage fließt, folgt:

q2 + q3 − q1 − q4 = 0 . (4.21)

Werden die Gleichungen (4.19a) bis (4.19d) in die Gleichung (4.21) eingesetzt, ergibt sich:

Y2(xV )·fp(pS−pI)− Y3(xV )·fp(pS−pII) + Y1(xV )·fp(pI−pR)− Y4(xV )·fp(pII−pR) = 0 .(4.22)

Fur die Leitwertanpassung der Steuerkanten aus Gl. (4.15d) lasst sich die Gleichung (4.22) mitfolgenden Bedingungen fur die beteiligten Drucke erfullen:

Y1(·) ≡ Y3(·) : fp(pI−pR)− fp(pS−pII) = 0 bzw. pI−pR = pS−pII (4.23a)Y2(·) ≡ Y4(·) : fp(pS−pI)− fp(pII−pR) = 0 bzw. pS−pI = pII−pR . (4.23b)

Aus Gl. (4.23a) oder aus Gl. (4.23b) folgt die Reduktionsrelation:

pS + pR = pI + pII . (4.24)

Fur eine Leitwertanpassung der Steuerkanten aus Gl. (4.15d) sind die Symmetriebedingungbezuglich Ventilkolbendurchmesser Gl. (4.15f), Ventiluberdeckungen Gl. (4.15g) und Durchflus-skoeffizienten Gl. 4.15h zu erfullen.

Bemerkung 4.8 (ideale Druckversorgung, siehe Annahme 5): Fur die Herleitung derGl. (4.27) bzw. Gl. (A.16) wird die Bedingung pI + pII ≡ 0 verwendet, die bei einer idealenDruckversorgung erfullt ist. Bei einer idealen Druckversorgung sind Versorgungsdruck pS undRucklaufdruck pR konstant und nicht abhangig vom abgegebenem bzw. aufgenommenem Vo-lumenfluss. Fur die zeitlichen Ableitungen des Versorgungs- und Rucklaufdruckes gilt bei eineridealen Druckversorgung pS ≡ 0 und pR ≡ 0 . Durch Differentation der Gl. (4.24) folgt die Gl.(4.15e).

4.3 Nichtlineare reduzierte Modellgleichungen 37

pL

pR

xVp S− p I

pS −

pII

pI −

pR p II

− pRxV xV

xV

Y2 Y3

Y4Y1

q2

q4

qR

qS

q1qL/2

pS

pI pII

q4 qL/2

S

q2 q3A B

R

Versorgung

Rucklauf

Kammer I Kammer II

q3

q1

Bild 4.6: Darstellung der vier Steuerkanten des Servoventils als Bruckenschaltung der hydrauli-schen Leitwerte Y1(xV ) bis Y4(xV ) aus den Gln. (4.20a) bis (4.20d)

Die nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen setzen sich zusammen aus:

• einer linearen Modellgleichung fur die elektromagnetische Ventilansteuerung

FV + aM · FV = kM · aM · uM , (4.25)

• einer linearen Modellgleichung fur die Servoventilmechanik

xV + 2 · ζV · ωV · xV + ω2V · xV = kV · ω2

V · FV , (4.26)

Bemerkung 4.9 (Lineare Modelle der elektromagnetischen Ventilansteuerungund der Ventilmechanik): Die nichtlinearen Modellgleichungen (4.1) bis (4.4c) gebenden inneren Aufbau mit sattigungsbehafteter elektromagnetischer Ventilansteuerung, mitder Mechanik der Ventilkolbenstange und mit einen Lageregler wieder. In dem von außenerkennbaren Ubertragungsverhalten von der Eingangsspannung uM zum Ventilkolbenweg xV

wirkt der Lageregler wie eine Feder auf die Ventilkolbenstange. Die linearen Modellgleichungfur die elektromagnetische Ventilansteuerung (4.25) und (4.26) beschreiben nur dieses vonaußen erkennbare Ubertragungsverhalten fur den Fall, dass die Sattigungskennlinie (4.2) imlinearen Bereich ausgesteuert wird (vgl. Kapitel A.2). Hierzu werden die formalen Parame-ter kM , aM , kV , ζV und ωV verwendet. Fur den Reglerentwurf ist ein Streckenmodell ohneSattigungskennlinie erforderlich.

• einer nichtlinearen Modellgleichung fur den Druckaufbau in den Zylinderkammern

pL = − Ak

CH· (xka − xG) +

1CH

· qL(pL, xV )− 1CH

· qBPLred(pL)− 1

CH· qBP (pL) (4.27)


mit dem Lastfluss (Volumenfluss), siehe Anhang A.4,

qL(pL, xV ) := 2·kL ·CH· √

|p0−pL| · sign(p0−pL) · (xV −xu) · σ( xV −xu) (4.28)

+√|p0+pL| · sign(p0+pL) · (xV +xu) · σ(−xV −xu)

,

mit dem turbulenten Bypassfluss

qBP (pL) := 2 · kBP · CH

√|pL| · sign(pL) (4.29)

und mit dem laminaren Bypass- und Leckfluss

qBPLred(pL) := kLE · pL , (4.30)

Bemerkung 4.10 (Bypass- und Leckflussmodell): Im Rahmen dieser Arbeit wird das in[1] angenommene turbulente Bypass- und Leckflussmodell (4.29) durch ein laminares Bypass-und Leckflussmodell (4.30) angenahert, welches Vorteile beim Entwurf der nichtlinearen Reg-ler im Hinblick auf die Berechnung der partiellen Ableitungen bringt. Die Berechnung desBypass- und Leckflusskoeffizienten kLE wird in Kapitel A.4 beschrieben.

• einer Modellgleichung fur die Bewegung der Lastmechanik

mk · xka + dk · (xka − xG) = Ak · pL︸︷︷︸=Fhyd

+ mk · g und (4.31)

• einer Modellgleichung fur die Mechanik des Fundaments mit Feder–Dampfer–Elementen

mG · xG − dk · (xka − xG) + dG · xG + cG · xG = −Ak · pL︸︷︷︸=Fhyd

+ mG · g (4.32)

Das Blockschaltbild der nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen (4.25) bis (4.32) ist im Bild4.7 dargestellt.

Die nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen (4.25) bis (4.32) enthalten die zusatzlichen Mo-dellvariablen:

pL := pI − pII Lastdruck; Differenz der Drucke in Kammern I und II [ Nm2 ],

qL Lastfluss (Volumenfluss) [m3

s ]qBPLred

laminarer Bypassfluss des reduzierten Modells [m3

s ],

und die zusatzlichen Modellparameter:

kM Verstarkungsfaktor der elektromagnetischen Ventilansteuerung [NV ],aM Polstelle der Ubertragungsfunktion zu (4.25) [1s ],kV Verstarkungsfaktor der Servoventilmechanik [mN ],ωV Kreisfrequenz der Servoventilmechanik [1s ],ζV Lehrsches Dampfungsmaß der Servoventilmechanik [1],p0 effektiver Versorgungsdruck ( p0 := pS − pR ) [ N

m2 ],Ak Zylinderkolbenflache ( Ak := AI = AII ) [m2],

4.4 Lineare nicht reduzierte Modellgleichungen 39

L Lange beider Zylinderkammern ( L := lI0 + lII0 ) [m],αD symmetrischer Durchflusskoeffizient (αD := αD1 = αD2 = αD3 = αD4) [1] ,d symmetrischer Ventilkolbendurchmesser ( d := d1 = d2 = d3 = d4) [m],xu symmetrische Ventiluberdeckungen ( xu := xu1 = xu2 = xu3 = xu4) [m],CH hydraulische Kapazitat (CH := Ak·L

4·B ) [m5

N ],kL Lastflusskoeffizient (kL := αD·π·d

2·CH ·√ρ) [√

Nm2·s ],

kBP turbulenter Bypassflusskoeffizient (kBP := αD·ABP√2·CH ·√ρ

) [√

Nm·s ] und

kLE laminarer Bypass- und Leckflusskoeffizient (kLE := kBPL + 12 · kLEP ) [ m5

N·s ](vgl. Kapitel A.4).

Die Systemskizze in Bild 4.8 dient zur Veranschaulichung der Wirkung des Lastdrucks pL undzur Erklarung des Lastflusses qL. Die beiden Zylinderkammern werden zu einer fiktiven Zylin-derkammer zusammengefasst, in der der Lastdruck pL ansteht, der direkt auch auf die Mechanikwirkt. Der Lastdruck pL ist der Differenzdruck der beiden absoluten Kammerdrucke pI und pII .Ein Differenzdruck nimmt im Gegensatz zu einem Absolutdruck auch negative Werte an. DasServoventil liefert den Lastfluss qL aus Gl. (4.28) vermindert um Bypass- und Leckflusse aus Gl.(4.29) und Gl. (4.30) in die fiktive Zylinderkammer, wo sich dadurch der Lastdruck pL aufbaut.

Die nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen finden Verwendung als

• Streckenmodell beim nichtlinearen Reglerentwurf, bei• der Arbeitspunktbestimmung mit anschließender Linearisierung zur Bildung der linearen

reduzierten Modellgleichungen und als• Modellhypothese bei der parametrischen Identifikation.

4.4 Lineare nicht reduzierte Modellgleichungen

Die linearen nicht reduzierten Modellgleichungen des servohydraulischen Linearantriebs werdenaus den nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen (4.1) bis (4.11) durch Linearisier-ung in einer statischen Ruhelage berechnet (vgl. Kapitel 5.3). Mittels dieses Modells wird derReduktionsschritt zum linearen reduzierten Modell untersucht (vgl. Kapitel 5.5).Die linearen nicht reduzierten Modellgleichungen setzen sich zusammen aus:


FV + aM · FV = kM · aM · uM , (4.33)



V · FV , (4.34)

• zwei Modellgleichungen des linearen nicht reduzierten Druckaufbaus

pI = QXV 1·xV + QP11·pI + QP21·pII + QXK1·(xka−xG) + QV K1·(xka−xG), (4.35a)pII = QXV 2·xV + QP12·pI + QP22·pII + QXK2·(xka−xG) + QV K2·(xka−xG), (4.35b)


xka

kV·ω

2 V

2·ζ V

·ωV

kM·a M

Ak

kL

E−

1m

G

c G mG

dG

mG

dk

mG

∫

dk

mk

∫ ∫

q L(p

L,x

V)

p LxV

xV

∫- ++

+∫ ω2 V

aM∫

FV

xV

-

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M

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Ser

vove

ntilm

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ikTei

lsys

tem

I

∫p L

Ak

xka−x

G

Fhyd

+-- +

+

1C

H

q BP(p

L)

Dru

ckau

fbau

(4.2

7)

-

∫+

+

+

+

-

1 mk

g φ

+ -

xka

xG

xka

xG

xka

xG

xka−x

G

+

g φ+ +

xka−x

G

Las

tmec

han

ik(4

.31)

Mec

han

ikdes

Fundam

ents

(4.3

2)

Mec

han

ikTei

lsys

tem

III

Ser

vove

nti

lmec

han

ik(4

.26)

mag

net

isch

erA

ntr

ieb

(4.2

5)

Dru

ckau

fbau

(Hyd

raulik

)Tei

lsys

tem

II

Bild

4.7:

Blo

cksc

halt

bild

der

nich

tlin

eare

nre

duzi

erte

nM

odel

lgle

ichu

ngen

(4.2

5)bi

s(4

.32)

4.4 Lineare nicht reduzierte Modellgleichungen 41

xkaxkaxka


mechanische Last mk

Zylinderkammer

pL

Zylinderkolben

Zylindergehause

Feder–DampferElemente

Inertialsystem

mG

cG

FundamentxGxG,xG

Bypass- undLeckfluss

qBP

g

dG

qBPLred

fiktivevom ServoventilLastfluss qL

Lastdruck pL

Bild 4.8: Systemskizze zur Veranschaulichung der Wirkung des Lastdrucks pL und zur Erklarungdes Lastflusses qL

• einer Modellgleichung fur die Bewegung der Last

mk · xka + dk · (xka − xG) = AI · pI −AII · pII︸︷︷︸=Fhyd

und (4.36)

• einer Modellgleichung der Mechanik des Fundaments mit Feder–Dampfer–Elementen

mG · xG − dk · (xka − xG) + dG · xG + cG · xG = −AI · pI + AII · pII︸︷︷︸=−Fhyd

. (4.37)

Hierin enthalten sind die Linearisierungskoeffizienten, siehe Gl. (5.79) aus Kapitel 5.3.3:

QXV 1, QXV 2, QP11, QP12, QP21, QP22, QXK1, QXK2, QV K1 und QV K2,


die Kleinsignalgroßen, siehe Gl. (5.76) aus Kapitel 5.3.3:

FV := FV − FVC, (4.38a)

xV := xV − xVC, (4.38b)

pI := pI − pIC, (4.38c)

pII := pII − pIIC, (4.38d)

xka := xka − xkaC, (4.38e)

xG := xG − xGCund (4.38f)

uM := uM − uMC, (4.38g)

die Großen FVC, xVC

, pIC, pIIC

xkaCund xGC

der statischen Ruhelage und das konstanteEingangssignal uMC

, siehe Gln. (5.60) und (5.61) aus Kapitel 5.3.2.Die Ermittlung der statischen Ruhelage und die Definition der Linearisierungskoeffizienten undKleinsignalgroßen sind in Kapitel 5.3 beschrieben.

Das Blockschaltbild der linearen nicht reduzierten Modellgleichungen (4.33) bis (4.37) ist imBild 4.9 dargestellt.

4.5 Lineare reduzierte Modellgleichungen

Die linearen reduzierten Modellgleichungen des servohydraulischen Linearantriebs werden durchLinearisierung in einer statischen Ruhelage aus den nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen(4.25) bis (4.32) berechnet (vgl. Kapitel 5.2).Diese Modellgleichungen finden Verwendung als

• Streckenmodell beim linearen Reglerentwurf und als• Modellhypothese bei der parametrischen Identifikation.

Die linearen reduzierten Modellgleichungen setzen sich zusammen aus:


FV + aM · FV = kM · aM · uM , (4.39)



V · FV , (4.40)

• einer linearen Modellgleichung fur den Druckaufbau in den Zylinderkammern

pL = − AkCH

· (xka − xG) + QPCH

· pL + QXCH

· xV , (4.41)

• einer Modellgleichung fur die Lastmechanik

mk · xka + dk · (xka − xG) = Ak · pL︸︷︷︸=Fhyd

und (4.42)

• einer Modellgleichung fur die Mechanik des Fundaments mit Federdampfer–Elementen

mG · xG − dk · (xka − xG) + dG · xG + cG · xG = −Ak · pL︸︷︷︸=Fhyd

, (4.43)

4.5 Lineare reduzierte Modellgleichungen 43

xka

QX

K1

QV

K1

∫

QP

11

QP

21

QP

12

QP

22 ∫

QV

K2

QX

K2

AI

AII

-+

−1 mG

c G mG

dG

mG

dk

mG

∫

dk

mk

∫ ∫

kV·ω

2 V

2·ζ V

·ωV

kM·a M

xka−x

G

xka−x

G

p I p I p II

+ +++ + ++

+++++ ++

QX

V2

QX

V1

xka−x

G

xka−x

G

p II

p II

p I

xV

xV

xka−x

G

xka−x

G

xka−x

G

Fhyd

xka−x

G

Mec

han

ik

Las

tmec

han

ik(4

.36)

Mec

han

ikdes

Fundam

ents

(4.3

7)

-

∫

+

++

+-

1 mk

xka

xka

xG

-

xka−x

G

xka

+

+

+ -x

G

xka

xG xG

xka−x

G

xG

Dru

ckau

fbau

der

Kam

mer

I(4

.35a

)

Dru

ckau

fbau

der

Kam

mer

II(4

.35b

)

Dru

ckau

fbau

(Hyd

raulik

)

xV

Ser

vove

nti

lmec

han

ik(4

.34)

mag

net

isch

erA

ntr

ieb

(4.3

3)

∫- ++

+∫ ω2 V

aM∫

FV

xV

xV

-

+u

M

Anst

euer

ung

der

Ser

vove

ntilm

echan

ikTei

lsys

tem

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lsys

tem

IITei

lsys

tem

III

Bild

4.9:

Blo

cksc

halt

bild

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linea

ren

nich

tre

duzi

erte

nM

odel

lgle

ichu

ngen

(4.3

3)bi

s(4

.37)


mit dem Volumenflusskoeffizienten QX (flow gain), siehe Gl. (5.39) aus Kapitel 5.2.3 :

QX = 2·kL ·CH · √|p0 − pLC

|·sign(p0 − pLC) fur xVC

> 0√|p0 + pLC

|·sign(p0 + pLC) fur xVC

< 0, (4.44)

dem Volumenflusskoeffizienten QP (flow-pressure coefficient), siehe Gl. (5.41) aus Kapitel 5.2.3 :

QP =

−kL·CH ·xVC√|p0−pLC| − kLE fur xVC

> 0kL·CH ·xVC√|p0+pLC

| − kLE fur xVC< 0

, (4.45)

den Kleinsignalgroßen, siehe Gl. (5.35) aus Kapitel 5.2.3 :

FV := FV − FVC, (4.46a)

xV := xV − xVC, (4.46b)

pL := pL − pLC, (4.46c)

xG := xG − xGCund (4.46d)

uM := uM − uMC(4.46e)

und den Großen FVC, xVC

, pLC, xGC

der statischen Ruhelage und dem konstanten EingangssignaluMC

, siehe Gln. (5.26) und (5.27) aus Kapitel 5.2.2.

Die Ermittlung der statischen Ruhelage und die Definition der Linearisierungskoeffizienten undKleinsignalgroßen sind in Kapitel 5.2 beschrieben.Das Blockschaltbild der linearen reduzierten Modellgleichungen (4.39) bis (4.43) ist im Bild 4.10dargestellt.

4.6 Zusammenfassung

Die beschriebenen Typen von Modellgleichungen des servohydraulischen Antriebs bilden dieGrundlage fur die

• Linearisierung der nichtlinearen Modellgleichungen in einer statischen Ruhelage (vgl.Kapitel 5 ). Sie liefern die

• Modellhypothesen fur die parametrische Identifikation (vgl. Kapitel 6). Sie stellen furden

• nichtlinearen und linearen Reglerentwurf Regelstreckenmodelle zur Verfugung (vgl. Ka-pitel 7) und sie dienen als

• Streckenmodell in der Rechnersimulation des Laborexperiments (vgl. Kapitel 8).


Tei

lsys

tem

I

Ak

CH

QX

CH

kV·ω

2 V

2·ζ V

·ωV

kM·a M

−1

mG

c G mG

dG

mG

dk

mG

∫

dk

mk

∫ ∫

∫ −QP

CH

+--

xV

Dru

ckau

fbau

(4.4

1)

p L

xka−x

G

Fhyd

xka−x

G

Ak

mag

net

isch

erA

ntr

ieb

(4.3

9)

∫- ++

+∫ ω2 V

aM∫

FV

xV

-

+u

M

Ser

vove

nti

lmec

han

ik(4

.40)

xV

-

∫

+

++

+-

1 mk

Mec

han

ik

+

Tei

lsys

tem

III

Las

tmec

han

ik(4

.42)

Mec

han

ikdes

Fundam

ents

(4.4

3)

p L

xka

p Lx

ka

xka

xka−x

G

xG

xG

xG

xka

+ -

Dru

ckau

fbau

(Hyd

raulik

)Tei

lsys

tem

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ung

der

Ser

vove

ntilm

echan

ik

Bild

4.10

:B

lock

scha

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zier

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Mod

ellg

leic

hung

en(4

.39)

bis

(4.4

3)


Kapitel 5

Linearisierung der nichtlinearen Modellgleichungen

des servohydraulischen Antriebs in einer Ruhelage

5.1 Einleitung

Das folgende Kapitel beschreibt die Bestimmung von linearen Ersatzsystemen (Linearisierung)in einer statischen Ruhelage fur die nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen im Un-terkapitel 5.2 und fur die nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen des servo-hydraulischen Antriebs im Unterkapitel 5.3.Die bei der Linearisierung der nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen verwendeten For-melsymbole tragen den Index I, entsprechend wird der Index II fur die Formelsymbole derLinearisierung der nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen verwendet.

Die Linearisierungen umfassen jeweils die folgenden drei Schritte:

Der erste Schritt beinhaltet das Aufstellen einer nichtlinearen Zustandsraumdarstellungmit dem Zustandsvektor xi und dem Eingang ui mit i = I, II fur die nichtlinearen reduziertenbzw. nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen:

xi = fi(xi, ui) , i = I, II . (5.1)

Im zweiten Schritt erfolgt die Bestimmung der statischen Ruhelagen (xiC , uiC ) mit i = I, IIdes Systems durch Losung des nichtlinearen Gleichungssystems gebildet aus Gleichung (5.1) :

0 = f(xiC , uiC ) , i = I, II . (5.2)

Der dritte Schritt beinhaltet die Bestimmung der linearen Ersatzsysteme :

xi = Ai · xi + Bi · ui , i = I, II , (5.3)

die durch Taylorreihenentwicklung unter Vernachlassigung der Terme hoherer Ordnung um dieRuhelagen (xiC , uiC ) mit i = I, II des Systems ermittelt werden.

Bei der Herleitung wird davon ausgegangen, dass der Antrieb durch eine konstante Eingangs-spannung in der Ruhelage gehalten wird. Zum Erreichen der Ruhelage wird in der Praxis einLageregler verwendet, der die Zylinderkolbenstange an eine Sollposition fahrt.

Innerhalb dieses Kapitels wird zusatzlich auf die folgenden Aspekte eingegangen :

• senkrechte oder waagerechte Einbaulage des Zylinders und• Einfluss der Bypass- und Leckflusse auf das Einstellen der statischen Ruhelage.

47

48 Kapitel 5. Linearisierung

5.2 Linearisierung der nichtlinearen reduzierten Modellglei-chungen

Die drei Schritte zur Linearisierung der nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen des servo-hydraulischen Antriebs werden in den Unterkapitel 5.2.1, 5.2.2 und 5.2.3 beschrieben.

5.2.1 Nichtlineare Zustandsraumdarstellung der nichtlinearen reduziertenModellgleichungen

Bei den nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen (4.25) bis (4.32) aus Kapitel 4.3 wird einServoventil mit Nulluberdeckung (xu = 0) angenommen :Der Zustandsvektor xI := [xI1 , xI2 , xI3 , xI4 , xI5 , xI6 , xI7 , xI8 ]

T ∈ R8 setzt sich zusammen aus:

xI1 := FV , xI2 := xV , xI3 := xV , xI4 := pL, (5.4)xI5 := xka, xI6 := xka, xI7 := xG und xI8 := xG .

Der Eingang uI ∈ R1 des Systems ist die Ventileingangsspannung uM :

uI := uM . (5.5)

Die nichtlineare Zustandsraumdarstellung xI = fI(xI , uI), fI : R8 × R1 → R8, lautet:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

xI1

xI2

xI3

xI4

xI5

xI6

xI7

xI8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸

xI

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−aM · xI1 + aM · kM · uI

xI3

−2 · ζV · ωV · xI3 − ω2V · xI2 + ω2

V · kV · xI1

− AkCH

· (xI6 − xI8) + 1CH

· qL(xI4 , xI2)− kLECH

· xI4

xI6

− dkmk

· (xI6 − xI8) + Akmk

· xI4 + gφ

xI8

+ dkmG

· (xI6 − xI8)− dGmG

· xI8 − cGmG

· xI7 − AkmG

· xI4 + gφ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸

fI(xI ,uI)

(5.6)

mit dem Lastfluss (4.28)

qL(xI4 , xI2) := 2·kL ·CH· √

|p0−xI4 | · sign(p0−xI4) · (xI2) · σ( xI2) (5.7)

+√|p0+xI4 | · sign(p0+xI4) · (xI2) · σ(−xI2)

.

Mit der Große gφ ist das formale Behandeln eines waagerecht liegenden (gφ = 0) oder einessenkrecht stehenden Zylinders (gφ = g) moglich (siehe Bemerkung 4.4).

Bemerkung 5.1 (Signifikanter oder vernachlassigbarer Bypass ): Ein signifikanter By-pass wird durch kLE > 0 und ein vernachlassigbarer Bypass durch kLE = 0 in den Modellglei-chungen ausgedruckt.

Bemerkung 5.2 (Annahmen): Es werden folgende Annahmen verwendet:

0 ≤ mk · gφ

Ak< p0 , (5.8a)

0 < kL und (5.8b)0 ≤ kLE . (5.8c)

5.2 Linearisierung der nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen 49

5.2.2 Bestimmung der Ruhelagen der nichtlinearen reduzierten Modellglei-chungen

Die Ruhelagen (xIC, uIC

) mit xIC:= [xI1C

, xI2C, xI3C

, xI4C, xI5C

, xI6C, xI7C

, xI8C] des Systems

xI = fI(xI , uI) aus Gleichung (5.6) ergeben sich durch Losen des nichtlinearen Gleichungssy-stems

fI(xIC, uIC

) = 0 (5.9)

bezuglich der 8 Unbekannten (xI1Cbis xI8C

) bei einem Einstellparameter uIC.

Das nichtlineare Gleichungssystem (5.9) besteht aus folgenden 8 Gleichungen:

0 = −aM · xI1C+ aM · kM · uIC

, (5.10a)

0 = xI3C, (5.10b)

0 = −2 · ζV · ωV · xI3C− ω2

V · xI2C+ ω2

V · kV · xI1C, (5.10c)

0 = − Ak

CH· (xI6C

− xI8C) +

1CH

· qL(xI4C, xI2C

)− kLE

CH· xI4C

, (5.10d)

0 = xI6C, (5.10e)

0 = − dk

mk· (xI6C

− xI8C) +

Ak

mk· xI4C

+ gφ , (5.10f)

0 = xI8Cund (5.10g)

0 = +dk

mG· (xI6C

− xI8C)− dG

mG· xI8C

− cG

mG· xI7C

− Ak

mG· xI4C

+ gφ . (5.10h)

Die Losung des Gleichungssystems wird wie folgt ermittelt.

Aus den Gleichungen (5.10b), (5.10e) und (5.10g) folgt:

x3IC= 0 , (5.11)

x6IC= 0 und (5.12)

x8IC= 0 . (5.13)

Aus der Gleichung (5.10f) folgt unter Verwendung der Gleichungen (5.12) und (5.13) :

xI4C= −mk · gφ

Ak≤ 0 , (5.14)

d.h. die Gewichtskraft der Last (mk · gφ) wird durch die vom statischen Druck erzeugte Kraft(Ak · xI4C

) kompensiert.

Aus der Gleichung (5.10h) folgt unter Verwendung der Gleichungen (5.12), (5.13) und (5.14) :

xI7C=

(mG + mk) · gφ

cG≥ 0 , (5.15)

d.h. die Gewichtskraft des Fundaments und der Last ((mG+mk)·gφ) druckt die Feder–Dampfer–Elemente zusammen.


Aus der Gleichung (5.10d) entsteht unter Verwendung der Gleichungen (5.12), (5.13) und (5.14)eine nichtlineare Gleichung mit der Unbekannten xI2C

:

qL(−mk · gφ

Ak, xI2C

) = −kLE · mk · gφ

Ak. (5.16)

Die Losung xI2Cder nichtlinearen Gleichung (5.16) wird wie folgt bestimmt.

Durch Einsetzen von Gleichung (5.7) in Gleichung (5.16) folgt :√|p0 +

mk · gφ

Ak| · sign(p0 +

mk · gφ

Ak)

︸︷︷︸=:a1

·xI2C· σ( xI2C

) (5.17)

+√|p0 − mk · gφ

Ak| · sign(p0 − mk · gφ

Ak)

︸︷︷︸=:a2

·xI2C· σ(−xI2C

) = − kLE ·mk · gφ

2 · kL ·Ak · CH︸︷︷︸=:b

.

Durch die Einfuhrung der Abkurzungen

a1 :=√|p0 +

mk · gφ

Ak| · sign(p0 +

mk · gφ

Ak) > 0 , (5.18a)

a2 :=√|p0 − mk · gφ

Ak| · sign(p0 − mk · gφ

Ak) > 0 und (5.18b)

b :=kLE ·mk · gφ

2 · kL ·Ak · CH≥ 0 (5.18c)

wird die Struktur der Gleichung (5.17) hervorgehoben:

a1 · xI2C· σ( xI2C

) + a2 · xI2C· σ(−xI2C

) = −b mit a1 > a2 > 0 und b ≥ 0 , (5.19)

wobei bezuglich der Abschatzungen folgende Annahmen verwendet werden:

0 ≤ mk · gφ

Ak< p0 , (5.20a)

0 < kL und (5.20b)0 ≤ kLE . (5.20c)

Ein Aufteilen der Gleichung (5.19) in eine Gleichung fur positive und eine Gleichung fur negativeWerte von x2C liefert:

a1 · xI2C= −b fur xI2C

> 0 oder (5.21a)

a2 · xI2C= −b fur xI2C

≤ 0 , (5.21b)

mit den Losungen

xI2C= − b

a1fur x2C > 0 oder (5.22a)

xI2C= − b

a2fur x2C ≤ 0 . (5.22b)

Aufgrund der Abschatzungen a1, a2 > 0 und b ≥ 0 (vgl. Gleichung 5.18) verbleibt die Losung :

xI2C= − b

a2= − kLE ·mk · gφ

2 · kL ·Ak · CH· 1√

|p0 − mk·gφ

Ak| · sign(p0 − mk·gφ

Ak)

. (5.23)


Aus der Gleichung (5.10c) folgt unter Verwendung der Gleichungen (5.11) und (5.23) :

xI1C=

1kV

· xI2C= − 1

kV· kLE ·mk · gφ

2 · kL ·Ak · CH· 1√

|p0 − mk·gφ


Ak)

. (5.24)

Der Einstellparameter uICberechnet sich nach Gleichung (5.10a) unter Verwendung der Glei-

chung (5.24) zu:

uIC=

1kM

· xI1C= − 1

kV · kM· kLE ·mk · gφ

2 · kL ·Ak · CH· 1√

|p0 − mk·gφ


Ak)

. (5.25)

Bemerkung 5.3 (Einstellparameter uIC): Der Einstellparameter uIC

ist laut Gleichung(5.25) fest vorgegeben. Dies hat Konsequenzen fur die praktische Einstellung des Arbeitspunktesim Laborexperiment. Um den Antrieb in der Ruhelage zu halten muss im Labor diese Spannungeingestellt werden.

Als statische Ruhelagen eines Antriebs ergeben sich zu :

FVC:= xI1C

= − 1kV

· kLE ·mk · gφ

2 · kL ·Ak · CH· 1√

|p0 − mk·gφ


Ak)

, (5.26a)

xVC:= xI2C

= − kLE ·mk · gφ

2 · kL ·Ak · CH· 1√

|p0 − mk·gφ


Ak)

, (5.26b)

xVC:= xI3C

= 0 , (5.26c)

pLC:= xI4C

= −mk · gφ

Ak, (5.26d)

xkaC:= xI5C

= nicht festgelegt durch das Gleichungssystem (5.10) , (5.26e)

xkaC:= xI6C

= 0 , (5.26f)

xGC:= xI7C

=(mG + mk) · gφ

cGund (5.26g)

xGC:= xI8C

= 0 (5.26h)

mit der konstanten Eingangsspannung :

uMC= uIC

= − 1kV · kM

· kLE ·mk · gφ

2 · kL ·Ak · CH· 1√

|p0 − mk·gφ


Ak)

, (5.27)

wobei xI1Caus Gleichung (5.24), xI2C

aus Gleichung (5.23), xI3Caus Gleichung (5.11), xI4C


aus Gleichung (5.15), xI8Caus Gleichung

(5.13) und uICaus Gleichung (5.25) stammen.

Die Tabelle 5.1 unterteilt die statischen Ruhelagen (xIC, uIC

) fur Antriebe mit und ohne Bypassin senkrechter oder waagerechter Einbaulage.Die Ruhelagen aus Gleichung (5.26) und (5.27) entsprechen fur gφ = g und kLE > 0 denRuhelagen eines senkrecht stehenden Antriebs mit Bypass.


Ruhelagen dernichtlinearen reduzierten

Modellgleichungen

Zylinder mit Bypass(kLE > 0)

Antrieb ohne Bypass(kLE = 0)

senkrecht stehender Antrieb(gφ = g)

xICaus Gleichung (5.26)

uICaus Gleichung (5.27)



waagerecht liegender Antrieb(gφ = 0)



Tabelle 5.1: Einteilung der statischen Ruhelagen von Antrieben mit und ohne Bypass in senk-rechter oder waagerechter Einbaulage basierend auf den nichtlinearen reduziertenModellgleichungen

Die Ruhelagen eines senkrecht stehende Antriebe mit vernachlassigbaren Bypass erhalt man ausGleichung (5.26) und Gleichung (5.27) mit gφ = g und kLE = 0:

FVC= x1C = 0 , (5.28a)

xVC= x2C = 0 , (5.28b)

xVC= x3C = 0 , (5.28c)

pLC= x4C = −mk · g

Ak, (5.28d)

xkaC= x5C = nicht festgelegt durch das Gleichungsystem (5.10) , (5.28e)

xkaC= x6C = 0 , (5.28f)

xGC= x7C =

(mG + mk) · gcG

, (5.28g)

xGC= x8C = 0 (5.28h)


uMC= uC = 0 . (5.29)

Fur waagerecht liegende Antriebe (gφ = 0) hat der Bypass keine Auswirkung auf die Ruhelagen

FVC= x1C = 0 , (5.30a)

xVC= x2C = 0 , (5.30b)

xVC= x3C = 0 , (5.30c)

pLC= x4C = 0 , (5.30d)

xkaC= x5C = nicht festgelegt durch das Gleichungsystem (5.10) , (5.30e)

xkaC= x6C = 0 , (5.30f)

xGC= x7C = 0 , (5.30g)

xGC= x8C = 0 (5.30h)



uMC= uC = 0 . (5.31)

Damit fallen in Tabelle 5.1 bei einem waagerecht liegenden Antrieb die Falle mit und ohneBypass zusammen.

Bemerkung 5.4 (Zylinderkolbenauslenkung xkaC= xI5C

in der statischen Ruhelage):Der Wert der Zylinderkolbenauslenkung xkaC

= xI5Cin der statischen Ruhelage wird weder

durch das Eingangssignal uICeingestellt noch durch andere Modellparameter festgelegt (vgl.

(5.26), (5.28) und (5.30)). Wie die statische Ruhelage angefahren wird, ist fur den Wert derZylinderkolbenauslenkung von entscheidender Bedeutung. Die Zylinderkolbenauslenkung xka

ergibt sich durch Integration aus der Zylinderkolbengeschwindigkeit xka. Wenn im Falle derRuhelage die Geschwindigkeit Null xka = 0 ist, so wird die aktuelle Zylinderkolbenauslenkunggehalten (Integrationskonstante). Um in eine vorgegebene Position zu fahren, ist es in der Praxiszweckmaßig einen Lageregler zu verwenden. Hat der Lageregler die Ruhelage mit der Sollpositionerreicht, kann vom Lageregler auf eine Steuerung umgeschaltet werden.

5.2.3 Linearisierung des nichtlinearen reduzierten Modells durch Taylorrei-henentwicklung um eine statische Ruhelage des Systems

Die nichtlineare Zustandsraumdarstellung aus Gleichung (5.6)

x = fI(xI , uI) := [fI1(xI , uI), fI2(xI , uI), ..., fI8(xI , uI)]T

mit

fI1(xI , uI) := −aM · xI1 + aM · kM · uI , (5.32a)fI2(xI , uI) := xI3 , (5.32b)

fI3(xI , uI) := −2 · ζV · ωV · xI3 − ω2V · xI2 + ω2

V · kV · xI1 , (5.32c)

fI4(xI , uI) := − Ak

CH· (xI6 − xI8) +

1CH

· qL(xI4 , xI2)−kLE

CH· xI4 , (5.32d)

fI5(xI , uI) := xI6 , (5.32e)

fI6(xI , uI) := − dk

mk· (xI6 − xI8) +

Ak

mk· xI4 + gφ , (5.32f)

fI7(xI , uI) := xI8 und (5.32g)

fI8(xI , uI) := +dk

mG· (xI6 − xI8)−

dG

mG· xI8 −

cG

mG· xI7 −

Ak

mG· xI4 + gφ (5.32h)

wird um eine Ruhelage (xIC, uIC

) aus Gleichung (5.26) und dem konstanten Eingangssignal uIC

aus Gleichung (5.27) mittels Taylorreihenentwicklung linearisiert:

xI = fI(xI , uI)︸︷︷︸≡0

+∂fI(xI , uI)

∂xI

∣∣∣∣(xIC

,uIC)︸︷︷︸

=:AI

· (xI − xIC)︸︷︷︸

xI

(5.33)


+∂fI(xI , uI)

∂uI

∣∣∣∣(xIC

,uIC)︸︷︷︸

=:BI

· (uI − uIC)︸︷︷︸

uI

+ Terme hoherer Ordnung .

Unter Vernachlassigung der Terme hoherer Ordnung erhalt man ein lineares Ersatzsystem:

xI = AI · xI + BI · uI . (5.34)

mit den Kleinsignalgroßen

xI := xI − xIC:= [xI1 , xI2 , xI3 , xI4 , xI5 , xI6 , xI7 , xI8 ]

T und (5.35a)uI := uI − uIC

, (5.35b)

sowie der Systemmatrix AI := ∂fI(xI ,uI)∂xI

∣∣∣(xIC

,uIC)

:

AI =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−aM 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0

ω2V · kV −ω2

V −2 · ζV · ωV 0 0 0 0 00 QX

CH0 QP

CH0 − Ak

CH0 Ak

CH

0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 Ak

mk0 − dk

mk0 dk

mk

0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 − Ak

mG0 dk

mG− cG

mG−dk+dG

mG

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(5.36)

und dem Steuervektor BI := ∂fI(xI ,uI)∂uI

∣∣∣(xIC

,uIC)

BI =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

aM · kM

0000000

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(5.37)

mit den Linearisierungskoeffizienten QX und QP .

Der Linearisierungskoeffizient QX (flow–gain coefficient) wird definiert als:

QX := CH · ∂fI4(xI , uI)∂xI2

∣∣∣∣(xIC

,uIC)

. (5.38)

Der Ausdruck fI4(x, u) in Gleichung (5.38) wird durch Gleichung (5.32d) ersetzt und partiellnach xI2 abgeleitet:

QX = CH ·∂

(− Ak

CH· (xI6 − xI8) + 1

CH· qL(xI4 , xI2)− kLE

CH· xI4

)

∂xI2

∣∣∣∣∣∣(xIC

,uIC)

,


QX =∂qL(xI4 , xI2)

∂xI2

∣∣∣∣(xIC

,uIC)

.

Der Ausdruck qL(xI4 , xI2) wird durch Gleichung (5.7) ersetzt und anschließend partiell nach xI2

abgeleitet:

QX = 2 · kL · CH ·∂

(√|p0 − xI4 | · sign(p0 − xI4) · xI2 · σ( xI2)

)

∂xI2

∣∣∣∣∣∣(xIC

,uIC)

+ 2 · kL · CH ·∂

(√|p0 + xI4 | · sign(p0 + xI4) · xI2 · σ(−xI2)

)

∂xI2

∣∣∣∣∣∣(xIC

,uIC)

,

QX = 2 · kL · CH ·√|p0 − xI4 | · sign(p0 − xI4) · σ( xI2)

∣∣∣(xIC

,uIC)

+ 2 · kL · CH ·√|p0 − xI4 | · sign(p0 + xI4) · σ(−xI2)

∣∣∣(xIC

,uIC)

,

QX = 2·kL ·CH ·

√|p0 − xI4C

|·sign(p0 − xI4C) fur xI2C

> 0√|p0 + xI4C

|·sign(p0 + xI4C) fur xI2C

< 0. (5.39)

Der Linearisierungskoeffizient QP (flow–pressure coefficient) wird definiert als:

QP := CH · ∂fI4(xI , uI)∂xI4

∣∣∣∣(xIC

,uIC)

(5.40)

Der Ausdruck fI4(x, u) in Gleichung (5.40) wird durch Gleichung (5.32d) ersetzt und partiellnach xI2 abgeleitet:

QP = CH ·∂

(− Ak

CH· (xI6 − xI8) + 1

CH· qL(xI4 , xI2)− kLE

CH· xI4

)

∂xI4

∣∣∣∣∣∣(xIC

,uIC)

,

QP = +∂qL(xI4 , xI2)

∂xI4

∣∣∣∣(xIC

,uIC)

− kLE

Der Ausdruck qL(xI4 , xI2) wird durch Gleichung (5.7) ersetzt und anschließend partiell nach xI2

abgeleitet:

QP = 2 · kL · CH ·∂

(√|p0 − xI4 | · sign(p0 − xI4) · xI2 · σ( xI2)

)

∂xI4

∣∣∣∣∣∣(xIC

,uIC)

+ 2 · kL · CH ·∂

(√|p0 + xI4 | · sign(p0 + xI4) · xI2 · σ(−xI2)

)

∂xI4

∣∣∣∣∣∣(xIC

,uIC)

− kLE ,

QP = 2 · kL · CH ·−xI2 · σ( xI2)2 ·

√|p0 − xI4 |

∣∣∣∣∣(xIC

,uIC)

+xI2 · σ(−xI2)

2 ·√|p0 + xI4 |

∣∣∣∣∣(xIC

,uIC)

− kLE ,


QP =

−kL·CH ·xI2Cq|p0−xI4C

| − kLE fur xI2C> 0

kL·CH ·xI2C√|p0+x4C

| − kLE fur xI2C< 0

. (5.41)

Bemerkung 5.5 (Probleme bei der Linearisierung): Die Linearisierung fur xI2C= 0 ist

mit diesem Verfahren nicht moglich, da dort eine Unstetigkeitsstelle vorliegt. Zudem tritt eineSingularitat bei xI4C

= ±p0 auf. In diesem Fall ware der statische Lastdruck pLC= xI4C

gleichdem effektiven Versorgungsdruck p0 und konnte damit keinen hoheren dynamischen Lastdruckmehr aufbringen. Der Antrieb ware uberlastet.

5.3 Linearisierung der nichtlinearen nicht reduzierten Modell-gleichungen

Die drei Schritte zur Linearisierung der nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen desservohydraulischen Antriebs werden in den Unterkapiteln 5.3.1, 5.3.2 und 5.3.3 beschrieben.

5.3.1 Nichtlineare Zustandsraumdarstellung der nichtlinearen nicht reduzier-ten Modellgleichungen

Die nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen (4.1) bis (4.11) aus Kapitel 4.2 wurdenwie folgt modifiziert und dann auf eine nichtlineare Zustandsraumdarstellung gebracht :

• Anstatt der nichtlinearen Servoventildynamik (4.1) bis (4.4c) werden lineare Modelle derelektromagnetischen Ventilansteuerung (4.25) und der Ventilmechanik (4.26) angesetzt (vgl.Kommentar 4.9).

• Es wird ein Servoventil mit Nulluberdeckung (xui = 0, i = 1, 2, 3, 4) angenommen.

Der Zustandsvektor xII := [xII1 , xII2 , xII3 , xII4 , xII5 , xII6 , xII7 , xII8 , xII9 ]T ∈ R9 setzt sich zu-

sammen aus:

xII1 := FV , xII2 := xV , xII3 := xV , xII4 := pI , xII5 := pII , (5.42)xII6 := xka, xII7 := xka, xII8 := xG und xII9 := xG .

Der Eingang u ∈ R1 des Systems ist die Ventileingangsspannung uM :

uII := uM . (5.43)

Die nichtlineare Zustandsraumdarstellung x = fII(x, u), fII : R9 × R1 → R9, lautet:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

xII1

xII2

xII3

xII4

xII5

xII6

xII7

xII8

xII9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸

xII

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−aM · xII1 + aM · kM · uII

xII3

−2 · ζV · ωV · xII3 − ω2V · xII2 + ω2

V · kV · xII1−B(lI0+xII6

−xII8) ·(xII7 − xII9) + B

AI·(lI0+xII6−xII8

) ·qZI(xII2 , xII4 , xII5)B

(lII0−xII6+xII8

) ·(xII7 − xII9)− BAII·(lII0−xII6

+xII8) ·qZII(xII2 , xII4 , xII5)

xII7

− dkmk·(xII7−xII9) + AI

mk·xII4 − AII

mk·xII5 + gφ

xII9dkmG

·(xII7−xII9)− dGmG

·xII9 − cGmG

·xII8 − AImG

·xII4 + AIImG

·xII5 + gφ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸

fII(xII ,uII)

, (5.44)

5.3 Linearisierung der nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen 57

mit den Zuflussen in die Zylinderkammern

qZI(xII2 , xII4 , xII5) := q2(xII2 , xII4)− q1(xII2 , xII4) (5.45a)− qBP (xII4 , xII5)− qBPL(xII4 , xII5)− qLEI(xII4) ,

qZII(xII2 , xII4 , xII5) := q4(xII2 , xII5)− q3(xII2 , xII5) (5.45b)− qBP (xII4 , xII5)− qBPL(xII4 , xII5) + qLEII(xII5) ,

den Volumenflussen uber die Steuerkanten des Ventils (4.7a) bis (4.7d) mit xui = 0, i = 1, 2, 3, 4

q1(xII2 , xII4) := −αD1 · π · d1 ·p

2/ρ ·p|xII4 − pR| · sign (xII4 − pR) · xII2 · σ (−xII2) , (5.46a)

q2(xII2 , xII4) := αD2 · π · d2 ·p

2/ρ ·p|pS − xII4 | · sign (pS − xII4) · xII2 · σ ( xII2) , (5.46b)

q3(xII2 , xII5) := −αD3 · π · d3 ·p

2/ρ ·p|pS − xII5 | · sign (pS − xII5) · xII2 · σ (−xII2) , (5.46c)

q4(xII2 , xII5) := αD4 · π · d4 ·p

2/ρ ·p|xII5 − pR| · sign (xII5 − pR) · xII2 · σ ( xII2) , (5.46d)

sowie den Leck- und Bypassflussen (4.8a), (4.8b), (4.9a) und (4.9b)

qLEI(xII4) := kLEPI · xII4 − kLEPSI · pS , (5.47a)qLEII(xII5) := kLEPII · xII5 − kLEPSII · pS , (5.47b)

qBPL(xII4 , xII5) := kBPL · (xII4 − xII5) und (5.47c)

qBP (xII4 , xII5) := αBP ·ABP ·√

2/ρ ·√|xII4 − xII5 | · sign (xII4 − xII5) . (5.47d)

Mit der Große gφ ist das Behandeln eines waagerecht liegenden (gφ = 0) oder eines senkrechtstehenden Zylinders (gφ = g) moglich (siehe Bemerkung 4.4).

Bemerkung 5.6 (Signifikante oder vernachlassigbare Bypass-/Leckflusse): Signifi-kante Bypass-/Leckflusse werden durch qLEI(pI) 6= 0, qLEII(pII) 6= 0, qBPL(pI , pII) 6= 0und qBP (pI , pII) 6= 0 und vernachlassigbare Bypass-/Leckflusse werden durch qLEI(pI) ≡ 0,qLEII(pII) ≡ 0, qBPL(pI , pII) ≡ 0 und qBP (pI , pII) ≡ 0 in den Modellgleichungen ausgedruckt.

5.3.2 Bestimmung der Ruhelagen der nichtlinearen nicht reduzierten Mo-dellgleichungen

Die Ruhelagen (xIIC, uIIC

) mit xIIC:= [xII1C

, xII2C, xII3C

, xII4C, xII5C

, xII6C, xII7C

, xII8C, xII9C

]des Systems xII = fII(xII , uII) aus Gleichung (5.44) ergeben sich aus der Losung des nichtli-nearen Gleichungssystems

fII(xIIC, uIIC

) = 0 (5.48)

bezuglich der 9 Unbekannten (xII1Cbis xII9C

) bei einem Einstellparameter uIIC.

Das nichtlineare Gleichungssystem (5.48) besteht aus folgenden 9 Gleichungen:

0 = −aM · xII1C+ aM · kM · uIIC

, (5.49a)

0 = xII3C, (5.49b)

0 = −2 · ζV · ωV · xII3C− ω2

V · xII2C+ ω2

V · kV · xII1C, (5.49c)

0 =−B · (xII7C

− xII9C)

(lI0 + xII6C− xII8C

)+

B · qZI(xII2C, xII4C

, xII5C)

AI · (lI0 + xII6C− xII8C

), (5.49d)


0 =B · (xII7C

− xII9C)

(lII0 − xII6C+ xII8C

)− B · qZII(xII2C

, xII4C, xII5C

)AII · (lII0 − xII6C

+ xII8C)

, (5.49e)

0 = xII7C, (5.49f)

0 = − dk

mk·(xII7C

−xII9C) +

AI

mk·xII4C

− AII

mk·xII5C

+ gφ , (5.49g)

0 = xII9Cund (5.49h)

0 =dk

mG·(xII7C

−xII9C)− dG

mG·xII9C

− cG

mG·xII8C

− AI

mG·xII4C

+AII

mG·xII5C

+gφ . (5.49i)

Die Losung des Gleichungssystems wird wie folgt ermittelt.

Aus den Gleichungen (5.49b), (5.49f) und (5.49h) folgt:

xII3C= 0 , (5.50)

xII7C= 0 und (5.51)

xII9C= 0 . (5.52)

Aus der Gleichung (5.49g) folgt unter Verwendung der Gleichungen (5.51) und (5.52):

AI · xII4C−AII · xII5C

= −mk · gφ ≤ 0 , (5.53)

d.h., die Gewichtskraft der Last (mk · gφ) wird durch die vom statischen Druck erzeugte Kraft(AI · xII4C

−AII · xII5C) kompensiert.

Aus der Gleichung (5.49h) folgt unter Verwendung der Gleichungen (5.51), (5.52) und (5.53):

xII8C=

(mG + mk) · gφ

cG≥ 0 , (5.54)

d.h., die Gewichtskraft des Fundaments und der Last ((mG+mk)·gφ) druckt die Feder–Dampfer–Elemente zusammen.

Aus den Gleichungen (5.49d) und (5.49e) entsteht unter Verwendung der Gleichungen (5.51)und (5.52) und mit den Annahmen lI0 + xII6C

− xII8C6= 0 und lII0 − xII6C

+ xII8C6= 0 das

folgende nichtlineare Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten xII2C, xII4C

:

qZI(xII2C, xII4C

, xII5C) = 0 und (5.55a)

qZII(xII2C, xII4C

, xII5C) = 0 . (5.55b)

wobei sich xII5Cnach Gleichung (5.53) aus xII4C

ergibt:

xII5C=

mk

AII· gφ +

AI

AII· xII4C

. (5.56)

In das Gleichungssystem (5.55) werden zuerst die Gleichungen (5.45a) und (5.45b) und danachdie Gleichungen (5.46a), (5.46b), (5.46c) und (5.46d) eingesetzt:

0 = qZI(xII2C, xII4C

, xII5C) ,


0 = q2(xII2C, xII4C

)− q1(xII2C, xII4C

)

− qBP (xII4C, xII5C

)− qBPL(xII4C, xII5C

)− qLEI(xII4C) ,

0 = αD2 · π · d2 ·√

2/ρ ·√∣∣∣pS − xII4C

∣∣∣ · sign(pS − xII4C

)· xII2C

· σ(xII2C

)(5.57a)

+ αD1 · π · d1 ·√

2/ρ ·√∣∣∣xII4C

− pR

∣∣∣ · sign(xII4C

− pR

)· xII2C

· σ(−xII2C

)

− αBP ·ABP ·√

2/ρ ·√∣∣∣xII4C

− xII5C


− xII5C

)

− kBPL · (xII4C− xII5C

)

− kLEPI · xII4C+ kLEPSI · pS ,

0 = qZII(xII2C, xII4C

, xII5C) ,

0 = q4(xII2C, xII5C

)− q3(xII2C, xII5C

)

− qBP (xII4C, xII5C

)− qBPL(xII4C, xII5C

) + qLEII(xII5C) ,

0 = αD4 · π · d4 ·√

2/ρ ·√∣∣∣xII5C

− pR


− pR

)· xII2C

· σ(xII2C

)(5.57b)

+ αD3 · π · d3 ·√

2/ρ ·√∣∣∣pS − xII5C

∣∣∣ · sign(pS − xII5C

)· xII2C

· σ(−xII2C

)


2/ρ ·√∣∣∣xII4C

− xII5C


− xII5C

)

− kBPL · (xII4C− xII5C

)

+ kLEPII · xII5C− kLEPSII · pS .

Bemerkung 5.7 (Losen des Gleichungssystems (5.55) bzw. (5.57)):Bei bekannten Modellparametern in den Gleichungen (5.57) werden die Werte fur xII2C

, xII4C

durch ein numerisches Verfahren (z.B. Methode von Newton-Kantorowitsch [53]) gefunden.

Aus der Gleichung (5.49c) folgt unter Verwendung der Gleichungen (5.50) und dem aus demGleichungssystem (5.55) numerisch ermittelten Wert fur xII2C

:

xII1C=

1kV

· xII2C. (5.58)

Aus der Gleichung (5.49c) folgt unter Verwendung der Gleichung (5.58):

uIC=

1kM

· xI1C=

1kM · kV

· xII2C. (5.59)

Bemerkung 5.8 (Einstellparameter uIIC): Der Einstellparameter uIIC

ist laut Gleichung(5.59) nicht frei wahlbar (vgl. Bemerkung 5.3).

Die Ruhelagen ergeben sich zu :

FVC:= xII1C

=1

kV· xII2C

, (5.60a)

xVC:= xII2C

= Losung des Gleichungsystems (5.55) , (5.60b)


Ruhelagen dernichtlinearen

nicht reduziertenModellgleichungen

Zylinder mitBypass- und Leckflussen

(qBP 6= 0, qBPL 6= 0,qLEI 6= 0, qLEII 6= 0)

Antrieb ohneBypass- und Leckflussen

(qBP ≡ 0, qBPL ≡ 0,qLEI ≡ 0, qLEII ≡ 0)

senkrecht stehender Antrieb(gφ = g)

xIICaus Gleichung (5.60)

uIICaus Gleichung (5.61)



waagerecht liegender Antrieb(gφ = 0)





Tabelle 5.2: Einteilung der statischen Ruhelagen von Antrieben mit und ohne Bypass in senk-rechter oder waagerechter Einbaulage basierend auf den nichtlinearen nicht redu-zierten Modellgleichungen

xVC:= xII3C

= 0 , (5.60c)

pIC:= xII4C

= Losung des Gleichungssystems (5.55) , (5.60d)

pIIC:= xII5C

=mk

AII· gφ +

AI

AII· xII4C

, (5.60e)

xkaC:= xII6C

= nicht festgelegt durch das Gleichungssystem (5.49) , (5.60f)

xkaC:= xII7C

= 0 , (5.60g)

xGC:= xII8C

=(mG + mk) · gφ

cGund (5.60h)

xGC:= xII9C

= 0 (5.60i)

mit der konstanten Eingangsspannung

uMC:= uIC

=1

kM · kV· xII2C

, (5.61)

wobei xI1Caus Gleichung (5.58), xI3C


ausGleichung (5.51), xI8C

aus Gleichung (5.54), xI9Caus Gleichung (5.52) und uIC

aus Gleichung(5.59) stammen.

Die Tabelle 5.2 unterteilt die statischen Ruhelagen (xIIC, uIIC

) fur Antriebe mit und ohneBypass in senkrechter oder waagerechter Einbaulage.Die Ruhelagen aus Gleichung (5.60) und (5.61) entsprechen fur gφ = g und qBP 6= 0, qBPL 6=0, qLEI 6= 0, qLEII 6= 0 den Ruhelagen eines senkrecht stehenden Antriebs mit Bypass- undLeckflussen.

Fur den Fall eines senkrecht stehenden Antriebs (gφ = g) mit vernachlassigbaren Bypass- undLeckflussen (qBP = qBPL = qLEI = qLEII = 0) lautet die Losung des Gleichungssystems (5.55):

xII2C= 0 und (5.62)

xII4C= nicht festgelegt . (5.63)


Dies ergibt die Ruhelagen :

FVC:= xII1C

= 0 , (5.64a)

xVC:= xII2C

= 0 , (5.64b)

xVC:= xII3C

= 0 , (5.64c)

pIC:= xII4C

= nicht festgelegt durch das Gleichungssystem (5.55) , (5.64d)

pIIC:= xII5C


xkaC:= xII6C


xkaC:= xII7C

= 0 , (5.64g)

xGC:= xII8C

=(mG + mk) · gφ

cGund (5.64h)

xGC:= xII9C

= 0 (5.64i)


uMC:= uIC

= 0 . (5.65)

Fur den Fall eines waagerecht liegenden Zylinders (gφ = 0) mit signifikanten Bypass- und Leck-flussen (qBP 6= 0, qBPL 6= 0, qLEI 6= 0, qLEII 6= 0) gilt aufgrund Gleichung (5.53):

xII4C

xII5C

=AII

AI. (5.66)

Die Ruhelagen ergeben sich zu :

FVC:= xII1C

=1

kV· xII2C

, (5.67a)

xVC:= xII2C

= Losung des Gleichungsystems (5.55) , (5.67b)

xVC:= xII3C

= 0 , (5.67c)

pIC:= xII4C

= Losung des Gleichungssystems (5.55) , (5.67d)

pIIC:= xII5C

=AI

AII· xII4C

, (5.67e)

xkaC:= xII6C


xkaC:= xII7C

= 0 , (5.67g)

xGC:= xII8C

= 0 und (5.67h)

xGC:= xII9C

= 0 (5.67i)


uMC:= uIC

=1

kM · kV· xII2C

. (5.68)

Fur den Fall eines waagerecht liegenden Zylinders (gφ = 0) mit vernachlassigbaren Bypass- undLeckflussen (qBP = qBPL = qLEI = qLEII = 0) lautet die Losung des Gleichungssystems (5.55):

xII2C= 0 und (5.69)


xII4C= nicht festgelegt . (5.70)

Dies ergibt die Ruhelagen :

FVC:= xII1C

= 0 , (5.71a)

xVC:= xII2C

= 0 , (5.71b)

xVC:= xII3C

= 0 , (5.71c)

pIC:= xII4C

= nicht festgelegt durch das Gleichungssystem (5.55) , (5.71d)

pIIC:= xII5C


xkaC:= xII6C


xkaC:= xII7C

= 0 , (5.71g)

xGC:= xII8C

= 0 und (5.71h)

xGC:= xII9C

= 0 (5.71i)


uMC:= uIC

= 0 . (5.72)

Zur Zylinderkolbenauslenkung xkaC= xII6C

in der statischen Ruhelage siehe Bemerkung 5.4

5.3.3 Linearisierung des nichtlinearen nicht reduzierten Modells durch Tay-lorreihenentwicklung um eine statische Ruhelage des Systems

Die nichtlineare Zustandsraumdarstellung aus Gleichung (5.44)

xII = fII(xII , uII) :=[fII1(xII , uII), fII2(xII , uII), ..., fII9(xII , uII)]T

mit

fII1(xII , uII) := −aM · xII1 + aM · kM · uII , (5.73a)fII2(xII , uII) := xII3 , (5.73b)

fII3(xII , uII) := −2 · ζV · ωV · xII3 − ω2V · xII2 + ω2

V · kV · xII1 , (5.73c)

fII4(xII , uII) :=B

(lI0+xII6−xII8)·[−(xII7−xII9) +

qZI(xII2 , xII4 , xII5)AI

], (5.73d)

fII5(xII , uII) :=B

(lII0−xII6 +xII8)·[(xII7−xII9)−

qZII(xII2 , xII4 , xII5)AII

], (5.73e)

fII6(xII , uII) := xII7 , (5.73f)

fII7(xII , uII) := − dk

mk·(xII7 − xII9) +

AI

mk·xII4 −

AII

mk·xII5 + gφ , (5.73g)

fII8(xII , uII) := xII9 und (5.73h)

fII9(xII , uII) :=dk

mG·(xII7−xII9)−

dG

mG·xII9−

cG

mG·xII8−

AI

mG·xII4 +

AII

mG·xII5 +gφ (5.73i)

wird um eine statische Ruhelage (xIIC,uIIC

) aus Gleichung (5.60) und dem konstanten Ein-gangssignal uIIC

aus Gleichung (5.61) mittels Taylorreihenentwicklung linearisiert:

xII = fII(xII , uII)︸︷︷︸≡0

+∂fII(xII , uII)

∂xII

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)︸︷︷︸

=:AII

· (xII − xIIC)︸︷︷︸

xII

(5.74)


+∂fII(xII , uII)

∂uII

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)︸︷︷︸

=:BII

· (uII − uIIC)︸︷︷︸

uII

+ Terme hoherer Ordnung .

Bei Vernachlassigung der Terme hoherer Ordnung erhalt man ein lineares Ersatzsystem:

xII = AII · xII + BII · uII (5.75)

mit den Kleinsignalgroßen

xII := xII − xIIC:= [xII1 , xII2 , xII3 , xII4 , xII5 , xII6 , xII7 , xII8 , xII9 ]

T und (5.76a)uII := uII − uIIC

, (5.76b)

der Systemmatrix AII := ∂fII(xII ,uII)∂xII

∣∣∣(xIIC

,uIIC)

:

AII =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−aM 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0

ω2V ·kV −ω2

V −2·ζV ·ωV 0 0 0 0 0 00 QXV 1 0 QP11 QP21 QXK1 QV K1 −QXK1 −QV K10 QXV 2 0 QP12 QP22 QXK2 QV K2 −QXK2 −QV K20 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 AI

mk−AII

mk0 − dk

mk0 dk

mk

0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 − AI

mG

AII

mG0 dk

mG− cG

mG−dk+dG

mG

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(5.77)

und dem Steuervektor BII := ∂fII(xII ,uII)∂uII

∣∣∣(xIIC

,uIIC)

BII =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

aM · kM

00000000

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (5.78)

Die Systemmatrix AII (5.77) enthalt die folgenden Linearisierungskoeffizienten:

QXV 1 :=∂fII4(xII , uII)

∂xII2

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

(5.79a)

=B

AI ·(lI0+xII6C−xII8C

)· ∂

∂xII2

qZI(xII2 , xII4 , xII5)∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

,

QP11 :=∂fII4(xII , uII)

∂xII4

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

(5.79b)


=B

AI · (lI0 + xII6C−xII8C

)· ∂

∂xII4


,uIIC)

,


∂xII5

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

(5.79c)

=B


)· ∂

∂xII5


,uIIC)

,

QXK1 :=∂fII4(xII , uII)

∂xII6

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

(5.79d)

=−B


)2· qZI(xII2C

, xII4C, xII5C

) ,

QV K1 :=∂fII4(xII , uII)

∂xII7

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

=−B

(lI0 + xII6C−xII8C

), (5.79e)

QXV 2 :=∂fII5(xII , uII)

∂xII2

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

(5.79f)

=−B

AII · (lII0 − xII6C+xII8C

)· ∂

∂xII2

qZII(xII2 , xII4 , xII5)∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

,


∂xII4

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

(5.79g)

=−B


)· ∂

∂xII4


,uIIC)

,


∂xII5

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

(5.79h)

=−B


)· ∂

∂xII5


,uIIC)

,

QXK2 :=∂fII5(xII , uII)

∂xII6

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

(5.79i)

=−B


)2· qZII(xII2C

, xII4C, xII5C

) und

QV K2 :=∂fII5(xII , uII)

∂xII7

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

=B

(lII0 − xII6C+xII8C

), (5.79j)


mit den partiellen Ableitungen der Flussfunktionen qZI(xII2 , xII4 , xII5) (5.45a) und qZII(xII2 , xII4 , xII5)(5.45b) (vgl. Kapitel B.1):

∂

∂xII2


,uIIC)

=

αD2 ·π ·d2 ·√

2/ρ·√∣∣∣pS − xII4C

∣∣∣·sign(pS − xII4C

)·σ

(xII2C

)

+ αD1 ·π ·d1 ·√

2/ρ·√∣∣∣xII4C

− pR

∣∣∣·sign(xII4C

− pR

)·σ

(−xII2C

), (5.80a)

∂

∂xII4


,uIIC)

=

−

αD2 ·π ·d2 ·σ(xII2C

)√

2 · ρ ·∣∣∣pS − xII4C

∣∣∣−

αD1 ·π ·d1 ·σ(−xII2C

)√

2 · ρ ·∣∣∣xII4C

− pR

∣∣∣

·xII2C

− αBP ·ABP√2 · ρ ·

∣∣∣xII4C− xII5C

∣∣∣− kBPL − kLEPI , (5.80b)

∂

∂xII5


,uIIC)

= +αBP ·ABP√

2 · ρ ·∣∣∣xII4C

− xII5C

∣∣∣+ kBPL , (5.80c)

∂

∂xII2


,uIIC)

=

αD4 ·π ·d4 ·√

2/ρ·√∣∣∣xII5C

− pR


− pR

)·σ

(xII2C

)

+ αD3 ·π ·d3 ·√

2/ρ·√∣∣∣pS − xII5C


)·σ

(−xII2C

), (5.80d)

∂

∂xII4


,uIIC)

= − αBP ·ABP√2 · ρ ·

∣∣∣xII4C− xII5C

∣∣∣− kBPL und (5.80e)

∂

∂xII5


,uIIC)

=

αD4 ·π ·d4 ·σ(xII2C

)√

2 · ρ ·∣∣∣xII5C

− pR

∣∣∣−

αD3 ·π ·d3 ·σ(−xII2C

)√

2 · ρ ·∣∣∣pS − xII5C

∣∣∣

·xII2C

+αBP ·ABP√

2 · ρ ·∣∣∣xII4C

− xII5C

∣∣∣+ kBPL + kLEPII . (5.80f)


Bemerkung 5.9 (Partielle Ableitungen nach xII8 und xII9): Die partielle Ableitungenvon fII4(xII , uII) bzw. fII5(xII , uII) nach xII8 und xII9 lassen sich auf bekannte Linearisierungs-koeffizienten zuruckfuhren:

∂fII4(xII , uII)∂xII8

∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

=−B

(lI0+xII6C−xII8C

)2·[xII7C

− qZI(xII2C, xII4C

, xII5C)

AI

](5.81a)

= −QXK1 ,


∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

=B

(lI0 + xII6C−xII8C

)= −QV K1 , (5.81b)


∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

=−B

(lI0 − xII6C+xII8C

)2·[xII7C

− qZII(xII2C, xII4C

, xII5C)

AII

](5.81c)

= −QXK2 ,


∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

=−B

(lI0 − xII6C+xII8C

)= −QV K2 . (5.81d)

5.4 Einstellung der Ruhelage

Die Ruhelage des servohydraulischen Antriebs wird durch ein konstantes Eingangssignal uMC

eingestellt. Die Zustande x des servohydraulischen Antriebs stellen sich auf konstante WertexC ein. Die konstanten Werte xC

• sind Null im Falle der Geschwindigkeiten xVC, xkaC

oder xGC,

• hangen direkt von dem konstanten Eingangssignal uMCab, wie im Falle von FVC

undxVC

,• ergeben sich nur aus den Systemparametern im Falle von pLC

und xGCoder

• sind nicht durch die Bedingungen bezuglich der Ruhelage festgelegt, wie im Falle von xkaC.

