Le macchine semplici e la nascita della Statica Di Pietro Pantano Centro Interdipartimentale della...

Le macchine semplici e la nascita della Statica

Di Pietro PantanoCentro Interdipartimentale della ComunicazioneUniversità della Calabria

Indice

Le prime invenzioniLa staticaLe macchine

semplici e i principi della Statica

La statica dei fluidi

Le prime invenzioni

Fin dall’antichità l’uomo costruisce oggetti e meccanismi che lo possano supportare nelle sue attività quotidiane

Egli ha l’abilità di costruire strumenti utili, anche se non ne comprende pienamente i principi costitutivi

E’ interessante notare che in questo processo di crescita, alcune invenzioni troveranno un’applicazione diffusa

Mentre altre, come ad esempio le macchine termiche, saranno dimenticate per essere riprese solo dopo molto tempo

Le prime invenzioni /2

Tra queste citiamo: Scure 28.000 a.C.

Slitta 10.000 a.C

Le prime invenzioni /3

arco e frecce 9.000 a.C. Aratro 5.000 a.C.

Le prime invenzioni /4

Ruota, apparsa in Mesopotomia circa il 5.000 a.C.

Ponti 4.000 a.C.

Le prime invenzioni /5

Carro con ruote 3.400 a.C.

Vela 3.200 a.C.

Le prime invenzioni /6

Clessidra ad acqua, apparsa in Mesopotamia ed in Egitto circa il 3.000 a.C.

Bilancia 2.000 a.C.

Le invenzioni prima dei greci

Quindi prima dei greci, osserviamo l’invenzione di utensili, di strumenti di trasporto e di varie costruzioni; di vari strumenti di misura ( bilance per misure di peso, clessidre per misure di tempo), di strumenti di calcolo (abaco).

Il Contributo dei greci

Accanto al grande contributo ai modelli e alla concezione del mondo, i Greci iniziano a studiare i principi sottostanti alle invenzioni ed agli strumenti fino ad allora noti, inventandone anche degli altri.

Tra tutti il contributo più rilevante è sicuramente quello di Archimede, il fondatore della Statica, e colui che trova le leggi dell’equilibrio di alcune macchine semplici

Immagine di Archimede

L’assedio di Siracusa

Le macchine semplici

A) Le condizioni di equilibrio delle macchine semplici costituiscono un esempio di diretta applicazione delle equazioni della Statica.

B) Le macchine semplici , di cui l’uomo si é servito sin dall’antichità, sono dei corpi rigidi opportunamente vincolati che consentono di equilibrare delle forze, in genere abbastanza elevate per l’uomo, facendo uso di forze di piccola intensità.

C) Le macchine semplici più comuni sono: le leve, le carrucole, i verricelli e i piani inclinati.

D) Numerose applicazioni e varianti di queste si possono ottenere e costituiscono la base dei vari ingranaggi e delle macchine.

Seq 19- cd6

Video sulle Macchine semplici

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Immagini di macchine semplici

Equilibrio di punti materiali

A) Io sono Archimede.Vi introdurrò ai principi della Statica e vi mostrerò le straordinarie macchine che sono state inventate anche dai miei successori per rendere più facile la vita degli uomini. Prima di iniziare dobbiamo però precisare alcuni concetti.

B) Supponiamo di avere un corpo che rappresenteremo con un punto materiale. Se su questo corpo agisce una forza, questo si metterà in moto.

C) Affinché il corpo precedentemente in quiete, rimanga in questo stato, occorre che un’altra forza agisca in direzione opposta, annullando l’azione della prima forza.

D) In questo caso il corpo si dirà in equilibrio. E) Se agiscono tre forze, affinché un corpo in quiete permanga in questo stato, é necessario

che le forze abbiano risultante nulla. Ovvero la somma vettoriale delle tre forze deve essere uguale al vettore nullo.

F) Ricordiamo che il vettore nullo é un vettore che ha modulo uguale a zero e direzione e verso indefinito.

G) Da qui l’enunciato “un corpo, rappresentabile come un punto materiale, é in equilibrio se la somma vettoriale delle forze agenti su esso é uguale al vettore nullo”.

