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Michael Körner
Grundlagen der GeometrieKopiervorlagen zum Grundwissen Ebene
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Downloadauszug aus dem Originaltitel:
Michael Körner
Bergedorfer® Kopiervorlagen
GrundwissenEbene Geometrie 5.–10. Klasse
Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.
verfo
Grundlagen der Geometrie 1 Grundbegriffe
2 Koordinatensystem
3 Senkrechte Geraden
4 Parallele Geraden
5 Abstand
6 Vermischte Übungen zu Linien
7 Winkelarten
8 Winkel bis 180° mit dem Geodreieck messen
9 Winkel bis 180° mit dem Geodreieck zeichnen
10 Winkel über 180° messen und zeichnen
11 Nebenwinkel und Scheitelwinkel
12 Stufenwinkel und Wechselwinkel
13 Vermischte Übungen zu Winkeln
14 Figuren unterscheiden und bezeichnen
15 Dreieckarten und ihre Eigenschaften
16 Winkelberechnung am Dreieck (1)
17 Winkelberechnung am Dreieck (2)
18 Viereckarten und ihre Eigenschaften
19 Winkelberechnung am Viereck (1)
20 Winkelberechnung am Viereck (2)
21 Kreise und ihre Eigenschaften (1)
22 Kreise und ihre Eigenschaften (2)
23 Vermischte Übungen zu Figuren
24 Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (1)
25 Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (2)
Konstruieren von Figuren26 Mittelsenkrechte konstruieren
27 Parallele konstruieren
28 Winkelhalbierende konstruieren
29 Kongruenzsätze für Dreiecke
30 Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren
31 Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren
32 Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren
33 Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren
ab Seite 26 LösungenZu einigen wenigen Aufgaben liegen keineLösungen vor, da hier die Kontrolle durchdie Lehrkraft erfolgen sollte.
InhaltsverzeichnisGrundwissen Ebene Geometrie
de
(2)
n
agen (1)
agen (2
21
22 K
23 V
24
kelberec
Winkelberech
Kreise und ihr
reise und ih
reiec
g am Dreiec
en und ihre Eigensch
chnung am Viereck
ung am V
hnen
chaften
k (1)
(2)
en
1Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
1Grundbegriffe
Aufgabe 1Ordne die Begriffe den jeweiligen Abbildungen zu wie im Beispiel.
Gerade
AB
Halbgerade
AB
Parallele
a
Punkte
A und B
Senkrechte
b
Strecke
AB
Aufgabe 2Übertrage die Punkte für jede Teilaufgabe einmal in dein Heft.
a) Zeichne alle möglichen Strecken von A zu den anderen Punkten und miss ihre Längen.
b) Zeichne alle möglichen Geraden durch E und einen der anderen Punkte.
c) Zeichne alle möglichen Halbgeraden von C aus zu den anderen Buchstaben.
Aufgabe 3Zeichne jeweils Strecken mit den angegebenen Längen.
a) 4 cm b) 6 cm c) 7,5 cm d) 2,3 cm e) 26 mm
Aufgabe 4Ergänze den Lückentext.
Eine Gerade hat ____________ Anfangspunkt und ____________ Endpunkt.
Eine Halbgerade hat ____________ Anfangspunkt und ____________ Endpunkt.
Eine Strecke hat ____________ Anfangspunkt und ____________ Endpunkt.
b) 6 c
mit den
m
bene
c) Zeichne aaus zu den
fgabe
deren P
le möglicheanderen B
n vihre Län
chen Geraden durunkte.
on A zu den gen.
E
al
2Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
2Koordinatensystem
Aufgabe 1Ordne die Begriffskarten den jeweiligen Zahlen im Koordinatensystem zu. Die Buchstaben ergeben dann in der Reihenfolge von � bis � ein Lösungswort.
PKoordinatenpunkt
mit den Koordinaten (3/2)
UKoordinatenpunkt
mit den Koordinaten (–1/–2)
R x-Achse (Rechtsachse)
E y-Achse (Hochachse)
S Ursprung (Nullpunkt)
Das Lösungswort lautet: ___ ___ ___ ___ ___ � � � � �
Aufgabe 2Gib die Koordinaten der eingetragenen Punkte an.
A(___ | ___) B(___ | ___)
C(___ | ___) D(___ | ___)
E(___ | ___) F(___ | ___)
G(___ | ___) H(___ | ___)
Aufgabe 3Zeichne für jede Teilaufgabe ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft und trage die angege-benen Punkte ein. Verbinde sie dann in der Reihenfolge des Alphabets. Welche Figur entsteht je-weils?
a) A(3 | 2) B(–2 | 2) C(–2 | –1) D(3 | –1) Figur:
b) A(–1 | –3) B(3 | –3) C(3 | 1) D(–1 | 1) Figur:
c) A(–1,5 | 0) B(0 | –2,5) C(1,5 | 0) D(0 | 1,5) Figur:
___)
_)
F(_
B(___
D(___
Punkte an.
Aufgabe 2b die Koord
: __ ___ _� � �
3Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
3Senkrechte Geraden
Aufgabe 1Überprüfe mit dem Geodreieck, welche der Geraden senkrecht zueinander sind und notiere wie im Beispiel. Kennzeichne auch die rechten Winkel wie im Beispiel.
h ⊥ i
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
Aufgabe 2Zeichne jeweils zur Geraden g die Senkrechten durch die Punkte A–E.
a) b)
Aufgabe 3Zeichne die Punkte A(3 | 3), B(–3 | –3), C(4 | –2) und D(–4 | 2) in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) und zeichne durch die Punkte A und B eine Gerade. Zeichne dann durch die Punkte C und D jeweils eine Senkrechte zu dieser Geraden und gib die Schnittpunkte der Senkrechten mit
a) der x-Achse, b) der y-Achse, c) der Geraden AB an.