Liegen fur bestimmte Zustandswerte keine Bedingungen bezuglich der Ruhelage vor, so ergebensich diese

• uber die Anfangsbedingungen x0 des Systems im Falle der Zylinderkolbenauslenkung xkaC

oder• uber Modellerweiterungen im Falle von pIC

und pIICdurch die Annahme von Bypass- und

Leckflussen.

Bemerkung 5.10 (Halten eines senkrecht stehenden Zylinders mit signifikantenBypass- und Leckflussen):Ein senkrecht stehender Zylinder mit signifikanten Bypass- und Leckflussen erfordert laut Glei-chung (5.27) bzw. (5.61) eine konstante Eingangsspannung uMC

6= 0. In diesem Fall ist das Hal-ten der Zylinderkolbenstange in der Ruhelage durch eine konstante Eingangsspannung uMC

= 0nicht moglich. Dies kann in einem linearisierten Modell als eine konstante Storung auf denSteuereingang modelliert werden. Die Amplitude der Storung ist die erforderliche konstanteEingangsspannung, die aber negiert werden muss. Ein P-Regler als Lageregler arbeitet bei einerkonstanten Storung am Steuereingang nicht mehr stationar exakt.

Bemerkung 5.11 (veranderliche Bypass- und Leckflusse):Die Bypass- und Leckflusse sind nicht konstant, sondern hangen von zahlreichen Einflussfaktorenab, die nicht alle erfasst werden konnen (z.B. Blendenoffnung, Temperatur, usw. ). Demzufolge

5.4 Einstellung der Ruhelage 67

verandern sich die Parameter der Bypass- und Leckflusse und damit die erforderliche konstanteEingangsspannung uMC

. So gestaltet sich das Einstellen einer festen Eingangsspannung uMC6= 0

zum Halten eines senkrecht stehenden Zylinders in der Ruhelage schwierig.

Bemerkung 5.12 (Fahren in die Ruhelage): Um den servohydraulischen Antrieb in dieRuhelage zu fahren, sind zwei Vorgehensweisen denkbar:

1. manuelles Verstellen der konstanten Eingangsspannung bis die Zylinderkolbenstange sichin der gewunschten Position und in Ruhe befindet oder

2. Einsatz eines Lagereglers zum Anfahren und Halten der gewunschten Position (Einricht-regler).

Die erstgenannte Vorgehensweise ist unter dem Gesichtspunkt einer Automatisierung nachteilig.

Im folgenden wird untersucht zu klaren,

• wie reproduzierbar sich im Laborexperiment die Ruhelagen mit Hilfe eines Einrichtreglerseinstellen lassen und

• wie genau diese Ruhelagen mit denen aus der Rechnersimulation ubereinstimmen.

5.4.1 Reproduzierbarkeit der Ruhelage im Laborexperiment

Im folgenden wird untersucht, wie reproduzierbar sich die Ruhelagen im Laborexperiment ein-stellen lassen. Hierzu wird ein Positionsregler (P-Regler mit kp = 400) fur die relative Zylinder-position xkC

:= xkaC− xGC

verwendet. Die Masse der Last betragt mk = 155 kg. Die Tabellen5.3 und 5.4 zeigen die Bereiche der Variablen der Ruhelagen fur das mehrmalige Anfahrender Sollpositionen xkD

= 0, xkD= −5 cm und xkD

= 5 cm bei einem Versorgungsdruck vonpS = 100 bar und pS = 150 bar. Der Rucklaufdruck pR betragt ca. 5 bar.

Variable xkD= 0 xkD

= −5 cm xkD= 5 cm Einheit

Mitte Oben UntenxkC

0.024 ... 0.089 -49.942 ... -49.900 50.066 ... 50.102 mmuMC

-0.036 ... -0.009 -0.040 ... -0.023 -0.041 ... -0.026 VxVC

-3.1 ... -2.5 -3.6 ... -3.2 -3.1 ... -2.7 µmpLC

-16.9 ... -16.1 -16.7 -16.3 ... -16.1 barpIC

45.1 ... 46.3 45.3 ... 45.9 45.1 ... 45.8 barpIIC

61.9 ... 63.0 62.0 ... 62.6 61.4 ... 62.1 barpS 101.3 .. 102.1 101.4 .. 102.0 101.5 .. 102.1 barpR 4.5 .. 4.7 4.5 .. 4.7 4.5 .. 4.7 bar

Tabelle 5.3: Laborexperiment: Reproduzierbarkeit der Ruhelagen fur die Sollpositionen xkD= 0,

xkD= −5 cm und xkD

= 5 cm bei einem Versorgungsdruck pS = 100 bar

Die gemessenen Werte der Drucke pLC, pIC

und pIICschwanken im Bereich der Genauigkeit der

Drucksensoren von 0.75 bar (vgl. Kapitel 3.3.2).Die Werte der Drucke pLC

, pICund pIIC

sind erwartungsgemaß unabhangig von der SollpositionxkD

und stellen sich im Laborexperiment bei einem Versorgungsdruck pS = 100bar auf pIC≈

45.5 bar, pIIC≈ 62 bar und pLC

≈ −16.5 bar und bei einem Versorgungsdruck pS = 150barauf pIC

≈ 75 bar, pIIC≈ 81 bar und pLC

≈ −16 bar ein.Hiermit ist die Reduktionsannahme pS + pR = pI + pII (vgl. Annahme 5) recht gut erfullt :


Variable xkD= 0 xkD


Mitte Oben UntenxkC

-0.096 ... 0.021 -50.031 ... -49.973 49.957 ... 50.046 mmuMC

-0.008 ... 0.039 -0.011 ... 0.013 -0.018 ... 0.017 VxVC

-1.9 ... -0.8 -2.3 ... -1.7 -2.0 ... -1.1 µmpLC

-16.2 ... -15.1 -16.2 ... -16.0 -15.8 ... -15.7 barpIC

72.2 ... 80.3 70.2 ... 75.3 72.5 ... 77.6 barpIIC

87.3 ... 95.9 86.4 ... 91.3 88.3 ... 93.4 barpS 150.1 ... 151.1 150.2 ... 151.0 150.4 ... 151.1 barpR 4.4 ... 4.8 4.5 ... 4.7 4.5 ... 4.7 bar

Tabelle 5.4: Laborexperiment: Reproduzierbarkeit der Ruhelagen fur die Sollpositionen xkD= 0,

xkD= −5 cm und xkD


• Versorgungsdruck pS = 100 bar

pS + pR = 105 bar zu pIC+ pIIC

= 107.5 bar


pS + pR = 155 bar zu pIC+ pIIC

= 156 bar

und pICund pIIC

lassen sich gut aus pS , pR und pLCberechnen


pIC=

12· (pS + pR + pLC

) = 44.25 bar (gemessen: pIC≈ 45.5 bar) ,

pIIC=

12· (pS + pR − pLC

) = 60.75 bar (gemessen: pIIC≈ 62 bar) .


pIC=

12· (pS + pR + pLC

) = 69.5 bar (gemessen: pIC≈ 75 bar) ,

pIIC=

12· (pS + pR − pLC

) = 85.5 bar (gemessen: pIIC≈ 81 bar) .

Der Positionsregler arbeitet nicht stationar exakt. Die Abweichung von der Sollposition, sowiedie damit verbundene Eingangsspannung uMC

sind sehr gering, so dass hier neben dem erwahn-ten Auswirkung der Leckflusse auch andere Effekte wie Hysterese und Einstellgenauigkeit desServoventils eine Rolle spielen.

Bemerkung 5.13 (Werte fur xGC): Der Sensor fur xG wird bedingt durch den Einbau im

Versuchsstand vor Beginn eines Versuchs manuell auf Null abgeglichen, damit ist sein Wert furdiese Auswertung uninteressant.

5.5 Reduktion des linearen nicht reduzierten Modells 69

Variable xkD= 0 xkD


Mitte Oben UntenxkC

0.357 -49.658 50.3417 mmuMC

-0.123 -0.123 -0.123 VxVC

-2.833 -2.833 -2.833 µmpLC

-16.42 -16.42 -16.42 barpIC

46.51 46.51 46.51 barpIIC

62.93 62.93 62.93 barpS 100.0 100.0 100.0 barpR 4.0 4.0 4.0 bar

Tabelle 5.5: Rechnersimulation der Ruhelagen fur die Sollpositionen xkD= 0, xkD

= −5 cm undxkD


Variable xkD= 0 xkD


Mitte Oben UntenxkC

0.275 -49.725 50.275 mmuMC

-0.0966 -0.0966 -0.0966 VxVC

-2.221 -2.221 -2.221 µmpLC

-16.42 -16.42 -16.42 barpIC

73.96 73.96 73.96 barpIIC

90.38 90.38 90.38 barpS 150.0 150.0 150.0 barpR 4.0 4.0 4.0 bar

Tabelle 5.6: Rechnersimulation der Ruhelagen fur die Sollpositionen xkD= 0, xkD

= −5 cm undxkD


5.4.2 Ruhelage in der Rechnersimulation

Die Tabellen 5.5 und 5.6 zeigen die Ruhelagen in der Rechnersimulation fur die SollpositionenxkD

= 0, xkD= −5 cm und xkD

= 5 cm bei einem Versorgungsdruck pS = 100 bar undpS = 150 bar.Die Ubereinstimmung der Rechnersimulation mit den Laborexperiment ist gut.Der stationare Fehler ist in der Rechnersimulation etwa um den Faktor 10 großer als im Labor-experiment.

5.5 Reduktion des linearen nicht reduzierten Modells

Die Reduktion des linearen nicht reduzierten Modells (5.75) wird im Frequenzbereich anhandder Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Zylinderkolbenauslenkung xka untersucht (vgl.Kapitel B.2).Die vorgeschaltete Ventildynamik (A.6) von der Ventileingangsspannung uM zum Ventilweg xV

wird aus Grunden der Ubersichtlichkeit weggelassen.Die Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Zylinderkolbenauslenkung xka des linearen


nicht reduzierten Modells mit den allgemeinen Linearisierungskoeffizienten in den Gleichungen(5.79) aus Kapitel 5.3.3 lautet (vgl. Gleichung (B.4) aus Kapitel B.2):

Gxka, xV (s) :=Xka(s)XV (s)

= k′0 ·(s− sNZD) · (s2 + dG

mG· s + cG

mG)

s6 + a′5 · s5 + a′4 · s4 + a′3 · s3 + a′2 · s2 + a′1 · s + a′0. (5.82)

Sie besitzt im Vergleich zu der Ubertragungsfunktion GmFxka, xV

(s) des linearen reduzierten Mo-dells aus Gleichung (A.59) eine zusatzliche Nullstelle sNZD :

sNZD :=[AI ·QP22 + AII ·QP12] ·QXV 1− [AI ·QP21 + AII ·QP11] ·QXV 2

AI ·QXV 1−AII ·QXV 2(5.83)

und eine zusatzliche Polstelle, deren Wert aber nicht geschlossen angegeben werden kann.Aufgrund der Reduktionsannahmen (4.15) aus Kapitel 4.3 entstehen Abhangigkeiten und Sym-metrien zwischen den Linearisierungskoeffizienten (5.79) :

QXV 1 = −QXV 2 =12· QX

CH, (5.84a)

QP11 = QP22 , (5.84b)QP12 = QP21 , (5.84c)

QV K1 = −QV K2 = −12· Ak

CH(5.84d)

und

QP11−QP12 =QP

CH. (5.84e)

Werden diese vereinfachten Linearisierungskoeffizienten (5.84) in die Ubertragungsfunktion ausGleichung (5.82) eingesetzt, kommt es zu einer Pol-/Nullstellenkurzung. Die gekurzte NullstellesNZD liegt bei :

sNZD := QP11 + QP12 (5.85)

und ist nach (B.26) phasenminimal. Damit ist die gekurzte Polstelle stabil bzw. grenzstabil.Mit der zusatzlichen Bedingung QXK1 = QXK2 erhalt man die UbertragungsfunktionGmF

xka, xV(s) des linearen reduzierten Modells aus Gleichung (A.59).

5.6 Zusammenfassung

Im vorliegenden Kapitel wurde die Bestimmung von linearen Ersatzsystemen (Linearisierung)in einer statischen Ruhelage fur die nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen und furdie nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen des servohydraulischen Antriebsbeschrieben mit folgenden Konsequenzen fur

• RechnersimulationenMittels der Modellgleichungen wird eine Vorhersage fur die sich einstellende Ruhelageermoglicht, auch wenn eine reale Strecke nicht vorhanden ist. Zudem werden die Abhangig-keiten von Einflussfaktoren wie Modellvariablen und -parametern der Ruhelage deutlich.


• LaborexperimenteUm eine vorgegebene Zylinderposition gezielt anfahren zu konnen, wird im Laborexperimentdie Ruhelage mittels eines Lagereglers eingestellt. Die einzelnen Werte der Ruhelage werden,wenn moglich messtechnisch erfasst und stehen dann fur die Berechnung von Kleinsignal-großen zur Verfugung, wie sie von linearen Identifikationsverfahren und linearen Regelalgo-rithmen benotigt werden.

• IdentifikationEin identifiziertes lineares Modell ist nur fur die Ruhelage gultig in der es identifiziert wur-de. Um das Modell fur einen Reglerentwurf verwenden zu konnen, muss sich die Ruhelagereproduzierbar im Laborexperiment einstellen lassen.

• ModellvalidierungBei der Validierung nichtlinearer Modelle wird untersucht, wie gut die Rechnersimulation dieRuhelage des Laborexperiments voraussagen kann. Bei der Validierung linearisierter Modellemussen die Ruhelagen von Laborexperiment und Rechnersimulation ubereinstimmen.

Die Reduktion des linearen, nicht reduzierten Modells zum linearen, reduzierten Modell erfolgtdurch eine stabile Pol-/Nullstellenkurzung.


Kapitel 6

Experimentelle Identifikation und Modellvalidierung

eines einachsigen servohydraulischen Antriebs

6.1 Einleitung

Dieses Kapitel beschreibt die experimentelle Identifikation und die Modellvalidierung eines ser-vohydraulischen Linearantriebs.

Zum Zwecke der experimentellen Identifikation wird das Gesamtsystem in folgende Teilsystemeeingeteilt (vgl. Bild 6.1):

• Ansteuerung des Servoventils (siehe Kapitel 6.3),• Druckaufbau (siehe Kapitel 6.4),• Lastmechanik (siehe Kapitel 6.5) und• Mechanik des Fundaments (siehe Kapitel 6.6).

Fur die Teilsysteme werden physikalisch motivierte Modellhypothesen aus Kapitel 4 angesetzt.

Die im Kapitel (A.5) aus den linearen, reduzierten Modellgleichungen analytisch berechnetenUbertragungsfunktionen dienen bei den folgenden Teilsystemen als Modellhypothese:

• Kombination von Druckaufbau und Lastmechanik (siehe Kapitel 6.4.4),• Lastmechanik (siehe Kapitel 6.5) und• Mechanik des Fundaments (siehe Kapitel 6.6).

Die Parameterschatzung erfolgt mit der linearen Regression (Least-Squares-Algorithmus), mitder Pradiktionsfehlermethode (Matlab System Identification Toolbox) oder mit der nichtlinearenOptimierung (Nelder–Mead–Simplex–Algorithmus).

Die Modellvalidierung in Kapitel 6.7 uberpruft die Wirklichkeitsnahe des gesamten Modells desservohydraulischen Antriebs.

Die Vorgehensweise bei der parametrischen Identifikation des servohydraulischen Antriebs be-schreibt Kapitel 6.2.

Das Ergebnis dieses Kapitels sind Streckenmodelle fur

• den Reglerentwurf und• fur die Rechnersimulation.

73

74 Kapitel 6. Experimentelle Identifikation

−Ansteuerung

− −uM

Mechanik desFundaments

des Servoventils DruckaufbauxV

xk

xk

xka

pS

pR

pI

+ pL

pII

Lastmechanik

xG

xk

xka

xk

xka

xk

xkxG

+ +

pL

pL

xG

Bild 6.1: Unterteilung des servohydraulischen Antriebs zum Zwecke der Identifikation in dieTeilsysteme: Ansteuerung des Servoventils, Druckaufbau, Lastmechanik und Mechanikdes Fundaments

6.2 Vorgehensweise bei der parametrischen Identifikation desservohydraulischen Antriebs

Der servohydraulische Antrieb stellt ein technisches System oder einen technischen Prozess dar,dessen Aufgabe die gezielte Bewegung der mechanischen Last ist.Der Systemausgang ist die Position der mechanischen Last, die sich aus Zylinderkolbenweg xka,Zylinderkolbengeschwindigkeit xka und Zylinderkolbenbeschleunigung xka zusammensetzt. DerSteuereingang dieses Systems ist die Ventileingangsspannung uM . Weitere Ausgange sind dieVariablen des Systems, die messtechnisch durch Sensoren erfasst werden.

Fur die Rechnersimulation und den modellbasierten Reglerentwurf ist ein mathematisches Mo-dell dieses Prozesses erforderlich.

Die Systemidentifikation beschaftigt sich allgemein mit dem Erstellen mathematischer Modellevon dynamischen Systemen aus gemessenen Ein-/Ausgangsdaten [6].

Ein mathematisches Modell beschreibt durch seine Modellstruktur und seine Modellparameter,wie sich das Ausgangssignal aus dem Eingangssignal errechnet.Eine aufgrund physikalischer Einsicht entstandene Modellstruktur wird als white-box-modellingbezeichnet, z.B. die Modelle des servohydraulischen Antriebs aus Kapitel 4. Als black-box-modelling bezeichnet man eine nicht physikalisch motivierte Modellstruktur, die aber ”flexibel”genug ist, das Verhalten des Systems zu beschreiben, z.B. lineare, zeitdiskrete Ubertragungs-funktionen. Die Kombination beider wird mit grey-box-modelling bezeichnet.Die Modelle konnen nichtlinear oder linear, zeitkontinuierlich oder zeitdiskret sein.

Die Parameterschatzung (Parameter Estimation) bestimmt bei gegebener Modellstruktur diebesten Werte fur die unbekannten Modellparameter aus den gemessenen Daten.

6.2 Vorgehensweise bei der parametrischen Identifikation des servohydraulischen Antriebs 75

Die Bestimmung der besten Werte erfolgt durch Minimierung eines skalarwertigen Kriteriums,das die Abweichung der Ausgangssignale von System und Modell beschreibt.Folgende Parameterschatzverfahren wurden verwendet:

• lineare Regression mit Least-Squares-Algorithmus [47, 48, 6] (vgl. Kapitel C.1.2)Wenn es moglich ist, die vorliegende Modellstruktur in die Form der linearen Regressionzu bringen, der Ausgang linear von den zu schatzenden Parametern abhangt, konnen dieParameter mittels Least-Squares-Algorithmus geschatzt werden. Dies ist die numerisch ein-fachste und sicherste Methode (globales Minimum). Sind aber bestimmte Voraussetzungennicht erfullt, kommt es zu fehlerhaften (Bias) oder ungenauen (Varianz) Parametern.

• Pradiktionsfehlermethode [6, 48] (vgl. Kapitel C.1.3)Ist die vorliegende Modellstruktur eine lineare, zeitkontinuierliche Ubertragungsfunktion, las-sen sich die Parameter einer aquivalenten linearen, zeitdiskreten Ubertragungsfunktion mit-tels der Pradiktionsfehlermethode schatzen und anschließend in die gesuchten Parameterumrechnen. Es liegt eine indirekte Identifikation vor, da nicht die gesuchten, sondern die Pa-rameter eines aquivalenten Modells geschatzt werden. Die Pradiktionsfehlermethode beruck-sichtig unterschiedliche Eingangsorte einer externen Storung (equation error: z.B. ARX ,output error: z.B. OE). Zusatzlich kann durch lineare Fehlermodelle (z.B. ARMAX, BJ) einespektrale Zusammensetzung der externen Storung modelliert werden.Die Pradiktionsfehlermethode ist aus numerischer Sicht aufwendiger als der Least-Squares-Algorithmus, da in der Regel die Losung iterativ gefunden wird. Eine Ausnahme bildet derARX-Ansatz. Er verwendet den Least-Squares-Algorithmus.Durch die bessere Modellierung der externen Storung konnen Bias und Varianz der geschatz-ten Parameter reduziert werden.

• Parameterschatzung mittels nichtlinearer Optimierung [54] (vgl. Kapitel C.1.4)Die Parameterschatzung mittels nichtlinearer Optimierung betrifft Modellstrukturen, die sichweder auf die Form der linearen Regression bringen, noch auf aquivalente lineare, zeitdiskreteModelle transformieren lassen.Mit der vorliegenden Modellstruktur wird fur ein gegebenes Eingangssignal und fur einenParametersatz ggf. unter Verwendung numerischer Integrationsverfahren das Ausgangssignalberechnet.Die Abweichung zwischen dem Ausgangssignal des realen Systems und dem simulierten Aus-gangssignal wird durch eine skalarwertige Verlustfunktion beschrieben.Durch ein nichtlineares Optimierungsverfahren wird der Parametersatz ermittelt, der dieVerlustfunktion minimiert.Es besteht die Gefahr, ein lokales Minimum zu finden.Da die gesuchten Parameter geschatzt werden, liegt direkte Identifikation vor.

Das so ermittelte Prozessmodell wird in der Modellvalidierung (Model Validation) uberpruft.Wird es durch sie angenommen, ist ein Prozessmodell gefunden. Wird es hingegen abgelehnt,geht die Suche weiter, z.B. mit einer geanderten Modellstruktur oder einem Messdatensatz auseinem modifizierten Identifikationsexperiment.Die Aufgabe der Parameterschatzung beschrankt sich auf die Bestimmung der besten Parame-terwerte fur eine gegebene Modellstruktur. Die Systemidentifikation sucht daruberhinaus nacheiner geeigneten Modellstruktur fur die Parameterschatzung.

Im Kapitel 4 sind physikalisch motivierte mathematische Modelle des servohydraulischen Lin-


earantriebs beschrieben, die als Modellhypothese fur die experimentelle Identifikation eingesetztwerden. Die Modellgleichungen bestehen aus:

• statischen Funktionen, z.B. Volumenflussen uber den Servoventil–Steuerkanten Gl. (4.7) oder• linearen bzw. nichtlinearen Differentialgleichungen, z.B. Lastmechanik Gl. (4.10) oder Druck-

aufbau Gl. (4.5).

Eine Differentialgleichung enthalt Ableitungen der Ein- und Ausgangsvariablen, die in der Regelnicht zusatzlich uber Sensoren erfasst werden.

Jede Modellgleichung beschreibt einen algebraischen Zusammenhang zwischen Modellvariablenund Modellparametern.Die in den Modellgleichungen enthaltenen Modellparameter teilen sich auf in

• a priori bekannte Modellparameter, z.B. Abmessungen, physikalische Konstanten und in• unbekannte, zu identifizierende Modellparameter.

Die in den Modellgleichungen enthaltenen Modellvariablen teilen sich auf in die

• messtechnisch verfugbaren Modellvariablen, z.B. durch Sensoren gemessene oder als Stell-großen vorgegebene Prozessvariablen und in die

• nicht messtechnisch verfugbaren Modellvariablen, z.B. Volumenflusse, die beim hier unter-suchten servohydraulischen Antrieb nicht durch Sensoren erfasst werden.

Die nicht messtechnisch verfugbaren Modellvariablen wiederum teilen sich auf in die

• aus messtechnisch verfugbaren Modellvariablen approximierbaren Modellvariablen, z.B. zeit-liche Ableitungen von Modellvariablen und in die

• nicht approximierbaren Modellvariablen.

Die messtechnisch verfugbaren Modellvariablen und die approximierbaren Modellvariablen wer-den zur Menge der verfugbaren Modellvariablen zusammengefasst.

Der hier gewahlte Ansatz fur die experimentelle Identifikation versucht zunachst, jede der physi-kalisch motivierten Modellgleichungen losgelost von den anderen zu betrachten, damit die Anzahlder gemeinsam zu schatzenden Modellparameter moglichst gering wird.Nicht verfugbare Modellvariablen in einer Modellgleichung werden durch das Verknupfen zwei-er oder mehrerer Modellgleichungen eliminiert, wodurch sich die Anzahl der gemeinsam zuschatzenden Parameter in der neuen Modellgleichung wieder erhoht.Der technische Prozess des servohydraulischen Antriebs wird zum Zwecke der experimentellenIdentifikation in Subprozesse (Submodelle) unterteilt. Die Unterteilung geschieht aufgrund derStruktur der Modellgleichungen und der verfugbaren Modellvariablen, so dass an allen Schnitt-stellen der Subprozesse verfugbare Modellvariablen sind. Welche Schnittstellen der SubprozesseEingange und welche Ausgange sind, ist nicht immer eindeutig. Nicht verfugbare Modellva-riablen werden zu internen Modellvariablen der Subprozesse. Die Subprozesse treten dann alsunabhangige Prozesse auf.Die folgenden Prozessvariablen werden im Laboraufbau des servohydraulischen Antriebs durchSensoren erfasst (vgl. Bild 6.1):

• Zylinderkolbenweg relativ zum Fundament xk,• Zylinderkolbengeschwindigkeit relativ zum Fundament xk,• Beschleunigung der Last xka,• Verschiebung des Fundaments xG,


• Beschleunigung des Fundaments xG,• Druck in den Kammern I und II pI , pII ,• Lastdruck pL,• Versorgungsdruck pS ,• Rucklaufdruck pR und• Servoventilweg xV .

Damit ist es moglich, das Gesamtsystem des servohydraulischen Antriebs zum Zwecke der Iden-tifikation in die vier folgenden Teilsysteme zu unterteilen:

• Ansteuerung des Servoventils (siehe Kapitel 6.3)• Druckaufbau (siehe Kapitel 6.4)• Lastmechanik (siehe Kapitel 6.5)• Mechanik des Fundaments (siehe Kapitel 6.6).

Das Servoventil wird als ruckwirkungsfrei betrachtet. Dagegen sind Druckaufbau und Mechanikmiteinander uber den Lastdruck pL und die Relativgeschwindigkeit xk gekoppelt.

Fur die Bestimmungen der unbekannten Modellparameter ist ein geeignetes Parameterschatzver-fahren zu wahlen. Hierbei spielen die praktische Verfugbarkeit der Verfahren und ihr numerischerAufwand eine wesentliche Rolle.Das Verfahren der linearen Regression mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (Least-Squares-Algorithmus) bietet sich wegen seiner einfachen Berechnung im Vergleich zu den nicht-linearen Optimierungsalgorithmen an, frei nach dem Motto ”Try simple things first!”.Bei der linearen Regression wird versucht, eine Variable, die als Ausgang bezeichnet wird, auseiner linearen Kombination von Parametern und anderen Variablen, die als Regressoren oderEingange bezeichnet werden, vorherzusagen (vgl. Kapitel C.1.2).Gelingt es, die Modellgleichung des Subprozesses durch Umformung in die Form der linearen Re-gression zu bringen, so konnen die unbekannten Parameter mit dem Least-Squares-Algorithmusbestimmt werden. Der wesentliche Vorteil liegt in der einfachen numerischen Berechnung desAlgorithmus.Bei der Umformung der Modellgleichung des Subprozesses auf die Form der linearen Regressionwird zwangslaufig ein Ausgang gewahlt. Die entstandene Gleichung wird als Identifikationsglei-chung in expliziter Form bezeichnet, die einen formalen Ausgang, formale Eingange und formaleParameter besitzt. Der formale Ausgang und die formalen Eingange werden unter Umstandendurch nichtlineare Transformationen aus verfugbaren Modellvariablen und aus bekannten Mo-dellparametern gebildet. Die formalen Parameter und die physikalischen Parameter der Modell-gleichung hangen unter Umstanden ebenfalls uber nichtlineare Transformationen zusammen, beider auch bekannte Modellparameter beteiligt sein konnen.Fur eine biasfreie Schatzung muss der Regressor der linearen Regression frei von Storungen sein.Nur der Ausgang darf eine mittelwertfreie, unkorrelierte Storung enthalten. Diese Forderungkann hier nicht erfullt werden, da die formalen Eingange der Identifikationgleichung so wie derAusgang in der Regel aus gemessenen und damit storungsbehafteten Signalen gebildet werden.Der durch gestorte Regressoren verursachte Bias lasst sich im allgemeinen nicht mit einemFehlermodell und dem Einsatz der Pradiktionsfehlermethode beseitigen. Um den Bias kleinzu halten, ist eine Selektion der Messdaten bezuglich eines guten Signal-Rausch-Verhaltnissessinnvoll.Der gewahlte Ausgang, auf den die Parameter angepasst werden, ist mitunter nicht der Ausgang


des Modells im spateren Einsatzfall. Ein nicht im Modell berucksichtigter Einfluss auf den Pro-zess fuhrt dazu, dass die Modellparameter fur den gewahlten Ausgang angefittet werden, aberfur den spater verwendeten Ausgang moglicherweise nicht mehr passen.Sind die Subprozesse uber eine Schleife, ahnlich der Schleife eines Regelkreises, miteinanderverkoppelt, liegt also keine Kettenschaltung von Subprozessen vor, konnen die aus verfugba-ren Modellvariablen gebildeten Regressoren teilweise linear abhangig werden. Im Falle linearabhangiger Regressoren besitzt der Least-Squares-Algorithmus keine eindeutige Losung mehr.Fur fast linear abhangige Regressoren bereitet die Numerik Schwierigkeiten.Die bei den nichtlinearen Transformationen der formalen Eingange und des formalen Ausgangseingehenden Signale der Modellvariablen sind mehr oder weniger stark gestort. Hier besteht dieGefahr einer Verstarkung der Storung, wenn die Signalwerte oder die nichtlineare Transformationungunstig sind. Als einfaches Beispiel ist der Quotient aus zwei Modellvariablen zu nennen.

Die im Kapitel (A.5) aus den linearen, reduzierten Modellgleichungen analytisch berechnetenUbertragungsfunktionen dienen bei den folgenden Teilsystemen als Modellhypothese:

• Kombination von Druckaufbau und Lastmechanik (siehe Kapitel 6.4.4),• Lastmechanik (siehe Kapitel 6.5) und• Mechanik des Fundaments (siehe Kapitel 6.6).

Bezuglich der Identifikation der Teilsysteme bietet es sich an, eine Ubertragungsfunktion mitmoglichst wenigen Differenzierern oder Integratoren zu wahlen, da ideale Differenzierer oderIntegratoren aufgrund der praktisch immer bandbegrenzten Anregung nicht identifizierbar sind.Mittels der Pradiktionsfehlermethode werden die Modellparameter einer aquivalenten linearen,zeitdiskreten Ubertragungsfunktion geschatzt und anschließend in die gesuchten Parameter derlinearen, zeitkontinuierlichen Ubertragungsfunktion umgerechnet.

Darstellung der Identifikationsergebnisse

Die mit der Pradiktionsfehlermethode erzielten Ergebnisse eines Identifikationsexperiments wer-den in den folgenden drei Blocken (a, b, c) zusammengefasst:

Der Block a) stellt zur visuellen Beurteilung der Anregung die Zeitverlaufe der Eingangssi-gnale des zu identifizierenden Teilsystems dar.Der Block b) gibt tabellarisch fur die einzelnen Modellansatze die geschatzten Modellpara-meter und die damit erreichten Fits von Simulation und Pradiktion fur den Validierungs -und den Identifikationsdatensatz, in Klammern angegeben, wieder. Der Fit wird in Gl. (6.1)definiert.Der Block c) dient zur Untersuchung der Qualitat der Identifikation anhand der folgendenZeitverlaufe:

1. Ausgangssignal y(t) des Teilsystems als Referenz,

2. Ausgangssignal der Simulation ys(t),

3. Simulationsfehler εs(t) := y(t)− ys(t),

4. 1-Schritt-Pradiktion yp(t) des Ausgangssignals und

5. Pradiktionsfehler εp(t) := y(t)− yp(t)

und der folgenden Kovarianzfunktionen:

1. Autokovarianzfunktion Ree des Pradiktionsfehlers εp(t) und


2. Kreuzkovarianzfunktionen Reu des Pradiktionsfehlers εp(t) mit den einzelnen Eingangs-signalen u(t).

Bei mit dem Least-Squares-Verfahren oder den mittels nichtlinearer Optimierung erzielten Er-gebnissen entfallt die Darstellung von Pradiktion, Pradiktionsfehler und den Kovarianzfunktio-nen.

Bei der Identifikation der Ansteuerung des Servoventils erfolgt eine Darstellung der Identifikati-onsergebnisse anhand des Frequenzgangs.

Fur das Laborexperiment wird ein

• Regler, ein

• Fuhrungssignal (siehe Kapitel E.1.1) und eine

• Lastmasse

gewahlt.

Definition des Fits

Der Fit zwischen dem Ausgangssignal y(t) und dem durch Simulation oder Pradiktion nachge-bildeten Ausgangssignal y(t) wird wie folgt definiert:

Fit =

(1−

√∑Nt=1 [y(t)− y(t)]2∑N

t=1 y2(t)

)· 100% , (6.1)

wobei N die Anzahl der Abtastpunkte bezeichnet. Der Fit gibt an, wie gut die Simulationbzw. Pradiktion das reale Ausgangssignal nachbilden kann. Die Qualitat von Simulation bzw.Pradiktion ist um so besser, je naher der Fit an die 100 % Grenze herankommt.Der Fit wird negativ, wenn der Effektivwert des Simulations- bzw. Pradiktionsfehler großer alsder Effektivwert des Ausgangssignals wird.Eine Normierung des Effektivwertes des Simulations- bzw. Pradiktionsfehler auf Effektivwertdes Ausgangssignals ist beim Vergleich mit unterschiedlicher Ansteuerungsamplitude notwendig(vgl. Servoventil Kapitel 6.3).

Beurteilung der Identifikationsergebnisse

Der Simulationsfehler :

εs(t) := y(t)− ys(t) (6.2)

und der Pradiktionsfehler

εp(t) := y(t)− yp(t) (6.3)

sind Residuen.Residuen ε(t) setzen sich zusammen aus einem Modellfehlersignal (model error signal) g(t) undaus einem externen Storsignal (disturbance signal) v(t) :

ε(t) = g(t)︸︷︷︸Modellfehlersignal

+ v(t)︸︷︷︸Storsignal

. (6.4)


Das Modellfehlersignal (model error signal) g(t) entsteht aufgrund eines deterministischen Mo-dellfehlers aus dem Anregungssignal u(t).Das Storsignal (disturbance signal) v(t) hingegen steht in keinerlei Beziehung zum Anregungs-signal u(t). Es setzt sich zusammen aus Prozess- und Messrauschen sowie unbekannten deter-ministische Einflussfaktoren (z.B. Brummstorungen).Der Pradiktionsfehler εp(t) ergibt sich uber das inverse Fehlermodell H(q)−1 aus dem Simulati-onsfehler εs(t) vgl. Kapitel C.1.3.1:

εp(t) = H(q)−1 · εs(t) . (6.5)

Demnach ist der Pradiktionsfehler εp(t) eine spektrale Bewertung des Simulationsfehlers εs(t).Bei der Pradiktionsfehlermethode werden die Modellparameter so bestimmt, dass die Energiedes Pradiktionsfehlers minimal wird.Die Fehlermodelle der Ansatze lauten:

ARX : H(q)−1 = A(q)ARMAX : H(q)−1 = A(q)

C(q)

OE : H(q)−1 = 1BJ : H(q)−1 = D(q)

C(q)

Bei ARX und ARMAX ist das Fehlermodell mit der Dynamik A(q) des Simulationsmodellsverbunden, wohingegen BJ ein unabhangiges Fehlermodell besitzt.Bei OE wird der Simulationsfehler nicht gewichtet.

Mit der Autokovarianzfunktion Ree des Pradiktionsfehlers εp(t) wird uberpruft, ob dieser un-korreliert ist. Fur alle Verzogerungsschritte (lags) großer Null sollte die AutokovarianzfunktionRee im gestrichelt eingezeichneten Band liegen. Die Aufgabe des Fehlermodells ist es, den mogli-cherweise mit sich selbst korrelierten Simulationsfehler εs(t) so zu bewerten, dass daraufhin derPradiktionsfehlers εp(t) unkorreliert wird.Mit der Kreuzkovarianzfunktionen Reu des Pradiktionsfehlers εp(t) mit den einzelnen Eingangs-signalen u(t) wird uberpruft, ob der Pradiktionsfehler nicht mit den Eingangen korreliert ist.Ist der Pradiktionsfehler noch mit den Eingangen korreliert, konnte das Modell noch verbes-sert werden. Unkorreliert gilt nur fur eine lineare Beziehung, eine nichtlineare Abhangigkeit isttrotzdem moglich.

Die Ordnung des Fehlermodells wird so bestimmt, dass eine steigende Ordnung des Fehlermodellseine Verbesserung des Fits in der Simulation mit dem Validierungsdatensatz bringen muss.

A priori bekannte Parameter

Die folgenden Modellparameter werden als a priori bekannt angenommen:

Ak = AI = AII = 9.43 cm2 Zylinderkolbenflachen,lI0 = lII0 = 33.3 cm Ausgangslagen der Zylinderkolbenauslenkung,d1 = d2 = d3 = d4 = 7.95 mm Ventilkolbendurchmesser,ρ = 850 kg

m3 Dichte des Ols undp0 = pS − pR [ N

m2 ] effektiver Systemdruck abhangig vom Versorgungsdruck pS

(pR ≈ 4 bar)

6.3 Identifikation der Ansteuerung des Servoventils 81

6.3 Identifikation der Ansteuerung des Servoventils

Die Ansteuerung des Servoventils ist ein geregelter Antrieb mit der Aufgabe, den VentilwegxV proportional zur Vorgabe der Ventileingangsspannung uM moglichst verzogerungsfrei ein-zustellen. Es ist zu erwarten, dass dies fur den statischen Fall und bis zu einer Grenzfrequenzgut gelingt. Dieses Verhalten lasst sich anhand des Frequenzgangs darstellen. In Abschnitt 6.3.1werden Frequenzgange der Ansteuerung des Servoventils experimentell aufgenommen. Sie dienenim folgenden als Kennfunktionen zur Gegenuberstellung mit den identifizierten mathematischenModellen. Die mathematischen Modelle fur das Teilsystem Servoventil beschreiben das dyna-mische Verhalten zwischen der Ventileingangsspannung uM als Eingang und dem Ventilweg xV

als Ausgang der Ansteuerung des Servoventils (vgl. Bild 6.2). Das Teilsystem ”Ansteuerung desServoventils” ist den anderen Teilsystemen vorgeschaltet und wird als ruckwirkungsfrei betrach-tet.Fur den Reglerentwurf in Kapitel 7 wird ein lineares, zeitkontinuierliches Modell der Ansteuerungdes Servoventil erwartet. Es stellte sich aber im Verlauf der Untersuchungen heraus, dass einnichtlineares Verhalten aufgrund einer Sattigung der Ventilkolbengeschwindigkeit vorliegt.Es werden folgende Modellhypothesen identifiziert:

• lineares, zeitkontinuierliches Modell 3. Ordnung im Kapitel 6.3.2 und• nichtlineare, zeitkontinuierliche Modelle 1. bis 3. Ordnung im Kapitel 6.3.3.

AnsteuerunguM

des Servoventils

xV

Bild 6.2: Teilsystem Servoventil mit den Schnittstellen: Ventileingangsspannung uM und Ventil-weg xV

6.3.1 Experimentelle Aufnahme eines Frequenzgangs

Zur experimentellen Aufnahme des Frequenzgangs der Ansteuerung des Servoventils wird derservohydraulische Antrieb mit einem P-Regler im geschlossenen Regelkreis betrieben und miteinem sinusformigen Fuhrungssignal angesteuert, dessen Frequenz linear mit der Zeit erhohtwird (Sinus-Sweep).Gemessen werden N Abtastpunkte des Eingangs- u(t) := uM (t) und des Ausgangssignals y(t) :=xV (t) mit t = ξ ·∆t und ξ = 0, ..., N − 1, wobei ∆t die Abtastzeit bezeichnet.Zur Auswertung werden von den gemessenen Ein- und Ausgangssignalen jeweils die Periodo-gramme (Diskrete Fourier Transformation) an den diskreten Frequenzen f = 1

∆t·N · ν mitν = 0, ..., N − 1 berechnet [6]:

UN (f) :=1√N·

N−1∑

ξ=0

u (ξ ·∆t) · e−j·2·π·f ·ξ·∆t und (6.6a)

YN (f) :=1√N·

N−1∑

ξ=0

y (ξ ·∆t) · e−j·2·π·f ·ξ·∆t (6.6b)

mit j =√−1 als imaginarer Einheit.


Der Quotient der Periodogramme liefert eine Schatzung des komplexwertigen Frequenzgangs(ETFE empirical transfer-function estimate [6]):

ˆG(f) :=

YN (f)UN (f)

. (6.7)

Die Fast Fourier Transformation muss uber den gesamten Sweep gebildet werden, weil die Fre-quenz des Sweeps wahrend des Versuchs einmal durchgestimmt wird. Es ergibt sich aufgrund dergroßen Anzahl an Abtastpunkten N eine sehr feine spektrale Auflosung ∆f = 1

∆t·N . Verbunden

damit ist ein aufgerauhter Verlauf der Schatzung des komplexwertigen Frequenzgangs ˆG(f), der

aber durch eine gewichtete Mittlung uber benachbarte Werte im Spektralbereich geglattet wird(n = 10):

G(f) :=n · ˆ

G(f) +∑n−1

k=1 (n− k) ·[ ˆG

(f + k

∆t·N)

+ ˆG

(f − k

∆t·N)]

n2. (6.8)

Aus dem geglatteten, komplexwertigen Frequenzgang G(f) werden Amplitudengang |G(f)| undPhasengang arg G(f) gebildet und dargestellt.Aus dem Amplitudengang |G(f)| wird eine Grenzfrequenz (Knickfrequenz) als Kennzahl fur dasdynamische Verhalten der Ansteuerung des Servoventil abgelesen.Durch Aufnahme des Frequenzgangs fur unterschiedliche Ansteuerungsamplituden wird unter-sucht, ob der Frequenzgang unabhangig von der Amplitude ist und damit das Verhalten derAnsteuerung des Servoventils linear ist.

Die Daten der Laborexperimente lauten:

– Regler : P-Regler mit kp = 400

– Fuhrungssignal des Reg-lers

: Sinussweep Gl. (E.2) vgl. Kapitel E.1.1 mitAmplitude A = 2, 4, 8, und 16 mm ,Startfrequenz fStart = 0 Hz ,Stopfrequenz fStop = 400 Hz ,Sweepdauer tDauer = 8.192 s und 16.384 s ,

– Abtastrate : fabst = 1∆t = 4 kHz ( fabst = 10 · fStop )

– Meßdauer : a) 0 bis 8.192 s (N = 32768 = 215 Abtastpunkte)b) 0 bis 16.384 s (N = 65536 = 216 Abtastpunkte)

– mechanische Last : mk = 200 kg

– Versorgungsdruck : pS = 150 bar

– Gemessene Signale : uM , xV

Es stehen zwei in der Anregung vergleichbare, in der Versuchsdauer tDauer unterschiedlicheVersuchsreihen v1a bis v4a und v1b bis v4b zur Verfugung:

A = 2 mm A = 4 mm A = 8 mm A = 16mma) tDauer = 8.192 s v1a v2a v3a v4ab) tDauer = 16.384 s v1b v2b v3b v4b


Die Bezeichnung der Versuche beginnt mit dem Buchstaben v gefolgt von einer Ziffer fur die un-terschiedliche Aussteuerungsamplitude und einem Buchstaben a oder b fur die unterschiedlicheVersuchsdauer.

Im Bild 6.3 sind die aus den 8 Laborexperimenten ermittelten Amplituden- und Phasengangeder Ansteuerung des Servoventils zwischen dem Eingang uM und dem Ausgang xV dargestellt.Die Amplituden- und Phasengange wurden mit den Gln. (6.6) und (6.7) berechnet und nach Gl.(6.8) mit n = 10 geglattet.Aus der Darstellung geht hervor, dass die Amplituden- und Phasengange bei gleicher Ansteuer-ungsamplitude sehr gut ubereinstimmen.Anhand des Phasengangs (mittleres Diagramm von Bild 6.3) ist deutlich eine Totzeit zu erken-nen, sie betragt 1.4 ms. Zusatzlich wurde zum Vergleich in dieses Diagramm der Phasengangeiner Totzeit von 1.4 ms als gestrichelte Linie eingezeichnet. Der Phasengang einer Totzeit Tlautet: ϕT (f) = 2 · π · f · T .Im untersten Diagramm ist der Phasengang um diese Totzeit bereinigt dargestellt.Die Ansteuerungsamplitude des Fuhrungssignals xkd wird von Versuch v1a bis v4a bzw. v1b bisv4b jeweils verdoppelt, was auch jeweils eine Verdopplung der Amplitude der Ventileingangs-spannung uM zur Folge hat.Aus den Amplitudengangen im Bild 6.3 lassen sich folgende ungefahre Grenzfrequenzen ablesen:

v1a, v1b v2a, v2b v3a, v3b v4a, v4bAmplitude des Fuhrungssignals xkd 2 mm 4 mm 8 mm 16mmAmplitude der Ventileingangsspannung uM ≈ 0.75 V ≈ 1.5 V ≈ 3.0 V ≈ 6.0 Vabgelesene Grenzfrequenz fg ≈ 316 Hz ≈ 190 Hz ≈ 110 Hz ≈ 50 Hz

Die Grenzfrequenz fg sinkt mit steigender Amplitude der Aussteuerung. Die Ansteuerung desServoventils besitzt damit ein nichtlineare Verhalten.Der Abfall oberhalb der Grenzfrequenz betragt fur die kleinste Amplitude 40 dB/Dekade, wasdem Abfall eines PT2-Glieds entspricht und fur die großte Amplitude 20 dB/Dekade, was demAbfall eines PT1-Glieds entspricht.

6.3.2 Lineares Modell 3. Ordnung

Im folgenden wird trotz des beobachteten nichtlinearen Verhaltens der Ansteuerung des Ser-voventils ein lineares Modell 3. Ordnung ohne gesonderte Berucksichtigung der Totzeit an dieMessdaten angefittet. Das lineare, zeitkontinuierliche Modell 3. Ordnung lautet:

...xV + α2 · xV + α1 · xV + α0 · xV = β0 · uM (6.9a)

mit den Koeffizienten

α2 := 2 · ζV · ωV + aM , (6.9b)

α1 := ω2V + 2 · ζV · ωV · aM (6.9c)

α0 := aM · ω2V , (6.9d)

β0 := kV · aM · ω2V (6.9e)

und den unbekannten 4 Parametern: kV , aM , ζV und ωV , vgl. die Zusammenfassung von Gl.(4.25) und (4.26) bzw. Gl. (4.33) und (4.34) bzw. Gl. (4.39) und (4.40) .


-115.0

-110.0

-105.0

-100.0

-95.0

-90.0

-85.0

-300.0

-250.0

-200.0

-150.0

-100.0

-50.0

0.0

50.0

[Hz]10 1 10 2 10 3-100.0

-80.0-60.0-40.0-20.0

0.020.040.0

Amplitudengang |G(f)|[dB]

1

2

3

4

Phasengang arg G(f)[]

1234

Phasengang arg G(f) (Totzeit herausgerechnet)

Frequenz

[]

1234

Bild 6.3: Laborexperiment: Amplituden- und Phasengang der Ansteuerung des Servoventils zwi-schen dem Eingang uM und dem Ausgang xV bei 4 unterschiedlichen Amplituden dessinussweepformigen Fuhrungssignals: 1 = xkd = 2 mm (uM ≈ 0.75 V), 2 = xkd = 4mm (uM ≈ 1.5 V), 3 = xkd = 8 mm (uM ≈ 3.0 V) und 4 = xkd = 16 mm (uM ≈6.0 V); im mittleren Diagramm ist zusatzlich der Phasengang einer Totzeit von 1.4 msals gestrichelte Linie eingezeichnet; im untersten Diagramm ist der Phasengang um dieTotzeit bereinigt dargestellt


Bei der Parameterschatzung werden nicht die gesuchten Modellparameter des zeitkontinuierli-chen, sondern die Modellparameter eines aquivalenten linearen, zeitdiskreten Modells geschatztund anschließend transformiert.Das aquivalente lineare, zeitdiskrete Modell 3. Ordnung lautet:

xV =b1 · q−1 + b2 · q−2

1 + f1 · q−1 + f2 · q−2 + f3 · q−3· uM . (6.10)

Die Berechnung der physikalischen Modellparameter aM , ωV , ζV , kV der Modellgleichung (6.9)aus den geschatzten formalen Modellparametern b1 , b2 , f1 , f2 , f3 der Identifikationsgleichung(6.10) erfolgt mit:

ωV =√

δ2 + ω21 (6.11a)

ζV =−δ√

δ2 + ω21

(6.11b)

aM = s3 (6.11c)

kV =b1 + b2

1 + f1 + f2 + f3(6.11d)

mit s1, 2 = δ ± j ·ω1 und s3 als den Polstellen des zeitkontinuierlichen Modells, die durch dieTransformation si = 1

∆t · ln zi , i = 1, 2, 3 aus den Nullstellen z1 , z2 , z3 des Polynomsz3 + f1 · z2 + f2 · z + f3 = 0 gebildet werden. Die Große ∆t bezeichnet die Abtastzeit.

Fur jeden der 8 Versuche v1a bis v4a und v1b bis v4b wurden die Modellparameter eines linearenModells 3. Ordnung geschatzt. Die Daten der Identifikationsexperimente lauten:

– Identifikationsgleichungen : (6.10)

– Identifizierte Modellpara-meter

: aM , ωV , ζV und kV

– Signalvorverarbeitung : keine

– Identifikationsverfahren : Pradiktionsfehlermethode: Output Error mit nb = 2,nf = 3 und nk = 1

– Geschatzte Parameterwer-te der Modellgleichungen

:

Versuch Fit [%] aM [1/s] ωV [1/s] ζV kV [m/V]v1a 79.6 1107.2 2046.9 0.30 2.6·10−5

v1b 80.3 1070.9 2029.2 0.28 2.6·10−5

v2a 75.3 1282.6 1458.8 0.32 2.3·10−5

v2b 76.2 1188.4 1459.6 0.31 2.4·10−5

v3a 69.7 2709.2 932.8 0.46 2.1·10−5

v3b 71.1 2376.4 938.1 0.47 2.2·10−5

v4a 61.2 3641.6 695.0 0.64 1.7·10−5

v4b 63.0 3355.5 674.5 0.65 1.9·10−5

Der Fit ist in Gl. (6.1) definiert worden.

Der Fit ist bei gleicher Ansteuerungsamplitude (z.B. v1a und v1b) vergleichbar, was auch furdie geschatzten Modellparameter zutrifft. Bei der langeren Versuchszeit (v1b bis v4b) ist der Fitleicht besser.


Es ist deutlich zu erkennen, dass der Fit mit steigender Ansteuerungsamplitude schlechter wird.Wird bei einer Ansteuerungsamplitude von 0.75 V (v1a und v1b) noch ein Fit von ca. 80 %erreicht, geht dieser um ca. 20 Prozentpunkte bei einer Ansteuerungsamplitude von 6 V (v4aund v4b) auf ca. 60 % zuruck.Die Tendenz des geschatzten Parameters ωV , mit steigender Ansteuerungsamplitude kleiner zuwerden, entspricht der im Amplitudengang abgelesenen Grenzfrequenz.Der geschatzte Parameter aM besitzt eine entgegengesetzte Tendenz. Er wird mit steigenderAnsteuerungsamplitude großer, d.h. die zugehorige reelle Polstelle vgl. Gl. (6.11c) wandert vomUrsprung weg und wandert sogar aus dem Frequenzband der Anregung von 0 bis 400 Hz heraus.Dies deutet daraufhin, dass die Polstelle im Modell an Bedeutung verliert.Im Bild 6.4(a) sind Amplituden- und Phasengange fur die 8 Parametersatze des linearen Modells3. Ordnung dargestellt. Zum Zwecke des Vergleichs wurde im dort dargestellten Phasengang eineTotzeit von 1.4 ms herausgerechnet.Es sind deutlich Schwierigkeiten des linearen Modells 3.Ordnung zu erkennen, den gemessenenFrequenzgang nachzubilden. Der Amplitudengang des realen Systems fallt oberhalb der Grenz-frequenz flacher als das lineare Modell 3. Ordnung ab. Bei einem linearen Modell geringererOrdnung ware die Phase aber oberhalb der Grenzfrequenz zu gering.

Bemerkung 6.1 (Verwendung des Output Error-Ansatzes bei der Pradiktionsfehler-methode): Der numerisch einfachste Ansatz bei der Pradiktionsfehlermethode ist der ARX-Ansatz, weil dort zur Berechnung der Parameterschatzung der Least-Squares-Algorithmus ein-gesetzt wird. Der Erfolg der Parameterschatzung hangt sehr stark vom richtig modelliertenEingang einer externen Storung ab (vgl. Kapitel C.1.3.2). Der Output Error-Ansatz ist auf-grund seiner iterativen Berechnung numerisch aufwendiger, dafur aber weniger empfindlich, wasdie Art und den Eingangsort einer Storung angeht. Die Pradiktionsfehlermethode mit ARMAXund BJ-Ansatzen, die ein lineares Fehlermodell enthalten, ist nicht sinnvoll, weil bei der Iden-tifikation der Ansteuerung des Servoventils mit einem linearen Modell 3. Ordnung ein großerModellfehler vorliegt.

In der folgenden Tabelle ist eine Kreuzvalidierung fur das lineare Modell 3. Ordnung durchgefuhrtworden. Dargestellt ist der Fit aus Gl. (6.1). Alle Zahlen sind in [%] angegeben:

Validierungs- Identifikationsdatensatz fur Parameterschatzungdatensatz v1a v2a v3a v4a v1b v2b v3b v4b

v1a 79.6 48.6 25.0 10.5 79.6 48.3 25.2 10.9v2a 39.8 75.3 40.1 16.6 40.1 75.2 40.2 16.9v3a -11.1 25.5 69.7 37.2 -11.1 25.3 69.7 37.8v4a -89.7 -53.3 16.4 61.2 -89.7 -54.3 15.1 62.5v1b 80.2 50.4 27.4 13.0 80.3 50.1 27.6 13.6v2b 42.1 76.1 42.2 19.2 42.4 76.2 42.5 19.7v3b -3.5 30.4 70.7 39.7 -3.5 30.3 71.1 40.7v4b -64.8 -33.3 26.5 60.7 -64.8 -34.1 25.8 63.0

Der fur die Schatzung der Modellparameter verwendete Datensatz wird als Identifikationsdaten-satz bezeichnet.Der fur die Berechnung des Fits verwendete Datensatz wird als Validierungsdatensatz bezeichnet.Aus den 8 Versuchen ergeben sich 8 Identifikationsdatensatze, die in den Spalten der Tabelleeingetragen sind, und 8 Validierungsdatensatze, die in den Zeilen der Tabelle eingetragen sind.


Ein Kreuzungspunkt einer Spalte mit einer Zeile liefert einen Fit, wobei der Datensatz derZeile als Validierungsdatensatz und der Datensatz der Spalte als Identifikationsdatensatz fur dieParameterschatzung verwendet wurde.Es sind bei der Interpretation der Tabelle folgende Falle zu betrachten:

• Identifikations- gleich Validierungsdatensatz:Auf der Diagonalen sind Identifikations- und Validierungsdatensatz gleich. Der Fit gibt an,wie gut das gewahlte Modell bei der Parameterschatzung an den Identifikationsdatensatzangepasst wurde. Hierbei kann es aber zu einer ungewunschten Anpassung an eine externeStorung kommen.

• gleiche Ansteuerung, aber Identifikations- und Validierungsdatensatz verschieden:Sind Identifikations- und Validierungsdatensatz verschieden, besitzen sie aber die gleiche An-steuerung des Versuchs wie z.B. v1a und v1b, kann uberpruft werden, wie stark der Fit voneiner externen Storung beeinflusst wird.

• unterschiedliche Ansteuerung:Bei den ubrigen Kombinationen besitzen Identifikations- und Validierungsdatensatz unter-schiedliche Ansteuerungsamplitude. Hiermit wird untersucht, wie gut sich das identifizierteModell auf eine andere Betriebssituation ubertragen lasst. Dies gibt Aufschluss uber eventuellvorhandene Modellfehler.

Die Interpretation der Tabelle fuhrt zu folgenden Ergebnissen:Das fur die jeweilige Ansteuerungsamplitude geschatzte Modell passt gut fur diese Ansteue-rungsamplitude, was die geringe Veranderung des Fits vom Identifikations- zum Validierungs-datensatz zeigt. Der aus Versuch v4a geschatzte Parametersatz ergibt einen Fit von 61.2% beider Identifikation. Mit dem Datensatz aus Versuch v4b verringert sich der Fit nur geringfugigauf 60.7%.Jedoch mit den Datensatzen aus Versuchen mit anderer Ansteuerungsamplitude z.B. v1b, v2boder v3b fallt der Fit stark auf 39.7%, 19.2% bzw. 13.0% ab. Dies deutet daraufhin, dass daslineare Modell hier nicht mehr passt und somit große Modellfehler vorliegen.

Das Verhalten der Ansteuerung des Servoventils lasst sich also nicht mit einem Parametersatzbei den unterschiedlichen Ansteuerungsamplituden wiedergeben.

6.3.3 Identifikation nichtlinearer Modelle

Es wird vermutet, dass eine Sattigung der Ventilkolbengeschwindigkeit fur das Abknicken desAmplitudengangs verantwortlich ist.Das in Kapitel A.1 beschriebene nichtlineare, formale Modell 3. Ordnung des Servoventils Gln.(A.1) bis (A.5) besteht im wesentlichen aus einem Lageregelkreis bezuglich des Ventilkolbenwegsund einer Sattigung der Ventilkolbengeschwindigkeit (vgl. Bild A.2). Vor und hinter der Satti-gung befinden sich PT1-Glieder. Um deren Notwendigkeit im Modell zu untersuchen, werdenaus dem Modell 3. Ordnung durch Weglassen des PT1-Gliedes vor der Sattigung ein Modell 2.Ordnung und durch Weglassen beider PT1-Glieder ein Modell 1. Ordnung gebildet.Weil die im Experiment ermittelte Totzeit im wesentlichen der Reglerhardware zuzuschreibenist, enthalten die nichtlinearen Modelle keine Totzeit. Fur die Identifikation der nichtlinearenModelle wird beim gemessenen Ausgangssignal die Totzeit als ganzzahliges Vielfaches der Ab-tastzeit herausgerechnet.Da sich die vorliegenden nichtlinearen, zeitkontinuierlichen Modelle 1. bis 3. Ordnung wederauf die Form der linearen Regression bringen lassen noch sich in aquivalente lineare, zeitdis-krete Modelle transformieren lassen, erfolgt die Parameterschatzung mittels eines nichtlinearen


Optimierungsverfahrens (siehe Kapitel C.1.4).Begonnen wird mit der Schatzung der Modellparameter des Modells 1. Ordnung. Untersuchtwird, ob sich der Fit durch ein komplexeres Modell 2. oder 3. Ordnung noch signifikant verbessernlasst.

6.3.3.1 Nichtlineares Modell 1. Ordnung

Das nichtlineare Modell 1. Ordnung geht aus dem nichtlinearen, formalen Modell 3. Ordnungder Ansteuerung des Servoventils Gl. (A.1) bis Gl. (A.5) durch Weglassen beider PT1-Glieder(vgl. Bild A.2) hervor:

xV ≡ x′V (weggelassenes PT1-Glied hinter der Sattigung) , (6.12a)

x′V := x′V (x′′V ) =

xVmax fur x′′V > xVmax

x′′V fur −xVmax < x′′V < xVmax

−xVmax fur x′′V < −xVmax

(Sattigung) , (6.12b)

x′′V ≡ x′′′V (weggelassenes PT1-Glied vor der Sattigung) , (6.12c)exV = kV · uM − xV (Regelfehler) , (6.12d)x′′′V = b1 · exV (P-Regler) (6.12e)

mit den 3 unbekannten Parametern kV , xVmax und b1.

Fur jeden der 8 Versuche v1a bis v4a und v1b bis v4b wurden die Modellparameter des nichtli-nearen Modells 1. Ordnung geschatzt. Die Daten der Identifikationsexperimente lauten:



: kV , ˆxVmax und b1

– Signalvorverarbeitung : bei den gemessenen Signalen uM und xV werden jeweilsihre Mittelwerte abgezogen; beim Signal xV wird zusatz-liche eine Totzeit von 1.25 ms (5 Abtastschritten) heraus-gerechnet

– Identifikationsverfahren : Parameterschatzung mittels Integrationsverfahren undnichtlinearer Optimierung (Nelder–Mead–Simplex–Algorithmus)


:

Versuch Fit [%] kV [mV ] ˆxVmax [ms ] b1 [1s ]v1a 85.6 2.5·10−5 0.031 29837.3v2a 80.8 2.6·10−5 0.035 30000.0v3a 82.2 2.7·10−5 0.038 29872.5v4a 81.3 2.7·10−5 0.040 4100.2v1b 85.6 2.5·10−5 0.031 30000.0v2b 81.2 2.7·10−5 0.035 29969.3v3b 83.2 2.7·10−5 0.039 30000.0v4b 82.9 2.7·10−5 0.041 5213.8

In der folgenden Tabelle ist eine Kreuzvalidierung fur das nichtlineare Modell 1. Ordnung durch-gefuhrt worden. Dargestellt ist der Fit aus Gl. (6.1). Alle Zahlen sind in [%] angegeben:



v1a 85.6 83.7 81.1 75.7 85.6 83.6 81.0 78.3v2a 78.4 80.8 79.5 76.6 77.7 80.8 79.4 76.9v3a 75.0 80.6 82.2 81.0 73.8 80.5 82.2 81.2v4a 70.6 77.5 80.5 81.3 69.3 77.3 80.6 81.2v1b 85.6 83.4 80.8 76.5 85.6 83.3 80.7 78.7v2b 79.0 81.2 79.9 77.1 78.3 81.2 79.8 77.4v3b 76.5 81.7 83.2 82.0 75.4 81.7 83.2 82.1v4b 71.8 78.7 82.1 82.8 70.5 78.6 82.1 82.9

Der Fit der Validierung schwankt zwischen 69.3 % bei Versuch v4a mit Parametern aus v1b und85.6 % bei Versuch v1a mit Parametern aus v1b.Die geschatzten Parameter aus Datensatzen mit mittlerer Ansteuerungsamplitude (v2a, v2b,v3a und v3b) erzielen auch bei den anderen Ansteuerungsamplituden gleich große Fits. DasModell passt somit fur alle Ansteuerungsamplituden fast gleich gut.Die geschatzten Parameterwerte von kV und ˆxVmax liegen dicht beieinander.Bei der Optimierung wurde die obere Grenze fur den Parameter b1 auf 30000 festgelegt. DerModellparameter b1 ist der KP-Faktor des Lageregelkreises. Die schlechte Sensitivitat dieses Pa-rameter wird durch die Sattigung der Ventilkolbengeschwindigkeit verursacht. Es ist wichtig, dasdieser Wert moglichst hoch ist, was aber durch numerische Probleme des Integrationsalgorithmusin der Simulation begrenzt wird.Es werden die folgenden Parameter fur das nichtlineare Modell 1. Ordnung gewahlt:

kV = 2.7·10−5 mV ,

b1 = 15000 1s und

ˆxVmax = 0.04 ms .

Im Bild 6.4(b) sind Amplituden und Phasengange des nichtlinearen Modells 1. Ordnung furdiese Parameter dargestellt. Das Abknicken der Amplitudengange sowie der Phasenverlauf beiden unterschiedlichen Ansteuerungsamplituden wird durch das Modell mit diesem Parametersatzgut wiedergegeben.Im folgenden wird versucht durch das nichtlineare Modell 2. und 3. Ordnung den Fit weiter zuverbessern.


Das nichtlineare Modell 2. Ordnung wird aus dem nichtlinearen, formalen Modell 3. Ordnungder Ansteuerung des Servoventils Gl. (A.1) bis Gl. (A.5) durch Weglassen des PT1-Gliedes vorder Sattigung (vgl. Bild A.2) entwickelt:

xV + a1 · xV = a1 · x′V (PT1-Glied nach der Sattigung) , (6.13a)

x′V := x′V (x′′V ) =





x′′V ≡ x′′′V (weggelassenes PT1-Glied vor der Sattigung) , (6.13c)exV = kV · uM − xV (Regelfehler) , (6.13d)


x′′′V = b1 · exV (P-Regler) (6.13e)

mit den 4 unbekannten Parametern: kV , xVmax , b1 und a1.

Fur jeden der 8 Versuche v1a bis v4a und v1b bis v4b wurden die Modellparameter des nichtli-nearen Modells 2. Ordnung geschatzt. Die Daten der Identifikationsexperimente lauten:



: kv, ˆxVmax , b1 und a1




:

Versuch Fit [%] kv [mV ] ˆxVmax [ms ] b1 [1s ] a1 [1s ]v1a 86.9 2.5·10−5 0.033 28850.7 11891.9v2a 82.4 2.6·10−5 0.038 12766.4 8903.8v3a 84.2 2.6·10−5 0.041 6236.5 7518.7v4a 83.4 2.6·10−5 0.042 2812.2 6511.8v1b 86.8 2.5·10−5 0.032 28418.9 12446.3v2b 82.8 2.6·10−5 0.039 9749.3 7069.5v3b 85.1 2.6·10−5 0.041 6426.6 7449.5v4b 84.9 2.7·10−5 0.042 3402.2 6359.1



v1a 86.9 84.7 80.3 63.1 86.8 83.9 80.3 68.0v2a 80.0 82.4 81.5 75.4 79.3 82.2 81.4 77.5v3a 77.3 83.0 84.2 82.5 76.2 83.3 84.2 83.3v4a 73.8 81.1 82.8 83.4 72.3 81.7 82.8 83.3v1b 86.7 84.5 80.9 65.0 86.8 84.0 80.8 69.7v2b 80.6 82.9 81.9 76.1 79.9 82.8 81.9 78.2v3b 78.7 84.0 85.1 83.3 77.6 84.3 85.1 84.2v4b 75.0 82.3 84.4 84.7 73.6 83.0 84.4 84.9

Der Fit der Validierung schwankt zwischen 63.1 % bei Versuch v1a mit Parametern aus v4a und86.8 % bei Versuch v1a mit Parametern aus v1b.Der Fit wird durch das nichtlineare Modell 2. Ordnung nur geringfugig besser als beim nichtli-nearen Modell 1. Ordnung.Es werden die folgenden Parameter fur das nichtlineare Modell 2. Ordnung gewahlt:


kV = 2.6·10−5 mV ,

b1 = 12000 1s ,

ˆxVmax = 0.04 ms und

a1 = 9000 1s .

