Katedra za matematiku, FSB...Matematika 1 Logaritamske i eksponencijalne funkcije Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2015. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijeˇcnja

Matematika 1Logaritamske i eksponencijalne funkcije

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2015.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 1 / 47

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranja

Svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcijeIzvod derivacija exp-log funkcijaLogaritamsko deriviranjeEksponencijalni modeliRazvoj exp-log funkcija u red potencija


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranjaSvojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije

Izvod derivacija exp-log funkcijaLogaritamsko deriviranjeEksponencijalni modeliRazvoj exp-log funkcija u red potencija


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranjaSvojstva eksponencijalne i logaritamske funkcijeIzvod derivacija exp-log funkcija

Logaritamsko deriviranjeEksponencijalni modeliRazvoj exp-log funkcija u red potencija


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranjaSvojstva eksponencijalne i logaritamske funkcijeIzvod derivacija exp-log funkcijaLogaritamsko deriviranje

Eksponencijalni modeliRazvoj exp-log funkcija u red potencija


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranjaSvojstva eksponencijalne i logaritamske funkcijeIzvod derivacija exp-log funkcijaLogaritamsko deriviranjeEksponencijalni modeli

Razvoj exp-log funkcija u red potencija


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Osnove potenciranjaSvojstva eksponencijalne i logaritamske funkcijeIzvod derivacija exp-log funkcijaLogaritamsko deriviranjeEksponencijalni modeliRazvoj exp-log funkcija u red potencija


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcijaEksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanjeDeriviranje i integriranje eksponencijalnih i logaritamskih funkcijaGeometrijsko znacenje od lnxLogaritamske derivacijeBrzina rasta eksponencijalne i logaritamske funkcijeEksponencijalne funkcije kao beskonacni polinomiPrimjena racuna eksponencijalnih i logaritamskih funkcijaEksponencijalni rast i pad


Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje

Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje

Primjer 1.

Koliko je 23, 2−3, 21/3, 22/3, 2−2/3?

Rjesenje.

23 = 2 ·2 ·2 = 8 2−3 =123 =

18

21/3 =3√

2≈ 1.26 22/3 = (3√

2)2 ≈ 1.262 = 1.59

2−2/3 =1

22/3 ≈1

1.59≈ 0.63



Eksponencijalne i logaritamske funkcije-ponavljanje

Primjer 1.

Koliko je 23, 2−3, 21/3, 22/3, 2−2/3?

Rjesenje.

23 = 2 ·2 ·2 = 8 2−3 =123 =

18

21/3 =3√

2≈ 1.26 22/3 = (3√

2)2 ≈ 1.262 = 1.59

2−2/3 =1

22/3 ≈1

1.59≈ 0.63



Primjer 2.Masa bakterija se udvostrucuje svakog sata. Za koliko se puta uvecanakon(a) 3h (b) 15min (c) 3.5h (d) xh?

Rjesenje.

(a) Za 3h udvostruci se: 23 = 2 ·2 ·2 = 8 puta.(b) Za 15min = 1/4h udvostruci se: 21/4 ≈ 1.19 puta.(c) Za 3.5h udvostruci se: 23.5 =

√128 puta.

(d) Za xh udvostruci se: 2x puta.



Primjer 2.Masa bakterija se udvostrucuje svakog sata. Za koliko se puta uvecanakon(a) 3h (b) 15min (c) 3.5h (d) xh?

Rjesenje.

(a) Za 3h udvostruci se: 23 = 2 ·2 ·2 = 8 puta.(b) Za 15min = 1/4h udvostruci se: 21/4 ≈ 1.19 puta.(c) Za 3.5h udvostruci se: 23.5 =

√128 puta.

(d) Za xh udvostruci se: 2x puta.



Eksponencijalna funkcija

Za svaki b > 0, b 6= 1x 7→ bx ,

je definirana za sve x i ima sljedeca svostva:Za sve x , bx > 0; b0 = 1, b1 = bZa b > 1 funkcija bx raste; za 0 10 c > 0 =⇒bx > cx , za x > 0

bx < cx , zax < 0




Ako je b > c > 1 =⇒bx > cx , za x > 0

bx < cx , za x < 0

y

x

bx

cx

1




Ako je 0 0

bx > cx , za x < 0

y

x

bx

cx

1



Zadatak 1.Skicirajte funkcije:(a) y = 3x (b) y = 5x (c) y =

(13

)x(c) y =

(15

)x

Rjesenje.y

x

5x

3x

(1

5

)x

(1

3

)x

1



Zadatak 1.Skicirajte funkcije:(a) y = 3x (b) y = 5x (c) y =

(13

)x(c) y =

(15

)x

Rjesenje.y

x

5x

3x

(1

5

)x

(1

3

)x

1



Zakoni eksponenciranja

1 bxby = bx+y

2 (bx )y = bxy

3 (bc)x = bxcx

4 b0 = 1, b1 = b

Primjer 3.

