View
100
Download
18
Category
Preview:
DESCRIPTION
Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd. Mohon dikerjakan. Kura-kura menempuh jarak 1 km dalam 2 jam, Berapakah jarak yang ditempuh bila 8 jam? Manakah hubungan proporsional untuk mengerjakan situasi ini? Mengapa? Jelaskan!. Kuantitas. Berpikir Aljabar & Geometrik. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa
oleh:DR. FAHINU, M.Pd
Mohon dikerjakan
Kura-kura menempuh jarak 1 km dalam 2 jam, Berapakah jarak yang ditempuh bila 8 jam?Manakah hubungan proporsional untuk mengerjakan situasi ini? Mengapa? Jelaskan!
1
2 8
x
8
1 2
x
1 2
8x
2 8
1 x
2 1
8 x
8 2
1x
NumerasiNumerasi
KuantitasKuantitas
Dasar 10Dasar 10
KesamaanKesamaanBentuk Bentuk BilanganBilangan
Proportional Proportional
ReasoningReasoning
Berpikir Aljabar &
Geometrik
Komponen Number Sense
Bahasa
Proportional Reasoning
Penalaran proporsional adalah meliputi hubungan matematis antara dua kuantitas.
Penalaran proporsional merupakan aktivitas mental dalam mengkordinasikan dua kuantitas yang berkaitan dengan relasi perubahannya.
.
Idea Kunci pada Penalaran Proporsional
• Rasio merupakan perbandingan dari dua kuantitas/ukuran(pecahan, persentase, peluang, kecepatan, , dll).
• Proporsi merupakan pernyataan kesetaraan antara dua rasio.
Masalah rasio dan proporsi
Gunakan pemahaman bahwa hubungan perkalian adalah sama untuk setiap rasio dalam proporsi dalam mencari nilai yang tidak diketahui berikut.
x2 :10 4 : x 5 = 102 so 4 x 5 = 20
Masalah rasio dan proporsi
Hubungan perkalian antara dua rasio dalam proporsi.
2:10 = 4 : xJika kita mengalikan kedua bilangan dalam rasio 2:10 oleh 2, kita menemukan nilai dalam rasio kedua.
2 4 x =
2 202
10
Mengapa kita mempelajari penalaran proporsional?
Penalaran proporsional: • Dasar matematika tingkat tinggi• Tidak selalu dikerjakan dengan
representasi simbolik• Menyelesaikan masalah rasio dan
proporsi dalam kehidupan sehari-hari.• Mempunyai empat level strategi peny:
• 0 (gunakan strategi penjumlahan, solution diperoleh karena keberuntungan)
• 1 (gunakan gambar, model, manipulasi)• 2 (gunakan strategi level 1 and strategi
perkalian/pembagian )• 3 (gunakan perkalian silang atau kesamaan
rasio)
Karakteristik Pemikir Proporsional (Lamon,1999)• Memiliki pemahaman ttg kovariasi: memahami
hubungan dua kuantitas yang mempunyai variasi bersama dan dapat melihat kesesuaian antara dua variasi berbeda.
• Mengenali hubungan proporsional dan non-proporsional dalam dunia nyata.
• Mengembangkan banyak strategi untuk menyelesaikan masalah proporsi.
• Memahami rasio sebagai entitas tersendiri yang menyatakan hubungan antar kuantitas.
Bagaimana penalaran proporsional siswa dan
Level Strateginya?
Malasah (Perbandingan senilai):
• Siswa kelas IV membutuhkan 5 helai daun setiap hari untuk memberi makan 2 ekor ulat. Berapa helai daun untuk memberi makan 12 ulat?
Solusi (Level 0)
Solusi (Level 1)
x 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30? 36
7
Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 lembar daun
Solusi (Level 2):
5/x = 2/125/x = 1/6 =5/30X = 30
Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 helai daun.
Biasanya kesulitan karena tidak mendapat kan pecahan senilai sehingga menggunakan diagram
Solusi (Level 3):
5/x = 2/125.12 = 2.x60 = 2xX = 60/2 = 30
Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 helai daun.
Masalah (Kesebangunan):
Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide berturut-turut adalah 36 mm dan 24 mm. Jika lebar pada layar 2,16 m, tentukan tinggi pada layar.
Solusi (level 0), salah/tidak dapat mengerjakannya karena mereka menekankan pada penjumlahan
Solusi (Level 1), kesulitan membuat gambar/tabel karena harus membuat 36 kali kolom
…
96
72
48
24/36 72 106 142 …
Solusi (Level 2):
24/36 72 108 144 … 2160
36/24=2160/xx =24 . 60 =1440 mm = 1,44 m
60 x0
Solusi (Level 3):
36/2160=24/x1/60 =24/x
x =1440 mm = 1,44 m
Solusi (level 0), salah/tidak dapat mengerjakannya karena mereka menekankan pada penjumlahan
Solusi (Level 1):
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10 10 10 10
10 10 10 10
Masalah (Reduksi):
Sebuah lantai ruangan berukuran 8 m x 10 m ingin digambar pada kertas gambar dengan skala 1 m : 10 cm. Tentukanlah ukuran lantai ruangan pada kertas gambar tersebut.
Solusi level 0, tidak dapat mengerjakan
Solusi level 1:80 cm x 100 cm
10
10
10
10
10
10
10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Solusi (Level 2/3)
(8 m /10 cm) x (10 m / 10 cm)(800 cm/10 cm) x (1000 cm/10 cm)80 cm x 100 cm.Jadi ukuran lantai ruangan pada kertas gambar adalah 800 cm x 100 cm.
