Katedra za matematiku, FSB...Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2015 Katedra za matematiku (FSB,...

Matematika 1Matrice-vrste, svojstva i primjene

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2015

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 1 / 19

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Mnozenje matrica kao kompozicija linearnih preslikavanjaNekomutativnost binarne operacijeDjelovanje matrice na bazi prostora-primjene u geometriji,stohasticka matrica

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 2 / 19

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 MatriceMnozenje matricaSvojstva mnozenja matrica

2 Neke primjeneMatrica rotacije u ravniniStohasticki proces

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 3 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

MNOZITI SE MOGU SAMO ULANCANE MATRICEAKO JE A = [ai ,j ] TIPA n×m, B = [bi ,j ] TIPA m×p, ONDA JEMATRICA

C = AB

TIPA n×p DEFINIRANA PO ELEMENTIMA, C = [ci ,j ], SA

ci ,j =m

∑k=1

ai ,kbk ,j

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 4 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.Izracunati produkt matrica: 2 3 1

0 1 23 0 2

1 20 11 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3

2 ·1+3 ·0+1 ·1 = 3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3 8

2 ·2+3 ·1+1 ·1 = 8

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3 82

0 ·1+1 ·0+2 ·1 = 2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3 82 3

0 ·2+1 ·1+2 ·1 = 3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3 82 35

3 ·1+0 ·0+2 ·1 = 5

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3 82 35 8

3 ·2+0 ·1+2 ·1 = 8

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Zadatak 12.Pomnozi matrice

1

[2 1 13 0 1

] 3 12 11 0

2

[3 2 10 1 2

] 123

3

123

[ 1 2 3]

4[

1 2 3] −2

14

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 6 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Rjesenje.

1

[9 310 3

]2

[108

]

3

1 2 32 4 63 6 9

4 [12]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 7 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Svojstva mnozenja matrica

1 A(BC) = (AB)C (ASOCIJATIVNOST )

2 A(B+C) = AB+AC, (DISRIBUTIVNOST )

3 kIA=kA

VAZNO: OpcenitoAB 6= BA

Na primjer: ako je matrica A tipa 2×3, B tipa 3×5 onda AB jedefinirano, a BA nije, pa prema tome ne vrijedi AB = BA.Drugi primjer:

A =

(0 10 0

),B =

(0 00 1

)⇒ AB =

(0 10 0

)6=(

0 00 0

)= BA

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 8 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Svojstva mnozenja matrica

Za matrice A i B za koje vrijedi

AB = BA

kazemo da komutiraju.

Primjer.Skalarna matrica tipa n×n komutira s bilo kojom kvadratnommatricom tipa n×n.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 9 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Svojstva mnozenja matrica

Ako je A 6= 0 i B 6= 0 iAB = 0

kazemo da su A i B djelitelji nule.

Primjer.

A =

(0 00 1

),B =

(0 10 0

)⇒ AB =

(0 00 0

)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 10 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Svojstva mnozenja matrica

Ako je AB = AC ; B = C.

Primjer.

A =

(0 00 1

),B =

(0 10 0

),C =

(0 00 0

)⇒ AB = AC, ali B 6= C.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 11 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 14.

Zadane su matrice A =

1 3 12 0 41 2 3

,B =

2 1 01 −1 23 2 1

.

Izracunajte: a) AB b)BA.

Rjesenje.

a) AB =

8 0 716 10 413 5 7

, b) BA =

4 6 61 7 38 11 14

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 12 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 14.

Zadane su matrice A =

1 3 12 0 41 2 3

,B =

2 1 01 −1 23 2 1

.

Izracunajte: a) AB b)BA.

Rjesenje.

a) AB =

8 0 716 10 413 5 7

, b) BA =

4 6 61 7 38 11 14

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 12 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 15.Zadane su matrice

A =

(1 23 4

),B =

(0 −1 32 0 −2

),C =

0 12 1−1 0

.

Izracunajte ABC.

Rjesenje.

AB =

(−1 3−7 5

).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 13 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 15.Zadane su matrice

A =

(1 23 4

),B =

(0 −1 32 0 −2

),C =

0 12 1−1 0

.

Izracunajte ABC.

Rjesenje.

AB =

(−1 3−7 5

).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 13 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 16.

Zadane su matrice A =

(1 23 −1

),B =

(−1 02 1

),C =

(2 −11 0

).

Izracunajte AC +BC.

Rjesenje.

AC +BC =

(2 010 −5

).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 14 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 16.

Zadane su matrice A =

(1 23 −1

),B =

(−1 02 1

),C =

(2 −11 0

).

Izracunajte AC +BC.

Rjesenje.

AC +BC =

(2 010 −5

).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 14 / 19

Neke primjene

NEKE PRIMJENE

A~b =~c,

A je tipa m×n, ~b je tipa n×1, ~c je tipa m×1. Prema tome A jelinearna transformacija sa Rn u Rm.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 15 / 19

Neke primjene Matrica rotacije u ravnini

Matrica rotacije u ravnini

~i

~i′~j

~j′

~a

~a′

ϕ

ϕ

ϕ

A(

10

)=

(cosϕ

sinϕ

), A(

01

)=

(−sinϕ

cosϕ

)⇒ A = A

(1 00 1

)=

(cosϕ −sinϕ

sinϕ cosϕ

)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 16 / 19

Neke primjene Matrica rotacije u ravnini

Matrica rotacije u ravnini

Dakle, tocka T (a,b) nakon rotacije za kut ϕ ima koordinate(acosϕ−b sinϕ,asinϕ+b cosϕ) jer

A~rT =

(cosϕ −sinϕ

sinϕ cosϕ

)(ab

)=

(acosϕ−b sinϕ

asinϕ+b cosϕ

)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 17 / 19

Neke primjene Stohasticki proces

Stohasticki proces

Pretpostavimo da je na pocetku promatranja razdioba koristenjajavnog prijevoza studenata FSBa:

p0 =ZET vlak ostalo( )0.3 0.2 0.5

Svakih godinu dana promjena koristenja javnog prijevoza dana jematricom prijelaza:

P =

ZET vlak ostalo( )0.8 0.1 0.1 ZET0.1 0.7 0.2 vlak0 0.1 0.9 ostalo

Kakva je distribucija koristenja javnog prijevoza nakon godinu dana?Poslije 2,3,....?Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 18 / 19

Neke primjene Stohasticki proces

Stohasticki proces

Nakon godinu dana distribucija koristenja javnog prijevoza je:

p0P =(

0.26 0.22 0.52).

Nakon 2 godine:

p0P2 =(

0.23 0.232 0.538).

Nakon 3 godine:

p0P3 =(

0.207 0.239 0.554).

Nakon n godina:p0Pn

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 19 / 19