Seq1 - cd6

Video sull’equilibrio di un punto materiale

Macchina per l’equilibrio e per dimostrare il carattere vettoriale delle forze

Dinamometro

A) Il Dinamometro é uno strumento utile per determinare il Peso di un corpo o per misurare una forza.

B) Esso é composto da una struttura rigida, con una scala graduata, che termina con un gancio in alto, e da una molla, fissata alla struttura che termina con un altro gancio.

C) Se fissiamo il dinamometro al soffitto, ed appendiamo un corpo al gancio terminale della molla, ci accorgiamo che il corpo é in equilibrio.

D) Sul corpo agirà la forza Peso e la forza di richiamo della molla che si eguaglieranno. La lettura del valore dell’elongazione della molla sulla scala graduata, ci fornirà una misura del Peso del corpo.

E) Possiamo utilizzare il dinamometro per misurare una forza: basta far agire sul gancio libero del dinamometro la forza, e misurare l’elongazione corrispondente della molla.

Seq2 - cd6

Video sul dinamometro

Sistemi di punti materiali

A) Supponiamo ora di avere un sistema di punti ed una serie di forze agenti su questi punti.

B) Il risultato finale sarà un moto composto. Possiamo chiederci quando questo sistema é in equilibrio, cioé “sotto quali condizioni se il sistema é in quiete resta in quiete”

C) La risposta é molto semplice: siccome ogni forza agisce su un singolo punto, ed in tal senso si dice che é un vettore applicato, affinché il sistema sia in equilibrio occorre che la somma di tutte le forze agenti su un singolo punto sia uguale a zero

D) cioé ogni punto deve essere in equilibrio

E) Cioé affinché il sistema sia in equilibrio, é necessario e sufficiente che ogni singolo punto del sistema sia in equilibrio.

Seq3 - cd6

Video sui sistemi di punti materiali

Punti vincolati

A) Consideriamo un corpo poggiato su un tavolo. Se inizialmente é in quiete esso resta in quiete.

B) Pur essendo soggetto alla forza Peso, il corpo non cade; perché? Cos’é che equilibra la forza peso?

C) Noi abbiamo già visto che il tavolo in realtà esercita sul corpo una forza, detta “reazione vincolare” che annulla la forza Peso e mantiene il corpo in equilibrio.

D) Consideriamo un caso analogo: un pendolo posto nella posizione più bassa. Anche in questo caso agisce una reazione vincolare che annulla la forza Peso. Questa é diretta lungo il filo ed é anche detta “Tensione del filo”.

E) Allora possiamo affermare che “ un corpo soggetto a vincoli é in equilibrio se le forze attive sono annullate dalle reazioni vincolari”.

Seq4 - cd6

Video sull’equilibrio dei punti vincolati

Sistema di punti materiali vincolati

A) Consideriamo ora il sistema di tre punti materiali, vincolati a muoversi verticalmente con delle funi attaccate tra loro che si incontrano al centro di una circonferenza.

B) Qual’é la condizione perché il sistema sia equilibrato?

C) Si vede immediatamente che il sistema é equilibrato quando si equilibrano le tensioni dei fili;

D) Essendo la tensioni di ogni filo sul punto di incontro uguale alla forza peso del corpo corrispondente con la stessa direzione del filo, allora la somma vettoriale delle tre forze deve essere uguale a zero, e questo si produce solo per una particolare geometria.

E) Possiamo quindi concepire dei sistemi di punti vincolati da piani inclinati, funi etc. che si equilibrano in modi opportuni e verificare pertanto le leggi dell’equilibrio dei punti vincolati.

Seq10 - cd6

Video sull’equilibrio dei sistemi di punti vincolati

Corpi rigidi in equilibrio

A) Abbiamo visto precedentemente che il moto del corpo rigido é composto da due moti: un moto di traslazione ed un moto di rotazione.

B) Affinché un corpo rigido in quiete permanga in tale stato, é necessario allora che il centro di massa stia fermo, cioé che la risultante delle forze applicate sia nulla

C) e che non ci sia moto di rotazione, cioé che l’accelerazione angolare sia nulla e quindi che il momento delle forze sia uguale a zero.

