View
32
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
M A T E M A T I K A1
FON, 2008
1
Dragan �ori�, Rade Lazovi�
13.10.2008.
2
VEKTORSKI PROSTORI I SISTEMI
• VEKTORSKI PROSTORI
• SISTEMI LINEARNIH JEDNAQINA
• ISPITNA PITA�A
3
VEKTORSKI PROSTORI
• Definicija vektorskog prostora
• Linearna zavisnost i nezavisnost vektora
• Baza i dimenzija vektorskog prostora
4
1 Definicija vektorskog prostora
Neka je V neprazan skup, neka je K poe i neka su + : V 2 → V i
· : K × V → V binarne operacije.
Definicija 1 Algebarska struktura (V,K,+, ·) je vektorski ililinearni prostor ako je:
1. (V,+) Abelova grupa,
2. α · (x+ y) = αx+ αy,
3. (α+ β) · x = α · x+ β · x,
4. (αβ) · x = α · (β · x),
5. 1 · x = x,
za sve x, y ∈ V i sve α, β ∈ K. Elementi skupa V su vektori, aelementi skupa K su skalari.
5
Ako je K = R, vektorski prostor je realan, a ako je K = C,vektorski prostor je kompleksan.
Qesto se vektorski prostor oznaqava samo sa V , a α · x sa αx.
6
Primeri
1. V = C, K = R, a + i · su standardne operacije u C,
2. V = Rn, K = R, a + i · su definisani sa:
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . .yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn),
α(x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn),
3. V = P≤n (skup svih polinoma stepena ne ve�eg od n), K = R,
a + i · su sabira�e polinoma i mno�e�e polinoma brojem,
4. V = RR (skup svih funkcija f : R→ R), K = R, a + i · sudate sa:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf(x),
5. V = C[a, b] (skup svih neprekidnih funkcija na [a, b]), K = R,
a + i · kao u prethodnom primeru.
7
Pomo�u datih vektora iz V mo�e da se generixe novi vektor.
Definicija 2 Linearna kombinacija vektora x1, . . . , xn iz V jevektor x dat sa
x = α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn,
gde su α1, . . . , αn skalari iz K.
Definicija 3 Ako je X = {x1, . . . , xn}, skup svih linearnihkombinacija vektora x1, . . . , xn je linearni omotaq ili lineal nadX i oznaqava se sa L(X).
Dakle,
L(X) = {α1x1 + · · ·+ αnxn | α1, . . . , αn ∈ K}.
8
2 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora
Definicija 4 Vektori x1, . . . , xn vektorskog prostora V sulinearno zavisni ako postoje skalari α1, . . . , αn iz K, od kojih jebar jedan razliqit od nule i za koje va�i
α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn = 0.
U protivnom, vektori x1, . . . , xn su linearno nezavisni.
Drugim reqima, vektori x1, . . . , xn su linearno nezavisni ako iz
navedene jednakosti sledi da je α1 = · · · = αn = 0.
Oqigledno je da su vektori od kojih je jedan nula vektor
linearno zavisni. Ako su x1, . . . , xn linearno zavisni, onda su i
x1, . . . , xn, x linearno zavisni.
9
Teorema 1 Vektori x1, . . . , xn su linearno zavisni ako i samo akoje jedan od njih linearna kombinacija ostalih.
Dokaz. Ako su vektori zavisni, tada u �ihovoj linearnoj
kombinaciji je bar jedan skalar razliqit od nule. Vektor uz
taj skalar je linearna kombinacija ostalih.
Obrnuto, ako je jedan od �ih linearna kombinacija ostalih,
onda je linearna kombinacija svih jednaka nuli, a jedan skalar
je jednak 1. �
Definicija 5 Beskonaqno mnogo vektora su linearno nezavisniako je svaki njihov konaqan podskup linearno nezavisan. Uprotivnom, vektori su linearno zavisni.
10
3 Baza i dimenzija vektorskog prostora
Definicija 6 Skup linearno nezavisnih vektora je bazavektorskog prostora ako je L(B) = V .
Primeri
1. Jedna baza prostora Rn je:
{(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}.
2. Jedna baza prostora P≤n(t) je:
{1, t, t2, . . . , tn}.
11
Teorema 2 Svaki vektor vektorskog prostora mo�e se najedinstven naqin izraziti kao linearna kombinacija vektorabaze.
