Kazan University

# 1Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6

Kazan University1804-2004

Ю.Н. Прошинкафедра теоретической физики

Казанского федерального университета

yurii.proshin@kpfu.ru

2004-2013, Казань

ФИЗИКА

# 2Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Решениедифференциальных

уравнений

# 3Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Основные определения

0 0( , ) (1) ( ) (2)dy

f y x y x ydx

где

y – зависимая переменная,

x – независимая переменная,

f(y,x ) – функция производной = правая часть,

x0 - начальное значение независимой переменной,

y0 - начальное значение зависимой переменной.

# 4Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Метод Эйлера• Пусть задано уравнение

Решение будет искаться в виде

где h – шаг сетки, f (tk, yk) = tg αk

и h*tg αk = Δyk

• Ошибка дискретизации δ ~ h

000 )(,),,( ytytttytfdt

dyn

),,()(1 kkkk ytfhtyy yk

tk tk+1

h

αk

δk

Основные определения

Δyk

yk+1

# 5Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Основные определения

0 0(3) ( ) (4)tdye y y t y

dt

Уравнение (3) – дифференциальное уравнение

•первого порядка

•линейное

•в обыкновенных производных

•с зависящими от нез. переменной коэффициентами

# 6Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Основные определения

0 0(3) ( ) (4)tdye y y t y

dt

Метод численного решения – замена производных разностями

Простейший метод – метод Эйлера –> погрешность ~Δt = h

11 1

1

0 0 1

( ) ( ) (5)

( ) , (6)

k kk k k k k k

k k

k k

y yf t y y t t f t

t t

y t y t t t h

1 0 0exp( ) , ( ) (7)k k k ky y t y h y t y

# 7Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Решения

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.6

Euler RK4

y

t

# 8Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Решения

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.6

Euler RK4 Точное решение

y

t

# 9Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Дифференциальные уравнения.

• Общий случай

•Роль дифф. уравнений в физике (рост, убывание, стремление к равновесию,…, механика, молекулярная физика, квантовая механика, электродинамика, …. ).

•Примеры

0 0

( , , , , ,..., , , ,...)

( )

da b c

d

yF y x

x

y x y

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

# 10Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Танцы звезд

• Задача многих тел.

Уравнения Ньютона или Гамильтона.

, 1, ,

jj

jj

Hp

qj n

Hq

p

2

2 3

1 1

, 1, ,

rr F r

N N

i jii i i ij ij

ijj j

m mdm m i Ndt r

2 2 2

1 , 12

N Nix iy iz i k

i iki i k

i k

p p p m mH

m r

# 11Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Танцы звезд

• Задача многих тел. (3 тела).

Уравнения Ньютона или Гамильтона

# 12Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Танцы звезд

• Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).

Уравнения Ньютона или Гамильтона.

# 13Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Танцы звезд

• Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).

Уравнения Ньютона или Гамильтона.

# 14Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Танцы звезд

• Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).

Уравнения Ньютона или Гамильтона.

# 15Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Сеточные функции

• Пусть задана непрерывная функция g(x) на участке [a,b].

• Введем дискретный набор точек xi, сетку.

• Точки {x0,x1,x2,…xn} – узлы сетки

• Сетка с одинаковым расстоянием между произвольной парой соседних точек – равномерная сетка.

• yi=g(xi) – сеточная функция, задаваемая в виде таблицы.

g(x)

x

y

a b

...

y0 y1 y2yn

x1 x2

# 16Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Разности

• Можно ввести аналог производной для сеточной функции

• Также задается

• В общем случае

1

i

i i ix

dfdx y y y

dx - правая разность

1i i iy y y - левая разность

1 1

1 1( ) ( )

2 2i i i i iy y y y y - центральная разность

1( )m mi iy y

# 17Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

• Производные второго порядка

• Дифференцирование произведения

• Суммирование по частям

Разности

Полезные выражения

22 12i i i iy y y y 1 12i i i iy y y y 2

1i iy y

1 1( )i i i i i i i i i iy v y v v y y v v y

1 1( )i i i i i i i i i iy v y v v y y v v y

1 1

1 0 1 0 00 1 0

N N N

i i i i N N i i N Ni i i

y v v y y v y v v y y v y v

# 18Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Разностные уравнения

• Линейное разностное уравнение m-го порядка

или

• Например

)()(...)()()( 22110 ifyiayiayiayia mimiii

)()(...)()()( 2210 ifyiyiyiyi m

imiii

)()()( 110 ifyiayia ii - уравнение первого порядка

ii yiiy )()(1 Решение

Если задано граничное условие y0=const, все остальные значения находятся последовательно

# 19Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Разностные уравнения

Граничные условия• Аналогично дифференциальным уравнениям чтобы найти частное решение требуется задать граничные условия.

- уравнение первого порядка – один параметр

- уравнение второго порядка – два параметра и т.д.

• Согласно заданным условиям уравнения второго порядка можно классифицировать как

- Задача Коши. Заданы граничные условия в двух соседних

точках.

- Краевая задача. Заданные точки не являются соседними.

• Граничные условия могут быть первого, второго и третьего рода.

# 20Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Уравнения первого порядка

Метод Эйлера• Пусть задана система уравнений

(здесь yi – разные функции)

• Решение будет искаться в виде

где h – шаг сетки

• Ошибка дискретизации ~h

)),(),...(),(,()()( 211 knkkkikiki xyxyxyxfhxyxy

iinii aybxanixyxyxyxf

dx

dy )(,,,...,1)),(),...(),(,( 21

# 21Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Методы Рунге-Кутта

q

iiikk hkpxyxy

11 )()()( - общая формула, где

;;)(1 yxfhhk

;;)( 12122 kyhxfhhk

;;)( 23213133 kkyhxfhhk

..........................................................

