View
141
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Linear Programming ( Pemrograman Linier). Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012. Algoritma Simpleks dalam Notasi Matriks. LP Secara umum :. LP yang bersesuaian untuk Dakota. Tableau Optimal dari LP Dakota. Atau dalam bentuk lain:. Beberapa Notasi. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Linear Programming(Pemrograman Linier)Program Studi StatistikaSemester Ganjil 2011/2012
Algoritma Simpleks dalam Notasi Matriks
),...,2,1(0
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
... ..
...max
2211
22222121
11212111
2211
nix
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxats
xcxcxcz
i
mnmnmm
nn
nn
nn
LP Secara umum:
LP yang bersesuaian untuk Dakota
0,,,,,
8 5.05.12
20 5.124
48 68 ..
000203060max
321321
3321
2321
1321
321321
sssxxx
sxxx
sxxx
sxxxts
sssxxxz
Tableau Optimal dari LP Dakota
25.10.5 25.1
8 42 2
24 82 2
2801010 5
3221
3232
3212
322
ssxx
ssxx
sssx
ssxz
Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV
Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2
Atau dalam bentuk lain:
131 ,, xxsBV 322 ,, ssxNBV
Beberapa Notasi
131 ,, xxsBV 322 ,, ssxNBV
1
3
1
x
x
s
BVx
3
2
2
s
s
x
NBVx
Koefisien untuk BV pada struktur biaya di fungsi obyektif:
60200BVc
321321 000203060 sssxxxz
Koefisien untuk NBV pada struktur biaya di fungsi obyektif:
0003NBVc
Beberapa Notasi
Koefisien untuk BV pada kendala dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:
8 5.05.12
20 5.124
48 68
3321
2321
1321
sxxx
sxxx
sxxx 131 ,, xxsBV
1s3x1x
25.00
45.10
811
B
0
0
1
1sa
5.0
5.1
1
3a
2
4
8
1a
Beberapa Notasi
Koefisien untuk NBV pada kendala dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:
8 5.05.12
20 5.124
48 68
3321
2321
1321
sxxx
sxxx
sxxx 322 ,, ssxNBV
2x 2s 3s
105.1
012
006
N
5.1
2
6
2a
0
1
0
2sa
1
0
0
3sa
Beberapa Notasi
Koefisien untuk rhs pada kendala dapat dinyatakan dalam bentuk vektor:
8 5.05.12
20 5.124
48 68
3321
2321
1321
sxxx
sxxx
sxxx
8
20
48
b
LP Dakota dalam notasi matriks
3
2
2
1
3
1
003060200max
s
s
x
x
x
s
z
8
20
48
105.1
012
006
25.00
45.10
811
..
3
2
2
1
3
1
s
s
x
x
x
s
ts
0,,,,,
8 5.05.12
20 5.124
48 68 ..
000203060max
321321
3321
2321
1321
321321
sssxxx
sxxx
sxxx
sxxxts
sssxxxz
,0
1
3
1
x
x
s
0
3
2
2
s
s
x
1
3
1
x
x
s
BVx
3
2
2
s
s
x
NBVx
105.1
012
006
N
8
20
48
b
60200BVc 0003NBVc
25.00
45.10
811
B
0,
B ..
