View
299
Download
2
Category
Preview:
Citation preview
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
Kartezijev sustav
x
y
z
O
~i~j
~k ~r
P
• jedinicni vektorikartezijevog sustava
~i,~j , ~k (1)
cine desni ortonormiranisustav
• položaj tocke P odreden jeradijus-vektorom
~r = x~i + y~j + z~k (2)
• jedinicni vektori su medusobno ortogonalni
~i ·~j = 0, ~j ·~i = 0, ~k ·~i = 0 (3)
• jedinicni vektori su normirani
~i ·~i = 1, ~j ·~j = 1, ~k ·~k = 1 (4)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• vektori~i ,~j i ~k cine desni sustav
~i ×~j = ~k , ~j × ~k =~i, ~k ×~i =~j (5)
• opceniti vektor ~a možemo raspisati pomocu jedinicnihvektora kartezijevog sustava
~a = ax~i + ay
~j + az~k (6)
• zbroj dva vektora
~a + ~b = (ax + bx )~i + (ay + by )~j + (az + bz)~k (7)
• skalarni produkt
~a ·~b = ax bx + ay by + azbz (8)
• vektorski produkt
~a×~b = (ay bz −azby )~i +(azbx −ax bz)~j +(ax by −ay bx)~k (9)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• vektorski produkt možemo napisati pomocu determinante
~a ×~b =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
~i ~j ~kax ay az
bx by bz
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(10)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
Brzina u kartezijevom sustavu• položaj cestice dan je s
~r = x~i + y~j + z~k (11)
• brzinu cestice dobijemo deriviranjem vektora ~r
• jedinicni vektori ne mijenjaju smjer pa njihove derivacijeišcezavaju
~r = x~i + y~j + z~k (12)
• kineticka energija cestice u kartezijevim koordinatama
T =m2
[
x2 + y2 + z2] (13)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
Ubrzanje u kartezijevomsustavu
• da bi dobili ubrzanje moramo derivirati brzinu cestice
~r =ddt
(
x~i + y~j + z~k)
= x~i + y~j + z~k (14)
• jednadžba gibanja u kartezijevim koordinatama
m~r = ~F = Fx~i + Fy
~j + Fz~k (15)
• jednadžba gibanja rastavljena po komponentama
mx = Fx (16)
my = Fy (17)
mz = Fz (18)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
Cilindricni sustav
x
y
z
O
P
Q~ρ
~r
~ρ0
~k~φ0
φ
• jedinicni vektori cilindricnogsustava
~ρ0, ~φ0, ~k (19)
cine desni ortonormiranisustav
• položaj tocke P odreden jeradijus-vektorom
~r = ρ~ρ0 + z~k (20)
• jedinicni vektori su medusobno ortogonalni
~ρ0 ·~φ0 = 0 ~φ0 ·
~k = 0 ~k · ~φ0 = 0 (21)
• jedinicni vektori su normirani
~ρ0 · ~ρ0 = 1, ~φ0 ·~φ0 = 1, ~k ·
~k = 1 (22)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• vektori ~ρ0, ~φ0 i ~k cine desni sustav
~ρ0 ×~φ0 = ~k , ~φ0 ×
~k = ~ρ0, ~k × ~ρ0 = ~φ0 (23)
• želimo izvesti vezu cilindricnih i kartezijevih koordinata
x
y Q
~ρ
φ
ρ sin φ
ρ cos φ
• iz pravokutnog trokuta na slici slijedi
x = ρ cosφy = ρ sin φ
z = z=⇒
ρ =√
x2 + y2
φ = arctan (y/x)z = z
(24)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• opceniti vektor ~a možemo raspisati pomocu jedinicnihvektora cilindricnog sustava
~a = aρ~ρ0 + aφ~φ0 + az
~k (25)
• zbroj vektora ~a i ~b
~a + ~b = (aρ + bρ) ~ρ0 + (aφ + bφ) ~φ0 + (az + bz)~k (26)
• skalarni produkt vektora ~a i ~b
~a ·~b = aρbρ + aφbφ + azbz (27)
• vektorski produkt vektora ~a i ~b
~a ×~b =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
~ρ0~φ0
~kaρ aφ az
bρ bφ bz
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(28)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• želimo raspisati jedinicni vektor~i pomocu jedinicnih vektora~ρ0 i ~φ0