Sto je vece: 27 ili 9√

3?

Rjesenje.

9√

3 = 3√

12 > 27 = 3√

9.




1 bxby = bx+y

2 (bx )y = bxy

3 (bc)x = bxcx

4 b0 = 1, b1 = b

Primjer 3.


3?

Rjesenje.

9√

3 = 3√

12 > 27 = 3√

9.




1 bxby = bx+y

2 (bx )y = bxy

3 (bc)x = bxcx

4 b0 = 1, b1 = b

Primjer 3.


3?

Rjesenje.

9√

3 = 3√

12 > 27 = 3√

9.



Zadatak 2.Usporedite sljedece brojeve:

1 64√

2 i 164

23√

814 i 5√

912

3 86 i (√

7)18

4181

i1

27√

3

5 25−2√

3 i1

125√

2



Vazno je uociti:bx 6= xb

Primjer 4.

Skicirajte grafove od: x2, x12 , 2x ,

(12

)x

.

Rjesenje.

y = x12

y = x22x

(1

2

)x

1




Primjer 4.


(12

)x

.

Rjesenje.

y = x12

y = x22x

(1

2

)x

1




Primjer 4.


(12

)x

.

Rjesenje.

y = x12

y = x22x

(1

2

)x

1



Zadatak 3.Spari funkcije:

(1) y = x√

2 (2) y = (√

2)x (3) y =(

1√2

)x(4) y = x

1√2

s odgovarajucim grafovima.

Slika 4.

Slika 2.

Slika 3.

Slika 1.



Logaritamska funkcija

Za svaki b > 0, b 6= 1x 7→ logb x ,

je definirana za sve x > 0 sa:

y = logb x ⇐⇒ x = by

b > 10 1

0 < b < 1

1



Primjer 5.Rijesite sljedece jednadzbe:a) log2 8 = x , b) logx 64 = 3 c) log7 x = 0

Rjesenje.a) x = 3, b) x = 4 c) x = 1



Primjer 5.Rijesite sljedece jednadzbe:a) log2 8 = x , b) logx 64 = 3 c) log7 x = 0

Rjesenje.a) x = 3, b) x = 4 c) x = 1




1 logb 1 = 0, logb b = 12 Za b > 1 funkcija logb x raste; za 0 1

0 c > 1 =⇒logb x > logc x , za 0 < x < 1

logb x < logc x , za x > 1

y = logb x

y = logc x

1




Ako je 1 > b > c > 0 =⇒logb x > logc x , za 0 < x < 1

logb x < logc x , za x > 1

y = logc x

y = logb x

1




Ako je b > 1 > c > 0 =⇒logb x < logc x , za 0 < x < 1

logb x > logc x , za x > 1

y = logc x

y = logb x

1



Zadatak 4.Skiciraj: a) y = log3 x , b) y = log5 x c) y = log 1

3x d) y = log 1

5x

Rjesenje.

y = log5 x

y = log 15x

y = log3 x

y = log 13x

1



Zadatak 6.Spari funkcije:a) y = 2x , b) y = x2 c) y = log2 x d) y = log 1

2x

e) y =√

x , f ) y =(1

2

)x

s grafovima:

Slika 5. Slika 6.

Slika 2.

Slika 4.

Slika 1. Slika 3.



Zakoni logaritmiranja

1 logb(xy) = logb x + logb y2 logb (xy ) = y logb x3 logb x = (logb c)(logc x)

4 logb 1 = 0, logb b = 15 Oznaka: lnx = loge x , logx = log10 x

Primjer 6.

Izracunajte: log√

1000100.9

Rjesenje.

log√

1000100.9 = log(103/2)− log100.9 = 3

2 −0.9 = 0.6.






Primjer 6.

Izracunajte: log√

1000100.9

Rjesenje.

log√

1000100.9 = log(103/2)− log100.9 = 3

2 −0.9 = 0.6.






Primjer 6.

Izracunajte: log√

1000100.9

Rjesenje.

log√

1000100.9 = log(103/2)− log100.9 = 3

2 −0.9 = 0.6.