Im Bild 6.4(c) sind Amplituden und Phasengange des nichtlinearen Modells 2. Ordnung darge-stellt.Das nichtlineare Modell 2. Ordnung verbessert den Phasenverlauf gegenuber dem nichtlinearenModell 1. Ordnung.


Das nichtlineare Modell 3. Ordnung lautet, vgl. Gl. (A.1) bis Gl. (A.5):

xV + a1 · xV = a1 · x′V (PT1-Glied nach der Sattigung) , (6.14a)

x′V := x′V (x′′V ) =





x′′V + a2 · x′′V = a2 · x′′′V (PT1-Glied vor der Sattigung) , (6.14c)exV = kV · uM − xV (Regelfehler) , (6.14d)x′′′V = b1 · exV (P-Regler) (6.14e)

mit den 5 unbekannten Parametern: kV , xVmax , b1, a1 und a2.Fur jeden der 8 Versuche v1a bis v4a und v1b bis v4b wurden die Modellparameter des nichtli-nearen Modells 3. Ordnung geschatzt. Die Daten der Identifikationsexperimente lauten:



: kv, ˆxVmax , b1, a1 und a2




:


Versuch Fit [%] kv [mV ] ˆxVmax [ms ] b1 [1s ] a1 [1s ] a2 [1s ]v1a 87.6 2.5·10−5 0.031 18543.6 29969.6 18208.3v2a 83.7 2.6·10−5 0.037 18099.8 17643.3 12731.7v3a 85.3 2.7·10−5 0.041 8798.3 12233.2 15371.1v4a 83.8 2.7·10−5 0.041 25843.2 14889.6 14047.9v1b 79.9 2.4·10−5 0.1 5990.8 29999.1 29990.4v2b 84.0 2.6·10−5 0.037 26156.4 13301.7 16226.0v3b 86.3 2.7·10−5 0.04 13044.5 10436.5 18165.7v4b 85.4 2.7·10−5 0.041 15725.8 9577.9 18082.6



v1a 87.6 82.9 80.5 78.7 80.1 82.9 80.9 79.5v2a 78.5 83.7 81.8 81.4 43.2 83.5 82.1 81.2v3a 74.1 84.0 85.3 85.6 12.2 83.9 85.3 85.1v4a 69.7 81.3 83.7 83.8 -4.8 81.4 83.6 83.5v1b 87.4 82.4 80.3 78.2 79.9 82.5 80.5 79.0v2b 79.2 84.3 82.3 82.0 45.1 84.0 82.7 81.9v3b 75.8 85.1 86.2 86.5 18.0 85.0 86.3 86.1v4b 70.9 82.4 85.2 85.4 8.8 82.5 85.2 85.4

Der Fit der Validierung schwankt zwischen -4.8 % bei Versuch v4a mit Parametern aus v1a und87.4 % bei Versuch v1b mit Parametern aus v1a.Das nichtlineare Modell 3. Ordnung bringt eine weitere geringfugige Verbesserung um wenigeProzentpunkte gegenuber dem nichtlinearen Modell 2. Ordnung.Der aus Versuch v1b geschatzte Parametersatz fallt aus dem Rahmen.Es werden die folgenden Parameter fur das nichtlineare Modell 3. Ordnung gewahlt:

kV = 2.7 · 10−5 mV ,

b1 = 13000 1s ,

xVmax = 0.04 ms ,

a1 = 10000 1s und

a2 = 18000 1s

Im Bild 6.4(d) sind Amplituden- und Phasengange des nichtlinearen Modells 3. Ordnung dar-gestellt.Im Vergleich zum nichtlinearen Modells 2. Ordnung wurde der Phasenverlauf der zweit kleinstenAnsteuerungsamplitude weiter verbessert.Das Abknicken des Amplitudengangs der kleinsten Ansteuerungsamplitude wird immer nochschlecht wiedergegeben.Bis zu einer Frequenz von 200 Hz zeigt das nichtlineare Modell 3. Ordnung aber eine sehr guteUbereinstimmung.


-115

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-110

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=13000

1 s,

xV

ma

x=

0.0

4m s

,a1

=10000

1 sund

a2

=18000

1 s

Bild

6.4:

Geg

enub

erst

ellu

ngde

rA

mpl

itud

en-

und

Pha

seng

ange

der

Serv

oven

tilm

odel

le(l

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r3.

Ord

nung

und

nich

tlin

ear

1.bi

s3.

Ord

-nu

ng)da

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Lin

ien

und

derau

sLab

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lten

Am

plit

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-und

Pha

seng

ange

darg

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sge

stri

chel

teLin

ien;

4A

nste

ueru

ngsa

mpl

itud

en:1

=u

M≈

0.75

V,2

=u

M≈

1.5

V,3

=u

M≈

3.0

Vun

d4

=u

M≈

6.0

V


-115.0

-110.0

-105.0

-100.0

-95.0

-90.0

-85.0

[Hz]10 1 10 2 10 3-300.0

-250.0

-200.0

-150.0

-100.0

-50.0

0.0

50.0

Amplitudengang |G(f)|[dB]

PT1PT2

PT3

Totzeit

Phasengang arg G(f)

Frequenz

[]

PT1

PT2

PT3

Totzeit

Bild 6.5: Approximation einer Totzeit von 1.4 ms durch :a) PT1 Glied: aM = 1200.0 1/s , kV = 2.3 · 10−5 m/V ,b) PT2 Glied: ωV = 1000.0 1/s , ζV = 0.51 , kV = 2.3 · 10−5 m/V undc) PT3 Glied: aM = 1200.0 1/s , ωV = 1000.0 1/s , ζV = 0.51 , kV = 2.3 · 10−5 m/V

6.3.4 Approximation der Totzeit durch lineare Modelle

Die Ansteuerung des Servoventils wird hauptsachlich charakterisiert durch die Sattigung derVentilkolbengeschwindigkeit und durch die Totzeit. Die Dynamik des Lageregelkreises der Ser-voventilansteuerung spielt eine sekundare Rolle.Die Sattigung der Ventilkolbengeschwindigkeit kann im exakt linearisierenden Regler nichtberucksichtigt werden. Sie bildet eine Grenze, die nicht uberschritten oder kompensiert wer-den kann. Der geregelte Betrieb kann sinnvollerweise nur unterhalb dieser Grenze stattfinden.Die Totzeit, die zum großten Teil von der Hardware verursacht wird, kann als solche auch nichtim exakt linearisierenden Regler berucksichtig werden.Die Totzeit von 1.4 ms wird durch lineare Ubertragungsglieder 1. bis 3. Ordnung approximiert(siehe Bild 6.5):

a) PT1 Glied: aM = 1200.0 1/s , kV = 2.3 · 10−5 m/V ,

b) PT2 Glied: ωV = 1000.0 1/s , ζV = 0.51 , kV = 2.3 · 10−5 m/V und

c) PT3 Glied: aM = 1200.0 1/s , ωV = 1000.0 1/s , ζV = 0.51 , kV = 2.3 · 10−5 m/V.

6.4 Identifikation des Druckaufbaus 95

6.4 Identifikation des Druckaufbaus

Die mathematischen Modelle des Teilsystems Druckaufbau beschreiben das Verhalten zwischendem Ventilweg xV als Eingang und den Kammerdrucken pI , pII bzw. der Differenz der Kam-merdrucke pL als Ausgang. Weitere Eingange sind der Versorgungsdruck pS , der RucklaufdruckpR, die relative Geschwindigkeit xk = xka − xG zwischen Kolbenstange und Gehause des hy-draulischen Zylinders und der Differenzweg xk = xka − xG zwischen der Kolbenstange und demGehause des Zylinders (vgl. Bild 6.6).

Druckaufbau

pS

xV

xk

xk

pR

pL

pI

pII

−+

Bild 6.6: Teilsystem Druckaufbau mit den Schnittstellen: Ventilweg xV , Kammerdrucke pI , pII ,Versorgungsdruck pS , Rucklaufdruck pR, relative Geschwindigkeit xk := xka − xG

zwischen Kolbenstange und Gehause des hydraulischen Zylinders und Differenzwegxk := xka − xG zwischen Kolbenstange und Gehause des hydraulischen Zylinders

Die Modellhypothesen des Druckaufbaus sind:

• nichtlinearer, nicht reduzierter Druckaufbau (siehe Kapitel 6.4.1)• nichtlinearer, reduzierter Druckaufbau (siehe Kapitel 6.4.2) und• linearer, reduzierter Druckaufbau (siehe Kapitel 6.4.3) .

In Kapitel 6.4.4 wird die Kombination von linearem, reduzierten Druckaufbau und Lastmechanikidentifiziert.

6.4.1 nichtlinearer, nicht reduzierter Druckaufbau

Die Modellgleichungen des nichtlinearen, nicht reduzierten Druckaufbaus Gln. (4.5), (4.6) und(4.7) nur mit turbulentem Bypassfluss (qBP ) lauten:

pI · AI

B· (lI0 + xk) + AI · xk = (q2 − q1 − qBP ) (6.15a)

pII · AII

B· (lII0 − xk)−AII · xk = − (q4 − q3 − qBP ) (6.15b)

mit den Volumenflussen:

q1 := − αD1 ·π ·d1 ·√

2ρ·√|pI−pR| ·sign (pI−pR) ·(xV + xu1)·σ(−xV −xu1) , (6.16a)

q2 := αD2 ·π ·d2 ·√

2ρ·√|pS−pI | ·sign (pS−pI) ·(xV − xu2)·σ( xV −xu2) , (6.16b)

q3 := − αD3 ·π ·d3 ·√

2ρ·√|pS−pII |·sign (pS−pII)·(xV + xu3)·σ(−xV −xu3) , (6.16c)


q4 := αD4 ·π ·d4 ·√

2ρ·√|pII−pR|·sign (pII−pR)·(xV − xu4)·σ( xV −xu4) , (6.16d)

qBP := αBP ·ABP ·√

2ρ·√|pI−pII |·sign (pI−pII) . (6.16e)

Die Modellgleichungen enthalten folgende Modellparameter und -variablen:

unbekannte Modellparameter:

B [N/m2] : stromungsmechanische Kompressibilitat des Ols,αD1, αD2, αD3, αD4 [-] : Durchflusskoeffizienten der Ventilsteuerkanten,xu1, xu2, xu3, xu4, [m] : Uberdeckungsverhaltnisse undαBP ·ABP [m2] : Koeffizient des turbulenten Bypassflusses,

a priori bekannte Modellparameter:

d1, d2, d3, d4 [m] : Durchmesser der Ventilsteuerkanten,lI0, lII0 [m] : Zylinderkammerlangen I, II in Mittenposition des KolbensAI , AII [m2] : Zylinderkolbenflachen der Kammern I, II undρ [kg/m3] : spezifische Dichte des Arbeitsmediums Ol

gemessene Modellvariablen :

xV [m] : Ventilweg,xk [m] : Zylinderkolbenweg relativ zum Fundament xk = xka − xG,xk [m/s] : Zylinderkolbengeschwindigkeit relativ zum Fundament,pI ,pII [N/m2] : Drucke in den Zylinderkammern I und II,pS ,pR [N/m2] : Versorgungsdruck und Rucklaufdruck,

zu approximierende Modellvariablen:

pI , pII [N/m2s] : Ableitung der Drucke in den Zylinderkammern I und II

durch Zusammenfassung zu eliminierende Modellvariablen:

q1, q2, q3, q4 [m3/s] : Volumenflusse uber die Servoventil–Steuerkanten undqBP [m3/s] : turbulenter Bypassfluss des Antriebs.

Durch die Wahl des formalen Ausgangs y

y := xk (6.17)

entstehen die Identifikationsgleichungen im Format der linearen Regression:

• Gleichung A

y = kA1 · ϕA1 + kA2 · ϕA2 + kA3 · ϕA3 + kA4 · ϕA4 + kA5 · ϕA5 + kA6 · ϕA6 (6.18)


mit den formalen Eingangen ϕA1, . . . , ϕA6 (Regressoren):

ϕA1 := −pI · (lI0 + xk) , (6.19a)

ϕA2 :=π ·d1

AI·√

2ρ·√|pI − pR| · sign (pI − pR) · xV · σ

(−xV − xCu1

), (6.19b)

ϕA3 :=π ·d2

AI·√

2ρ·√|pS − pI | · sign (pS − pI) · xV · σ

(xV − xC

u2

), (6.19c)

ϕA4 :=π ·d1

AI·√

2ρ·√|pI − pR| · sign (pI − pR) · σ (−xV − xC

u1

), (6.19d)

ϕA5 := −π ·d2

AI·√

2ρ·√|pS − pI | · sign (pS − pI) · σ

(xV − xC

u2

), (6.19e)

ϕA6 := − 1AI

·√

2ρ·√|pI − pII | · sign (pI − pII) (6.19f)

und den formalen Parametern kA1, . . . , kA6:

kA1 :=1B

, (6.20a)

kA2 := αD1 , (6.20b)kA3 := αD2 , (6.20c)kA4 := αD1 · xu1 , (6.20d)kA5 := αD2 · xu2 , (6.20e)kA6 := αDBP ·ABP , (6.20f)

aus denen sich die physikalischen Parameter B, αD1, αD2, xu1, xu2 und αDBP ·ABP wie folgtberechnen lassen:

BA =1

kA1, (6.21a)

αD1 = kA2 , (6.21b)αD2 = kA3 , (6.21c)

xu1 =kA4

kA2, (6.21d)

xu2 =kA5

kA3, (6.21e)

αDBP ·ABP = kA6 . (6.21f)

• Gleichung B

y = kB1 · ϕB1 + kB2 · ϕB2 + kB3 · ϕB3 + kB4 · ϕB4 + kB5 · ϕB5 + kB6 · ϕB6 (6.22)

mit den formalen Eingangen uB1, . . . , uB6:

ϕB1 := pII · (lII0 − xk) , (6.23a)

ϕB2 :=π ·d3

AII·√

2ρ·√|pS − pII | · sign (pS − pII) · xV · σ

(−xV − xCu3

), (6.23b)

ϕB3 :=π ·d4

AII·√

2ρ·√|pII − pR| · sign (pII − pR) · xV · σ

(xV − xC

u4

), (6.23c)


ϕB4 :=π ·d3

AII·√

2ρ·√|pS − pII | · sign (pS − pII) · σ

(−xV − xCu3

), (6.23d)

ϕB5 := −π ·d4

AII·√

2ρ·√|pII − pR| · sign (pII − pR) · σ (

xV − xCu4

), (6.23e)

ϕB6 := − 1AII

·√

2ρ·√|pI − pII | · sign (pI − pII) (6.23f)

und den formalen Parametern kB1, . . . , kB6:

kB1 :=1B

, (6.24a)

kB2 := αD3 , (6.24b)kB3 := αD4 , (6.24c)kB4 := αD3 · xu3 , (6.24d)kB5 := αD4 · xu4 , (6.24e)kB6 := αDBP ·ABP . (6.24f)

aus denen sich die physikalischen Parameter B, αD3, αD4, xu3, xu4 und αDBP ·ABP wie folgtberechnen lassen:

B =1

kB1, (6.25a)

αD3 = kB2 , (6.25b)αD4 = kB3 , (6.25c)

xu3 =kB4

kB2, (6.25d)

xu4 =kB5

kB3, (6.25e)

αDBP ·ABP = kB6 . (6.25f)

Die Signale pI(t), pII(t) werden durch numerische Differentation aus den Signalen pI(t) bzw.pII(t) approximiert.

Bemerkung 6.2 (Schatzung der Uberdeckungsverhaltnisse xu1 bis xu4): Es wird an-genommen, dass die Uberdeckungsverhaltnisse sehr klein sind, da laut Herstellerangaben dasServoventil Nulluberdeckung besitzt.Fur die Parameterschatzung wird eine obere Grenze fur die Uberdeckungsverhaltnisse xC

u1 bis xCu4

von 5 µm angenommen. Es werden nur die Messwerte bei der Parameterschatzung ausgewertet,bei denen der Ventilweg betragsmaßig großer als die angenommene Grenze der Uberdeckungs-verhaltnisse ist.

Die Daten und die Ergebnisse des Identifikationsexperiments sind:

– Identifikationsgleichungen : (6.18) und (6.22)



: Sinussweep Gl. (E.2) vgl. Kapitel E.1.1 mitAmplitude A = 1cm ,Startfrequenz fStart = 1 Hz ,Stopfrequenz fStop = 5 Hz ,Sweepdauer tDauer = 2 s ,


– Gemessene Signale : xk, xV , p1, p2, pS , pR

– Abtastrate : fabst = 1 kHz

– Meßdauer : 0.2 bis 2 s


: B, αDi, xui, αDBP ·ABP mit i = 1, 2, 3, 4

– Identifikationsverfahren : Least-Squares-Algorithmus (siehe Bild 6.7)


:

B = 4.33 · 109 Nm2 in Gl. (6.18)

B = 4.38 · 109 Nm2 in Gl. (6.22)

αD1 = 1.23 in Gl. (6.18)αD2 = 1.17 in Gl. (6.18)αD3 = 1.10 in Gl. (6.22)αD4 = 1.18 in Gl. (6.22)xu1 = −1.76 µm in Gl. (6.18)xu2 = 3.43 µm in Gl. (6.18)xu3 = −5.62 µm in Gl. (6.22)xu4 = 5.58 µm in Gl. (6.22)

αDBP ·ABP = 2.59 · 10−7 m2 in Gl. (6.18)αDBP ·ABP = 2.62 · 10−7 m2 in Gl. (6.22)

6.4.2 nichtlinearer, reduzierter Druckaufbau

Die Modellgleichung des nichtlinearen, reduzierten Druckaufbaus aus Gl. (4.27) mit dem Last-fluss (Volumenfluss) aus Gl. (4.28) lautet fur Nulluberdeckung xu = 0 und nur mit dem laminarenBypass- und Leckfluss aus Gl. (4.30) wie folgt:

pL = − Ak

CH· (xka − xG)︸︷︷︸

=xk

+1

CH· qL(pL, xV )− kLE

CH· pL und (6.26)

qL(pL, xV ) := 2·kL ·CH ·xV· √

|p0−pL| · sign(p0−pL) fur xV > 0√|p0+pL| · sign(p0+pL) fur xV ≤ 0

. (6.27)

Da sich beim Lastfluss aus Gl. (6.27) das Vorzeichen vor dem Lastdruck pL in entgegenge-setzten Sinn wie das Vorzeichen des Ventilwegs xV verhalt, ist folgende Schreibweise mit derVorzeichenfunktion sign(xV ) moglich:

qL(pL, xV ) := 2·kL ·CH ·xV ·√|p0− sign(xV ) ·pL| · sign(p0− sign(xV )·pL) , (6.28)

die dann in Gl. (6.26) eingesetzt wird und folgende Modellgleichung liefert:

pL = − Ak

CH·xk + 2·kL ·

√|p0 − sign(xV )·pL|·sign(p0 − sign(xV )·pL)·xV − kLE

CH·pL .

(6.29)

Diese Modellgleichung enthalt folgende Modellparameter und -variablen:

100 Kapitel 6. Experimentelle Identifikationx

v[m

]x

k[m

]p

I[b

ar]

pII

[bar

]p

S[b

ar]

pR

[bar

]

0.2

0.8

1.4

2.0

x10-6

-200

.0-1

00.0

-0.0

100.

020

0.0

0.2

0.8

1.4

2.0

x10-3

-10.

0-5

.00.0

5.0

10.0

0.2

0.8

1.4

2.0

25.0

35.0

45.0

0.2

0.8

1.4

2.0

20.0

30.0

40.0

0.2

0.8

1.4

2.0

45.0

55.0

65.0

75.0

0.2

0.8

1.4

2.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

Zei

t[s

]Zei

t[s

]Zei

t[s

]Zei

t[s

]Zei

t[s

]Zei

t[s

](a

)G

emes

sene

Sig

nale

B[

N m2]

αD

1α

D2

xu1

[µm

]x

u2

[µm

]

αD

BP·A

BP

[m2]

4.33·1

091.

231.

17−1

.76

3.43

2.59·1

0−7

(b)

Ges

chatz

teM

odel

lpara

met

erG

leic

hung

A(6

.18)

xk

[m/s

]ˆ x k

[m/s

]x

k−

ˆ x k[m

/s]

0.2

0.8

1.4

2.0

x10-3

-200

.0-1

00.00.0

100.

020

0.0

0.2

0.8

1.4

2.0

x10-3

-200

.0-1

00.00.0

100.

020

0.0

0.2

0.8

1.4

2.0

x10-3

-30.

0

-10.

0

10.0

Zei

t[s

]Zei

t[s

]Zei

t[s

](c

)G

leic

hung

A:A

usg

angss

ignal

y=

xk,Sim

ula

tion

ys

=ˆ x

kund

Sim

ula

tions-

fehle

rε s

=x

k−

ˆ xk

(10

fach

ver

gro

ßer

tdarg

este

llt)

B[

N m2]

αD

3α

D4

xu3

[µm

]x

u4

[µm

]

αD

BP·A

BP

[m2]

4.38·1

091.

101.

18−5

.62

5.58

2.62·1

0−7

(d)

Ges

chatz

teM

odel

lpara

met

erG

leic

hung

B(6

.22)

xk

[m/s

]ˆ x k

[m/s

]x

k−

ˆ x k[m

/s]

0.2

0.8

1.4

2.0

x10-3

-200

.0-1

00.00.0

100.

020

0.0

0.2

0.8

1.4

2.0

x10-3

-200

.0-1

00.00.0

100.

020

0.0

0.2

0.8

1.4

2.0

x10-3

-30.

0

-10.

0

10.0

Zei

t[s

]Zei

t[s

]Zei

t[s

](e

)G

leic

hung

B:A

usg

angss

ignal

y=

xk,Sim

ula

tion

ys

=ˆ x

kund

Sim

ula

tions-

fehle

rε s

=x

k−

ˆ xk

(10

fach

ver

gro

ßer

tdarg

este

llt)

Bild

6.7:

Lab

orex

peri

men

t:Id

enti

fikat

ions

erge

bnis

sede

snic

htl

inea

ren,nic

htr

eduzi

erte

nD

ruck

aufb

aus

(6.1

5)er

ziel

tm

itSi

nuss

wee

pA

mpl

itud

e1c

mun

dFr

eque

nz1H

zbi

s5H

zal

sFuh

rung

ssig

nalun

dei

nem

P-R

egle

run

dLea

stSq

uare

s–

Ver

fahr

enzu

rId

enti

fi-ka

tion



CH [m5/N] : hydraulische Kapazitat,kL [

√N/m2s] : Ventilkoeffizient kL = αD·π·d

2·CH ·√ρ undkLE [m5/Ns] : Leckflusskoeffizient,


Ak [m2] : Zylinderkolbenflache, siehe Gl. (4.15a) undp0 [N/m2] : effektiver Versorgungsdruck ( p0 := pS − pR )

gemessene Modellvariablen:

xV [m] : Ventilweg,xk [m/s] : Zylinderkolbengeschwindigkeit relativ zum Fundament undpL [N/m2] : Lastdruck,

zu approximierende Modellvariablen:

pL [N/m2s] : Ableitung des Lastdrucks.

Durch Wahl des Ausgangs y

y := pL (6.30)

und der beiden formalen Eingange u1 und u2

u1 := xk , (6.31)

u2 := 2·√|p0 − sign(xV )·pL|·sign(p0 − sign(xV ))·pL)·xV (6.32)

entsteht folgende Schreibweise der Differentialgleichung (6.29):

y +kLE

CH· y = − Ak

CH· u1 + kL · u2 . (6.33)

Die Darstellung der obigen Differentialgleichung im Laplace-Bereich lautet:

Y (s) = −AkCH

s + kLECH

· U1(s) +kL

s + kLECH

· U2(s) (6.34)

mit Y (s), U1(s) und U2(s) als die Laplace-Transformierten der Signale y(t), u1(t) und u2(t).In Kapitel C.2.1 wird gezeigt, dass sich eine lineare, zeitkontinuierliche Ubertragungsfunktion1. Ordnung:

G(s) =A

s− sP(6.35)

naherungsweise in die folgende lineare, zeitdiskrete Ubertragungsfunktion 1. Ordnung:

G(z) =A ·∆t · z−1

1 + (−sP ·∆t− 1) · z−1(6.36)


transformiert, wenn die Abtastzeit ∆t ausreichend hoch ist.Mit sP = −kLE

CHergibt sich aus Gl. (6.34) naherungsweise die folgende zeitdiskrete Ubertra-

gungsfunktion:

Y (z) = −AkCH

·∆t · z−1

1 +(

kLECH

·∆t− 1)· z−1

· U1(z) +kL ·∆t · z−1

1 +(

kLECH

·∆t− 1)· z−1

· U2(z)

und hieraus folgt die Differenzengleichung:

y(t) +(

kLE

CH·∆t− 1

)· y(t−∆t) = − Ak

CH·∆t · u1(t−∆t) + kL ·∆t · u2(t−∆t) . (6.37)

Die Annahme eines konstanten Eingangssignals zwischen den Abtastpunkten ist nicht erfullt,weil u1(t) und u2(t) aus gemessenen und nicht aus mit einem Digital-Analog-Wandler vorgege-benen Signalen berechnet werden.So wird bei der folgenden Identifikationsgleichung auf eine Verzogerung der Eingange u1(t) undu2(t) um einen Zeitschritt verzichtet.Die Identifikationsgleichung fur die Pradiktionsfehlermethode lautet:

y(t) =b10 · u1(t) + b20 · u2(t)

1 + a1 · q−1(6.38a)

mit q−1 als Zeitverschiebeoperator um die Verzogerung eines Zeitschritts und den Parametern:

a1 =kLE

CH·∆t− 1 , (6.38b)

b10 = − Ak

CH·∆t und (6.38c)

b20 = kL ·∆t . (6.38d)

Die Beziehungen zwischen den formalen Parametern b10 , b20 , a1 und den physikalischen Para-metern kLE , CH , kL lauten:

kLE = −Ak

b10· (1 + a1) bzw.

kLE

CH=

1∆t

· (1 + a1) , (6.38e)

CH = −Ak

b10·∆t und (6.38f)

kL =b20

∆t(6.38g)

mit ∆t als der Abtastzeit.





: Sinussweep (E.2) mitAmplitude A = 2 mm ,Startfrequenz fStart = 0 Hz ,Stopfrequenz fStop = 90 Hz ,Sweepdauer tDauer = 20 s ,


– Gemessene Signale : xV , xk und pL

– Abtastrate : 1 kHz

– Meßdauer : 20.0 s


: CH [m5

N ], kL [√

Nm2·s ] und kLE

CH[1s ]

– Identifikationsverfahren : Pradiktionsfehlermethode (PEM) mit folgendenAnsatzen (siehe Bild 6.8):Output Error (OE),Box–Jenkins (BJ),AutoRegressive Moving Average eXogenious (ARMAX) undAutoRegressive eXogenious (ARX)


:

Ansatz Fit % CH [m5

N ] kL [√

Nm2·s ] kLE

CH[1s ]

OE 91.4 5.97 · 10−14 8.45 · 109 97.86BJ, nc =nd =1 90.5 6.00 · 10−14 8.07 · 109 83.26ARMAX, nc =1 90.2 6.09 · 10−14 8.23 · 109 91.91ARX 90.2 6.09 · 10−14 8.23 · 109 92.04

Der Fit ist in Gl. (6.1) definiert worden.

In Bild 6.8 sind die Ergebnisse der experimentellen Identifikation unter Verwendung der Fehler-modellansatze Output Error (OE), Box–Jenkins (BJ), AutoRegressive Moving Average eXoge-nious (ARMAX) und AutoRegressive eXogenious (ARX) dargestellt.

Wahrend der Aufnahme der Sensorsignale wurde der Antrieb mit einem P-Regler geregelt. AlsFuhrungssignal wurde ein Sinussweep von 0 bis 90 Hz bei einer Amplitude von 2 mm bei einerVersuchsdauer von 20 s verwendet.

Die mit dem Output Error (OE) Ansatz identifizierten Parameter werden fur den Reglerentwurfverwendet.

6.4.3 linearer, reduzierter Druckaufbau

Die Modellgleichung des linearen, reduzierten Druckaufbaus (4.41) lautet:

pL = − Ak

CH· xk +

QP

CH· pL +

QX

CH· xV (6.39)

Die Modellgleichung enthalt folgende Modellparameter und -variablen:


0.0

8.0

16.0

-100

.0-6

0.0

-20.

020

.060

.010

0.0

0.0

8.0

16.0

-0.2

-0.10.0

0.1

0.2

xV

[µm

]x

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t[s

]Zei

t[s

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kL

[√ Nm

2·s

]k

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CH

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0−14

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MA

X,n

c=

190

.26.

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0−14

8.23·1

0991

.91

AR

X90

.26.

09·1

0−14

8.23·1

0992

.04

(b)

Ges

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Fit

ssi

ehe

Gl.

(6.1

)

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150.

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15.0

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AR

MA

X

AR

X

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p L[b

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ar]

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10

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–P

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und

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Sim

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=y−

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Bild

6.8:

Lab

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–Reg

ler



CH [m5/N] : hydraulische Kapazitat,QX [m2/s] : Linearisierungskoeffizienten bezuglich Ventilweg undQP [m5/Ns] : Linearisierungskoeffizienten bezuglich Lastdruck,


Ak [m2] : Zylinderkolbenflache, siehe Gl. (4.15a)

gemessene Modellvariablen:

xV [m] : Ventilwegxk [m/s] : Geschwindigkeit des ZylinderkolbenspL [N/m2] : Lastdruck

zu approximierende Modellvariablen

pL [N/m2s] : Ableitung des Lastdrucks

Die Identifikationsgleichung fur die lineare Regression lautet:

y = k1 · ϕ1 + k2 · ϕ2 + k3 · ϕ3 (6.40)

mit dem formalen Ausgang y

y := pL (6.41)

und den formalen Eingangen ϕ1 bis ϕ3:

ϕ1 := pL , (6.42a)ϕ2 := Ak · xk , (6.42b)ϕ3 := −xV (6.42c)

und den formalen Parametern k1 bis k3:

k1 :=CH

QP, (6.43a)

k2 :=1

QPund (6.43b)

k3 :=QX

QP. (6.43c)

Die Beziehungen zwischen den formalen Parametern k1 bis k3 und den physikalischen ParameternCH , QX und QP lauten:

CH :=k1

k2, (6.44a)

QP :=1k2

und (6.44b)


QX :=k3

k2. (6.44c)

Das Signal pL(t) wird durch numerische Differentation aus pL(t) approximiert.





: Sinus (E.1) mitAmplitude A = 5 mm undFrequenz f = 10 Hz

– Gemessene Signale : xV , xk und pL

– Abtastrate : 1 kHz

– Meßdauer : 0.05 bis 0.3 s


: QP , QX und CH

– Identifikationsverfahren : Lineare Regression mit Least-Squares-Algorithmus


: QP [m5

N·s ] QX [m2

s ] CH [m5

N ]−2.65 · 10−11 2.19 7.51 · 10−14

6.4.4 linearer, reduzierter Druckaufbau und Lastmechanik

6.4.4.1 ohne Fundament (starre Lagerung)

Der Druckaufbau zusammen mit der Lastmechanik ergibt ein schwingungsfahiges System, dasim folgenden unter der Annahme eines linearen, reduzierten Modells fur den Druckaufbau iden-tifiziert wird.Ohne Berucksichtigung eines mitschwingenden Fundaments wird die Ubertragungsfunktion zwi-schen dem Ventilweg xV und der Zylinderkolbengeschwindigkeit xk durch Gl. (A.35) aus KapitelA.5.1 beschrieben:

GoFxk, xV

(s) := kH · ω2H

s2 + 2 · ζH · ωH · s + ω2H

mit dem Verstarkungsfaktor kH , der Resonanzfrequenz fH = ωH2·π und der Dampfung ζH aus Gl.

(A.33):

kH :=Ak ·QX

A2k − dk ·QP

≈ QX

Ak, (6.45a)

ωH :=

√A2

k − dk ·QP

mk · CH≈

√A2

k

mk · CHund (6.45b)

ζH :=dkmk

− QPCH

2 ·√

A2k−dk· QP

mk· CH

≈−QP

CH

2 ·√

A2k

mk· CH

. (6.45c)

Die getroffenen Naherungen sind bei Ak ≈ 1 · 10−3m2, mk ≈ 200..400kg, dk ≈ 500N·sm , QP ≈

−1 · 10−11 m5

N·s und CH ≈ 5 · 10−14 m5

N wie folgt gerechtfertigt:


• A2k À −dk ·QP

Der Ausdruck A2k ≈ 1 · 10−6m4 ist gegenuber dem Ausdruck −dk ·QP ≈ 5 · 10−8m4 um den

Faktor 20 großer.• −QP

CHÀ dk

mk

Der Ausdruck −QPCH

≈ 200 1/s ist gegenuber dem Ausdruck dkmk

≈ 1.25 .. 2.5 um mindestensden Faktor 80 großer.

Durch die Naherungen lassen sich QX , QP , CH aus den geschatzten Werten kH , ωH , ζH beibekannter Lastmasse mk bestimmen:

QX ≈ kH ·Ak (6.46)

CH ≈ A2k

mk · ω2H

und (6.47)

QP

CH≈ −2 · ζH · ωH . (6.48)

Die Ubertragungsfunktion GoFxk, xV

(s) Gl. (A.35) vom Ventilweg xV zur Zylinderkolbengeschwin-digkeit xk wurde gewahlt, weil die Ubertragungsfunktion GoF

xk, xV(s) (A.34) zur Zylinderkolben-

auslenkung xk zusatzlich einen Integrator und die Ubertragungsfunktion GoFxk, xV

(s) (A.36) zurZylinderkolbenbeschleunigung xk zusatzlich einen Differenzierer in ihrer Ubertragungsfunktionbesitzt.

6.4.4.2 mit Fundament (nachgiebige Lagerung)

Die Berucksichtigung eines mitschwingenden Fundaments im Modell, vgl. Kapitel A.5.2, ergibt

• fur die relative Geschwindigkeit xk bezogen auf das Fundament die UbertragungsfunktionGl. (A.62):

GmFxk, xV

(s) := kH · a0

ω2G2

· s2 + 2 · ζG2 · ωG2 · s + ω2G2

s4 + a3 · s3 + a2 · s2 + a1 · s + a0(6.49)

• und fur die Geschwindigkeit xka bezogen auf das Inertialsystem (Hallenboden) die Uber-tragungsfunktion (A.59):

GmFxka, xV

(s) := kH · a0

ω2G1

· s2 + 2 · ζG1 · ωG1 · s + ω2G1

s4 + a3 · s3 + a2 · s2 + a1 · s + a0,

mit ωG1 und ζG1 aus Gl. (A.54), mit ωG2 und ζG2 aus Gl. (A.55) und a0 bis a3 aus Gl. (A.56).

Fur die Identifikationsexperimente ergeben sich die folgenden Variationen:

• Durch Variation der Lastmasse mk im Laborexperiment (200kg und 400kg) wird die zuschatzenden Resonanzfrequenz fH verandert.

• Es bieten sich folgende Signale als Ausgang fur die Identifikation an:

• relative Geschwindigkeit xk bezogen auf das Fundament und• Geschwindigkeit xka bezogen auf das Inertialsystem (Hallenboden).

Der Einfluss des Fundaments auf die beiden Ubertragungsfunktionen (A.59) und (A.62) istunterschiedlich stark, weil Pol- und Nullstellen unterschiedlich dicht zueinander liegen.


• Folgende Modellhypothesen sind fur die Identifikation denkbar:

• lineares Modell 2. Ordnung ohne Berucksichtigung eines mitschwingenden Fundamentes• lineares Modell 4. Ordnung unter Berucksichtigung eines mitschwingenden Fundamentes.

Dies macht insgesamt 2 · 2 · 2 = 8 Untersuchungen.Die Daten des Identifikationsexperiments lauten:



: Rechtecksignal (vgl. Kapitel E.1.2):

Datensatz fur Identifikation ValidierungLastmasse mk [kg] 200 400 200 400Amplitude A [mm] 2.8 1.4 2.52 1.26Periodendauer T [s] 0.25Anstiegszeit tan [s] 0.01

Der Identifikations- und der Validierungsdatensatz sindLaborexperimente mit gleicher Form der Ansteuerung;die Amplitude fur die Validierung ist um 10 % geringer.



– mechanische Last : mk = 200 kg und 400 kg


– Gemessene Signale : xV , xk, xG und xG

– Identifikationsgleichungen : lineare, zeitdiskrete Ubertragungsfunktionen aus

a) Gl. (A.35) mit 2 Polstellen:

G(q) =b1 ·q−1

1 + a1 ·q−1 + a2 ·q−2(6.50)

(nb = 1; na bzw. nf = 2; nk = 1) undb) Gln. (A.59) und (A.62) mit 4 Pol- und 2 Nullstellen:

G(q) =b1 ·q−1 + b2 ·q−2 + b3 ·q−3

1 + a1 ·q−1 + · · ·+ a4 ·q−4(6.51)

(nb = 3; na bzw. nf = 4; nk = 1)


: fH , ζH und kH


– Signalvorverarbeitung : Das Signal xka wird mit xka = xk + xG rekonstruiert,wobei xG mit einem Velocity Computer [3, 55] aus xG

und xG berechnet wird.

Bei den gemessenen Signalen xV , xk und xka werdenjeweils ihre Mittelwerte abgezogen.

Die Abtastrate wird von 2 kHz auf 1 kHz reduziert(Downsampling).

– Identifikationsverfahren : Pradiktionsfehlermethode mit folgenden Modellansatzen:

– ARX

– ARMAX mit nc von 1 bis 4

– OE

– BJ mit nc = nd von 1 bis 4


:a) Modellhypothese Gl. (A.35) (2 Polstellen)

Lastmasse Ausgang xk Ausgang xka

Fall 1: Fall 2:mk = 200kg Tabelle 6.1(a) Tabelle 6.1(b)

Bild 6.9Fall 3: Fall 4:

mk = 400kg Tabelle 6.1(c) Tabelle 6.1(d)Bild 6.10

b) Gln. (A.59) und (A.62) (4 Pol- und 2 Nullstellen)Bei den Schatzungen kommen keine sinnvollenPol/Nullstellen heraus. Die simultane Einbeziehungdes Fundaments in die Identifikation der Parameter furdie Bewegungsgleichung der Last scheint nicht sinn-voll.

Zur Beurteilung der Schatzung sind in den folgenden Tabellen die erzielten Fits in Simulation undPradiktion fur den Validierungs- und fur den Identifikationsdatensatz angegeben. Der Fit fur denIdentifikationsdatensatz steht jeweils in Klammern. Die Definition des Fits erfolgt in Gl. (6.1).Der Fit in der Simulation mit dem Validierungsdatensatz gibt die Qualitat des identifiziertenModells wieder.

Bemerkung 6.3 (Identifikationsergebnisse Fall 1):Die Identifikationsergebnisse von Fall 1 mit Ausgang xk, Masse mk = 200 kg und einem linearenModell 2. Ordnung als Modellhypothese sind in Tabelle 6.1(a) und in Bild 6.9 dargestellt.Die Unterschiede zwischen den einzelnen Ansatzen der Prediktionsfehlermethode sind nicht groß,da alle erzielten Fits der Simulationen nahe zusammen im Bereich von > 85 % und < 90 % liegen.Den besten Fit in der Simulation besitzen die Ansatze OE und BJ (nc = nd = 1) mit 89.2 %.Der Fit der Pradiktion liegt ca. 10 % Punkte besser als der Fit der Simulation mit Ausnahmedes OE-Ansatzes. Dieses wird durch das Fehlermodell hervorgerufen, welches einen Tiefpass-Charakter besitzt.


Identi

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BJ

nc=

nd

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4208

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nc=

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=3

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0.67

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ula

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2%

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8%

)A

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233

.90.

4739

47.2

479

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(98.

8%

)A

RM

AX

nc=

334

.50.

4839

61.6

480

.4%

(80.

2%

)98

.8%

(98.

8%

)A

RM

AX

nc=

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.50.

4839

65.5

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.5%

(80.

2%

)98

.8%

(98.

8%

)O

E47

.60.

6941

71.5

583

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(83.

4%

)83

.8%

(83.

4%

)B

Jn

c=

nd

=1

46.6

0.66

4167

.97

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%(8

3.4

%)

98.3

%(9

8.3

%)

BJ

nc=

nd

=2

42.7

0.60

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.53

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%(8

3.2

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98.9

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9.0

%)

BJ

nc=

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=3

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0.76

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99.0

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9.0

%)

BJ

nc=

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=4

42.7

0.64

4081

.16

83.5

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3.2

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99.0

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9.0

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(c)

Iden

tifika

tionse

rgeb

nis

sevon

Fall

3:A

usg

ang

xk

bei

Mass

em

k=

400kg;zu

rD

iskuss

ion

der

Erg

ebnis

sesi

ehe

Bem

erkung

6.5

Fall

4:A

usg

ang

xka,Last

mass

em

k=

400kg

Iden

tifika

tion

s-f H

ζ Hk

HFit

inder

verf

ahre

n[H

z][1 s

]Sim

ula

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Pra

dik

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AR

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(98.

4%

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4%

)A

RM

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nc=

229

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4739

53.2

679

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(78.

8%

)98

.5%

(98.

5%

)A

RM

AX

nc=

329

.60.

4939

90.3

279

.4%

(79.

2%

)98

.5%

(98.

5%

)A

RM

AX

nc=

429

.10.

4739

39.4

278

.9%

(78.

7%

)98

.5%

(98.

5%

)O

E38

.90.

6543

47.7

981

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(81.

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)81

.8%

(81.

4%

)B

Jn

c=

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=1

49.0

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4782

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8.5

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98.1

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8.0

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nc=

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=2

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0.80

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%(9

8.7

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=3

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0.94

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%(7

9.7

%)

98.7

%(9

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nc=

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=4

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4168

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(d)

Iden

tifika

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Fall

4:

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6.1:

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Mod

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2.O

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darg

este

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und

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und

fur

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tifik

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Fit

fur

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atio

nsda

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jew

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mer

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gege

ben,

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niti

onde

sFit

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Gl.

( 6.1

)


0.0

0.2

0.3

0.4

-100

.0

-60.

0

-20.

0

20.0

60.0

100.

0x

V(t

)−

xV

Zei

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[s]

Eingang

[µm

]

(a)

Ein

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dik

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(86.

1%

)98

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9%

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RM

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1%

)98

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(98.

9%

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6%

)89

.2%

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)B

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c=

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=1

57.4

0.51

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%(8

9.2

%)

98.5

%(9

8.6

%)

(b)

ges

chatz

tePara

met

erf H

,ζ H

und

kH

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erzi

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Fit

sin

der

Sim

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und

inder

Pra

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fur

den

Validie

rungs-

und

fur

den

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tifika

tionsd

ate

nsa

tz,Fit

fur

den

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tifika

tionsd

ate

nsa

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Kla

mm

ern

angeg

eben

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Gl.

(6.1

)

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0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

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-0.0

2

0.00

0.02

0.04

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

-1.0

0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

-1.0

0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

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0

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2

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0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

-1.0

0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

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-1.0

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0

0.00

0.50

1.00

-1.0

0

-0.5

0

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0.50

1.00

0.0

0.2

0.3

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0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

0.0

0.2

0.3

0.4

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0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

0.0

0.2

0.3

0.4

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4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

0.0

0.2

0.3

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0

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0.10

0.20

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0.2

0.3

0.4

-0.0

4

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0.00

0.02

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6.0

12.0

18.0

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0

0.00

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1.00

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0-1

0.0

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20.0

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0.00

0.50

1.00

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)

ARX

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y s(t

)[m

/s]

y(t

)−

y s(t

)[m

/s]

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)[m

/s]

y(t

)−

y p(t

)[m

/s]

Ree

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Zei

tt

[s]

BJ

Zei

tt

[s]

Zei

tt

[s]

Zei

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[s]

Zei

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lags

lags

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Sim

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-fach

ver

gro

ßer

tdarg

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),des

Ausg

angss

ignals

des

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dik

tors

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)und

des

Pra

dik

tionsf

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)−

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)(5

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gro

ßer

tdarg

este

llt)

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Pra

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ehle

rsε p

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mit

den

Ein

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xV

Bild

6.9:

Lab

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peri

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enti

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k=

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Bem

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mpl

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52m

m,Per

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25s

und

Ans

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szei

t0.

01s

als

Fuh

rung

ssig

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0.0

0.2

0.3

0.4

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.0

-60.

0

-20.

0

20.0

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)−

xV

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[s]

Eingang

[µm

]

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Ein

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(83.

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Jn

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46.6

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4167

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3.4

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98.3

%(9

8.3

%)

(b)

ges

chatz

tePara

met

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sin

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den

Validie

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und

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tifika

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nsa

tzje

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Kla

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(6.1

)

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Bild

6.10

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3:A

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25s

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t0.

01s

als

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rung

ssig

nal


Die Residuen, beurteilt durch den Verlauf Autokovarianzfunktion Ree und Kreuzkovarianzfunk-tionen Reu in Bild 6.10(c) zeigen ein zufriedenstellendes Verhalten. Die Funktionen liegen fastinnerhalb der gestrichelt eingezeichneten Bander.Beim OE-Ansatz, das kein Fehlermodell besitzt, zeigt die Autokovarianzfunktion Ree eine starkeKorreliertkeit.Im Zeitverlauf des Simulationsfehlers εs(t) ist eine Abhangigkeit von der Anregung erkennbar.Aufgrund der kleinen Werte der Kreuzkovarianzfunktionen Reu kann sie aber nicht uber einelineare Beziehung vom Eingang u her stammen. Dies deutet auf ein nichtlineares Verhalten hin.Ein hoheres Fehlermodell beim BJ-Ansatz bringt keine Verbesserung. Beim OE-Ansatz ist derWert des Fits fur den Validierungsdatensatz großer als jener fur den Identifikationsdatensatz.Dieser Fall 1 liefert im Vergleich zu den anderen folgenden Fallen die besten Identifikationser-gebnisse.

Bemerkung 6.4 (Identifikationsergebnisse Fall 2):Die Identifikationsergebnisse von Fall 2 mit Ausgang xka, Masse mk = 200 kg und einem linearenModell 2. Ordnung als Modellhypothese sind in Tabelle 6.1(b) dargestellt.Der OE-Ansatz ist mit 86.8 % der beste Fit in der Simulation. Der Fit in der Simulation istgenerell nur um wenige Prozentpunkte kleiner als bei Fall 1 mit Ausgang xk.

Bemerkung 6.5 (Identifikationsergebnisse Fall 3):Die Identifikationsergebnisse von Fall 3 mit Ausgang xk, Masse mk = 400 kg und einem linearenModell 2. Ordnung als Modellhypothese sind in Tabelle 6.1(c) und in Bild 6.10 dargestellt.Die besten Fits in der Simulation besitzen die Ansatze OE- und BJ nc = nd = 1 mit 83.8 % undsind damit schlechter als bei Fall 1 mit 200kg. Der Fit der Pradiktion ist vergleichbar mit demvon Fall 1.

Bemerkung 6.6 (Identifikationsergebnisse Fall 4):Die Identifikationsergebnisse von Fall 4 mit Ausgang xka, Masse mk = 400 kg und einem linearenModell 2. Ordnung als Modellhypothese sind in Tabelle 6.1(d) dargestellt.Der OE-Ansatz ist mit 81.8 % der beste Fit in der Simulation. Der Fit in der Simulation istgenerell nur um wenige Prozentpunkte kleiner als bei Fall 3 mit Ausgang xk.

Die Ergebnisse werden wie folgt zusammengefasst:

• Der Ausgang xk liefert geringfugig bessere Ergebnisse als der Ausgang xka.

• Es ist besser, die Parameter fur ein einfacheres Modell als diejenigen fur ein komplexereszu schatzen.

• Der OE-Ansatz liefert den besten Fit in der Simulation. Das Fehlermodell beim BJ liefertkeine Verbesserung. ARX und ARMAX liefern etwas schlechtere Fits in der Simulation.Die Werte der Fits der Simulation liegen relativ dicht beieinander.

• Die geschatzten Parameter fH , ζH und kH des OE-Ansatz bei Ausgang xk von Fall 1und Fall 3 werden mit Gln. (6.46), (6.47) und (6.48) in die Parameter QP , QX und CH

umgerechnet mit Ak = 0.9259 · 10−3m2:

mk [kg] fH [Hz] ζH kH [1s ] QP [m5

N·s ] QX [m2

s ] CH [m5

N ]Fall 1 200 55.2 0.43 4348.99 −1.06 · 10−11 4.03 3.56 · 10−14

Fall 3 400 47.6 0.69 4171.55 −0.99 · 10−11 3.86 2.40 · 10−14


Das Verhaltnis der Massen mk, 2 = 400 kg und mk, 1 = 200 kg ist 2. Fur das Verhaltnisder Resonanzfrequenzen fH, 1 zu fH, 2 folgt nach Gl. (6.45b):

fH, 1

fH, 2≈

√mk, 2

mk, 1=√

2 ≈ 1.41, (6.52)

was aber nur annahernd erfullt wird durch die identifizierten Werte von:

fH, 1

fH, 2=

55.2Hz47.6Hz

= 1.1597 . (6.53)

6.4.5 Gegenuberstellung der geschatzten Parameter

Aus den Ergebnissen der Identifikation des nichtlinearen, nicht reduzierten Druckaufbaus ausKapitel 6.4.1 mit B ≈ 4.3 · 109 N

m2 und αD ≈ 1.1 berechnen sich die hydraulische Kapazitat CH :

CH :=Ak · L4 ·B = 3.55 · 10−14 m5

N(6.54)

und der Lastflußkoeffizient kL:

kL :=αD · π · d

2 · CH · √ρ= 1.33 · 1010

√N

m2 · s (6.55)

mit Ak = 9.43 cm2, L = 66 cm, d = 7.95 mm und ρ = 850 kgm3 .

Aus der gefundenen hydraulischen Kapazitat CH ergibt sich mit der Eigenkreisfrequenz

ωH = 2·π ·fH ≈√

A2k

mk · CH(6.56)

fur die Bewegung der Last eine Resonanzfrequenz von fH = 55.28 Hz fur eine Lastmasse vonmk = 200 kg, die gut mit der geschatzten Resonanzfrequenz aus der Identifikation des linearen,reduzierten Durckaufbaus zusammen mit der Lastmechanik in Kapitel 6.4.4 ubereinstimmt.

Fur den nichtlinearen, reduzierten Druckaufbau in Kapitel 6.4.2 wurde im Vergleich zum nicht-linearen, nicht reduzierten Druckaufbau eine knapp doppelt so große hydraulische Kapazitatvon CH = 6.0 · 10−14 m5

N und ein etwas kleinerer Lastflußkoeffizient von kL = 0.85 · 1010√

Nm2·s

geschatzt. Die Resonanzfrequenz fur eine Lastmasse von mk = 200 kg ist mit fH = 42.54 Hzentsprechend tiefer.

Die beim linearen, reduzierten Druckaufbau in Kapitel 6.4.3 geschatzte hydraulische Kapazitatist mit CH = 7.51 · 10−14 m5

N noch ein wenig hoher als die des nichtlinearen, reduzierten Druck-aufbaus.

6.5 Identifikation der Lastmechanik

Das mathematische Modell des Teilsystems Lastmechanik beschreibt das Verhalten zwischendem Lastdruck pL und der Bewegung der Zylinderkolbenstange xk, xk und xk sowie der Bewe-gung des Fundaments xG.Das Ziel der Identifikation ist die Bestimmung der physikalischen Modellparameter mk und dk

der Lastmechanik.

6.5 Identifikation der Lastmechanik 115

Ohne Berucksichtigung des mitschwingenden Fundamentes wird die Ubertragungsfunktion zwi-schen dem Lastdruck pL und der Zylinderkolbengeschwindigkeit xk durch Gl. (A.39) aus KapitelA.5.1 beschrieben:

GoFxk, pL

(s) :=Xk(s)PL(s)

= kLast · aLast

s + aLast=

Ak

dk·

dkmk

s + dkmk

mit kLast und aLast aus Gl. (A.33b). Die Ubertragungsfunktion GoFxk, pL

(s) Gl. (A.39) vom Last-druck pL zur Zylinderkolbengeschwindigkeit xk wurde gewahlt, weil die UbertragungsfunktionGoF

xk, pL(s) (A.38) zur Zylinderkolbenauslenkung xk zusatzlich einen Integrator und die Uber-

tragungsfunktion GoFxk, pL

(s) (A.40) zur Zylinderkolbenbeschleunigung xk zusatzlich einen Diffe-renzierer in ihrer Ubertragungsfunktion besitzt.Die Lastmechanik ist mit der Mechanik des Fundaments uber die Dampfungkonstante dk ver-koppelt. Im folgenden wird fur die Identifikation der Lastmechanik die Verkopplung mit der Me-chanik des Fundaments vernachlassigt, da die Dampfungskonstante dk ≈ 500 Ns/m sehr geringist und der Abstand zwischen der Knickfrequenz der Lastmechanik und der Resonanzfrequenzdes Fundaments mehr als 1 Dekade (ca. 0.4 Hz zu ca. 25 Hz) betragt.Mit der Annahme dG

mGÀ dk

mGfur den Koeffizienten b2 (A.57a) ergibt sich unter Berucksichtigung

eines mitschwingenden Fundaments im Modell, vgl. Kapitel A.5.2,

• fur die Geschwindigkeit xka, bezogen auf das Inertialsystem (Hallenboden) aus der Uber-tragungsfunktion (A.68), naherungsweise die Ubertragungsfunktion:

GmFxka, pL

(s) :=Xka(s)PL(s)

≈ kLast · aLast

s + aLastvgl. Gl (A.39) , (6.57)

• und fur die relative Geschwindigkeit xk, bezogen auf das Fundament aus der Ubertra-gungsfunktion Gl. (A.71), naherungsweise die Ubertragungsfunktion:

GmFxk, pL

(s) =Xk(s)PL(s)

≈ kLast · aLast

s + aLast· ω2

G1

ω2G2

· s2 + 2 · ζG2 · ωG2 · s + ω2G2

s2 + 2 · ζG1 · ωG1 · s + ω2G1

(6.58)

mit ωG1 und ζG1 aus Gl. (A.54), mit ωG2 und ζG2 aus Gl. (A.55). Beim Ausgang xk tritt dasFundament mehr in Erscheinung als beim Ausgang xka. Beim Ausgang xk kann ein Modell mitBerucksichtigung des Fundaments genommen werden.Die auf das Inertialsystem bezogene Geschwindigkeit xka berechnet sich aus der Summe der ge-messenen relativen Geschwindigkeit xk und der Geschwindigkeit des Fundaments xG, die mittelseines Velocity Computers aus der gemessenen Auslenkung xG und der gemessenen Beschleuni-gung xG des Fundaments berechnet wird.Vor der Identifikation ist es sinnvoll, die jeweiligen Mittelwerte von den gemessenen Signalenxka, xk und pL abzuziehen, da in der Modellhypothese kein stationarer Druck zum Halten derLastmasse vorgesehen ist.Die Lastmasse wird zusatzlich aus dem statischem Druck pL, stat = pL berechnet:

mk, stat =Ak · pL, stat

g. (6.59)

Die Daten des Identifikationsexperiments lauten:











– Gemessene Signale : pL, xk, xG und xG

– Identifikationsgleichungen : lineare, zeitdiskrete Ubertragungsfunktionen aus

a) Gl. (A.35) bzw. Gl. (6.57) mit 1 Polstelle:

G(q) =b0 + b1 ·q−1

1 + a1 ·q−1(6.60)

(nb = 2; na bzw. nf = 1; nk = 0) undb) Gl. (6.58) mit 3 Pol- und 2 Nullstellen:

G(q) =b1 ·q−1 + b2 ·q−2 + b3 ·q−3

1 + a1 ·q−1 + a2 ·q−2 + a3 ·q−3(6.61)

(nb = 3; na bzw. nf = 3; nk = 1)


: mk und dk

– Signalvorverarbeitung : Das Signal xka wird mit xka = xk + xG rekonstruiert,wobei xG mit einem Velocity Computer [3, 55] aus xG

und xG berechnet wird.

Bei den gemessenen Signalen pL, xk und xka werdenjeweils ihre Mittelwerte abgezogen.

Die Abtastrate wahrend der Messung von 2 kHz wird auf200 Hz bei der Modellhypothese ohne Fundament und auf500 Hz bei der Modellhypothese mit Fundament reduziert(Downsampling).



– ARX


– OE



:a) Modellhypothese (6.60) mit 1 Polstelle

Lastmasse Ausgang xk Ausgang xka




b) Modellhypothese (6.61) mit 3 Pol- und 2 NullstellenLastmasse Ausgang xk Ausgang xka




Die aus dem statischen Druck aus Gl. (6.59) berechnete Masse betragt mk,stat = 207.5 kg furdie Laborexperimente mit der Lastmasse mk = 200 kg und betragt mk,stat = 381.0 kg fur dieLaborexperimente mit der Lastmasse mk = 400 kg.

Bemerkung 6.7 (Identifikationsergebnisse Fall 1):Die Identifikationsergebnisse von Fall 1 mit Ausgang xk, Masse mk = 200 kg und einem linearenModell 1. Ordnung (6.60) als Modellhypothese sind in Tabelle 6.2(a) dargestellt.Die Ansatze ARX und OE besitzen mit 86.1 % den besten Fit in der Simulation. Der BJ-Ansatzmit nc = nd = 1 besitzt innerhalb der BJ-Ansatze mit 85.2 % den besten Simulations-Fit. DerARMAX-Ansatz mit nc = 4 liefert unter den verschiedenen ARMAX-Ansatzen mit 86.0 % dasbeste Ergebnis fur den Wert des Fits.Die geschatzten Massen mk stimmen gut mit der Masse aus dem statischen Druck mk,stat =207.5 kg uberein.

Bemerkung 6.8 (Identifikationsergebnisse Fall 2):Die Identifikationsergebnisse von Fall 2 mit Ausgang xka, Masse mk = 200 kg und einem linearenModell 1. Ordnung (6.60) als Modellhypothese sind in Tabelle 6.2(b) und in Bild 6.11 dargestellt.Der Fit in der Simulation ist um mehr als 4 Prozentpunkte besser bei Fall 1.Der BJ-Ansatz mit nc = nd = 1 besitzt mit 91.5 % den besten Fit in der Simulation. DieAnsatze OE, ARX und ARMAX sind um 1 bis 2 Prozentpunkte schlechter. Die Ordnung desFehlermodells beim ARMAX-Ansatz bringt keine merkliche Verbesserung. Der Unterschied dergeschatzten Parameter ist gering.


Identi

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(Modell

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c=

126

4.6

1374

.078

.9%

(80.

2%

)98

.0%

(98.

3%

)A

RM

AX

,n

c=

226

3.4

1399

.979

.2%

(80.

5%

)98

.0%

(98.

3%

)A

RM

AX

,n

c=

326

0.6

1493

.379

.8%

(81.

0%

)98

.1%

(98.

3%

)A

RM

AX

,n

c=

425

2.5

1781

.981

.4%

(82.

5%

)98

.4%

(98.

5%

)O

E19

9.9

2140

.389

.9%

(90.

5%

)89

.9%

(90.

5%

)B

J,n

c=

nd

=1

250.

114

49.5

83.0

%(8

4.0

%)

98.0

%(9

8.2

%)

BJ,

nc=

nd

=2

235.

821

18.5

84.0

%(8

4.5

%)

98.1

%(9

8.4

%)

BJ,

nc=

nd

=3

219.

521

21.9

85.1

%(8

5.5

%)

98.4

%(9

8.5

%)

BJ,

nc=

nd

=4

221.

422

05.2

84.8

%(8

5.2

%)

98.5

%(9

8.7

%)

(a)

Iden

tifika

tionse

rgeb

nis

sevon

Fall

5m

itA

usg

ang

xk

und

Mass

em

k=

200kg;

zur

Dis

kuss

ion

der

Erg

ebnis

sesi

ehe

Bem

erkung

6.1

1

Fall

6:A

usg

ang

xka,Last

mass

em

k=

200kg

Iden

tifika

tion

s-m

kd

kFit

inder

verf

ahre

n[k

g][N

s/m

]Sim

ula

tion

Pra

dik

tion

AR

X23

1.7

1590

.885

.8%

(87.

5%

)98

.2%

(98.

5%

)A

RM

AX

,n

c=

123

4.6

1566

.085

.2%

(86.

9%

)98

.3%

(98.

5%

)A

RM

AX

,n

c=

223

0.3

1597

.986

.1%

(87.

8%

)98

.5%

(98.

7%

)A

RM

AX

,n

c=

323

1.4

1596

.385

.9%

(87.

6%

)98

.5%

(98.

6%

)A

RM

AX

,n

c=

423

3.2

1603

.685

.6%

(87.

2%

)98

.6%

(98.

7%

)O

E60

1.4

1220

6.0

92.3

%(9

3.2

%)

92.3

%(9

3.2

%)

BJ,

nc=

nd

=1

231.

917

73.4

88.5

%(8

9.5

%)

98.3

%(9

8.6

%)

BJ,

nc=

nd

=2

233.

315

43.6

89.2

%(9

1.0

%)

98.3

%(9

8.6

%)

BJ,

nc=

nd

=3

231.

216

14.1

88.1

%(8

9.4

%)

98.6

%(9

8.7

%)

BJ,

nc=

nd

=4

229.

115

97.6

89.3

%(9

0.7

%)

98.8

%(9

8.9

%)

(b)

Iden

tifika

tionse

rgeb

nis

sevon

Fall

6:

Ausg

ang

xk

a,

Last

mass

em

k=

200kg;

zur

Dis

kuss

ion

der

Erg

ebnis

sesi

ehe

Bem

erkung

6.1

2

Fall

7:A

usg

ang

xk,Last

mass

em

k=

400kg

Iden

tifika

tion

s-m

kd

kFit

inder

verf

ahre

n[k

g][N

s/m

]Sim

ula

tion

Pra

dik

tion

AR

X57

1.9

-491

.7in

stab

ilA

RM

AX

,n

c=

154

0.9

-309

.0in

stab

ilA

RM

AX

,n

c=

239

7.6

1358

.292

.3%

(92.

6%

)97

.7%

(97.

9%

)A

RM

AX

,n

c=

352

0.1

2518

.974

.4%

(74.

4%

)98

.2%

(98.

2%

)A

RM

AX

,n

c=

453

8.9

2005

.873

.8%

(73.

8%

)98

.3%

(98.

3%

)O

E39

3.7

1301

.193

.0%

(93.

5%

)93

.0%

(93.

5%

)B

J,n

c=

nd

=1

482.

1-1

04.7

inst

abil

BJ,

nc=

nd

=2

408.

710

74.9

84.7

%(8

4.9

%)

98.2

%(9

8.3

%)

BJ,

nc=

nd

=3

415.

111

46.8

85.3

%(8

5.4

%)

98.5

%(9

8.5

%)

BJ,

nc=

nd

=4

449.

878

0.0

84.7

%(8

4.8

%)

98.4

%(9

8.4

%)

(c)

Iden

tifika

tionse

rgeb

nis

sevon

Fall

7:

Ausg

ang

xk,

Last

mass

em

k=

400kg;

zur

Dis

kuss

ion

der

Erg

ebnis

sesi

ehe

Bem

erkung

6.1

3

Fall

8:A

usg

ang

xka,Last

mass

em

k=

400kg

Iden

tifika

tion

s-m

kd

kFit

inder

verf

ahre

n[k

g][N

s/m

]Sim

ula

tion

Pra

dik

tion

AR

X41

9.4

751.

493

.0%

(93.

4%

)98

.4%

(98.

5%

)A

RM

AX

,n

c=

141

5.7

732.

093

.4%

(93.

9%

)98

.4%

(98.

4%

)A

RM

AX

,n

c=

241

3.1

738.

893

.7%

(94.

2%

)98

.5%

(98.

5%

)A

RM

AX

,n

c=

340

9.2

782.

794

.1%

(94.

6%

)98

.5%

(98.

6%

)A

RM

AX

,n

c=

440

7.6

848.

694

.2%

(94.

7%

)98

.6%

(98.

7%

)O

E24

6.6

3681

.295

.4%

(95.

6%

)95

.4%

(95.

6%

)B

J,n

c=

nd

=1

411.

489

4.8

94.0

%(9

4.4

%)

98.5

%(9

8.5

%)

BJ,

nc=

nd

=2

411.

410

41.8

93.7

%(9

4.1

%)

98.5

%(9

8.5

%)

BJ,

nc=

nd

=3

400.

979

4.4

inst

abil

BJ,

nc=

nd

=4

400.

179

6.3

inst

abil

(d)

Iden

tifika

tionse

rgeb

nis

sevon

Fall

8:

Ausg

ang

xk

a,

Last

mass

em

k=

400kg;

zur

Dis

kuss

ion

der

Erg

ebnis

sesi

ehe

Bem

erkung

6.1

4

Tab

elle

6.3:

Lab

orex

peri

men

t:Id

enti

fikat

ions

erge

bnis

sede

rLas

tmec

hani

km

itB

eruc

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htig

ung

des

Fund

amen

ts;M

odel

lhyp

othe

selin

ea-

res

Mod

ell3

.Ord

nung

(6.6

1);d

arge

stel

ltsi

nddi

ege

scha

tzte

nPar

amet

erm

kun

dd

kde

rge

wah

lten

Ans

atze

(AR

X,A

RM

AX

,O

E,

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mit

den

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elte

nFit

sin

der

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ulat

ion

und

inde

rP

radi

ktio

nfu

rde

nV

alid

ieru

ngs-

und

fur

den

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tifik

ati-

onsd

aten

satz

,Fit

fur

den

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atio

nsda

tens

atz

jew

eils

inK

lam

mer

nan

gege

ben,

zur

Defi

niti

onde

sFit

ssi

ehe

Gl.

( 6.1

)


0.0

0.2

0.3

0.4

-100

.0

-60.

0

-20.

0

20.0

60.0

100.

0p

L(t

)−

pL

Zei

tt

[s]

Eingang

[bar]

(a)

Ein

gangsi

gnalu(t

):=

pL(t

)−

pL

Iden

tifika

tion

s-m

kd

kk

last

ala

stFit

inder

ansa

tz[k

g][N

s/m

][m

3

N·s]

[1/s

]Sim

ula

tion

Pra

dik

tion

AR

X21

2.9

1527

.16.

06·1

0−7

7.17

89.1

%(9

0.5

%)

95.9

%(9

6.2

%)

AR

MA

X,n

c=

121

1.7

1711

.35.

41·1

0−7

8.08

89.8

%(9

0.8

%)

96.2

%(9

6.4

%)

OE

211.

