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Laboratori del
Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana
nell'ambito dell'azione regionale di sistema
Laboratori del
Sapere Scientifico
Traslazione, simmetria centrale, rotazione e
antitraslazione anche come composizione di
simmetrie assiali
Istituto Comprensivo “G. Mariti”
Scuole secondarie 1° grado Fauglia e Santa Luce
Classi seconde
Docenti: Cecilia Salutini, Alessandra Orlandini , Amelia Buono
Collocazione del percorso nel curricolo verticale
Il percorso rappresenta la seconda fase di studio delle trasformazioni geometriche e costituisce un ulteriore supporto per affrontare il tema dei poligoni, della loro classificazione, delle loro proprietà e delle loro aree, dei fregi e delle pavimentazioni.
Esso necessita di competenze precedentemente acquisite:
• saper osservare
• saper usare gli strumenti per il disegno geometrico e la misura
• saper individuare figure congruenti• saper individuare figure congruenti
• aver acquisito il concetto di trasformazione geometrica, di varianti e invarianti
• aver acquisito il concetto di isometria come trasformazione geometrica del piano in sé la cui unica variante è la posizione .
• riconoscere figure direttamente e inversamente congruenti
• aver acquisito i concetti di isometria invertente e non invertente, punto unito, retta unita, retta fissa
• conoscere la simmetria assiale
• riconoscere e saper disegnare figure corrispondenti in una simmetria assiale.
Obiettivi essenziali di apprendimento
• acquisire i concetti di traslazione, simmetria centrale, rotazione ed antitraslazione
• individuare la caratterizzazione delle suddette isometrie
• riconoscere e saper disegnare figure corrispondenti nelle varie isometrie
• acquisire il concetto di composizione di isometrie• acquisire il concetto di composizione di isometrie
• sviluppare il linguaggio specifico
• sviluppare competenze informatiche
• potenziare la capacità di usare gli strumenti per il disegno geometrico
• conoscere e saper utilizzare il sistema di riferimento cartesiano ortogonale
Elementi salienti dell’approccio metodologico
La metodologia didattica scelta per affrontare lo studio di questo argomento privilegia un approccio di tipo laboratoriale attraverso il quale lo studente, sotto la guida dell’insegnante, arriva a scoprire proprietà e ad acquisire concetti.
Allo scopo si è fatto ricorso a:
• Lavoro individuale
• Lavoro in piccoli gruppi omogenei e/o eterogenei
• Utilizzo di GeoGebra come strumento didattico che consente di affrontare le varie
tematiche in modo dinamico e veloce, trovando conferme di intuizioni e proprietà. tematiche in modo dinamico e veloce, trovando conferme di intuizioni e proprietà.
• Problem solving
• Costruzione della conoscenza attraverso la ricercazione :
a) osservazione della realtà
b) manipolazione di opportuni materiali
c) confronto, discussione collettiva, condivisione dei risultati
d) individuazione di un linguaggio appropriato via via più articolato e corretto
e) organizzazione logica delle esperienze fatte e brevi relazioni scritte dopo attività
collettive di verbalizzazione
f) concettualizzazione
Materiali, apparecchi e strumenti impiegati
• Carta quadrettata
• Cartoncino
• Carta bianca
• Carta da lucido
• Spilli
• Bottoni automatici
Forbici• Forbici
• Matite colorate
• Geopiano
• Gommini
• Strumenti per il disegno geometrico
• Quaderno
• Lavagna
• Computer (Geogebra)
Ambiente/i in cui è stato sviluppato il percorso
Aula di classe
Tempo impiegato
• Per la messa a punto preliminare nel Gruppo LSS,
corso di formazione di 10 ore su attività laboratoriali
relative alle isometrie.
• Per la progettazione specifica e dettagliata nelle Per la progettazione specifica e dettagliata nelle
classi , 4 ore.
• Tempo-scuola di sviluppo del percorso, 16 ore.
• Per la documentazione, 25 ore.
Descrizione del percorso didattico (1)
In questo percorso si è voluto far sì che i ragazzi familiarizzassero con i concetti di traslazione, rotazione ed antitraslazione comprendendone le proprietà e che acquisissero successivamente la consapevolezza che ciascuna di esse può essere consapevolezza che ciascuna di esse può essere ottenuta anche dalla composizione di simmetrie assiali. E’ stato pertanto ripreso il lavoro precedente (classe 1a) nella sua parte introduttiva alla simmetria assiale.
