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Lezione n° 5: 17- 18 Marzo 2009 Definizione di Iperpiano. - Insiemi convessi.
- Politopi e poliedri.
- Punti estremi di un poliedro.
- Direzioni estreme di un poliedro.
Anno accademico 2008/2009
Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili
Lezioni di Ricerca OperativaCorso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata
Università di Salerno
Iperpiano: generalizzazione della retta
kxpxH T :
o equivalentemente
kxpxpxpxH nn ...: 2211
Il vettore p 0 è detto gradiente o normale dell’iperpiano, ed è la direzione di crescita dell’iperpiano
p è un vettore e k è uno scalare
Definizione:Un insieme geometrico H è un iperpiano se e solo se:
Iperpiano: in particolare
se due vettori hanno prodotto interno nullo allora
sono perpendicolari
sottraendo:
Considerando un punto x0 di H e la direzione p, l’iperpiano H è l’insieme dei vettori x tali che x-x0 è perpendicolare a p
Hx 0 kxpT 0
Hx kxpT
0)( 0 xxpT
Esempio in E2
kxpxpxxH 221121 :),(
0x
p
0x
x
Fissiamo un punto x0 H, e verifichiamo che un qualunque vettore x H è tale che: x-x0 è perpendicolare a p
H
Un iperpiano H divide lo spazio En cui appartiene in due semispazi
kxpxH T :
kxpxS T :1 kxpxS T :2
Direzione p
Iperpiano H
Esempio
90°
kxpxS T :1
kxpxS T :2
Insieme convesso
0,1 )1( yxz
Def: Un insieme X è convesso se e solo se dati due punti, x,y X ogni punto z generato come loro combinazione convessa:
è tale che z X
xy
z
xy
z
Alcuni insiemi convessi
bxAxX : Dim.Dobbiamo dimostrare che un qualunque punto y X può essere espresso come combinazione convessa di due altri punti di X
Consideriamo x, y X generici.
byAXy
bxAXx
Considero il punto z espresso come combinazione lineare di x ed y
yxz )1( Dobbiamo verificare che z appartiene ad X
Alcuni insiemi convessi:
yxz )1( Premoltiplico per la matrice A
yAxAzA )1(
bbbbbbzA )1(
Poiché x ed y appartengono ad X
1:, 22
2121 xxxxX
Verificare che
è un insieme convesso
bxAxX :
Un Iperpiano è un insieme convesso
L’intersezione di semispazi è un insieme convesso
Altri insiemi convessi
Un poliedro è l’intersezione di un numero finito di semispazi
Un poliedro X è un insieme convesso
poliedro chiuso e limitato
(Politopo)
poliedro illimitato
X Insieme convesso
Esempio: politopo
xy
z
X
Esempio: poliedro illimitato
Insieme convessox
y
z
X
Vertici di un poliedro
Vertici del Poliedro X o PUNTI ESTREMI
Definizione
Un punto di un poliedro X è un punto estremo se e
solo se non può essere espresso come combinazione
convessa STRETTA di altri punti di X.
Teorema (no dim.)
(Proprietà dei punti estremi di un poliedro)
Dato X poliedro chiuso non vuoto con punti estremi
ogni punto può essere espresso
come combinazione convessa dei punti estremi di X:
kiconxy i
k
ii
k
iii ,...,2,1 0 1
11
kxxx ,...,, 21 Xy
Esempio TeoremaVoglio esprimere y come combinazione convessa dei vertici del politopo
0,1 )1(2 zxy
0,1 )1( 45 xxzy
1x2x
3x
4x5x z
)1)(1()1( 452 xxxy
sostituisco:
Nota che :
0)1)(1( 0)1( 0 1.
2. 1 )1)(1()1)(1()1(
c.v.d.
la combinazione convessa di permette di
ottenere tutti i punti di X’X
1x
XX’
X
Quando un poliedro è illimitato?
In generale:
2x 3x
Bisogna considerare le sue direzioni estreme
1x
2x
3x
dx 0
Def. Un RAGGIO di vertice x0 e di direzione d è un
insieme di punti della forma:
Raggi e direzioni di un poliedro
0: 0 dxxR
x0
d
Raggi e direzioni di un poliedro
Definizione
Dato un poliedro X, il vettore d è una direzione di X se e solo
se per ogni punto x0 nell’insieme, il raggio
appartiene ad X
x X x d X 0.
0 ,0 dx
Xx0
d1
d2
d3
d1 NON è direzione
d2 è direzione
d3 NON è direzione
Come si calcolano le direzioni di un poliedro?(Procedimento algebrico)
0,: xbxAxX (poliedro)
Considerato un qualunque punto x X: d è una direzione del poliedro se
0 )(
0 )(
)( )(
diii
dxii
bdxAi
da cui:
0 )(
0 )(
)( )(
diii
dxii
bdxAi
(i) poiché x X :
00)( dAdAbdAxAbdxA
00 )( ddxii
Quindi le direzioni d del poliedro X sono tutti e soli i vettori tali che:
0
0
0
d
d
dA Adesso vediamo un esempio poi vediamo come si
interpretano geometricamente
Esempio 1
0 ,2- ,0
82 ,2 ,23:
221
21212121
xxx
xxxxxx,xxX
L’insieme delle direzioni di X è dato dai vettori
0
0
2
1
d
dd
0 ,0 ,1
02 ,0 ,03:
2121
21212121
dddd
dddddd,ddD
3
13
2
'd
0
1''d
Esempio 2
1 0 2 62: 21212121 xxxxxx,xxX
L’insieme delle direzioni di X è dato dai vettori
0
0
2
1
d
dd
tali che considerato un generico punto
2
1
x
xx Xdx :
1
0
2
6)(2
22
11
2211
2211
dx
dx
dxdx
dxdx
1
0
2
6)(2
22
11
2211
2211
dx
dx
dxdx
dxdx
1
0
2)(
6)2(2
22
11
2121
2121
dx
dx
ddxx
ddxx
2
0
0
21
21
2
1
dd
dd
d
d
Da cui deriva:
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