117

13.1

5.40·1

0−7

8.11

89.8

%(9

0.8

%)

89.8

%(9

0.8

%)

BJ,

nc=

nd

=1

211.

417

37.7

5.33·1

0−7

8.22

91.5

%(9

2.4

%)

96.3

%(9

6.4

%)

(b)

ges

chatz

tePara

met

erm

k,d

k,k

last

und

ala

st

und

erzi

elte

Fit

sin

der

Sim

ula

tion

und

inder

Pra

dik

tion

fur

den

Validie

rungs-

und

fur

den

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tifika

tionsd

ate

nsa

tz,

Fit

fur

den

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tifika

tionsd

ate

nsa

tzje

wei

lsin

Kla

mm

ern

angeg

eben

,zu

rD

efinit

ion

des

Fit

ssi

ehe

Gl.

(6.1

)

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

-1.0

0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

-1.0

0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

-1.0

0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

-1.0

0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

-1.0

0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

-1.0

0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

0.0

0.2

0.3

0.4

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

0.0

0.2

0.3

0.4

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

0.0

0.2

0.3

0.4

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

0.0

0.2

0.3

0.4

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

0.0

0.2

0.3

0.4

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

0.0

6.0

12.0

18.0

-1.0

0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

-20.

0-1

0.0

0.0

10.0

20.0

-1.0

0

-0.5

0

0.00

0.50

1.00

y(t

)

ARX

[m/s]

y s(t

)[m

/s]

y(t

)−

y s(t

)[m

/s]

y p(t

)[m

/s]

y(t

)−

y p(t

)[m

/s]

Ree

Reu

ARMAX OE

Zei

tt

[s]

BJ

Zei

tt

[s]

Zei

tt

[s]

Zei

tt

[s]

Zei

tt

[s]

lags

lags

(c)

Zei

tver

laufe

des

Ausg

angss

ignals

y(t

)=

xk

a(t

)−

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sim

ulier

ten

Ausg

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ys(t

),des

Sim

ula

tionsf

ehle

rsε s

(t)

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)−

ys(t

)(5

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ver

gro

ßer

tdarg

e-st

ellt

),des

Ausg

angss

ignals

des

Pra

dik

tors

yp(t

)und

des

Pra

dik

tionsf

ehle

rsε p

(t)

=y(t

)−

yp(t

)(5

-fach

ver

gro

ßer

tdarg

este

llt)

;A

uto

kov

ari

anzf

unkti

on

Ree

des

Pra

dik

tionsf

ehle

rsε p

(t)

und

Kre

uzk

ovari

anzf

unkti

onen

Reu

des

Pra

dik

tionsf

ehle

rsε p

(t)

mit

den

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)−

pL

Bild

6.11

:Lab

orex

peri

men

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ll2;

Iden

tifik

atio

nser

gebn

isse

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tmec

han

ikoh

neB

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ksic

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amen

ts,l

inea

res

Mod

ell

1.O

rdnu

ng(6

.60)

erzi

eltm

itFuh

rung

ssig

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echt

eck

Am

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2.52

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25s

und

Ans

tieg

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mP

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der

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mit

den

Ans

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RX

,A

RM

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dB

J


0.0

0.2

0.3

0.4

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.0

-60.

0

-20.

0

20.0

60.0

100.

0p

L(t

)−

pL

Zei

tt

[s]

Eingang

[bar]

(a)

Ein

gangsi

gnalu(t

):=

pL(t

)−

pL

Iden

tifika

tion

s-m

kd

kk

last

ala

stFit

inder

ansa

tz[k

g][N

s/m

][m

3

N·s]

[1/s

]Sim

ula

tion

Pra

dik

tion

AR

X38

5.8

344.

62.

69·1

0−6

0.89

84.9

%(8

6.6

%)

96.2

%(9

6.3

%)

AR

MA

Xn

c=

438

4.6

901.

91.

03·1

0−6

2.34

86.0

%(8

7.6

%)

97.7

%(9

8.0

%)

OE

398.

510

22.7

9.05·1

0−7

2.57

86.3

%(8

7.8

%)

86.3

%(8

7.8

%)

BJ

nc=

nd

=3

389.

577

7.8

1.19·1

0−6

2.00

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%(9

6.2

%)

97.9

%(9

8.1

%)

(b)

ges

chatz

tePara

met

erm

k,d

k,k

last

und

ala

st

und

erzi

elte

Fit

sin

der

Sim

ula

tion

und

inder

Pra

dik

tion

fur

den

Validie

rungs-

und

fur

den

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tifika

tionsd

ate

nsa

tz,

Fit

fur

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ate

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tzje

wei

lsin

Kla

mm

ern

angeg

eben

,zu

rD

efinit

ion

des

Fit

ssi

ehe

Gl.

(6.1

)

-0.2

0

-0.1

0

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0.10

0.20

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

-0.2

0

-0.1

0

0.00

0.10

0.20

-0.0

4

-0.0

2

0.00

0.02

0.04

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Bemerkung 6.9 (Identifikationsergebnisse Fall 3):Die Identifikationsergebnisse von Fall 3 mit Ausgang xk, Masse mk = 400 kg und einem linearenModell 1. Ordnung (6.60) als Modellhypothese sind in Tabelle 6.2(c) dargestellt.Der BJ-Ansatz mit nc = nd = 3 besitzt mit 86.3 % den besten Fit in der Simulation und bringthiermit eine deutliche Verbesserung gegenuber dem OE Ansatz mit einem Simulations-Fit von81.2 %.Das inverse Fehlermodell des BJ-Modells unterdruckt den storenden Einfluß der Resonanz desFundaments. Ein Filter, welches ein bestimmtes Frequenzband unterdruckt, wird in der Nach-richtentechnik als Sperrfilter bezeichnet.Diese Ausgestaltung des Fehlermodells als ein Sperrfilter ist ein Beispiel fur den Einsatz einesFehlermodells zur Abschwachung des Einflusses einer nicht modellierten Dynamik.

Bemerkung 6.10 (Identifikationsergebnisse Fall 4):Die Identifikationsergebnisse von Fall 4 mit Ausgang xka, Masse mk = 400 kg und einem linearenModell 1. Ordnung (6.60) als Modellhypothese sind in Tabelle 6.2(d) und in Bild 6.12 dargestellt.Der BJ-Ansatz mit nc = nd = 3 besitzt mit 96.3 % den besten Fit in der Simulation mit derkleinsten Ordnung des Fehlermodells innerhalb der BJ-Ansatze. Das inverse Fehlermodell bildeteinen Hochpass.Der OE-Ansatz liefert einen 10 Prozentpunkte schlechteren Simulations-Fit.Die Ansatze ARX und ARMAX sind nur wenig schlechter als der OE-Ansatz.Der ARMAX-Ansatz mit nc = 4 liefert den besten Simulations-Fit innerhalb der ARMAX-Ansatze. Das inverse Fehlermodell zeigt auch Hochpass-Charakter.Hier bringt der BJ-Ansatz mit dem Fehlermodell eine deutliche Verbesserung des Modells.Die geschatzten Massen mk stimmen gut mit der Massen aus dem statischen Druck mk,stat =381.0 kg uberein. Die geschatzten Dampfungen dk schwanken relativ stark.

Bemerkung 6.11 (Identifikationsergebnisse Fall 5):Die Identifikationsergebnisse von Fall 5 mit Ausgang xk, Masse mk = 200kg und einem linearenModell 3. Ordnung (6.61) als Modellhypothese sind in Tabelle 6.3(a) und in Bild 6.13 dargestellt.Der OE-Ansatz bringt mit 89.9 % den besten Fit in der Simulation. Der BJ-Ansatz ist um mehrals 4 Prozentpunkte schlechter.

Bemerkung 6.12 (Identifikationsergebnisse Fall 6):Die Identifikationsergebnisse von Fall 6 mit Ausgang xka, Masse mk = 200 kg und einem linearenModell 3. Ordnung (6.61) als Modellhypothese sind in Tabelle 6.3(b) dargestellt.Der OE-Ansatz bringt mit 92.3 % den besten Fit in der Simulation.

Bemerkung 6.13 (Identifikationsergebnisse Fall 7):Die Identifikationsergebnisse von Fall 7 mit Ausgang xk, Masse mk = 400 kg und einem linearenModell 3. Ordnung (6.61) als Modellhypothese sind in Tabelle 6.3(c) und in Bild 6.14 dargestellt.Der OE-Ansatz bringt mit 93.0 % den besten Fit in der Simulation. Der BJ-Ansatz ist um mehrals 6 Prozentpunkte schlechter.Der ARMAX-Ansatz mit nc = 2 liefert einen wenig schlechteren Fit als der OE-Ansatz.

Bemerkung 6.14 (Identifikationsergebnisse Fall 8):Die Identifikationsergebnisse von Fall 8 mit Ausgang xka, Masse mk = 400 kg und einem linearenModell 3. Ordnung (6.61) als Modellhypothese sind in Tabelle 6.3(d) dargestellt.Der OE-Ansatz bringt mit 95.4 % den besten Fit in der Simulation, dicht gefolgt von denanderen.

6.6 Identifikation der Mechanik des Fundaments 125

Der Fall 4 mit BJ-Ansatz bei nc = nd = 3 besitzt mit 96.3 % den besten Fit in der Simulationim Vergleich zu den anderen Fallen.Bei einer Lastmasse mk = 400 kg liegt die Polstelle −dk/mk naher am Ursprung als bei mk =200 kg und wird dadurch schlechter angeregt, wodurch die geschatzten Werte fur die Dampfungdk mehr streuen.

6.6 Identifikation der Mechanik des Fundaments

Das mathematische Modell des Teilsystems Mechanik des Fundaments beschreibt das Verhaltenzwischen dem Lastdruck pL und der Bewegung des Fundamentblocks xG xG und xG und derBewegung der Zylinderkolbenstange xk.Das Ziel der Identifikation ist die Bestimmung der physikalischen Modellparameter mG, dG undcG des Fundaments.Als Ausgang fur die Identifikation wird die gemessene Auslenkung des Fundaments xG verwen-det, weil die zugehorige Ubertragungsfunktion (A.72) eine geringere Zahlerpotenz besitzt als dieUbertragungsfunktion (A.74).Die Mechanik des Fundaments ist mit der Lastmechanik uber die Dampfungskonstante dk ver-koppelt. Im folgenden wird fur die Identifikation des Fundaments die Verkopplung mit der Last-mechanik vernachlassigt, da die Dampfungskonstante dk ≈ 500 Ns/m sehr gering ist und derAbstand zwischen der Resonanzfrequenz des Fundaments zur Knickfrequenz der Lastmechanikmehr als 1 Dekade (ca. 25 Hz zu ca. 0.4 Hz) betragt.Aus der Ubertragungsfunktion (A.72) folgt mit der Annahme dG

mGÀ dk

mGfur den Koeffizienten

b2 (A.57a):

GmFxG, pL

(s) =XG(s)PL(s)

≈ − Ak

mG· s

s + dkmk

· 1s2 + dG

mG· s + cG

mG

. (6.62)

Die Ubertragungsfunktion (6.62) besitzt eine Nullstelle im Ursprung (Differenzierer), die reellePolstelle der Lastmechanik bei −aLast = −dk/mk (A.33b) und die Resonanz des Fundamentsbei ωG1 :=

√cGmG

mit der Dampfung ζG1 := dG2·√cG·mG

siehe Gl. (A.54). Die Nullstelle im Ur-sprung und die reelle Polstelle bei −aLast bilden einen Hochpass 1. Ordnung mit einer relativzur Resonanzfrequenz des Fundaments liegenden niedrigen Grenzfrequenz. Ein Hochpass 1. Ord-nung muss vergleichbar wie ein Tiefpass fur die Identifikation um die Grenzfrequenz angeregtwerden (vgl. Kapitel C.3.1). Im Identifikationsexperiment mussten sowohl die Knickfrequenzder Lastmechanik und die Resonanz des Fundaments angeregt werden. Die Knickfrequenz derLastmechanik wird im Vergleich zur Resonanz des Fundaments nur schwach angeregt.Daher dient die folgende lineare, zeitkontinuierliche Ubertragungsfunktion 2.Ordnung ohne Last-mechanik als Modellhypothese:

XG(s)PL(s)

= −Ak

cG·

cGmG

s2 + dGmG

· s + cGmG

(6.63)

mit den zu schatzenden physikalischen Modellparametern des Fundaments mG, dG und cG undder Zylinderkolbenflache Ak als bekanntem Parameter.Vor der Identifikation ist es sinnvoll, die jeweiligen Mittelwerte von den gemessenen SignalenxG und pL abzuziehen, da die ursprungliche Ubertragungsfunktion (A.72) eine Nullstelle imUrsprung besitzt, d.h. ein konstanter Druck pL, C kann keine konstante Auslenkung des Funda-ments xG,C erzeugen.


Die Daten des Identifikationsexperiments lauten:










– Gemessene Signale : xG und pL

– Identifikationsgleichungen : lineare, zeitdiskrete Ubertragungsfunktionen zu Gl.(6.63)

G(q) =b1 ·q−1

1 + a1 ·q−1 + a2 ·q−2(6.64)

(nb = 1; na bzw. nf = 2; nk = 1)


: mG, dG und cG

– Signalvorverarbeitung : bei den gemessenen Signalen xG und pL werden jeweilsihre Mittelwerte abgezogen;

Abtastrate auf 400 Hz reduziert (Downsampling)


– ARX


– OE




: Modellhypothese Gl. (6.63)

Lastmasse Ausgang xG

Fall 1:mk = 200kg Tabelle 6.4(a)

Bild 6.15Fall 2:

mk = 400kg Tabelle 6.4(b)Bild 6.16

Zur Beurteilung der Schatzung sind in den folgenden Tabellen 6.4(a) und 6.4(b) und auf denBildern 6.15(b) und 6.16(b) die erzielten Fits in der Simulation und in der Pradiktion fur denValidierungs- und fur den Identifikationsdatensatz angegeben. Der Fit fur den Identifikations-datensatz steht jeweils in Klammern. Die Definition des Fits erfolgt in Gl. (6.1). Der Fit in derSimulation mit dem Validierungsdatensatz gibt die Qualitat des identifizierten Modells wieder.

Bemerkung 6.15 (Identifikationsergebnisse Fall 1):Die Identifikationsergebnisse von Fall 1 mit einer Lastmasse mk = 200 kg sind in der Tabelle6.4(a) und im Bild 6.15 dargestellt.Der BJ-Ansatz mit nc = nd = 1 besitzt den besten Fit in der Simulation mit 86.8 % bei einemFehlermodell mit geringer Ordnung. Der OE-Ansatz ist nur 0.1 Prozentpunkte schlechter. Diegeschatzten Parameter unterscheiden sich kaum. Innerhalb des ARMAX-Ansatzes besitzt dasFehlermodell mit nc = 1 den besten Fit in der Simulation.Der ARX-Ansatz ist mit einem Fit von 78.4 % in der Simulation deutlich schlechter als der Rest.

Bemerkung 6.16 (Identifikationsergebnisse Fall 2):Die Identifikationsergebnisse von Fall 2 mit einer Lastmasse mk = 400 kg sind in der Tabelle6.4(b) und im Bild 6.16 dargestellt.Der BJ-Ansatz mit nc = nd = 3 besitzt den besten Fit in der Simulation mit 87.8 % bei einemFehlermodell mit geringer Ordnung. Der OE-Ansatz ist wie in Fall 1 nur 0.1 Prozentpunkteschlechter. Die geschatzten Parameter unterscheiden sich wie in Fall 1 nur geringfugig. Innerhalbdes ARMAX-Ansatzes besitzt das Fehlermodell mit nc = 4 den besten Fit in der Simulation.Der ARX-Ansatz ist mit einem Fit von 76.7 % in der Simulation deutlich schlechter als der Rest.Der Unterschied ist hier etwas großer als in Fall 1.

Die geschatzten Parameter und die erzielten Fits in der Simulation sind nahezu unabhangig vonder Lastmasse mk.Die geschatzte Masse mG des Fundaments ist mit ca. 3 t relative hoch. Das Fundament soll eineMasse von 1 bis 1.5 t haben.

Da die inversen Fehlermodelle eine Sperrwirkung um die Resonanzfrequenz von 24 Hz haben,lasst sich vermuten, dass das Fundament nicht nur eine, sondern aufgrund der raumlichen Be-wegung weiter benachbarte Resonanzen besitzt.Beim OE-Ansatz, wo aufgrund des fehlenden Fehlermodells der Pradiktionfehler gleich demSimulationfehler ist, ist im Fehlersignal deutlich eine Schwingung zu erkennen, die leicht hoherals die Resonanzfrequenz ist, siehe Bild 6.15(c) und 6.16(c).Die inversen Fehlermodelle bei ARX-, ARMAX- und BJ-Ansatz versuchen diese Storung zuunterdrucken, was auch gut funktioniert, wie man aus den geringen Pradiktionfehlern erkennenkann.


Identifikation der Mechanik des Fundaments(lineares Modell 2. Ordnung)

Fall 1: Lastmasse mk=200kg

Identifikations- mG dG cG f0 Fit in derverfahren [kg] [Ns/m] [N/m] [Hz] Simulation Pradiktion

ARX 2690.5 99907.7 6.33 · 107 24.4 78.4 % (78.9 %) 93.4 % (93.9 %)ARMAX nc = 1 2818.1 83715.1 6.48 · 107 24.1 84.0 % (84.8 %) 94.5 % (94.9 %)ARMAX nc = 2 2737.6 86272.1 6.35 · 107 24.2 82.4 % (83.1 %) 94.7 % (95.1 %)ARMAX nc = 3 2735.7 86438.7 6.35 · 107 24.2 82.4 % (83.0 %) 94.8 % (95.1 %)ARMAX nc = 4 2789.2 85346.2 6.44 · 107 24.2 83.4 % (84.2 %) 94.9 % (95.2 %)OE 3150.5 76309.5 7.08 · 107 23.9 86.7 % (87.9 %) 86.7 % (87.9 %)BJ nc = nd = 1 3129.3 76348.3 7.04 · 107 23.9 86.8 % (88.0 %) 94.0 % (94.4 %)BJ nc = nd = 2 2964.4 78725.7 6.76 · 107 24.0 86.3 % (87.1 %) 94.9 % (95.2 %)BJ nc = nd = 3 3099.8 77385.0 6.99 · 107 23.9 86.8 % (87.9 %) 95.0 % (95.3 %)BJ nc = nd = 4 3107.2 77309.6 7.01 · 107 23.9 86.8 % (88.0 %) 95.0 % (95.4 %)

(a) Identifikationsergebnisse von Fall 1 mit Lastmasse mk=200kg; siehe Bemerkung 6.15

Fall 2: Lastmasse mk=400kg

Identifikations- mG dG cG f0 Fit in derverfahren [kg] [Ns/m] [N/m] [Hz] Simulation Pradiktion

ARX 2733.6 117837.0 6.52 · 107 24.6 76.7 % (75.9 %) 90.6 % (92.5 %)ARMAX nc = 1 3001.0 82874.8 6.91 · 107 24.2 87.0 % (86.4 %) 92.8 % (94.1 %)ARMAX nc = 2 2939.6 85028.2 6.81 · 107 24.2 86.4 % (85.7 %) 93.1 % (94.3 %)ARMAX nc = 3 2967.2 84169.2 6.86 · 107 24.2 87.0 % (86.2 %) 93.9 % (94.9 %)ARMAX nc = 4 2976.8 84476.7 6.86 · 107 24.2 87.1 % (86.4 %) 94.0 % (94.9 %)OE 3184.7 81346.5 7.22 · 107 24.0 87.7 % (87.3 %) 87.7 % (87.3 %)BJ nc = nd = 1 3167.2 80309.7 7.17 · 107 23.9 87.5 % (87.5 %) 92.6 % (93.6 %)BJ nc = nd = 2 2980.0 83791.8 6.88 · 107 24.2 87.2 % (86.5 %) 93.3 % (94.4 %)BJ nc = nd = 3 3021.0 83347.6 6.94 · 107 24.1 87.8 % (87.2 %) 94.1 % (95.0 %)BJ nc = nd = 4 3032.1 83533.9 6.96 · 107 24.1 87.8 % (87.2 %) 94.1 % (95.1 %)

(b) Identifikationsergebnisse von Fall 2 mit Lastmasse mk=400kg; siehe Bemerkung 6.16

Tabelle 6.4: Laborexperiment: Identifikation der Mechanik des Fundaments (lineares Modell2. Ordnung), dargestellt sind die geschatzten Parameter mG, dG und cG der gewahl-ten Ansatze (ARX, ARMAX, OE, BJ), die aus den geschatzten Parametern berech-

nete Resonanzfrequenz f0 := 12·π ·

√cGmG

und die erzielten Fits in der Simulation undin der Pradiktion fur den Validierungs- und fur den Identifikationsdatensatz; der Fitfur den Identifikationsdatensatz ist jeweils in Klammern angegeben, zur Definitiondes Fits siehe Gl. (6.1)


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6.16

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6.7 Modellvalidierung 131

Es konnte aber auch sein, dass die beobachtete Schwingung aufgrund eines nichtlinearen Effektsentsteht.

6.7 Modellvalidierung

Die Aufgabe der Modellvalidierung im Rahmen dieser Arbeit ist es, die Wirklichkeitsnahe derverschiedenen Modellansatze inklusive der geschatzten Modellparametern zu uberprufen und soVertrauen in das Streckenmodell des servohydraulischen Antriebs zu bekommen.Hierzu werden Laborexperiment und dazugehorige Rechnersimulation nebeneinander geplottetund optisch verglichen.In Bild 6.17 wird die Validierung des gesamten Modells des servohydraulischen Antriebs beiVerwendung eines Sinussweeps von 0 bis 90 Hz des P–geregelten Antriebs als Fuhrungssignalgezeigt.Die Ubereinstimmung der Rechnersimulation mit dem Laborexperiment ist gut.

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pI [bar]

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b) Rechnersimulationa) Laborexperiment

Bild 6.17: Validierung des gesamten Modells des servohydraulischen Antriebs


Kapitel 7

Nichtlinearer und linearer Reglerentwurf fur einen

servohydraulischen Linearantrieb

7.1 Einleitung

Dieses Kapitel beschreibt den Entwurf einer Folgeregelung fur einen servohydraulischenLinearantrieb unter Verwendung des Verfahrens der exakten Ein-/Ausgangs-Linearisie-rung [5, 35] . Das Regelziel einer Folgeregelung ist, den Ausgang y der Regelstrecke moglichstgenau einer gegebenen Soll-Trajektorie yd folgen zu lassen. Da fur die Folgeregelung auch diehoheren zeitlichen Ableitungen der Soll-Trajektorie benotigt werden, muss der Verlauf der Soll-Trajektorie stetig und differenzierbar sein. Auf die Generierung der Sollsignale durch eine analy-tische Berechnung mittels Polynomen und durch eine Approximation uber ein Referenzmodell inForm eines Zustandsvariablenfilters geht Kapitel E.1 ein. Beim Entwurf der Regler wird davonausgegangen, dass die Soll-Trajektorie yd und ihre zeitlichen Ableitungen zur Verfugung stehen.Nach einer kurzen Beschreibung des Verfahrens der exakten Ein-/Ausgangs-Linearisierung imKapitel 7.2 werden im Kapitel 7.3 nichtlineare Regelalgorithmen fur nichtlineare Strecken-modelle unterschiedlicher Komplexitat des servohydraulischen Linearantriebs entwickelt.Zu den Grundbestandteilen des Streckenmodells gehoren:

• ein Modell des nichtlinearen, reduzierten Druckaufbaus inklusive eines linearen Modells desBypassflusses,

• ein einfaches, lineares Modell der Lastmechanik und• ein lineares, statisches Servoventilmodell.

Erweitert wird das Streckenmodell um ein

• lineares, dynamisches Servoventilmodell 1. bis 3. Ordnung und um ein• lineares Modell des Fundaments.

Der Eingang u der Regelstrecke ist die Ventileingangsspannung uM :

u := uM ∈ R1 (7.1)

und als Ausgang y wird der auf den Hallenboden bezogene Zylinderkolbenweg xka gewahlt:

y := xka ∈ R1 . (7.2)

Um die Verbesserung des Regelverhaltens durch die nichtlinearen Regler zu zeigen, werden imKapitel 7.4 zum Vergleich lineare Regelalgorithmen in analoger Weise nach dem Verfahren

133

134 Kapitel 7. Regelung

der exakten Ein-/Ausgangs-Linearisierung basierend auf einem linearisierten, reduzierten Modelldes servohydraulischen Linearantriebs entwickelt.

Die Tabelle 7.1 gibt Auskunft uber die entwickelten nichtlinearen und linearen Regelalgorithmenund die fur sie zugrundeliegenden Streckenmodelle.Die Regler bekommen eine alphanumerische Bezeichnung und eine Kenn-Nummer. Die Bezeich-nung setzt sich zusammen aus:

• einem NL fur einen nichtlinearen oder einem L fur einen linearen Regelalgorithmus,• einem B fur ein enthaltenes Modell des Bypassflusses,• einem F fur ein enthaltenes Modell des Fundaments,• einem 3O bis 8O fur die Ordnung des gesamten Streckenmodells und• einem R fur ein reduziertes Modell des Druckaufbaus.

So steht die Abkurzung NLBF8OR fur einen nichtlinearen Regelalgorithmus mit Bypassmodellund mit Fundamentmodell basierend auf den Modellgleichungen 8. Ordung des nichtlinearen,reduzierten Streckenmodells.Die Kenn-Nummer dient zur Auswahl des Regelalgorithmus auf der Reglerhardware.

Bezeichnung Modell des Modell des Modell des Modell des Kenn-des Reglers Druckaufbaus Servoventils Fundaments Bypass NummerNLB3OR nichtlinear, reduziert linear, statisch kein linear 53NLBF5OR nichtlinear, reduziert linear, statisch linear linear 153NLB4OR nichtlinear, reduziert linear, 1. Ordnung kein linear 54NLBF6OR nichtlinear, reduziert linear, 1. Ordnung linear linear 154NLB5OR nichtlinear, reduziert linear, 2. Ordnung kein linear 55NLBF7OR nichtlinear, reduziert linear, 2. Ordnung linear linear 155NLB6OR nichtlinear, reduziert linear, 3. Ordnung kein linear 56NLBF8OR nichtlinear, reduziert linear, 3. Ordnung linear linear 156

LB3OR linear, reduziert linear, statisch kein linear 43LBF5OR linear, reduziert linear, statisch linear linear 143LB4OR linear, reduziert linear, 1. Ordnung kein linear 44LBF6OR linear, reduziert linear, 1. Ordnung linear linear 144LB5OR linear, reduziert linear, 2. Ordnung kein linear 45LBF7OR linear, reduziert linear, 2. Ordnung linear linear 145LB6OR linear, reduziert linear, 3. Ordnung kein linear 46LBF8OR linear, reduziert linear, 3. Ordnung linear linear 146

Tabelle 7.1: Entwickelte nichtlineare und lineare Regelalgorithmen mit zugrundeliegendenStreckenmodellen

Bemerkung 7.1 (Reglerentwurf ohne Bypassmodell): Bei allen entworfenen Reglern istein lineares Modell fur einen Bypass enthalten. Dieser Bypass kann durch Nullsetzen des By-passkoeffizienten kLE deaktiviert werden.

7.2 Verfahren der exakten Ein-/Ausgangs-Linearisierung 135

Bemerkung 7.2 (Warum so viele unterschiedliche Regler ?): Durch ein Streckenmodellmit zunehmender Komplexitat als Grundlage fur den Entwurf der Regler wird auf der einenSeite das Verhalten der Strecke besser im Regler berucksichtigt und damit die Leistungsfahigkeitdes Reglers verbessert, auf der anderen Seite wird der zu implementierende Programmcode desRegelalgorithmus und der Aufwand an Sensoren immer umfangreicher. Die unterschiedlichenRegler wurden zur Abschatzung eines Aufwand- zu Nutzenverhaltnisses entworfen.

Bemerkung 7.3 (Implementierung der Regler auf Digitalrechnern): Die hier entwor-fenen Regelalgorithmen gehen von einer zeitkontinuierlichen Realisierung aus. Auf einem Digi-talrechner werden neue Stellsignale nur zu den Abtastzeitpunkten vom Regelalgorithmus be-rechnet und dazwischen konstant gehalten. Aufgrund der Rechenzeit des Algorithmus wird nurverzogert auf aktuelle Sensorsignale reagiert. Die hieraus resultierende Totzeit liegt maximal inder Großenordnung einer Abtastzeit. Im Rahmen dieser Arbeit wird davon ausgegangen, dassdurch eine schnelle Abtastung ein quasi-kontinuierlicher Betrieb moglich ist.

7.2 Verfahren der exakten Ein-/Ausgangs-Linearisierung

Das Verfahren der exakten Linearisierung [5, 35] macht im Gegensatz zur ublichen Arbeitspunkt-linearisierung in der Ruhelage, bei der Terme hoherer Ordnung in der Taylor-Reihenentwicklungvernachlassigt werden, keinen solchen Approximationsfehler.Beim Verfahren der exakten Linearisierung wird ein nichtlineares System durch eine Zu-standsruckfuhrung in ein lineares System uberfuhrt, das dann mittels linearer Reglerentwurfs-verfahren so geregelt wird, dass Stabilitat und gutes Regelverhalten erreicht werden.Das Verfahren der exakten Linearisierung unterteilt sich in die

• exakte Zustands-Linearisierung und in die• exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung.

Bei der exakten Zustands-Linearisierung wird ein nichtlineares System durch eine geeignetenichtlineare Ruckfuhrung seiner Zustande x auf den Systemeingang u exakt in ein lineares Sy-stem gleicher Ordnung mit neuem Eingang ν und transformierten Zustanden z uberfuhrt.Das entstandene lineare, dynamische System mit dem Eingang ν und den Zustanden z kann mitlinearen Methoden der Regelungstechnik (z.B. Polvorgabe) behandelt werden.Bei der exakten Ein-/Ausgangs-Linearisierung wird nur das nichtlineare Verhalten zwischendem Systemeingang u und einem gewahlten Systemausgang y durch eine geeignete nichtlinea-re Ruckfuhrung der Systemzustande x auf den Systemeingang u in ein lineares, dynamischesVerhalten zwischen einem neuen Eingang ν und dem bestehenden Systemausgang y uberfuhrt.Das entstandene, lineare dynamische System zwischen dem Eingang ν und dem Ausgang y kannmit linearen Methoden der Regelungstechnik (z.B. Polvorgabe) behandelt werden.Durch die nichtlineare Ruckfuhrung der Zustande kann eine interne Dynamik entstehen, die auchinternes System genannt wird. Die interne Dynamik wird durch das lineare dynamische Systemzwischen dem Eingang ν und Ausgang y angeregt, ist aber vom Ausgang y nicht beobachtbarund demzufolge durch den außeren linearen Regelkreis nicht mehr regelbar. Aus diesem Grundmuss die interne Dynamik ein stabiles Verhalten aufweisen.Die exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung entspricht der exakten Zustands-Linearisierung fur denFall, dass keine interne Dynamik vorhanden ist.

Fur die Anwendbarkeit des Verfahrens der exakten Linearisierung sind folgende Voraussetzungenzu erfullen:


1. Verfugbarkeit eines sehr genauen mathematischen Modells des SystemsDas Systemverhalten lasst sich durch ein mathematische Modell in Form einer nichtlinearenZustandsraumdarstellung sehr genau wiedergeben.

2. Bilinearer EingangDer Systemeingang geht bilinear in die nichtlineare Zustandsraumdarstellung ein.

3. Differenzierbarkeit der SystemfunktionenDie Systemfunktionen der nichtlinearen Zustandsraumdarstellung sind glatt und hinrei-chend oft differenzierbar.

4. Verfugbarkeit der SystemzustandeFur die nichtlineare Ruckfuhrung mussen die Signale aller Systemzustande verfugbar sein.

Bemerkung 7.4 (Erfullen der Voraussetzung bezuglich Regelung des servohydrauli-schen Antriebs): Aus [1] liegt ein detailliertes, mathematisches Modell des servohydraulischenAntriebs vor, welches sich fur den Reglerentwurf nach dem Verfahren der exakten Linearisierungeignet.Um keine schadlichen Erschutterungen in das Gebaude einzuleiten, wurde der servohydraulischeAntrieb auf einem durch Gummi-Puffer gelagerten Metall-Fundament aufgebaut. Bei Versuchenmit dem servohydraulischen Antrieb zeigte sich, dass die Schwingungen des Metall-Fundamentswahrend des Betriebs nicht zu vernachlassigen sind. Aus diesem Grund wurde das bestehendeModell des servohydraulischen Antriebs um ein Modell des Fundaments erweitert. Hierzu wirddas Fundament als Starrkorper mit einem Freiheitsgrad in Richtung der Bewegungsrichtung desservohydraulischen Antriebs modelliert. Das Verhalten der Gummi-Puffer wird durch eine linea-re Feder mit einem linearen Dampferelement nachgebildet. Diese einfache Art der Modellierungwurde gewahlt, da die aktuelle Bewegung des Fundaments, bestehend aus Weg, Geschwindigkeitund Beschleunigung, fur die Regelung zur Verfugung stehen muss und die messtechnische Erfas-sung bzw. Signalaufbereitung fur die eindimensionale Vertikal-Bewegung mit den zur Verfugungstehenden Mitteln schon sehr aufwandig wurde.Die resultierende Bewegung der Last auf dem servohydraulischen Antrieb in Verbindung mitdem mitschwingenden Metall-Fundament ist keine reine eindimensionale, vertikale, sondern eineraumliche Bewegung, die aber mit dem eingesetzten Aktuator nicht geregelt werden kann.Auch weitere mechanische Resonanzen, welche aus den Stahltragern des Aufbaus herruhren,konnten im Modell fur die Regelung nicht berucksichtigt werden, da hierzu der Aufwand an Sen-sorik, um die Bewegungen der schwingenden Metalltrager zu erfassen, die bestehenden Moglich-keiten weit ubersteigt.Sattigungen, wie sie bei der Großsignalansteuerung des Servoventils auftreten, sind gegebeneGrenzen, die nicht von der exakten Linearisierung kompensiert werden konnen.Die Voraussetzung eines bilinearen Eingangs ist bereichsweise mit einem Umschaltpunkt erfullt.Die Systemfunktionen sind bereichsweise glatt und differenzierbar. Die Verfugbarkeit der Sy-stemzustande wird durch Sensoren und lineare Beobachter bewerkstelligt. Der Einsatz nichtli-nearer Beobachter ist nicht Gegenstand dieser Arbeit.

Nichtlineare Zustandsraumdarstellung des Streckenmodells

Die exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung erfolgt im Rahmen dieser Arbeit fur nichtlineare SISO-Systeme (Singe Input Single Output - Systeme) der Form:

x = f(x) + g(x) · u , (7.3a)


y = h(x) (7.3b)

mit

dem Zustandsvektor x ∈ Rn der Dimension n,dem Eingangsvektor u ∈ Rp der Dimension p = 1,dem Ausgangsvektor y ∈ Rq der Dimension q = 1 undden Systemoperatoren f , g und h.

Der Systemeingang u geht bilinear ein, da der Systemoperator g(x) nur vom Zustand x undnicht von Systemeingang u selbst abhangt. Eine allgemeine Form des Systemoperators g(x)wurde g(x, u) lauten.Die Systemoperatoren f , g und h werden wie folgt definiert:

f : Rn → Rn (7.4a)(x) 7→ f(x) ,

g : Rn → Rn (7.4b)(x) 7→ g(x) und

h : Rn → R1 (7.4c)(x) 7→ h(x) .

Die komponentenweise Darstellung der Systemoperatoren f und g lautet:

f(x) := [f1(x), f2(x), . . . , fn(x)]T und (7.5a)

g(x) := [g1(x), g2(x), . . . , gn(x)]T . (7.5b)

Formale Hilfsmittel

Fur eine kompaktere Schreibweise werden folgende formale Hilfsmittel eingefuhrt:

Definition 7.1 Der Gradient einer skalaren Funktion h(x) Rn → R1 ist definiert als:

grad h(x) = ∇h(x) :=∂

∂xh(x) =

[∂

∂x1h(x),

∂

∂x2h(x), . . . ,

∂

∂xnh(x)

]. (7.6)

Definition 7.2 Die Lie-Ableitung (Richtungsableitung) einer skalaren Funktion h(x) Rn → R1

entlang der Richtung des Vektorfeldes f(x) Rn → Rn ist definiert als die skalarwertige FunktionLfh(x) in der Weise:

Lfh(x) := ∇h(x) · f(x) =n∑

j=1

∂h(x)∂xj

· fj(x) . (7.7)

Die wiederholte Lie-Ableitung von h(x) zunachst entlang des Vektorfeldes f(x) und dann entlangdes Vektorfeldes g(x) ist definiert als

LgLfh(x) := (∇Lfh(x)) · g(x) (7.8)

Die k-fache Lie Ableitung von h(x) entlang des Vektorfeldes f(x) ist die skalarwertige FunktionLk

fh(x), die als Rekursionsbeziehung definiert ist:

L0fh(x) = h(x) , (7.9a)


Lkfh(x) =

(∇Lk−1

f h(x))· f(x) . (7.9b)

Aus theoretischer Sicht umfassen die Zustande x den kompletten Raum Rn. Aus praktischerSicht ist eine Einschrankung auf einen physikalisch sinnvollen Bereich angebracht. Im Betriebist der Lastdruck durch den Versorgungsdruck z.B. auf einen Bereich von -150 bis 150 bareingeschrankt. Ein Bereich wird als Region Ω bezeichnet [35].

Erzeugen einer linearen Ein-/Ausgangsbeziehung

Ein pragmatischer Ansatz zum Erzeugen einer linearen Ein-/Ausgangsbeziehung fur ein nicht-lineares System (7.3) lautet:

1. Die Ausgangsfunktion y = h(x) wird solange nach der Zeit t differenziert, bis in derAbleitung explizit der Eingang u auftaucht. Die i-te Ableitung von y nach der Zeit lautet:

y(i) = Lifh(x) + LgL

i−1f h(x) · u i = 0 .. r (7.10)

mit r, der kleinsten naturliche Zahl, fur die

LgLr−1f h(x) 6= 0 (7.11)

gilt. Die r-te zeitliche Ableitung von y lasst sich mit den Abkurzungen

αx(x) := Lrfh(x) (7.12a)

βx(x) := LgLr−1f h(x) (7.12b)

wie folgt darstellen:

y(r) = αx(x) + βx(x) · u. (7.13)

2. Das folgende nichtlineare Ruckfuhrgesetz mit dem neuen Steuereingang ν

u = β−1x (x) · [ν − αx(x)] mit βx(x) 6= 0 siehe Gl. (7.11) (7.14)

angewendet auf die r-te zeitliche Ableitung von y

y(r) = αx(x) + βx(x) · β−1x (x) · [ν − αx(x)] (7.15)

liefert die gewunschte lineare Ein-/Ausgangsbeziehung

y(r) = ν , (7.16)

was eine r-fache Integratorkette darstellt.

Die Integratorkette zwischen dem Eingang ν und Ausgang y kann mit linearen Methoden derRegelungstechnik (z.B. Polvorgabe) stabil geregelt werden.

Das nichtlineare Ruckfuhrgesetz aus Gleichung (7.14) bildet den Regelalgorithmus.

Uber das Vorhandensein und die Stabilitat einer internen Dynamik lasst sich jedoch so nochkeine Aussage machen.


Hierzu ist die Bestimmung des relativen Grades des Systems und eine Darstellung des Systemsin Normalform notwendig.

Relativer Grad eines SISO-Systems

Die Zahl der Differentiationen des Ausgangs y aus Gleichung (7.3b) nach der Zeit t, bis eine ex-plizite Abhangigkeit der Ableitung vom Eingang u vorliegt, wird als relativer Grad r bezeichnet:

y = h(x) = L0fh(x) (7.17a)

y = ∇h(x) · [f(x) + g(x) · u]︸︷︷︸x

= L1fh(x) + Lgh(x)︸︷︷︸

≡0

·u (7.17b)

y = ∇L1fh(x) · [f(x) + g(x) · u]︸︷︷︸

x

= L2fh(x) + LgL

1fh(x)︸︷︷︸≡0

·u (7.17c)

...

y(r−1) = ∇Lr−2f h(x) · [f(x) + g(x) · u]︸︷︷︸

x

= Lr−1f h(x) + LgL

r−2f h(x)

︸︷︷︸≡0

·u (7.17d)

y(r) = ∇Lr−1f h(x) · [f(x) + g(x) · u]︸︷︷︸

x

= Lrfh(x) + LgL

r−1f h(x)

︸︷︷︸6=0

·u (7.17e)

unter Verwendung der Gleichung (7.3a) und der Abkurzung y(i) := diydti

.Die Bedingungen Lgh(x) ≡ 0, LgL

1fh(x) ≡ 0, . . . , LgL

r−2f h(x) ≡ 0 und LgL

r−1f h(x) 6= 0 mussen

theoretisch fur jedes x ∈ Rn erfullt sein. Fur die praktische Anwendung ist eine Einschrankungauf den ausgenutzten Arbeitsbereich (Region Ω) sinnvoll.

Damit ergibt sich die folgende formale Definition des relativen Grades:

Definition 7.3 Das SISO-System (7.3) hat in einer Region Ω den relativen Grad r, wenn furalle x ∈ Ω gilt:

LgLifh(x) ≡ 0 fur 0 ≤ i < (r − 1) (7.18a)

LgLr−1f h(x) 6= 0 (7.18b)

Als ein nicht wohl-definierter relativer Grad wird in [35] bezeichnet, wenn in einem Arbeitspunktx0 die Bedingung LgL

r−1f h(x0) = 0 erfullt ist, aber fur einen Punkt x in der Umgebung von x0

die Bedingung LgLr−1f h(x) 6= 0 gilt. Die Ein-/Ausgangs-Linearisierung ist dann im Punkt x0

nicht durchfuhrbar.Fur lineare Systeme entspricht der relative Grad der Differenzordnung zwischen Nenner- undZahlerpolynom der Ubertragungsfunktion.Fur den relativen Grad r in Bezug auf die Ordnung des Systems n gilt:

r ≤ n. (7.19)

Ist der relative Grad r gleich der Systemordnung n, existiert ein nichtlinearer Kompensationsreg-ler, welcher das Streckenmodell zwischen Ein- und Ausgang komplett durch eine nichtlineare Zu-standsvektorruckfuhrung linearisiert. Es ist dann keine interne Dynamik vorhanden. Fur diesenFall entspricht die exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung der exakten Zustands-Linearisierung.


Ist der relative Grad r jedoch kleiner als die Systemordnung n, existiert ein nichtlinearer Kom-pensationsregler, welcher das Streckenmodell ebenfalls zwischen Ein- und Ausgang durch einenichtlineare Zustandsvektorruckfuhrung linearisiert, aber es entsteht eine interne Dynamik derOrdnung n− r, deren Verhalten nicht mehr durch die Regelung kontrollierbar ist.

Byrnes-Isidori-Normalform des Systems

Wird das nichtlineare System (7.3) auf die Byrnes-Isidori-Normalform gebracht, so lassen sichdaraus das erforderliche nichtlineare Ruckfuhrgesetz, die interne Dynamik und die Nulldynamikleicht ablesen.Die Zustande der Byrnes-Isidori-Normalform setzen sich zusammen aus den

• ersten r Zustanden, den Zustanden des Ein-/Ausgangs-Teils

µ : = [µ1, µ2, . . . , µr]T und den (7.20)

• restlichen n− r Zustanden, den Zustanden der internen Dynamik

Ψ = [Ψ1, Ψ2, . . . , Ψn−r]T . (7.21)

Beide Zustandsvektoren µ und Ψ werden zusammengefasst zu dem Zustandsvektor z:

z = [z1, z2, . . . , zn]T = [µ1, µ2, . . . , µr, Ψ1, Ψ2, . . . , Ψn−r]T . (7.22)

Die Umrechnung der Zustande x des Systems (7.3) in die Zustande z der Byrnes-Isidori-Normalform erfolgt durch die Zustandstransformation Φ(x):

Φ : Rn → Rn (7.23)x 7→ z = Φ(x) ,

und in umgekehrter Richtung uber die Inverse der Zustandstransformation Φ−1(z):

Φ−1 : Rn → Rn (7.24)z 7→ x = Φ−1(z) ,

deren Existenz vorausgesetzt wird.Die Zustandstransformation Φ(x) setzt sich zusammen aus dem Systemoperator h(x) des Aus-gangs und dessen Lie-Ableitungen Lfh(x), L2

fh(x), . . . , Lr−1f h(x), sowie den Zustandstransfor-

mationen φr+1(x), . . . , φn(x) fur die Zustande Ψ der internen Dynamik:

z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1

z2

z3...zr

zr+1...

zn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ1

µ2

µ3...

µr

Ψ1...

Ψn−r

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= Φ(x) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

φ1(x)φ2(x)φ3(x)

...φr(x)

φr+1(x)...

φn(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

h(x)Lfh(x)L2

fh(x)...

Lr−1f h(x)

φr+1(x)...

φn(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (7.25)

Die Zustandstransformationen φr+1(x), . . . , φn(x) fur die Zustande zr+1, . . . , zn bzw.Ψ1, . . . , Ψn−r der internen Dynamik werden individuell gefunden.


Die Byrnes-Isidori-Normalform lautet:

z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1...

zr−1

zr

. . . .zr+1

...zn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z2...zr

α(z) + β(z)·u. . . . . . . . . . . . .

w1(z, u)...

wn−r(z, u)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

bzw.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ1...

µr−1

µr

. . . . .

Ψ1...

Ψn−r

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ2...

µr

α(µ,Ψ) + β(µ,Ψ)·u. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

w1(µ,Ψ, u)...

wn−r(µ,Ψ, u)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(7.26)

mit

α(z) = Lrfh(x)

∣∣x=Φ−1(z)

bzw. α(µ,Ψ) = Lrfh(x)

∣∣x=Φ−1(µ,Ψ)

(7.27a)

β(z) = LgLr−1f h(x)

∣∣∣x=Φ−1(z)

bzw. β(µ,Ψ) = LgLr−1f h(x)

∣∣∣x=Φ−1(µ,Ψ)

(7.27b)

und w1(z, u), . . . , wn−r(z, u) bzw. w1(µ,Ψ, u), . . . , wn−r(µ,Ψ, u) als nichtlineare Funktionen,die die interne Dynamik beschreiben.Streng genommen mussten fur die Funktionen wie α(z) und α(µ,Ψ) unterschiedliche Funkti-onsnamen gewahlt werden, da die Anzahl der Funktionsargumente unterschiedlich ist. Hieraufwurde aber verzichtet, weil durch µ und Ψ lediglich die Zustande z unterteilt werden.

Der Ausgang y entspricht dem ersten Zustand z1 bzw. µ1:

y = z1 = µ1 . (7.28)

Die Zustande z1, z2, . . . , zr bzw. µ1, µ2, . . . , µr bilden eine Kette von r Integratoren, aufderen Eingang zr die folgende nichtlineare Funktion eingeht:

zr = y(r) = α(µ,Ψ) + β(µ,Ψ) · u . (7.29)

Daraus ist zu erkennen, dass der Eingang u nur auf den Eingang zr der Integratorkette wirkt. Derrelative Grad r gibt die Anzahl der Integratoren an, die ein Signal vom Eingang u zum Ausgangy mindestens durchlaufen muss, und beschreibt damit die Mindestverzogerung zwischen Ein-und Ausgang der nichtlinearen Strecke.Die Funktionen α(µ,Ψ) und β(µ,Ψ) fuhren die Zustande µ der Integratorkette nichtlinear zuruckund lassen einen Einfluss der Zustande Ψ der internen Dynamik auf die Integratorkette unddamit auf den Ausgang y zu.Fur ein lineares Zustandssystem ist die Byrnes-Isidori-Normalform vergleichbar mit der Beob-achtungsnormalform.

Zur Bildung des Ruckfuhrgesetzes aus der Byrnes-Isidori-Normalform (7.26) nutzt man die kon-zentrierte Lage der Nichtlinearitaten zwischen Eingang u und Ausgang y :

y(r) = α(z) + β(z) · u bzw. y(r) = α(µ,Ψ) + β(µ,Ψ) · u . (7.30)

Um auf die lineare Ein-/Ausgangsbeziehung

y(r) !=: ν (7.31)


mit dem neuen Steuereingang ν zu kommen, wird aus

ν : != y(r) = α(z) + β(z) · u bzw. ν!= y(r) = α(µ,Ψ) + β(µ,Ψ) · u (7.32)

das nichtlineare Ruckfuhrgesetz

u = β−1(z) · [ν − α(z)] bzw. u = β−1(µ,Ψ) · [ν − α(µ,Ψ)] (7.33)

mit dem Steuereingang ν gebildet.Durch Anwenden des nichtlinearen Ruckfuhrgesetzes (7.33) auf die Byrnes-Isidori-Normalform(7.26):

z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1...

zr−1

zr

. . . .zr+1

...zn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z2...zr

ν. . . . . . . . . .w1(z, u)

...wn−r(z, u)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

bzw.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ1...

µr−1

µr

. . . . .

Ψ1...

Ψn−r

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ2...

µr

ν. . . . . . . . . . . . .w1(µ,Ψ, u)

...wn−r(µ,Ψ, u)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(7.34)

wird der Einfluss der Zustande Ψ der internen Dynamik auf den Ausgang y aufgehoben, weilder Eingang der Integratorkette y(r) = zr = µr gemaß der Forderung aus Gl. (7.31) nur vomSteuereingang ν abhangen soll.Die Aufschaltung des nichtlinearen Ruckfuhrgesetzes (7.33) zerteilt die Dynamik des nichtlinea-ren Systems (7.3) in die

• lineare dynamische Beziehung y(r) = ν zwischen dem Ausgang y und Steuereingang ν undin eine

• interne Dynamik, welche vom Ausgang y und von den Zustanden µ des Ein-/Ausgangs-Teils aus nicht beobachtbar ist.

Die interne Dynamik wird durch die folgenden Gleichungen beschrieben:

Ψ = w(µ,Ψ, u) (7.35)

bzw.∣∣∣∣∣∣∣

zr+1...

zn

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

w1(z, u)...

wn−r(z, u)

∣∣∣∣∣∣∣bzw. Ψ =

∣∣∣∣∣∣∣

Ψ1...

Ψn−r

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

w1(µ,Ψ, u)...

wn−r(µ,Ψ, u)

∣∣∣∣∣∣∣(7.36)

und stellt ein nichtlineares dynamisches System dar, das durch den Eingang u und durch dieZustande µ des Ein-/Ausgangs-Teils angeregt wird.Dies hat zur Folge, dass die interne Dynamik (7.35) des nichtlinearen Systems aus Gl. (7.3) beiAufschaltung des nichtlinearen Ruckfuhrgesetzes (7.33) gewissermaßen ein ”Eigenleben” fuhrtund nicht mehr durch eine außere lineare Regelung kontrollierbar ist.Das Verhalten der internen Dynamik ist fur die Regelung eines nichtlinearen Systems mit derexakten Ein-/Ausgangs-Linearisierung von entscheidender Bedeutung. Die Zustande Ψ der in-ternen Dynamik haben zwar keinen Einfluss mehr auf den Ausgang y, jedoch werden sie fur


das nichtlineare Ruckfuhrgesetz (7.33) benotigt. Bei technischen Systemen sind hier Grenzengesetzt, was den Wertebereich angeht, der sich noch kompensieren lasst.Die interne Dynamik darf auf keinen Fall instabil sein, es sollten aber auch keine scharfenResonanzen enthalten sein.Die Differenz zwischen der Systemordnung n und dem relativen Grad r ist die Ordnung derinternen Dynamik.Als Nulldynamik bezeichnet man die interne Dynamik fur den Fall, dass der Ausgang konstantNull gehalten wird y ≡ 0. Damit sind auch die zeitlichen Ableitungen des Ausgangs y ≡ y ≡...y ≡ . . . ≡ 0 und somit auch die Zustande µ ≡ 0 konstant Null und es ergibt sich:

Ψ = w(0,Ψ, u) (7.37)

bzw.

Ψ =

∣∣∣∣∣∣∣

Ψ1...

Ψn−r

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

w1(0, Ψ, u)...

wn−r(0, Ψ, u)

∣∣∣∣∣∣∣. (7.38)

Eine stabile Nulldynamik wird minimalphasig genannt.

Bei der exakten Ein-/Ausgangs-Linearisierung lasst sich ggf. nur ein Teil des Gesamtsystemsregeln. Der restliche Teil, die interne Dynamik ist sich selbst uberlassen und kann ggf. storendwirken.

Schritte des Reglerentwurfs

Der Entwurf des Regelalgorithmus umfasst die folgenden Schritte:

Schritt 1: Bestimmung des relativen Grades des StreckenmodellsZur Bestimmung des relativen Grades r ∈ N des Streckenmodells (7.3) werden die Lie-Ableitungen Li

fh(x) und LgLi−1f h(x) fur i = 1, . . . , r berechnet, bis erstmals LgL

r−1f h(x) 6= 0

ist. Ein relativer Grad r kleiner der Systemordnung n macht eine Untersuchung der internenDynamik erforderlich.

Schritt 2: Bilden des nichtlinearen Kompensationsreglers

Die beiden aus Schritt 1 zuletzt berechneten Lie-Ableitungen Lrfh(x) und LgL

r−1f h(x) werden

wie folgt abgekurzt:

αx(x) := Lrfh(x) (7.39a)

βx(x) := LgLr−1f h(x) . (7.39b)

Hiermit ergibt sich der nichtlineare Kompensationsregler:

u = β−1x (x) · [ν − αx(x)] (7.40)

mit dem neuen Steuereingang ν.

Schritt 3: Entwurf einer linearen Zustandsvektorruckfuhrung durch Polvorgabe

Durch Anwendung des nichtlinearen Kompensationsreglers (7.40) entsteht zwischen dem neuenSteuereingang ν und dem Ausgang y das Verhalten einer r-fachen Integratorkette:

y(r) = ν . (7.41)


Zur Regelung dieser Integratorkette kommt eine lineare Zustandsvektorruckfuhrung zum Ein-satz:

ν = ν ′ − kr · zr − kr−1 · zr−1 − . . . − k2 · z2 − k1 · z1 (7.42)

mit dem neuen Steuereingang ν ′ und den Koeffizienten k1, . . . , kr, die durch eine PolvorgabesP1, ..., sPr ermittelt werden. Die erforderlichen Zustande z1 bis zr sind der Ausgang y und seinezeitlichen Ableitungen y bis y(r−1). Sie werden aus den berechneten Lie-Ableitungen Li

fh(x)ermittelt:

zi := y(i−1) = Li−1f h(x) mit i = 1, . . . , r − 1 . (7.43)

Schritt 4: Entwurf eines dynamischen Vorfilters

Zwischen dem Eingang ν ′ und dem Ausgang y liegt das lineare, dynamische Verhalten vor,welches durch die Polvorgabe vorgegeben wurde. Aus Gl. (7.41) mit (7.42) und Gl. (7.43) folgt:

y(r) + kr · y(r−1) + kr−1 · y(r−2) + . . . + k2 · y + k1 · y = ν ′ (7.44)

mit der Ubertragungsfunktion:

Y (s)ν ′(s)

=1

sr + kr · sr−1 + kr−1 · sr−2 + . . . + k2 · s + k1. (7.45)

Durch Verwendung eines linearen, dynamischen Vorfilters:

ν ′ = y(r)d + kr · y(r−1)

d + kr−1 · y(r−2)d + . . . + k2 · yd + k1 · yd (7.46)

mit der Ubertragungsfunktion:

ν ′(s)Yd(s)

= sr + kr · sr−1 + kr−1 · sr−2 + . . . + k2 · s + k1 (7.47)

zur Erzeugung des Steuersignals ν ′ aus der Soll-Trajektorie yd und ihren Zeitableitungenyd, yd, . . . , y

(r)d wird ein ideales Ubertragungsverhalten zwischen Eingang yd und Ausgang y

realisiert, was eine Verkettung der Ubertragungsfunktionen aus Gl. (7.45) und Gl. (7.47) zeigt:

Y (s)Yd(s)

=Y (s)ν ′(s)

· ν ′(s)Yd(s)

=sr + kr · sr−1 + kr−1 · sr−2 + . . . + k1

sr + kr · sr−1 + kr−1 · sr−2 + . . . + k1≡ 1 . (7.48)

Aus den Gln. (7.44) und (7.46) mit e := yd − y wird die Fehlerdifferentialgleichung gebildet,welche die Dynamik der Folgeregelung beschreibt:

e(r) + kr · e(r−1) + kr−1 · e(r−2) + . . . + k2 · e + k1 · e . (7.49)

Folgt der Ausgang y exakt der Soll-Trajektorie yd, damit ist e ≡ 0, wird der Eingang derIntegratorkette ν ′ durch die r-fache Zeitableitung y

(r)d gesteuert.

Eine Abweichung zwischen Soll und Ist wird mit der Dynamik von Gl. (7.49) ausgeregelt, welcheder Polvorgabe sP1, ..., sPr aus Schritt 3 entspricht.

Die Zusammenfassung der obengenannten Schritte ergibt den folgenden Regelalgorithmus:

zi(x) := Li−1f h(x) mit i = 1, . . . , r − 1 , (7.50a)

7.3 Nichtlinearer Reglerentwurf fur einen servohydraulischen Linearantrieb 145

αx(x) := Lrfh(x) , (7.50b)

βx(x) := LgLr−1f h(x) , (7.50c)

u = β−1x (x) · [ν − αx(x)] , (7.50d)

ν = ν ′ − kr · zr − kr−1 · zr−1 − . . .− k2 · z2 − k1 · z1 und (7.50e)

ν ′ = y(r)d + kr · y(r−1)

d + kr−1 · y(r−2)d + . . . + k2 · yd . + k1 · yd . (7.50f)

Der nichtlineare Kompensationsregler (7.40) bzw. (7.50d), die lineare Zustandsvektorruckfuhrung(7.42) bzw. (7.50e) und das lineare dynamische Vorfilter (7.46) bzw. (7.50f) lassen sich zusam-menfassen zu:

u = βx(x)−1 ·[y

(r)d − αx(x) +

r∑

l=1

kl ·(y

(l−1)d − zl(x)

)]. (7.51)

Die wesentliche Aufgabe des Reglerentwurfs besteht demnach in der Berechnung der Lie-Ableitungen Li

fh(x) und LgLi−1f h(x) mit i = 1, . . . , r.

Weitere Schritte zur Untersuchung der internen Dynamik

Fur die Untersuchung der internen Dynamik wird zunachst die Byrnes-Isidori-Normalform (7.26)des Streckenmodells (7.3) mit der nichtlinearen Zustandstransformation (7.25) bestimmt, aus derdann die interne Dynamik (7.35) abgelesen wird.

7.3 Nichtlinearer Reglerentwurf fur einen servohydraulischenLinearantrieb

In diesem Unterkapitel wird der Entwurf folgender nichtlinearer Regelalgorithmen beschrieben:

• NLB3ORnichtlinearer Folgeregler basierend auf den nichtlinearen, reduzierten Modellgleichungen 3.Ordnung mit linearem, statischen Ventilmodell, mit linearem Bypassmodell und ohne Modelleines Fundaments (siehe Unterkapitel 7.3.1),

• NLBF5ORnichtlinearer Folgeregler basierend auf den nichtlinearen, reduzierten Modellgleichungen 5.Ordnung mit linearem, statischen Servoventilmodell und mit linearen Modellen fur Funda-ment und Bypass; (siehe Unterkapitel 7.3.2),

• (NLBF6OR)nichtlinearer Folgeregler basierend auf den nichtlinearen, reduzierten Modellgleichungen 6.Ordnung mit linearem Servoventilmodell 1. Ordnung und mit linearen Modellen fur Funda-ment und Bypass (siehe Unterkapitel 7.3.3) und

• (NLBF8OR)nichtlinearer Folgeregler basierend auf den nichtlinearen, reduzierten Modellgleichungen 8.Ordnung mit linearem Servoventilmodell 3. Ordnung und mit linearen Modellen fur Funda-ment und Bypass (siehe Unterkapitel 7.3.4).

Der Regler NLB3OR ist der einfachste nichtlineare Kompensationsregler. Mit dem Reg-ler NLBF5OR kommt ein Modell des Fundaments hinzu. In den Reglern NLBF6OR undNLBF8OR werden zusatzlich lineare Dynamiken 1. und 3.Ordnung der Servoventilansteue-rung berucksichtigt.


7.3.1 Nichtlinearer Reglerentwurf fur nichtlineare reduzierte Modellglei-chungen mit statischem Ventilmodell ohne Modell des Fundaments

Die nichtlinearen, reduzierten Modellgleichungen (4.25) bis (4.32) aus Kapitel 4.3 werden wiefolgt zu einem System 3. Ordnung (n = 3) modifiziert :

• statisches Ventilmodell

xV = kV · kM · uM , (7.52a)

• Nulluberdeckung des Servoventils

xu = 0 , (7.52b)

• kein turbulenter Bypass

kBP = 0 und (7.52c)

• Last-Mechanik des servohydraulischen Antriebs ohne Einfluss des Fundaments

mk · xka + dk · xka = Ak · pL + mk · g . (7.52d)

Beim Aufbau des Zustandsvektors x := [x1, x2, x3]T aus den Zustandsvariablen:

x1 := xka (Zylinderkolbenauslenkung),x2 := xka (Zylinderkolbengeschwindigkeit) und (7.53)x3 := pL (Lastdruck)

entsteht eine nichtlineare Zustandsraumdarstellung gemaß der Form der Gleichung (7.3):

x1

x2

x3

=

f1(x)f2(x)f3(x)

+

g1(x)g2(x)

g3(x, u)

· u (7.54a)

y = h(x) = x1 = xka . (7.54b)

mit den Komponenten der Systemoperatoren f und g

f1(x) := x2 , g1(x) := 0 ,

f2(x) :=Ak

mk·x3 − dk

mk·x2 + g , g2(x) := 0 , (7.54c)

f3(x) := − Ak

CH·x2 − kLE

CH·x3 , g3(x, u) := q∗L(x3, u)

und mit der modifizierten Form q∗L(x3, u) des nichtlinearen Lastflusses qL(pL, xV ) aus Gl. (4.28)unter Berucksichtigung eines statischen Ventilmodells Gl. (7.52a) und der Nulluberdeckung desServoventils Gl. (7.52b):

q∗L(x3, u) :=1

CH· qL(x3, kV ·kM ·u)

u(7.54d)

= 2·kL ·kV ·kM ·√|p0 − x3 · sign(u)| · sign(p0 − x3 · sign(u)).


+

x2Ak

mk

g

x3

u x3

x2

Ak

CH

∫

dk

mk

∫

kLE

CH

x3

x3

− −Eingangder Strecke

Ausgangder Strecke

u −+

y = x1x1

nichtlinearer reduzierterDruckaufbau

Lastmechanik

Multiplikation+

(7.54d)

q∗L(x3, u)

∫

Bild 7.1: Blockschaltbild des Streckenmodells aus Gl. (7.54) mit laminarem Bypass kLE undohne Modell eines Fundaments

Das Blockschaltbild des Streckenmodells aus Gleichung (7.54) ist im Bild 7.1 dargestellt.

Fur den Entwurf des Regelalgorithmus wird der relative Grad r des Streckenmodells Gl. (7.54)bestimmt. Hierzu werden wie in Gl. (7.17) die Lie-Ableitungen Li

fh(x) und LgLi−1f h(x) fur

i = 1, . . . , r berechnet, bis erstmals LgLr−1f h(x) 6= 0 ist:

L0fh(x) = h(x)

= x1 , (7.55a)

L1fh(x) = (∇h(x)) · f(x)

=[∂h(x)∂x1

,∂h(x)∂x2

,∂h(x)∂x3

]·

f1(x)f2(x)f3(x)

= [1, 0, 0] ·

f1(x)f2(x)f3(x)

= f1(x) = x2 , (7.55b)

LgL0fh(x) = (∇h(x)) · g(x)

=[∂h(x)∂x1

,∂h(x)∂x2

,∂h(x)∂x3

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)

= [1, 0, 0] ·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)

= g1(x) = 0 , (7.55c)

L2fh(x) =

(∇L1fh(x)

) · f(x)

=

[∂L1

fh(x)∂x1

,∂L1

fh(x)∂x2

,∂L1

fh(x)∂x3

]·

f1(x)f2(x)f3(x)


= [0, 1, 0] ·

f1(x)f2(x)f3(x)

= f2(x) =Ak

mk· x3 − dk

mk· x2 + g , (7.55d)

LgL1fh(x) = (∇Lfh(x)) · g(x)

=

[∂L1

fh(x)∂x1

,∂L1

fh(x)∂x2

,∂L1

fh(x)∂x3

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)

= [0, 1, 0] ·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)

= g2(x) = 0 , (7.55e)

L3fh(x) =

(∇L2fh(x)

) · f(x)

=

[∂L2

fh(x)∂x1

,∂L2

fh(x)∂x2

,∂L2

fh(x)∂x3

]·

f1(x)f2(x)f3(x)

=[0, − dk

mk,

Ak

mk

]·

f1(x)f2(x)f3(x)

= − dk

mk· f2(x) +

Ak

mk· f3(x)

=[

d2k

m2k

− A2k

CH ·mk

]·x2 − Ak

mk·[

dk

mk+

kLE

CH

]·x3 − dk

mk·g und (7.55f)

LgL2fh(x) = (∇L2

fh(x)) · g(x)

=

[∂L2

fh(x)∂x1

,∂L2

fh(x)∂x2

,∂L2

fh(x)∂x3

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)

=[0, − dk

mk,

Ak

mk

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)

=Ak

mk·g3(x, u) =

Ak

mk·q∗L(x3, u) . (7.55g)

Der relative Grad r des Streckenmodells Gl. (7.54) ist gleich der Systemordnung n:

r = 3 = n . (7.56)

In diesem Falle existiert ein nichtlinearer Kompensationsregler, welcher das Streckenmodell zwi-schen Ein- und Ausgang komplett durch eine nichtlineare Zustandsvektorruckfuhrung lineari-siert. Es gibt keine interne Dynamik.

Der Regelalgorithmus, bestehend aus dem nichtlinearen Kompensationsregler, der linearen Zu-standsvektorruckfuhrung und dem linearen, dynamischen Vorfilter, lautet:

z1(x) := h(x) = x1 , (7.57a)


z2(x) := L1fh(x) = x2 , (7.57b)

z3(x) := L2fh(x) =

Ak

mk· x3 − dk

mk· x2 + g , (7.57c)

αx(x) := L3fh(x) =

[d2

k

m2k

− A2k

CH ·mk

]·x2 − Ak

mk·[

dk

mk+

kLE

CH

]·x3 − dk

mk·g , (7.57d)

βx(x, u) := LgL2fh(x) =

Ak

mk·q∗L(x3, u) , (7.57e)

u = β−1x (x, u) · [ν − αx(x)] (nichtlinearer Kompensationsregler) , (7.57f)

ν = ν ′ − k3 · z3 − k2 · z2 − k1 · z1 (lineare Zustandsvektorruckfuhrung) und (7.57g)ν ′ =

...y d + k3 · yd + k2 · yd + k1 · yd (lineares, dynamisches Vorfilter) . (7.57h)

Der gesamte Regelkreis ist im Bild 7.2 dargestellt.