Descrizione del percorso didattico (2)
I ragazzi avevano compreso che in alcune coppie di bandierine le due figure potevano essere sovrapposte in tre modi diversi: trascinando, ruotando o ribaltando indifferentemente una delle due fino a farla indifferentemente una delle due fino a farla combaciare con l’altra. Nel precedente percorso fu scelto di sviluppare il concetto di ribaltamento per poter poi affrontare le altre isometrie anche come trasformazioni generate da più simmetrie assiali.
Descrizione del percorso didattico (3)
Si è proposto agli alunni un ritorno al foglio
con le bandierine colorate, rosse e verdi, che
avevano utilizzato per scoprire la relazione di avevano utilizzato per scoprire la relazione di
congruenza diretta e inversa e si sono invitati
ad individuare coppie di bandierine in cui le
due figure si sovrapponevano con un
movimento di trascinamento.
Descrizione del percorso didattico (4)
Descrizione del percorso didattico (5)
Gli alunni ne hanno individuato agevolmente alcune, come ad esempio 16-17, 21-10 e 14-8, rilevando immediatamente come esse fossero formate da bandierine dello stesso colore e che quindi dovesse trattarsi di trasformazione non quindi dovesse trattarsi di trasformazione non invertente.
Si sono invitati i ragazzi a scegliere una delle coppie prese in esame (21-10), ad individuare punti corrispondenti delle due figure e ad unirli con segmenti.
Descrizione del percorso didattico (6)
Si sono invitati i ragazzi a scegliere una delle
coppie prese in esame (21-10), ad individuare
punti corrispondenti delle due figure e ad
unirli con segmenti.unirli con segmenti.
Descrizione del percorso didattico (7)
Si è poi chiesto loro quali fossero le
“caratteristiche” di tali segmenti; non hanno
trovato difficoltà a coglierne congruenza e
parallelismo (tutti i punti si erano mossi di uno parallelismo (tutti i punti si erano mossi di uno
stesso tratto e nella stessa direzione), mentre
è stato necessario l’intervento dell’insegnante
per completare l’osservazione in merito al
fatto che il movimento di ciascun punto era
avvenuto nello stesso verso.
Descrizione del percorso didattico (8)
E’ stato chiaro a questo punto che gli elementi caratterizzanti tale trasformazione sono tre:
• la direzione
• la lunghezza (modulo)• la lunghezza (modulo)
• il verso
Si è dunque introdotto il concetto di segmento orientato (vettore) che riassume in sé le caratteristiche della trasformazione, definita TRASLAZIONE.
Descrizione del percorso didattico (9)
I ragazzi sono stati in grado a questo punto,
con la guida dell’insegnante, di formulare una
definizione corretta di traslazione come
trasformazione del piano in sé tale che i trasformazione del piano in sé tale che i
segmenti che congiungono ciascun punto P
con il corrispondente P’ sono paralleli, di
uguale lunghezza e stesso verso.
Descrizione del percorso didattico (10)
Affinché i ragazzi familiarizzassero con la
traslazione si è proposto di costruire figure sul
geopiano e sul foglio di carta quadrettata e di geopiano e sul foglio di carta quadrettata e di
individuarne le traslate secondo vettori
assegnati, dapprima paralleli alla
quadrettatura e successivamente obliqui.
Descrizione del percorso didattico (11)
Descrizione del percorso didattico (12)
Descrizione del percorso didattico (13)
Descrizione del percorso didattico (14)
Descrizione del percorso didattico (15)
Con una serie di domande e considerazioni l’insegnante ha condotto la classe a puntualizzare e a approfondire la conoscenza della traslazione:
E’ un’ isometria invertente o non invertente?E’ un’ isometria invertente o non invertente?
I ragazzi hanno disegnato un triangolo ABC e, aiutandosi con la quadrettatura, hanno individuato il suo traslato secondo un certo vettore. Le lettere del contorno ABC e A’B’C’ si susseguono nello stesso verso dunque si tratta di una isometria non invertente.
Descrizione del percorso didattico (16)
Descrizione del percorso didattico (17)
La traslazione ha o no punti fissi?
I ragazzi hanno disegnato un poligono
ABCDEF, lo hanno ricopiato su carta lucida e
trascinato il lucido “parallelamente” secondo trascinato il lucido “parallelamente” secondo
un certo vettore individuando il poligono
A’B’C’D’E’F’. Il movimento di scorrimento
effettuato non ha lasciato dubbi: non ci sono
punti fissi.