Masalah (Penguk. tak langsung):
Sebuah pohon mempunyai tinggi 180 cm dengan bayangannya 240 cm. Berapakah tinggi bangunan yang mempunyai bayangan 1200 cm?
Level 0 & 1, Salah/sulitSolusi (Level 2/3):
180/x = 240/1200180/x =1/5180(5)/x = 1(5)/5x = 900 cm
Peluang yang dibutuhkan siswa untuk memahami masalah (Level 0, 1, dan 2):
• Alasan tentang situasi proporsional • Mencari nilai satuan unit• Mengkonstruksi rasio equivalen• Menghubungkan rasio, persen, and
pecahan
Menghubungkan Level 3
Memerlukan pemahaman yang kuat dari komponen penalaran proporsional:• Perubahan antara rasio equivalen (bukan
penjumlahan)• Perubahan perkalian adalah konstan• Hubungan antara rasio adalah faktor skala
(Jika mengalikan suatu rasio dengan faktor skala, hasilnya adalah rasio yang baru)
Masalah
Sebuah bola besi berjari-jari 3 cm, dimasukkan ke dalam tabung berisi air sehingga permukaan air dalam tabung naik. Jari-jari alas tabung 10 cm, Berapa cm kenaikan air dalam tabung tersebut?
Solusi (hanya Level 3):
Volume air yang naik = volume bola.r2
2.t =4/3..r13
3,14(10)2.t =4/3(3,14)(3)3
t = 36/100 = 0,36
Jadi kenaikan air dalam tabung adalah 0,36 cm.
Mengembangkan Penalaran proporsional
Kegiatan informal untuk mengembangkan penalaran proporsional (Van De Walle:2008):
• Mengidentifikasi hubungan perkalian• Pemilihan rasio equivalen• Perbandingan rasio• Pembuatan skala berdasarkan tabel rasio• Konstruksi dan pengukuran.
Selanjutnya banyak latihan Problem solving
Cognitive Processes in Problem SolvingRichard E. Mayer
• Translating
• Integrating
• Planning
• Executing
Masalah
Seorang petani mempunyai 200 m kawat untuk memagari suatu kebun berbentuk persegi panjang. Petani tersebut menginginkan luas kebunnya mempunyai luas yang maksimum. Berapakah panjang dan lebar kebun petani tersebut?
Translating
Prototype Mengkonstruksi Pengetahuan
Luas (Squared Measure)
vs. Keliling
(Linear Measure)
1 2
SymbolsRecord Keeping!
Math Structure:Discussion of the Concrete
Kuantitas:Konsep konkrit
L= p x l=10
P= 2p + 2l=14
CharacteristicsDefinition (in own words)
Non-ExamplesExamples
Frayer Model for Linguistics
Keliling
Jarak keliling suatu objek (linear measure)
10 cm
2cm
Keliling = 24 cm
The picture shows an Luas = 20 cm².
•Pengukuran satu dimensi
•Melibatkan penjumlahan
•Melibatkan problem solving
CharacteristicsDefinition (in own words)
Non-ExamplesExamples
Frayer Model for Linguistics
Luas
Ukuran interior of a figuresuatu gambar
(squared measure)
10 cm
2cm
Luas = 20 cm² Keliling = 24 cm.
•Melibatkan pengukuran dua dimensi
•Imelibatkan perkalian
•Melibatkan problem solving
Problem Solving-Translating
Mengkonversi masalah ke dalam gambaran mental.• Saya mempunyai 200 m kawat, dibuat persegi
panjang.• Saya tahu bahwa persegi panjang mempunyai 2
pasang sisi yang sejajar.• Saya tahu bahwa untuk menghitung keliling
menggunakan penjumlahan dan menghitung luas menggukan perkalian.
• Saya tahu bahwa banyak ukuran pasang sisi yang berbeda yang dapat dibuat.
Problem Solving-Translating
• Saya tahu bahwa luas adalah ukuran persegi pada interior gambar persegi panjang.
• Saya tahu bahwa luas yang diinginkan adalah maksimal.
Integrating
Problem Solving-Integrating
Membangun model mental problem.
Jika Keliling adalah 200 m, persegi panjang mempunyai luas maksimum?
Planning
Problem Solving-Planning
• Konkrit (Kuantitas)
• Representasi (Verbal Discussion)
• Abstrak (Symbolic)
Konkrit
Semua persegi panjang yang terjadi disusun dari persegi satuan sisi10 m
Representasi
• Bagaimana kita mengorganisasi data?• Persegi panjang manakah yang mempunyai
luas terbesar bila kelilingnya tertentu?
Executing
Organisasi Data
p l K= 2p + 2l L =p x l
1 9 20 units 9 sq. units
2 8 20 units 16 sq. units
3 7 20 units 21 sq. units
4 6 20 units 24 sq. units
5 5 20 units 25 sq. units
6 4 20units 24 sq. units
7 3 20units 21 sq. units
8 2 20units 16 sq. units
9 1 20 units 9 sq. units
Symbolic
• 1 x 9 = 9 square units• 2 x 8 = 16 square units• 3 x 7 = 21 square units• 4 x 6 = 24 square units• 5 x 5 = 25 square units (largest area!!!)
Jadi panjang kebun adalah 5 x 10 m = 50 m, lebar kebun adalah 5 x 10 m = 50 m, serta luas kebun maksimal adalah 2500 m2
Penutup
• Penalaran proporsional merupakan dasar matematika tingkat tinggi sehingga penalaran proporsional siswa perlu dikembangkan secara kontinu.
• Mengembangkan penalaran proporsional siswa perlu memperhatikan level penalaran proporsional.
• Melatih siswa mengembangkan strategi melalui problem solving
Recommended