Bemerkung 7.5 (Nichtlinearer Kompensationsregler): Entgegen der Standardform die-ser nichtlinearen Regelalgorithmen hangt die Abbildung βx(x, u) aus Gleichung (7.57e) vomEingang u ab. Um dieses Problem bei der Reglerimplementierung zu umgehen, wird auf denvorherigen Wert u(t − dT ) als eine Approximation fur u(t) zuruckgegriffen mit dT als Abtast-zeit.

Im folgenden wird gezeigt, wie der nichtlineare Kompensationsregler auch aus der Byrnes-Isidori-Normalform entwickelt werden kann. Die lineare Zustandsvektorruckfuhrung und das lineare,dynamische Vorfilter bleiben unverandert.

Der Zustandsvektor z der Byrnes-Isidori-Normalform (7.26) setzt sich fur das gegebene Strecken-modell (7.54) nur aus den Zustanden des Ein-/Ausgangs-Teils µ zusammen:

z := [z1, z2, z3]T = [µ1, µ2, µ3]T . (7.58)

Die Zustandstransformation Φ(x), siehe Gl. (7.25), lautet:

z =

∣∣∣∣∣∣

z1

z2

z3

∣∣∣∣∣∣= Φ(x) :=

∣∣∣∣∣∣

φ1(x)φ2(x)φ3(x)

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

yyy

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

L0fh(x)

L1fh(x)

L2fh(x)

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

x1

x2Akmk

· x3 − dkmk

· x2 + g

∣∣∣∣∣∣. (7.59)

Die Inverse Φ−1(z) lautet:

x =

∣∣∣∣∣∣

x1

x2

x3

∣∣∣∣∣∣= Φ−1(z) =

∣∣∣∣∣∣

z1

z2mkAk· z3 + dk

Ak· z2 − mk

Ak· g

∣∣∣∣∣∣. (7.60)


z =

∣∣∣∣∣∣

z1

z2

z3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

z2

z3

α(z) + β(z, u) · u

∣∣∣∣∣∣(7.61a)


−

+

+ +

ν′

1 k3

k2

k1

+ + +

β−1 x

(x,u

)

z 2z 1

z 3

−

++

+

ν+

x2

x3

x2

Ak

mk

g

x3

ux

3

x2

Ak

CH

∫ dk

mk

∫

kL

E

CH

x3

x1

u

x3

x2 x2

x3

−++

−

− +

der

Str

ecke

Ausg

ang

y=

x1

x1

x1

z 3 z 2 z 1

x3

x2

nic

htlin

eare

Zust

andst

ransf

orm

atio

n

x3

x2

x1

q∗ L(x

3,u

)α

x( x

)(7

.57d

)

(7.5

7e)

(7.5

4d) (7

.57c

)(7

.57b

)(7

.57a

)

Gl.

(7.5

7g)

ruck

fuhru

ng

Zust

andsv

ekto

r-lin

eare

Gl.

(7.5

7f)

regl

erK

ompen

sati

ons-

nic

htlin

eare

r

Gl.

(7.5

4)Str

ecke

nm

odel

lnic

htlin

eare

s

... yd y d y d y d

Gl.

(7.5

7h)

Vor

filte

rdyn

amis

ches

linea

res,

Soll-Trajektorie

k1

k2

k3

∫

z=

Φ(x

)

Bild

7.2:

Blo

ckdi

agra

mm

des

gesa

mte

nR

egel

krei

ses,

best

ehen

dau

sde

mSt

reck

enm

odel

l(7

.54)

,de

mni

chtl

inea

ren

Kom

pens

atio

nsre

gler

(7.5

7f),

der

linea

ren

Zus

tand

svek

torr

uckf

uhru

ng(7

.57g

)un

dde

mlin

eare

n,dy

nam

isch

enV

orfil

ter

(7.5

7h)


mit

α(z) := L3f h(x)

∣∣x=Φ−1(z)

(7.61b)

=−[

A2k

CH ·mk+

dk

mk· kLE

CH

]·z2−

[dk

mk+

kLE

CH

]·z3+

kLE

CH·g und

β(z, u) := LgL2f h(x)

∣∣x=Φ−1(z)

(7.61c)

=Ak

mk· q∗L

(mk

Ak· z3 +

dk

Ak· z2 − mk

Ak· g, u

)

= 2·kL ·kV ·kM · Ak

mk·√|ξ| · sign (ξ)

mit ξ := p0−(

mk

Ak·z3+

dk

Ak·z2−mk

Ak·g

)·sign(u) .

Der Ausgang y entspricht dem ersten Zustand z1.

Das Blockschaltbild des Streckemodells (7.54) in Byrnes-Isidori-Normalform (7.61) ist im Bild7.3 dargestellt. Eine Integratorkette ist zu erkennen.

+

∫ ∫z3 ∫ z3 z2

+

z2 z3

z2 z3

(Integratorkette)

y = z1

Eingangder Strecke

Ausgangder Strecke

u

(7.61c)

β(z, u)

α(z)(7.61b)

Bild 7.3: Blockschaltbild des Streckenmodells (7.54) in Byrnes-Isidori-Normalform (7.61)

Der nichtlineare Kompensationsregler fur die gegebene Strecke in Byrnes-Isidori-Normalform(7.61) lautet:

u = β(z, u)−1 · [ν − α(z)] . (7.62)

Durch Anwenden des nichtlinearen Ruckfuhrgesetzes Gl. (7.62) auf die Normalform Gl. (7.61):

z =

∣∣∣∣∣∣

z1

z2

z3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

z2

z3

ν

∣∣∣∣∣∣(7.63)

ergibt sich eine 3-fache Integratorkette:

...y =

...z 1 = ν . (7.64)



∫∫

z 3y

=z 3

y=

z 2

−

+

+ +

ν′

1 k3

k2

k1

+ + +

++

y=

z 1β−1

(z,u

)u

z 2z 1

z 3

−

++

+

ν+

z 1z 2z 2 z 1z 3

z 3

z 3z 2

z 1

der

Str

ecke

Ausg

ang

(7.6

1c)

α(z

)(7

.61b

)

β(z

,u)

Gl.

(7.5

7g)

Gl.

(7.6

2)G

l.(7

.61)

Zust

andsv

ekto

r-ru

ckfu

hru

ng

linea

renic

htlin

eare

r

regl

erK

ompen

sati

ons-

(Int

egra

tork

ette

)in

Nor

mal

form

dar

stel

lung

nic

htlin

eare

sStr

ecke

nm

odel

l

Gl.

(7.5

7h)

Vor

filte

rdyn

amis

ches

linea

res,

y dy dy d... yd

Soll-Trajektorie

∫

k1

k2

k3

α(z

)

Bild

7.4:

Blo

ckdi

agra

mm

des

gesa

mte

nR

egel

krei

ses,

best

ehen

dau

sde

min

Nor

mal

form

darg

este

llten

Stre

cken

mod

ell(7

.61)

,de

mni

cht-

linea

ren

Kom

pens

atio

nsre

gler

( 7.6

2),de

rlin

eare

nZus

tand

svek

torr

uckf

uhru

ng(7

.57g

)un

dde

mlin

eare

ndy

nam

isch

enV

orfil

ter

(7.5

7h)


7.3.2 Nichtlinearer Reglerentwurf fur die nichtlinearen reduzierten Modell-gleichungen bei statischem Ventilmodell mit Modell des Fundaments

Die nichtlinearen, reduzierten Modellgleichungen (4.25) bis (4.32) aus Kapitel 4.3 werden wiefolgt modifiziert :


xV = kV · kM · uM und (7.65a)


xu = 0 . (7.65b)

Es entsteht eine Strecke 5. Ordnung (n = 5).

Beim Aufbau des Zustandsvektors x := [x1, x2, x3, x4, x5]T aus den Zustandsvariablen:

x1 := xka (Zylinderkolbenauslenkung),x2 := xka (Zylinderkolbengeschwindigkeit),x3 := pL (Lastdruck), (7.66)x4 := xG (Verschiebung des Fundaments) undx5 := xG (Geschwindigkeit des Fundaments)


x1

x2

x3

x4

x5

=

f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)f5(x)

+

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x)g5(x)

· u (7.67a)

y = h(x) = x1 = xka . (7.67b)


f1(x) := x2 , g1(x) := 0 ,

f2(x) :=Ak

mk·x3 − dk

mk·(x2 − x5) + g , g2(x) := 0 ,

f3(x) := − Ak

CH·(x2 − x5)− kLE

CH·x3 , g3(x, u) := q∗L(x3, u) , (7.67c)

f4(x) := x5 , g4(x) := 0 ,

f5(x) :=dk

mG·(x2 − x5)− Ak

mG·x3 − dG

mG·x5 − cG

mG·x4 , g5(x) := 0

und der nichtlinearen Flussfunktion des Servoventils q∗L(x3, u) aus Gl. (7.54d).

Das Blockschaltbild des Streckenmodells (7.67) ist in dem Bild 7.5 dargestellt.

Fur den Entwurf des Regelalgorithmus wird der relative Grad r des Streckenmodells Gl. (7.67)bestimmt. Hierzu werden wie in Gl. (7.17) die Lie-Ableitungen Li



L0fh(x) = h(x)


cG

mG

dG

mG

dk

mG

∫

dk

mk

∫

∫

Ak

CH

∫

kLE

CH

x3

−∫

+

+

+

−Ak

mk

g

x2

x5

Lastmechanik

x2

x5

+ −

−

x3u

Druckaufbau

(keine Integratorkette)

+

−

+

+

+

Mechanik desFundaments

x4

Ausgangder Strecke

x1 y = x1

Eingangder Strecke

u

q∗L(x3, u)(7.54d)

− Ak

mG

Bild 7.5: Blockschaltbild des Streckenmodells (7.67)

= x1 , (7.68a)

L1fh(x) = (∇h(x)) · f(x)

=[∂h(x)∂x1

,∂h(x)∂x2

,∂h(x)∂x3

,∂h(x)∂x4

,∂h(x)∂x5

]·


= [1, 0, 0, 0, 0] ·


= f1(x) = x2 , (7.68b)

LgL0fh(x) = (∇h(x)) · g(x)

=[∂h(x)∂x1

,∂h(x)∂x2

,∂h(x)∂x3

,∂h(x)∂x4

,∂h(x)∂x5

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x)g5(x)


= [1, 0, 0, 0, 0] ·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x)g5(x)

= g1(x) = 0 , (7.68c)

L2fh(x) = (∇L1

fh(x)) · f(x)

=

[∂L1

fh(x)∂x1

,∂L1

fh(x)∂x2

,∂L1

fh(x)∂x3

,∂L1

fh(x)∂x4

,∂L1

fh(x)∂x5

]·


= [0, 1, 0, 0, 0] ·


= f2(x) =Ak

mk· x3 − dk

mk· (x2 − x5) + g , (7.68d)


=

[∂L1

fh(x)∂x1

,∂L1

fh(x)∂x2

,∂L1

fh(x)∂x3

,∂L1

fh(x)∂x4

,∂L1

fh(x)∂x5

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x)g5(x)

= [0, 1, 0, 0, 0] ·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x)g5(x)

= g2(x) = 0 , (7.68e)

L3fh(x) = (∇L2

fh(x)) · f(x)

=

[∂L2

fh(x)∂x1

,∂L2

fh(x)∂x2

,∂L2

fh(x)∂x3

,∂L2

fh(x)∂x4

,∂L2

fh(x)∂x5

]·


=[0, − dk

mk,

Ak

mk, 0,

dk

mk

]·


= − dk

mk· f2(x) +

Ak

mk· f3(x) +

dk

mk· f5(x)


= −Ak

mk·[kLE

CH+

dk

mk+

dk

mG

]·x3 − dk ·cG

mk ·mG·x4 +

dk

mk·g (7.68f)

− dk ·dG

mk ·mG·x5 +

1mk

·[

d2k

mk+

d2k

mG− A2

k

CH

]·(x2 − x5) und

LgL2fh(x) = (∇L2

fh(x)) · g(x)

=

[∂L2

fh(x)∂x1

,∂L2

fh(x)∂x2

,∂L2

fh(x)∂x3

,∂L2

fh(x)∂x4

,∂L2

fh(x)∂x5

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x)g5(x)

=[0, − dk

mk,

Ak

mk, 0,

dk

mk

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x)g5(x)

= − dk

mk· g2(x) +

Ak

mk· g3(x, u) +

dk

mk· g5(x)

=Ak

mk·q∗L(x3, u) . (7.68g)

Der relative Grad r des Streckenmodell Gl. (7.67) ist kleiner als die Systemordnung n:

r = 3 < n = 5. (7.69)

Bemerkung 7.6 (Interne Dynamik): Beim Aufschalten des nichtlinearen Kompensations-regler entsteht eine interne Dynamik 2. Ordnung.

Der Regelalgorithmus, bestehend aus dem nichtlinearen Kompensationsregler, der linearen Zu-standsvektorruckfuhrung und dem linearen, dynamischen Vorfilter, lautet:

z1(x) := h(x) = x1 , (7.70a)

z2(x) := L1fh(x) = x2 , (7.70b)

z3(x) := L2fh(x) =

Ak

mk· x3 − dk

mk· (x2 − x5) + g , (7.70c)

αx(x) := L3fh(x) = −Ak

mk·[kLE

CH+

dk

mk+

dk

mG

]·x3 − dk ·cG

mk ·mG·x4 +

dk

mk·g (7.70d)

− dk ·dG

mk ·mG·x5 +

1mk

·[

d2k

mk+

d2k

mG− A2

k

CH

]·(x2 − x5) ,


Ak

mk·q∗L(x3, u) , (7.70e)

u = [ν − αx(x)] · β−1x (x, u) (nichtlinearer Kompensationsregler) , (7.70f)

ν = ν ′ − k3 · z3 − k2 · z2 − k1 · z1 (lineare Zustandsvektorruckfuhrung) und (7.70g)ν ′ =

...y d + k3 · yd + k2 · yd + k1 · yd (lineares, dynamisches Vorfilter) . (7.70h)



+ −1 k3

k2

k1

Ak

CH ∫ k

LE

CH

x3

−∫

+

++

+

y=

x1

+

−A

k

mk

g

x2

x5

x4

x1

x1

x2

x3

x5

x4

z 1z 2z 3

Las

tmec

han

ik

+−−

ν

nic

htlin

eare

Zust

andst

ransf

orm

atio

n

x3

u

Dru

ckau

fbau

u

x3

x5

x2

x4

−

+ν

z 3z 2

z 1

+++

−+

y=

z 3=

x2

y=

z 2=

x2

y=

z 1=

x1

Fundam

ents

Mec

han

ikdes

q∗ L(x

3,u

)(7

.54d

)

x2

x5

(7.7

0d)

αx(x

)

(7.7

0h)

Vor

filte

rdyn

amis

ches

linea

res,

(7.7

0g)

ruck

fuhru

ng

Zust

andsv

ekto

r-lin

eare

nic

htlin

eare

rK

ompen

sati

ons-

regl

er(7

.70f

)G

l.(7

.67)

mit

Mod

elldes

Fundam

ents

serv

ohyd

raulis

chen

Ant

rieb

snic

htlin

eare

sStr

ecke

nm

odel

ldes

z=

Φ(x

)(7

.70b

)(7

.70a

)

(7.7

0c)

(7.7

0e)

β−1 x

(x)

+ +

+ + +

y dy dy d... yd

ν′

Soll-Trajektorie

−A

k

mG

c G mG

dG

mG

dk

mG

∫

dk

mk

∫ ∫k

2k

1k

3

Bild

7.6:

Blo

ckdi

agra

mm

des

gesa

mte

nR

egel

krei

ses,

best

ehen

dau

sde

mSt

reck

enm

odel

l(7

.67)

,de

mni

chtl

inea

ren

Kom

pens

atio

nsre

gler

(7.7

0f),

der

linea

ren

Zus

tand

svek

torr

uckf

uhru

ng(7

.70g

)un

dde

mlin

eare

n,dy

nam

isch

enV

orfil

ter

(7.7

0h)


Bemerkung 7.7 (Nichtlinearer Kompensationsregler): Entgegen der Standardform die-ser nichtlinearen Regelalgorithmen hangt die Abbildung βx(x, u) aus Gleichung (7.70e) vomEingang u ab. Um dieses Problem bei der Reglerimplementierung zu umgehen, wird auf denvorherigen Wert u(t − dT ) als eine Approximation fur u(t) zuruckgegriffen mit dT als Abtast-zeit.

Zur Untersuchung der internen Dynamik wird im folgenden das gegebene Streckenmodell in derByrnes-Isidori-Normalform dargestellt.

Der Zustandsvektor z der Byrnes-Isidori-Normalform (7.26) setzt sich fur das gegebene Strecken-modell (7.67) aus den drei Zustanden des Eingangs-/Ausgangs-Teils µ und aus zwei Zustandender internen Dynamik Ψ zusammen:

z := [z1, z2, z3, z4, z5]T = [µ1, µ2, µ3, Ψ1, Ψ2]T . (7.71)

Mit der Wahl

z4 = Ψ1 := x4 (7.72a)z5 = Ψ2 := x5 (7.72b)

entsteht die Zustandstransformation Φ(x) nach Gl. (7.25) :

z = Φ(x) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

φ1(x)φ2(x)φ3(x)φ4(x)φ5(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

yyy

Ψ1

Ψ2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

L0fh(x)

L1fh(x)

L2fh(x)Ψ1

Ψ2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1

x2Akmk

· x3 − dkmk

· (x2 − x5) + g

x4

x5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (7.73)


x = Φ−1(z) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1

z2mkAk· z3 + dk

Ak· (z2 − z5)− mk

Ak· g

z4

z5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (7.74)

Bemerkung 7.8 (Test von Φ auf Regularitat):Die Jacobi-Matrix der Zustandstransformation Φ

∂Φ(x)∂x

=

∂Φ1(x)∂x1

, ∂Φ1(x)∂x2

, ∂Φ1(x)∂x3

, ∂Φ1(x)∂x4

, ∂Φ1(x)∂x5

∂Φ2(x)∂x1

, ∂Φ2(x)∂x2

, ∂Φ2(x)∂x3

, ∂Φ2(x)∂x4

, ∂Φ2(x)∂x5

∂Φ3(x)∂x1

, ∂Φ3(x)∂x2

, ∂Φ3(x)∂x3

, ∂Φ3(x)∂x4

, ∂Φ3(x)∂x5

∂Φ4(x)∂x1

, ∂Φ4(x)∂x2

, ∂Φ4(x)∂x3

, ∂Φ4(x)∂x4

, ∂Φ4(x)∂x5

∂Φ5(x)∂x1

, ∂Φ5(x)∂x2

, ∂Φ5(x)∂x3

, ∂Φ5(x)∂x4

, ∂Φ5(x)∂x5

=

1, 0, 0, 0, 00, 1, 0, 0, 00, −dk

mk, Ak

mk, 0, dk

mk

0, 0, 0, 1, 00, 0, 0, 0, 1

(7.75)

ist regular fur

det∂Φ(x)

∂x=

Ak

mk6= 0 . (7.76)



z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1

z2

z3

. .z4

z5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z2

z3

α(z) + β(z) · u. . . . . . . . . . . . . .

w1(z, u)w2(z, u)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

bzw.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ1

µ2

µ3

. . .

Ψ1

Ψ2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ2

µ3

α(µ,Ψ) + β(µ,Ψ) · u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

w1(µ,Ψ, u)w2(µ,Ψ, u)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(7.77a)

mit

α(z) := L3f h(x)

∣∣x=Φ−1(z)

(7.77b)

= −[kLE

CH+

dk

mk+

dk

mG

]· z3 −

[kLE

CH· dk

mk+

A2k

CH ·mk

]· (z2−z5) +

kLE

CH· g

− dk ·cG

mk ·mG·z4 − dk ·dG

mk ·mG·z5 ,

β(z, u) := LgLr−1f h(x)

∣∣∣x=Φ−1(z)

(7.77c)

=Ak

mk· q∗L

(mk

Ak· z3 +

dk

Ak· (z2 − z5)− mk

Ak· g, u

)

= 2·kL ·kV ·kM · Ak

mk·√|ξ| · sign (ξ)

mit ξ := p0−(

mk

Ak·z3+

dk

Ak·(z2−z5)−mk

Ak·g

)·sign(u)

und

w1(z, u) := z5 (7.77d)

w2(z, u) := − cG

mG· z4 − dG

mG· z5 +

mk

mG· (g − z3) (7.77e)

bzw.

w1(µ,Ψ, u) := Ψ2 (7.77f)

w2(µ,Ψ, u) := − cG

mG·Ψ1 − dG

mG·Ψ2 +

mk

mG· (g − µ3) . (7.77g)

Der Ausgang y entspricht dem ersten Zustand z1.

Das Blockschaltbild des Streckenmodells (7.67) in Byrnes-Isidori-Normalform (7.77) ist im Bild7.7 dargestellt.

Der nichtlineare Kompensationsregler fur die gegebene Strecke in Normalform (7.77) lautet:

u = β(z, u)−1 · [ν − α(z)] . (7.78)

Durch Anwenden des nichtlinearen Ruckfuhrgesetzes Gl. (7.78) auf die Normalform Gl. (7.77):

z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1

z2

z3

. .z4

z5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z2

z3

ν. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

z5

− cGmG

· z4 − dGmG

· z5 + mkmG

· (g − z3)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(7.79)


z3 ∫ z3u

(Integratorkette)

∫ z2

z5

∫

∫ z4

y = z1

+ +

−

+

+

−+

g

+

mk

mG

∫

dG

mG

cG

mG

z5

z4

z3

z2

α(z)(7.77b)

(7.77c)β(z, u)

Bild 7.7: Blockschaltbild des Streckenmodells (7.67) in Byrnes-Isidori-Normalform (7.77)

bzw.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ1

µ2

µ3

. . .

Ψ1

Ψ2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ2

µ3

ν. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ψ2

− cGmG

·Ψ1 − dGmG

·Ψ2 + mkmG

· (g − µ3)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(7.80)


...y =

...z 1 =

...µ1 = ν . (7.81)


Die interne Dynamik wird beschrieben durch :

z4 = z5 (7.82a)

z5 = − cG

mG· z4 − dG

mG· z5 +

mk

mG· (g − z3) (7.82b)

bzw.

Ψ1 = Ψ2 (7.83a)

Ψ2 = − cG

mG·Ψ1 − dG

mG·Ψ2 +

mk

mG· (g − µ3) (7.83b)


+ +

u′′

1 k3

k2

k1

+ + +

z 2z 1

z 3

−

++

+

u′

+

Str

ecke

nm

odel

lin

Nor

mal

form

z 3∫

z 3∫

z 2 z 5

∫ ∫

++

− ++− +g

+

mk

mG

∫ dG

mG

c G mG

z 2 z 1z 3

z 5 z 4 z 3 z 2

u

−

+ α(z

)

β−1

(z,u

)

Dynam

ikin

tern

e

z 4

(Int

egra

tork

ette

)

z 4

y=

z 1

α(z

)(7

.77b

)

(7.7

0g)

ruck

fuhru

ng

Zust

andsv

ekto

rlin

eare

Kom

pen

sati

ons-

(7.7

0f)

regl

er

nic

htlin

eare

r

(7.7

7)

(7.7

7c)

β(z

,u)

... yd y d y d y d

(7.7

0h)

Vor

filte

rdyn

amis

ches

linea

res,

Soll-Trajektorie

k1

k2

k3

z 5 z 4 z 3 z 2 z 1

z 5 z 4 z 3 z 2 z 1

Bild

7.8:

Blo

ckdi

agra

mm

des

gesa

mte

nR

egel

krei

ses

best

ehen

dau

sde

min

Nor

mal

form

darg

este

llten

Stre

cken

mod

ell(7

.77)

,de

mni

cht-

linea

ren

Kom

pens

atio

nsre

gler

( 7.7

8),de

rlin

eare

nZus

tand

svek

torr

uckf

uhru

ng(7

.70g

)un

dde

mlin

eare

n,dy

nam

isch

enV

orfil

ter

(7.7

0h)


oder in physikalischen Zustanden Ψ1 = xG, Ψ2 = xG und µ3 = pL ergibt sich folgende Differen-tialgleichung 2. Ordnung :

xG +dG

mG· xG +

cG

mG· xG =

mk

mG· (g − µ3) (7.84)

eines Massen-Feder-Dampfer-Systems.Die interne Dynamik ist das Massen-Feder-Dampfer-System des Fundaments, das durch denLastdruck pL erregt wird (vgl. Bild 7.9). Die interne Dynamik ist somit stabil.

z5

∫ z3 ∫ z2 ∫

∫ z4

y = z1

−

+

+

−+

g

+

mk

mG

∫

dG

mG

cG

mG

interneDynamik

ν = z3

(Integratorkette)

z5 z4 z4

z4

z5

Bild 7.9: Blockschaltbild der kompensierten Modellgleichungen (7.79) mit interner Dynamik(7.82)

7.3.3 Nichtlinearer Reglerentwurf fur die nichtlinearen reduzierten Modell-gleichungen mit linearem Ventilmodell 1. Ordnung und Modell des Fun-daments

Die nichtlinearen, reduzierten Modellgleichungen (4.25) bis (4.32) aus Kapitel 4.3 werden wiefolgt modifiziert :

• lineares Ventilmodell 1. Ordnung

xV + aM · xV = kV · kM · aM · uM und (7.85a)


xu = 0 . (7.85b)

Es entsteht eine Strecke 6. Ordnung (n = 6).

Beim Aufbau des Zustandsvektors x := [x1, x2, x3, x4, x5, x6]T aus den Zustandsvariablen:

x1 := xV (Ventilweg),


x2 := xka (Zylinderkolbenauslenkung),x3 := xka (Zylinderkolbengeschwindigkeit),x4 := pL (Lastdruck), (7.86)x5 := xG (Verschiebung des Fundaments) undx6 := xG (Geschwindigkeit des Fundaments)

entsteht die folgende nichtlineare Zustandsraumdarstellung:

x1

x2

x3

x4

x5

x6

=

f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)f5(x)f6(x)

+

g1(x)g2(x)g3(x)g4(x)g5(x)g6(x)

· u (7.87a)

y = h(x) = x2 = xka (7.87b)


f1(x) := −aM ·x1 , g1(x) := kV ·kM ·aM , (7.87c)f2(x) := x3 , g2(x) := 0 , (7.87d)

f3(x) :=Ak

mk·x4− dk

mk·(x3 − x6)+g , g3(x) := 0 , (7.87e)

f4(x) := q∗(x4, x1)− Ak

CH·(x3 − x6) , g4(x) := 0 , (7.87f)

f5(x) := x6 , g5(x) := 0 , (7.87g)

f6(x) :=dk

mG·(x3−x6)− Ak

mG·x4− dG

mG·x6− cG

mG·x5 , g6(x) := 0 (7.87h)

und der nichtlinearen Flussfunktion:

q∗(x4, x1) :=1

CH· qL(x4, x1)− 1

CH· qBPLred

(x4)

= 2·kL ·√|p0 − sign(x1)·x4|·sign (p0 − sign(x1)·x4) · x1 − kLE

CH·x4 . (7.87i)

Zur Bestimmung des relativen Grad r des Systems Gl. (7.87) werden die Lie-Ableitungen Lifh(x)

und LgLi−1f h(x) fur i = 1, . . . , r berechnet, bis erstmals LgL

r−1f h(x) 6= 0 ist:

L0fh(x) = h(x) = x2 , (7.88a)

L1fh(x) = (∇h(x)) · f(x) = f2(x) = x3 , (7.88b)

LgL0fh(x) = (∇h(x)) · g(x) = 0 , (7.88c)

L2fh(x) = (∇L1

fh(x)) · f(x) = f3(x) =Ak

mk·x4− dk

mk·(x3−x6)+g , (7.88d)

LgL1fh(x) = (∇Lfh(x)) · g(x) = 0 , (7.88e)

L3fh(x) = (∇L2

fh(x)) · f(x) =Ak

mk·f4(x)− dk

mk·(f3(x)−f6(x))


=1

mk·[

d2k

mk+

d2k

mG− A2

k

CH

]·(x3−x6)− Ak

mk·[

dk

mk+

dk

mG

]·x4

+Ak

mk·q∗(x4, x1)− dk ·cG

mk ·mG·x5− dk ·dG

mk ·mG·x6− dk

mk·g , (7.88f)

LgL2fh(x) = (∇L2

fh(x)) · g(x) = 0 , (7.88g)

L4fh(x) = (∇L3

fh(x)) · f(x)

=−dk

mG ·mk·[(dk+dG)

mG+

dk

mk

]·[dk ·x3−(dk+dG)·x6−cG ·x5−Ak ·x4]

+[

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

]·[

Ak

mk·x4− dk

mk·(x3−x6)+g

]− cG ·dk

mG ·mk·x6

+Ak

mk·[∂q∗(x4, x1)

∂x4+

Ak

CH− dk

mG− dk

mk

]·[q∗(x4, x1)− Ak

CH·(x3−x4)

]

− Ak

mk·aM · ∂q∗(x4, x1)

∂x1·x1 und (7.88h)

LgL3fh(x) = (∇L3

fh(x)) · g(x) =Ak

mk·aM ·kM ·kV · ∂q∗(x4, x1)

∂x1(7.88i)

mit den partiellen Ableitungen von q∗(x4, x1) nach x1 und x4

∂q∗(x4, x1)∂x1

= 2 · kL ·√|p0 − sign(x1) · x4| · sign (p0 − sign(x1) · x4) und (7.89a)

∂q∗(x4, x1)∂x4

=−kL · |x1|√

|p0 − sign(x1) · pL|− kLE

CH. (7.89b)

Der relative Grad r des Streckenmodells Gl. (7.87) ist kleiner als die Systemordnung n:

r = 4 < n = 6 . (7.90)

Bemerkung 7.9 (Interne Dynamik): Beim Aufschalten des nichtlinearen Kompensations-reglers entsteht eine interne Dynamik 2. Ordnung. Die Untersuchung der internen Dynamikentspricht der aus Kapitel 7.3.2.

Der Regelalgorithmus, bestehend aus dem nichtlinearen Kompensationsregler, dem linearen Pol-vorgaberegler und dem linearen, dynamischen Vorfilter, lautet:

z1(x) := h(x) = x2 , (7.91a)

z2(x) := L1fh(x) = x3 , (7.91b)

z3(x) := L2fh(x) =

Ak

mk·x4− dk

mk·(x3−x6)+g , (7.91c)

z4(x) := L3fh(x) =

1mk

·[

d2k

mk+

d2k

mG− A2

k

CH

]·(x3−x6)− Ak

mk·[

dk

mk+

dk

mG

]·x4

+Ak



mk ·mG·x6− dk

mk·g , (7.91d)

αx(x) := L4fh(x) =

−dk

mG ·mk·[(dk+dG)

mG+

dk

mk

]·[dk ·x3−(dk + dG)·x6−cG ·x5−Ak ·x4]


+[

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

]·[

Ak

mk·x4− dk

mk·(x3−x6)+g

]− cG ·dk

mG ·mk·x6

+Ak

mk·[∂q∗(x4, x1)

∂x4+

Ak

CH− dk

mG− dk

mk

]·[q∗(x4, x1)− Ak

CH·(x3−x4)

]

− Ak

mk·aM · ∂q∗(x4, x1)

∂x1·x1 , (7.91e)

βx(x) := LgL3fh(x) =

Ak

mk·aM ·kM ·kV · ∂q∗(x4, x1)

∂x1, (7.91f)

u = β−1x (x, u) · [ν − αx(x)] (nichtlinearer Kompensationsregler) , (7.91g)

ν = ν ′ − k4 ·z4 − . . .− k2 ·z2 − k1 ·z1 (lineare Zustandsvektorruckfuhrung) und (7.91h)

ν ′ = y(4)d + k4 ·

...y d + . . . + k2 ·yd + k1 ·yd (lineares dynamisches Vorfilter) . (7.91i)

7.3.4 Nichtlinearer Reglerentwurf fur die nichtlinearen reduzierten Modell-gleichungen mit linearem Ventilmodell 3. Ordnung und mit Modell desFundaments

Fur die nichtlinearen, reduzierten Modellgleichungen (4.25) bis (4.32) aus Kapitel 4.3 wirdNulluberdeckung des Servoventils (xu = 0) angenommen.Beim Aufbau des Zustandsvektors x := [x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8]T aus den Zustandsva-riablen:

x1 := FV (Kraft auf Ventilkolben),x2 := xV (Ventilweg),x3 := xV (Ventilkolbengeschwindigkeit),x4 := xka (Zylinderkolbenauslenkung),x5 := xka (Zylinderkolbengeschwindigkeit),x6 := pL (Lastdruck), (7.92)x7 := xG (Verschiebung des Fundaments) undx8 := xG (Geschwindigkeit des Fundaments)

entsteht die folgende nichtlineare Zustandsraumdarstellung:

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

=

f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)f5(x)f6(x)f7(x)f8(x)

+

g1(x)g2(x)g3(x)g4(x)g5(x)g6(x)g7(x)g8(x)

· u (7.93a)

y = h(x) = x4 = xka (7.93b)

mit

f1(x) := −aM ·x1 , g1(x) := kM , (7.93c)


f2(x) := x3 , g2(x) := 0 , (7.93d)

f3(x) := −2·ζV ·ωV ·x3 − ω2V ·x2 + kV ·ω2

V ·x1 , g3(x) := 0 , (7.93e)f4(x) := x5 , g4(x) := 0 , (7.93f)

f5(x) :=Ak

mk·x6− dk

mk·(x5−x8)+g , g5(x) := 0 , (7.93g)

f6(x) := q∗(x6, x2)− Ak

CH·(x5−x8) , g6(x) := 0 , (7.93h)

f7(x) := x8 , g7(x) := 0 , (7.93i)

f8(x) :=dk

mG·(x5−x8)− Ak

mG·x6− dG

mG·x8− cG

mG·x7 , g8(x) := 0 (7.93j)

und der nichtlinearen Flussfunktion:

q∗(x6, x2) :=1

CH· qL(x6, x2)− 1

CH· qBPLred

(x6)

= 2·kL ·√|p0 − sign(x2)·x6|·sign (p0 − sign(x2)·x6) · x2 − kLE

CH·x6 . (7.93k)

Zur Bestimmung des relativen Grad r des Systems Gl. (7.93) werden die Lie-Ableitungen Lifh(x)

und LgLi−1f h(x) fur i = 1, . . . , r berechnet, bis erstmals LgL

r−1f h(x) 6= 0 ist:

L0fh(x) = h(x) = x4 , (7.94a)

L1fh(x) = (∇h(x)) · f(x) = f4(x) = x5 , (7.94b)

LgL0fh(x) = (∇h(x)) · g(x) = 0 , (7.94c)

L2fh(x) = (∇L1

fh(x)) · f(x) = f5(x) =Ak

mk·x6− dk

mk·(x5−x8)+g , (7.94d)

LgL1fh(x) = (∇Lfh(x)) · g(x) = 0 , (7.94e)

L3fh(x) = (∇L2

fh(x)) · f(x)

=1

mk·[

d2k

mk+

d2k

mG− A2

k

CH

]·(x5−x8)− Ak

mk·[

dk

mk+

dk

mG

]·x6

+Ak



mk ·mG·x8− dk

mk·g , (7.94f)

LgL2fh(x) = (∇L2

fh(x)) · g(x) = 0 , (7.94g)

L4fh(x) = (∇L3

fh(x)) · f(x) = siehe Anhang Gl. (D.1) ,

LgL3fh(x) = (∇L3

fh(x)) · g(x) = 0 , (7.94h)

L5fh(x) = (∇L4

fh(x)) · f(x) = siehe Anhang Gl. (D.2) ,

LgL4fh(x) = (∇L4

fh(x)) · g(x) = 0 , (7.94i)

L6fh(x) = (∇L5

fh(x)) · f(x) = siehe Anhang Gl. (D.3) und

LgL5fh(x) = (∇L5

fh(x)) · g(x) =Ak

mk·aM ·kM ·kV ·ω2

V ·∂q∗(x6, x2)

∂x2(7.94j)

mit den partiellen Ableitungen von q∗(x6, x2) nach x2 und x6:

∂q∗(x6, x2)∂x6

=−kL · |x2|√

|p0 − sign(x2) · x6|− kLE

CH, (7.95a)


∂q∗(x6, x2)∂x2

= 2 · kL ·√|p0 − sign(x2) · x6| · sign (p0 − sign(x2) · x6) , (7.95b)

∂2q∗(x6, x2)∂x2

6

=−kL · x2

2 · (p0 − sign(x2) · x6) ·√|p0 − sign(x2) · x6|

, (7.95c)

∂2q∗(x6, x2)∂x6 ∂x2

=−kL · sign(x2)√|p0 − sign(x2) · x6|

, (7.95d)

∂2q∗(x6, x2)∂x2

2

= 0 , (7.95e)

∂3q∗(x6, x2)∂x3

6

=−3 · kL · |x2|

4 · (p0 − sign(x2) · x6)2 ·

√|p0 − sign(x2) · x6|

, (7.95f)

∂3q∗(x6, x2)∂x2

6 ∂x2=

−kL

2 · (p0 − sign(x2) · x6) ·√|p0 − sign(x2) · x6|

, (7.95g)

∂3q∗(x6, x2)∂x6 ∂x2

2

= 0 und (7.95h)

∂3q∗(x6, x2)∂x3

2

= 0 . (7.95i)

Der relative Grad r des Streckenmodells Gl. (7.93) ist kleiner als die Systemordnung n:

r = 6 < n = 8 . (7.96)

Bemerkung 7.10 (Interne Dynamik): Beim Aufschalten des nichtlinearen Kompensations-reglers entsteht eine interne Dynamik 2. Ordnung. Die Untersuchung der internen Dynamikentspricht der aus Kapitel 7.3.2.

Der Regelalgorithmus, bestehend aus nichtlinearem Kompensationsregler, linearem Polvorgabe-regler und linearem dynamischen Vorfilter, lautet:

z1(x) := h(x) = x2 , (7.97a)

z2(x) := L1fh(x) = x3 , (7.97b)

z3(x) := L2fh(x) =

Ak

mk·x4− dk

mk·(x3−x6)+g , (7.97c)

z4(x) := L3fh(x) =

1mk

·[

d2k

mk+

d2k

mG− A2

k

CH

]·(x5−x8)− Ak

mk·[

dk

mk+

dk

mG

]·x6

+Ak



mk ·mG·x8− dk

mk·g , (7.97d)

z5(x) := L4fh(x) = siehe Anhang Gl. (D.1) , (7.97e)

z6(x) := L5fh(x) = siehe Anhang Gl. (D.2) , (7.97f)

αx(x) := L6fh(x) = siehe Anhang Gl. (D.3) , (7.97g)

βx(x) := LgL5fh(x) =

Ak

mk·aM ·kM ·kV ·ω2

V ·∂q(x2, x6)

∂x2, (7.97h)

u = β−1x (x, u) · [ν − αx(x)] (nichtlinearer Kompensationsregler) , (7.97i)


ν = ν ′ − k6 ·z6 − . . .− k2 ·z2 − k1 ·z1 (lineare Zustandsvektorruckfuhrung) und (7.97j)

ν ′ = y(6)d + k6 ·y(5)

d + . . . + k2 ·yd + k1 ·yd (lineares dynamisches Vorfilter) . (7.97k)


7.4 Linearer Reglerentwurf

Um die Verbesserung des Regelverhaltens durch die nichtlinearen Regler zu zeigen, werden zumVergleich lineare Regelalgorithmen in analoger Weise nach dem Verfahren der exakten Ein-/Ausgangs-Linearisierung, basierend auf einem linearisierten, reduzierten Modell des servohy-draulischen Linearantriebs entwickelt.Hierzu werden in den bestehenden nichtlinearen Regelalgorithmen die Nichtlinearitaten durchlineare Approximationen ersetzt.Klassische Verfahren wie eine Zustandsvektorruckfuhrung sind ebenfalls moglich, werden hieraber nicht untersucht.Die Zustandsraumdarstellung des linearen Modells ergibt sich aus der Zustandsraumdarstellungdes nichtlinearen Modells durch folgende Modifikationen:

• Einfuhren eines Arbeitspunktes in der Ruhelage uMC und pLC mit Kleinsignalgroßen xV

und pL (Wegfall der Gravitationskonstante g) und durch

• Ersetzen der nichtlinearen Flussfunktion des Servoventils mit Nulluberdeckung xu = 0,vergleiche Gln. (7.87i) und (7.93k) :

q∗(pL, xV ) := 2·kL ·√|p0 − sign(xV )·pL| · sign (p0 − sign(xV )·pL) · xV

− kLE

CH·pL (7.98)

durch die folgende lineare Approximation :

q∗lin(pL, xV ) =QP

CH· pL +

QX

CH· xV . (7.99)

Die linearen Regler mit statischem Ventilmodell LB3OR und LBF5OR bedurfen einer beson-deren Betrachtung und werden in den Unterkapiteln 7.4.1 und 7.4.2 behandelt.Die ubrigen linearen Regelalgorithmen konnen direkt aus dem Quelltext der nichtlinearen Re-gelalgorithmen entwickelt werden.

7.4.1 Linearer Kompensationsregler fur lineare reduzierte Modellgleichun-gen mit statischem Ventilmodell ohne Fundament

Die Herangehenweise ist die gleiche wie in Kapitel 7.3.1 mit den Kleinsignalen x3 und u imArbeitspunkt pLC und uMC .Die Komponenten der Systemoperatoren f und g (7.54c) fur (7.54) lauten:

f1(x) := x2 , g1(x) := 0 , (7.100)

f2(x) :=Ak

mk·x3 − dk

mk·x2 , g2(x) := 0 , (7.101)

f3(x) := − Ak

CH·x2 +

QP

CH·x3 , g3(x, u) :=

QX

CH·kV ·kM . (7.102)

7.4 Linearer Reglerentwurf 169

−+

+−−

∫ kL

E

CH

x6

z=

Φ(x

)

++++ +

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+ + + + +

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k5

k4

k3

k2

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(7.9

7k)


Der Regelalgorithmus, bestehend aus dem linearen Kompensationsregler, der linearen Zustands-vektorruckfuhrung und dem linearen, dynamischen Vorfilter, lautet:

x3 := x3 − pLC , (7.103a)z1(x) := h(x) = x1 , (7.103b)

z2(x) := L1fh(x) = x2 , (7.103c)

z3(x) := L2fh(x) =

Ak

mk· x3 − dk

mk· x2 , (7.103d)

αx(x) := L3fh(x) =

[d2

k

m2k

− A2k

CH ·mk

]·x2 − Ak

mk·[

dk

mk−QP

CH

]·x3 , (7.103e)

βx(x, u) := LgL2fh(x) = kV ·kM · Ak

mk·QX

CH(7.103f)

u = β−1x (x, u) · [ν − αx(x)] + uMC (Kompensation) , (7.103g)

ν = ν ′ − k3 · z3 − k2 · z2 − k1 · z1 (lineare Zustandsvektorruckfuhrung) und (7.103h)ν ′ =

...y d + k3 · yd + k2 · yd + k1 · yd (lineares, dynamisches Vorfilter) . (7.103i)

7.4.2 Linearer Kompensationsregler fur lineare reduzierte Modellgleichun-gen mit statischem Ventilmodell mit Fundament

Die Herangehenweise ist die gleiche wie in Kapitel 7.3.2 mit den Kleinsignalen x3 und u imArbeitspunkt pLC und uMC .Die Komponenten der Systemoperatoren f und g (7.67c) fur (7.67) lauten:

f1(x) := x2 , g1(x) := 0 ,

f2(x) :=Ak

mk·x3 − dk

mk·(x2 − x5) , g2(x) := 0 ,

f3(x) := − Ak

CH·(x2 − x5) +

QP

CH·x3 , g3(x, u) :=

QX

CH·kV ·kM (7.104)

f4(x) := x5 , g4(x) := 0 ,

f5(x) :=dk

mG·(x2 − x5)− Ak

mG·x3 − dG

mG·x5 − cG

mG·x4 , g5(x) := 0 .

Der Regelalgorithmus, bestehend aus nichtlinearem Kompensationsregler, linearer Zustandsvek-torruckfuhrung und linearem dynamischen Vorfilter, lautet:

x3 := x3 − pLC , (7.105a)z1(x) := h(x) = x1 (7.105b)

z2(x) := L1fh(x) = x2 (7.105c)

z3(x) := L2fh(x) =

Ak

mk· x3 − dk

mk· (x2 − x5) + g (7.105d)

αx(x) := L3fh(x) = −Ak

mk·[−QP

CH+

dk

mk+

dk

mG

]·x3 − dk ·cG

mk ·mG·x4 (7.105e)

− dk ·dG

mk ·mG·x5 +

1mk

·[

d2k

mk+

d2k

mG− A2

k

CH

]·(x2 − x5)


βx(x, u) := LgL2fh(x) = kV ·kM · Ak

mk·QX

CH(7.105f)

u = β−1x (x, u) · [ν − αx(x)] + uMC (Kompensation) (7.105g)

ν = ν ′ − k3 · z3 − k2 · z2 − k1 · z1 (lineare Zustandsvektorruckfuhrung) und (7.105h)ν ′ =

...y d + k3 · yd + k2 · yd + k1 · yd (lineares, dynamisches Vorfilter) . (7.105i)

7.5 Zusammenfassung

In den Kapiteln 7.3.1, 7.3.2, 7.3.3 und 7.3.4 wurden nichtlineare Regelalgorithmen unterschied-licher Komplexitat nach dem Verfahren der exakten Eingang-/Ausgangs-Linearisierung ent-wickelt.In Kapitel 7.3.1 wurde ein Streckenmodell ohne Berucksichtigung eines Fundaments und nurmit statischem Modell der Servoventilansteuerung gewahlt. Die Zustande lassen sich vollstandigtransformieren. Es liegt eine exakte Zustands-Linearisierung vor.In Kapitel 7.3.2 kommt ein Modell 2.Ordnung des Fundaments hinzu. Die Zustande lassen sichnicht mehr vollstandig transformieren. Es liegt eine exakte Eingangs-/Ausgangs-Linearisierungvor. Das Interne System 2. Ordnung wird durch das Massen-Feder-Dampfer-System des Funda-ments gebildet und ist somit stabil. Es wird durch den Lastdruck angeregt, d.h. je starker derLastdruck ist, um so starker sind die Schwingungen des Fundaments.Das statische Modell der Servoventilansteuerung wird in Kapitel 7.3.3 mit einem linearen, dy-namischen Modell 1. Ordnung und in Kapitel 7.3.4 mit einem linearen, dynamischen Modell 3.Ordnung erweitert. Der Umfang des Regelalgorithmus steigt erheblich an, es werden partielleAbleitungen der nichtlinearen Flussfunktion benotigt.Im Kapitel 7.4 entstehen lineare Regelalgorithmen aus den bestehenden nichtlinearen Regelal-gorithmen, indem die Nichtlinearitaten durch lineare Approximationen ersetzt werden.


Kapitel 8

Untersuchung des Regelkreisverhaltens

8.1 Einleitung

In Kapitel 7 sind nichtlineare und lineare Regler zur Regelung des servohydraulischen Antriebsentwickelt worden. In diesem Kapitel wird das mit diesen Reglern erzielte Regelkreisverhaltenim Laborexperiment und in der Rechnersimulation untersucht.Wie im Bild 8.1 verdeutlicht, erfolgt die Uberprufung der Ergebnisse anhand des

• Fuhrungsubertragungsverhaltens der Regler und anhand• der Ubereinstimmung des erzielten Regelkreisverhaltens in der Rechnersimulation und im

Laborexperiment.

Bei einem idealen Fuhrungsubertragungsverhalten folgen die Istgroßen exakt den Sollgroßen.Die Istgroßen beim hier untersuchten servohydraulischen Antrieb sind der Zylinderkolbenwegxka, die Zylinderkolbengeschwindigkeit xka und die Zylinderkolbenbeschleunigung xka jeweilsbezogen auf den Hallenboden, der als Inertialsystem betrachtet wird. Das Fuhrungssignal setztsich aus den Sollgroßen Weg xkd, Geschwindigkeit xkd und Beschleunigung xkd zusammen, dasauch als Soll-Trajektorie bezeichnet wird. Die Erzeugung der Soll-Trajektorie wird in KapitelE.1 beschrieben.

Es ist zu beachten, dass der servohydraulische Antrieb nur solche Fuhrungssignale nahezu idealnachfahren kann, die ihn nicht in Begrenzungen z.B. Volumenflussbegrenzung hineinfahren, weildann der Antrieb an physikalisch gegebene Grenzen stoßt, die auch mit Reglern nicht uberwun-den werden konnen.

Wenn das Regelkreisverhalten in der Rechnersimulation mit dem im Laborexperiment uber-einstimmt, wird dadurch die Gultigkeit des Streckenmodells mit seinen Parametern nochmalsbestatigt, vergleiche dazu die Modellvalidierung aus Abschnitt 6.7. Die Rechnersimulation kanndann fur weitergehende Untersuchungen genutzt werden. Daruberhinaus wird aber auch deut-lich, welche Effekte des Laborexperiments in der Rechnersimulation noch nicht berucksichtigtwurden.Die verschiedenen in Kapitel 7 entworfenen nichtlinearen und linearen Regler aus der Tabelle7.1 sind entstanden aufgrund der

• Verwendung eines linearen oder nichtlinearen reduzierten Druckaufbaus, durch eine• Berucksichtigung eines mitschwingenden Fundaments zur Kompensation dessen Einflusses

und durch die• Modellierung der Servoventilansteuerung als lineares Modell unterschiedlicher Ordnung.

In der Tabelle 8.1 sind nochmals diese Regler mit einer von links oben nach rechts unten zuneh-

173

174 Kapitel 8. Untersuchung des Regelkreisverhaltens

verhaltens

Uberprufung des

Fuhrungsubertragungs-

Rechnersimulationen

Ergebnisse der

Fuhrungs–

signale

Uberprufung

aufErgebnisse der

LaborexperimenteUbereinstimmung

Bild 8.1: Uberprufung der Ergebnisse aus Laborexperiment und Rechnersimulation bezuglichdes Fuhrungsubertragungsverhaltens der Regler und anhand der Ubereinstimmungzwischen Rechnersimulation und Laborexperiment

menden Komplexitat angeordnet.

Die Bezeichnung der Regler setzt sich zusammen aus, vergleiche Abschnitt 7.1,

• einem NL fur einen nichtlinearen oder einem L fur linearen Regelalgorithmus,• einem B fur ein enthaltenes Modell des Bypassflusses,• einem F fur ein enthaltenes Modell des Fundaments,• einem 3O bis 8O fur die Ordnung des gesamten Streckenmodells und• einem R fur ein reduziertes Modell des Druckaufbaus.

So steht die Abkurzung NLBF8OR fur einen nichtlinearen Regelalgorithmus mit Bypassmodellund mit Fundamentmodell basierend auf den Modellgleichungen 8. Ordung des nichtlinearen,reduzierten Streckenmodells.In Tabelle 8.1 berucksichtigen die Regler in den Spalten ein lineares Servoventilmodell, das vonlinks nach rechts in der Ordnung steigt.Die 8 Regler in den unteren beiden Zeilen versuchen, den Einfluss eines mitschwingenden Fun-daments zu kompensieren.Die Regler in der ersten und dritten Zeile enthalten einen linearen reduzierten Druckaufbau, unddie Regler in den zweiten und vierten Zeile enthalten einen nichtlinearen reduzierten Druckauf-bau.

8.2 Gegenuberstellung des Regelkreisverhaltens von Laborex-periment und Rechnersimulation

Im folgenden Anschnitt wird das Regelkreisverhalten im Laborexperiment dem aus der Rech-nersimulation bei Variation des Fuhrungssignals und der Lastmasse gegenubergestellt.

Das Ziel der Untersuchungen ist es, auf folgende Fragestellungen eine Antwort zu finden:

• Gelingt es dem Regler, den storenden Einfluss des Fundaments zu kompensieren ?• Ist die Modellierung der Dynamik der Servoventilansteuerung im Entwurfsmodell des Reglers

erforderlich ?

8.2 Gegenuberstellung des Regelkreisverhaltens von Laborexperiment und Rechnersimulation 175

NLBF80RNLBF60R NLBF70R

3.Ordnung2.Ordnung0.Ordnung 1.Ordnung

lineares Modell der Servoventilansteuerungim Regler berucksichtigtes

linear

nichtlinear

linear

nichtlinear

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ja

LB30R LB40R LB50R LB60R

NLB30R NLB40R NLB50R NLB60R

LBF50R LBF60R LBF70R LBF80R

NLBF50R

Tabelle 8.1: Anordnung der untersuchten nichtlinearen und linearen Regler mit einer von linksoben nach rechts unten zunehmenden Komplexitat, die sich durch die Verwendungeines linearen oder nichtlinearen reduzierten Druckaufbaus, durch eine Berucksich-tigung eines mitschwingenden Fundaments zur Kompensation dessen Einflusses unddurch die Modellierung der Servoventilansteuerung als lineares Modell unterschied-licher Ordnung ergibt. Die Bezeichnung der Regler setzt sich zusammen aus (ver-gleiche Abschnitt 7.1) einem NL fur einen nichtlinearen oder einem L fur linearenRegelalgorithmus, einem B fur ein enthaltenes Modell des Bypassflusses, einem Ffur ein enthaltenes Modell des Fundaments, einem 3O bis 8O fur die Ordnung desgesamten Streckenmodells und einem R fur ein reduziertes Modell des Druckauf-baus. Die grau unterlegten Regler sind in den folgenden Diagrammen dargestellt.


• Welche Verbesserung bringt eine nichtlineare Annahme des Druckaufbaus gegenuber einerlinearisierten Annahme ?

Zusatzlich zu den 16 Reglern aus Tabelle 8.1 wird zum Vergleich noch ein P-Regler mit einemVerstarkungsfaktor kp von 400 verwendet.

Von den insgesamt 17 Reglern werden im Folgenden nur eine Auswahl von 5 Reglern mit be-stimmten Eigenschaften gegenubergestellt:

• Der P-Regler ist der einfachste Regler, der fur diese Regelaufgabe einsetzbar ist.

• Der nichtlineare Regler NLB60R berucksichtigt einen nichtlinearen reduzierten Druck-aufbau und verwendet ein lineares Modell 3. Ordnung fur die Servoventilansteuerung. Dadieser Regler nicht den Einfluss des Fundaments kompensiert, wird der storende Einflussdes Fundaments im Regelkreisverhalten deutlich. Dieser Regler steht stellvertretend furalle linearen und nichtlinearen Regler LB30R, LB40R, LB50R, LB60R, NLB30R,NLB40R und NLB50R, die den Einfluss des mitschwingenden Fundaments nicht kom-pensieren und dadurch ein schlechtes Fuhrungsubertragungsverhalten aufweisen. Der Reg-ler NLB30R, der zusatzlich nur ein statisches Modell der Servoventilansteuerung besitzt,wird im Laborexperiment sogar instabil.

• Der nichtlineare Regler NLBF5OR berucksichtigt einen nichtlinearen reduzierten Druck-aufbau. Im Entwurfsmodell des Reglers ist ein lineares Modell des Fundaments enthalten,so dass der Regler in der Lage sein sollte, den Einfluss des Fundaments zu kompensieren. Dader Regler nur ein statisches Modell fur die Servoventilansteuerung berucksichtigt, werdenmit diesem Regler die Auswirkungen einer nicht im Regler berucksichtigten dynamischenServoventilansteuerung hoherer Ordnung deutlich.

• Der lineare Regler LBF8OR berucksichtigt einen linearen reduzierten Druckaufbau, einlineares Modell 3. Ordnung fur die Servoventilansteuerung und enthalt im Entwurfsmodellein lineares Modell des Fundaments, um dessen Einfluss zu kompensieren. Dieser Regler istder komplexeste lineare Regler und wird zum Vergleich mit dem folgenden nichtlinearenRegler NLBF8OR herangezogen.

• Der nichtlineare Regler NLBF8OR unterscheidet sich gegenuber dem linearen ReglerLBF8OR durch einen nichtlinearen reduzierten Druckaufbau. Der Regler NLBF8ORist der komplexeste nichtlineare Regler und sollte daher ideales Fuhrungsubertragungsver-halten erzielen. Mit dem Regler NLBF8OR wird die Verbesserung des Fuhrungsuber-tragungsverhaltens durch Verwendung eines nichtlinearen Druckaufbaus im Vergleich zumlinearen Reglers LBF8OR untersucht.

Als Fuhrungssignale werden folgende Signale verwendet:

• Rechtecksignale mit abgerundeten Flanken und unterschiedlichen Anstiegszeiten (sieheAbschnitt 8.2.1),

• reale Erdbebensignale (siehe Abschnitt 8.2.2) und

• linear durchgestimmte Sinus-Sweepsignale (siehe Abschnitt 8.2.3).

Fur das Streckenmodell der Rechnersimulation wird das nichtlineare nicht reduzierte Modell miteiner nichtlinearen Servoventilansteuerung verwendet.


Bei den Versuchen wurde ein Versorgungsdruck pS von 150 bar verwendet.Der Betrieb im Laborexperiment unterliegt den folgenden Beschrankungen:

• Durch die Begrenzung des Volumenflusses der Versorgungspumpe von 35 l/min ergibt sicheine maximal mogliche Zylinderkolbengeschwindigkeit von 0.63 m/s. Dieser Wert reduziertsich aber in der Praxis auf

|xka| ≤ 0.4 m/s , (8.1)

da dort der Versorgungsdruck bereits einzubrechen beginnt.• Die Ventileingangsspannung uM ist begrenzt auf

|uM | ≤ 10 V . (8.2)

Hierdurch ist auch der Ventilkolbenweg xV begrenzt.• Im Abschnitt 6.3.3 der Identifikation der Servoventilansteuerung wurde eine Begrenzung der

Ventilkolbengeschwindigkeit xV von

|xV | ≤ 0.04 m/s (8.3)

ermittelt.• Der Zylinderkolbenweg xk ist begrenzt auf

|xk| ≤ 0.125 m . (8.4)

• Aus sicherheitstechnischen Grunden durfen die Drucke pI und pII in den Kammern denRucklaufdruck pR nicht unter- und den Versorgungsdruck pS nicht uberschreiten:

pR < pI , pII < pS . (8.5)

• Eine Vergroßerung der Masse der Lastmechanik bewirkt großere Schwingungen des Funda-ments, weil das Verhaltnis von Lastmasse mk zu Masse des Fundaments mG großer wird unddamit der Lastdruck pL das Fundament gemaß Gl. (7.84) starker anregt.

Die Amplitude des Fuhrungssignals muss so gewahlt werden, dass beim servohydraulischenAntrieb keine der oben genannten Beschrankungen wirksam wird. Aber schon in der Nahe vonBegrenzungen andert sich das gewohnte Verhalten des Antriebs und das verwendete Modell wirdungenauer und die auf diesem Modell basierenden Regelalgorithmen gehen dann von falschenVoraussetzungen aus und erzielen ein schlechteres Fuhrungsubertragungsverhalten.Auf der anderen Seite wird aber zur Untersuchung des Unterschieds zwischen den linearen undden nichtlinearen Reglern ein Fuhrungssignal benotigt, was die Nichtlinearitaten des Druckauf-baus stark aussteuert, und dies geht nur durch eine Großsignalansteuerung.Bei den Versuchen mit den Rechtecksignalen wurde die Amplitude des Fuhrungssignals schritt-weise erhoht, bis eine der Beschrankungen beim servohydraulischen Antrieb wirksam wurde.

8.2.1 Rechteck mit abgerundeten Flanken als Fuhrungssignal

In der Regelungstechnik dient ein Sprung bzw. ein Rechtecksignal zur Beurteilung des Ein-schwingverhaltens des Reglers.Fur das lineare dynamische Vorfilter Gl. (7.50f) des Reglers werden die zeitlichen Ableitungendes Fuhrungssignals benotigt. An den Sprungstellen eines Rechtecksignals ergeben sich unend-liche Werte fur die zeitlichen Ableitungen. Um dies zu vermeiden werden Rechtecksignale mit


abgerundeten Flanken eingesetzt, deren Anstiegszeit vorgegeben wird, vergleiche Generierungder Soll-Trajektorie Abschnitt E.1.Die Anstiegszeit tan, gemessen zwischen 10% und 90% der Amplitude des Rechtecksignals wirdmit 0.01 s und 0.02 s vorgegeben. Durch die Anstiegszeit tan wird die spektrale Zusammensetzungdes Rechtecksignals verandert.Die Vorteile von Rechtecksignalen bestehen darin, dass kurz hintereinander verschiedene Ampli-tuden gefahren werden konnen und so die Nichtlinearitaten unterschiedlich ausgesteuert werden.Das Verhalten des Reglers wird durch die kurze Zeitspanne des Einschwingvorgangs kompaktwiedergegeben. Der Nachteil des Rechtecksignals besteht darin, dass die spektrale Zusammen-setzung nicht konstant wie z.B. bei einem Sinus-Sweepsignal ist.

In den Bildern 8.2, 8.3, 8.5 und 8.6 wird das Regelkreisverhalten im Laborexperiment und inder Rechnersimulation anhand von Rechtecksignalen mit einer Grundfrequenz f von 4 Hz undabgerundeten Flanken als Fuhrungssignal dargestellt. Bei den Bildern 8.2 und 8.3 wird eineAnstiegszeit tan von 0.01 s und bei den Bildern 8.5 und 8.6 wird eine Anstiegszeit tan von0.02 s verwendet. Die Lastmasse betragt 200 kg in den Bildern 8.2 und 8.5 und 400 kg in denBildern 8.3 und 8.6. Die Amplitude des Rechtecksignals wurde gerade so groß gewahlt, das keineBeschrankung beim servohydraulischen Antrieb wirksam wurde.

Bei allen dargestellten Versuchen und bei allen Reglern sind mehr oder weniger starke Abwei-chungen vom idealen Fuhrungsverhalten zu erkennen. Dies zeigt sich beim Zylinderkolbenwegxka durch ein Uberschwingen, welches besonders stark beim Regler NLBF5OR ist und durchein nicht stationares Verhalten, welches z.B. beim P-Regler auftritt.Bei der Zylinderkolbengeschwindigkeit xka und der Zylinderkolbenbeschleunigung xka wird dasnicht ideale Fuhrungsverhalten durch die Verformung der Pulse und durch eine Anregung in derPause zwischen den Pulsen deutlich.

In Bild 8.3, 8.5 und 8.6 ist beim Regler NLB60R (3.Zeile von oben), der den Einfluss desFundaments nicht kompensiert, und es ist deutlich auf der Geschwindigkeit xka und auf derBeschleunigung xka im Laborexperiment und in der Rechnersimulation die Bewegung des Fun-daments zu erkennen. Es sind deutlich eineinhalb Perioden einer gedampften Sinusschwingungmit der Resonanzfrequenz des Fundaments von 24 Hz zu sehen. Der Einfluss des Fundamentsnimmt wie erwartet mit einer großeren Lastmasse zu (vergleiche dazu Bild 8.2 mit Bild 8.3und Bild 8.5 mit Bild 8.6). Ein Regler ohne Kompensation des Fundaments ist daher nichtzielfuhrend.

Der Regler NLBF5OR (4.Zeile von oben) versucht, den Einfluss des Fundaments zu kompen-sieren. Dies gelingt aber nur unvollstandig, weil im Regler nur ein statisches Servoventilmodellberucksichtig ist. Dies ist durch ein deutliches aperiodisches Ausschwingen auf der Geschwin-digkeit xka und auf der Beschleunigung xka in der Pause zwischen den Pulsen erkennbar.

Bei den Reglern LBF8OR und NLBF8OR (5. und 6. Zeile von oben) funktioniert die Kompen-sation des Einflusses des Fundaments gut. Das Regelverhalten des NLB60R ohne Fundamentund des Reglers NLBF5OR ohne Dynamik der Servoventilansteuerung zeigen beide eine starke-re Abweichung vom idealen Fuhrungsverhalten als die Regler LBF8OR und NLBF8OR, dieFundament und Dynamik der Servoventilansteuerung berucksichtigen. Es ist daher zur Kom-pensation des Fundaments auch das dynamische Servoventilmodell erforderlich.

Die Verbesserung des nichtlinearen Reglers NLBF8OR gegenuber dem linearen Regler LBF8ORist sehr gering. Der nichtlineare Regler NLBF8OR liefert bei der Geschwindigkeit xka und bei


-4.0

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xv/xv,maxp L

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Bild 8.4: Unterschiedliche Aussteuerung des Lastdrucks pL uber dem Ventilweg xV beim linea-ren Regler LBF8OR (Regler 146) rechts und beim nichtlinearen Regler NLBF8OR(Regler 156) links fur den Versuch aus Bild 8.3

der Beschleunigung xka leicht hohere Pulse als der lineare Regler LBF8OR und kommt daherbesser an das Sollsignal heran.Der nichtlineare Regler NLBF8OR steuert dabei den Lastdruck starker aus als der lineareRegler LBF8OR, wie im Bild 8.4 fur den Versuch aus Bild 8.3 exemplarisch als Darstellung desLastdrucks pL uber dem Ventilweg xV gezeigt wird.

Die Ubereinstimmung des Regelkreisverhaltens zwischen Laborexperiment und Rechnersimula-tion ist gut. Im Laborexperiment sind aber noch zusatzliche hoherfrequente Resonanzen erkenn-bar, was besonders bei der Geschwindigkeit xka und der Beschleunigungen xka der nichtlinearenRegler NLB60R, NLBF5OR und NLBF8OR deutlich wird. Diese Storungen nehmen mitkleinerer Anstiegszeit tan und mit einer großeren Lastmasse zu und sind am großten in Bild 8.3.Die Regelstrecke wird durch einen nichtlinearen Regler im Vergleich zu einem linearen Reglerstarker ausgesteuert und dadurch wird das Fundament und weitere Resonanzen zu Schwingungenangeregt.Bei großerer Lastmasse werden die Schwingungen des Fundaments großer, weil das Verhaltnisvon Lastmasse mk zu Masse des Fundaments mG großer wird und damit der Lastdruck pL dasFundament gemaß Gl. (7.84) starker anregt wird.Durch eine kleinere Anstiegszeit enthalt das Rechtecksignal mehr hochfrequente Spektralanteile.

