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I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
Advanced Quantum Theory. Roman P. Addison-Wesley, 1965 ISBN 0201064952
S SF
Es una función entre dos espacios vectoriales y S S
Dados
: y :
definimos la suma
:
como
f S S g S S
f g S S
f g x f x g x
Dados
: y cualquier escalar
Definimos la multiplicación por un escalar
:
como
f S S r
rf S S
rf x rf x
Dados dos espacios vectoriales, y ,
el conjunto de todos los mapeos de en ,
con las operaciones de suma y
de multiplicación por un escalar definidas antes,
es un espacio vectorial.
S S
S S
:
El mapeo es inyectivo si para todos
, ,
con ,
se tiene
f S S
f
x y S
x y
f x f y
:
El mapeo es suryectivo si
la imagen o rango
de es todo
f S S
f
f S
:
El mapeo es un isomorfismo
si es inyectivo y suryectivo
Es decir, un isomorfismo es un
mapeo uno a uno.
f S S
f
:
para todo
El mapeo identidad es
inyectivo y suryectivo
s
I S S
I x x
:
:
Se define la composición como el mapeo
:
tal que
para todo
F U V
G V W
G F U W
G F t G F t
t U
U V WF G
U V WF G
U WG F
:
tiene un inverso si existe un mapeo
:
tal que
y s s
F S S
F
G S S
G F I F G I
:
tiene un inverso si y sólo si
es inyectivo
y
es suryectivo
F S S
F
La operación de composición enriquece
la estructura del espacio vectorial de
mapeos y se vuelve un álge
Otro ejemplo: El espacio vectorial de
matrices , con la multiplicación de
matrices
bra asociat
,
iva.
n n es un álgebra asociativa
Sean y espacios vectoriales sobre un campo .
: un mapeo de en .
Un mapeo es lineal si:
Para cualesquiera elementos y en
y cualesquiera y en , se tiene
Tambié
V W K
F V W V W
u v V
r s K
F ru sv rF u sF v
n se les llama HOMOMORFISMOS
Because abstract algebra studies sets
endowed with operations that generate
interesting structure or properties on the set,
functions which preserve the operations are
especially important. These functions are
known as .homomorphisms
Dados dos espacios vectorias, y ,
el conjunto de funciones lineales de en
es un espacio vectorial.
Normalmente se le denota ( ; ).
Es un subespacio vectorial del conjunto de
todos los mapeos de
V W
V W
V W
V
L
en .W
El que murió atropellado por una carroza fue Pierre Curie, no Poincaré.MIL DISCULPAS
Transformacioneslineales
Matrices
Transformacioneslineales
Matrices
:
.
n mA
A
n
L
L X AX
X
Definimos el mapeo
mediante la regla
para todo
C C
C
Toda matriz tiene asociada un mapeo lineal
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
. matriz
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
m n
a a a
A
:
.
n mA
A
n
L
L X AX
X
Definimos el mapeo
mediante la regla
para todo
C C
C
A
A A
L rX sY
A rX sY rA X sA Y
rL X sL Y
Evidentemente el mapeo asociado
con una matriz es lineal, ya que
:
.
n mA
A
n
L
L X AX
X
Definimos el mapeo
mediante la regla
para todo
C C
C
2 2:
1 2 2
1 1
T
x x y
y x y
R R
2 2:
1 2 2
1 1
T
x x y
y x y
R R
1 2 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 2 1 1 1 1
1 1 0 1 0 1
1 2 0 2 1 2
1 1 1 1 0 1
1 2 1 3 1
1 1 1 2 1
3
2
2 2:
cos sin cos sin
sin cos sin cos
T
x x y
y x y
R R
2 2:
cos sin cos sin
sin cos sin cos
T R R
x x y
y x y
2 2:
3 13 / 2 1/ 2 2 2
1/ 2 3 / 2 1 3
2 2
1/ 23 / 2 1/ 2 1 3 / 2 1/ 2 03 / 2ˆ ˆ;0 11/ 2 3 / 21/ 2 3 / 2 1/ 2 3 / 2
T R R
x yx
yx y
Ti Tj
2 2:
3 13 / 2 1/ 2 2 2
1/ 2 3 / 2 1 3
2 2
T R R
x yx
yx y
30 grados
Transformacioneslineales
Matrices
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V W
L
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a es:
donde
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V W
L
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a es:
donde
ALas columnas de la matriz , son los
transformados de los vectores de la base.