D) Il problema fondamentale della Statica del corpo rigido é detrminare le condizioni di equilibrio dei corpi e quindi stabilire quando il sistema delle forze é equivalente ad un sistema nullo, cioé sotto quali condizioni il vettore risultante delle forze ed il momento risultante sono contemporaneamente nulli.

E) Nel caso di sistemi vincolati, affinché ci sia equilibrio deve accadere che le reazioni vincolari devono annullare gli effetti delle forze esterne, cioé i due sistemi si devono equilibrare.

Seq17 - cd6

Video sull’equilibrio dei corpi rigidi

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Per approfondire vedi lezione sui vettori applicati

La leva

A) La leva é costituita da un corpo rigido vincolato a ruotare attorno ad un asse fisso passante per un punto detto “fulcro”.

B) Sulla leva agiscono oltre alla reazione vincolare, due forze attive, di cui una é quella da equlibrare ed é detta “resistenza”, mentre la forza equlibrante é detta “potenza”.

C) Siccome il corpo rigido può solo ruotare, affinché ci sia equlibrio occorre che il momento risultante sia nullo, cioé il momento della potenza eguagli il momento della resistenza, mentre il momento della reazione vincolare é nullo in quanto agisce sul fulcro.

F) Allora la potenza deve essere uguale al prodotto della resistenza per il rapporto tra i due bracci

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Video sulle leve

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Una metafora

La bilancia

A) La bilancia più semplice é costituita da una leva, in cui il fulcro é posto al centro di una sbarra omogenea ed all’estremità sono collocati due piatti.

B) Un corpo di cui si vuol conoscere il peso é collocato su uno dei due piatti. Il peso del corpo produrrà una forza peso che é la resistenza,

C) che andrà equilibrato da una serie di altri corpi campione di cui si conosce il valore della massa che saranno posti sull’altro piatto, il cui peso costituirà la potenza.

D) La pesata consiste nel porre il sistema in equilibrio.

E) In questo caso il peso incognito sarà uguale alla somma del valore dei pesi campione posti sul secondo piatto.

Seq 21- cd6

Video sulla bilancia

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La carrucola fissa

A) La carrucola é costituita da un disco rigido vincolato per il suo centro, da una staffa e da una fune che si avvolge sul bordo del disco.

B) La carrucola, usualmente impiegata per sollevare pesi, a seconda del modo di vincolare la staffa si dice “fissa” o “mobile”

C) Nel caso della carrucola fissa, l’asse viene fissato rigidamente tramite la staffa ed alle estremità della fune vengono applicate le due forze da equilibrare.

D) Affinché la configurazione sia di equilibrio, occorre che i momenti delle due forze si annullino.

E) Pertanto all’equilibrio la Potenza deve eguagliare la resistenza.

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Video sulla carrucola fissa

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La carrucola mobileSeq 27- cd6

A) Nella carrucola mobile ad essere fissato rigidamente é un estremo della fune.

B) In questo caso le equazioni della statica ci assicurano che potremo equilibrare la resistenza con una forza pari a metà della resistenza

C) L’uso di più carrucole mobili consente di sollevare pesi molto grandi con una piccola potenza.

D) Infatti consideriamo 2 carrucole disposte in serie

E) Abbiamo già visto che esiste una relazione tra la resistenza e la forza F_1

F) E la Potenza deve eguagliare la forza F_1

G) Pertanto la potenza risulta uguale a metà della resistenza.

Video sulla carrucola mobile

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Il verricelloSeq 28- cd6

A) Il verricello é costituito da un disco di raggio R, girevole attorno al suo asse, e da una manovella di braccio b maggiore di R

B) Vediamo che le forze esterne agenti sul sistema sono la tensione della fune che rappresenta la resistenza e la potenza applicata sulla manovella,

C) allora, affinché non ci sia rotazione, il momento prodotto dalle due forze deve essere nullo, cioéi momenti delle forze devono essere uguali

Video sul verricello

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Il piano inclinato

Lo studio dei principi sottostanti all’uso del piano inclinato procedettero in modo indipendente.

Fu solo nel XVI secolo che si raggiunse la piena comprensione di

tali principi.