8.2.2 Erdbebensignal als Fuhrungssignal

In den Bildern 8.7 bis 8.9 wird das Regelkreisverhalten im Laborexperiment und in der Rech-nersimulation anhand realistischer Erdbebensignale dargestellt.In den drei Versuchen wurde die Lastmasse von 140 kg bei Bild 8.7 uber 200 kg bei Bild 8.8 und380 kg bei Bild 8.9 variiert.Nur der nichtlineare Regler NLBF5OR (4. Zeile von oben) mit einem statischen Modell derServoventilansteuerung besitzt ein akzeptables Fuhrungsubertragungsverhalten.


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Die anderen Regler NLB60R, LBF8OR und NLBF8OR weisen ein sehr schlechtes oderinstabiles Fuhrungsubertragungsverhalten auf. Das instabile Verhalten nimmt mit steigenderLastmasse zu.

Die Rechnersimulation bestatigt tendenziell das Verhalten aus dem Laborexperiment.

8.2.3 Sinus-Sweepsignal als Fuhrungssignal

Ein Sinus-Sweepsignal ist ein Sinussignal, dessen Momentanfrequenz von einer Startfrequenz zueiner Stoppfrequenz linear oder logarithmisch mit der Zeit durchgestimmt wird.

Mit Hilfe eines Sinus-Sweepsignals lasst sich das frequenzabhangige Fuhrungsubertragungsver-halten des Regelkreises anhand der Hullkurve des Zeitschriebs in einem großen Frequenzbereichrein visuell auswerten.Dabei darf sich die Momentanfrequenz nur so langsam verandert, dass beim System quasi ein-geschwungene Verhaltnisse vorliegen. Dies steigert die erforderliche Messdauer.Besitzt das Fuhrungssignal eine konstante Hullkurve, entspricht die Hullkurve des dazugehorigenIst-Signals naherungsweise dem Amplitudengang der Ubertragungsfunktion des Fuhrungsuber-tragungsverhaltens. Die Phaseninformation geht bei der rein visuellen Auswertung verloren.Bei den folgenden Versuchen, die in den Bildern 8.10 bis 8.12 dargestellt sind, wird fur dieBeschleunigung eine konstante Hullkurve gewahlt. Die Hullkurve fur die Geschwindigkeit undfur den Weg fallt damit naherungsweise nach einer Hyperbelfunktion ersten bzw. zweiten Gradesab. Damit der Regelkreis gut einschwingt, wird am Anfang die Amplitude des Sinus-Sweepsignalsrampenformig hochgefahren.Die Frequenz des Sinus-Sweepsignals aus Gl. (E.2) wird linear mit der Zeit durchgestimmt.In den Darstellungen der Ergebnisse ist die Zeitachse bereits in eine Frequenzachse umgerechnetworden.In den drei Versuchen wurde die Lastmasse von 140 kg bei Bild 8.10 uber 200 kg bei Bild 8.11und 380 kg bei Bild 8.12 variiert.Der nichtlineare Regler NLBF8OR besitzt das beste Fuhrungsubertragungsverhalten. Im Fre-quenzbereich um die Resonanzfrequenz des Fundaments von ca. 24 Hz tritt aber eine Uberhohungder Hullkurve auf und im Frequenzbereich um die 60 Hz tritt eine Verringerung der Hullkurveauf.Der lineare Regler NLBF8OR besitzt ein wenig schlechteres Fuhrungsubertragungsverhaltenals der nichtlineare Regler NLBF8OR.Der nichtlineare Regler NLBF5OR neigt in Bild 8.10 zur Instabilitat.Beim Regler NLB60R ist jeweils in der Beschleunigung eine deutliche Einschnurung der Hull-kurve bei der Resonanzfrequenz des Fundaments von 24 Hz zu sehen.Das Verhalten von Laborexperiment und Rechnersimulation stimmt tendenziell uberein. DieHullkurve ist aber im Laborexperiment hoher als bei der Rechnersimulation.In Bild 8.12 bei einer Lastmasse von 380 kg sind ”Ausfranzung” der Hullkurve im Laborexperi-ment zu sehen, die in der Rechnersimulation nicht auftreten. Dies ist vermutlich auf den Einflussweiterer mechanischer Resonanzen zuruckzufuhren.

8.3 Zusammenfassung

In diesem Kapitel wurde das Verhalten des mit den verschiedenen im Kapitel 7 entworfenen Reg-lern geregelten servohydraulischen Antriebs im Laborexperiment und in der Rechnersimulation


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untersucht. Als Fuhrungssignale wurden Rechtecksignale mit abgerundeten Flanken und unter-schiedlichen Anstiegszeiten (siehe Abschnitt 8.2.1), reale Erdbebensignale (siehe Abschnitt 8.2.2)und linear durchgestimmte Sinus-Sweepsignale (siehe Abschnitt 8.2.3) verwendet. Mit einemRechtecksignal wird das Einschwingverhalten eines Reglers und mit einem Sinus-Sweepsignaldas frequenzabhangige Fuhrungsubertragungsverhalten eines Reglers besonders gut dargestellt.Mit Erdbebensignalen werden in der Industrie Belastungstests fur erdbebengefahrdete Kompo-nenten durchgefuhrt.

Die Untersuchung liefert folgende Ergebnisse:

• Mit dem vorliegenden Versuchsaufbau besitzt ein Regler, der den Einfluss des Fundamentsnicht kompensiert, kein akzeptables Fuhrungsubertragungsverhalten.

• Zur Kompensation des Fundaments muss im Regler auch ein dynamisches Servoventilmodellberucksichtigt werden.

• Die Verbesserung durch einen nichtlinearen Regler gegenuber einem vergleichbaren linearenRegler ist sehr gering.

• Der nichtlineare Regler steuert im Vergleich zu einem vergleichbaren linearen Regler denLastdruck starker aus. Demnach werden durch einen nichtlinearen Regler das Fundamentund weitere Resonanzen zu starkeren Schwingungen angeregt.

• Es zeigt sich eine gute Ubereinstimmung zwischen Laborexperiment und Rechnersimulation.


Kapitel 9

Zusammenfassung

In dieser Arbeit werden fur einen einachsigen, servohydraulischen Antrieb aus der industriel-len Praxis mit senkrecht stehendem Gleichgangzylinder modellbasierte nichtlineare Regler nachdem Verfahren der exakten Ein–/Ausgangs–Linearisierung entwickelt, um die Dynamik und dieGenauigkeit einer Folgeregelung einer angetriebenen starren Masse in einem weiten Frequenz-bereich gegenuber bisher ublichen linearen Regelungskonzepten zu verbessern. Hierzu werdennichtlineare physikalisch motivierte Prozessmodellgleichungen aus der Literatur beschafft, andie Gegebenheiten angepasst und die unbekannten Prozessmodellparameter mittels experimen-teller Identifikation bestimmt, um den servohydraulischen Antrieb theoretisch und numerischrealitatsnah modellieren zu konnen. Das Regelkreisverhalten des Antriebs mit den entworfenenReglern wird im Laborexperiment untersucht und dem aus einer Rechnersimulation gegenuber-gestellt.

Elektro-servohydraulische Antriebe werden seit vielen Jahren in der Prufstands-, Pressen- undWerkzeugmaschinentechnik eingesetzt und und zeichnen sich gegenuber elektrischen und pneu-matischen Antrieben durch hohe Krafte bei kleinem Einbauvolumen aus. So lassen sich großeLinearbewegungen durch Hydraulikzylinder ohne zusatzliche Getriebe realisieren. Der Einsatzvon hydraulischen Antrieben wird erschwert durch ihre geringe Dampfung und ihre hochgradignichtlinearen Eigenschaften. Hierzu zahlt die nichtlineare Fluss-Druckrelation des Servoventils.

Aus Sicht der Regelungstechnik stellt der servohydraulische Antrieb eine nichtlineare Regel-strecke dar, was anhand der Modellgleichungen in den Kapiteln 4.2 bzw. 4.3 zu sehen ist. DerEntwurf eines linearen Reglers basiert auf einem linearen Ersatzmodell, das nur in der naherenUmgebung des Arbeitspunktes (Ruhelage), um den es entwicklet wurde, gultig ist. Ein linearerRegler zeigt bei großer werdender Aussteuerung aus diesem Arbeitspunkt ein immer schlechterwerdendes Regelkreisverhalten, weil das lineare Ersatzmodell das reale Verhalten der nichtli-nearen Regelstrecke weniger gut beschreibt. Fur den Fall großer Aussteuerung ist daher einnichtlinearer Regler erforderlich.Das Verfahren der exakten Linearisierung [5, 35] entwickelt fur eine nichtlineare Regelstreckeeinen nichtlinearen Regler, der das nichtlineare Verhalten der Regelstrecke durch eine nicht-lineare Ruckfuhrung der Zustande in jedem Arbeitspunkt kompensiert und es in ein linearesVerhalten uberfuhrt, das dann mit den bekannten Methoden der linearen Regelungstechnik(z.B. Polvorgabe) behandelt werden kann. Voraussetzung fur die Anwendbarkeit des Verfahrensder exakten Linearisierung (vergleiche Kapitel 7.2) ist ein sehr genaues mathematisches Mo-dell der Regelstrecke in Zustandsraumdarstellung mit bilinear eingehendem Systemeingang undmit glatten und hinreichend oft differenzierbaren Systemfunktionen sowie die Verfugbarkeit derSignale aller Systemzustande fur die nichtlineare Ruckfuhrung. Die Literatur [1] gibt bereitsausgefeilte mathematische Modelle von servohydraulischen Antrieben an, die aus physikalischen

193

194 Kapitel 9. Zusammenfassung

Prinzipien abgeleitet wurden. Die Modelle in dieser Arbeit sind speziell um die am Laboraufbaudes servohydraulischen Antriebs im Fachgebiet beobachteten Effekte erweitert worden. Hierzugehoren ein mitschwingendes Fundament, eine Begrenzung der Servoventilkolbengeschwindigkeitund Leckflusse aufgrund der hydrostatischen Lagerung der Zylinderkolbenstange (siehe Kapitel4.2 und A.3).Die sehr großen Krafte, die der servohydraulische Antrieb entwickelt, werden nicht nur in diemechanische Last eingeleitet, sondern regen auch das schwere Aufspannfeld aus Stahl, auf demder servohydraulische Antrieb montiert ist, zu deutlichen Schwingungen an (siehe Bild 3.1 ausKapitel 3). Diese ungunstigen Rahmenbedingungen wurden beibehalten und als eine zusatzlicheHerausforderung fur die Regelungsaufgabe angesehen. Eine Erfassung der einachsigen Bewegungdes Fundaments konnte durch Sensoren realisiert werden. Im Verlauf der Untersuchungen tratenjedoch noch weitere Resonanzen auf. Aufgrund der baulich bedingten Moglichkeiten des Fun-daments konnte der hydraulische Antrieb im Laborexperiment nicht voll ausgesteuert werden.Somit konnte der Antrieb nicht, wie es fur die Untersuchung der nichtlinearen Regler erforderlichist, entsprechend weit in die nichtlinearen Arbeitsbereiche gefahren werden.Ein großer Teil der in den mathematischen Modellen beschriebenen Effekte kann durch dasVerfahren der exakten Linearisierung auf eine systematische Vorgehensweise im Regler beruck-sichtigt und damit auch kompensiert werden. Bestimmte nichtlineare Effekte wie Sattigungenund Reibung konnen vom Verfahren nicht oder nur sehr ungenugend berucksichtigt werden.Die durch den Laboraufbau bedingte, nicht mehr vernachlassigbare Dynamik des Aufspannfel-des, auf dem der servohydraulische Antrieb aufgebaut ist, wurde als lineares, schwingungsfahigesSystem 2. Ordnung in die Modellgleichungen aufgenommen und teilweise auch in den Reglernberucksichtigt.Durch die hydrostatische Lagerung der Zylinderkolbenstange besitzt der servohydraulische An-trieb fast keine Reibung und so konnten nichtlineare Regler nach dem Verfahren der exaktenLinearisierung fur den gesamten servohydraulischen Antrieb entworfen und erfolgreich umge-setzt werden. Durch die hydrostatische Lagerung entstehen betriebsbedingt hohe Leckflusse, diedann in den Modellgleichungen berucksichtigt werden mussen.

Die Modellbildung des servohydraulischen Antriebs in Kapitel 4 beschreibt vier Typen von Mo-dellgleichungen. Die nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen aus Kapitel 4.2 enthaltendie meisten Details des Prozessverhaltens und werden deshalb als Streckenmodell in der Rech-nersimulation eingesetzt. Als Streckenmodell fur den nichtlinearen Reglerentwurf werden dienichtlinearen reduzierten Modellgleichungen aus Kapitel 4.3 verwendet, die sich durch eine Re-duktion aufgrund der am Gleichgangzylinder vorliegenden Symmetrien aus den nichtlinearennicht reduzierten Modellgleichungen entwickeln lassen. Durch Linearisierung in einer Ruhelageentstehen aus den nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen die linearen reduzierten Modell-gleichungen (siehe Kapitel 4.5 und 5.2), die beim linearen Reglerentwurf als Streckenmodelldienen. Mittels der linearen nicht reduzierten Modellgleichungen (siehe Kapitel 4.4 und 5.3),die durch Linearisierung der nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen in einer Ruhela-ge entstehen, wird der Reduktionsschritt zum linearen reduzierten Modell anhand von linearenUbertragungsfunktionen untersucht.

Der servohydraulische Antrieb besitzt zwei Zylinderkammern, in denen sich angesteuert durchdas Servoventil jeweils ein Druck aufbaut. In die Lastmechanik geht aber nur die aus der Differenzder Zylinderkammerdrucke gebildete Kraft ein. Aufgrund von Symmetrien im Aufbau des Zylin-ders und im Servoventil (vergleiche hierzu die Reduktionsannahmen aus Gl. (1) bis Gl. (9) ausKapitel 4.3) ist es moglich, die beiden einzelnen Druckaufbaugleichungen fur die KammerdruckepI und pII zu einer Druckaufbaugleichung fur die Druckdifferenz pL := pI − pII (Lastdruck)

195

zusammenzufassen. Im Kapitel A.4 wird der in der Literatur [1] ubliche Reduktionschritt furLeckflusse erweitert.

Der Lastdruck als die Differenz der Zylinderkammerdrucke wirkt auf die Lastmechanik. Die Sum-me der Zylinderkammerdrucke bildet einen Zustand fur das bei der Reduktion vernachlassigteSystem. Fur die Anwendbarkeit der exakten Linearisierung muss dieses interne System stabilsein. Die Stabilitat wurde auf zwei unterschiedlichen Wegen untersucht.

Im Kapitel 5 werden die nichtlinearen reduzierten und die nichtlinearen nicht reduzierten Mo-dellgleichungen des servohydraulischen Antriebs symbolisch in einer Ruhelage linearisiert undanschließend im Abschnitt 5.5 die Reduktion im Frequenzbereich anhand der Ubertragungsfunk-tion vom Ventilweg zur Zylinderkolbenauslenkung untersucht. Die Ubertragungsfunktion aus dennicht reduzierten Modellgleichungen besitzt zusatzlich eine Pol- und eine Nullstelle, die sich ge-geneinander aber stabil kurzen lassen, wenn die Symmetrie- und Reduktionsannahmen fur dieBerechnung der Linearisierungskoeffizienten berucksichtigt werden. Der Reduktionsschritt ent-spricht demnach bei den linearisierten Modellen einer stabilen Pol-/Nullstellen-Kompensation.Zusatzlich wird im Kapitel 5.3.2 gezeigt, dass sich die Ruhelagen reproduzierbar im Laborexpe-riment einstellen lassen und gut zu den Werten aus der Rechnersimulation passen.Die statische Ruhelage wird fur senkrecht stehende und waagrecht liegende Zylinder in Kapitel5.2.2 und 5.3.2 weitesgehend analytisch bestimmt. Zum Halten der Zylinderkolbenstange in derRuhelage ist nur bei senkrecht stehendem Zylinder mit signifikanten Bypass- und Leckflusseneine von Null verschiedene konstante Eingangsspannung erforderlich.Die statische Ruhelage lasst sich reproduzierbar im Laborexperiment einstellen und stimmt gutmit den Werten einer Rechersimulation uberein (siehe Kapitel 5.4) und damit wird mittels derModellgleichungen eine Vorhersage fur die sich einstellende Ruhelage ermoglicht, auch wenn einereale Strecke nicht vorhanden ware. Zudem werden die Abhangigkeiten von Einflussfaktoren wieModellvariablen und -parametern der Ruhelage deutlich.

Einen alternativen Ansatz zur Untersuchung des bei der Reduktion vernachlassigten Systems be-schreibt Kapitel D.3.1. Hierbei wird ein nichtlinearer Kompensationsregler nach dem Verfahrender exakten Linearisierung fur die nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen 4. Ordnungmit einem statischen Ventilmodell und ohne Modell des Fundaments entworfen. Da der relativeGrad der Regelstrecke um eins kleiner ist als ihre Ordnung, entsteht beim Aufschalten des nicht-linearen Kompensationsreglers an die Regelstrecke neben der Integratorkette eine interne Dyna-mik 1. Ordnung. Zur weiteren Untersuchung dieser internen Dynamik wird das Streckenmodellin der Byrnes-Isidori-Normalform dargestellt, wodurch eine gegenseitige Verkopplung zwischendem Eingangs-/Ausgangsteil und dem Teil, der zur internen Dynamik wird, erkennbar. Aufgrundvon Symmetrieannahmen bezuglich geometrischer und fluidtechnischer Parameter des servohy-draulischen Antriebs (Zylinderkolbenflache, Zylinderkammerlange, Ventilkolbendurchmesser undVentilkoeffizienten) entsteht unabhangig vom Aufschalten des nichtlinearen Kompensationsreg-lers eine stabile interne Dynamik, deren Zustand sich aus der Summe der Zylinderkammerdruckeergibt. Der Regelalgorithmus des nichtlinearen Kompensationsreglers fur die nichtlinearen nichtreduzierten Modellgleichungen geht mit den Symmetriebedingungen in den Regelalgorithmus furdie reduzierten Modellgleichungen aus Kapitel 7.3.1 uber. Die Symmetriebedingen sind demnachfur den Reduktionsschritt ausreichend und aus ihnen kann auch die Reduktionsrelation aus Gl.(4.15e) gefolgert werden.

In dieser Arbeit treten interne Dynamiken zweier verschiedener Arten auf. Die eine Art der inter-nen Dynamiken entsteht durch eine Reduktion der Zustande in der Regelstrecke. Die andere Artentsteht durch das Aufschalten eines nichtlinearen Kompensationsreglers an die Regelstrecke,wenn der relative Grad der Regelstrecke um eins kleiner ist als ihre Ordnung. Der Zustand des in-


ternen Systems hat keinen Einfluss auf den Ausgang. Bei der ersten Art ist dies eine Eigenschaftder Regelstrecke, bei der zweiten Art ist es die Verbindung von Regler und Strecke.

Um die Anzahl der gemeinsam geschatzen Parameter moglichst gering zu halten, wird bei derexperimentellen Identifikation in Kapitel 6 das Gesamtsystem des servohydraulischen Antriebsin folgenden 4 Teilsysteme unterteilt: Ansteuerung des Servoventils, Druckaufbau, Lastmechanikund Mechanik des Fundaments. Die Unterteilung erfolgt aufgrund der Struktur der Modellglei-chungen und der Sensorausstattung.Die physikalisch motivierte Modellbildung aus Kapitel 4 liefert Modelle mit physikalisch inter-pretierbaren und dadurch anschaulichen Parametern als Modellhypothese fur die Identifikation.Die Vorgehensweise bei der parametrischen Identifikation des servohydraulischen Antriebs wirdausfuhrlich in Kapitel 6.2 beschrieben. Die Parameterschatzung erfolgt mit der linearen Regres-sion (Least-Squares-Algorithmus), mit der Pradiktionsfehlermethode (Matlab System Identifi-cation Toolbox) oder mit der nichtlinearen Optimierung (Nelder–Mead–Simplex–Algorithmus).

Zuerst wird zur Schatzung der unbekannten Parameter versucht, die lineare Regression mitdem Least-Squares-Algorithmus als die numerisch einfachste Methode anzuwenden. Es werdendie notwendigen Schritte zur Ermittlung der Identifikationsgleichung beschrieben und es wirddaruberhinaus diskutiert, was beim Einsatz des Least-Squares-Algorithmus zu beachten ist undwelchen Schwierigkeiten bei einer nicht sachgemaßen Anwendung auftreten. So fuhrt beispiels-weise eine Storung auf dem Regressor zu einem Bias auf den Parametern.

Die Pradiktionsfehlermethode [6, 48] berucksichtigt unterschiedliche Eingangsorte einer externenStorung (equation error: z.B. ARX , output error: z.B. OE), was in Kapitel C.1.3.2 anhand einesBeispiels verdeutlicht wird. Zusatzlich kann durch lineare Fehlermodelle (z.B. ARMAX, BJ) einespektrale Zusammensetzung der externen Storung modelliert werden. In Kapitel C.1.3.1 wirdder Pradiktionsfehler als uber das inverse Fehlermodell aus dem Simulationsfehler entstandeninterpretiert.Im Rahmen dieser Arbeit kommt die Pradiktionsfehlermethode fur lineare, zeitkontinuierlicheUbertragungsfunktionen zum Einsatz, wie sie systematisch im Kapitel A.5 fur das lineare re-duzierte Modell mit und ohne Fundament aufgelistet sind. Hierbei werden die Parameter eineraquivalenten zeitdiskreten Ubertragungsfunktion geschatzt und anschließend in die Parameterder zeitkontinuierlichen Ubertragungsfunktion umgerechnet. Die Verbesserung, die sich bei derparametrischen Identifikation durch Verwendung von linearen Fehlermodellen ergibt, ist fur dieBestimmung der Parameter des servohydraulischen Antriebs sehr gering, da der entstehendeModellfehler erheblich großer als das Messrauschen ist.

Die Parameterschatzung mittels nichtlinearer Optimierung betrifft Modellstrukturen, die sichweder auf die Form der linearen Regression bringen, noch auf aquivalente lineare, zeitdiskreteModelle transformieren lassen. So werden die Parameter der nichtlinearen Modelle der Servo-ventilansteuerung im Kapitel 6.3.3 mittels nichtlinearer Optimierung bestimmt.

Im Kapitel C.3.1 wird fur ein lineares System 1. Ordnung hergeleitet, wie das Eingangssignalbeschaffen sein sollte, damit die Sensitivitat seiner Parameter maximal fur den Ausgang wird.

Die Identifikationsergebnisse werden anhand eines “Fits” beurteilt, einer Kennzahl (siehe Gl.(6.1)) die in Prozent angibt, wie gut das Modell die Wirklichkeit wiedergibt. Da der “Fit” dieStarke der Anregung berucksichtigt, konnen Ergebnisse unterschiedlicher Ansteuerungsamplitu-den miteinander verglichen werden.

Bei der Pradiktionsfehlermethode wird zusatzlich anhand von Auto- und Kreuzkovarianzfunk-tionen untersucht, ob der Pradiktionsfehler unkorreliert mit sich selber und mit den Eingangenist, um festzustellen, ob der gewahlte Modellansatz geeignet ist.

197

Fur die Identifikation der Ansteuerung des Servoventils in Kapitel 6.3 werden experimentellFrequenzgange fur die unterschiedlichen Aussteuerungsamplituden mit sinussweepformigen Si-gnalen aufgenommen. Eine merkliche Totzeit und eine aussteuerungsabhangige Grenzfrequenzwerden bei der Auswertung in Kapitel 6.3.1 beobachtet. In Kapitel 6.3.2 werden die Parame-ter eines linearen Modells 3.Ordnung unter Verwendung der Pradiktionsfehlermethode fur dieverschiedenen Aussteuerungsamplituden bestimmt. Jedoch kann das Verhalten der Ansteuerungdes Servoventils nicht durch einem Parametersatz fur alle Aussteuerungsamplituden wiederge-geben werden, was durch eine Validierung mit den jeweils nicht an der Schatzung beteiligtenDatensatzen gezeigt wird.Dies gelingt erst mit nichtlinearen Modellen, die eine Sattigung der Ventilkolbengeschwindig-keit enthalten. Das in Kapitel 4.2 auf physikalischer Basis entwickelte nichtlineare Modell derServoventilansteuerung aus Gl. (4.1) bis Gl. (4.4c) dient in Kapitel 6.3.3 als Ausgangsgangs-punkt fur die Modellhypothese der Identifikation. Um die Parameter des nichtlinearen Modellsidentifizieren zu konnen, ohne weitere interne Variablen des Servoventils zu messen, werden inAbschnitt 6.3.3 nichtlineare Modelle 1. bis 3. Ordnung der Servoventilansteuerung aufgestelltund die unbekannten Parameter anhand von Verlaufen der Ventileingangsspannung und des ge-messenen Ventilkolbenwegs geschatzt. Die Parameterschatzung erfolgt mittels eines nichtlinearenOptimierungsverfahrens (Nelder–Mead–Simplex–Algorithmus).Mit den nichtlinearen Modellen 1. bis 3. Ordnung gelingt es, das Verhalten der Ansteuerung desServoventils durch einem Parametersatz fur alle Aussteuerungsamplituden wiederzugeben.Die nichtlinearen Regler konnen die Sattigung in der Servoventilansteuerung nicht kompensie-ren, da es sich um eine nicht uberwindbare Leistungsgrenze des Servoventils handelt. Stattdessenwerden im Entwurfmodell des Reglers lineare Modelle 0. bis 3. Ordnung zur Modellierung derServoventilansteuerung angenommen. In Kapitel 6.3.4 werden daher fur den Reglerentwurf linea-re Modelle der Servoventilansteuerung abgeleitet, welche die beobachtete Totzeit approximieren.

Die Modellhypothesen bei der Identifikation des Druckaufbaus in Kapitel 6.4 sind ein nichtli-nearer, nicht reduzierter Druckaufbau (siehe Kapitel 6.4.1), ein nichtlinearer, reduzierter Druck-aufbau (siehe Kapitel 6.4.2), ein linearer, reduzierter Druckaufbau (siehe Kapitel 6.4.3) und eineKombination von linearem, reduziertem Druckaufbau und Lastmechanik fur eine starre und einenachgiebige Lagerung (siehe Kapitel 6.4.4). Die geschatzten Parameter werden in Kapitel 6.4.5gegenubergestellt.Fur die Identifikation der Lastmechanik in Kapitel 6.5 und die Identifikation des Fundamentesin Kapitel 6.6 wird die Pradiktionsfehlermethode eingesetzt. Hierbei ist beobachtet worden, dasssich das Fehlermodell als ein Sperrfilter ausgestaltet, um so den Einfluss einer nicht modelliertenDynamik z.B. einer weiteren Resonanz abzuschwachen.

Die verschiedenen in Kapitel 7 entworfenen nichtlinearen und linearen Regler entstehen durchVerwenden einer nichtlinearen oder einer linearen Druckaufbaugleichung, durch die Modellierungder Servoventilansteuerung als lineares Modell bis zu einer 3. Ordnung und mit der oder ohnedie Berucksichtigung eines mitschwingenden Fundaments zur Kompensation dessen Einflusses.Im Kapitel 8 wird das Regelkreisverhalten im Laborexperiment und in der Rechnersimulationuntersucht, wobei die erzielten Ergebnisse eine gute Ubereinstimmung aufweisen.

Durch die Laborexperimente konnte gezeigt werden, dass nur Regler, die den Einfluss des Fun-daments kompensieren und ein dynamisches Modell der Servoventilansteuerung berucksichtigen,ein gutes Fuhrungsubertragungsverhalten erzielen. Die Verbesserung durch einen nichtlinearenRegler gegenuber einem vergleichbaren linearen Regler ist sehr gering.Nur mit steigender Aussteuerung unterscheiden sich der nichtlineare und der lineare Regler.Bei geringer Aussteuerung ist der nichtlineare Regler nicht besser als der lineare Regler. Der


Aussteuerung ist aber nach oben durch die Flusssattigung des Servoventils eine unuberwindbareGrenze gesetzt. Die Flusssattigung des Servoventils beschreibt die Begrenzung des moglichenLastflusses bei vollstandig geoffnetem Servoventil durch einen steigenden Lastdruck. Dies fuhrtdazu, dass der nichtlineare Regler bei dieser Art der Nichtlinearitat noch starker aussteuernmuss und damit die durch die Flusssattigung gegebene Grenze schneller erreicht.Eine weitere Schwierigkeit in diesem Zusammenhang bereitet das Fundament. Die linearen undnichtlinearen Regler, die im Entwurfsmodell ein mitschwingendes Fundament berucksichtigen,kompensieren zwar die Auswirkung der Schwingung des Fundaments auf die Bewegung der me-chanischen Last, jedoch die Schwingung des Fundaments selber schwachen sie nicht ab. DasFundament wird durch den Kompensationsregler zu einen internen System. Mit steigender Am-plitude des Fuhrungssignals steigt auch die Amplitude der Schwingung des Fundaments, zudessen Kompensation der Regler ebenfalls großere Stellsignale benotigt. Um die mechanischeLast dem Fuhrungssignal nachzufahren, regt der nichtlineare Kompensationsregler das Funda-ment starker an als der lineare Kompensationsregler. Hierdurch fallt die mogliche Verbesserungdurch die nichtlinearen Regler kleiner aus und sein Arbeitsbereich wird stark eingeschrankt.

Nach den Ergebnissen dieser Arbeit ist die nichtlineare Regelung servohydraulischer Antriebemit Gleichgangzylindern und hydrostatischer Lagerung der Zylinderkolbenstange nur bei sehrgroßen Aussteuerungen erforderlich.Da die Verwendung von linearen Fehlermodellen fur die Bestimmung der Parameter des ser-vohydraulischen Antriebs nur eine geringe Verbesserung bringt und da die Modellfehler meisterheblich großer als das Messrauschen sind, bietet sich eine genaue Analyse der Modellfehler an,um damit Ansatzpunkte fur die Erweiterung und Verbesserung des Modells zu finden.

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202 Literaturverzeichnis

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Anhang A

Anhang zur mathematischen Modellbildung eines

servohydraulischen Linearantriebs

A.1 Nichtlineares, formales Modell des Servoventils

Ein formales mathematisches Modell beschreibt im Gegensatz zu einem physikalischen Modelldas Ein-/Ausgangsverhalten eines Systems, ohne die internen Ablaufe physikalisch zu beruck-sichtigen. Zur Identifikation und zur Validierung eines physikalischen Modells des Servoventilsist die Messung von internen Variablen des Ventils erforderlich, wie z.B. des elektrischen Stro-mes im magnetischen Antrieb und der Kraft auf die Ventilkolbenmechanik, worauf im Rahmendieses Forschungsprojektes aber verzichtet worden ist. Durch die Wahl eines geeigneten innerenAufbaus fur das formale mathematische Modell lasst sich dieses ohne die Messung von internenVariablen identifizieren. Das nichtlineare, formale Modell des Servoventils mit der Ventilein-gangsspannung uM als Eingang und dem Ventilweg xV als Ausgang basiert im wesentlichenauf der im Laborexperiment anhand von Sprungantworten beobachteten Sattigung der Ventil-kolbengeschwindigkeit, die durch den elektromagnetischen Antrieb und die zweite hydraulischbetriebene Ventilstufe verursacht wird.

Die nichtlinearen, formalen Modellgleichungen des Servoventils 3.Ordnung setzten sich aus denfolgenden Teilmodellen zusammen:

• Ventilkolbenmechanik mit Ventilkolbengeschwindigkeit x′V als formalem Eingang

xV + a1 · xV = a1 · x′V , (A.1)

• Sattigungskennlinie x′V (x′′V ) der Ventilkolbengeschwindigkeit (vgl. Bild A.1)

x′V := x′V (x′′V ) =




, (A.2)

• formaler elektromagnetischer Antrieb

x′′V + a2 · x′′V = a2 · x′′′V und (A.3)

• Lageregelung des Ventilkolbens mittels P-Regler

exV = kV · uM − xV , (A.4)x′′′V = b1 · exV (A.5)

203

204 Anhang A. Modellbildung

mit den Prozessmodellvariablen:

uM Ventileingangsspannung [V],xV Ventilkolbenweg [m],xV Ventilkolbengeschwindigkeit [ms ],x′V formale Ventilkolbengeschwindigkeit nach der Sattigung [ms ],x′′V formale Ventilkolbengeschwindigkeit vor der Sattigung [ms ],x′′′V formale Ventilkolbengeschwindigkeit vor dem elektromagnetischen Antrieb [ms ],exV Regelfehler des Ventilkolbenwegs [m]

und den Prozessmodellparametern:

a1 formaler Parameter der Ventilkolbenmechanik [1s ],a2 formaler Parameter des elektromagnetischen Antriebs [1s ],b1 Verstarkungsfaktor des Reglers [1s ],xVmax Sattigungswert der Ventilkolbengeschwindigkeit [ms ] undkV stationarer Verstarkungsfaktor des Servoventils zwischen der Ventileingangsspan-

nung uM und dem Ventilkolbenweg xV [mV ].

x′V

xVmax

x′′V

−xVmax

x′V

1

Sattigung

x′′V

Bild A.1: Sattigungskennlinie x′V (x′′V ) der Ventilkolbengeschwindigkeit

Das Blockschaltbild der nichtlinearen, formalen Modellgleichungen des Servoventils 3. Ordnung(A.1) bis (A.5) ist im Bild A.2 dargestellt.

A.2 Bildung linearer Modelle aus den nichtlinearen Modellen des Servoventils 205

xV

a2

b1

∫

a1

a1

∫kV a2

∫ x′′V+

−

exVxVx′V

Sattigung−+

uM

x′′′V

−

+ xV

Bild A.2: Blockschaltbild der nichtlinearen, formalen Modellgleichungen (A.1) bis (A.5) des Ser-voventils 3. Ordnung

A.2 Bildung der Ubertragungsfunktion der linearen Modelleentstanden aus den zugehorigen nichtlinearen Modellen desServoventils

Bei einer Aussteuerung der Sattigungskennlinie (4.2) bzw. (A.2) im linearen Bereich lassen sichdie nichtlinearen, physikalischen Modellgleichungen (4.1) bis (4.4c) bzw. die nichtlinearen, forma-len Modellgleichungen (A.1) bis (A.5) des Servoventils in lineare Modelle 3. Ordnung umrechnen,die mit der in [1] verwendeten Darstellung (vgl. Bild A.3) des Servoventils ubereinstimmen unddie Ubertragungsfunktion im Laplace-Raum

GxV , uM (s) =XV (s)UM (s)

= kV · kM · aM

s + aM· ω2

V

s2 + 2 · ζV · ωV · s + ω2V

(A.6)

vom Eingang uM zum Ausgang xV besitzen. Die Laplace-Transformation der Ein-/Ausgangssignalelauten UM (s) := LuM (t) und XV (s) := LxV (t).

Servoventilmechanik

kV ·ω2V

2·ζV ·ωV

kM ·aM

∫-

+

+

+ ∫

ω2V

aM

∫ FV xV

-

+uM xV

magnetischer Antrieb

Bild A.3: Darstellung des linearen Servoventilmodells 3. Ordnung aus [1]

Da das nichtlineare Verhalten der nichtlinearen Modellgleichungen nur durch die Sattigungs-kennlinie (4.2) bzw. (A.2) verursacht wird, ist die in Kapitel 5 angewandte Vorgehensweise zurBildung eines linearen Ersatzsystems durch Bestimmung der Ruhelage und Linearisierung mit-tels Taylorreihenentwicklung nicht erforderlich.Aus den nichtlinearen, physikalischen Modellgleichungen (4.1) bis (4.4c) des Servoventils entstehtbei Vernachlassigung der Sattigung (4.2) ein lineares Modell 3. Ordnung (vgl. Bild A.4) mit derUbertragungsfunktion

GxV , uM (s) :=XV (s)UM (s)

=k′M · a′M · k′V · kpV · 1

mV

s3 + (a′M + dVmV

) · s2 + a′M · dVmV

· s + k′M · a′M · kpV · 1mV

. (A.7)


Bei gegebenen Parametern k′M , k′V , a′M , kpV , mV und dV ist eine numerische Umrechnung indie Parameter kV , kM , aM , ωV und ζV der Darstellung (A.6) moglich.

FV ≡ F′V xV xV

−+

xV1

mV

∫

dV

mV

∫∫−

+

−

exVuM

+

xV d

xV

u′M FV

k′V kpVk′M ·a′M

a′M

Bild A.4: Lineares Servoventilmodell, entstanden aus den nichtlinearen, physikalischen Modell-gleichungen (4.1) bis (4.4c) durch Vernachlassigung der Sattigung (4.2)

In gleicher Weise entsteht aus den nichtlinearen, formalen Modellgleichungen (A.1) bis (A.5) desServoventils bei Vernachlassigung der Sattigung (A.2) ein lineares Modell 3. Ordnung (vgl. BildA.5) mit der Ubertragungsfunktion

GxV , uM (s) :=XV (s)UM (s)

=kV · a1 · a2 · b1

s3 + (a1 + a2) · s2 + a1 · a2 · s + a1 · a2 · b1. (A.8)

Bei gegebenen Parametern kV , a1, a2 und b1 ist eine numerische Umrechnung in die ParameterkV , kM , aM , ωV und ζV der Darstellung (A.6) moglich, wenn ein Wert fur kM angenommenwird.

+

a2

b1kV a2

∫

a1

a1

∫xV xV

−+

xV∫ x′′V ≡ x′V+

−

exVuM

x′′′V

−

Bild A.5: Lineares Servoventilmodell, entstanden aus den formalen nichtlinearen Modellgleichun-gen (A.1) bis (A.5) durch Vernachlassigung der Sattigung (A.2)

A.3 Leckflusse aufgrund hydrostatischer Lagerung der Zylinder-kolbenstange

Im Bild A.6 ist ein stark vereinfachtes lineares Modell der Leckflusse aufgrund hydrostatischerLagerung der Zylinderkolbenstange mit den formalen Leckflussen qA, qB, qC , den formalen Leck-flusskoeffizienten kA, kB, kC und einem formalen Druckniveau p dargestellt. Der Leckfluss qA

entspricht dem Leckfluss qLEI aus der Gleichung (4.8a).Es gilt die Massenbilanzgleichung

qA + qB = qC (A.9)

und

qLEI = qA := kA · (pI − p) , (A.10a)

A.4 Reduktion der nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen mit Leckflussen 207

Kammer I

pS

pR

pI

qBkB

p

Ersatzschaltbild

qC

kC

kA

qA = qLEI

qB


pS

ZylindergehausepR

pI

qA = qLEI

qC

p

hydrostatischesLager

Skizze

druckVersorgungs-

Rucklaufdruck

Druckin der

Bild A.6: Leckflusse aufgrund hydrostatischer Lagerung der Zylinderkolbenstange

qB := kB · (pS − p) , (A.10b)qC := kC · (p− pR) . (A.10c)

Aus (A.9) folgt unter Verwendung von (A.10b) und (A.10c):

qLEI = qA = qC − qB = kC · (p− pR)− kB · (pS − p) . (A.11)

Das formale Druckniveau p wird aus (A.10a) berechnet

p = pI − qA

kA(A.12)

und in (A.11) eingesetzt

qLEI = qA =kA · (kB + kC)kA + kB + kC

· pI − kA · kB

kA + kB + kC· pS − kA · kC

kA + kB + kC· pR . (A.13)

Bei Vernachlassigung der Abhangigkeit von pR und Definition von

kLEPI :=kA · (kB + kC)kA + kB + kC

und (A.14)

kLEPSI :=kA · kB

kA + kB + kC(A.15)

erhalt man die Gleichung (4.8a). Entsprechendes gilt fur die Gleichung (4.8b).

A.4 Reduktion der nichtlinearen nicht reduzierten Modellglei-chungen mit Leckflussen

Die in [1] beschriebene Vorgehensweise zur Reduktion der nichtlinearen nicht reduzierten Modell-gleichungen (4.1) bis (4.11) wird in diesem Abschnitt um die Leckflusse (4.8a), (4.8b) aufgrundhydrostatischer Lagerung der Zylinderkolbenstange erweitert.


Das wesentliche Ziel des Reduktionschrittes ist die Zusammenfassung der einzelnen Druckauf-baugleichungen fur die Kammerdrucke pI und pII zu einer Druckaufbaugleichung fur die Druck-differenz pL := pI − pII .Hierzu werden unter Verwendung der Annahmen 1 (4.15a) und 2 (4.15b) aus [1] die Gleichungen(4.5a) und (4.5b) voneinander subtrahiert:

Ak · L2 ·B · pL +

Ak

B·(pI + pII)·(xka−xG)

︸︷︷︸storender Term

+2·Ak ·(xka−xG) = qZ(xV , pI , pII) , (A.16)

wobei fur die Volumenflusse auf der rechten Seite der Gleichung die Abkurzung

qZ(xV , pI , pII) := qZI(xV , pI , pII) + qZII(xV , pI , pII) (A.17)

eingefuhrt worden ist.Die Gleichung (A.16) ist die gesuchte Druckaufbaugleichung, wenn

1. der Term AkB · (pI + pII) · (xka − xG) wegfallt und wenn

2. der Volumenfluss qZ(xV , pI , pII) nur von xV und pL abhangt.

In [1] wird unter Vernachlassigung der Bypass- und Leckflusse gezeigt, dass der Term AkB · (pI +

pII) entfallt, wenn die Annahmen 4 (4.15d) und 5 (4.15e) zutreffen. Die Gultigkeit dieser Aussagewird im folgenden auch fur signifikante Bypass- und Leckflusse aufrechterhalten.Der Volumenfluss qZ(xV , pI , pII) aus (A.17) besteht unter Verwendung von (4.6a) und (4.6b)aus

qZ(xV , pI , pII) = q2(xV , pI)− q1(xV , pI) + q4(xV , pII)− q3(xV , pII)︸︷︷︸=:2·q′L(xV ,pI ,pII)

(A.18)

− 2 · qBP (pI , pII)− 2 · qBPL(pI , pII)−qLEI(pI) + qLEII(pII)︸︷︷︸=:−2·q′LE(pI ,pII)

.

Mit den Definitionen

q′L(xV , pI , pII) :=

12· [q2(xV , pI)− q1(xV , pI) + q4(xV , pII)− q3(xV , pII)] (A.19)

und

q′LE(pI , pII) :=

12· [qLEI(pI)− qLEII(pII)] (A.20)

folgt

qZ(xV , pI , pII) = 2 · q′L(xV , pI , pII) (A.21)

− 2 · qBP (pI , pII)− 2 · qBPL(pI , pII)− 2 · q′LE(pI , pII) .

Gelten die Symmetriebedingung der Annahmen 6 (4.15f), 7 (4.15g) und 8 (4.15h), so wird in [1]hergeleitet, dass der Lastfluss qL(xV , pL) = q

′L(xV , pI , pII) nur noch von xV und pL abhangt.

Die Differenz der Leckflusse q′LE(pI , pII) setzt sich aus den Leckflussen (4.8a) und (4.8b) zusam-

men:

q′LE(pI , pII) :=

12· (qLEI(pI)− qLEII(pII)) (A.22)

A.5 Analytisch berechnete Ubertragungsfunktionen aus den linearen reduzierten Modellgleichungen 209

=12· kLEPI · pI − 1

2· kLEPII · pII +

12· (−kLEPSI + kLEPSII) · pS .

Fur identische Werte der Koeffizienten kLEPSI und kLEPSII wird die Differenz der Leckflusseq′LE(pI , pII) unabhangig vom Versorgungsdruck pS und hangt bei identischen Werten der Koef-

fizienten kLEPI und kLEPII nur noch von Lastdruck pL ab, vgl. Annahme 9 mit Gl. (4.15i) ausKapitel 4.3:

qLE(pL) := q′LE(pI , pII) =

12· kLEP · pL . (A.23)

Ein Zusammenfassen mit dem laminaren Bypassfluss (4.9a) ergibt (vgl. Gleichung (4.30)):

qBPLred(pL) := qBPL(pL) + qLE(pL) = kBPL · pL +

12· kLEP · pL = kLE · pL (A.24)

mit dem laminaren Bypass- und Leckflusskoeffizient

kLE := kBPL +12· kLEP . (A.25)

A.5 Analytisch berechnete Ubertragungsfunktionen aus den li-nearen reduzierten Modellgleichungen

In den Anschnitten A.5.1 und A.5.2 werden verschiedene analytisch berechnete Ubertragungs-funktionen der linearen reduzierten Modellgleichungen (4.39) bis (4.43) des servohydraulischenAntriebs fur die Falle mit und ohne Fundamentmodell aufgestellt.Diese Ubertragungsfunktionen dienen als Modellhypothese fur die parametrische Identifikati-on von Ubertragungsfunktionen aus nichtparametrisch geschatzten Frequenzgangen bei einerAnregung mit Multisinussignalen.Aus Grunden der Ubersichtlichkeit wird die Kennzeichnung von Kleinsignalgroßen unterdrucktund die Ventildynamik zwischen uM und xV mit der Ubertragungsfunktion (A.6) weggelassen.Stattdessen wird der Ventilweg xV als formaler Steuereingang betrachtet.Ein hochgestelltes oF bezeichnet den Fall ohne Fundamentmodell und ein hochgestelltes mFden Fall mit Fundamentmodell.

A.5.1 Analytisch berechnete Ubertragungsfunktionen aus den linearen redu-zierten Modellgleichungen ohne Fundamentmodell

Ein Zustandsraummodell der linearen reduzierten Modellgleichungen ohne Fundamentmodellbei Wahl des Zustandsvektors xoF := [xoF

1 , xoF2 , xoF

3 ]T = [pL, xk, xk]T und des Ventilwegs alsEingang u = xV lautet:

xoF = AoF · xoF + BoF · u (A.26)

yi = CoFi · xoF (A.27)

mit

AoF :=

∣∣∣∣∣∣∣

QPCH

0 − AkCH

0 0 1Akmk

0 − dkmk

∣∣∣∣∣∣∣, BoF :=

∣∣∣∣∣∣

QXCH

00

∣∣∣∣∣∣(A.28)


und CoFi fur die Ausgange xk, xk, xk und pL

CoFxk

:= [0, 1, 0] , (A.29)

CoFxk

:= [0, 0, 1] , (A.30)

CoFxk

:= [Ak

mk, 0,− dk

mk] , (A.31)

CoFpL

:= [1, 0, 0] . (A.32)

Die Laplace-Transformierten der Signale xV , xk, xk, xk und pL werden mit XV (s), Xk(s), Xk(s),Xk(s) und PL(s) bezeichnet.Zur kompakteren Darstellung der Ubertragungsfunktionen werden folgende Abkurzungen ein-gefuhrt (vgl. [1]):

kH :=Ak ·QX

A2k − dk ·QP

, ωH :=

√A2

k − dk ·QP

mk · CH, ζH :=

dkmk

− QPCH

2 ·√

A2k−dk·QP

mk·CH

, (A.33a)

kLast :=Ak

dkund aLast :=

dk

mk. (A.33b)

Die folgenden Ubertragungsfunktionen sind analytisch berechnet worden:

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Zylinderkolbenauslenkung xk:

GoFxk, xV

(s) :=Xk(s)XV (s)

= CoFxk· [s · I3 −AoF

]−1 ·BoF (A.34)

= kH · 1s· ω2

H

s2 + 2 · ζH · ωH · s + ω2H

,

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Zylinderkolbengeschwindigkeit xk:

GoFxk, xV

(s) :=Xk(s)XV (s)


]−1 ·BoF (A.35)

= kH · 1 · ω2H

s2 + 2 · ζH · ωH · s + ω2H

,

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Zylinderkolbenbeschleunigung xk:

GoFxk, xV

(s) :=Xk(s)XV (s)


]−1 ·BoF (A.36)

= kH · s · ω2H

s2 + 2 · ζH · ωH · s + ω2H

,

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zum Lastdruck pL:

GoFpL, xV

(s) :=PL(s)XV (s)

= CoFpL· [s · I3 −AoF

]−1 ·BoF (A.37)

=kH

kLast· s + aLast

aLast· ω2

H

s2 + 2 · ζH · ωH · s + ω2H

,


• Ubertragungsfunktion vom Lastdruck pL zur Zylinderkolbenauslenkung xk:

GoFxk, pL

(s) :=Xk(s)PL(s)

=GoF

xk, xV(s)

GoFpL, xV

(s)= kLast · 1

s· aLast

s + aLast, (A.38)

• Ubertragungsfunktion vom Lastdruck pL zur Zylinderkolbengeschwindigkeit xk:

GoFxk, pL

(s) :=Xk(s)PL(s)

=GoF

xk, xV(s)

GoFpL, xV

(s)= kLast · 1 · aLast

s + aLastund (A.39)

• Ubertragungsfunktion vom Lastdruck pL zur Zylinderkolbenbeschleunigung xk:

GoFxk, pL

(s) :=Xk(s)PL(s)

=GoF

xk, xV(s)

GoFpL, xV

(s)= kLast · s · aLast

s + aLast. (A.40)

In der Tabelle A.3 sind die Anzahl der Pol- und Nullstellen sowie die Anzahl der Integrato-ren und Differenzierer der Ubertragungsfunktionen (A.34) bis (A.40) der linearen reduziertenModellgleichungen ohne Fundamentmodell aufgelistet.

Ubertragungsfunktion Anzahl derName Gleichung Eingang Ausgang Polst. Nullst. Int. Diff.

GoFxk, xV

(s) (A.34) xV xk 3 0 1 0GoF

xk, xV(s) (A.35) xV xk 2 0 0 0

GoFxk, xV

(s) (A.36) xV xk 2 1 0 1

GoFpL, xV

(s) (A.37) xV pL 2 1 0 0

GoFxk, pL

(s) (A.38) pL xk 2 1 1 0GoF

xk, pL(s) (A.39) pL xk 1 0 0 0

GoFxk, pL

(s) (A.40) pL xk 1 1 0 1

Tabelle A.3: Anzahl der Polstellen (Polst.), Nullstellen (Nullst.), Integratoren (Int.) und Diffe-renzierer (Diff.) bei den analytisch berechneten Ubertragungsfunktionen der linea-ren reduzierten Modellgleichungen ohne Fundamentmodell

A.5.2 Analytisch berechnete Ubertragungsfunktionen aus den linearen redu-zierten Modellgleichungen mit Fundamentmodell

Ein Zustandsraummodell der linearen reduzierten Modellgleichungen mit Fundamentmodell beiWahl des Zustandsvektors xmF := [xmF

1 , xmF2 , xmF

3 , xmF4 , xmF

5 ]T = [pL, xka, xka, xG, xG]T unddes Ventilwegs als Eingang u = xV lautet:

xmF = AmF · xmF + BmF · u (A.41)

yi = CmFi · x (A.42)


mit

AmF :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

QPCH

0 − AkCH

0 AkCH

0 0 1 0 0Akmk

0 − dkmk

0 dkmk

0 0 0 0 1− Ak

mG0 dk

mG− cG

mG−dk+dG

mG

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, BmF :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

QXCH

0000

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(A.43)

und CmFi fur die Ausgange xka, xka, xka, pL xk, xk, xG, xG und xG

CmFxka

:= [0, 1, 0, 0, 0] , (A.44)

CmFxka

:= [0, 0, 1, 0, 0] , (A.45)

CmFxka

:= [Ak

mk, 0,− dk

mk, 0,

dk

mk] , (A.46)

CmFpL

:= [1, 0, 0, 0, 0] , (A.47)

CmFxk

:= [0, 1, 0,−1, 0] , (A.48)

CmFxk

:= [0, 0, 1, 0,−1] , (A.49)

CmFxG

:= [0, 0, 0, 1, 0] , (A.50)

CmFxG

:= [0, 0, 0, 0, 1] und (A.51)

CmFxG

:= [− Ak

mG, 0,

dk

mG,− cG

mG,−dk + dG

mG] . (A.52)

Die Laplace-Transformierten der zusatzlichen Signale xka, xka, xka, xG, xG und xG werden mitXka(s), Xka(s), Xka(s), XG(s), XG(s) und XG(s) bezeichnet.Zur kompakteren Darstellung der Ubertragungsfunktionen werden zusatzlich folgende Abkurzun-gen eingefuhrt:

• Verstarkungsfaktor

kkG := − cG

mk, (A.53)

• Masse–Feder–Dampfer–System 1 (nur Masse des Fundaments)

ωG1 :=√

cG

mG, ζG1 :=

dG

2 · √cG ·mG, (A.54)

• Masse–Feder–Dampfer–System 2 (Masse von Last und Fundament)

ωG2 :=√

cG

mG + mk, ζG2 :=

dG

2 ·√

cG · (mG + mk), (A.55)

• Koeffizienten des Polynoms aus der Verkopplung von Lastmechanik, Hydraulik und Fun-dament:

a3 = 2 · ζH · ωH + 2 · ζG1 · ωG1 +dk

mG, (A.56a)

a2 = ω2H ·

(1 +

mk

mG

)+ 4 · ζG1 · ωG1 · ζH · ωH + ω2

G1 , (A.56b)

a1 = 2 · ζH · ωH · ω2G1 + 2 · ω2

H · ζG1 · ωG1 , (A.56c)

a0 = ω2H · ω2

G1 , (A.56d)


• Koeffizienten des Polynoms aus der Verkopplung von Lastmechanik und Fundament

b2 := 2 · ζG1 · ωG1 + aLast ·(

1 +mk

mG

), (A.57a)

b1 := ω2G1 + aLast · 2 · ζG1 · ωG1 , (A.57b)

b0 := aLast · ω2G1 . (A.57c)

Die folgenden Ubertragungsfunktionen sind analytisch berechnet worden:

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Auslenkung der Last xka bezogen auf dasInertialsystem:

GmFxka, xV

(s) :=Xka(s)XV (s)

= CmFxka

· [s · I5 −AmF]−1 ·BmF (A.58)

= kH · 1s· a0

ω2G1

· s2 + 2 · ζG1 · ωG1 · s + ω2G1

s4 + a3 · s3 + a2 · s2 + a1 · s + a0,

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Geschwindigkeit der Last xka bezogen aufdas Inertialsystem:

GmFxka, xV

(s) :=Xka(s)XV (s)

= CmFxka

· [s · I5 −AmF]−1 ·BmF (A.59)

= kH · 1 · a0

ω2G1

· s2 + 2 · ζG1 · ωG1 · s + ω2G1

s4 + a3 · s3 + a2 · s2 + a1 · s + a0,

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Beschleunigung der Last xka bezogen auf dasInertialsystem:

GmFxka, xV

(s) :=Xka(s)XV (s)

= CmFxka

· [s · I5 −AmF]−1 ·BmF (A.60)

= kH · s · a0

ω2G1

· s2 + 2 · ζG1 · ωG1 · s + ω2G1

s4 + a3 · s3 + a2 · s2 + a1 · s + a0,

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Auslenkung der Last xk bezogen relativ zumFundament:

GmFxk, xV

(s) :=Xk(s)XV (s)

= CmFxk

· [s · I5 −AmF]−1 ·BmF (A.61)

= kH · 1s· a0

ω2G2

· s2 + 2 · ζG2 · ωG2 · s + ω2G2

s4 + a3 · s3 + a2 · s2 + a1 · s + a0,

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Geschwindigkeit der Last xk bezogen relativzum Fundament:

GmFxk, xV

(s) :=Xk(s)XV (s)

= CmFxk

· [s · I5 −AmF]−1 ·BmF (A.62)

= kH · 1 · a0

ω2G2

· s2 + 2 · ζG2 · ωG2 · s + ω2G2

s4 + a3 · s3 + a2 · s2 + a1 · s + a0,


• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zum Lastdruck pL:

GmFpL, xV

(s) :=PL(s)XV (s)

= CmFpL

· [s · I5 −AmF]−1 ·BmF (A.63)

=kH

kLast· 1 · a0

b0· s3 + b2 · s2 + b1 · s + b0

s4 + a3 · s3 + a2 · s2 + a1 · s + a0,

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Auslenkung des Fundaments xG bezogen aufdas Inertialsystem:

GmFxG, xV

(s) :=XG(s)XV (s)

= CmFxG

· [s · I5 −AmF]−1 ·BmF (A.64)

=kH

kkG· s · a0

s4 + a3 · s3 + a2 · s2 + a1 · s + a0,

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Geschwindigkeit des Fundaments xG bezogenauf das Inertialsystem:

GmFxG, xV

(s) :=XG(s)XV (s)

= CmFxG

· [s · I5 −AmF]−1 ·BmF (A.65)

=kH

kkG· s2 · a0

s4 + a3 · s3 + a2 · s2 + a1 · s + a0,

• Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Beschleunigung des Fundaments xG bezogenauf das Inertialsystem:

GmFxG, xV

(s) :=XG(s)XV (s)

= CmFxG

· [s · I5 −AmF]−1 ·BmF (A.66)

=kH

kkG· s3 · a0

s4 + a3 · s3 + a2 · s2 + a1 · s + a0,

• Ubertragungsfunktionen vom Lastdruck pL zur Auslenkung der Last xka bezogen auf dasInertialsystem:

GmFxka, pL

(s) :=Xka(s)PL(s)

=GmF

xka, xV(s)

GmFpL, xV

(s)(A.67)

= kLast · 1s· b0

ω2G1

· s2 + 2 · ζG1 · ωG1 · s + ω2G1

s3 + b2 · s2 + b1 · s + b0,

• Ubertragungsfunktionen vom Lastdruck pL zur Geschwindigkeit der Last xka bezogen aufdas Inertialsystem:

GmFxka, pL

(s) :=Xka(s)PL(s)

=GmF

xka, xV(s)

GmFpL, xV

(s)(A.68)

= kLast · 1 · b0

ω2G1

· s2 + 2 · ζG1 · ωG1 · s + ω2G1

s3 + b2 · s2 + b1 · s + b0,


• Ubertragungsfunktionen vom Lastdruck pL zur Beschleunigung der Last xka bezogen aufdas Inertialsystem:

GmFxka, pL

(s) =Xka(s)PL(s)

=GmF

xka, xV(s)

GmFpL, xV

(s)(A.69)

= kLast · s · b0

ω2G1

· s2 + 2 · ζG1 · ωG1 · s + ω2G1

s3 + b2 · s2 + b1 · s + b0,

• Ubertragungsfunktionen vom Lastdruck pL zur Auslenkung der Last xk bezogen relativzum Fundament:

GmFxk, pL

(s) =Xk(s)PL(s)

=GmF

xk, xV(s)

GmFpL, xV

(s)(A.70)

= kLast · 1s· b0

ω2G2

· s2 + 2 · ζG2 · ωG2 · s + ω2G2

s3 + b2 · s2 + b1 · s + b0,

• Ubertragungsfunktionen vom Lastdruck pL zur Geschwindigkeit der Last xk bezogen re-lativ zum Fundament:

GmFxk, pL

(s) =Xk(s)PL(s)

=GmF

xk, xV(s)

GmFpL, xV

(s)(A.71)

= kLast · 1 · b0

ω2G2

· s2 + 2 · ζG2 · ωG2 · s + ω2G2

s3 + b2 · s2 + b1 · s + b0,

• Ubertragungsfunktionen vom Lastdruck pL zur Auslenkung des Fundaments xG bezogenauf das Inertialsystem:

GmFxG, pL

(s) =XG(s)PL(s)

=GmF

xG, xV(s)

GmFpL, xV

(s)(A.72)

=kLast

kkG· s · b0

s3 + b2 · s2 + b1 · s + b0,

• Ubertragungsfunktionen vom Lastdruck pL zur Geschwindigkeit des Fundaments xG be-zogen auf das Inertialsystem:

GmFxG, pL

(s) =XG(s)PL(s)

=GmF

xG, xV(s)

GmFpL, xV

(s)(A.73)

=kLast

kkG· s2 · b0

s3 + b2 · s2 + b1 · s + b0,

• Ubertragungsfunktionen vom Lastdruck pL zur Beschleunigung des Fundaments xG bezo-gen auf das Inertialsystem:

GmFxG, pL

(s) =XG(s)PL(s)

=GmF

xG, xV(s)

GmFpL, xV

(s)(A.74)

=kLast

kkG· s3 · b0

s3 + b2 · s2 + b1 · s + b0und


Ubertragungsfunktion Anzahl derName Gleichung Eingang Ausgang Polst. Nullst. Int. Diff.

GmFxka, xV

(s) (A.58) xV xka 5 2 1 0GmF

xka, xV(s) (A.59) xV xka 4 2 0 0

GmFxka, xV

(s) (A.60) xV xka 4 3 0 1

GmFxk, xV

(s) (A.61) xV xk 5 2 1 0GmF

xk, xV(s) (A.62) xV xk 4 2 0 0

GmFpL, xV

(s) (A.63) xV pL 4 3 0 0

GmFxG, xV

(s) (A.64) xV xG 4 1 0 1GmF

xG, xV(s) (A.65) xV xG 4 2 0 2

GmFxG, xV

(s) (A.66) xV xG 4 3 0 3

GmFxka, pL

(s) (A.67) pL xka 4 2 1 0GmF

xka, pL(s) (A.68) pL xka 3 2 0 0

GmFxka, pL

(s) (A.69) pL xka 3 3 0 1

GmFxk, pL

(s) (A.70) pL xk 4 2 1 0GmF

xk, pL(s) (A.71) pL xk 3 2 0 0

GmFxG, pL

(s) (A.72) pL xG 3 1 0 1GmF

xG, pL(s) (A.73) pL xG 3 2 0 2

GmFxG, pL

(s) (A.74) pL xG 3 3 0 3

GmFxG, xka

(s) (A.75) xG xka 2 2 2 0

Tabelle A.4: Anzahl der Polstellen (Polst.), Nullstellen (Nullst.), Integratoren (Int.) und Diffe-renzierer (Diff.) bei den analytisch berechneten Ubertragungsfunktionen der linea-ren reduzierten Modellgleichungen mit Fundament

• Ubertragungsfunktionen von der Beschleunigung des Fundaments xG zur Beschleunigungder Last xka beides auf das Inertialsystem bezogen:

GmFxka, xG

(s) =Xka(s)XG(s)

=GmF

xka, xV(s)

GmFxG, xV

(s)(A.75)

= kkG · 1s2· s2 + 2 · ζG1 · ωG1 · s + ω2

G1

ω2G1

.

In der Tabelle A.4 sind die Anzahl der Pol- und Nullstellen sowie die Anzahl der Integratorenund Differenzierer der Ubertragungsfunktionen der linearen reduzierten Modellgleichungen mitFundament aufgelistet.

Anhang B

Anhang zur Linearisierung der nichtlinearen

Modellgleichungen des servohydraulischen Antriebs

in einer Ruhelage

B.1 Partielle Ableitungen der Flussfunktionen qZI und qZII

Die in den Linearisierungskoeffizienten (5.79) aus Kapitel 5.3.3 enthaltenen partiellen Ableitun-gen der Flussfunktionen qZI(xII2 , xII4 , xII5) (5.45a) und qZII(xII2 , xII4 , xII5) (5.45b) nach denVariablen xII2 , xII4 und xII5 berechnen sich wie folgt :

∂

∂xII2


,uIIC)

=

=∂

∂xII2

q2(xII2 , xII4)∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)

− ∂

∂xII2


,uIIC)

− ∂

∂xII2

qBP (xII4 , xII5)∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)︸︷︷︸

≡0

− ∂

∂xII2

qBPL(xII4 , xII5)∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)︸︷︷︸

≡0

− ∂

∂xII2

qLEI(xII4)∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)︸︷︷︸

≡0

= αD2 ·π ·d2 ·√

2/ρ·√∣∣∣pS − xII4C


)·σ

(xII2C

)

+ αD1 ·π ·d1 ·√

2/ρ·√∣∣∣xII4C

− pR


− pR

)·σ

(−xII2C

), (B.1a)

∂

∂xII4


,uIIC)

=

=∂

∂xII4


,uIIC)

− ∂

∂xII4


,uIIC)

− ∂

∂xII4


,uIIC)

− ∂

∂xII4


,uIIC)

217

218 Anhang B. Linearisierung

− ∂

∂xII4


,uIIC)

= −αD2 ·π ·d2 ·√

2/ρ· 1

2 ·√∣∣∣pS − xII4C

∣∣∣·xII2C

·σ(xII2C

)

+ αD1 ·π ·d1 ·√

2/ρ· 1

2 ·√∣∣∣xII4C

− pR

∣∣∣·xII2C

·σ(−xII2C

)


2/ρ · 1

2 ·√∣∣∣xII4C

− xII5C

∣∣∣− kBPL − kLEPI , (B.1b)

∂

∂xII5


,uIIC)

=

=∂

∂xII5


,uIIC)︸︷︷︸

≡0

− ∂

∂xII5


,uIIC)︸︷︷︸

≡0

− ∂

∂xII5


,uIIC)

− ∂

∂xII5


,uIIC)

− ∂

∂xII5


,uIIC)︸︷︷︸

≡0

= +αBP ·ABP ·√

2/ρ · 1

2 ·√∣∣∣xII4C

− xII5C

∣∣∣+ kBPL , (B.1c)

∂

∂xII2


,uIIC)

=

=∂

∂xII2


,uIIC)

− ∂

∂xII2


,uIIC)

− ∂

∂xII2


,uIIC)︸︷︷︸

≡0

− ∂

∂xII2


,uIIC)︸︷︷︸

≡0

+∂

∂xII2

qLEII(xII5)∣∣∣∣(xIIC

,uIIC)︸︷︷︸

≡0

= αD4 ·π ·d4 ·√

2/ρ·√∣∣∣xII5C

− pR


− pR

)·σ

(xII2C

)

+ αD3 ·π ·d3 ·√

2/ρ·√∣∣∣pS − xII5C


)·σ

(−xII2C

), (B.1d)

B.2 Reduktion des linearen nicht reduzierten Modells 219

∂

∂xII4


,uIIC)

=

=∂

∂xII4


,uIIC)︸︷︷︸

≡0

− ∂

∂xII4


,uIIC)︸︷︷︸

≡0

− ∂

∂xII4


,uIIC)

− ∂

∂xII4


,uIIC)

+∂

∂xII4


,uIIC)︸︷︷︸

≡0

= −αBP ·ABP ·√

2/ρ · 1

2 ·√∣∣∣xII4C

− xII5C

∣∣∣− kBPL und (B.1e)

∂

∂xII5


,uIIC)

=

=∂

∂xII5


,uIIC)

− ∂

∂xII5


,uIIC)

− ∂

∂xII5


,uIIC)

− ∂

∂xII5


,uIIC)

+∂

∂xII5


,uIIC)

= αD4 ·π ·d4 ·√

2/ρ· 1

2 ·√∣∣∣xII5C

− pR

∣∣∣·xII2C

·σ(xII2C

)

− αD3 ·π ·d3 ·√

2/ρ· 1

2 ·√∣∣∣pS − xII5C

∣∣∣·xII2C

·σ(−xII2C

)

+ αBP ·ABP ·√

2/ρ · 1

2 ·√∣∣∣xII4C

− xII5C

∣∣∣+ kBPL + kLEPII . (B.1f)

B.2 Reduktion des linearen nicht reduzierten Modells

Die Reduktion des linearen nicht reduzierten Modells (5.75) wird im Frequenzbereich anhandder Ubertragungsfunktion vom Ventilweg xV zur Zylinderkolbenauslenkung xka untersucht (vgl.Kapitel 5.5).Aus dem linearen nicht reduzierten Modell (5.75) wird unter Hinzunahme des Ausgangsvektors

Cxka:= [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0] (B.2)

die Ubertragungsfunktion von der Ventileingangsspannung uM zur Zylinderkolbenauslenkung


xka gebildet :

Gxka, uM (s) :=Xka(s)UM (s)

= Cxka· [s · I9 −AII ]

−1 ·BII = Gxka, xV (s) ·GxV , uM (s) , (B.3)

die sich aus dem Produkt der Ubertragungsfunktion Gxka, xV (s) vom Ventilweg xV zur Zylinder-kolbenauslenkung xka und der aus (A.6) bekannten Ubertragungsfunktion GxV , uM (s) von derVentileingangsspannung uM zum Ventilweg xV zusammensetzt. Die Laplace-Transformationender Signale xka, xV und uM werden mit Xka(s), XV (s) und UM (s) bezeichnet.