max
NBVBV
NBVBV
NBVNBVBVBV
ts
z
xx
bNxx
xcxc
Dengan Notasi Matriks dan vektor:
Penentuan solusi dalam notasi matriks
Solusi suatu sistem persamaan dalam notasi matriks adalah dengan perkalian invers matriks
bNxx NBVBVB
Kendala LP dalam notasi matriks:
Solusi diperoleh jika BV mempunyai bentuk kanonik.Matriks bagi BV dalam bentuk matriks identitas hasil perkalian dengan invers-nya.IBB-1
bNxx -1-1-1 BBBB NBVBV
Mengalikan setiap suku dengan invers dari B
bNxx -1-1 BB NBVBV
Penentuan solusi dalam notasi matriksUntuk LP Dakota:
25.00
45.10
811
B
5.15.00
420
8211B
Dengan mengalikan invers dari B pada kendala: bNxx -1-1 BB NBVBV
8
20
48
5.15.00
420
821
105.1
012
006
5.15.00
420
821
3
2
2
1
3
1
s
s
x
x
x
s
2
8
24
5.15.025.1
422
822
3
2
2
1
3
1
s
s
x
x
x
s
Penentuan Solusi dalam notasi Matriks: untuk Kendala
Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV
Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2
2
8
24
5.15.025.1
422
822
3
2
2
1
3
1
s
s
x
x
x
s
Kolom untuk peubah xj dalam kendala di tableau optimal:
ja-1B
Kolom untuk rhs dalam kendala di tableau optimal:b-1B
Perbandingan dengan Tableu Optimal
Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV
Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2
Misal: Kolom untuk peubah x2 dan dalam kendala di tableau optimal:
2-1B a
Kolom untuk peubah s2 dalam kendala di tableau optimal:
5.15.00
420
8211B
5.1
2
6
2a
25.1
2
2
B 21- a
2
-1B sa
5.15.00
420
8211B
0
1
0
2sa
5.0
2
2
B2
1-sa
Dengan cara sama untuk peubah yang lain
-2-2
1.25
22
-0.5
Perbandingan dengan Tableu Optimal
Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV
Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2
Kolom untuk rhs dalam kendala di tableau optimal:b-1B
5.15.00
420
8211B
8
20
48
b
2
8
24
B 1- b
Penentuan solusi dalam notasi matriks: untuk Baris Nol (fungsi obyektif
0 NBVNBVBVBVNBVNBVBVBV zz xcxcxcxc
bNxx NBVBVB
Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs
Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280
131 ,, xxsBV
Di dalam tableau optimal, koefisien BV harus sama dengan nol, koefisien NBV ≠ 0
=0
Dengan memanfaatkan persamaan pada kendala: lakukan ERO
Tambahkan kendala yang sudah dikalikan dengan matriks yang bersesuaian pada baris nol, untuk membuat jadi nol BV
Penentuan solusi dalam notasi matriks: untuk Baris Nol (fungsi obyektif
0 NBVNBVBVBVz xcxc
bNxBx NBVBV
(*) + (**)
Kalikan dengan:-1BBVc
bBcNxBcBxBc -1-1-1BVNBVBVBVBV bBcNxBcxc -1-1
BVNBVBVBVBV
(*)
(**)
_____________________________
0 1-1- bBcNxBcxc
xcxc
BVNBVBVBVBV
NBVNBVBVBVz
bBcxcNBc 11 BVNBVNBVBVz
Kendala:
Penentuan solusi dalam notasi matriks: untuk Baris Nol (fungsi obyektif
bBcxcNBc 11 BVNBVNBVBVz
Pada tableau optimal, koefisien NBV ≠ 0:
NBVBV cNBc 1
105.1
012
006
N
5.1
2
6
2a
0
1
0
2sa
1
0
0
3sa
Komponen dari matriks N (dan B) adalah vektor (kolom) koefisien setiap peubah NBV (dan BV) pada kendala: aj
Komponen dari vektor CNBV (dan CBV ) adalah koefisien fungsi obyektif setiap peubah NBV (dan BV): cj 0003NBVc
322 ss ccc
Contoh LP Dakota:
Penentuan solusi dalam notasi matriks: untuk Baris Nol (fungsi obyektif
Secara umum koefisien baris nol pada tableau optimal per komponen:
jjBVj cBc ac 1
RHS baris nol pada tableau optimal: bBc 1-BV
Contoh LP Dakota:
5.15.00
420
8211B
5.1
2
6
2a
0
1
0
2sa
1
0
0
3sa
10100BVc
221
2 cc BV aBc
101001 BcBV
30
5.1
2
6
10100
0030NBVc
53035
Koefisien untuk x2
Penentuan solusi dalam notasi matriks: untuk Baris Nol (fungsi obyektif
5.15.00
420
8211B
5.1
2
6
2a
0
1
0
2sa
1
0
0
3sa
10100BVc
222
1ssBVs cc aBc
101001 BcBV
0
0
1
0
10100
0030NBVc
10010
Koefisien untuk s2
333
1ssBVs cc aBc 0
1
0
0
10100
10010
Koefisien untuk s3
Koefisien rhs baris nol (z maks):
8
20
48
101001- bBcBV 280802000
Ringkasan solusi optimal dalam notasi matriks
Kolom untuk peubah xj dalam kendala di tableau optimal:
ja-1B
Kolom untuk rhs dalam kendala di tableau optimal:b-1B
Koefisien baris nol pada tableau optimal per komponen:
jjBVj cBc ac 1
RHS baris nol pada tableau optimal: bBc 1-BV
Contoh LP dan solusinya dengan notasi Matriks
0,
82
62 ..