Questa esperienza
ha fornito anche
Descrizione del percorso didattico (18)
ha fornito anche
l’occasione per
introdurre il
concetto di
traslazione inversa
come movimento
che riporta la
figura traslata sulla
figura iniziale.
Descrizione del percorso didattico (19)
Le attività grafiche fin qui effettuate hanno evidenziato che la traslazione trasforma rette in rette parallele, quindi si è ritenuto opportuno chiedere ai ragazzi:
Nella traslazione ci sono rette che vengono Nella traslazione ci sono rette che vengono
trasformate in sé?
L’insegnante ha indirizzato l’attività chiedendo di disegnare una figura a piacere, di scegliere in essa un segmento e di effettuare una traslazione con vettore parallelo al segmento scelto.
Descrizione del percorso didattico (20)
Un gruppo di ragazzi ha disegnato un
rettangolo ABCD, in esso ha scelto la
diagonale AC ed ha effettuato la traslazione di diagonale AC ed ha effettuato la traslazione di
vettore t parallelo alla diagonale ottenendo il
rettangolo A’B’C’D’. Le diagonali AC e A’C’
vengono a trovarsi sulla stessa retta.
Descrizione del percorso didattico (21)
E’ evidente come la retta a cui appartiene la diagonale del rettangolo sia
trasformata in sé dalla traslazione con vettore parallelo alla diagonale stessa.
Si è introdotta dunque la terminologia di retta unita e si è concluso che le rette
unite in una traslazione sono quelle parallele al vettore.
Descrizione del percorso didattico (22)
Si è passati ora alla costruzione di figure traslate
su carta bianca utilizzando riga e squadra.
Descrizione del percorso didattico (23)
Dopo aver proposto diverse applicazioni sia su
foglio quadrettato che bianco si è passati
all’utilizzo del foglio quadrettato dotato di
sistema di riferimento cartesiano esteso ai sistema di riferimento cartesiano esteso ai
quattro quadranti (utilizzando i numeri relativi
solo per individuare punti nel piano),
ritenendo che questo renda anche più agevole
lo svolgimento di vari esercizi sulle isometrie.
Descrizione del percorso didattico (24)
Nel contempo il ricorso al riferimento cartesiano offre l’occasione di proporre figure attraverso le coordinate dei loro vertici e vettori mediante le loro componenti, nonché di controllare gli esiti di esercitazioni con informazioni valide per tutti gli esercitazioni con informazioni valide per tutti gli alunni. Le componenti del vettore andranno intese come spostamenti: verso destra o sinistra (componente orizzontale positiva o negativa) e verso l’alto o il basso (componente verticale positiva o negativa).
Descrizione del percorso didattico (25)
Il lavoro nel piano cartesiano è stato approfondito con l’utilizzo di GeoGebra, che ha consentito di visualizzare velocemente e correttamente numerose traslazioni rendendo più agevoli ulteriori osservazioni.più agevoli ulteriori osservazioni.
In tale contesto i ragazzi hanno scoperto facilmente l’equazione di una traslazione, inizialmente di vettore parallelo ad uno degli assi e successivamente obliquo.
Descrizione del percorso didattico (26)
Descrizione del percorso didattico (27)
Descrizione del percorso didattico (28)
Descrizione del percorso didattico (29)
Descrizione del percorso didattico (30)
Si è proposto poi ai ragazzi di cercare
immagini nel mondo reale nelle quali
potessero individuare le isometrie fin qui
esaminate, considerando in particolare motivi esaminate, considerando in particolare motivi
che si ripetessero indefinitamente in una sola
direzione a formare fregi. Si sono presi in
esame motivi architettonici, vetrate, stoffe,
carte da parati…
Descrizione del percorso didattico (31)
Descrizione del percorso didattico (32)
Descrizione del percorso didattico (33)
Descrizione del percorso didattico (34)
Il lavoro è proseguito con domande dell’insegnante:
• Quali immagini sono riconducibili a fregi?
• Quali caratteristiche hanno questi ultimi?
• Qual è il motivo che si ripete?• Qual è il motivo che si ripete?
• Quale isometria è stata utilizzata per la
ripetizione del motivo?
• Il motivo che si ripete presenta delle isometrie?