Die Ubertragungsfunktion Gxka, xV (s) vom Ventilweg xV zur Zylinderkolbenauslenkung xka be-zogen auf das Inertialsystem lautet :


= k′0 ·(s− sNZD) · (s2 + dG

mG· s + cG

mG)

s6 + a′5 · s5 + a′4 · s4 + a′3 · s3 + a′2 · s2 + a′1 · s + a′0(B.4)

mit dem Verstarkungsfaktor k′0

k′0 :=1

mk· (AI ·QXV 1−AII ·QXV 2) , (B.5)

einer zusatzlichen Nullstelle sNZD

sNZD :=[AI ·QP22 + AII ·QP12] ·QXV 1− [AI ·QP21 + AII ·QP11] ·QXV 2

AI ·QXV 1−AII ·QXV 2(B.6)

und den Koeffizienten a′0 bis a′5 des Nennerpolynoms

a′5 = −QP22−QP11 +dk

mk+

dk

mG+

dG

mG, (B.7a)

a′4 = − 1mk

·[1 +

mk

mG

]· [AI ·QV K1−AII ·QV K2] +

dG

mG· dk

mk+

cG

mG(B.7b)

−[

dk

mk+

dk

mG+

dG

mG

]· [QP11 + QP22] + QP11 ·QP22−QP12 ·QP21 ,

a′3 = − 1mk

·[1 +

mk

mG

]· [AI ·QXK1−AII ·QXK2] (B.7c)

+1

mk·[1 +

mk

mG

]·[AI ·QP22+AII ·QP12]·QV K1−[AI ·QP21+AII ·QP11]·QV K2

− 1mk

· [AI ·QV K1−AII ·QV K2] · dG

mG

+[

dk

mk+

dk

mG+

dG

mG

]· (QP11 ·QP22−QP12 ·QP21)

−[

dG

mG· dk

mk+

cG

mG

]· (QP11 + QP22) +

cG

mG· dk

mk,

a′2 = +1

mk·[1 +

mk

mG

]·[AI ·QP22+AII ·QP12]·QXK1−[AI ·QP21+AII ·QP11]·QXK2 (B.7d)

− 1mk

· [AI ·QXK1−AII ·QXK2] · dG

mG

+1

mk·[AI ·QP22 + AII ·QP12]·QV K1− [AI ·QP21 + AII ·QP11]·QV K2· dG

mG

− 1mk

· [AI ·QV K1−AII ·QV K2] · cG

mG


+ [QP11·QP22−QP12·QP21]·[

dk

mk· dG

mG+

cG

mG

]− dk

mk·[QP22 + QP11]· cG

mG,

a′1 = +1

mk·[AI ·QP22 + AII ·QP12]·QXK1− [AI ·QP21 + AII ·QP11]·QXK2· dG

mG(B.7e)

− 1mk

· [AI ·QXK1−AII ·QXK2] · cG

mG

+1

mk·[AI ·QP22 + AII ·QP12]·QV K1− [AI ·QP21 + AII ·QP11]·QV K2· cG

mG

+dk

mk· [QP11 ·QP22−QP12 ·QP21] · cG

mGund

a′0 = +1

mk·[AI ·QP22 + AII ·QP12]·QXK1− [AI ·QP21 + AII ·QP11]·QXK2· cG

mG. (B.7f)

Nach Einsetzen der folgenden Reduktionsannahmen (4.15) aus Kapitel 4.3 :

Ak := AI = AII vgl. Annahme 1 (B.8a)L/2 := lI0 = lII0 und xII6C

≡ xII8Cvgl. Annahme 2 (B.8b)

pS + pR = pIC+ pIIC

vgl. Annahme 5 (B.8c)d := d1 = d2 = d3 = d4 vgl. Annahme 6 (B.8d)

αD := αD1 = αD2 = αD3 = αD4 vgl. Annahme 8 (B.8e)kLEP := kLEPI = kLEPII vgl. Annahme 9 (B.8f)

in die Linearisierungskoeffizienten (5.79) aus Kapitel 5.3.3 ergeben sich Symmetrien undAbhangighangigkeiten:

• Fur die Linearisierungskoeffizienten QXV 1 (5.79a) und QXV 2 (5.79f) folgt:

QXV 1 = −QXV 2 (B.9)

=12· αD · π · d

CH · √ρ· √

|p0 − pLC|·sign(p0 − pLC

)·σ(xVC)

+√|p0 + pLC

|·sign(p0 + pLC)·σ(−xVC

)

.

Mit der Definition QX (5.39) ergibt sich :

QXV 1 = −QXV 2 =12· QX

CH. (B.10)

• Fur die Linearisierungskoeffizienten QP11 (5.79b) und QP22 (5.79h) folgt:

QP11 = QP22 (B.11)

= −12· 1CH

· αD · π · d√ρ

·

xVC· σ( xVC

)√|p0 − pLC| +

−xVC· σ(−xVC

)√|p0 + pLC|

− 12· 1CH

·(

αBP ·ABP√2 · √ρ

· 1√|pLC| + kBPL + kLE

).


• Fur die Linearisierungskoeffizienten QP12 (5.79g) und QP21 (5.79c) folgt:

QP12 = QP21 =12· 1CH

·(

αBP ·ABP√2 · √ρ

· 1√|pLC| + kBPL

). (B.12)

Bei Vernachlassigung des turbulenten Bypassflusses qBPL folgt mit der Definition QP

(5.41) die Beziehung :

QP11−QP12 =QP

CH. (B.13)

• Fur die Linearisierungskoeffizienten QV K1 (5.79e) und QV K2 (5.79j) folgt:

QV K1 = −QV K2 = −12· Ak

CH. (B.14)

• Bei bei Vernachlassigung der Leckflusse qLEI und qLEII gilt fur die Linearisierungskoeffi-zienten QXK1 (5.79d) und QXK2 (5.79i) :

QXK1 = QXK2 (B.15)

= − 1L· 1CH

·

+αD · π · d√

ρ·√|p0 − pLC

|·sign(p0 − pLC)·xVC

·σ(xVC)

+αD · π · d√

ρ·√|p0 + pLC

|·sign(p0 + pLC)·xVC

·σ(−xVC)

−2 · αBP ·ABP√2 · √ρ

·√|pLC

| − kBPL · pLC

.

Hierbei werden die Ausdrucke

pS − pIC= pIIC

− pR =12· [p0 − pLC

] und (B.16a)

pS − pIIC= pIC

− pR =12· [p0 + pLC

] (B.16b)

verwendet, die sich aus der Annahme (B.8c) unter Verwendung von pLC:= pIC

− pIICund

p0 := pS − pR ableiten.Es kommt zu einer Pol-/Nullstellenkurzung, wenn die reduzierten Linearisierungskoeffizienten(B.9), (B.11), (B.12) und (B.14) :

QXV 1 = −QXV 2,

QP11 = QP22,QP12 = QP21 und

QV K1 = −QV K2

in die Ubertragungsfunktion (B.4) eingesetzt werden:


= k′′0 ·s2 + dG

mG· s + cG

mG

s5 + a′′4 · s4 + a′′3 · s3 + a′′2 · s2 + a′′1 · s + a′′0. (B.17)


Die Linearisierungskoeffizienten QXK1 und QXK2 werden zunachst als beliebig angenommen,um ihren Einfluss in der Ubertragungsfunktion (B.17) aufzuzeigen.

Die Ubertragungsfunktion (B.17) enthalt den Verstarkungsfaktor k′′0

k′′0 := 2 · Ak

mk·QXV 1 (B.18)

und die Koeffizienten a′′0 bis a′′4 des Nennerpolynoms

a′′4 =[

dk

mk− (QP11−QP12)

]+

dG

mG+

dk

mG, (B.19)

a′′3 =[−2 · Ak

mk·QV K1− dk

mk· (QP11−QP12)

]·[1 +

mk

mG

](B.20)

+dG

mG·[

dk

mk− (QP11−QP12)

]+

cG

mG,

a′′2 = −Ak

mk·[1 +

mk

mG

]· (QXK1−QXK2) (B.21)

+[

dk

mk− (QP11−QP12)

]· cG

mG

+[−2 · Ak

mk·QV K1− dk

mk· (QP11−QP12)

]· dG

mG,

a′′1 = −Ak

mk· dG

mG· (QXK1−QXK2) (B.22)

+[−2 · Ak

mk·QV K1− dk

mk· (QP11−QP12)

]· cG

mGund

a′′0 = −Ak

mk· cG

mG· (QXK1−QXK2) . (B.23)

Mit den aus den Gleichungen (B.10), (B.13) und (B.15) folgenden Beziehungen zwischen denreduzierten Linearisierungskoeffizienten QXV 1, (QP11−QP12), QV K1 des linearen nicht re-duzierten Modells (5.75) und den Linearisierungskoeffizienten QX , QP und CH des linearenreduzierten Modells (5.34):

QXV 1 =12· QX

CH, QX = −Ak · QXV 1

QV K1,

(QP11−QP12) =QP

CH, QP = −1

2·Ak · QP11−QP12

QV K1,

QV K1 = −12· Ak

CH, CH = −1

2· Ak

QV K1

sowie mit den Abkurzungen ωH und ζH aus (A.33) und den Abkurzungen ωG1 und ζG1 aus(A.54) erhalt man eine alternative Darstellung der Koeffizienten des Nennerpolynoms der Uber-tragungsfunktion (B.17):

a′′4 = 2 · ζH · ωH + 2 · ζG1 · ωG1 +dk

mG, (B.24a)

a′′3 = ω2H ·

(1 +

mk

mG

)+ 4 · ζG1 · ωG1 · ζH · ωH + ω2

G1 , (B.24b)


a′′2 = −Ak

mk·[1 +

mk

mG

]· (QXK1−QXK2) (B.24c)

+ 2 · ζH · ωH · ω2G1 + 2 · ω2

H · ζG1 · ωG1 ,

a′′1 = −Ak

mk· dG

mG· (QXK1−QXK2) + ω2

H · ω2G1 und (B.24d)

a′′0 = −Ak

mk· cG

mG· (QXK1−QXK2) . (B.24e)

Nur wenn QXK1 = QXK2 ist, erhalt man die Ubertragungsfunktion (A.58) aus Kapitel A.5.2.

Die gekurzte Nullstelle sNZD ergibt sich zu

sNZD :=[Ak ·QP11 + Ak ·QP12] ·QXV 1 + [Ak ·QP12 + Ak ·QP11] ·QXV 1

Ak ·QXV 1 + Ak ·QXV 1= QP11 + QP12 (B.25)

und mit QP11 aus (B.11) und QP12 aus (B.12) folgt :

sNZD = −12· 1CH

·

αD · π · d√ρ

·(

σ( xVC)√|p0 − pLC| +

−σ(−xVC)√|p0 + pLC|

)· xVC

+ kLE

≤ 0 , (B.26)

wobei CH ≥ 0, αD·π·d√ρ ≥ 0 und kLE ≤ 0 genommen wurde.

Demnach ist die gekurzte Nullstelle sNZD phasenminimal und die gekurzte Polstelle stabil bzw.grenzstabil.

Anhang C

Anhang zur experimentellen Identifikation und

Modellvalidierung

C.1 Beschreibung der verwendeten Identifikationsverfahren

C.1.1 Einleitung

In diesem Kapitel werden folgende Identifikationsverfahren kurz beschrieben, die im Rahmendieser Arbeit zur Identifikation des servohydraulischen Antriebs eingesetzt werden:

• Lineare Regression (Least-Squares-Algorithmus) im Kapitel C.1.2,

• Prdiktionsfehlermethode im Kapitel C.1.3 und

• Parameterschatzung mittels nichtlinearer Optimierung im Kapitel C.1.4.

C.1.2 Lineare Regression

Die lineare Regression versucht, eine Variable, die den Ausgang eines Systems oder Prozes-ses darstellt, aus einer linearen Kombination von anderen Variablen, die als Regressoren oderEingange des Systems bezeichnet werden, vorherzusagen. Mit dem Least-Squares-Schatzalgo-rithmus werden dann die besten Werte fur die unbekannten Parameter der Linearkombinationaus Messungen des Ausgangs bei bekannten Werten der Eingange bestimmt. Hierbei darf demgemessenen Ausgang eine Storung uberlagert sein, an die aber bestimmte statistische Eigen-schaften gestellt werden, um eine optimale Schatzung zu erhalten. Die Eingange durfen dabeiselbst nicht gestort sein, sonst entsteht ein systematischer Fehler bei den geschatzten Wertenfur die Parameter (Bias).

Das Thema “lineare Regression mit Anwendungsbeispielen” wird umfassend in [47] dargestellt.Eine gute Zusammenfassung und Einfuhrung in das Thema liefert [6, 48] .

Die lineare Regression wird frei nach dem Motto eingesetzt: ”Try simple things first!” .

Im Kapitel C.1.2.1 wird der Least-Squares-Schatzalgorithmus vorgestellt. Die statistischen Ei-genschaften des Least-Squares-Schatzalgorithmus sind in Kapitel C.1.2.2 aufgefuhrt. Eine Be-wertung des Least-Squares-Schatzalgorithmus erfolgt in Kapitel C.1.2.3. Die Vorgehensweise beider parametrischen Identifikation unter Verwendung der linearen Regression wird in KapitelC.1.2.4 beschrieben.

225

226 Anhang C. Identifikation

C.1.2.1 Der Least-Squares-Schatzalgorithmus

Gegeben sei

1. ein Datensatz aus N einzelnen Messungen

ZN := [(y(1), ϕ(1)), (y(2), ϕ(2)), . . . , (y(N), ϕ(N))] und (C.1)

2. eine Modellstruktur, die linear in den Parametern k ist:

y(t) = ϕ(t)T · k (C.2)

mit

y(t) ∈ R : Ausgang, abhangige Variable,ϕ(t) ∈ Rm : Eingange, unabhangige Variable, Regressor, ϕ(t) := [ϕ1(t), . . . , ϕm(t)]T

y(t) ∈ R : Ausgang des Modells,k ∈ Rm : unbekannte Modellparameter (in [6, 48] mit θ bezeichnet),t ∈ N : Index fur die einzelnen Messungen t = 1, . . . , N ,m ∈ N : Anzahl der unbekannten Parameter undN ∈ N : Anzahl der einzelnen Messungen des Datensatzes ZN (C.1).

Die unbekannten Modellparameter k werden so bestimmt, dass die Ausgangswerte des Modellsy(t) moglichst gut mit den gemessenen Ausgangswerten y(t) ubereinstimmen.Als Residuum ε(t, k) wird die Differenz zwischen den gemessenen Ausgangswerten y(t) und denAusgangswerten des Modells y(t) bezeichnet:

ε(t, k) := y(t)− y(t) = y(t)− ϕ(t)T · k. (C.3)

Die Residuen ε(t, k) sind eine lineare Funktion des Parametervektors k.Zur skalaren Bewertung der Residuen ε(t, k) wird eine Verlustfunktion VN uber den N Messungendes Datensatzes ZN (C.1) definiert:

VN (k) :=12·

N∑

t=1

ε2(t, k) (C.4)

Die Least-Squares-Schatzung des Parametervektors k ist der Vektor k, der die VerlustfunktionVN (k) minimiert:

k = arg mink

VN (k) . (C.5)

Er berechnet sich zu:

k =

[N∑

t=1

ϕ(t) · ϕT (t)

]−1

·[

N∑

t=1

ϕ(t) · y(t)

]. (C.6)

Die Matrizenschreibweise gestattet die kompakte Darstellung von Gl. (C.3):

ε = Y − Φ · k (C.7)

C.1 Beschreibung der verwendeten Identifikationsverfahren 227

mit

ε =

ε(1)ε(2)

...ε(N)

∈ RN,1 , Y =

y(1)y(2)

...y(N)

∈ RN,1 und Φ =

ϕ(1)T

ϕ(2)T

...ϕ(N)T

∈ RN, m . (C.8)

Die Least-Squares-Schatzung des Parametervektors lautet:

k =(ΦT · Φ)−1 · ΦT · Y . (C.9)

Damit die Least-Squares-Schatzung eine eindeutige Losung besitzt, darf die aus dem Regressorgebildete Matrix R

R :=N∑

t=1

ϕ(t) · ϕ(t)T = ΦT · Φ 6= 0 (C.10)

nicht singular werden.

C.1.2.2 Statistische Eigenschaften des Least-Squares-Schatzalgorithmus

Im folgenden sind einige der statistischen Eigenschaften des Least-Squares-Schatzalgorithmus(C.9) aufgefuhrt, wenn folgende Annahmen fur die Messdaten getroffen werden:

1. Das gemessene Ausgangssignal y(t) stammt aus :

y(t) = ϕ(t)T · k0 + e(t) (C.11)

mit

e(t) ∈ R : Storung des Messsignals y(t) zum Zeitpunkt t undk0 ∈ Rm : Vektor mit den m wahren Parametern .

Zur Darstellung von Gl. (C.11) in Matrizen :

Y = Φ · k0 + e (C.12)

werden die einzelnen Storungen e(t) zu einem Storungsvektor e zusammengefasst:

e =

e(1)e(2)

...e(N)

∈ RN,1 . (C.13)

2. Die Storung e(t) ist eine stochastische Variable mit den Eigenschaften:

• Mittelwertfreiheit des Erwartungswerts E der Storung e(t):

Ee = 0 , (C.14)

• Unkorreliertheit mit sich selbst und konstante Varianz:

Ee · eT = σ2 · IN und (C.15)


• Unkorreliertheit mit den Eingangen ϕi(t) mit i = 1, . . . , m:

Ee · ϕi = 0 . (C.16)

Hierbei bezeichnet E• den Erwartungswert von • und In eine n-fache Einheitsmatix.

Die statistischen Eigenschaften des Least-Squares-Algorithmus sind:

1. Der Parameterschatzwert k ist eine biasfreie Schatzung der wahren Parameter k0.

2. Die Kovarianzmatrix des Parameterschatzwertes k ist gegeben durch

cov(k) = σ2(ΦT · Φ)−1

. (C.17)

3. Eine biasfreie Schatzung s2 fur die Varianz der Storung ist gegeben durch

s2 =2

N −m· VN (k) . (C.18)

4. Der Regressor φ selbst darf keine Storungen enthalten, sonst werden die Parameter k nichtbiasfrei geschatzt.

C.1.2.3 Bewertung des Least-Squares-Schatzalgorithmus

Der wesentliche Vorteil dieses Verfahrens ist die einfache numerische Berechnung der Losung -siehe Gl. (C.9), die das globale Minimum der Verlustfunktion (C.4) darstellt. Im Vergleich dazufindet bei nichtlinearen Optimierungsalgorithmen die Suche nach dem Minimum der Verlustfunk-tion iterativ statt. Dies bedeutet einen großeren Rechenaufwand und es kann nicht garantiertwerden, dass das globale Minimum gefunden wird.

Nachteile entstehen, wenn Voraussetzungen nicht erfullt oder verletzt werden:

• Die aus dem Regressor gebildete Matrix R (C.10) ist singular.Es gibt dann keine eindeutige Losung fur die Parameterschatzung. Die Spaltenvektorender Regressorenmatrix Φ sind nicht mehr linear unabhangig. Ist die Matrix R (C.10) fastsingular, entsteht aufgrund der Numerik eine falsche Losung. Die Ursache liegt in der Anre-gung. Die Anregung muss verbessert werden. Die Anregung sollte so gewahlt werden, dassdie Regressoren mit den Parametern in etwa gleiche Anteile im Ausgangssignal besitzen.

• Der Regressor φ(t) selbst enthalt Storungen.Wenn die Regressoren eine Storung enthalten, werden die Parameter k nicht biasfreigeschatzt. Im Idealfall geht man davon aus, dass die Regressoren beliebig vorgegebenwerden konnen und sie somit storungsfrei zur Verfugung stehen. Werden sie hingegenwie die Ausgangssignale gemessen, so enthalten sie auch Storungen. Um den Bias aufder Parameterschatzung klein zu halten, ist eine Selektion der Messdaten bezuglich gu-tem Signal-Rausch-Verhaltnis angebracht. Der durch gestorte Regressoren verursachte Biaslasst sich im allgemeinen nicht mit einem Fehlermodell unter Verwendung der Pradiktions-fehlermethode beseitigen. Das Parameterschatzproblem, welches auch Storungen auf denEingangen zulasst, nennt sich error-in-the-variables oder Total-Least-Squares. Die Berech-nung der Parameterschatzung wird komplizierter und es mussen zusatzliche Annahmenfur die Starke der Storungen getroffen werden.


• Die Storung e(t) ist mit sich selber korreliert.Die Parameterschatzung ist trotzdem biasfrei. Der Schatzer liefert aber nicht die Schatz-werte mit der kleinst moglichsten Varianz. Wenn eine Storung mit sich selber korreliertist, lasst sich ein Teil des aktuellen Wertes der Storung aus den vergangenen Werten derStorung durch ein Modell der Storung voraussagen (Pradiktion). Die Pradiktionsfehlerme-thode [6, 48], bei der zusatzlich ein Fehlermodell geschatzt wird, liefert dann Schatzwertemit der kleinst moglichsten Varianz.

• Die Varianz der Storung e(t) ist nicht konstant.Die Schatzung ist trotzdem biasfrei. Der Schatzer liefert aber nicht die Schatzwerte mitder kleinst moglichsten Varianz. Sind die Varianzen bekannt, kann das gewichtete Least-Squares-Verfahren [47] eingesetzt werden.

• Die Storung e(t) ist mit den Regressoren korreliert.Die Parameterschatzung ist biasbehaftet.

• Das Modell y(t) = ϕ(t)T · k entspricht nicht den tatsachlichen Gegebenheiten, es gibt wei-tere Einflussvariablen.Die Differenz zwischen dem gemessenen Ausgangsignal y(t) und dem Ausgangssignal desModells y(t) wird als Residuum ε(t) bezeichnet. Das Residuum ε(t) setzt sich zusam-men aus einem reinen Fehler (pure error), der durch die Storung e(t) kommt und einerFehlanpassung (lack of fit) des Modells [47]. Entspricht das Modell nicht den wirklichenGegebenheiten, werden die Parameter fur die gegebenen Messdaten so gut wie moglichbezuglich des Ausgangssignals angepasst.

C.1.2.4 Vorgehensweise bei der parametrischen Identifikation unter Verwendungder linearen Regression

Das Schema im Bild C.1 zeigt den Ablauf der Verarbeitungsschritte zur Schatzung von Modellpa-rameter eines als Modellhypothese aufgestellten Prozessmodells mittels aus Laborexperimentenaufgezeichneten Messdaten unter Verwendung der linearen Regression.Das Schema ist von oben nach unten zu lesen. Die Ausgangspunkte dieses Schemas sind das

• Laborexperiment (Block 1) und die• Modellbildung (Block 2)

Beschreibung des Pfads des Laborexperiments (links):

Das Ergebnis eines Laborexperiments sind die gemessenen Daten der Sensoren (Block 3). Imvorliegendem Fall werden die Zeitverlaufe der Sensorausgangsspannung zu aquidistanten Zeit-punkten (festgelegt durch die Abtastzeit tabst bzw. Abtastfrequenz fabst) abgetastet. Die Anzahlder Zeitpunkte wird mit N ′ bezeichnet. Die Messdaten werden bezeichnet als

yorgM (t) mit t = 1, ..., N ′. (C.19)

Die Variable t gibt den Zeitpunkt der Messung als Vielfaches der Abtastzeit tabst an und ist alsIndex der Messdaten zu sehen.Als nachstes erfolgt die Vorverarbeitung der Messdaten (Block 4). Hierzu zahlen die a) Wahleines Zeitausschnitts der Messdaten (Anzahl N ′ wird auf Anzahl N reduziert), b) Approximationvon Zeitableitungen, c) Filterung der Daten, d) Abziehen der Gleichanteile, e) Normierung derSignale.


Modellbildung

cikfor(i) := [kfor(i)− γ · σ · √cii, kfor(i) + γ · σ · √cii]

Transformation der formalen in die physikalischen Parameter

Interval-Arithmetik

Ende

kfor

cikfor

σ2 : Schatzung der Varianz der formalen Rauschquelle

: Schatzung der formalen Parameter: Vertrauensintervalle der formalen Parameter

kphy

cikphy: Vertrauensintervalle der physikalischen Parameter: Schatzung der physikalischen Parameter

kphy = kphy(kfor, kapr)

yorgM (t) t = 1, ..., N ′ x = f(x, u, kphy, kapr)

(gewohnliche DGLs)

Laborexperiment

Vorverarbeiten der Meßdaten: Bilden der Identifikationsgl.:

Meßdaten Modelhypothese

Wahl eines Zeitausschnittesnumerische Approximationvon ZeitableitungenFilterung

Wahl eines TeilsystemsWahl eines Ausgangs

Anwendung derlinearen Regression

Ziel:

y(t) = ϕT (t) · kfor

Identifikationsgleichung

kfor

ϕ(t)y(t)

yM(t) mit t = 1, ..., N

Berechnung der abhangigen und unabhangigen

y(t) = y(yM(t), kapr), ϕ(t) = ϕ(yM(t), kapr)

Meßdaten (modifiziert)

Variablen y(t), ϕ(t) aus den modifizierten Meßdaten yM

ΦN := [ϕ(1), ..., ϕ(N)]TYN := [y(1), ..., y(N)]T

Least-Squares-Schatzer

: abhangige Variable: unabhangige Variable

: abhangige Variable: unabhangige Variablen: formale Parameter

kfor = (ΦTN · ΦN)−1 · ΦT

N · YN σ2 = 1N−m

· εT · εε = YN − ΦN · kfor

cij := ( Cov(kfor))(i,j)Cov(kfor) := σ2 · (ΦT

N · ΦN)−1

γ = 2.54

12

15

6

21

14

9

4 7

10

13

5 8

11

3

Bild C.1: Schatzung von Modellparametern


a) Wahl eines Zeitausschnitts der Messdaten (Anzahl N ′ wird auf Anzahl N reduziert)Mit der Wahl eines Zeitausschnitts kann z. B. bei einem Sweep ein bestimmter Frequenz-bereich ausgewahlt werden.

b) Approximation von ZeitableitungenFur die Identifikation sind zeitliche Ableitungen von Prozessvariablen erforderlich, die nichtdurch Sensoren erfasst werden. Hierzu gehoren: xG, pI , pII , pL. Die Zeitverlaufe dieser Pro-zessvariablen werden im Falle von pI , pII , pL durch numerische Differentiationsverfahren(Differenzenquotient, polynomiale Approximation) aus den Sensorsignalen pI , pII und pL

approximiert. Im Falle von xG kommt ein Velocity Computer zur Anwendung (vgl. [55]).Fur die folgende Identifikation werden die approximierten Zeitverlaufe wie Zeitverlaufe vonSensoren betrachtet.

c) Filterung der DatenDurch eine Filterung lassen sich Spektralbereiche im Sensorsignal unterdrucken, die auf-grund von ”Schmutzeffekten” hineingekommen sind. Dies kann sein: Rauschen des Sen-sors, hohere mechanische Resonanzen, die in den Modellgleichungen nicht erfasst werden,Brummstorungen verursacht durch das elektrische Stromnetz oder Vibrationen, hervorge-rufen durch die hydraulische Pumpe.

d) Abziehen der GleichanteileDurch das Abziehen der Gleichanteile von den Messsignalen entstehen mittelwertfreienSignale, die bei der Identifikation von linearen Modellen Vorteile bringen, da hier Fehleraufgrund von Sensoroffsets unterdruckt werden konnen. Bei Identifikation von Modellen,wo die Sensorsignale nichtlinear miteinander verbunden werden (z. B. im Fall des nicht-linearen Druckaufbaus) verfalscht ein Abziehen von Gleichanteilen bei den Signalen dasIdentifikationsergebnis.

e) Normierung der SignaleEine Skalierung der Sensorsignale, z. B. auf ihren Effektivwert oder ihre Standardabwei-chung, verbessert die numerische Verarbeitung.

Die durch die Punkte a) bis e) vorverarbeiteten Messdaten werden mit

yM (t) mit t = 1, ..., N und N ≤ N ′. (C.20)

bezeichnet (vgl. Block 5).

Beschreibung des Pfads der physikalisch-mathematischen Modellbildung (rechts):

Die Modellbildung liefert durch Anwendung physikalischer Grund- und Stoffgesetze (z. B. Im-pulssatz, Kontinuitatsgleichung, Stoffgleichung des Arbeitsmediums Ol usw.) eine Modellhypo-these in Form von gewohnlichen Differentialgleichungen. Im Rahmen der Modellgleichung werdendie physikalischen Prozessmodellvariablen x und die physikalischen Prozessmodellparameter kfestgelegt.Die physikalischen Prozessmodelvariablen sowie die physikalischen Prozessmodellparameter ha-ben eine physikalische Bedeutung (z. B. Druck, Geschwindigkeit, Masse ) im Gegensatz zuformalen Prozessmodellvariablen und Prozessmodellparameter, die im Rahmen von Black-BoxModellen Verwendung finden. Ein Vorteil physikalischen Parameter ist die bessere Anschauungund Interpretierbarkeit.Die physikalische Prozessmodellparameter k werden eingeteilt in:


• a priori bekannte physikalische Prozessmodellparameter kapr und• unbekannte physikalische Prozessmodellparameter kphy.

Zu den a priori bekannten Prozessmodellparameter kapr zahlen geometrische Abmessungen wiedie Zylinderkolbenflache und Materialkonstanten wie die spezifische Dichte des ArbeitsmediumsOl. Die verbleibenden physikalischen Parameter bilden die unbekannten physikalischen Pro-zessmodellparameter kphy, die im Rahmen der parametrischen Identifikation unter Verwendungvon Messdaten aus Laborexperimenten geschatzt werden.Die physikalischen Prozessmodellvariablen x lassen sich unterteilen in:

• mit Sensoren messbare Prozessmodellvariablen• zeitliche Ableitung von messbaren Prozessmodellvariablen, die sich durch numerische Diffe-

rentiation approximieren lassen, und• Prozessmodellvariablen die durch geeignetes Zusammenfassen von Modellgleichungen elimi-

niert werden.

Die ggf. zusammengefassten Modellgleichung werden so nach einer Variable oder einer Kombi-nation von Variablen aufgelost, dass eine Identifikationsgleichung im Format der linearen Re-gression entsteht (Block 7):

y(t) = ϕT (t) · kfor (C.21)

mity(t) ∈ R1 als formaler Ausgang (abhangige Variable)ϕ(t) ∈ Rm als Regressor (unabhangige Variablen)

(m: Dimension des Regressors = Anzahl der unbekannten formalen Parameter)kfor ∈ Rm als unbekannte formale Parameter .

Der formale Ausgang y(t) (abhangige Variable) und der Regressor ϕ(t) (unabhangige Variablen)sind Funktionen der Prozessmodellvariablen x(t) und der a priori bekannten Parameter kapr:

y(t) = y(x(t), kapr), (C.22)ϕ(t) = ϕ(x(t), kapr) . (C.23)

Die unbekannten formalen Parameter kfor sind eine Funktion der unbekannten physikalischenkphy und der a priori bekannten Parameter kapr:

kfor = kfor(kphy, kapr). (C.24)

Und umgekehrt sind die unbekannten physikalischen Parameter kphy eine Funktion der unbe-kannten formalen kfor und der a priori bekannten Parameter kapr:

kphy = kphy(kfor, kapr). (C.25)

Das Ergebnis von Block 8 sind die Gleichungen (C.22), (C.23), (C.24) und (C.25).Mittels der Gleichungen (C.22) und (C.23) werden in Block 9 die abhangigen Variablen y(t)und die unabhangige Variablen ϕ(t) aus den vorverarbeiteten Messdaten yM (t) berechnet, dieanstelle der Prozessmodellvariablen x(t) eingesetzt wurden.Als Eingabe fur den Least-Squares-Schatzer (Block 11) stehen ein Vektor YN := [y(1), ..., y(N)]T

mit den Werten der abhangigen Variablen y(t) und eine Matrix ΦN := [ϕ(1), ..., ϕ(T )]T mit denWerten der unabhangige Variablen ϕ(t) zur Verfugung (Block 10).


Ein erwartungstreuer Schatzwert kfor des Parametervektors kfor berechnet sich aus dem Vektorder abhangigen Variablen YN und der Matrix der unabhangigen Variablen ΦN nach

kfor = (ΦTN · ΦN )−1 · ΦT

N · YN . (C.26)

Der Vektor YN mit den Werten der Simulation des Ausgangs berechnet sich aus der Matrix ΦN

der unabhangigen Variablen und den geschatzten Parametern kfor nach:

YN := ΦN · kfor . (C.27)

Der Vektor der Residuen εN ist die Differenz aus dem Vektor YN der abhangigen Variablen unddem Vektor YN der Simulation des Ausgangs:

εN := YN − YN = YN − ΦN · kfor . (C.28)

Die Schatzung σ2 der Varianz σ2 der unbekannten Storungen e(t) berechnet sich aus dem Vektorder Residuen εN nach:

σ2 :=1

N −m· εT

N · εN =1

N −m· [YN − ΦN · kfor]T · [YN − ΦN · kfor] , (C.29)

wobei m die Dimension des Parametervektors kfor ist.Im folgenden wird beschrieben wie die Vertrauensintervallen ci(kfor) fur den Schatzwertvektorkfor ermittelt werden.Die Kovarianzmatrix Covkfor des geschatzten Parametervektor kfor ergibt sich formal zu

Covkfor = σ2 · (ΦTN · ΦN )−1 . (C.30)

Die Kovarianzmatrix Covkfor kann so nicht berechnet werden, da zur Berechnung der wahreWert der Varianz σ2 der formalen weißen Rauschquelle erforderlich ist, der aber unbekannt ist.

Es lasst sich aber ein Schatzwert Covkfor der Kovarianzmatrix Covkfor nach

Covkfor = σ2 · (ΦTN · ΦN )−1 (C.31)

mit dem Schatzwert σ2 ermittelt. Die Elemente der geschatzten Kovarianzmatrix Cov(kfor)werden bezeichnet als

cij := ( Cov(kfor))i,j (C.32)

mit i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , m.

Die Diagonalelemente cii mit i = 1, . . . , m der Matrix Covkfor sind die Schatzwerte derVarianzen der geschatzten Parameter kfor des Parametervektors kfor. Sie geben die jeweiligeStreuung der geschatzten Parameter kfor aufgrund des Schatzvorgangs an. Die Element der

Nebendiagonalen der Matrix Covkfor geben ein Maß dafur an, wie die Streuung der geschatztenParameter kfor miteinander korreliert sind. Diese Information wird aber im folgenden nichtausgenutzt.Die Schatzung kfor der Parameter kfor lasst sich als die Realisierung des Zufallsvektors Kfor

interpretieren. Der Zufallsvektor Kfor ist normalverteilung mit dem Erwartungswert

EKfor = kfor (C.33)


und der Kovarianzmatrix

CovKfor = (ΦTN · ΦN )−1 · σ2 (C.34)

mit σ als der wahren Varianz der Rauschquelle.Das Vertrauensintervall cikfor(i) := [ciu

kfor(i), cio

kfor(i)] des i-ten geschatzten Parameter kfor(i)

wird durch die obere Grenze ciokfor(i)

(hochgestelltes o) und durch die untere Grenze (hochge-

stelltes u) ciukfor(i)

angegeben und berechnen sich nach:

ciokfor(i)

= kfor(i) + γ · σ ·√

cii (obere Grenze) , (C.35)

ciukfor(i)

= kfor(i)− γ · σ ·√

cii (untere Grenze) , (C.36)

mit γ = 2.54 als symmetrisches Quantil der Normalverteilung bei einem Signifikanzniveau α =0.90.Die Vertrauensintervalle fur die Parameter sind nur aussagekraftig, wenn der Modellfehler sehrgering ist.In Block 12 stehen die Ergebnisse aus Block 11:

• Schatzwerte kfor der unbekannten, formalen Parameter kfor mit deren• Vertrauensintervallen cikfor

und ein

• Schatzwert σ2 fur die Varianz σ2 der formalen Rauschquelle.

In Block 13 werden die unbekannten, physikalischen Parameter kphy uber die Transformation(C.25) aus den geschatzten, formalen Parameterschatzwerten kfor und den a priori bekanntenParameter kapr bestimmt:

kphy = kphy(kfor, kapr). (C.37)

Die Vertrauensintervalle cikforder formalen Parameterschatzwerte werden mit Intervall-Arithmetik

in die Vertrauensintervalle cikphyder physikalischen Parameterschatzwerte umgerechnet [56].

Hierfur ist die Einschließungsmenge, in der die physikalische Parameter sein konnen, zu berech-nen. In der Intervall-Arithmetik wird ein Ergebnisintervall als die Gesamtheit aller moglichenErgebnisse der Einzelwerte eingefuhrt [57]:

A ∗B = a ∗ b | a ∈ A, b ∈ B mit ∗ ∈ +,−, ·,÷. (C.38)

Fur konkrete Intervalle A = [au, ao] und B = [bu, bo], deren untere bzw. obere Grenze durchein tiefgestelltes u bzw. o bezeichnet wird, ergeben sich folgende Berechnungsvorschriften:

A + B = [au + bu, ao + bo], (C.39a)A−B = [au − bo, ao − bu], (C.39b)

A ·B =[

minaubu, aubo, aobu, aobo, maxaubu, aubo, aobu, aobo], (C.39c)

A÷B = [au, ao] · [1/bo, 1/bu]; 0 6∈ B. (C.39d)

Die physikalischen Parameterschatzwerte kphy und deren Vertrauensintervalle cikphystehen als

Ergebnis der Identifikation mit der linearen Regression in Block 14.


C.1.2.5 Lineare Regression mit Storung auf dem Regressor

Am Beispiel der Schatzung eines Ohmschen Widerstands wird das Verhalten der linearen Re-gression bei einer Storung auf dem Regressor verdeutlicht.Der Wert eines Ohmschen Widerstands R wird aus gemessenen Spannungswerten U und gemes-senen Stromwerten I nach dem Ohmschen Gesetz bestimmt:

U = R · I (C.40)

Es werden folgende Situationen unterschieden:

1. Die gemessene Spannung U ist durch die Messung verrauscht. Der Strom I wird durcheine Stromquelle vorgegeben und ist damit bekannt.

2. Der gemessene Strom I ist durch die Messung verrauscht. Die Spannung U wird durcheine Spannungsquelle vorgegeben.

3. Die Spannung U und der Strom I werden im Betrieb gemessen und sind beide jeweilsdurch die Messung verrauscht.

Die Situationen 1 und 2 entsprechen einem standardmaßigen Kontext der linearen Regressionmit nur Storungen auf dem Ausgang.In der Situation 3 sind Storungen sowohl auf dem Ausgang als auch auf dem Eingang.Diese Situation wird im folgenden naher untersucht.Der Widerstand wird mit Hilfe der linearen Regression geschatzt. Mit dem Ausgang y(t) = U ,dem Eingang ϕ(t) = I und dem unbekannten Parameter k = R folgt

y(t) = ϕ(t) · k + e(t) (C.41)

mit e(t) als Gleichungsfehler, der durch den Least-Squares-Algorithmus minimiert wird.Laut Voraussetzung sind sowohl der Ausgang durch ey(t) und der Eingang durch eϕ(t) gestort:

y(t) = y0(t) + ey(t) , (C.42)ϕ(t) = ϕ0(t) + eϕ(t) . (C.43)

Hierbei sind y0(t) und ϕ0(t) die ungestorten Werte der Signale, die uber den wahren Parameterk0 zusammenhangen:

y0(t) = ϕ0(t) · k0 . (C.44)

Der Least-Squares-Schatzwert k fur den unbekannten Parameter k berechnet sich fur N Messwer-te zu:

k =∑N

t=1 y(t) · ϕ(t)∑Nt=1 ϕ(t) · ϕ(t)

, (C.45)

k =∑N

t=1(y0(t) + ey(t)) · (ϕ0(t) + eϕ(t))∑Nt=1(ϕ0(t) + eϕ(t)) · (ϕ0(t) + eϕ(t))

, (C.46)

k =∑N

t=1 y0(t)·ϕ0(t) +∑N

t=1 y0(t)·eϕ(t) +∑N

t=1 ey(t)·ϕ0(t) +∑N

t=1 ey(t)·eϕ(t)∑Nt=1 ϕ2

0(t) +∑N

t=1 2·eϕ(t)·ϕ0(t) +∑N

t=1 e2ϕ(t)

. (C.47)


Mit den Annahmen :

Ey0(t) · eϕ(t) = 0 (C.48a)Eϕ0(t) · ey(t) = 0 (C.48b)Eϕ0(t) · eϕ(t) = 0 (C.48c)Eey(t) · eϕ(t) = 0 (C.48d)

Ee2ϕ(t) = σϕ (C.48e)

und Gl. (C.44) folgt:

Ek = k0 ·∑N

t=1 ϕ20(t)∑N

t=1 ϕ20(t) + σϕ

. (C.49)

Der AusdruckPN

t=1 ϕ20(t)PN

t=1 ϕ20(t)+σϕ

wird fur σϕ = 0 gleich 1.

Fur σϕ 6= 0 entsteht ein Bias.Im Bild C.2 wird die Situation verdeutlicht.

ϕ(t) Regressor

Ausgang

y(t)

ϕ0(t)

eϕ(t)

ey(t)

y0(t)e(t)

diesen AbstandLeast-Squares minimiert

1k0

k

ungestorte Werte (y0(t), ϕ0(t))

gestorte Werte (y(t), ϕ(t)) geschatzterParameter

wahrerParameter

1

Bild C.2: Lineare Regression einer Ursprungsgeraden mit Storung auf dem Regressor

C.1.3 Pradiktionsfehlermethode

Die Pradiktionsfehlermethode wird in [6, 48] ausfuhrlich beschrieben. Mit ihr lassen sich dieParameter von linearen, zeitdiskreten Ubertragungsfunktionen schatzen. Die Pradiktionsfehler-methode berucksichtig unterschiedliche Eingangsorte einer externen Storung (equation error:z.B. ARX , output error: z.B. OE). Zusatzlich kann durch lineare Fehlermodelle (z.B. ARMAX,BJ) eine spektrale Zusammensetzung der externen Storung modelliert werden.Die Pradiktionsfehlermethode ist aus numerischer Sicht aufwendiger als der Least-Squares-Algorithmus, da in der Regel die Losung iterativ gefunden werden muss. Eine Ausnahme bildetder ARX-Ansatz. Er verwendet den Least-Squares-Algorithmus.Durch die bessere Modellierung der externen Storung konnen Bias und Varianz der geschatztenParameter reduziert werden.


C.1.3.1 Zusammenhang Simulations- und Pradiktionsfehler

Gegeben ist ein lineares System mit dem Eingang u(t) und dem Ausgang y(t). Dem Ausgang y(t)ist ein stochastisches Storsignal uberlagert [6]. Das Verhalten des linearen Systems wird durchseine Ubertragungsfunktion G(q) vollstandig beschrieben. Damit berechnet sich das storungsfreieAusgangssignal ys(t) bei gegebenem Eingangssignal u(t) wie folgt:

ys(t) = G(q) · u(t). (C.50)

Der Simulationsfehler εs(t) ist die Differenz zwischen dem gestorten Ausgang y(t) und demsimulierten Ausgang ys(t):

εs(t) := y(t)− ys(t) = y(t)−G(q) · u(t). (C.51)

Zur Modellierung wird zu dem storungsfreien Ausgangssignal ys(t) ein stochastischer Anteil v(t)addiert, der aus einer weissen Rauschquelle e(t) uber die Ubertragungsfunktion H(q) gebildetwird:

y(t) = G(q) · u(t)︸︷︷︸=:ys(t)

+H(q) · e(t)︸︷︷︸=:v(t)

. (C.52)

Die Ubertragungsfunktion H(q) wird auch als Fehlermodell bezeichnet.Der Ein-Schritt-Pradiktor y(t|t− 1) gibt einen Schatzwert fur den Ausgang y(t) zum Zeitpunktt aufgrund der Kenntnis der Ausgangssignale bis zum Zeitpunkt t− 1 (Herleitung in [6]):

y(t|t− 1) = H−1(q) ·G(q) · u(t) +[1−H−1(q)

] · y(t) (C.53)

Der Pradiktionsfehler εp(t) ergibt sich zu:

εp(t) := y(t)− y(t|t− 1) (C.54)

= y(t)−H−1(q) ·G(q) · u(t)− [1−H−1(q)

] · y(t)

= H−1(q) · [y(t)−G(q) · u(t)]

= H(q)−1 · εs(t) . (C.55)

Der Pradiktionsfehler εp(t) ist damit der mit dem inversen Fehlermodell H(q)−1 gefilterte Si-mulationsfehler εs(t).Demnach ist der Pradiktionsfehler εp(t) eine spektrale Bewertung des Simulationsfehlers εs(t).Die spektrale Bewertung erfolgt uber das inverse Fehlermodell H(q)−1.Der Zusammenhang zwischen dem Simulation- und dem Pradiktionsfehler uber ein inversesFehlermodell wird im folgenden fur den ARMAX- und den BJ-Ansatz verdeutlicht:

• Auto Regressive Moving Average eXogeneous (ARMAX)Der ARMAX-Ansatz besitzt die Darstellung

A(q) · y(t) = B(q) · u(t) + C(q) · e(t) . (C.56)

Die Polynome A(q), B(q) und C(q) sind wie folgt definiert:

A(q) := 1 + a1 · q−1 + a1 · q−2 + . . . + an · q−na , (C.57a)

B(q) := 1 + b1 · q−1 + b1 · q−2 + . . . + bn · q−nb und, (C.57b)


C(q) := 1 + c1 · q−1 + c1 · q−2 + . . . + cn · q−nc . (C.57c)

Fur nc = 0 geht der ARMAX-Ansatz in den ARX-Ansatz uber.

Fur die Schreibweise der Gl. (C.52) ergibt sich folgende Entsprechung:

G(q) =B(q)A(q)

und H(q) =C(q)A(q)

. (C.58)

Nach Gl. (C.55) wird der Simulationsfehler εs(t) durch das Filter H(q)−1 = A(q)C(q) zum

Pradiktionsfehler εp(t). Das inverse Fehlermodell H(q)−1 = A(q)C(q) ist durch das Zahlerpoly-

nom A(q) mit der Dynamik der Strecke G(q) = B(q)A(q) verkoppelt.

• Box-Jenkins (BJ)Der BJ-Ansatz besitzt die Darstellung

y(t) =B(q)F (q)

· u(t) +C(q)D(q)

· e(t) . (C.59)

Die neu hinzugekommenen Polynome D(q) und F (q) sind wie folgt definiert:

D(q) := 1 + d1 · q−1 + d1 · q−2 + . . . + dn · q−nd und, (C.60a)

F (q) := 1 + f1 · q−1 + f1 · q−2 + . . . + fn · q−nf . (C.60b)

Fur die Schreibweise der Gl. (C.52) ergibt sich folgende Entsprechung:

G(q) =B(q)F (q)

und H(q) =C(q)D(q)

. (C.61)

Nach Gl. (C.55) wird der Simulationsfehler εs(t) durch das Filter H(q)−1 = D(q)C(q) zum

Pradiktionsfehler εp(t). Das inverse Fehlermodell H(q)−1 = D(q)C(q) ist unabhangig von der

Dynamik der Strecke G(q) = B(q)A(q) .

C.1.3.2 Unterschiedliches Eingehen einer Storung bei einem linearen zeitdiskretenSystem

Am Beispiel eines linearen, zeitdiskreten Systems 1. Ordnung wird das unterschiedliche Eingeheneiner Storung und die Konsequenzen fur die Parameterschatzung verdeutlicht.

Die Zustandsraumdarstellung eines linearen, zeitdiskreten Systems 1. Ordnung lautet:

x(t) = −a1 · x(t− 1) + b0 · u(t) (C.62a)y(t) = x(t) (C.62b)

mit Eingang u(t), Ausgang y(t), Zustand x(t) und den Parametern a1 und b0.

Eine Storquelle e(t) kann auf zwei Arten in Gl. (C.62) eingehen:


• als Gleichungsfehler, equation error, AutoRegressive eXogenious (ARX)

x(t) = −a1 · x(t− 1) + b0 · u(t) + e(t) (C.63a)y(t) = x(t) (C.63b)

Die Storung e(t) geht als Prozessstorung in Gl. (C.62a) ein.

• als Ausgangsstorung, output error (OE):

x(t) = −a1 · x(t− 1) + b0 · u(t) (C.64a)y(t) = x(t) + e(t) (C.64b)

Die Storung e(t) geht als Messstorung in Gl. (C.62b) ein.

Zur Schatzung der Parameter a1 und b0 werden im folgenden Identifikationsgleichungen aufge-stellt.Beim ARX-Verfahren ist in der Gl. (C.63)

y(t) = −a1 · y(t− 1) + b0 · u(t) + e(t) (C.65)

das Modell

y(t) = −a1 · y(t− 1) + b0 · u(t) (C.66)

enthalten, das linear in den Parametern a1 und b0 ist. Die lineare Regression mit dem Least-Squares-Schatzer ist anwendbar:

y(t) = ϕ1(t) · k1 + ϕ2(t) · k2 + e(t) (C.67)

mit

ϕ1(t) := y(t− 1) , (C.68a)ϕ2(t) := u(t) , (C.68b)

k1 := −a1 und (C.68c)k2 := b0 . (C.68d)

Der Fehler e(t)

e(t) = y(t) + a1 · y(t− 1)− b0 · u(t) . (C.69)

hangt linear von den Parametern a1 und b0 ab.Die Schatzung der Parameter bekommt einen Bias, wenn die Storung statt in die Gleichung inden Ausgang eingeht. Aus diesem Grund ist die Stelle, wo die Storung eingeht wichtig fur dieIdentifikation.Die Gl. (C.65) mit dem Verzogerungsoperator q−1 geschrieben ergibt:

[1 + a1 · q−1]︸︷︷︸=:A(q)

·y(t) = b0︸︷︷︸=:B(q)

·u(t) + e(t) . (C.70)

Durch die Abkurzungen A(q) := [1 + a1 · q−1] und B(q) := b0 folgt:

A(a) · y(t) = B(q) · u(t) + e(t) (C.71)


und aufgelost nach dem Ausgang y(t) ergibt sich:

y(t) =B(q)A(q)

· u(t) +1

A(q)· e(t) . (C.72)

Beim OE-Verfahren ist in der Gl. (C.64)

x(t) = −a1 · x(t− 1) + b0 · u(t) (C.73)y(t) = x(t) + e(t) (C.74)

das Modell mit dem Ausgang y(t) = x(t) enthalten:

y(t) = −a1 · y(t− 1) + b0 · u(t) , (C.75)

das linear in den Parametern a1 und b0 ist. Der Ausgang des ARX-Modells (C.66) hangt vomvergangenen Systemausgang ab, der Ausgang des OE Modells (C.75) hangt vom vergangenenModellausgang ab. Die lineare Regression mit dem Least-Squares-Schatzer

y(t) = ϕ1(t) · k1 + ϕ2(t) · k2 + e(t) (C.76)

mit

ϕ1(t) := y(t− 1) , (C.77a)ϕ2(t) := u(t) , (C.77b)

k1 := −a1 und (C.77c)k2 := b0 (C.77d)

ist nicht anwendbar, da ϕ1(t) vorab nicht bekannt ist.Aus Gl. (C.64)

x(t) + a1 · x(t− 1) = b0 · u(t) (C.78)

folgt

[1 + f1 · q−1]︸︷︷︸=:F (q)

·x(t) = b0︸︷︷︸=:B(q)

·u(t) (C.79)

und

x(t) =b0

[1 + f1 · q−1]· u(t) (C.80)

und schließlich

x(t) =B(q)F (q)

· u(t) . (C.81)

Der Fehler e(t)

e(t) = y(t)− x(t) (C.82)

= y(t)− b0

[1 + a1 · q−1]· u(t) (C.83)

hangt nichtlinear von den Parametern a1 und b0 ab und der Least-Squares-Algorithmus kannnicht eingesetzt werden.

Ein allgemeinere Darstellung der Ubertragungsfunktionen lautet:


• ARX:

y(t) =B(q)A(q)

· u(t) +1

A(q)· e(t) (C.84)

• OE:

y(t) =B(q)F (q)

· u(t) + e(t) . (C.85)

Beim ARX-Modellansatz mit Gl. (C.84) berechnet sich der Fehler e(t) aus der Differenz des FIRgefilterten Ausgangssignal A(q) · y(t) und dem FIR gefilterten Eingangssignal B(q) · u(t):

e(t) = A(q) · y(t)−B(q) · u(t) bzw (C.86)e(t) = y(t) + a1 ·y(t− 1) + a2 ·y(t− 2) . . .− b0 ·u(t)− b1 ·u(t− 1)− b2 ·u(t− 2) . . . (C.87)

und es liegt eine Struktur vor, auf die die lineare Regression anwendbar ist.Durch Interpretation der Ubertragungsfunktion (C.84) als Kettenschaltung von

u∗(t) = B(q) · u(t) + e(t) und (C.88)

y(t) =1

A(q)· u∗(t) (C.89)

wird deutlich, dass sich der IIR Filter y(t) = 1A(q) ·u∗(t) ohne Fehler umkehren lasst sich, da der

Ausgang y nicht gestort ist.Beim OE Gl. (C.85) berechnet sich der Fehler e(t) aus der Differenz des Ausgangs y(t) und demIIR gefilterten Eingangssignal y∗(t) = B(q)

F (q) · u(t):

e(t) = y(t)− B(q)F (q)

· u(t) = y(t)− y∗(t) (C.90)

mit

y∗(t) = −f1 ·y∗(t− 1)− f2 ·y∗(t− 2) . . . + b0 ·u(t) + b1 ·u(t− 1) + b2 ·u(t− 2) . . . . (C.91)

Es liegt eine Struktur vor, auf die die lineare Regression nicht anwendbar ist.Im Bild C.3 wird die ARX- und der OE-Modellstruktur gegenubergestellt. Man beachte dieStelle, wo die Storung eintritt.

C.1.4 Parameterschatzung mittels nichtlinearer Optimierung

Die Parameterschatzung mittels nichtlinearer Optimierung betrifft Modellstrukturen, die sichweder auf die Form der linearen Regression bringen noch auf aquivalente lineare, zeitdiskreteModelle transformieren lassen.Ein solches Modell zum Beispiel ist das nichtlineare Modell 3. Ordnung der Ansteuerung desServoventils Gl. (A.1) bis Gl. (A.5), welches ein System von nichtlinearen Differentialgleichungen1. Ordnung ist.Dieses System von nichtlinearen Differentialgleichungen wird mit einem numerischen Integra-tionsverfahren, z.B. Runge-Kutta 4. Ordnung, fur ein gegebenes Eingangssignal und fur einenParametersatz k simuliert.


+

+

+ −

ARXy(t) = B(q)

A(q) · u(t) + 1A(q) · e(t)

B(q) 1A(q)

e(t)

u(t) y(t)

A(q)B(q)u(t) y(t)

FIR IIR

FIR FIRε(t)

Optimierer

(a) ARX

+

+

+ −

OE

1F (q)

IIR

e(t)

FIR

B(q) 1F (q)

IIR ε(t)

Optimierer

y(t) = B(q)F (q) · u(t) + e(t)

B(q)u(t) y(t)

u(t) y(t)

FIR

(b) OE

Bild C.3: Vergleich der ARX- und der OE-Modellstruktur

Die Abweichung zwischen dem Ausgangssignal y(t) des realen Systems und dem fur den Pa-rametersatz k simulierten Ausgangssignal y(t, k) wird durch die skalarwertige VerlustfunktionVN (k) charakterisiert:

VN (k) =∑N

t=1 [y(t)− y(t, k)]2∑Nt=1 y2(t)

, (C.92)

wobei N die Anzahl der Abtastpunkte ist, uber die simuliert wurde.Durch ein nichtlineares Optimierungsverfahren [54], z.B. Nelder–Mead–Simplex–Algorithmus,wird der Parametersatz k ermittelt, der die Verlustfunktion minimiert:

k = arg mink

VN (k) . (C.93)

Die Schwierigkeit hierbei besteht, das globale und kein lokales Minimum der VerlustfunktionVN (k) zu finden. Hierbei spielt die Wahl der Startwert k0 der Parameter fur das nichtlineareOptimierungsverfahren eine wichtige Rolle.Der Nelder–Mead–Simplex–Algorithmus benotigt keine partiellen Ableitungen der Verlustfunk-tion VN (k) im Gegensatz zu den Gradientenverfahren.Es liegt eine direkte Identifikation vor, da die gesuchten Parameter geschatzt werden.

C.2 Diskretisierung

Bei der impuls-invarianten Transformation [58] gelten folgende Annahmen:

C.2 Diskretisierung 243

1. Das Eingangssignal wird zwischen den Abtastpunkten konstant gehalten, z.B. Digital-Analog-Wandler. Dies wird auch als Halteglied 0.ter Ordnung (Zero-Order-Hold) bezeich-net.

2. Das Ausgangssignal wird nicht zusatzlich durch z.B. ein analoges Anti-Aliasing-Filterbandbegrenzt.

Gegeben sei ein lineares, zeitkontinuierliches System G(s) mit der Ubertragungsfunktion G(s)im Laplace-Bereich. Die Z-Transformierte der abgetasteten zeitkontinuierlichen Sprungantwortberechnet sich aus:

Y (z) = ZL−1

G(s)

s

(C.94)

mit Z als Z-Transformation und L−1 als inverser Laplace-Transformation. Der Vorgang desHalteglieds 0.ter Ordnung wird zwischen zwei Abtastpunkten durch einen Einheitsimpuls mit derDauer der Abtastzeit beschrieben. Der Einheitsimpuls wird aus zwei Sprungen zusammengebaut:1− z−1. Damit ergibt sich die impuls-invariante Transformation zu:

G(z) =(1− z−1

) · ZL−1

G(s)

s

, (C.95)

die das zeitkontinuierliche System G(s) in das zeitdiskrete System G(z) transformiert.

C.2.1 Diskretisierung eines Systems 1. Ordnung

Fur ein lineares, zeitkontinuierliches System 1. Ordnung mit der Ubertragungsfunktion

G(s) =α

s + α(C.96)

soll ein entsprechendes zeitdiskretes System mit der impuls-invarianten-Transformation (C.95)bestimmt werden.Die Laplace-Transformierte der Sprungantwort von (C.96) lautet:

G(s)s

=α

s · (s + α)=

(α + s)− s

s · (s + α)=

1s− 1

s + α. (C.97)

Durch Inverse Laplace-Transformation entsteht die Sprungantwort h(t):

h(t) = L−1

G(s)

s

= L−1

1s

− L−1

1

s + α

= σ(t)− e−α·t · σ(t) . (C.98)

Eine Abtastung der zeitkontinuierlichen Sprungantwort h(t) an den Zeitpunkten k ·∆t liefert:

h(k ·∆t) = σ(k ·∆t)− e−α·k·∆t · σ(k ·∆t). (C.99)

Die Z-Transformation von h(k ·∆t) lautet:

Z h(k ·∆t) = ZL−1

G(s)

s

= Z σ(k ·∆t) − Z

e−α·k·∆t · σ(k ·∆t)

(C.100)

=z

z − 1− z

z − e−α·∆t=

z

z − 1· 1− e−α·∆t

z − e−α·∆t. (C.101)


Damit ergibt sich fur die zeitdiskrete Ubertragungsfunktion nach der impuls-invarianten-Transformation (C.95):

G(z) =(1− z−1

) · ZL−1

G(s)

s

=

(1− z−1

) · z

z − 1· 1− e−α·∆t

z − e−α·∆t

=1− e−α·∆t

z − e−α·∆t=

(1− e−α·∆t

) · z−1

1− e−α·∆t · z−1. (C.102)

Mit der Naherung [53] ex ≈ 1 + x fur |x| < ∞ folgt aus (C.102):

G(z) =

(1− e−α·∆t

) · z−1

1− e−α·∆t · z−1≈ (1− (1− α ·∆t)) · z−1

1− (1− α ·∆t) · z−1≈ α ·∆t · z−1

1 + (α ·∆t− 1) · z−1. (C.103)

Eine lineare, zeitkontinuierliche Ubertragungsfunktion 1. Ordnung:

G(s) =A

s− sP(C.104)

mit der Polstelle sP und der Konstante A transformiert sich naherungsweise in die folgendelineare, zeitdiskrete Ubertragungsfunktion 1. Ordnung:

G(z) =A ·∆t · z−1

1 + (−sP ·∆t− 1) · z−1, (C.105)

wenn die Abtastzeit ∆t ausreichend hoch gewahlt ist.

C.3 Parametersensitivitat

Ein mathematisches Modell eines Prozesses berechnet fur ein vorliegendes Eingangssignal einAusgangssignal. Das Ausgangssignal hangt in der Regel von den verwendeten Werten der Mo-dellparameter des Prozessmodells ab. Die Parametersensitivitat des Ausgangs beschreibt, wiestark das Ausgangssignal durch die Modellparameter beeinflusst wird.Fur technische Prozesse wunscht man sich oft eine geringe Parametersensitivitat des Ausgangs,um storende Einflusse gering halten zu konnen. Man spricht auch von Robustheit.Fur eine erfolgreiche Identifikation eines Prozesses hingegen sollte die Sensitivitat der zuschatzenden Parameter auf den Ausgang moglichst groß sein.Die Parametersensitivitat des Ausgangs ist im allgemeinen von den Eigenschaften des Eingangs-signals, z.B. Spektrum, abhangt und kann damit durch die Wahl des Eingangssignals optimiertwerden.Die Parameter werden am besten geschatzt, wenn das System dort angeregt wird, wo der Sy-stemausgang am sensitivsten auf die Parameter reagiert.Im Kapitel C.3.1 wird fur ein lineares System 1. Ordnung untersucht, wie das Eingangssignalbeschaffen sein sollte, damit die Sensitivitat seiner Parameter maximal fur den Ausgang wird.Ein lineares System 1. Ordnung liegt vor bei der

• linearen Lastmechanik mit Zylinderkolbengeschwindigkeit als Ausgang und beim• linearen, reduzierten Druckaufbau .

C.3 Parametersensitivitat 245

C.3.1 Parametersensitivitat eines linearen Systems 1. Ordnung

Ein lineares System 1. Ordnung wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben:

y(t) + α · y(t) = β · α · u(t) (C.106)

mit dem Eingang u(t), dem Ausgang y(t), der Polstelle α und dem stationaren Verstarkungs-faktor β.Im Bildbereich (Laplace-Transformation) ergibt sich der Ausgang Y (s) uber die Ubertragungs-funktion G(s)

G(s) =Y (s)U(s)

=β · αs + α

, (C.107)

aus dem Eingang U(s):

Y (s) = G(s) · U(s) . (C.108)

Die Beziehung zwischen dem Ausgangsspektrum Φy(ω) und dem Eingangsspektrum Φu(ω) lau-tet:

Φy(ω) = |G(jω)|2 · Φu(ω) (C.109)

mit dem Betragsquadrat des Amplitudengangs bezuglich der Kreisfrequenz ω:

|G(jω)|2 =Y (s)U(s)

=β2 · α2

ω2 + α2. (C.110)

Im folgenden wird untersucht fur welche Kreisfrequenz ω das Ausgangsspektrum Φy(ω) amstarksten durch eine Anderung der Parameterwerte beeinflusst wird. Das EingangsspektrumΦu(ω) verandert sich nicht.Ausgehend von einem nominalen Parametersatz α0 und β0 mit Ausgangsspektrum Φy,0(ω) ergibtsich bei geringfugig veranderten Parameterwerten folgende Anderung des Ausgangsspektrum:

Φy(ω)− Φy,0(ω)︸︷︷︸=:∆Φy(ω)

=

∂ |G(jω)|2

∂α· (α− α0)︸︷︷︸

=:∆α

+∂ |G(jω)|2

∂β· (β − β0)︸︷︷︸

=:∆β

︸︷︷︸=:∆|G(jω)|2

·Φu(ω) (C.111)

Die Anderung des Betragsquadrates des Amplitudengangs ∆ |G(jω)|2 aufgrund einer Anderungder Parameterwerte α und β wird beschrieben durch:

∆ |G(jω)|2 =∂ |G(jω)|2

∂α·∆α +

∂ |G(jω)|2∂β

·∆β (C.112)

mit den partiellen Ableitungen des Betragsquadrates des Amplitudengangs |G(jω)|2 nach denParametern α und β:

∂ |G(jω)|2∂α

=2 · α · β2 · ω2

(ω2 + α2)2und

∂ |G(jω)|2∂β

=2 · α2 · βω2 + α2

. (C.113)

Der Zusammenhang zwischen der Anderung des Ausgangsspektrums ∆Φy(ω) und der des Ein-gangsspektrums Φu(ω) lautet:


• bezuglich der Parameteranderung ∆α (∆β = 0)

∆Φy(ω) =∂ |G(jω)|2

∂α·∆α · Φu(ω) =

2 · α · β2 · ω2

(ω2 + α2)2·∆α · Φu(ω) und (C.114)

• bezuglich der Parameteranderung ∆β ( ∆α = 0)

∆Φy(ω) =∂ |G(jω)|2

∂β·∆β · Φu(ω) =

2 · α2 · βω2 + α2

·∆β · Φu(ω) . (C.115)

Der Verlauf der Funktion ∂|G(jω)|2∂α bezuglich der Kreisfrequenz ω weist ein Bandpassverhalten auf

und der Verlauf der Funktion ∂|G(jω)|2∂β bezuglich der Kreisfrequenz ω weist ein Tiefpassverhalten

auf.Zur Untersuchung fur welche Kreisfrequenzen ω die Parametersensitivitat ∂|G(jω)|2

∂α und ∂|G(jω)|2∂β

maximal sind, werden die partiellen Ableitungen bezuglich ω gebildet :

∂2 |G(jω)|2∂α ∂ω

=4 · α · β2 · ω · [α2 − ω2

]

(ω2 + α2)3und

∂2 |G(jω)|2∂β ∂ω

=−4 · α2 · β · ω(ω2 + α2)2

. (C.116)

Die Extrema werden durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen bestimmt:

∂2 |G(jω)|2∂α ∂ω

∣∣∣∣∣ω=ωE

!= 0 ⇔ ωE,α = α und (C.117)

∂2 |G(jω)|2∂β ∂ω

∣∣∣∣∣ω=ωE

!= 0 ⇔ ωE,β = 0 . (C.118)

Beide Extremwerte ωE,α und ωE,β sich Maxima:

∂3 |G(jω)|2∂α ∂2ω

∣∣∣∣∣ω=α

=−β2

α3< 0 (Maximum) und (C.119)

∂3 |G(jω)|2∂β ∂2ω

∣∣∣∣∣ω=0

=−4 · β

α2< 0 (Maximum) . (C.120)

Zur Schatzung der Polstelle α sollte die Energie des Eingangsspektrums Φu(ω) um die Kreisfre-quenz ω = α der Polstelle liegen.Der stationare Verstarkungsfaktor wird am besten fur ein konstantes Eingangssignal geschatzt.Die Werte der Funktionen ∂|G(jω)|2

∂α und ∂|G(jω)|2∂β an der Stelle ω = a:

∂ |G(jω)|2∂α

∣∣∣∣∣ω=a

=β2

2 · α und∂ |G(jω)|2

∂β

∣∣∣∣∣ω=a

= β . (C.121)

Hiermit folgt aus Gl. (C.112)

∆ |G(jω)|2 =β2

2· ∆α

α+ β2 · ∆β

β(C.122)

Obwohl der Parameter β nicht im Maximum seiner Sensitivitat angeregt wird, besitzt er einedoppelt so hohe Empfindlichkeit als der Parameter α.