Il piano inclinatoSeq 9- cd6

A) Consideriamo un punto materiale su un piano inclinato attaccato ad un filo inestensibile la cui estremità si trova in uno dei vertici

B) Siccome il punto é in equilibrio, la tensione del filo annulla la componente della forza peso lungo il piano inclinato

C) Se al posto della fune inseriamo un altro corpo, il cui peso é uguale alla tensione della fune, osserviamo che il sistema continua ad essere in equilibrio.

D) Questo significa che per ogni punto del sistema le forze attive e le reazioni vincolari si equilibrano.

Video sul piano inclinato

Ancora sul piano inclinatoSeq 29- cd6

A) Consideriamo il punto P sul piano inclinato. Affinché il punto sia in equilibrio, su esso devono agire le forze Peso, che é la resistenza, la reazione vincolare .... e la potenza che impedisce al punto di scivolare.

B) Le equazioni del punto vincolato ci forniscono il valore della potenza

C) e della reazione vincolare

Un altro video sul piano inclinato

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Applicazioni del principio del piano inclinato

L’idrostaticaSeq 4- cd7

A) I primi contributi rilevanti allo studio dei fluidi sono stati dati da Archimede che é considerato il fondatore dell’idrostatica.

B) La vite che ha inventato ha avuto notevoli applicazioni pratiche, come ad es. per il sollevamento dell’acqua. Anche ad un’importante legge, che anlizzeremo in seguito, é associato il suo nome.

C) Altri dopo di lui hanno consentito a questa disciplina di progredire; tra i tanti citiamo

D) Frontino, che scrisse dei trattati sui metodi dei romani per la distribuzione delle acque;

E) io stesso, che analizzai molti fenomeni di meccanica dei fluidi e progettai varie macchine idrauliche;

F) Vari ingegneri del Rinascimento, che progettarono e realizzarono importanti opere di idraulica

F) Galileo, che progettò a sua volta macchine per il sollevamento dell’acqua e stimolò indirettamente esperimenti di idraulica;

G) Nella lezione successiva riporteremo i contributi di altri scienziati.

Video sull’idrostatica

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Il principio di ArchimedeSeq 15- cd7

A) Un fluido eserciterà una certa forza, oltre che sulle pareti del recipiente nel quale é contenuto, anche su qualsiasi oggetto che vi venga immerso.

B) Supponiamo infatti di immergere in un liquido, ad esempio acqua, un qualsiasi corpo. Esso va ad occupare uno spazio precedentemente occupato dall’acqua, che infatti torna nel volume iniziale se togliamo il corpo.

C) Pertanto il corpo esercita delle forze sull’acqua che le impediscono di tornare nella pozsizione iniziale e nel contempo riceve a sua volta delle reazioni esercitate dall’acqua.

D) Queste reazioni, dovute alla pressione del fluido agiscono nei punti di contatto tra il fluido e il corpo e si compongono in modo tale che la risultante agisca nella stessa direzione ed in verso opposto alla forza peso, con un’intensità pari al peso della quantità di liquido che viene spostato nell’immersione.

E) Questa osservazione sperimentale é nota come Legge di Archimede, ed asserisce che:un copro immerso in un liquido riceve una spinta dal basso verso l’alto uguale al peso del fluido spostato.

F) E’ proprio questa spinta che determina il fenomeno del galleggiamento. Infatti se questa forza é maggiore del peso del corpo, esso galleggerà, altrimenti affonderà.

Video sul principio di Archimede

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La forza idraulicaSeq 22- cd6

A) Vi voglio illustrare ora un’applicazione molto interessante delle bilance che ho fatto io stesso.

B) Supponiamo di effettuare una pesata di un corpo e di effettuare la stessa pesata nel caso in cui il corpo é immerso nell’acqua.

C) se confrontiamo i due valori ci accorgiamo che lo stesso corpo immerso nell’acqua pesa di meno.

D) Una spiegazione possibile é che l’acqua eserciti una forza sul corpo immerso diretto verso l’alto che annulla la differenza di Peso e che contribuisce all’equilibrio del sistema.

Video sulla forza idraulica

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Il torchio idraulico