Dokaz. Neka je x ∈ V i neka je B = {x1, . . . .xn} baza. Kako je
L(B) = V , to je x ∈ L(B). Ako pretpostavimo da je
x = α1x1 + · · ·+ αnxn = β1x1 + · · ·+ βnxn,
tada je
(α1 − β1)x1 + · · ·( αn − βn)xn = 0,
pa zbog nezavisnosti vektora baze sledi
α1 − β1 = α2 − β2 = · · · = αn − βn = 0,
odnosno α1 = β1, α2 = β2, . . . , αn = βn. �
12
Vektorski prostor ima vixe baza, ali su sve iste
kardinalnosti.
Ako baza ima konaqan broj vektora, prostor je
konaqno-dimenzionalan.
Teorema 3 Sve baze konaqno-dimenzionalnog vektorskog prostoraimaju jednak broj vektora.
13
Definicija 7 Broj elemenata baze konaqno-dimenzionalnogvektorskog prostora V 6= {0} je dimenzija tog prostora ioznaqava se sa dimV . Za V = {0} je dimV = 0.
Primeri
1. dimRn = n,
2. dimP≤n = n+ 1.
Svaki linearno nezavisan skup vektora vektorskog prostora je
ili baza ili deo neke baze.
14
Neka je V vektorski prostor dimenzije n i neka je
B = {x1, . . . , xn} jedna baza tog prostora.
Definicija 8 Ako je za
x = α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn
za x ∈ V , skalari α1, α2, . . . , αn su koordinate vektora x u bazi B.
Koordinate svakog vektora u datoj bazi su jedinstvene.
15
SISTEMI LINEARNIH JEDNAQINA
• Pojam sistema linearnih jednaqina
• Kramerovo pravilo
16
4 POJAM SISTEMA LINEARNIHJEDNAQINA
4.1 Definicija sistema i rexenja
Neka je K dato poe i neka aij, bi ∈ K za i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n.
Definicija 9 Sistem S oblika
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...
... =...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
17
je sistem linearnih jednaqina nad poljem K sa nepoznatimx1, x2, . . . , xn, koeficijentima aij i slobodnim qlanovima bi. Ako jeb1 = b2 = · · · = bn = 0 sistem je homogen, a u protivnom jenehomogen. Sistem S je kvadratni za m = n, a pravougaoni zam 6= n.
Kra�i zapis sistema je
n∑
j=1
aijxj = bi, i = 1, 2, . . . ,m.
18
Definicija 10 Ure�ena n-torka (α1, α2, . . . , αn) ∈ Kn je rexenjesistema S ako zamenom u sistemu xk sa αk za k = 1, . . . , n dobijamom taqnih jednakosti. Sistem je rexiv (saglasan,neprotivureqan, mogu�) ako ima bar jedno rexenje, a u protivnomje nerexiv (nesaglasan, protivureqan, nemogu�, kontradiktoran).Ako sistem ima samo jedno rexenje, onda je odre�en, a ako imavixe rexenja, onda je neodre�en.
U daem je K = R. Skup svih rexe�a sistema S oznaqavamo sa
RS.
Definicija 11 Sistemi S1 i S2 su ekvivalentni ako imaju isteskupove rexenja, odnosno ako je RS1 = RS2.
19
Definicija 12 Ekvivalentne transformacije sistema su:
1. zamena mesta jednaqinama,
2. ’mno�enje’ jednaqine brojem koji nije nula,
3. ’dodavanje’ jedne jednaqine drugoj jednaqini.
Teorema 4 Ekvivalentne transformacije ne menjaju skup rexenjasistema.
20
4.2 Matriqni zapis sistema
Ako je A = (aij)m×n, B vektor slobodnih qlanova i X vektor
nepoznatih, sistem mo�e da se zapixe u obliku
AX = B,
odnosno
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
am1 am2 · · · amn
x1
x2...
xn
=
b1
b2...
bm
.
Matrica A je matrica sistema S, a matrica A = (A|B) je
proxirena matrica sistema.
21
Ako kolone matrice A oznaqima sa A1, . . . , An, sistem mo�e da se
zapixe i u obliku
(
A1 A2 · · · An
)
x1
x2...
xn
=
b1
b2...
bm
,
odnosno
x1A1 + x2A2 + · · ·xnAn = B.