;...;)( 3322113 kkkyhxfhhk nnnn

qijpp ijqq 0...... 12 - константы

# 22Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Методы Рунге-Кутта

Выбор параметров

Введем функцию погрешности метода

);(...)()()()()( 2211 hkphkphkpxyhxyh iii

Будем искать коэффициенты из условия чтобы

0)0(,0)0(...)0()0( )1()( ss

тогда

1)1(

1)1(

1

)(

)!1(

)(

)!1(

)(

!

)0()(

s

ss

ss

i

ss

hs

hh

s

hh

sh

# 24Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Уравнения первого порядка

Методы Рунге-Кутта• Метод Рунге-Кутта второго порядка (Метод Хьюна) ε ~ h2

• Метод Рунге-Кутта-Фельберга ε ~ h5

,))(,()(,))(,(2

)()( 11 kkkkkkkk xyxfhxyxfxyxfh

xyxy

43201 12

1

45

16

20

9

9

1)()( kkkkxyxy ii ;;0 ii yxfhk

;9

2;

9

201

kyhxfhk ii ;

4

1

12

1;

3

1102

kkyhxfhk ii

;64

135

128

143

128

69;

4

32103

kkkyhxfhk ii

;15

16

5

27

4

27

12

17; 32104

kkkkyhxfhk ii

# 25Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

• Например уравнение дрифт-диффузии

это уравнение в частных производных. Можно решать стационарное уравнение, приравняв нулю производную по времени.

Линейные уравнения второго порядка

0

n n B

n J

t xn

J q nE k Tx

2

20n n

n n n ED q E q n

t x x x

2

20

n nA Bn

x x

1 1 1 1

2

( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0

2i i i i i

i i i

n x n x n x n x n xA B n x

h h

# 26Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

2D уравнение Пуассона

),( 2122

2

21

2

xxfx

u

x

u

- уравнение в частных производных

Функция u определена на всей границе – задача Дирихле ),(| 21 xxu B

Линейные уравнения второго порядка

),()1,(),(2)1,(),1(),(2),1(

2122

2121212

1

212121 iifh

iiyiiyiiy

h

iiyiiyiiy

Разностное уравнение

# 27Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

• Разностное уравнение

с граничными условиями

можно представить в виде матричного уравнения

iiiiiii fybycya 11

Метод прогонки

Линейные уравнения второго порядка

2121110 , NN yyyy

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

0

2

111

22

22

111

1

......

10...000

...000

0...000

.....................

000...0

000...

000...01

N

N

N

N

N

NNN

NN

f

f

f

f

y

y

y

y

y

y

bca

bc

ca

bca

# 28Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Метод прогонки

Алгоритм

• Выберем соотношение

где коэффициенты определены как

с граничными условиями

• За один проход -> можно расcчитать все коэффициенты αi βi.

111 iiii yy

;; 11iii

iiii

iii

ii ac

fa

ac

b

;; 1111

# 29Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Метод прогонки

Алгоритм

• Теперь идем <- и считаем

где yN находится из граничных условий

111 iiii yy

2

22

1

N

NNy

# 30Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Buffer Layer AlxGax-1As n-

Schottky Layer AlxGax-1As n

Doping Layer AlxGax-1As n+

Channel Layer GaAs n-

Substrate Layer AlxGax-1As n-

Source

(~50nm)

(~20nm)

(~20nm)

(~8nm)

(~6nm)

Drain

Gate Metal

Пример

Структура

# 31Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Пример

Задача

Рассчитать константы спин-орбитального взаимодействия в полупроводниковой гетероструктуре с металлическим затвором, как функции напряжения на затворе.

# 32Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Спин-орбитальное взаимодействие

SO 20

ˆ( )(2 )

ˆH Vm c

pσ

D ( )iz y y x xH k k k

2

( )i iz zk k

- общий вид

- формула специфичная для III-Vполупроводниковых гетероструктур

- константа спин-орбитального взаимодействия

Параметр β определяется зонной структурой полупроводника

Задача сводится к нахождению волновых функций электронов локализованных в квантовой яме

# 33Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

X

m

Xs

o

Xs

o X

s

E

f

E

0

E

c

E

v

METAL Semiconductor

Φb

Vb

i

Металл/полупроводник Полупроводник/полупроводник

Band structure

# 34Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

n n n BJ q nE k T n

0B B

qE qEn n n

k T k T

,

Уравнение дрифт-диффузии:

Уравнение Пуассона: 0 ( )r d ae p n N N

Уравнение Шрёдингера:2 1

( ) 02 * k k kV E

m

Уравнения

# 35Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Initialize dopingconcentration

Poisson Equation

Schrödinger Equation

Continuity andTransport Equations

Efn calculation

Does electrondensity converge

End

Does electrondensity converge

Yes

Yes

No

No

Calculate Spin Orbit terms

Алгоритм

Микроскопическая Микроскопическая

модельмодель

МакроскопическаяМакроскопическая

модельмодель

# 36Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

x (nm)

En

erg

y (e

V)

psi_sch

ef

Esub#1

Esub#2

Esub#3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

x (nm)

En

erg

y (e

V)

psi_sch

ef

Esub#1

Esub#2

Esub#3

Результаты

Vg = 0 V

Vg = 0.5 V

# 37Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Результаты

Константы С-О взаимодействия

# 38Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Литература

Д. Поттер, Вычислительные методы в физике.

Н. Н. Калиткин, Численные методы.

Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков, Численные методы.

Р.П. Федоренко, Введение в вычислительную физику.

Самарский А.А., Введение в численные методы.

Ортега Дж., Пул У., Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений.

# 39Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

The End