2 2
2
2
2
:
, 2 ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
Este mapeo es lineal
F
F x y x y x y
R R
R
R
R
2 2: , 2 ,
1,0 2,1 0,1 1,1
2 1
1 1
F F x y x y x y
F F
A
R R
ij
LX AX
A a
Si definimos la matriz
vemos que
ALas columnas de la matriz , son los
transformados de los vectores de la base.
2: , 2 3
1)
L L x y x y
Sea
¿Es un mapeo lineal?
R R
2
21 1 1 2 2 2
: , 2 3
1)
, , ,
, ).
L L x y x y
v x y v x y
r s K
R R
R
Sea
¿Es un mapeo lineal?
Bueno, es obvio que sí, pero demostremoslo.
Sea dos vectores en
y dos escalares (es decir, elementos de
Por
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
,
2 3
2 3 2 3 , ,
L rv sv L rx sx ry sy
rx sx ry sy
r x y s x y rL x y sL x y
rL v sL v
la definición
2: , 2 3
2)
ˆ ˆ2 1 3 0 2 2 0 3 1 3
. 2, 3 2 3
L L x y x y
L i L j
a
xL v a v x y
y
R R
Sea
¿Cuál es la matriz asociada a este mapeo?
Así que el vector es (2,-3).
Es obvio que
3 21 2 3 1 2
11
22
3
: , , ,
1 0 0
0 1 0
1,0,0 1,0 0,1,0 0,1 0,0,1 0,0
En este caso a simple vista se encuentra la matriz
asociada,
Pero ...
Ahora la matriz es
F R R F x x x x x
xx
A xx
x
F F F
A F
1 0 01,0,0 0,1,0 0,0,1
0 1 0F F
:T V V
T V
lineal de dimensión finita
• Se llaman propiedades intrínsecas a las que no
dependen del sistema de coordenadas.
• Si la matriz asociada a la transformación lineal es
diagonal, muchas de estas propiedades pueden ser
descubiertas fácilmente.
2 2:
2 0
0 3
2 0 2
0 3 3
T R R
T A
x xAx
y y
2 2
1 2
2 0:
0 3
2 0 1 2 1 2 0 0 0 0ˆ ˆ2 3
0 3 0 0 0 0 3 1 3 1
T R R T A
Ae Ae
X
Y
Estira el eje en 2
Estira el eje en 3
2 2
2 2
2 2
2 0:
0 3
1
2 3
/ 2 , /3
14 9
T R R T A
x y
u x v y
x u y v
u v
¿Qué le hace a un círculo de radio 1?
Haciendo el cambio de variable
y
tenemos
T
1
.
,...,
Sea una transformación lineal de en , con
un espacio vectorial de dimensión finita
Si tiene una representación matricial diagonal,
entonces existe un conjunto de elemen-
tos independn
T V V
V n
T
u u
,...,
1,2,3,...,
1
ientes en y correspondientemente
un conjunto de escalares, tales que
para
n
k k k
V
T u u k n
11 22
1
: , ,...,
(dim )
,...,
,...,
1,...,
nn
n
n
k k k
T V V A diag a a a
V n
u u V
Tu u k n
1
lineal con
Entonces siempre existen
linealmente independientes
escalares
tales que
para
1 2
11
22
ˆ ˆ ˆ, ,...,
0 ... 0 0 0 0
0 ... 0 . . .
. . . .
. 1 1
. . . .
0 0 ... 0 0 0
n
iiii
nn
e e e
A
a
a
aa
a
Sea la base respecto a la
cual la matriz es diagonal
ˆ ˆi ii iAe a e
11 22, ,...,ij nnA a A diag a a a
1
.