4max
21
21
21
21
xx
xx
xxts
xxz
Diketahui solusi optimal mempunyai: 22 , sxBV
Tentukan tableau optimal dengan menggunakan metode matriks!Bentuk standar LP:
0,,,
8 2
6 2 ..
4max
2121
221
121
21
ssxx
sxx
sxxts
xxz
22 , sxBV
0,,,
8 2
6 2 ..
4max
2121
221
121
21
ssxx
sxx
sxxts
xxz
Tentukan matriks/vektor yang diperlukan:
B
11
02b
8
6 04BVc
Kolom untuk peubah x1 dalam kendala di tableau optimal:
1-1B a
1
0
21
21
1B
2
1
1
0
21
21
23
21
Di dalam tableau optimal, peubah BV pasti mempunyai bentuk kanonik, tinggal menentukan kolom untuk peubah NBV
11, sxNBV
01NBVc
Kolom untuk peubah s1 dalam kendala di tableau optimal:
1
-1B sa
0
1
1
0
21
21
21
21
Tableau Optimal z x1 x2 s1 s2 rhs
Baris 0
Baris 1
Baris 2
1/2
3/2
1/2
-1/2
Kolom untuk peubah BV dalam kendala di tableau optimal: Bentuk kanonik
22 , sxBV
Kolom untuk peubah x2 :
0
1
Cross cek dengan rumus:2
-1B a
1
2
1
0
21
21
0
1
Kolom untuk peubah s2 :
1
0
2
-1B sa
1
0
1
0
21
21
1
0
Tableau Optimal z x1 x2 s1 s2 rhs
Baris 0
Baris 1
Baris 2
1/2
3/2
1/2
-1/2
1
0
0
1
Kolom untuk rhs pada tableau optimal:
b-1B
8
6
1
0
21
21
5
3
-1BBVc
1
004
21
21
02
Tableau Optimal z x1 x2 s1 s2 rhs
Baris 0
Baris 1
Baris 2
1/2
3/2
1/2
-1/2
1
0
0
1
3
5
Komponen baris nol untuk BV pada tableau optimal selalu sama dengan nol. 22 , sxBV
0 0
Komponen baris nol untuk NBV pada tableau optimal memerlukan hasil perkalian:
11-1
1 B cc BV ac
Tableau Optimal z x1 x2 s1 s2 rhs
Baris 0
Baris 1
Baris 2
1/2
3/2
1/2
-1/2
1
0
0
1
3
5
0 0
Komponen baris nol untuk NBV pada tableau optimal:
02B-1 BVc
11, sxNBV 01NBVc
12
102
112
111
-1B ssBVs cc ac 00
102
202
1 2
bc -1BBV
Tableau Optimal z x1 x2 s1 s2 rhs
Baris 0
Baris 1
Baris 2
1/2
3/2
1/2
-1/2
1
0
0
1
3
5
0 0
Komponen baris nol untuk rhs pada tableau optimal:
8
602 12
1 2
8
6b
12
Lengkapi kolom z
1
0
0
Solusi optimal: (max)12,5,0,3,0 2121 zssxx
BV
z=12
x2=3
s2=5
Recommended