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LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Un campo di forze si dice CONSERVATIVO
se il lavoro fatto dal campo è indipendente dal percorso ma
dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Il fatto che il campo elettrico sia conservativo è fondamentale per la definizione di potenziale elettrico
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Infatti la differenza di potenziale tra
due punti è definita come il lavoro fatto dal campo quando la carica unitaria è
spostata da un punto all’altro
A
B
Q
LVV ABBA
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Se il lavoro dipendesse anche
dal percorso dovremmo pure
specificare il percorso e quindi non avremmo una buona definizione
A
B
Q
LVV ABBA
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
TEOREMA: In un campo
conservativo il lavoro fatto su un percorso chiuso è
uguale a zero, qualsiasi sia il
percorso
L=0
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Infatti, ogni percorso chiuso
può essere diviso in due parti, 1 e 2,
aventi entrambe come
estremi due punti A e B
A
B
2
1
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Il lavoro totale è la somma di
quello compiuto nei due tratti
A
B
2
121BAAB LLL
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Ma invertendo il verso di
percorrenza il lavoro cambia
segno (infatti se prima forza e spostamento
erano concordi ora sono discordi
o viceversa)
A
B
2
1
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Quindi possiamo dire che il lavoro fatto da B ad A su
percorso 2 è uguale a meno il lavoro da A a B
sullo stesso percorso
A
B
2
1
22ABBA LL
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Sostituendo nella formula del
lavoro:
Si ottiene:
A
B
2
1
21ABAB LLL
21BAAB LLL
22ABBA LL
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Ma il campo è conservativo per ipotesi, quindi il
lavoro è indipendente dal
percorso:
A
B
2
1
21ABAB LL
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Quindi, sostituendo:
Otteniamo:
Che era la tesi
A
B
2
1
21ABAB LL 21ABAB LLL
011 ABAB LLL
L=0
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Possiamo quindi dire che un campo di forze conservativo è un campo in
cui:
• Il lavoro è indipendente dal percorso
• Il lavoro fatto su un percorso chiuso è nullo
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Il lavoro è definito dalla formula:
Ma questa vale solo se il percorso
è rettilineo e il campo uniforme
cos SFLα
F
S
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Nel caso generale possiamo dividere il percorso in tanti piccoli pezzi quasi
rettilinei e calcolare il lavoro
su ciascuno di questi pezzi
12
3
4
5
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Il lavoro sull’i-esimo pezzettino
sarà:
12
3
4
Si
iiii SFL cos
Fi
αi
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Il lavoro totale sarà la somma di tutti questi piccoli
pezzi
12
3
4
Si
n
iiii SFL
1
cosFi
αi
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
In realtà il calcolo è solo approssimato; diventa esatto facendo tendere all’infinito il
numero dei pezzettini
n
iiii
nSFLimL
1
cos
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
In realtà il calcolo è solo approssimato; diventa esatto facendo tendere all’infinito il
numero dei pezzettini
n
iiii
nSFLimL
1
cos
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Invece del lavoro, con lo stesso procedimento si può calcolare la
differenza di potenziale (che è lavoro per unità di carica): basta prendere la forza per unità di carica, cioè il campo
elettrico
n
iiii
nBA SELimVV
1
cos
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Questa operazione non è necessariamente legata al campo
elettrico; per ogni campo vettoriale W noi possiamo calcolare in modo
matematico il limite
n
iiii
nSWLim
1
cos
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
In particolare, se il percorso è una linea chiusa, il
risultato dell’operazione
prende il nome di CIRCUITAZIONE del
vettore W
l
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
In simboli:
l
n
iiii
nSWLimWC
1
cos)(
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Nel caso del campo elettrico, però, la circuitazione non è una pura
operazione matematica, ma indica il lavoro per unità di carica sul percorso
chiuso L
n
iiii
nSELimEC
1
cos)(
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
E siccome il campo elettrico è conservativo, questo lavoro deve
essere nullo.Possiamo dunque esprimere in questo
modo la conservatività del campo elettrico 0)( EC
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
Questa diventa, insieme col teorema di Gauss, una delle leggi fondamentali
dell’elettrostatica.A queste possiamo aggiungere la
relazione che lega campo elettrico a forza elettrica
LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE
0)( EC
n
kk
osc QE
1
1)(
EqF
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