Zadatak 7.Odredite faktor proporcionalnosti izmedu:

a) log10 x i log2 x

b) log21 x i log7 x

Rjesenje.

a)log10 xlog2 x

= log10 2

b)log21 xlog7 x

= log21 7



Zadatak 7.Odredite faktor proporcionalnosti izmedu:

a) log10 x i log2 x

b) log21 x i log7 x

Rjesenje.

a)log10 xlog2 x

= log10 2

b)log21 xlog7 x

= log21 7


Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Deriviranje i integriranje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

Derivacija logaritamske funkcije

y = logb x =⇒∆y∆x

=logb(x + ∆x)− logb x

∆x

=1

∆xlogb

(x + ∆x

x

)

= logb

(1 +

∆xx

) 1∆x

=1x

logb

(1 +

∆xx

) x∆x

Vrijedilimh→0

(1 + h)1h = e ≈ 2.71828⇒

dydx

= lim∆x→0

∆y∆x

=1x

logb e =1

x lnb



Deriviracija logaritamske funkcije

Specijalno:d(lnx)

dx=

1x.

Takoder zakljucujemo: ∫ 1x

dx = lnx + C, x > 0

∫ 1x

dx = ln(−x) + C, x < 0

tj. ∫ 1x

dx = ln |x |+ C, x 6= 0



Zadatak 8.Odredite derivacije:

a) y = log5 x b) y = 4log5(2x)

c) y = ln(2x2−x) d) y = cos(ln(x2))

Rjesenje.

a) y ′ = 1x ln5 b) y ′ = 4

(ln5)x

c) y ′ = 4x−12x2−x d) y ′ = −2sin(ln(x2))

x



Zadatak 8.Odredite derivacije:

a) y = log5 x b) y = 4log5(2x)

c) y = ln(2x2−x) d) y = cos(ln(x2))

Rjesenje.

a) y ′ = 1x ln5 b) y ′ = 4

(ln5)x

c) y ′ = 4x−12x2−x d) y ′ = −2sin(ln(x2))

x


Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Geometrijsko znacenje od lnx

Geometrijsko znacenje od lnx

x∫1

1t

dt = lnx

y

x

y = 1x

1 x

ln x



Zadatak 9.Izracunajte integrale:

1

∫ 12x + 1

dx

2

1∫0

12x + 1

dx

3

2∫1

3x3 + 2x2 + 1x

dx

Rjesenje.1 1

2 ln |2x + 1|+ C2 1

2 ln33 10 + ln2



Zadatak 9.Izracunajte integrale:

1

∫ 12x + 1

dx

2

1∫0

12x + 1

dx

3

2∫1

3x3 + 2x2 + 1x

dx

Rjesenje.1 1

2 ln |2x + 1|+ C2 1

2 ln33 10 + ln2



Primjer 7.Izracunajte:

d(ex )

dx,

d(bx )

dx,∫

exdx ,∫

bxdx

Rjesenje.

Oznacimo y = bx ⇒ x = lnylnb . Po teoremu o inverznoj funkciji:

dydx

=1dxdy

=11

y lnb

= y lnb = bx lnb⇒

d(bx )

dx= bx lnb,

d(ex )

dx= ex

∫exdx = ex + C,

∫bxdx =

bx

lnb+ C



Primjer 7.Izracunajte:

d(ex )

dx,

d(bx )

dx,∫

exdx ,∫

bxdx

Rjesenje.

Oznacimo y = bx ⇒ x = lnylnb . Po teoremu o inverznoj funkciji:

dydx

=1dxdy

=11

y lnb

= y lnb = bx lnb⇒

d(bx )

dx= bx lnb,

d(ex )

dx= ex

∫exdx = ex + C,

∫bxdx =

bx

lnb+ C



Zadatak 10.Izracunaj derivacije

1 y = 2x + x2

2 y = e3x + ex2−x

3 y = 2esinx

4 y = 2√

x + 3x2+x

Rjesenje.

1 y ′ = 2x ln2 + 2x2 y ′ = 3e3x + (2x−1)ex2−x

3 y ′ = 2esinx cosx4 y ′ = 2

√x ln2

2√

x + ln3(2x + 1)3x2+x



Zadatak 10.Izracunaj derivacije

1 y = 2x + x2

2 y = e3x + ex2−x

3 y = 2esinx

4 y = 2√

x + 3x2+x

Rjesenje.

1 y ′ = 2x ln2 + 2x2 y ′ = 3e3x + (2x−1)ex2−x

3 y ′ = 2esinx cosx4 y ′ = 2

√x ln2

2√

x + ln3(2x + 1)3x2+x



Zadatak 11.Izracunaj integrale

1∫

ekxdx

21∫0

e2x+1

31∫0

(2x

3x + 2x3x)

Rjesenje.