C.3 Parametersensitivitat 247

Es reicht damit aus, das System an der Polstelle anzuregen.In der Regel ist die Lage der Polstelle vor der Identifikation nicht bekannt. Aber nach derParameterschatzung kann uberpruft werden, ob die identifizierte Polstelle auch richtig angeregtwurde und ggf. kann der Versuch mit einem angepassten Eingangssignal wiederholt werden.Hieraus ergibt sich folgende Schlussfolgerung fur die Identifikationsaufgaben dieser Arbeit:

• LastmechanikDurch die sehr geringe Dampfung liegt die Polstelle a = dk

mk≈ 2 sehr nah am Ursprung,

was einer sehr niederfrequenten Anregungsfrequenz von ca. 0.3 Hz entspricht.

• linearer DruckaufbauDie Polstelle liegt bei −QP

CH≈ 200, was einer Anregungsfrequenz von ca. 30 Hz entspricht.


Anhang D

Anhang zum Reglerentwurf

D.1 Anhang zum Entwurf des nichtlinearen Reglers NLBF8OR

Im folgenden sind die Lie-Ableitungen L4fh(x), L5

fh(x) und L6fh(x) des nichtlinearen Reglers

NLBF8OR aus Kapitel 7.3.4 explizit aufgefuhrt, die wegen ihres Umfangs hierhin ausgelagertwurden:

L4fh(x) =

[A2

k

CH ·mk− (dk + dG)·dk

mk ·mG− d2

k

m2k

]·[

dk

mG·x5 − Ak

mG·x6 − cG

mG·x7 − dk + dG

mG·x8

]

+[

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

]·[+

Ak

mk· x6 − dk

mk· (x5 − x8) + g

]

+[

Ak

mk· ∂q∗(x6, x2)

∂x6− Ak · dk

mG ·mk− Ak · dk

m2k

]·[q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

]

+Ak

mk· ∂q∗(x6, x2)

∂x2· x3 − cG · dk

mG ·mk· x8 , (D.1)

L5fh(x) =

Ak

mk· ∂q∗(x6, x2)

∂x2· (−2·ωV ·ζV ·x3 − ω2

V ·x2 + kV ·ω2V ·x1

)

+[

Ak

CH·(

Ak

mk· ∂q∗(x6, x2)

∂x6− Ak ·dk

mG ·mk− Ak ·dk

m2k

)+

dk

mk·(

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

)

−dk + dG

mG·(− (dk + dG)·dk

mG ·mk+

A2k

CH ·mk− d2

k

m2k

)− cG ·dk

mG ·mk

]

· 1mG

·(−(dk + dG)·x8 − cG ·x7 −Ak ·x6 + dk ·x5)

− cG

mG·(−(dk + dG) · dk

mG ·mk+

A2k

CH ·mk− d2

k

m2k

)· x8

+[− Ak

CH·(

Ak

mk· ∂q∗(x6, x2)

∂x6− Ak ·dk

mG ·mk− Ak ·dk

m2k

)− dk

mk·(

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

)

+dk

mG·(− (dk + dG)·dk

mG ·mk+

A2k

CH ·mk− d2

k

m2k

)]·(− dk

mk·(x5 − x8) +

Ak

mk·x6 + g

)

+[

Ak

mk· ∂2q∗(x6, x2)

∂x26

·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)+

Ak

mk· ∂2q∗(x6, x2)

∂x2∂x6· x3

+∂q∗(x6, x2)

∂x6·(

Ak

mk· ∂q∗(x6, x2)

∂x6− Ak · dk

mG ·mk− Ak · dk

m2k

)

249

250 Anhang D. Reglerentwurf

− Ak

mG·(− (dk + dG) · dk

mG ·mk+

A2k

CH ·mk− d2

k

m2k

)+

Ak

mk·(

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

)]

·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)

+[

Ak

mk· ∂2q∗(x6, x2)

∂x2∂x6·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)+

Ak

mk· ∂2q∗(x6, x2)

∂x22

· x3

+∂q∗(x6, x2)

∂x2·(

Ak

mk· ∂q∗(x6, x2)

∂x6− Ak · dk

mG ·mk− Ak · dk

m2k

)]· x3 (D.2)

und die Lie-Ableitung L6fh(x) :

L6fh(x) = α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 + α7 , (D.3a)

die zur Darstellung in 7 Summanden unterteilt wurde:

α1 :=

∂2q∗(x6, x2)∂x2

2

· (−2 · ζV · ωV · x3 − ω2V · x2 + kV · ω2

V · x1

)(D.3b)

+Ak

CH ·mg· ∂2q∗(x6, x2)

∂x2∂x6· (−(dk + dG) · x8 − cG · x7 −Ak · x6 + dk · x5)

− Ak

CH· ∂2q∗(x6, x2)

∂x2∂x6·(− dk

mk· (x5 − x8) +

Ak

mk· x6 + g

)

+[

∂3q∗(x6, x2)∂x2∂x2

6

·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)+

∂3q∗(x6, x2)∂x2

2∂x6· x3

+∂q∗(x6, x2)

∂x2· ∂2q(x6, x2)

∂x26

+∂2q∗(x6, x2)

∂x2∂x6·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)

+∂2q∗(x6, x2)

∂x2∂x6· ∂q∗(x6, x2)

∂x6

]·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)

+[

∂2q∗(x6, x2)∂x2

6

·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)+

∂2q∗(x6, x2)∂x2∂x6

· x3

+∂q∗(x6, x2)

∂x6·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)+

(d2

k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

)

− 1mG

·(− (dk + dG) · dk

mG+

A2k

CH− d2

k

mk

)]· ∂q∗(x6, x2)

∂x2

+[

∂3q∗(x6, x2)∂x2

2∂x6·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)+

∂3q∗(x6, x2)∂x3

2

· x3

+∂2q∗(x6, x2)

∂x22

·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)+2 · ∂q∗(x6, x2)

∂x2· ∂2q(x6, x2)

∂x2∂x6

]· x3

−ω2V ·

∂q∗(x6, x2)∂x2

· Ak

mk· x3 ,

α2 :=

∂2q∗(x6, x2)∂x2∂x6

· (−2 · ζV · ωV · x3 − ω2V · x2 + kV · ω2

V · x1) (D.3c)

+Ak

CH ·mG· ∂2q∗(x6, x2)

∂x26

· (−(dk + dG) · x8 − cG · x7 −Ak · x6 + dk · x5)

− Ak

CH· ∂2q∗(x6, x2)

∂x26

·(− dk

mk· (x5 − x8) +

Ak

mk· x6 + g

)

D.1 Anhang zum Entwurf des nichtlinearen Reglers NLBF8OR 251

+[

∂3q∗(x6, x2)∂x3

6

·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)+

∂3q∗(x6, x2)∂x2∂x2

6

· x3

+∂2q∗(x6, x2)

∂x26

·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)+2 · ∂q∗(x6, x2)

∂x6· ∂2q∗(x6, x2)

∂x26

]·

(q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)

+[

∂2q∗(x6, x2)∂x2

6

·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)+

∂2q∗(x6, x2)∂x2∂x6

· x3

+∂q∗(x6, x2)

∂x6·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)− 1


mG+

A2k

CH− d2

k

mk

)

+(

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

)]· ∂q∗(x6, x2)

∂x6

+[

∂3q∗(x6, x2)∂x2∂x2

6

·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)+

∂3q∗(x6, x2)∂x2

2∂x6· x3

+∂q∗(x6, x2)

∂x2· ∂2q∗(x6, x2)

∂x26

+∂2q∗(x6, x2)

∂x2∂x6·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)

+∂2q∗(x6, x2)

∂x2∂x6· ∂q∗(x6, x2)

∂x6

]· x3

−[

A2k

CH·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)− dk + dG


mG+

A2k

CH− d2

k

mk

)

+dk

mk·(

d2k

mG− A2

k

CH+

d2k

mk

)− cG · dk

mG

]· 1mG

+[− A2

k

CH ·mk·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)+

dk


mG ·mk+

A2k

CH ·mk− d2

k

m2k

)

− dk

mk·(

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

)]· Ak

mk·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

),

α3 =−2 · ζV · ωV · ∂q∗(x6, x2)

∂x2+

∂q∗(x6, x2)∂x2

·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)(D.3d)

+ 2 · ∂2q∗(x6, x2)∂x2

2

· x3 +2 · ∂2q∗(x6, x2)∂x2∂x6

·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)·

Ak

mk· [−2 · ωV · x3 · ζV − ω2

V · x2 + kV · ω2V · x1

],

α4 :=

A2k

CH ·mk· ∂2q∗(x6, x2)

∂x26

·[q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

](D.3e)

+[

∂2q∗(x6, x2)∂x2

6

·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)+

∂2q∗(x6, x2)∂x2∂x6

· x3

+∂q∗(x6, x2)

∂x6·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)+

1mk

·(

d2k

mG− A2

k

CH+

d2k

mk

)


− 1mG

·(− (dk + dG) · dk

mG+

A2k

CH− d2

k

mk

)]· A2

k

CH ·mk

+A2

k

CH ·mk· ∂2q∗(x6, x2)

∂x2∂x6· x3

−[

A2k

CH ·mk·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)+

dk

m2k

·(

d2k

mG− A2

k

CH+

d2k

mk

)

− dk + dG

mG ·mk·(− (dk + dG) · dk

mG+

A2k

CH− d2

k

mk

)− cG · dk

mG ·mk

]· dk + dG

mG

+[− A2

k

CH ·mk·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)− dk

mk·(

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

)

+dk


mG ·mk+

A2k

CH ·mk− d2

k

m2k

)]· dk

mk

−[− (dk + dG) · dk

mG ·mk+

A2k

CH ·mk− d2

k

m2k

]· cG

mG

·[−dk + dG

mG·x8 − cG

mG·x7 − Ak

mG·x6 +

dk

mG·x5

],

α5 := −[

A2k

CH ·mk·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)(D.3f)

− dk + dG


mG ·mk+

A2k

CH ·mk− d2

k

m2k

)

+dk

mk·(

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

)− cG · dk

mG ·mk

]· cG

mG· x8 ,

α6 :=− A2

k

CH ·mk· ∂2q∗(x6, x2)

∂x26

·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)(D.3g)

−[

∂2q∗(x6, x2)∂x2

6

·(

q∗(x6, x2)− Ak

CH· (x5 − x8)

)+

∂2q∗(x6, x2)∂x2∂x6

· x3

+∂q∗(x6, x2)

∂x6·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)+

(d2

k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

)

− 1mG

·(− (dk + dG) · dk

mG+

A2k

CH− d2

k

mk

)]· A2

k

CH ·mk− A2

k

CH ·mk· ∂

2q∗(x6, x2)∂x2∂x6

·x3

+[

A2k

CH ·mk·(

Ak

mk· ∂q∗(x6, x2)

∂x6− dk

mG− dk

mk

)− cG ·dk

mG ·mk

− dk + dG


mG ·mk+

A2k

CH ·mk− d2

k

m2k

)+

dk

mk·(

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

)]· dk

mG

−[− A2

k

CH ·mk·(

∂q∗(x6, x2)∂x6

− dk

mG− dk

mk

)− dk

mk·(

d2k

mG ·mk− A2

k

CH ·mk+

d2k

m2k

)

+dk


mG ·mk+

A2k

CH ·mk− d2

k

m2k

)]· dk

· 1mk

·(− dk

mk·(x5 − x8) +

Ak

mk·x6 + g

)

und

α7 := −Ak

mk· aM · kV · ω2

V ·∂q∗(x6, x2)

∂x2· x1 . (D.3h)

D.2 Partielle Ableitungen der nichtlinearen reduzierten Flussfunktion 253

D.2 Partielle Ableitungen der nichtlinearen reduzierten Flussfunk-tion

Die Flussfunktion q∗(pL, xV ) setzt sich zusammen aus dem Lastfluss qL(pL, xV ) aus Glei-chung (4.28) und dem laminaren Bypass- und Leckfluss qBPLred

(pL) aus Gleichung (4.30) beiNulluberdeckung des Servoventils (xu = 0) :

q∗(pL, xV ) :=1

CH· qL(pL, xV ) +

1CH

· qBPLred(pL) (D.4)

= 2·kL · √

|p0 − pL|·sign(p0 − pL)·σ( xV )

+√|p0 + pL|·sign(p0 + pL)·σ(−xV )

· xV − kLE

CH· pL

= 2·kL ·√|p0 − sign(xV )·pL|·sign (p0 − sign(xV )·pL) · xV − kLE

CH·pL .

Die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Flussfunktion q∗(pL, xV ) (D.4) lauten:

∂q∗(pL, xV )∂pL

= kL ·−xV · σ(xV )√|p0 − pL|

+xV · σ(−xV )√|p0 + pL|

− kLE

CH(D.5)

=−kL · |xV |√

|p0 − sign(xV ) · pL|− kLE

CH

∂q∗(pL, xV )∂xV

= 2 · kL · √

|p0 − pL| · sign(p0 − pL) · σ(xV ) (D.6)

+√|p0 + pL| · sign(p0 + pL) · σ(−xV )

= 2 · kL ·√|p0 − sign(xV ) · pL| · sign (p0 − sign(xV ) · pL)

Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Flussfunktion q∗(pL, xV ) (D.4) lauten:

∂2q∗(pL, xV )∂p2

L

= −kL ·

xV · σ(xV )2 · (p0 − pL) ·

√|p0 − pL|

+xV · σ(−xV )

2 · (p0 + pL) ·√|p0 + pL|

(D.7)

=−kL · xV

2 · (p0 − sign(xV ) · pL) ·√|p0 − sign(xV ) · pL|

∂2q∗(pL, xV )∂pL ∂xV

= kL ·

−σ(xV )√|p0 − pL|

+σ(−xV )√|p0 + pL|

(D.8)

=−kL · sign(xV )√|p0 − sign(xV ) · pL|

∂2q∗(pL, xV )∂x2

V

= 0 (D.9)

Die partiellen Ableitungen dritter Ordnung der Flussfunktion q∗(pL, xV ) (D.4) lauten:

∂3q∗(pL, xV )∂p3

L

= kL ·

−3 · xV · σ(xV )4 · (p0 − pL)2 ·

√|p0 − pL|

+3 · xV · σ(−xV )

4 · (p0 + pL)2 ·√|p0 + pL|

(D.10)


=−3 · kL · |xV |

4 · (p0 − sign(xV ) · pL)2 ·√|p0 − sign(xV ) · pL|

∂3q∗(pL, xV )∂p2

L ∂xV= −kL ·

σ(xV )

2 · (p0 − pL) ·√|p0 − pL|

+σ(−xV )

2 · (p0 + pL) ·√|p0 + pL|

(D.11)

=−kL

2 · (p0 − sign(xV ) · pL) ·√|p0 − sign(xV ) · pL|

∂3q∗(pL, xV )∂pL ∂x2

V

= 0 (D.12)

∂3q∗(pL, xV )∂x3

V

= 0 (D.13)

D.3 Nichtlinearer Reglerentwurf fur nichtlineare erweiterte Mo-dellgleichungen

D.3.1 Nichtlinearer Reglerentwurf fur nichtlineare nicht reduzierte Modell-gleichungen mit statischem Ventilmodell ohne Modell des Fundaments

Die nichtlinearen nicht reduzierten Modellgleichungen (4.1) bis (4.11) aus Kapitel 4.2 werdenwie folgt zu einem System 4. Ordnung (n = 4) modifiziert:


xV = kV · kM · uM , (D.14a)


xu1 = xu2 = xu3 = xu4 = 0 , (D.14b)

• keine Leckflusse und kein turbulenter Bypass

qLEI(pI) = qLEII(pII) ≡ 0 , (D.14c)kBP = 0 und (D.14d)

• Mechanik ohne Einfluss des Fundaments

mk · xka + dk · xka = AI · pI −AII · pII + mk · g . (D.14e)

Beim Aufbau des Zustandsvektors x := [x1, x2, x3, x4]T aus den Zustandsvariablen:

x1 := xka (Zylinderkolbenauslenkung),x2 := xka (Zylinderkolbengeschwindigkeit) (D.15)x3 := pI (Druck in der Kammer I) undx4 := pII (Druck in der Kammer II)


x1

x2

x3

x4

=

f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)

+

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x, u)

· u (D.16a)

D.3 Nichtlinearer Reglerentwurf fur nichtlineare erweiterte Modellgleichungen 255

y = h(x) = x1 = xka . (D.16b)


f1(x) := x2 , g1(x) := 0 ,

f2(x) :=AI

mk·x3 − AII

mk·x4 − dk

mk·x2 + g , g2(x) := 0 , (D.16c)

f3(x) := − B · x2

lI0 + x1− B · kBPL · (x3 − x4)

AI · (lI0 + x1), g3(x, u) := +

B · q∗ZI(x3, u)AI · (lI0 + x1)

,

f4(x) := +B · x2

lII0 − x1+

B · kBPL · (x3 − x4)AII · (lII0 − x1)

, g4(x, u) := − B · q∗ZII(x4, u)AII · (lII0 − x1)

und mit den modifizierten Formen q∗ZI(x3, u) und q∗ZII(x4, u) der nichtlinearen Steuerkantenflusseq1(xV , pI) bis q4(xV , pII) aus Gl. (4.7a) bis Gl. (4.7d) unter Berucksichtigung eines statischenVentilmodells Gl. (D.14a) und der Nulluberdeckung des Servoventils Gl. (D.14b):

q∗ZI(x3, u) :=q2(kV ·kM ·u, x3)− q1(kV ·kM ·u, x3)

u(D.16d)

= αD2 ·π ·d2 ·√

2/ρ·√|pS−x3|·sign (pS−x3)·kV ·kM ·σ ( u)

+ αD1 ·π ·d1 ·√

2/ρ·√|x3−pR|·sign (x3−pR)·kV ·kM ·σ (−u)

q∗ZII(x4, u) :=q4(kV ·kM ·u, x4)− q3(kV ·kM ·u, x4)

u(D.16e)

= αD4 ·π ·d4 ·√

2/ρ·√|x4−pR|·sign (x4−pR)·kV ·kM ·σ ( u)

+ αD3 ·π ·d3 ·√

2/ρ·√|pS−x4|·sign (pS−x4)·kV ·kM ·σ (−u) ,

Fur den Entwurf des Regelalgorithmus wird der relative Grad r des Streckenmodells Gl. (D.16)bestimmt. Hierzu werden wie in Gl. (7.17) die Lie-Ableitungen Li



L0fh(x) = h(x)

= x1 , (D.17a)

L1fh(x) = (∇h(x)) · f(x)

=[∂h(x)∂x1

,∂h(x)∂x2

,∂h(x)∂x3

,∂h(x)∂x4

]·


= [1, 0, 0, 0] ·


= f1(x) = x2 , (D.17b)

LgL0fh(x) = (∇h(x)) · g(x)


=[∂h(x)∂x1

,∂h(x)∂x2

,∂h(x)∂x3

,∂h(x)∂x4

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x, u)

= [1, 0, 0, 0] ·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x, u)

= g1(x) = 0 , (D.17c)

L2fh(x) =

(∇L1fh(x)

) · f(x)

=

[∂L1

fh(x)∂x1

,∂L1

fh(x)∂x2

,∂L1

fh(x)∂x3

,∂L1

fh(x)∂x4

]·


= [0, 1, 0, 0] ·


= f2(x) =AI

mk·x3 − AII

mk·x4 − dk

mk·x2 + g , (D.17d)


=

[∂L1

fh(x)∂x1

,∂L1

fh(x)∂x2

,∂L1

fh(x)∂x3

,∂L1

fh(x)∂x4

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x, u)

= [0, 1, 0, 0] ·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x, u)

= g2(x) = 0 , (D.17e)

L3fh(x) =

(∇L2fh(x)

) · f(x)

=

[∂L2

fh(x)∂x1

,∂L2

fh(x)∂x2

,∂L2

fh(x)∂x3

,∂L2

fh(x)∂x4

]·


=[0,−dk

mk,

AI

mk,−AII

mk

]·


= − dk

mk· f2(x) +

AI

mk· f3(x)− AII

mk· f4(x)

= − dk

mk·[

AI

mk·x3 − AII

mk·x4 − dk

mk·x2 + g

]− B

mk·[

AI

lI0 + x1+

AII

lII0 − x1

]· x2


− B ·kBPL

mk·[

1lI0 + x1

+1

lII0 − x1

]· (x3 − x4) und (D.17f)

LgL2fh(x) = (∇L2

fh(x)) · g(x)

=

[∂L2

fh(x)∂x1

,∂L2

fh(x)∂x2

,∂L2

fh(x)∂x3

,∂L2

fh(x)∂x4

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x, u)

=[0,−dk

mk,

AI

mk,−AII

mk

]·

g1(x)g2(x)

g3(x, u)g4(x, u)

=AI

mk·g3(x, u)− AII

mk·g4(x, u) (D.17g)

=B

mk·[q∗ZI(x3, u)lI0 + x1

+q∗ZII(x4, u)lII0 − x1

].

Der relative Grad r des Streckenmodell Gl. (D.16) ist kleiner als die Systemordnung n:

r = 3 <= n = 4. (D.18)

Bemerkung D.1 (Interne Dynamik): Bei Aufschalten des nichtlinearem Kompensations-regler entsteht eine interne Dynamik 1. Ordnung.

Der Regelalgorithmus bestehend aus dem nichtlinearen Kompensationsregler, der linearen Zu-standsvektorruckfuhrung und dem linearen, dynamischen Vorfilter lautet:

z1(x) := h(x) = x1 , (D.19a)

z2(x) := L1fh(x) = x2 , (D.19b)

z3(x) := L2fh(x) =

AI

mk·x3 − AII

mk·x4 − dk

mk·x2 + g , (D.19c)

αx(x) := L3fh(x) = − dk

mk·[

AI

mk·x3 − AII

mk·x4 − dk

mk·x2 + g

](D.19d)

− B

mk·[

AI

lI0 + x1+

AII

lII0 − x1

]· x2

− B ·kBPL

mk·[

1lI0 + x1

+1

lII0 − x1

]· (x3 − x4) ,


B

mk·[q∗ZI(x3, u)lI0 + x1

+q∗ZII(x4, u)lII0 − x1

](D.19e)

u = β−1x (x, u) · [ν − αx(x)] (nichtlinearer Kompensationsregler) , (D.19f)

ν = ν ′ − k3 · z3 − k2 · z2 − k1 · z1 (lineare Zustandsvektorruckfuhrung) und (D.19g)ν ′ =

...y d + k3 · yd + k2 · yd + k1 · yd (lineares, dynamisches Vorfilter) . (D.19h)


Bemerkung D.2 (Nichtlinearer Kompensationsregler): Entgegen der Standardform die-ser nichtlinearen Regelalgorithmen hangt die Abbildung βx(x, u) aus Gleichung (D.19e) vomEingang u ab. Um dieses Problem bei der Reglerimplementierung zu umgehen, wird auf denvorherigen Wert u(t − dT ) als eine Approximation fur u(t) zuruckgegriffen mit dT als Abtast-zeit.

Zur Untersuchung der internen Dynamik wird im folgenden das gegebene Streckenmodell in derByrnes-Isidori-Normalform dargestellt.

Der Zustandsvektor z der Byrnes-Isidori-Normalform (7.26) setzen sich fur das gegebeneStreckenmodell (D.16) aus den drei Zustanden des Eingangs-/Ausgangs-Teils µ und einem Zu-stand der internen Dynamik Ψ zusammen:

z := [z1, z2, z3, z4]T = [µ1, µ2, µ3, Ψ1]T . (D.20)

Fur die folgenden Untersuchungen wird eine mittlere Zylinderkolbenflache A eingefuhrt:

A :=AI + AII

2. (D.21)

Mit der Wahl

z4 = Ψ1 :=AI

A· x3 +

AII

A· x4 (D.22)

entsteht die Zustandstransformation Φ(x) nach Gl. (7.25) :

z = Φ(x) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣

φ1(x)φ2(x)φ3(x)φ4(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

L0fh(x)

L1fh(x)

L2fh(x)Ψ1

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1

x2

AImk·x3 − AII

mk·x4 − dk

mk·x2 + g

AI

A·x3 + AII

A·x4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (D.23)


x = Φ−1(z) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1

z2

A2·AI

· z4 + A2·AI

·

mk

A· z3 + dk

A· z2 − mk

A· g

A2·AII

· z4 − A2·AII

·

mk

A· z3 + dk

A· z2 − mk

A· g

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (D.24)

Bemerkung D.3 (Test von Φ auf Regularitat):Die Jacobi-Matrix der Zustandstransformation Φ

∂Φ(x)∂x

=

∂Φ1(x)∂x1

, ∂Φ1(x)∂x2

, ∂Φ1(x)∂x3

, ∂Φ1(x)∂x4

∂Φ2(x)∂x1

, ∂Φ2(x)∂x2

, ∂Φ2(x)∂x3

, ∂Φ2(x)∂x4

∂Φ3(x)∂x1

, ∂Φ3(x)∂x2

, ∂Φ3(x)∂x3

, ∂Φ3(x)∂x4

∂Φ4(x)∂x1

, ∂Φ4(x)∂x2

, ∂Φ4(x)∂x3

, ∂Φ4(x)∂x4

=

1, 0, 0, 00, 1, 0, 00, − dk

mk, AI

mk, −AII

mk

0, 0, AI

A, AII

A

(D.25)

ist regular fur

det∂Φ(x)

∂x= −2 ·AI ·AII

mk ·A6= 0 . (D.26)



z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1

z2

z3

. .z4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z2

z3

α(z) + β(z) · u. . . . . . . . . . . . . .

w1(z, u)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

bzw.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ1

µ2

µ3

. . .

Ψ1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ2

µ3

α(µ,Ψ) + β(µ,Ψ) · u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

w1(µ,Ψ, u)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(D.27a)

mit

α(z) := L3fh(x)

∣∣x=Φ−1(z)

(D.27b)

= − dk

mk·z3 − B

mk·[

AI

lI0+z1+

AII

lII0−z1

]·z2

− B ·kBPL

mk·[

1lI0+z1

+1

lII0−z1

]·A2·[

1AI

+1

AII

]·[mk

A·z3 +

dk

A·z2 − mk

A·g

]

− B ·kBPL

mk·[

1lI0+z1

+1

lII0−z1

]·A2·[

1AI

− 1AII

]·z4 ,

β(z, u) := LgLr−1f h(x)

∣∣∣x=Φ−1(z)

(D.27c)

=B

mk· q∗ZI

(A

2·AI·z4 + A

2·AI·[

mk

A·z3 + dk

A·z2 − mk

A·g

], u

)

lI0 + z1

+q∗ZII

(A

2·AII·z4 − A

2·AII·[

mk

A·z3 + dk

A·z2 − mk

A·g

], u

)

lII0 − z1

und

w1(z, u) :=B

A·[

AII

lII0−z1− AI

lI0+z1

]·z2 (D.27d)

+B ·kBPL

2·[

1(lII0−z1)

− 1(lI0+z1)

]·[

1AI

+1

AII

]·[mk

A·z3 +

dk

A·z2 − mk

A·g

]

+B ·kBPL

2·[

1(lII0−z1)

− 1(lI0+z1)

]·[

1AI

− 1AII

]·z4

+B

A· q∗ZI

(A

2·AI·z4 + A

2·AI·[

mk

A·z3 + dk

A·z2 − mk

A·g

], u

)

lI0 + z1

−q∗ZII

(A

2·AII·z4 − A

2·AII·[

mk

A·z3 + dk

A·z2 − mk

A·g

], u

)

lII0 − z1

· u .

Die Art der Kopplung des Ein-/Ausgangsteil mit der internen Dynamik wird in den Funktionenα(z) (D.27b) und β(z, u) (D.27c) durch die Abhangigkeit vom Zustand z4 deutlich.Der Einfluss des Ein-/Ausgangsteils auf die interne Dynamik geht aus der Funktion w1(z, u)(D.27d) uber die Abhangigkeit von den Zustanden z1, z2, z3 hervor.Im folgenden wird untersucht fur welche Symmetriebedingungen der geometrischen Parameterdes servohydraulischen Antriebs, die Funktionen α(z) und β(z, u) vom Zustand z4 entkoppeltsind.


Die Entkopplung ist gegeben, wenn die Sensitivitat der Funktionen α(z) und β(z, u) bezuglichz4 Null wird.Hierzu werden die partiellen Ableitung der Funktionen α(z) und β(z, u) nach z4 gebildet und Nullgesetzt. Die Bedingungen, die diese Gleichung erfullen, sind zugleich die fur die Entkopplung.

Zur Ermittlung der Bedingungen fur die Entkopplung der Funktion α(z) Gl. (D.27b) vom Zu-stand z4 der internen Dynamik entsteht durch die Berechnung von ∂α(z)

∂z4

!= 0 folgende Gleichung:

−B ·kBPL

mk·[

1lI0 + z1

+1

lII0 − z1

]· A

2·[

1AI

− 1AII

]!= 0 , (D.28)

welche fur AI = AII oder kBPL = 0 erfullt wird. Die Bedingung AI = AII entspricht derReduktionsannahme Gl. (4.15a) aus Kapitel 4.3 der nichtlinearen reduzierten Modellgleichungen.Wird diese Reduktionsannahme Ak := AI = AII auf die Funktion α(z) Gl. (D.27b) angewendet,entsteht wie beabsichtigt eine vom Zustand z4 der internen Dynamik entkoppelte Funktion:

α(z)|Ak:=AI=AII= − dk

mk· z3 − A2

k

mk· B

Ak·[

1lI0 + z1

+1

lII0 − z1

]· z2 (D.29)

− kBPL · B

Ak·[

1lI0 + z1

+1

lII0 − z1

]·[z3 +

dk

mk·z2 − g

].

Zur Ermittlung der Bedingungen fur die Entkopplung der Funktion β(z, u) (D.27c) vom Zu-stand z4 der internen Dynamik wird zur Vereinfachung der Schreibweise und zur Verbesserungder Ubersicht die folgende formale Abkurzung p∗L, die sich nur aus den Zustanden des Ein-Ausgangsteils zusammensetzt, eingefuhrt:

p∗L :=mk

A· z3 +

dk

A· z2 − mk

A· g (D.30)

und auf die Funktion β(z, u) aus Gl. (D.27c) angewendet:

β(z, u) :=B

mk· q∗ZI

(A

2·AI·z4 + A

2·AI·p∗L, u

)

lI0 + z1+

q∗ZII

(A

2·AII·z4 − A

2·AII·p∗L, u

)

lII0 − z1

. (D.31)

Durch die Berechnung von ∂β(z,u)∂z4

!= 0 entsteht die folgende Gleichung:

∂q∗ZI

A

2·AI·z4+ A

2·AI·p∗L, u

∂z4

∂q∗ZII

A

2·AII·z4− A

2·AII·p∗L, u

∂z4

= − AI

AII· lI0 + z1

lII0 − z1· (D.32a)

mit der partiellen Ableitung des nichtlinearen Steuerkantenflusses q∗ZI aus Gl. (D.16d) nach z4:

∂q∗ZI

(A

2·AI· z4 + A

2·AI· p∗L, u

)

∂z4(D.32b)

=αD2 · π · d2 ·

√2/ρ · kV · kM · σ (u)

2 ·√∣∣∣pS − A

2·AI· z4 − A

2·AI· p∗L

∣∣∣ · sign(pS − A

2·AI· z4 − A

2·AI· p∗L

) ·−A

2 ·AI


+αD1 · π · d1 ·

√2/ρ · kV · kM · σ (−u)

2 ·√∣∣∣ A

2·AI· z4 + A

2·AI· p∗L − pR

∣∣∣ · sign(

A2·AI

· z4 + A2·AI

· p∗L − pR

) ·A

2 ·AI

und der partiellen Ableitung des nichtlinearen Steuerkantenflusses q∗ZII aus Gl. (D.16e) nach z4:

∂q∗ZII

(A

2·AII· z4 − A

2·AII· p∗L, u

)

∂z4(D.32c)

=αD4 · π · d4 ·

√2/ρ · kV · kM · σ (u)

2 ·√∣∣∣ A

2·AII· z4 − A

2·AII· p∗L − pR

∣∣∣ · sign(

A2·AII

· z4 − A2·AII

· p∗L − pR

) ·A

2 ·AII

+αD3 · π · d3 ·

√2/ρ · kV · kM · σ (−u)

2 ·√∣∣∣pS − A

2·AII· z4 + A

2·AII· p∗L

∣∣∣ · sign(pS − A

2·AII· z4 + A

2·AII· p∗L

) ·−A

2 ·AII.

Es folgt eine Fallunterscheidung fur Eingang u > 0 und Eingang u < 0. Der Fall u = 0 ist wegenβ(z) · u in Gl. (D.27) nicht relevant.

Die Untersuchung der Gleichung (D.32) fur den Fall u > 0 liefert:

αD2·π·d2·√

2/ρ·kV ·kM

2·rpS− A

2·AI·z4− A

2·AI·p∗L· sign

pS− A

2·AI·z4− A

2·AI·p∗L · −A

2·AI

αD4·π·d4·√

2/ρ·kV ·kM

2·r A

2·AII·z4− A

2·AII·p∗L−pR

· sign

A2·AII

·z4− A2·AII

·p∗L−pR

· A2·AII

= − AI

AII· lI0 + z1

lII0 − z1. (D.33)

Zusammenfassen der Ausdrucke unter den Wurzelfunktionen ergibt:√√√√

∣∣∣∣∣A

2·AII·z4− A

2·AII·p∗L−pR

pS− A2·AI

·z4− A2·AI

·p∗L

∣∣∣∣∣ · sign

(A

2·AII·z4 − A

2·AII·p∗L − pR

pS − A2·AI

·z4 − A2·AI

·p∗L

)=

A2I

A2II

· lI0+z1

lII0−z1·αD4 ·d4

αD2 ·d2.

Quadrieren der Gleichung auf beiden Seiten liefert:

A2·AII

·z4− A2·AII

·p∗L−pR

pS− A2·AI

·z4− A2·AI

·p∗L=

[A2

I

A2II

· lI0 + z1

lII0 − z1· αD4 ·d4

αD2 ·d2

]2

=: k∗+ , (D.34)

wobei die Abkurzung k∗+ zur kompakteren Darstellung eingefuhrt wurde. Die Gleichung wird alsnachstes ausmultipliziert:

A

2 ·AII·z4 − A

2 ·AII·p∗L − pR = k∗+ ·pS − k∗+ ·

A

2 ·AI·z4 − k∗+ ·

A

2 ·AI·p∗L . (D.35)

Damit die Gleichung fur beliebiges p∗L erfullt wird, folgt aus einem Koeffizientenvergleich fur p∗Ldie Bedingung:

AI

AII= k∗+ =

[A2

I

A2II

· lI0 + z1

lII0 − z1· αD4 ·d4

αD2 ·d2

]2

(D.36)


und damit ergibt sich die folgende Bedingung fur z4:

z4 =2A·(

AI ·AII

AI + k∗+ ·AII

)· (k∗+ · pS + pR

). (D.37)

Die Untersuchung der Gleichung (D.32) fur den Fall u < 0 liefert:

αD1·π·d1·√

2/ρ·kV ·kM

2·r A

2·AI·z4+ A

2·AI·p∗L−pR

· sign

A2·AI

·z4+ A2·AI

·p∗L−pR

· A2·AI

αD3·π·d3·√

2/ρ·kV ·kM

2·rpS− A

2·AII·z4+ A

2·AII·p∗L· sign

pS− A

2·AII·z4+ A

2·AII·p∗L · −A

2·AII

= − AI

AII· lI0 + z1

lII0 − z1. (D.38)

Zusammenfassen der Ausdrucke unter den Wurzelfunktionen ergibt:√√√√

∣∣∣∣∣pS− A

2·AII·z4+ A

2·AII·p∗L

A2·AI

·z4+ A2·AI

·p∗L−pR

∣∣∣∣∣·sign

(pS− A

2·AII·z4+ A

2·AII·p∗L

A2·AI

·z4+ A2·AI

·p∗L−pR

)=

A2I

A2II

· lI0+z1

lII0−z1·αD3 ·d3

αD1 ·d1.

Quadrieren der Gleichung auf beiden Seiten liefert:

pS− A2·AII

·z4+ A2·AII

·p∗LA

2·AI·z4+ A

2·AI·p∗L−pR

=[

A2I

A2II

· lI0 + z1

lII0 − z1· αD3 ·d3

αD1 ·d1

]2

=: k∗− , (D.39)

wobei die Abkurzung k∗− zur kompakteren Darstellung eingefuhrt wurde. Die Gleichung wird alsnachstes ausmultipliziert:

pS − A

2 ·AII·z4 +

A

2 ·AII·p∗L = k∗− ·

A

2 ·AI·z4 + k∗− ·

A

2 ·AI·p∗L − k∗− · pR . (D.40)

Damit die Gleichung fur beliebiges p∗L erfullt wird, folgt aus einem Koeffizientenvergleich fur p∗Ldie Bedingung:

AI

AII= k∗− =

[A2

I

A2II

· lI0 + z1

lII0 − z1· αD3 ·d3

αD1 ·d1

]2

(D.41)

und damit ergibt sich die folgende Bedingung fur z4:

z4 =2A·(

AI ·AII

AI + k∗− ·AII

)· (pS + k∗− · pR

). (D.42)

Fur

k∗+ = k∗− = 1 (D.43)

sind die Bedingungen (D.37) und (D.42) identisch.Damit folgt aus den Bedingungen (D.36) und (D.41) sofort die Bedingung AI = AII , welche derReduktionsannahme Gl. (4.15a) aus Kapitel 4.3 der nichtlinearen reduzierten Modellgleichungenentspricht.Weiter folgen daraus die Gleichungen

lI0 + z1

lII0 − z1· αD4 ·d4

αD2 ·d2= 1 und

lI0 + z1

lII0 − z1· αD3 ·d3

αD1 ·d1= 1 , (D.44)

welche nur fur ein festes z1 erfullt werden konnen.Die Gleichungen (D.44) werden durch folgende geometrische Symmetrieannahmen erfullt:


• Ak := AI = AII vgl. Gl. (4.15a),• L/2 := lI0 = lII0 vgl. Gl.(4.15b),• z1 = 0 bzw. z1 ¿ L/2,• d := d1 = d2 = d3 = d4 vgl. Gl. (4.15f) und• αD := αD1 = αD2 = αD3 = αD4 vgl. Gl. (4.15h).

Aus den Bedingungen (D.37) und (D.42) und der Definition von z4 Gl. (D.22) folgt die Reduk-tionsrelation Gl. (4.15e)

z4 = x3 + x4 = pI + pII = pS + pR . (D.45)

Damit die Funktion β(z, u) (D.27c) vom Zustand z4 der internen Dynamik entkoppelt ist, mussdieser eine Ruhelage in z4,C = pS + pR haben.

Im folgenden wird gezeigt, dass fur die gegebenen geometrischen Symmetrieannahmen bei kleinerAuslenkungen um die Mittellage des Zylinderwegs z1 ≈ 0 die Funktionen α(z) (D.27b) undβ(z, u) (D.27c) in die Funktionen (7.61b) und (7.61c) des Reglers der nichtlinearen, reduziertenModellgleichungen ubergehen.Mit der Annahme z1 ¿ L/2 ergibt sich folgende Naherung:

1lI0 + z1

+1

lII0 − z1≈ 4

L, (D.46)

die zur Definition der hydraulischen Kapazitat CH fuhrt:

CH :=Ak · L4 ·B (D.47)

Fur α(z) aus Gl. (D.27b) bzw. Gl. (D.29) ergibt sich damit:

α(z) = − dk

mk· z3 − A2

k

mk · CH· z2 − kBPL

CH·[z3 +

dk

mk·z2 − g

](D.48)

= −[

A2k

CH ·mk+

dk

mk· kBPL

CH

]· z2 −

[dk

mk+

kBPL

CH

]· z3 +

kBPL

CH· g

was Gl. (7.61b) des Reglers der nichtlinearen, reduzierten Modellgleichungen entspricht.

Die Abkurzung p∗L aus Gl. (D.30) lautet fur die Symmetrieannahmen :

p∗L :=mk

Ak· z3 +

dk

Ak· z2 − mk

Ak· g . (D.49)

Fur β(z, u) aus Gl. (D.27c) bzw. (D.31) folgt:

β(z, u) =12· 1CH

· Ak

mk·[

q∗ZI

(z4

2+

p∗L2

, u

)+ q∗ZII

(z4

2− p∗L

2, u

)](D.50)

mit der Summe der nichtlinearen Steuerkantenflusse q∗ZI aus Gl. (D.16d) und q∗ZII aus Gl. (D.16e)

q∗ZI

(z4

2+

p∗L2

, u

)+ q∗ZII

(z4

2− p∗L

2, u

)

= kV · kM · αD · π · d ·√

2/ρ· (D.51)


[√∣∣∣∣pS− z4

2− p∗L

2

∣∣∣∣·sign(

pS− z4

2− p∗L

2

)+

√∣∣∣∣z4

2−pR− p∗L

2

∣∣∣∣·sign(

z4

2−pR− p∗L

2

)]·σ ( u)

[√∣∣∣∣z4

2−pR+

p∗L2

∣∣∣∣·sign(

z4

2−pR+

p∗L2

)+

√∣∣∣∣pS− z4

2+

p∗L2

∣∣∣∣·sign(

pS− z4

2+

p∗L2

)]·σ (−u)

.

Der Zustand z4 wird wie folgt aufgeteilt:

z4 = z4C + z4 (D.52)

in einen statischen Anteil z4C = pS + pR, fur den die Entkopplung gilt und in einen Kleinsignal-anteil z4.Zusatzlich wird folgende Abkurzung eingefuhrt:

p0 := pS − pR (D.53)

Hiermit folgt :

pS − z4

2=

12· (p0 − z4) und (D.54a)

z4

2− pR =

12· (p0 + z4) . (D.54b)

Eingesetzt in die Summe der nichtlinearen Steuerkantenflusse ergibt sich:

q∗ZI

(z4

2+

p∗L2

, u

)+ q∗ZII

(z4

2− p∗L

2, u

)= (D.55)

kV · kM · αD · π · d ·√

1/ρ· (D.56) [√|p0−p∗L−z4|·sign (p0−p∗L−z4)+

√|p0−p∗L+z4|·sign (p0−p∗L+z4)

]·σ ( u) (D.57)

+[√

|p0+p∗L+z4|·sign (p0+p∗L+z4)+√|p0+p∗L−z4|·sign (p0+p∗L−z4)

]·σ (−u)

. (D.58)

Es liegt der Ausdruck√

x + ∆x +√

x−∆x (D.59)

fur x = p0 ± p∗L und ∆x = z4 vor.Mit der Umformung

√x + ∆x +

√x−∆x =

√x ·

(1 +

∆x

x

)+

√x ·

(1− ∆x

x

)(D.60)

=√

x ·[√

1 +∆x

x+

√1− ∆x

x

](D.61)

und der Naherungen√

1± ∆x

x≈ 1± 1

2· ∆x

x(D.62)

folgt

√x + ∆x +

√x−∆x ≈ √

x ·[1 +

12· ∆x

x+ 1− 1

2· ∆x

x

]= 2 · √x (D.63)


Dies angewendet auf die Summe der nichtlinearen Steuerkantenflusse ergibt mit kL := αD·π·d2·CH ·√ρ :

q∗ZI

(z4

2+

p∗L2

, u

)+ q∗ZII

(z4

2− p∗L

2, u

)

≈ 4·CH ·kV ·kM ·kL ·√∣∣p0−p∗L

∣∣·sign (p0−p∗L)·σ ( u)+√∣∣p0+p∗L

∣∣·sign (p0+p∗L)·σ (−u)

= 2·CH ·2·kV ·kM ·kL ·√∣∣p0−sign (u) · p∗L

∣∣·sign (p0−sign (u) · p∗L)︸︷︷︸

entspricht q∗L(x3, u) (7.54d)

. (D.64)

Hiermit folgt fur β(z, u)

β(z, u) ≈ Ak

mk· q∗L(p∗L, u) (D.65)

was Gl. (7.61c) fur z4 ≈ pS + pR entspricht.Fur die gegebenen Symmetrieannahmen unterscheidet sich der nichtlinearen Regler basierendauf dem nichtlinearen, erweiterten Modell nicht vom Regler basierend auf dem nichtlinearen,reduzierten Modell.

Mit den Annahmen folgt fur die interne Dynamik:

z4 = w1(z, u) :=1

2 · CH·[

q∗ZI

(12· z4 +

12·[mk

Ak· z3 +

dk

Ak· z2 − mk

Ak· g

], u

)(D.66)

−q∗ZII

(12· z4 − 1

2·[mk

Ak· z3 +

dk

Ak· z2 − mk

Ak· g

], u

)]· u

bzw. mit der Abkurzung p∗L aus Gl. (D.49) :

z4 = w1(z, u) :=1

2 · CH·[q∗ZI

(z4

2+

p∗L2

, u

)− q∗ZII

(z4

2− p∗L

2, u

)]· u . (D.67)

Die Ruhelage ergibt sich aus z4 = w1(zC , uC) = 0 mit uC , z4C und p∗LC fur

• uC = 0 oder

• q∗ZI

(12 ·z4C + 1

2 ·p∗LC , uC

)− q∗ZII

(12 ·z4C − 1

2 ·p∗LC , uC

)= 0

Zur Bestimmung von uC , z4C und p∗LC aus der Gleichheit der nichtlinearen Steuerkantenflusseq∗ZI aus Gl. (D.16d) und q∗ZII aus Gl. (D.16e)

q∗ZI

(12·z4C +

12·p∗LC , uC

)= q∗ZII

(12·z4C − 1

2·p∗LC , uC

)(D.68)

wird eine Fallunterscheidung fur Eingang uC > 0 und Eingang uC < 0 gemacht.Fall uC > 0: Aus der Gleichung

√√√√∣∣∣∣∣pS − 1

2 ·z4C − 12 ·p∗LC

12 ·z4C − 1

2 ·p∗LC − pR

∣∣∣∣∣ ·sign

(pS − 1

2 ·z4C − 12 ·p∗LC

)

sign(

12 ·z4C − 1

2 ·p∗LC − pR

) = 1 (D.69)


folgt

pS − 12 ·z4C − 1

2 ·p∗LC12 ·z4C − 1

2 ·p∗LC − pR= 1 , (D.70)

welche ausmultipliziert

pS − 12·z4C − 1

2·p∗LC =

12·z4C − 1

2·p∗LC − pR (D.71)

unabhangig von p∗LC ist.Hiermit ergibt sich fur uC > 0 die Ruhelage mit

z4C = pS + pR . (D.72)

Fall uC < 0: Aus der Gleichung√√√√

∣∣∣∣∣12 ·z4C + 1

2 ·p∗LC − pR

pS − 12 ·z4C + 1

2 ·p∗LC

∣∣∣∣∣ ·sign

(12 ·z4C + 1

2 ·p∗LC − pR

)

sign(pS − 1

2 ·z4C + 12 ·p∗LC

) = 1 (D.73)

folgt

12 ·z4C + 1

2 ·p∗LC − pR

pS − 12 ·z4C + 1

2 ·p∗LC

= 1 , (D.74)

welches ausmultipliziert

12·z4C +

12·p∗LC − pR = pS − 1

2·z4C +

12·p∗LC (D.75)

unabhangig von p∗LC ist. Hiermit ergibt sich fur uC < 0 die gleich Ruhelage wie fur uC < 0

Es ergeben sich folgende Ruhelagen fur :

• uC = 0 mit z4C und p∗LC beliebig oder

• z4C = pS + pR mit uC und p∗LC beliebig.

Die Entkopplungsbedingung z4 = pS + pR kann sich nur fur u 6= 0 einstellen.Die Ruhelage ist unabhangig von p∗LC , interne Dynamik ist gleich der Nulldynamik.Fur die Untersuchung der internen Dynamik wird die Aufteilung von z4 nach Gl. (D.52) ver-wendet. Es ergibt sich:

w1(z, u) =1

2 · CH·[q∗ZI

(z4

2+

p∗L2

, u

)− q∗ZII

(z4

2− p∗L

2, u

)]· u (D.76)

= kV · kM · kL· (D.77) [√∣∣p0−p∗L−z4

∣∣·sign (p0−p∗L−z4)−√∣∣p0−p∗L+z4

∣∣·sign (p0−p∗L+z4)]·σ ( u)

+[√∣∣p0+p∗L+z4

∣∣·sign (p0+p∗L+z4)−√∣∣p0+p∗L−z4

∣∣·sign (p0+p∗L−z4)]·σ (−u)

· u

Es liegt der Ausdruck√

x + ∆x−√

x−∆x (D.78)


fur x = p0 ∓ p∗L und ∆x = ∓z4 vor.Mit der Umformung

√x + ∆x−

√x−∆x =

√x ·

(1 +

∆x

x

)−

√x ·

(1− ∆x

x

)(D.79)

=√

x ·[√

1 +∆x

x−

√1− ∆x

x

](D.80)

und der Entwicklung der Wurzeln in Binomische Reihen [53]√

1± ∆x

x= 1 +

∞∑

n=1

(±1)n ·12 ·

(12 − 1

) · (12 − 2

) · . . . · (12 − n + 1

)

n!·(

∆x

x

)n

(D.81)

≈ 1± 12· ∆x

x− 1

8·(

∆x

x

)2

± 116·(

∆x

x

)3

− 5128

·(

∆x

x

)4

± . . . (D.82)

fur∣∣∆x

x

∣∣ ≤ 1 ergibt sich:

√x + ∆x−

√x−∆x =

√x ·

[√1 +

∆x

x−

√1− ∆x

x

](D.83)

=√

x ·[

1 +12· ∆x

x− 1

8·(

∆x

x

)2

+116·(

∆x

x

)3

− 5128

·(

∆x

x

)4

+ . . . (D.84)

−1 +12· ∆x

x+

18·(

∆x

x

)2

+116·(

∆x

x

)3

+5

128·(

∆x

x

)4

+ . . .

]

=√

x ·[

∆x

x+

18·(

∆x

x

)3

+ . . .

]. (D.85)

Die gerade Potenzen fallen weg.Fur die interne Dynamik ergibt sich damit:

z4 = w1(z, u) (D.86)= kV · kM · kL·

−√∣∣p0−p∗L

∣∣·sign (p0−p∗L) ·[

z4

p0−p∗L+

18·(

z4

p0−p∗L

)3

+ . . .

]·σ ( u)

+√∣∣p0+p∗L

∣∣·sign (p0+p∗L) ·[

z4

p0+p∗L+

18·(

z4

p0+p∗L

)3

+ . . .

]·σ (−u)

· u .

Ein Zusammenfassen durch die sign-Funktion liefert:

z4 = w1(z, u) = −kV · kM · kL ·√∣∣p0−sign (u)·p∗L

∣∣·sign (p0−sign (u)·p∗L) · (D.87)[

z4

p0−sign (u)·p∗L+

18·(

z4

p0−sign (u)·p∗L

)3

+ . . .

]· |u| . (D.88)

Beim Vernachlassigen von Termen hoherer Ordnung ergibt sich:

z4 = w1(z, u) = − kV · kM · kL√∣∣p0−sign (u)·p∗L∣∣·sign

(p0−sign (u)·p∗L

) · |u| · z4 . (D.89)


Werden der Eingang u und der Lastdruck p∗L als Parameter betrachtet, dann ergibt sich eineDifferentialgleichung 1. Ordnung:

z4 = −a · z4 (D.90)

mit dem Koeffizient a:

a :=kV · kM · kL√∣∣p0−sign (u)·p∗L

∣∣·sign(p0−sign (u)·p∗L

) · |u| , (D.91)

der fur |p∗L| < p0 positiv ist. Die Differentialgleichung 1. Ordnung ist somit stabil.

Der Ausgang y entspricht dem ersten Zustand z1.Der nichtlinearen Kompensationsreglers fur die gegebene Strecke in Normalform (D.27) lautet:

u = β(z, u)−1 · [ν − α(z)] . (D.92)

Durch Anwenden des nichtlinearen Ruckfuhrgesetzes Gl. (D.92) auf die Normalform Gl. (D.27):

z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1

z2

z3

. .z4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z2

z3

ν. . . . . . . .w1(z, u)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(D.93)

bzw.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ1

µ2

µ3

. . .

Ψ1

Ψ2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ2

µ3

ν. . . . . . . . . . .w1(µ,Ψ, u)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(D.94)


...y =

...z 1 =

...µ1 = ν . (D.95)

Herleitung der Dynamik von z4

Die Gleichung mit der Definition von z4 (D.22) nach der Zeit abgeleitet lautet:

z4 =AI

A· x3 +

AII

A· x4 . (D.96)

Die Ableitungen der Zustande x3 und x4 werden durch die Gleichungen der nichtlinearen Zu-standsraumdarstellung (D.16) mit den Komponenten f3(x), f4(x), g3(x, u) und g4(x, u) derSystemoperatoren f und g (D.16c) ausgedruckt:

z4 =AI

A· [f3(x) + g3(x, u) · u] +

AII

A· [f4(x) + g4(x, u) · u] (D.97)


z4 =AI

A·[− B ·x2

lI0 + x1− B ·kBPL ·(x3 − x4)

AI · (lI0 + x1)+

B ·q∗ZI(x3, u)AI · (lI0 + x1)

· u]

(D.98)

+AII

A·[+

B ·x2

lII0 − x1+

B ·kBPL ·(x3 − x4)AII · (lII0 − x1)

− B ·q∗ZII(x4, u)AII · (lII0 − x1)

· u]

z4 =B

A·[

AII

lII0 − x1− AI

lI0 + x1

]·x2

+B

A·[

1(lII0 − x1)

− 1(lI0 + x1)

]·kBPL ·(x3 − x4)

+B

A·[q∗ZI(x3, u)(lI0 + x1)

− q∗ZII(x4, u)(lII0 − x1)

]· u (D.99)

Unter Verwendung der Inversen der Zustandstransformation (D.24) entsteht:

z4 =B

A·[

AII

lII0 − z1− AI

lI0 + z1

]·z2 (D.100)

+B ·kBPL

2·[

1(lII0 − z1)

− 1(lI0 + z1)

]·[

1AI

+1

AII

]·[mk

A·z3 +

dk

A·z2 − mk

A·g

]

+B ·kBPL

2·[

1(lII0 − z1)

− 1(lI0 + z1)

]·[

1AI

− 1AII

]· z4

+B

A· q∗ZI

(A

2·AI· z4 + A

2·AI·[

mk

A· z3 + dk

A· z2 − mk

A· g

], u

)

lI0 + z1

−q∗ZII

(A

2·AII· z4 − A

2·AII·[

mk

A· z3 + dk

A· z2 − mk

A· g

], u

)

lII0 − z1

· u (D.101)

1lI0 + z1

+1

lII0 − z1=

lII0 − z1 + lI0 + z1

lI0 · lII0 + z1 · (lII0 − lI0)− z21

=lII0 + lI0

lI0 · lII0 + z1 · (lII0 − lI0)− z21

(D.102)

Mit L/2 := lI0 = lII0 folgt

1lI0 + z1

+1

lII0 − z1=

L(L2

)2 − z21

(D.103)

Mit der Annahme z1 ¿ L/2 folgt:

1lI0 + z1

+1

lII0 − z1≈ 4

L(D.104)


Anhang E

Anhang zum Laborexperiment und zur

Rechnersimulation

E.1 Generierung der Soll-Trajektorie

Die Soll-Trajektorien fur die in Kapitel 7 entworfenen Regler bestehen aus dem Signal yd(t) unddessen Zeitableitungen yd(t), yd(t), . . . , y

(r)d (t) mit r ≤ 6.

Die Generierung der Soll-Trajektorie erfolgt durch eine

• analytische Berechnung (siehe Kapitel E.1.2) oder durch eine• Approximation uber ein Referenzmodell in Form eines Zustandsvariablenfilters (siehe Kapitel

E.1.3).

In Kapitel E.1.1 werden die verwendeten Grundsignale fur die Fuhrungssignale beschrieben.

E.1.1 Fuhrungssignale

Folgende Grundsignale werden als Fuhrungssignale fur den Regelkreis verwendet:

• Sinussignal

xkd(t) = A · sin(2 · π · f · t) (E.1)

mit Amplitude A und Frequenz f ,

• Sinussweep (linear durchgestimmt)

xkd(t) = A · sin(

2·π · fStart · t +2·π · fStop − 2·π · fStart

tDauer· t2

2

)(E.2)

mit der Amplitude A, der Startfrequenz fStart, der Stopfrequenz fStop und der WobbelzeittDauer,

• symmetrisches Dreieckssignal (steilflankig)

xkd(t) = A ·

4·t·f − 4·n fur n− 14

f < t <n+ 1

4f mit n = 0, 1, . . .

−4·t·f + 4· n + 2 fur n+ 14

f < t <n+ 3

4f mit n = 0, 1, . . .

(E.3)

mit Amplitude A und Frequenz f ,

271

272 Anhang E. Laborexperiment und Rechnersimlation

• symmetrisches Rechtecksignal (steilflankig)

xkd(t) = A ·

+1 fur nf < t < 2·n+1

2·f mit n = 0, 1, . . .

1 fur 2·n+12·f < t < n+1

f mit n = 0, 1, . . .(E.4)

mit Amplitude A und Frequenz f .

• Rechtecksignal mit abgerundeten Flanken (vgl. Kapitel E.1.2) und

• gemessene Erdbebensignale.

Fur das Sinussignal (E.1) und das Rechtecksignal mit abgerundeten Flanken (vgl. Kapitel E.1.2)lassen sich exakt und fur das linear durchgestimmte Sinus-Sweepsignal naherungsweise Zeitab-leitungen analytisch berechnen.Die Zeitableitungen eines gemessenen Erdbebensignals lassen sich nur durch eine Approximationuber ein Referenzmodell in Form eines Zustandsvariablenfilters (siehe Kapitel E.1.3) berechnen.

E.1.2 Analytische Berechnung der Soll-Trajektorie fur ein Rechtecksignalmit abgerundeten Flanken

Beim symmetrischen Rechtecksignal, beschrieben in Gl. (E.4), ergeben sich an den Sprungstellendes Rechtecksignals unendliche Werte fur die zeitlichen Ableitungen.

Im folgenden Kapitel werden die Sprungstellen durch ein Polynom approximiert, so dass sichfur hohere Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung endliche Werte ergeben.Die Funktionen der hoheren Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung sind dann stetig unddifferenzierbar.

Zur Erzeugung eines Sprungs mit kontinuierlichem Ubergang wird zunachst eine Prototypfunk-tion entworfen, die dann fur den jeweiligen Einsatz skaliert wird.

Prototypfunktion

Als Prototypfunktion p(x) wird angesetzt:

p(x) =

−1 fur x < −1r∑

k=0

ak · xk fur −1 ≤ x ≤ 1

1 fur x > 1

(E.5)

mit r als Grad des Polynoms, der im folgenden als ungerade angenommen wird und den Poly-nomkoeffizienten ak mit k = 0, . . . , r.Die partiellen Ableitungen der Prototypfunktion p(x) nach x lauten:

∂νp(x)∂xν

=

0 fur x < −1r∑

k=0

k!(k−i)! · ak · xk−ν fur −1 ≤ x ≤ 1

0 fur x > 1

. (E.6)

Die Bestimmung der Polynomkoeffizienten ak erfolgt aus den folgenden Vorgaben:

1. Die Prototypfunktion p(x) ist punktsymmetrisch (p(−x) = −p(x)).

E.1 Generierung der Soll-Trajektorie 273

2. Die Prototypfunktion p(x) ist fur x = 1 bzw. x−1 stetig und moglichst oft differenzierbar.

Aufgrund der ersten Vorgabe sind die Polynomkoeffizienten mit geradem Index gleich Null:

ak = 0 fur k = 0, 2, 4, . . . , r − 1 . (E.7)

Aus der zweiten Vorgabe ergeben sind folgende Bedingungen:

p(1) = 1 (E.8a)

p(i)(1) = 0 fur i = 1, . . . ,r − 1

2, (E.8b)

die ein lineares Gleichungssystem fur die verbleibenden Polynomkoeffizienten bilden.Im folgenden werden am Beispiel r = 9 die Polynomkoeffizienten der Prototypfunktion p(x)berechnet.Das punktsymmetrische Polynom p(x) fur r = 9 lautet:

p(x) := a9 · x9 + a7 · x7 + a5 · x5 + a3 · x3 + a1 · x , (E.9)

mit den Ableitungen:

p′(x) := 9·a9 ·x8 + 7·a7 ·x6 + 5·a5 ·x4 + 3·a3 ·x2 + a1 ,p′′(x) := 8·9·a9 ·x7 + 6·7·a7 ·x5 + 4·5·a5 ·x3 + 2·3·a3 ·x ,p′′′(x) := 7·8·9·a9 ·x6 + 5·6·7·a7 ·x4 + 3·4·5·a5 ·x2 + 1·2·3·a3 ,p′′′′(x) := 6·7·8·9·a9 ·x5 + 4·5·6·7·a7 ·x3 + 2·3·4·5·a5 ·x .

(E.10)

Es ergeben sich die folgende Bedingungen:

p(1) = 1 , (E.11a)p′(1) = 0 , (E.11b)p′′(1) = 0 , (E.11c)p′′′(1) = 0 , (E.11d)p′′′′(1) = 0 (E.11e)

die ein Gleichungssystem der Form A · x = b bilden mit

A :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1 11 3 5 7 90 6 20 42 720 6 60 210 5040 0 120 840 3024

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, b :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

10000

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

und x :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1a3a5a7a9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (E.12)

Die Losung des Gleichungsystems liefert die Koeffizienten:

a1 =315128

, a3 = −10532

, a5 =18964

, a7 = −4532

und a9 =35128

. (E.13)

Die Eigenschaften der Prototypfunktion p(x) sind:

• Anstiegszeit von 10% bis 90% der Amplitude: tan = 0.7961,

• Extremwert der Geschwindigkeit : p′(xE = 0) = 2.4609 und

274 Anhang E. Laborexperiment und Rechnersimlation

• Extremwerte der Beschleunigung : p′′(xE = ±0.378) = ∓4.686 .

Skalierung der Funktion

Um einen Sprung von y1 auf y2 zu erhalten, der bei t1 startet und bei t2 endet, wird diePrototypfunktion p(x) wie folgt skaliert:

y(t) = a · p(c · t + d) + b (E.14)

mit den Koeffizienten a, b, c und d. Aus

y1(t1) = a · p(−1) + b und y2(t2) = a · p(+1) + b (E.15)

folgt mit p(−1) = −1 und p(1) = 1

a =y2 + y1

2und b =

y2 − y1

2(E.16)

und aus

−1 = c · t1 + d und + 1 = c · t2 + d (E.17)

folgt

c =2

t2 − t1und d =

t1 + t2t1 − t2

. (E.18)

Fur die Ableitungen gilt:

y(t) = a · p(c · t + d) + b (E.19a)y(t) = a · p′(c · t + d) · c (E.19b)y(t) = a · p′′(c · t + d) · c · c (E.19c)

...

y(t)(ν) = a · p(ν)(c · t + d) · cν . (E.19d)

E.1.3 Approximation Soll-Trajektorie uber ein Referenzmodell (Zustandsva-riablenfilter)

Die Differentialgleichung eines Zustandsvariablenfilters der Ordnung r lautet:

y(r)d + kr−1 · y(r−1)

d + . . . + k2 · yd + k1 · yd + k0 · yd = ku · u (E.20)

mit den Ausgangen yd bis y(r)d , dem Eingang u, den Koeffizienten k0 bis kr−1, die durch eine

Polvorgabe sP1, ..., sPr ermittelt werden und dem statischen Vorfilter ku.Die Ubertragungsfunktionen vom Eingang u zum Ausgang y

(ν)d mit ν = 0, . . . , r lauten:

Gy(ν)d , u

(s) :=Y

(ν)d (s)U(s)

=ku · sν

sr + kr−1 · sr−1 + . . . + k2 · s2 + k1 · s + k0, (E.21)

wobei Y(ν)d (s) die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals y

(ν)d (t) und U(s) die Laplace-

Transformierte des Eingangssignals u(t) ist.

Es sind folgende Betriebsarten zu unterscheiden:

E.1 Generierung der Soll-Trajektorie 275

• Zustandsvariablenfilters mit nur differenzierende Wirkung:Der Ausgang yd soll dem Eingang u moglichst gut folgen. Hierzu werden die PolstellensP1, ..., sPr weit links vom Ursprung gewahlt. Fur das statische Vorfilter gilt: ku = k0.

• Zustandsvariablenfilters mit teilweise integrierender Wirkung:Soll der Ausgang y

(ν)d dem Eingang u in einem Frequenzband moglichst gut folgen, so sind

ν der r Polstellen dicht links vom Ursprung und die anderen r − ν Polstellen weit links vomUrsprung zu wahlen. Das statische Vorfilter ku ist geeignet zu wahlen (ku ≈ kν).Aufgrund des Bandpass- bzw. Hochpassverhaltens mussen besondere Maßnahmen bezuglichdes Einschwingens des Zustandsvariablenfilters getroffen werden, z.B. rampenformiges Hoch-fahren der Amplitude des Signals.Durch die stark unterschiedlichen Polstellen ist das Zustandsvariablenfilter numerisch kritisch.

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Experimentelle Identifikation und nichtlineare Regelung