Lezione n° 5: 17- 18 Marzo 2009 Definizione di Iperpiano. - Insiemi convessi.

- Politopi e poliedri.

- Punti estremi di un poliedro.

- Direzioni estreme di un poliedro.

Anno accademico 2008/2009

Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili

Lezioni di Ricerca OperativaCorso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata

Università di Salerno

Iperpiano: generalizzazione della retta

kxpxH T :

o equivalentemente

kxpxpxpxH nn ...: 2211

Il vettore p 0 è detto gradiente o normale dell’iperpiano, ed è la direzione di crescita dell’iperpiano

p è un vettore e k è uno scalare

Definizione:Un insieme geometrico H è un iperpiano se e solo se:

Iperpiano: in particolare

se due vettori hanno prodotto interno nullo allora

sono perpendicolari

sottraendo:

Considerando un punto x0 di H e la direzione p, l’iperpiano H è l’insieme dei vettori x tali che x-x0 è perpendicolare a p

Hx 0 kxpT 0

Hx kxpT

0)( 0 xxpT

Esempio in E2

kxpxpxxH 221121 :),(

0x

p

0x

x

Fissiamo un punto x0 H, e verifichiamo che un qualunque vettore x H è tale che: x-x0 è perpendicolare a p

H

Un iperpiano H divide lo spazio En cui appartiene in due semispazi

kxpxH T :

kxpxS T :1 kxpxS T :2

Direzione p

Iperpiano H

Esempio

90°

kxpxS T :1

kxpxS T :2

Insieme convesso

0,1 )1( yxz

Def: Un insieme X è convesso se e solo se dati due punti, x,y X ogni punto z generato come loro combinazione convessa:

è tale che z X

xy

z

xy

z

Alcuni insiemi convessi

bxAxX : Dim.Dobbiamo dimostrare che un qualunque punto y X può essere espresso come combinazione convessa di due altri punti di X

Consideriamo x, y X generici.

byAXy

bxAXx

Considero il punto z espresso come combinazione lineare di x ed y

yxz )1( Dobbiamo verificare che z appartiene ad X

Alcuni insiemi convessi:

yxz )1( Premoltiplico per la matrice A

yAxAzA )1(

bbbbbbzA )1(

Poiché x ed y appartengono ad X

1:, 22

2121 xxxxX

Verificare che

è un insieme convesso

bxAxX :

Un Iperpiano è un insieme convesso

L’intersezione di semispazi è un insieme convesso

Altri insiemi convessi

Un poliedro è l’intersezione di un numero finito di semispazi

Un poliedro X è un insieme convesso

poliedro chiuso e limitato

(Politopo)

poliedro illimitato

X Insieme convesso

Esempio: politopo

xy

z

X

Esempio: poliedro illimitato

Insieme convessox

y

z

X

Vertici di un poliedro

Vertici del Poliedro X o PUNTI ESTREMI

Definizione

Un punto di un poliedro X è un punto estremo se e

solo se non può essere espresso come combinazione

convessa STRETTA di altri punti di X.

Teorema (no dim.)

(Proprietà dei punti estremi di un poliedro)

Dato X poliedro chiuso non vuoto con punti estremi

ogni punto può essere espresso

come combinazione convessa dei punti estremi di X:

kiconxy i

k

ii

k

iii ,...,2,1 0 1

11

kxxx ,...,, 21 Xy

Esempio TeoremaVoglio esprimere y come combinazione convessa dei vertici del politopo

0,1 )1(2 zxy

0,1 )1( 45 xxzy

1x2x

3x

4x5x z

)1)(1()1( 452 xxxy

sostituisco:

Nota che :

0)1)(1( 0)1( 0 1.

2. 1 )1)(1()1)(1()1(

c.v.d.

la combinazione convessa di permette di

ottenere tutti i punti di X’X

1x

XX’

X

Quando un poliedro è illimitato?

In generale:

2x 3x

Bisogna considerare le sue direzioni estreme

1x

2x

3x

dx 0

Def. Un RAGGIO di vertice x0 e di direzione d è un

insieme di punti della forma:

Raggi e direzioni di un poliedro

0: 0 dxxR

x0

d

Raggi e direzioni di un poliedro

Definizione

Dato un poliedro X, il vettore d è una direzione di X se e solo

se per ogni punto x0 nell’insieme, il raggio

appartiene ad X

x X x d X 0.

0 ,0 dx

Xx0

d1

d2

d3

d1 NON è direzione

d2 è direzione

d3 NON è direzione

Come si calcolano le direzioni di un poliedro?(Procedimento algebrico)

0,: xbxAxX (poliedro)

Considerato un qualunque punto x X: d è una direzione del poliedro se

0 )(

0 )(

)( )(

diii

dxii

bdxAi

da cui:

0 )(

0 )(

)( )(

diii

dxii

bdxAi

(i) poiché x X :

00)( dAdAbdAxAbdxA

00 )( ddxii

Quindi le direzioni d del poliedro X sono tutti e soli i vettori tali che:

0

0

0

d

d

dA Adesso vediamo un esempio poi vediamo come si

interpretano geometricamente

Esempio 1

0 ,2- ,0

82 ,2 ,23:

221

21212121

xxx

xxxxxx,xxX

L’insieme delle direzioni di X è dato dai vettori

0

0

2

1

d

dd

0 ,0 ,1

02 ,0 ,03:

2121

21212121

dddd

dddddd,ddD

3

13

2

'd

0

1''d

Esempio 2

1 0 2 62: 21212121 xxxxxx,xxX

L’insieme delle direzioni di X è dato dai vettori

0

0

2

1

d

dd

tali che considerato un generico punto

2

1

x

xx Xdx :

1

0

2

6)(2

22

11

2211

2211

dx

dx

dxdx

dxdx

1

0

2

6)(2

22

11

2211

2211

dx

dx

dxdx

dxdx

1

0

2)(

6)2(2

22

11

2121

2121

dx

dx

ddxx

ddxx

2

0

0

21

21

2

1

dd

dd

d

d

Da cui deriva: