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Metodi Iterativi
Metodi di Ottimizzazione
Stefano GualandiUniversità di Pavia, Dipartimento di Matematica
email: stefano.gualandi@unipv.ittwitter: @famo2spaghi, @famo2contiblog: http://stegua.github.com
Metodi Iterativi
Metodi di Ottimizzazione
Metodi di OttimizzazioneI metodi numerici per il calcolo di minimi di una funzione obiettivosono di tipo iterativo: a partire da un dato punto iniziale x0 ∈ Rn
generano una successione di punti xk convergente ad un puntostazionario.
SCHEMA GENERICO DI ALGORITMO ITERATIVO1 Sia dato x0 e un valore di tolleranza numerica toll2 while(||∇f (xk)||∞ >toll) (Verifica C.N. I ordine)3 il metodo genera un vettore hk
4 xk+1 = xk + hk (aggiornamento dell’iterata)5 end
La scelta fatta del vettore hk differenzia il metodo usato.
Metodi Iterativi
Metodi di Ottimizzazione
Metodi di OttimizzazioneI metodi numerici per il calcolo di minimi di una funzione obiettivosono di tipo iterativo: a partire da un dato punto iniziale x0 ∈ Rn
generano una successione di punti xk convergente ad un puntostazionario.
SCHEMA GENERICO DI ALGORITMO ITERATIVO1 Sia dato x0 e un valore di tolleranza numerica toll2 while(||∇f (xk)||∞ >toll) (Verifica C.N. I ordine)3 il metodo genera un vettore hk
4 xk+1 = xk + hk (aggiornamento dell’iterata)5 end
La scelta fatta del vettore hk differenzia il metodo usato.
Metodi Iterativi
Demo web
DEMO WEB:http://www.benfrederickson.com/numerical-optimization/
Metodi Iterativi
Calcolo della radice quadrata di un numero
Sia data la funzione f : R→ R seguente:
f (x) = x3
3 − rx
di cui si deve trovare un punto stazionario utilizzando un metodoiterativo, ovvero un punto che realizza
∇f (x) = 0 ⇒ ∇f (x) = x2 − r = 0
OsservazioneIn pratica, stiamo cercando un metodo iterativo che permetta diapprossimare al computer la radice quadrata di un numero. Ser = 2, stiamo cercando un’approssimazione di
√2.
Metodi Iterativi
Calcolo della radice quadrata di un numero
Sia data la funzione f : R→ R seguente:
f (x) = x3
3 − rx
di cui si deve trovare un punto stazionario utilizzando un metodoiterativo, ovvero un punto che realizza
∇f (x) = 0 ⇒ ∇f (x) = x2 − r = 0
OsservazioneIn pratica, stiamo cercando un metodo iterativo che permetta diapprossimare al computer la radice quadrata di un numero. Ser = 2, stiamo cercando un’approssimazione di
√2.
Metodi Iterativi
Calcolo della radice quadrata di un numero
Sia data la funzione f : R→ R seguente:
f (x) = x3
3 − rx
di cui si deve trovare un punto stazionario utilizzando un metodoiterativo, ovvero un punto che realizza
∇f (x) = 0 ⇒ ∇f (x) = x2 − r = 0
OsservazioneIn pratica, stiamo cercando un metodo iterativo che permetta diapprossimare al computer la radice quadrata di un numero. Ser = 2, stiamo cercando un’approssimazione di
√2.
Metodi Iterativi
Calcolo della radice quadrata di un numeroChiamiamo ora g(x) = x2 − r e vediamo come possiamo trovarecon un metodo iterativo un punto tale per cui g(x) = 0.
(DEMO: https://en.wikipedia.org/wiki/File:NewtonIteration_Ani.gif)
In pratica, approssimiamo la funzione g(x) in un punto xk con iprimi due termini del polinomio di Taylor
g(xk) + g ′(xk)(x − xk) = 0Il punto x che soddisfa l’equazione precedente, viene usato comenuovo punto xk , che meglio approssima
√r . In pratica risolviamo
g(xk) + g ′(xk)(xk+1 − xk) = 0da cui
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk)
Metodi Iterativi
Calcolo della radice quadrata di un numeroChiamiamo ora g(x) = x2 − r e vediamo come possiamo trovarecon un metodo iterativo un punto tale per cui g(x) = 0.(DEMO: https://en.wikipedia.org/wiki/File:NewtonIteration_Ani.gif)
In pratica, approssimiamo la funzione g(x) in un punto xk con iprimi due termini del polinomio di Taylor
g(xk) + g ′(xk)(x − xk) = 0Il punto x che soddisfa l’equazione precedente, viene usato comenuovo punto xk , che meglio approssima
√r . In pratica risolviamo
g(xk) + g ′(xk)(xk+1 − xk) = 0da cui
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk)
Metodi Iterativi
Calcolo della radice quadrata di un numeroChiamiamo ora g(x) = x2 − r e vediamo come possiamo trovarecon un metodo iterativo un punto tale per cui g(x) = 0.(DEMO: https://en.wikipedia.org/wiki/File:NewtonIteration_Ani.gif)
In pratica, approssimiamo la funzione g(x) in un punto xk con iprimi due termini del polinomio di Taylor
g(xk) + g ′(xk)(x − xk) = 0
Il punto x che soddisfa l’equazione precedente, viene usato comenuovo punto xk , che meglio approssima
√r . In pratica risolviamo
g(xk) + g ′(xk)(xk+1 − xk) = 0da cui
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk)
Metodi Iterativi
Calcolo della radice quadrata di un numeroChiamiamo ora g(x) = x2 − r e vediamo come possiamo trovarecon un metodo iterativo un punto tale per cui g(x) = 0.(DEMO: https://en.wikipedia.org/wiki/File:NewtonIteration_Ani.gif)
In pratica, approssimiamo la funzione g(x) in un punto xk con iprimi due termini del polinomio di Taylor
g(xk) + g ′(xk)(x − xk) = 0Il punto x che soddisfa l’equazione precedente, viene usato comenuovo punto xk , che meglio approssima
√r . In pratica risolviamo
g(xk) + g ′(xk)(xk+1 − xk) = 0
da cuixk+1 = xk −
g(xk)g ′(xk)
Metodi Iterativi
Calcolo della radice quadrata di un numeroChiamiamo ora g(x) = x2 − r e vediamo come possiamo trovarecon un metodo iterativo un punto tale per cui g(x) = 0.(DEMO: https://en.wikipedia.org/wiki/File:NewtonIteration_Ani.gif)
In pratica, approssimiamo la funzione g(x) in un punto xk con iprimi due termini del polinomio di Taylor
g(xk) + g ′(xk)(x − xk) = 0Il punto x che soddisfa l’equazione precedente, viene usato comenuovo punto xk , che meglio approssima
√r . In pratica risolviamo
g(xk) + g ′(xk)(xk+1 − xk) = 0da cui
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk)
Metodi Iterativi
Metodo Iterativo per il calcolo di√
k
Abbiamo ora il nostro primo metodo iterativo:
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk)
DomandePossiamo garantire che il metodo converge ad un punto x∗?Possiamo garantire che il metodo converge proprio a
√r?
Esercizio 1Implementare uno script Matlab che calcola la radice quadrata di 2.(Prima di implementare, provare i conti a mano per trovare
√36)
Metodi Iterativi
Metodo Iterativo per il calcolo di√
k
Abbiamo ora il nostro primo metodo iterativo:
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk)
DomandePossiamo garantire che il metodo converge ad un punto x∗?Possiamo garantire che il metodo converge proprio a
√r?
Esercizio 1Implementare uno script Matlab che calcola la radice quadrata di 2.(Prima di implementare, provare i conti a mano per trovare
√36)
Metodi Iterativi
Metodo Iterativo per il calcolo di√
k
Abbiamo ora il nostro primo metodo iterativo:
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk)
DomandePossiamo garantire che il metodo converge ad un punto x∗?Possiamo garantire che il metodo converge proprio a
√r?
Esercizio 1Implementare uno script Matlab che calcola la radice quadrata di 2.(Prima di implementare, provare i conti a mano per trovare
√36)
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk)
= xk −x2
k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167 2
1.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)2 = 1.4142
1.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
=
2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167 2
1.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)2 = 1.4142
1.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
=
12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167 2
1.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)2 = 1.4142
1.4142 ... ...
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Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167 2
1.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)2 = 1.4142
1.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167 2
1.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)2 = 1.4142
1.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1
21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167 2
1.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)2 = 1.4142
1.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167 2
1.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)2 = 1.4142
1.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167 2
1.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)2 = 1.4142
1.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5
21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167 2
1.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)2 = 1.4142
1.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.4167
1.4167 21.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)
2 = 1.41421.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167
21.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)
2 = 1.41421.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167 2
1.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)2 = 1.4142
1.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Esempio numerico
Nel nostro caso, il metodo iterativo consiste nel calcolare
xk+1 = xk −g(xk)g ′(xk) = xk −
x2k − r2xk
= 2x2k − x2
k + r2xk
= 12(xk + r
xk)
Esempio numerico per calcolare√2, ovvero con r = 2
Iterata corrente xk Quoziente rxk
Media tra xk e rxk
1 21
(1+2)2 = 1.5
1.5 21.5 = 1.3333 (1.3333+1.5)
2 = 1.41671.4167 2
1.4167 = 1.4118 (1.4118+1.4167)2 = 1.4142
1.4142 ... ...
Metodi Iterativi
Stima dell’erroreStudiamo l’errore del nostro metodo iterativo (senza conoscere ilvalore esatto di
√r). Sia Ek l’errore di approssimazione
Ek = xk −√r
da cui
xk =√r + Ek
L’errore alla prossima iterazione sarà
Ek+1 = xk+1 −√r =
xk + rxk
2 −√r
=xk + r
xk− 2√r
2 = x2k − 2
√rxk + r
2xk
= (xk −√r)2
2xk= E 2
k2xk
Metodi Iterativi
Stima dell’erroreStudiamo l’errore del nostro metodo iterativo (senza conoscere ilvalore esatto di
√r). Sia Ek l’errore di approssimazione
Ek = xk −√r
da cui
xk =√r + Ek
L’errore alla prossima iterazione sarà
Ek+1 = xk+1 −√r =
xk + rxk
2 −√r
=xk + r
xk− 2√r
2 = x2k − 2
√rxk + r
2xk
= (xk −√r)2
2xk= E 2
k2xk
Metodi Iterativi
Stima dell’erroreStudiamo l’errore del nostro metodo iterativo (senza conoscere ilvalore esatto di
√r). Sia Ek l’errore di approssimazione
Ek = xk −√r
da cui
xk =√r + Ek
L’errore alla prossima iterazione sarà
Ek+1 = xk+1 −√r =
xk + rxk
2 −√r
=xk + r
xk− 2√r
2 = x2k − 2
√rxk + r
2xk
= (xk −√r)2
2xk= E 2
k2xk
Metodi Iterativi
Stima dell’erroreStudiamo l’errore del nostro metodo iterativo (senza conoscere ilvalore esatto di
√r). Sia Ek l’errore di approssimazione
Ek = xk −√r
da cui
xk =√r + Ek
L’errore alla prossima iterazione sarà
Ek+1 = xk+1 −√r =
xk + rxk
2 −√r
=
xk + rxk− 2√r
2 = x2k − 2
√rxk + r
2xk
= (xk −√r)2
2xk= E 2
k2xk
Metodi Iterativi
Stima dell’erroreStudiamo l’errore del nostro metodo iterativo (senza conoscere ilvalore esatto di
√r). Sia Ek l’errore di approssimazione
Ek = xk −√r
da cui
xk =√r + Ek
L’errore alla prossima iterazione sarà
Ek+1 = xk+1 −√r =
xk + rxk
2 −√r
=xk + r
xk− 2√r
2 =
x2k − 2
√rxk + r
2xk
= (xk −√r)2
2xk= E 2
k2xk
Metodi Iterativi
Stima dell’erroreStudiamo l’errore del nostro metodo iterativo (senza conoscere ilvalore esatto di
√r). Sia Ek l’errore di approssimazione
Ek = xk −√r
da cui
xk =√r + Ek
L’errore alla prossima iterazione sarà
Ek+1 = xk+1 −√r =
xk + rxk
2 −√r
=xk + r
xk− 2√r
2 = x2k − 2
√rxk + r
2xk
=
(xk −√r)2
2xk= E 2
k2xk
Metodi Iterativi
Stima dell’erroreStudiamo l’errore del nostro metodo iterativo (senza conoscere ilvalore esatto di
√r). Sia Ek l’errore di approssimazione
Ek = xk −√r
da cui
xk =√r + Ek
L’errore alla prossima iterazione sarà
Ek+1 = xk+1 −√r =
xk + rxk
2 −√r
=xk + r
xk− 2√r
2 = x2k − 2
√rxk + r
2xk
= (xk −√r)2
2xk=
E 2k
2xk
Metodi Iterativi
Stima dell’erroreStudiamo l’errore del nostro metodo iterativo (senza conoscere ilvalore esatto di
√r). Sia Ek l’errore di approssimazione
Ek = xk −√r
da cui
xk =√r + Ek
L’errore alla prossima iterazione sarà
Ek+1 = xk+1 −√r =
xk + rxk
2 −√r
=xk + r
xk− 2√r
2 = x2k − 2
√rxk + r
2xk
= (xk −√r)2
2xk= E 2
k2xk
Metodi Iterativi
Stima dell’erroreDopo la prima iterata x0, tutti gli errori successivi saranno semprepositivi. Inoltre l’errore ad ogni iterazione diventa sempre piùpiccolo, in quanto
Ek = xk −√r < xk e quindi 0 < Ek
xk< 1
da cui
Ek+1 = E 2k
2xk= Ek
xk× Ek
2 <Ek2
Riassumendo..... abbiamo dimostrato che l’errore del metodo iterativo diventasempre più piccolo ad ogni iterazione in quanto
0 < Ek+1 <Ek2 < Ek
Metodi Iterativi
Stima dell’erroreDopo la prima iterata x0, tutti gli errori successivi saranno semprepositivi. Inoltre l’errore ad ogni iterazione diventa sempre piùpiccolo, in quanto
Ek = xk −√r < xk e quindi 0 < Ek
xk< 1
da cui
Ek+1 = E 2k
2xk= Ek
xk× Ek
2 <Ek2
Riassumendo..... abbiamo dimostrato che l’errore del metodo iterativo diventasempre più piccolo ad ogni iterazione in quanto
0 < Ek+1 <Ek2 < Ek
Metodi Iterativi
Stima dell’erroreDopo la prima iterata x0, tutti gli errori successivi saranno semprepositivi. Inoltre l’errore ad ogni iterazione diventa sempre piùpiccolo, in quanto
Ek = xk −√r < xk e quindi 0 < Ek
xk< 1
da cui
Ek+1 = E 2k
2xk= Ek
xk× Ek
2 <Ek2
Riassumendo..... abbiamo dimostrato che l’errore del metodo iterativo diventasempre più piccolo ad ogni iterazione in quanto
0 < Ek+1 <Ek2 < Ek
Metodi Iterativi
Criterio d’arresto basato sulla stima dell’erroreDalle relazioni precedenti abbiamo che
0 < xk+1 −√r < xk −
√r
⇒√r < xk+1 < xk
Riprendendo la definizione di errore al passo kEk = xk −
√r = xk − xk+1 + xk+1 −
√r
= (xk − xk+1) + Ek+1 < (xk − xk+1) + Ek2
ovvero
Ek+1 <Ek2 < xk − xk+1
In pratica, se si vuole una soluzione con un errore minore di ε > 0,basterà verificare la condizione:
xk − xk+1 < ε
Metodi Iterativi
Criterio d’arresto basato sulla stima dell’erroreDalle relazioni precedenti abbiamo che
0 < xk+1 −√r < xk −
√r ⇒
√r < xk+1 < xk
Riprendendo la definizione di errore al passo kEk = xk −
√r = xk − xk+1 + xk+1 −
√r
= (xk − xk+1) + Ek+1 < (xk − xk+1) + Ek2
ovvero
Ek+1 <Ek2 < xk − xk+1
In pratica, se si vuole una soluzione con un errore minore di ε > 0,basterà verificare la condizione:
xk − xk+1 < ε
Metodi Iterativi
Criterio d’arresto basato sulla stima dell’erroreDalle relazioni precedenti abbiamo che
0 < xk+1 −√r < xk −
√r ⇒
√r < xk+1 < xk
Riprendendo la definizione di errore al passo kEk = xk −
√r =
xk − xk+1 + xk+1 −√r
= (xk − xk+1) + Ek+1 < (xk − xk+1) + Ek2
ovvero
Ek+1 <Ek2 < xk − xk+1
In pratica, se si vuole una soluzione con un errore minore di ε > 0,basterà verificare la condizione:
xk − xk+1 < ε
Metodi Iterativi
Criterio d’arresto basato sulla stima dell’erroreDalle relazioni precedenti abbiamo che
0 < xk+1 −√r < xk −
√r ⇒
√r < xk+1 < xk
Riprendendo la definizione di errore al passo kEk = xk −
√r = xk − xk+1 + xk+1 −
√r
=
(xk − xk+1) + Ek+1 < (xk − xk+1) + Ek2
ovvero
Ek+1 <Ek2 < xk − xk+1
In pratica, se si vuole una soluzione con un errore minore di ε > 0,basterà verificare la condizione:
xk − xk+1 < ε
Metodi Iterativi
Criterio d’arresto basato sulla stima dell’erroreDalle relazioni precedenti abbiamo che
0 < xk+1 −√r < xk −
√r ⇒
√r < xk+1 < xk
Riprendendo la definizione di errore al passo kEk = xk −
√r = xk − xk+1 + xk+1 −
√r
= (xk − xk+1) + Ek+1
< (xk − xk+1) + Ek2
ovvero
Ek+1 <Ek2 < xk − xk+1
In pratica, se si vuole una soluzione con un errore minore di ε > 0,basterà verificare la condizione:
xk − xk+1 < ε
Metodi Iterativi
Criterio d’arresto basato sulla stima dell’erroreDalle relazioni precedenti abbiamo che
0 < xk+1 −√r < xk −
√r ⇒
√r < xk+1 < xk
Riprendendo la definizione di errore al passo kEk = xk −
√r = xk − xk+1 + xk+1 −
√r
= (xk − xk+1) + Ek+1 < (xk − xk+1) + Ek2
ovvero
Ek+1 <Ek2 < xk − xk+1
In pratica, se si vuole una soluzione con un errore minore di ε > 0,basterà verificare la condizione:
xk − xk+1 < ε
Metodi Iterativi
Criterio d’arresto basato sulla stima dell’erroreDalle relazioni precedenti abbiamo che
0 < xk+1 −√r < xk −
√r ⇒
√r < xk+1 < xk
Riprendendo la definizione di errore al passo kEk = xk −
√r = xk − xk+1 + xk+1 −
√r
= (xk − xk+1) + Ek+1 < (xk − xk+1) + Ek2
ovvero
Ek+1 <Ek2
< xk − xk+1
In pratica, se si vuole una soluzione con un errore minore di ε > 0,basterà verificare la condizione:
xk − xk+1 < ε
Metodi Iterativi
Criterio d’arresto basato sulla stima dell’erroreDalle relazioni precedenti abbiamo che
0 < xk+1 −√r < xk −
√r ⇒
√r < xk+1 < xk
Riprendendo la definizione di errore al passo kEk = xk −
√r = xk − xk+1 + xk+1 −
√r
= (xk − xk+1) + Ek+1 < (xk − xk+1) + Ek2
ovvero
Ek+1 <Ek2 < xk − xk+1
In pratica, se si vuole una soluzione con un errore minore di ε > 0,basterà verificare la condizione:
xk − xk+1 < ε
Metodi Iterativi
Criterio d’arresto basato sulla stima dell’erroreDalle relazioni precedenti abbiamo che
0 < xk+1 −√r < xk −
√r ⇒
√r < xk+1 < xk
Riprendendo la definizione di errore al passo kEk = xk −
√r = xk − xk+1 + xk+1 −
√r
= (xk − xk+1) + Ek+1 < (xk − xk+1) + Ek2
ovvero
Ek+1 <Ek2 < xk − xk+1
In pratica, se si vuole una soluzione con un errore minore di ε > 0,basterà verificare la condizione:
xk − xk+1 < ε
Metodi Iterativi
Proprietà
Affidabilità e convergenzaSiamo interessati ad algoritmi affidabili e efficienti:
L’affidabilità è associata al concetto di convergenza: ilmetodo converge ad un punto stazionario? È anche un puntodi minimo?L’efficienza si misura in termini di velocità di convergenza ecosto computazionale: con che velocità il metodo converge adun punto stazionario? Quante risorse di calcolo consuma ilmetodo?