Ako je A regularna matrica, rexe�e sistema je odre�eno
vektorom X = A−1 ·B (rexe�e matriqne jednaqine).
22
Primeri
1. Za sistem
ax+ by = α, cx+ dy = β
imamo matriqni zapis AX = B, gde je
A =
a b
c d
, B =
α
β
, X =
x
y
.
Ako je ad 6= bc, matrica A je regularna, pa je
X =1
ad− bc
d −b
−c a
α
β
=1
ad− bc
αd− βb
−αc+ βa
,
23
odnosno
x =αd− βbad− bc
, y =βa− αcad− bc
.
24
2. Ako je sistem AX = B dat sa
A =
2 1 −1
1 3 −2
3 −3 1
, B =
2
−3
9
,
tada je
|A| = 2, A−1 =1
2
−1 1 1
−7 5 3
−11 7 5
,
pa je
X = A−1B =1
2
−1 1 1
−7 5 3
−11 7 5
2
−3
9
=
2
−1
1
.
25
5 KRAMEROVO PRAVILO
5.1 Kramerove formule
Neka je AX = B dati kvadratni sistem sa regularnom matricom
A i neka je |A| = D.
Iz jednakosti
X = A−1B =adjA
|A|·B =
1
D
A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2...
.... . .
...
A1n A2n · · · Ann
·
b1
b2...
bn
26
sledi da je
xk =1
D
n∑
i=1
biAik
za k = 1, . . . , n. Ako je Dk determinanta koja se dobija od
determinante D tako xto se k-ta kolona zameni vektorom B,
tada je∑n
i=1 biAik razvoj te determinante po k-toj koloni. Prema
tome, va�i slede�e tvr�e�e.
Teorema 5 Ako je matrica sistema regularna, sistem imajedinstveno rexenje dato sa
xk =Dk
D, k = 1, 2, . . . , n.
Ove formule su poznate kao Kramerove formule.
27
Primer
Za sistem
x+ y + 2z = 4, x+ 2y + z = 2, 2z + y + z = 1
imamo
D =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 2
1 2 1
2 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −4, D1 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
4 1 2
2 2 1
1 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 3,
D2 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 4 2
1 2 1
2 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −1, D3 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 4
1 2 2
2 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −9,
pa je
x =D1
D= −3
4, y =
D2
D=
1
4, z =
D3
D=
9
4.
28
5.2 Diskusija rexenja sistema
Na osnovu Kramerovih formula sledi da:
1. sistem ima jedinstveno rexe�e ako je D 6= 0,
2. sistem je nemogu� ako je D = 0 i Dk 6= 0 za neko
k ∈ {1, 2, . . . , n},
3. nema direktnog odgovora o rexivosti sistema ako je D = 0 i
Dk = 0 za svako k ∈ {1, 2, . . . , n}, ve� treba razmatrati
subdeterminante i za D i za Dk,
Specijalno, homogen sistem za D 6= 0 ima samo trivijalno
rexe�e.
29
Primeri
1. Za sistem
x+ y + az = a2, x+ ay + z = a, ax+ y + z = 1
imamo da je
D = −(a+ 2)(a− 1)2, D1 = (a+ 1)(a− 1)2,
D2 = −(a− 1)2, D3 = −(a− 1)2(a+ 1)2.
Prema tome,
- ako a 6∈ {−2, 1} sistem ima jedinstveno rexe�e
x = −a+ 1
a+ 2, y =
1
a+ 2, z =
(a+ 1)2
a+ 2,
30
- ako je a = −2, sistem nije saglasan jer je D2 6= 0,
- akoje a = 1 nema direktnog odgovora jer je
D = D1 = D2 = D3 = 0. Me�utim, sistem je tada
ekvivalentan jednaqini x+ y + z = 1, pa ima beskonaqno
mnogo rexe�a.
31
2. Homogen sistem
x+ y + 2z = 0, x+ 2y + z = 0, 2z + y + z = 0
ima samo trivijalno rexe�a (0, 0, 0) jer je D = −4 6= 0.
32
ISPITNA PITA�A
1. Vektorski prostor.
2. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora.
3. Baza i dimenzija vektorskog prostora.
4. Kramerova teorema
33
Recommended