x
y
~ρ
φ
~i
cos φ~ρ0 − sin φ~φ0
• projekcija vektora~i na smjer ~ρ0 iznosi cos φ
• projekcija vektora~i na smjer ~φ0 iznosi − sin φ
=⇒~i = cos φ~ρ0 − sin φ~φ0 (29)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• želimo raspisati jedinicni vektor~j pomocu jedinicnih vektora~ρ0 i ~φ0
x
y
~ρ
φ
~j
sin φ~ρ0
cos φ~φ0
• projekcija vektora~j na smjer ~ρ0 iznosi sin φ
• projekcija vektora~j na smjer ~φ0 iznosi cos φ
=⇒~j = sin φ~ρ0 + cos φ~φ0 (30)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
~i ~j ~k~ρ0 cos φ sin φ 0~φ0 − sin φ cos φ 0~k 0 0 1
ax = (~a ·~i) =
(
aρ~ρ0 + aφ~φ0 + az
~k)
·~i
= aρ
(
~ρ0 ·~i)
+ aφ
(
~φ0 ·~i)
+ az
(
~k ·~i)
= aρ cos φ − aφ sin φ (31)
ay = (~a ·~j) =
(
aρ~ρ0 + aφ~φ0 + az
~k)
·~j
= aρ
(
~ρ0 ·~j)
+ aφ
(
~φ0 ·~j)
+ az
(
~k ·~j)
= aρ sin φ + aφ cos φ (32)
az = az (33)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
~i ~j ~k~ρ0 cos φ sin φ 0~φ0 − sin φ cos φ 0~k 0 0 1
aρ = (~a · ~ρ0) =(
ax~i + ay
~j + az~k)
· ~ρ0
= ax
(
~i · ~ρ0
)
+ ay
(
~j · ~ρ0
)
+ az
(
~k · ~ρ0
)
= ax cos φ + ay sin φ (34)
aφ = (~a · ~φ0) =(
ax~i + ay
~j + az~k)
· ~φ0
= ax
(
~i · ~φ0
)
+ ay
(
~j · ~φ0
)
+ az
(
~k · ~φ0
)
= −ax sin φ + ay cos φ (35)
az = az (36)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
Brzina u cilindricnom sustavu• položaj cestice dan je radijus-vektorom
~r = ρ~ρ0 + z~k (37)
• brzinu cestice dobijemo deriviranjem vektora ~r po vremenu
~r = ρ~ρ0 + ρ~ρ0 + z~k (38)
• jedinicni vektori ~ρ0 i ~φ0 mijenjaju smjer u prostoru pa i njihmoramo derivirati
• najjednostavniji nacin je da ih raspišemo pomocu jedinicnihvektora kartezijevog sustava
~ρ0 = cos φ~i + sin φ~j (39)
~φ0 = − sin φ~i + cos φ~j (40)
• jedinicni vektori kartezijevog sustava imaju fiksni smjer panjihove vremenske derivacije išcezavaju
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• derivacije jedinicnih vektora ~ρ0 i ~φ0
~ρ0 = − sin φφ~i + cos φφ~j = φ~φ0 (41)
~φ0 = − cosφφ~i − sin φφ~j = −φ~ρ0 (42)
• sada deriviramo radijus-vektor ~r
~r = ρ~ρ0 + ρ~ρ0 + z~k = ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + z~k (43)
• kineticka energija cestice u cilindricnim koordinatama
T =m2
~r2 =m2
(
ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + z~k)
·
(
ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + z~k)
=m2
(
ρ2 + ρ2φ2 + z2)
(44)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
Ubrzanje u cilindricnimkoordinatama
• ubrzanje izracunamo tako da deriviramo brzinu
~r =ddt
(
ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + z~k)
= ρ~ρ0 + ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + ρφ~φ0 + ρφ~φ0 + z~k (45)
• uvrstimo derivacije jedinicnih vektora
~r = ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + ρφ~φ0 + ρφ~φ0 − ρφ2~ρ0 + z~k
=[
ρ − ρφ2]
~ρ0 +[
2ρφ + ρφ]
~φ0 + z~k (46)
• jednadžba gibanja u cilindricnim koordinatama
m~r = ~F = Fρ~ρ0 + Fφ~φ0 + Fz
~k (47)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• jednadžba gibanja rastavljena po komponentama
m(
ρ − ρφ2)
= Fρ (48)
m(
2ρφ + ρφ)
= Fφ (49)
mz = Fz (50)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
Sferni sustav
x
y
z
O
P
θ
φ
~r
~NQ
~r0
~θ0
~φ0
• jedinicni vektori sfernog sustava
~r0, ~θ0, ~φ0 (51)
cine desni ortonormirani sustav
• položaj tocke P odreden jeradijus-vektorom
~r = r~r0 (52)
• jedinicni vektori su medusobno ortogonalni