Descrizione del percorso didattico (35)
I ragazzi hanno compreso che un fregio si
ottiene applicando ripetutamente la
traslazione di un motivo sempre secondo lo
stesso vettore, mentre tra le isometrie stesso vettore, mentre tra le isometrie
eventualmente presenti nel motivo del fregio
hanno individuato ovviamente soltanto la
simmetria assiale. L’osservazione e lo studio
dei fregi potrà pertanto essere completata una
volta affrontate le altre isometrie.
Descrizione del percorso didattico (36)
E’ stato poi proposto agli alunni di disegnare
con GeoGebra un motivo base a piacere e di
utilizzare le funzioni di simmetria assiale e
traslazione per costruire fregi.traslazione per costruire fregi.
Descrizione del percorso didattico (37)
Descrizione del percorso didattico (38)
A questo punto si è ritenuto opportuno
stabilire un collegamento tra la traslazione e la
simmetria assiale, facendo scoprire che la
composizione di due simmetrie assiali può composizione di due simmetrie assiali può
generare una traslazione; a questo scopo si
sono invitati i ragazzi a disegnare una figura e
ad effettuare in sequenza due simmetrie
assiali con assi tra loro paralleli.
Descrizione del percorso didattico (39)
Descrizione del percorso didattico (40)
Esiste una isometria che fa passare dalla figura ABCDE alla
figura A’’B’’C’’D’’E’’?
Si tratta di una isometria invertente o non invertente?
Ha punti fissi?
Dalla discussione è emerso che si trattava di una traslazione e
sono stati proprio i ragazzi a volerne individuare il vettore;
direzione e verso sono emersi facilmente, mentre non è statodirezione e verso sono emersi facilmente, mentre non è stato
immediato individuarne il modulo. A tale scopo si è suggerito
agli alunni di ripetere l’esercizio variando la distanza fra gli assi
paralleli e i ragazzi hanno scoperto che la lunghezza della
traslazione era sempre doppia della distanza tra gli assi;
guidati dall’insegnante ne hanno capito il perché.
Descrizione del percorso didattico (41)
Descrizione del percorso didattico (42)
Si è provato poi ad invertire l’ordine di esecuzione delle simmetrie assiali ad assi paralleli. Partendo dalla figura ABCDE si è eseguita stavolta prima la simmetria rispetto a r2 e poi su A’B’C’D’E’ la seconda simmetria assiale rispetto a r . Gli alunni hanno simmetria rispetto a r2 e poi su A’B’C’D’E’ la seconda simmetria assiale rispetto a r1. Gli alunni hanno dimostrato che si è generata una traslazione da ABCDE ad A’’B’’C’’D’’E’’ come nel primo caso; stavolta però si è ottenuta una traslazione con stesso modulo, stessa direzione ma con verso opposto al precedente.
Descrizione del percorso didattico (43)
Il proseguimento del percorso ha previsto lo sviluppo di attività riguardanti le altre isometrie ed ha utilizzato gli stessi criteri operativi.
Per introdurre la simmetria centrale e la rotazione si è lavorato con un foglio di carta bianca (per rappresentare il piano) e un foglio di carta trasparente rappresentare il piano) e un foglio di carta trasparente fissato al precedente con un bottone automatico inserito in un punto qualsiasi. Sul foglio di carta bianca sono stati disegnati punti e figure che sono stati ricalcati sulla carta trasparente; ruotando il foglio trasparente di angoli di 180°, 90°, 45° ecc. si sono individuati i punti e le figure corrispondenti attraverso la bucatura del foglio con uno spillo.
Descrizione del percorso didattico (44)
Lo studio di quanto ottenuto ha permesso di
caratterizzare queste isometrie e di
individuarne le proprietà (isometrie non
invertenti con un solo punto unito; involutoriainvertenti con un solo punto unito; involutoria
la simmetria centrale ma non la generica
rotazione; con rette unite la simmetria
centrale; ...…..).
Descrizione del percorso didattico (45)
A questo punto si sono effettuate attività volte
ad evidenziare come la simmetria centrale e la
rotazione si possano ottenere come rotazione si possano ottenere come
composizione di due simmetrie assiali ad assi
incidenti, perpendicolari nel caso della
simmetria centrale.
Descrizione del percorso didattico (46)
Si è disegnato un triangolo ABC su un foglio di carta che si è poi piegato in modo da ottenere due assi incidenti, rispetto ai quali si sono costruite in successione le figure simmetriche A’B’C’ e A’’B’’C’’.