Metodi Iterativi
Convergenza
Definition 1 (Convergenza locale)Un algoritmo di ottimizzazione converge localmente ad un punto diminimo x∗ se per scelte di x0 sufficientemente vicine a x∗ la successionegenerata a partire da x0, ovvero la successione {xk(x0)}, converge a x∗,ovvero se ∃ρ > 0 tale che
∀x0 ∈ B(x∗, ρ) = {x : ||x − x∗|| < ρ} ⇒ {xk(x0)} → x∗ per k →∞
Definition 2 (Convergenza globale)Un algoritmo di ottimizzazione converge globalmente ad un punto diminimo x∗ se per ogni scelta di x0 la successione generata a partire dax0, {xk(x0)}, converge a x∗ ovvero:
∀x0 ∈ Rn ⇒ {xk(x0)} → x∗ per k →∞
Metodi Iterativi
Convergenza
Definition 1 (Convergenza locale)Un algoritmo di ottimizzazione converge localmente ad un punto diminimo x∗ se per scelte di x0 sufficientemente vicine a x∗ la successionegenerata a partire da x0, ovvero la successione {xk(x0)}, converge a x∗,ovvero se ∃ρ > 0 tale che
∀x0 ∈ B(x∗, ρ) = {x : ||x − x∗|| < ρ} ⇒ {xk(x0)} → x∗ per k →∞
Definition 2 (Convergenza globale)Un algoritmo di ottimizzazione converge globalmente ad un punto diminimo x∗ se per ogni scelta di x0 la successione generata a partire dax0, {xk(x0)}, converge a x∗ ovvero:
∀x0 ∈ Rn ⇒ {xk(x0)} → x∗ per k →∞
Metodi Iterativi
Rapidità di Convergenza
Definition 3 (Convergenza Q-lineare)Sia {xk} una sequenza di punti in Rn che converge a x∗. Diciamoche la convergenza è Q-lineare se esiste una costante r ∈ (0, 1) taleper cui
||xk+1 − x∗||||xk − x∗|| ≤ r , per ogni k sufficientemente grande. (1)
Fattore di riduzioneQuesto significa che la distanza dalla soluzione ottima x∗diminuisce ad ogni iterazione di almeno un fattore costante.
Metodi Iterativi
Rapidità di Convergenza
Definition 3 (Convergenza Q-lineare)Sia {xk} una sequenza di punti in Rn che converge a x∗. Diciamoche la convergenza è Q-lineare se esiste una costante r ∈ (0, 1) taleper cui
||xk+1 − x∗||||xk − x∗|| ≤ r , per ogni k sufficientemente grande. (1)
Fattore di riduzioneQuesto significa che la distanza dalla soluzione ottima x∗diminuisce ad ogni iterazione di almeno un fattore costante.
Metodi Iterativi
Rapidità di Convergenza
Definition 4 (Convergenza Q-superlineare)La rapidità di convergenza viene detta Q-superlineare se
limk→∞
||xk+1 − x∗||||xk − x∗|| = 0.
Definition 5 (Convergenza Q-quadratica)Si parla di convergenza Q-quadratica quando
||xk+1 − x∗||||xk − x∗||2
≤ M, per ogni k sufficientemente grande,
in cui M è una costante positiva, non necessariamente minore di 1.
Metodi Iterativi
Rapidità di Convergenza
Definition 4 (Convergenza Q-superlineare)La rapidità di convergenza viene detta Q-superlineare se
limk→∞
||xk+1 − x∗||||xk − x∗|| = 0.
Definition 5 (Convergenza Q-quadratica)Si parla di convergenza Q-quadratica quando
||xk+1 − x∗||||xk − x∗||2
≤ M, per ogni k sufficientemente grande,
in cui M è una costante positiva, non necessariamente minore di 1.
Metodi Iterativi
Rapidità di Convergenza
Definition 6 (Convergenza di ordine p)Una sequenza converge con ordine p (con p > 1) se esiste unacostante M tale che
||xk+1 − x∗||||xk − x∗||p ≤ M, per ogni k sufficientemente grande.
Metodi Iterativi
Esercizio 1
Esercizio 1Dimostrare che
1 La successione {1 + 12
k} converge a 1 con rapidità Q-lineare.
2 La successione {1 + k−k} converge a 1 con rapidità Q-superlineare.
3 La successione {1 + 0.52k} converge a 1 con rapidità Q-quadratica.
Dopo aver dimostrato la velocità di convergenza indicata per ciascunasuccessione, usare Matlab per rappresentare graficamente la velocità diconvergenza delle tre successioni.
Metodi Iterativi
Esercizio 1
Esercizio 1Dimostrare che
1 La successione {1 + 12
k} converge a 1 con rapidità Q-lineare.
2 La successione {1 + k−k} converge a 1 con rapidità Q-superlineare.
3 La successione {1 + 0.52k} converge a 1 con rapidità Q-quadratica.
Dopo aver dimostrato la velocità di convergenza indicata per ciascunasuccessione, usare Matlab per rappresentare graficamente la velocità diconvergenza delle tre successioni.
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