1 ekx

k + C

2 e3−e2

3 13(ln3−ln2) + 5

ln6



Zadatak 11.Izracunaj integrale

1∫

ekxdx

21∫0

e2x+1

31∫0

(2x

3x + 2x3x)

Rjesenje.

1 ekx

k + C

2 e3−e2

3 13(ln3−ln2) + 5

ln6


Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Logaritamske derivacije

Zadatak 12.Odredite derivaciju funkcije

y =(2x + 3)3/2√

x2 + 1

Rjesenje.

lny =32

ln(2x + 3)− 12

ln(x2 + 1)

y ′

y=

32

22x + 3

− 12

2xx2 + 1

y ′ =(2x + 3)3/2√

x2 + 1

(3

2x + 3− x

x2 + 1

)



Zadatak 12.Odredite derivaciju funkcije

y =(2x + 3)3/2√

x2 + 1

Rjesenje.

lny =32

ln(2x + 3)− 12

ln(x2 + 1)

y ′

y=

32

22x + 3

− 12

2xx2 + 1

y ′ =(2x + 3)3/2√

x2 + 1

(3

2x + 3− x

x2 + 1

)



Zadatak 13.Odredite derivacije funkcija

1 y = xsinx

2 y = xsinx + cosx

Rjesenje.

1 lny = sinx lnx ⇒ y ′y = cosx lnx + sinx

x

⇒ y ′ = xsinx(

cosx lnx + sinxx

)

2 y ′ =(xsinx)′+ (cosx)′ = xsinx

(cosx lnx + sinx

x

)−sinx .



Zadatak 13.Odredite derivacije funkcija

1 y = xsinx

2 y = xsinx + cosx

Rjesenje.

1 lny = sinx lnx ⇒ y ′y = cosx lnx + sinx

x

⇒ y ′ = xsinx(

cosx lnx + sinxx

)

2 y ′ =(xsinx)′+ (cosx)′ = xsinx

(cosx lnx + sinx

x

)−sinx .


Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Brzina rasta eksponencijalne i logaritamske funkcije

Brzina rasta eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalna funkcija raste brze od bilo koje potencije:

limx→∞

ex

xn = ∞; limx→∞

xn

ex = 0,

za svaki n ∈ N. Logaritamska funkcija raste sporije od svake potencije:

limx→∞

lnxxa = 0; lim

x→∞

xa

lnx= ∞,

za svaki a > 0.



Zadatak 14.Skicirajte grafove funkcija:

1 y = x2e−x

2 y =lnxx

3 y = x lnx



Rjesenje.y

x0 2

y = x2e−x

y

x

y = lnxx

e

y

x1/e

1

y = x ln x


Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalne funkcije kao beskonacni polinomi

Eksponencijalne funkcije kao beskonacni polinomi

ex = 1 + x +x2!

2+

x3!

3+

x4!

4+ · · ·

Ako se kod izracuna vrijednosti eksponencijalne funkcije ogranicimona konacno mnog clanova reda, onda je greska manja od prvogneupotrebljenog clana.

Primjer 8.

Izracunajte e−1 na 3 decimale.



Rjesenje.

e−1 = 1− 11!

+12!− 1

3!+

14!− 1

5!+

16!· · ·

≈ 0.367

Greska aproksimacije je manja od17!

<1

5000= 0.0002.



Logaritamske funkcije kao beskonacni polinomi

ln(1−x) =−(

x +x2

2+

x3

3+

x4

4+

x5

5+ · · ·

)

za sve |x |< 1.

Napomena.Uvjet |x |< 1 nije ogranicenje za racunanje logaritama. Npr.

ln10 =− ln1

10=− ln

(1− 9

10

)=

910

+( 9

10)2

2+ · · ·


Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Primjena racuna eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

Primjena racuna eksponencijalnih i logaritamskihfunkcija

Primjer 1.Iznos od G kuna ulozimo uz 100p% kamata (npr. za 5% je p = 0.05).Na koliko naraste ulog nakon

1 1, 2, 3, n godina?2 n godina, ako se kamate upisuju 2 odnosno m puta godisnje?3 n godina, ako se kamate upisuju kontinuirano?