Cosa è possibile dire delle figure ABC e A’’B’’C’’? Osserviamo il senso di percorrenza del contorno delle figure: cosa notiamo? Esiste una isometria che porta Osserviamo il senso di percorrenza del contorno delle figure: cosa notiamo? Esiste una isometria che porta ABC in A’’B’’C’’? Di quale isometria si tratta? I ragazzi hanno concluso agevolmente che si tratta di una rotazione e ne hanno individuato il centro e l’angolo orientato, trovandone conferma attraverso la sovrapposizione di un lucido fissato al foglio bianco nel punto d’incontro degli assi con un bottone automatico.
Descrizione del percorso didattico (47)
Successivamente si è scoperta la relazione tra
l’ampiezza dell’angolo di rotazione e quella
dell’angolo compreso tra i due assi: l’angolo di
rotazione è sempre doppio rispetto a quello rotazione è sempre doppio rispetto a quello
tra gli assi di simmetria.
Descrizione del percorso didattico (48)
Utilizzando GeoGebra è stato possibile
visualizzare in maniera dinamica cosa accade
facendo variare l’ampiezza dell’angolo
compreso tra i due assi di simmetria. Questa compreso tra i due assi di simmetria. Questa
attività ha reso evidente che la simmetria
centrale non è altro che un caso particolare di
rotazione, ossia quella di 180° : il mezzo giro.
Descrizione del percorso didattico (49)
Per completare il quadro delle isometrie si è esaminato il caso di un’isometria inversa senza punti fissi.
Si è proposto ai ragazzi di disegnare su carta quadrettata una figura e di eseguire su di essa una simmetria assiale e successivamente una traslazione parallela all’asse di simmetria (o viceversa). parallela all’asse di simmetria (o viceversa).
La trasformazione che porta la prima figura nella terza è sicuramente priva di punti fissi e cambia il verso di percorrenza del contorno; si tratta pertanto di una nuova isometria, detta antitraslazione o glissosimmetria, che trova corrispondenza nella realtà con le orme dei passi di una persona.
Verifiche degli apprendimenti
a) Tipologie impiegate:
- osservazione degli alunni durante le attività
e ascolto dei loro interventi nelle discussioni
collettivecollettive
- prove strutturate (scelta multipla, vero-falso,
completamento)
- prove grafiche
- domande aperte
b) Esempi1) Individua le caratteristiche della traslazione:
a) � mantiene la lunghezza dei lati
b) � mantiene la posizione nel piano e) � ha punti fissi
c) � mantiene l’ampiezza degli angoli f) � ha rette unite
d) � conserva il verso di percorrenza del contorno g) � trasforma rette in rette parallele
2) Elenca gli elementi che caratterizzano una traslazione
3) Completa la seguente affermazione: una traslazione può essere ottenuta come
composizione di due simmetrie assiali con assi:
a) � incidentia) � incidenti
b) � paralleli
c) � perpendicolari
4) Le figure ABC e A’B’C’ si corrispondono in una traslazione.
Individua graficamente il vettore che porta la prima nella seconda.
Nella traslazione inversa, quale elemento caratterizzante il vettore risulta variato?
5) Data la figura F, disegna la simmetrica F’ nella simmetria di asse s e
successivamente realizza un fregio con il motivo ottenuto secondo il vettore t
indicato.
6) Data la figura F disegna la simmetrica F’nella simmetria di asse r e successivamente
trasla F’ secondo il vettore t perpendicolare ad r ottenendo la figura F’’
Si può passare dalla figura F alla
figura F’’ con una simmetria
assiale? Se sì, rispetto a quale
asse? Disegnalo.
Risultati ottenuti
(analisi critica in relazione agli apprendimenti degli alunni)
Gli alunni non hanno mostrato difficoltà a comprendere le questioni generali del percorso; hanno evidenziato buone capacità di intuizione e di osservazione; la fase operativa piuttosto articolata e anche l’utilizzo di GeoGebra hanno sicuramente motivato l’apprendimento articolata e anche l’utilizzo di GeoGebra hanno sicuramente motivato l’apprendimento agevolando il successivo momento della concettualizzazione.
Non per tutti è stato facile utilizzare gli strumenti del disegno geometrico nell’ultima parte del percorso riguardante la rotazione.
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