~r0 ·~θ0 = 0 ~θ0 ·
~φ0 = 0 ~φ0 ·~r = 0 (53)
• jedinicni vektori su normirani
~r0 ·~r0 = 1, ~θ0 ·~θ0 = 1, ~φ0 ·
~φ0 = 1 (54)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• vektori ~r0, ~θ0 i ~φ0 cine desni sustav
~r0 ×~θ0 = ~φ0, ~θ0 ×
~φ0 = ~r0, ~φ0 ×~r0 = ~θ0 (55)
• želimo izvesti vezu sfernih i kartezijevih koordinata
~N
z
P
~rθ
r sin θ
r cos θ
• iz pravokutnog trokuta na slici slijedi• projekcija dužine r na os z iznosi r cos θ
• projekcija dužine r na ravninu xy iznosi r sin θ
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• promotrimo projekciju dužine r na ravninu xy
x
y Q
r sin θ
φ
r sin θ sin φ
r sin θ cos φ
• projekcija dužine r sin θ na os x iznosi r sin θ cos φ
• projekcija dužine r sin θ na os y iznosi r sin θ sin φ
• veza kartezijevih i sfernih koordinata
x = r sin θ cos φy = r sin θ sin φ
z = r cos θ
=⇒
r =√
x2 + y2 + z2
θ = arccos (z/√
x2 + y2 + z2)φ = arctan y/x
(56)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• rastav vektora~a = ar~r0 + aθ
~θ0 + aφ~φ0
• zbroj vektora
~a + ~b = (ar + br )~r0 + (aθ + bθ)~θ0 + (aφ + bφ)~φ0
• skalarni produkt
~a ·~b = ar br + aθbθ + aφbφ
• vektorski produkt
~a ×~b =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
~r0~θ0
~φ0
ar aθ aφ
br bθ bφ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• projekcija vektora ~k na smjer ~r0 iznosi cos θ
• projekcija vektora ~k na smjer ~θ0 iznosi − sin θ
~N
z
~rθ
~k
cos θ~r0
− sin θ~θ0
=⇒ ~k = cos θ~r0 − sin θ~θ0 (57)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• projekcija vektora ~N0 na smjer ~r0 iznosi sin θ
• projekcija vektora ~N0 na smjer ~θ0 iznosi cos θ
~N
z
~r
θ
~N0
sin θ~r0 cos θ~θ0
=⇒ ~N0 = sin θ~r0 + cos θ~θ0 (58)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• projekcija vektora~i na smjer ~N0 iznosi cos φ
• projekcija vektora~i na smjer ~φ0 iznosi − sin φ
x
y
~N
φ
~i
cos φ~N0 − sin φ~φ0
=⇒~i = cos φ~N0 − sin φ~φ0 (59)
=⇒~i = cos φ sin θ~r0 + cos φ cos θ~θ0 − sin φ~φ0 (60)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• projekcija vektora~j na smjer ~N0 iznosi sin φ
• projekcija vektora~j na smjer ~φ0 iznosi cos φ
x
y
~N
φ
~j
sin φ~N0
cos φ~φ0
=⇒~j = sin φ~N0 + cos φ~φ0 (61)
=⇒~j = sin φ sin θ~r0 + sin φ cos θ~θ0 + cos φ~φ0 (62)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
~i ~j ~k~r0 sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ~θ0 cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ~φ0 − sin φ cos φ 0
ar = ~a ·~r0 = ax (~i ·~r0) + ay (~j ·~r0) + az(~k ·~r0) (63)
= ax sin θ cos φ + ay sin θ sin φ + az cos θ (64)
aθ = ~a · ~θ0 = ax (~i · ~θ0) + ay (~j · ~θ0) + az(~k · ~θ0) (65)
= ax cos θ cos φ + ay cos θ sin φ − az sin θ (66)
aφ = ~a · ~φ0 = ax (~i · ~φ0) + ay (~j · ~φ0) + az(~k · ~φ0) (67)
= −ax sin φ + ay cos φ (68)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
~i ~j ~k~r0 sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ~θ0 cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ~φ0 − sin φ cos φ 0
ax = ~a ·~i = ar (~r0 ·
~i) + aθ(~θ0 ·~i) + aφ(~φ0 ·
~i) (69)
= ar sin θ cos φ + aθ cos θ cos φ − aφ sin φ (70)
ay = ~a ·~j = ar (~r0 ·
~j) + aθ(~θ0 ·~j) + aφ(~φ0 ·
~j) (71)
= ar sin θ sin φ + aθ cos θ sin φ + aφ cos φ (72)
az = ~a ·~k = ar (~r0 ·
~k) + aθ(~θ0 ·~k) + aφ(~φ0 ·
~k) (73)
= ar cos θ − aθ sin θ (74)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