Rjesenje.1 G1 = G + pG = (1 + p)G

G2 = G1 + pG1 = (1 + p)G + p(1 + p)G = (1 + p)2GG3 = G2 + pG2 = (1 + p)3G

Gn = (1 + p)nG

2 G2,n = (1 + p2 )2nG

Gm,n =(

1 +pm

)mnG

3 G∞,n = limm→∞

Gm,n = limm→∞

(1 +

pm

)mnG = enpG

G∞,n = enpG



Pravilo 70

Ako se glavnica neprekidno ukamacuje uz kamatu k% i ako seglavnica udvostruci za t godina, onda je kt ≈ 70.

Iz 2G = ekt

100 G slijedikt

100= ln2≈ 0.7

tj. k · t ≈ 70.

Primjer 7.Ako je kamata 7% za koliko ce se ulog udvostruciti?

Rjesenje.

t ≈ 70k = 10 godina.



Pravilo 70

Ako se glavnica neprekidno ukamacuje uz kamatu k% i ako seglavnica udvostruci za t godina, onda je kt ≈ 70.

Iz 2G = ekt

100 G slijedikt

100= ln2≈ 0.7

tj. k · t ≈ 70.

Primjer 7.Ako je kamata 7% za koliko ce se ulog udvostruciti?

Rjesenje.

t ≈ 70k = 10 godina.


Racun eksponencijalnih i logaritamskih funkcija Eksponencijalni rast i pad

Eksponencijalni rast i pad

Ako je brzina rasta velicine Q(t) proporcionalna toj velicini tj.

Q′(t) = kQ(t)

(Q raste za k > 0, pada za k < 0) onda je

Q(t) = Q(t0)ek(t−t0)

ili za t0 = 0Q(t) = Q(0)ekt .



Eksponencijalni rast i pad-Dokaz.

Q′(t)Q(t)

= k =⇒ (ln(Q(t)))′ = k ⇒

ln(Q(t))− ln(Q(t0)) = k(t− t0)⇒

ln(

Q(t)Q(t0)

)= k(t− t0)⇒

Q(t) = Q(t0)ek(t−t0)



Zadatak 15.Radioaktivna tvar se raspada brzinom koja je proporcionalna kolicinitvari u danom trenutku. Koliko je vremena potrebno da se raspadnepola pocetne tvari?

Rjesenje.R(t)−kolicina tvari nakon t vremena.

R(t) = R0ekt , k < 0

Vrijeme poluraspada:

12

R0 = R0ekt ⇒

ekt =12⇒

t =ln2−k



Zadatak 15.Radioaktivna tvar se raspada brzinom koja je proporcionalna kolicinitvari u danom trenutku. Koliko je vremena potrebno da se raspadnepola pocetne tvari?


R(t) = R0ekt , k < 0


12

R0 = R0ekt ⇒

ekt =12⇒

t =ln2−k



Zadatak 16.Vrijeme poluraspada radioaktivne tvari je 1000 godina. Ako je napocetku bilo 1000 grama tvari koliko ce se grama tvari raspasti nakon100 godina?


R(t) = R0ekt , k < 0


12

R0 = R0e1000k ⇒ k =ln2−1000

⇒

R(t) = R02−t

1000 ⇒ R(100)≈ 0.93R0

Dakle raspalo se R0−0.93R0 = 0.07R0 = 70 grama tvari.



Zadatak 16.Vrijeme poluraspada radioaktivne tvari je 1000 godina. Ako je napocetku bilo 1000 grama tvari koliko ce se grama tvari raspasti nakon100 godina?


R(t) = R0ekt , k < 0


12

R0 = R0e1000k ⇒ k =ln2−1000

⇒

R(t) = R02−t

1000 ⇒ R(100)≈ 0.93R0

Dakle raspalo se R0−0.93R0 = 0.07R0 = 70 grama tvari.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijecnja 2016. 46 / 47


Zadatak 17.Neka populacija bakterija se udvostruci za 10 minuta. Koliko putanaraste populacija za 1h?

Rjesenje.Q(t)−kolicina tvari nakon t vremena.

Q(t) = Q0ekt , k > 0

2Q0 = Q0e10k ⇒ k =ln210⇒

Q(t) = Q02t

10 ⇒Q(60) = 64Q0



Zadatak 17.Neka populacija bakterija se udvostruci za 10 minuta. Koliko putanaraste populacija za 1h?

Rjesenje.Q(t)−kolicina tvari nakon t vremena.

Q(t) = Q0ekt , k > 0

2Q0 = Q0e10k ⇒ k =ln210⇒

Q(t) = Q02t

10 ⇒Q(60) = 64Q0

Documents

Katedra za matematiku, FSB...Matematika 1 Logaritamske i eksponencijalne funkcije Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2015. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 7. sijeˇcnja