,...,
,...,1
Sea una transformación lineal de en , con
un espacio vectorial de dimensión finita
Si existe un conjunto de elemen-
tos independientes en y correspondientemente
un conjunto
n
n
T V V
V n
u u
V
1 2
1
1,2,3,...,
, ,...,
,..., .
de escalares, tales que
para
entonces la matriz diagonal
es una representación de relativa a la base
k k k
n
n
T u u k n
A diag
T
u u
1
1
,.
,...,
..,
,...,
1,...,
n
n
k k k
n
u u V
Tu u k n
T
u u
1
la matriz asocia
Si existen
linealmente independientes
escal
da a es diagonal en la base
formada por l
ares
tales que
para
entonc
os vectores
es
: (dim )T V V V n lineal
k
k
u
Se dice que los vectores son los
y los escalares son los .
También se les llama eigenvectores y eigenvalores
respectivamente.
También se
vectores propios
valores
les llama vectores y va
pr
lo
opios
res caracterís-
ticos
1,2,3,...,para k k kT u u k n
Por lo tanto, el problema de diagonalizar
una matriz se transformó ahora en el
problema de encontrar los vectores y
valores propios de la transformación,
es decir de una matriz.
:
,
Sea un espacio vectorial
Sea un subespacio vectorial de .
Sea una transformación lineal.
Un escalar es un valor propio, si hay
un elemento no nulo en tal que
El elemento se llama v
V
S V
T S V
x S
T x x
x
.
ector propio de
perteneciente a .
El escalar es llamado vector propio
correspondiente a
T
x
0
,
T x x
Aunque el cumple con la ecuación
para todo no se le considera vector propio.
Hay solo un valor propio
para cada vector propio.
0, ,
T x x T x x
x x x
Si
con entonces y por tanto, = .
, : , ,
: , ,
C a b f a b R f a b
D C a b C a b D f f
f
infinitamente diferenciable en
¿Es lineal esta transformación?
Los vectores propios de este operador son todas las
funciones no nulas, que satisfacen la ecuación
exp
f
D
f x c x
Es decir, las funciones propias de , son todas
las funciones de la forma
22
22
d xE x
m dx
0x x a
( 0) 0 ( ) 0x x a
22
22
d xE x
m dx
( 0) 0 ( ) 0x x a
2 22
2 2
2sin
1,2,3,...
n
nE nma
nx x
a a
n
22
2
H E
V Em
1 2
:
, ,...,
,..., ,k
k
V
S V
T S V
u u u T
1
Sea un espacio vectorial.
Sea un subespacio vectorial de .
Sea una transformación lineal.
Sean vectores propios de ,
con valores propios diferentes
entonces los vectores 1 2, ,..., ku u u son
linealmente independientes.
1 2
2
, ,...,
, ,...,k
k
T
u u u
1
El inverso del teorema anterior no es válido.
Si tiene vectores propios independientes
, entonces los valores propios
correspondientes no son necesa-
riamente distintos.
0
I
I x x x
Por ejemplo, para la transformación identidad ,
, todo vector es un vector propio,
pero solo hay un valor propio, el 1.
1 2
2
, ,...,
, ,...,k
k
T
u u u
1
El inverso del teorema anterior no es válido.
Si tiene vectores propios independientes
, entonces los valores propios
correspondientes no son necesa-
riamente distintos.
dim
:
V n
T V V
n
Si ,
toda transformación lineal
tiene como máximo
distintos valores propios.
T n
V T
Si tiene exactamente distintos valores propios,
los vectores propios correspondientes forman una
base de y la matriz de relativa a esta base es
una matriz diagonal con los valores propios como
elementos diagonales.
dim :V n T V V
n
Si , toda transformación lineal
tiene como máximo distintos valores propios.
nLa existencia de
es una condición suficiente,
pero no necesaria
para tener una represent
valor
ación
es prop
diag
ios
onal.
n valores propios
Hay transformaciones lineales con menos
de diferentes cuya
representación es diagonal.
nLa existencia de valores propios es una
condición suficiente, pero no necesaria
para tener una representación diagonal.