Brzina u sfernom sustavu• položaj cestice dan je radijus-vektorom
~r = r~r0 (75)
• brzinu cestice dobijemo deriviranjem vektora ~r po vremenu
~r = r~r0 + r~r0 (76)
• jedinicni vektor ~r0 mijenja smjer u prostoru pa i njega moramoderivirati
• najjednostavniji nacin je da ga raspišemo pomocu jedinicnihvektora kartezijevog sustava
~r0 = sin θ cos φ~i + sin θ sin φ~j + cos θ~k (77)
• jedinicni vektori kartezijevog sustava imaju fiksni smjer panjihove vremenske derivacije išcezavaju
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• vremenska derivacija jedinicnog vektora ~r0
~r0 = cos θθ cos φ~i − sin θ sin φφ~i
+ cos θθ sin φ~j + sin θ cos φφ~j
− sin θθ~k
=[
cos θ cos φ~i + cos θ sin φ~j − sin θ~k]
θ
+ sin θ[
− sin φ~i + cos φ~j]
φ (78)
• prepoznamo jedinicne vektore sfernog sustava u kartezijevimkoordinatama
~r0 = θ~θ0 + sin θφ~φ0 (79)
• vratimo se izrazu za brzinu u sfernim koordinatama
~r = r~r0 + r θ~θ0 + r sin θφ~φ0 (80)
• kineticka energija u sfernim koordinatama
T =m2
~r2 (81)
=m2
[
r~r0 + r θ~θ0 + r sin θφ~φ0
]
·
[
r~r0 + r θ~θ0 + r sin θφ~φ0
]
(82)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• iskoristimo ortonormiranost jedinicnih vektora
T =m2
[
r2 + r2θ2 + r2 sin2 θφ2]
(83)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernom sustavu• ubrzanje cestice dobijemo tako da deriviramo brzinu
~r =ddt
[
r~r0 + r θ~θ0 + r sin θφ~φ0
]
= r~r0 + r~r0 + r θ~θ0 + r θ~θ0 + r θ~θ0
+ r sin θφ~φ0 + r cos θθφ~φ0 + r sin θφ~φ0 + r sin θφ~φ0 (84)
• potrebne su nam derivacije vektora ~θ0 i ~φ0
• raspišemo ~θ0 i ~φ0 pomocu jedinicnih vektora kartezijevogsustava
~θ0 = cos θ cos φ~i + cos θ sin φ~j − sin θ~k (85)
~φ0 = − sin φ~i + cos φ~j (86)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• deriviramo vektor ~θ0
~θ0 = − sin θθ cos φ~i − cos θ sin φφ~i
− sin θθ sin φ~j + cos θ cos φφ~j − cos θθ~k
= −
[
sin θ cos φ~i sin θ sin φ~j cos θ~k]
θ
+ cos θ[
− sin φ~i + cos φ~j]
φ (87)
• u prethodnom izrazu prepoznamo definicije jedinicnih vektora~r0 i ~φ0
~θ0 = −θ~r0 + cos θφ~φ0 (88)
• deriviramo vektor ~φ0
~φ0 = − cosφφ~i − sin φφ~j
= − cosφ[
cos2 θ + sin2 θ]
φ~i
− sin φ[
cos2 θ + sin2 θ]
φ~j (89)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• dodamo i oduzmemo clan sin θ cos θφ~k
~φ0 = − sin θ[
sin θ cos φ~i sin θ sin φ~j]
φ − sin θ cos θφ~k
− cos θ[
cos θ cos φ~i cos θ sin φ~j]
φ + sin θ cos θφ~k (90)
• grupiramo clanove tako da dobijemo jedinicne vektore ~r0 i ~θ0
~φ0 = − sin θ[
sin θ cos φ~i + sin θ sin φ~j + cos θ~k]
φ
− cos θ[
cos θ cos φ~i + cos θ sin φ~j − sin θ~k]
φ
= − sin θφ~r0 − cos θφ~θ0 (91)
• konacno, ubzanje u sfernom sustavu
~r = ~r0
(
r − r θ2− r sin2 θφ2
)
+ ~θ0
(
2r θ + r θ − r sin θ cos θφ2)
+ ~φ0
(
2r sin θφ + 2r θ cos θφ + r sin θφ)
(92)
Koordinatnisustavi
Kartezijev sustavKartezijev sustav
Brzina ukartezijevom sustavu
Ubrzanje ukartezijevom sustavu
Cilindricni sustavCilindricni sustav
Brzina u cilindricnomsustavu
Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama
Sferni sustavSferni sustav
Brzina u sfernomsustavu
Ubrzanje u sfernomsustavu
• jednadžba gibanja u sfernom sustavu
m~r = ~F = Fr~r0 + Fθ~θ0 + Fφ
~φ0 (93)
• jednadžba gibanja raspisana po komponentama
m(
r − r θ2− r sin2 θφ2
)
= Fr (94)
m(
2r θ + r θ − r sin θ cos θφ2)
= Fθ (95)
m(
2r sin θφ + 2r θ cos θφ + r sin θφ)
= Fφ (96)
Recommended