La existencia de
linealmente independientes es una
condición necesaria y suficiente para
que la transformación lineal tenga
una representación ma
v
t
ectores
ricial d
p
iagonal.
ropiosn
T
: (dim )
0
,
0
0
0
0
lineal
con
Queremos encontrar entonces los valores tales
que la ecuación tenga solución
O sea,
con
T V V V n
Tx x x
Tx x x
Tx x
I T
Tx Ix
x
Ix Tx
x
: (dim ); 0
,
0
lineal, con
Si es la matriz asociada a la transformación
entonces la ecuación
tiene una solución diferente de cero, si y sólo
si, la matriz es singular, es deci
T V V V n Tx x x
A
I
T
x
I A
A x
r, no tiene
inversa, es decir, su determinante es igual a cero
: (dim )
0
det 0
.
lineal,
con
Si es un valor propio de , entonces satisface
la ecuación
Inversamente, si satisface esta ecuación,
entonces es un valor propio de
T V V V n T A
Tx x x
T
I A
T
det
0
det 1 det
matriz la matriz identidad
Definimos la función
Entonces
a) es un polinomio de grado en
b) El término de mayor grado es
c) El término constante, , es
es lla
n
n
A n n I n n
f I A
f n
f
A A
f
mado el polinomio característico de A
dim
:
,
.
V R
V n
T V V T A
T
A
R
espacio vectorial sobre
lineal, y
Los de son las raices del
polinomios característico de la matriz , q
valores
ue
caen e
propi
n
os
dim
:
,
.
V R
V n
T V V T A
T
A
espacio vectorial sobre
lineal, y
Los valores propios de son también
los valores propios de la matriz
Lo mismo se dice de los vectores propios.
Son matrices que representan
la misma transformación, pero
respecto a diferentes bases
y por ello parecen diferentes
Si usamos bases diferentes
para y para , tenemos
representaciones diferentes
de la misma transformación,
es decir, matrices diferentes.
V W
1
.Sean y dos matrices
Si existe una matriz no singular que
las relaciona de la siguiente manera
entonces y representan la misma
transformación lineal
A B n n
C
B C AC
A B
1
.Sean y dos matrices
Si existe una matriz no singular que
las re
SIMILARE
laciona de la siguiente manera
entonces se dice que son
S
A B n n
C
B C AC
n nDos matrices son similares
si y sólo si
representan la misma
transformación lineal
Las matrices similares tienen•El mismo determinante•La misma traza•Los mismo valores propios•El mismo polinomio característico•El mismo polinomio minimal•El mismo rango
:
,
,
E
T V E E
T
x
T x x
x x
Sea un espacio euclidiano
lineal
Si es un valor propio y
es el vector propio correspondiente,
se tiene
, ,
, ,
, ,
T x x x T x
x x x x
T x x x T x
x
es real, si y sólo si,
para todo
Esto se cumple trivialmente en un espacio
euclidiano real
, ,
, ,
, ,
es puramente imaginario, si y sólo si,
para todo
T x x x T x
x x x x
T x x x T x
x
:
, , ,
Sea un espacio euclidiano
lineal
Si para todo
la transformación es hermitiana
E
T V E E
T
T x y x T y x y V
T
1 12 2
2 1 2
1 1 1
2 1 2 2
:
1 0
1 1
x xT R R
x x x
x x x
x x x x
T
T
¿Es una transformación lineal?
Sí.
1 11 1 1 2 2 2
1 2 2
1 11 1 2 1 2 2
2 1 2
,
,
, ,
x yT x y x y x y x y
x x y
x yx T y x y x y x y
x y y
T x y x T y
Claramente
1 12 2
2 1 2
:x x
T R Rx x x
T
1 2 1
2 1 2
0
0
x ix xi
x ix xiS
¿Es lineal?
Sí.
1 22 2
2 1
:x ix
Sx ix
S
C C
2 12 1 1 2
1 2
1 21 2 2 1
2 1
,
,
, ,
ix yS x y ix y ix y
ix y
x iyx S y ix y ix y
x iy
S x y x S y
Claramente
1 22 2
2 1
:x ix
Sx ix
S
C C
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