Info Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich in einem rechten Winkel (90°) schneiden. Man schreibt g ⊥ h oder h ⊥ g. Zum Zeichnen von Senkrechten und zum Überprüfen, ob Geraden senkrecht zueinander stehen, benutzt man oft das Geodreieck.
g
h
eweils zur Geraden g di
__
_____
___
d und
4Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
4Parallele Geraden
Aufgabe 1Überprüfe mit dem Geodreieck, welche der Geraden parallel zueinander sind und notiere wie im Bei-spiel.
g II h
_____
_____
_____
_____
_____
Aufgabe 2Zeichne jeweils zur Geraden g die Parallelen durch die Punkte A–E.
a) b)
Aufgabe 3Zeichne die Punkte A(3 | 4), B(–2 | –6), C(–2 | 2) und D(3 | 1) in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) und zeichne durch die Punkte A und B eine Gerade. Zeichne dann durch die Punkte C und D jeweils eine Parallele zu dieser Geraden und gib die Schnittpunkte der drei Geraden mit der x-Achse und mit der y-Achse an.
Info Geraden sind parallel zueinander, wenn sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Man schreibt g II h oder h II g. Zum Zeichnen von Parallelen und zum Überprüfen, ob Geraden parallel zueinander sind, benutzt man oft das Geodreieck.
g
h
jeweils zur Geraden g
__
_____
nd no
5Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
5
Info Die Strecke PQ ist die kürzeste Verbindung des Punktes P mit der Gera-den g. Sie wird auch als Lot von Punkt P auf die Gerade g bezeichnet und verbindet den Punkt P senkrecht mit der Geraden g. Die Länge desLotes nennt man Abstand des Punktes P von der Geraden g.
Abstand
Aufgabe 1Zeichne die Abstände der Punkte A – D von der Geraden g ein und miss ihre Längen.
Abstand A von g: __________
Abstand B von g: __________
Abstand C von g: __________
Abstand D von g: __________
Aufgabe 2Die Geraden g und h sind parallel zueinander. Miss die Abstände der Punkte A und B von der Gera-den h und der Punkte C und D von der Geraden g. Was stellst du fest?
Abstand A von h: __________
Abstand B von h: __________
Abstand C von g: __________
Abstand D von g: __________
Ergänze die Regel für den Abstand von parallelen Geraden.
Regel:
Zueinander parallele Geraden haben _____________________________________________.
Aufgabe 3Zeichne eine Gerade in dein Heft und jeweils zwei Punkte, die von der Geraden
a) 3 cm Abstand haben, b) 1,7 cm Abstand haben, c) 26 mm Abstand haben.
Aufgabe 4Miss die Abstände der parallelen Geraden.
a) b) c)
eine Ge
m Abstand h
4
rade in dein H
haben,
aden hab
ef
parallelen
____
erade
A und B von der Gst?
a
stand C v
Abstand D vo
Ergänze die R
gel:
: ___
n g: ____
n g: ____
zueD von der
________
________
nander. Miss Geraden g. W
ie A
6Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
6
Aufgabe 1Kreuze an.
falsch richtig
Zueinander senkrechte Strecken sind immer gleich lang.
Zwei zueinander parallele Strecken haben überall den gleichen Abstand.
Zueinander senkrechte Geraden schneiden sich immer.
Drei parallele Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
Zueinander parallele Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel.
Zueinander senkrechte Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel.
Aufgabe 2a) Überprüfe mit dem Geodreieck, ob die Geraden bzw.
Strecken parallel (II) oder senkrecht (⊥) zueinander sind und notiere wie im Beispiel.
f II h, f ⊥ e,_________________________________
b) Kennzeichne Strecken mit einem roten Stift.
c) Kennzeichne Geraden mit einem grünen Stift.
Aufgabe 3Zeichne zu der Geraden g zwei parallele Geraden mit einem Abstand von 1,5 cm.
Aufgabe 4Zeichne
a) eine Senkrechte durch P zu g. Nenne diese a.
b) eine Senkrechte durch P zu a. Nenne diese b.
c) Was kannst du über die Beziehung von b und g aussagen?
_______________________________________________
Aufgabe 5Zeichne ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm in dein Heft.
a) Zeichne durch die Punkte (–2 | 4) und (4 | 2) eine Gerade und nenne sie g.
b) Gib drei Koordinaten an, die auf dieser Geraden liegen.
c) Zeichne durch den Punkt (4 | –4) eine Parallele zu g.
d) Gib zwei Koordinaten an, die auf dieser Parallele liegen.
e) Zeichne durch den Punkt (2 | 0) eine Senkrechte zu g.
f) Gib den Schnittpunkt der Parallelen mit der Senkrechten an.
Vermischte Übungen zu Linien
nkre
s kannst
______
hte durch P
chte durch P z
über die
P zu g
u a.
Ger mit
gabeZeichne zu deeinem Abstan
fgabe
r Geraden gvon 1,5
einem ro
n mit einem grü
__________
en St
en St
den nand
___
7Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
7Winkelarten
Info Ein Winkel (hier a) wird von zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Anfangspunkt eingeschlossen. Die beiden Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels, der gemeinsame Anfangspunkt heißt Scheitelpunkt S. Winkel werden oft mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet. Am häufigsten kommen dabei a (Alpha), b (Beta), g (Gamma), d (Delta) und e (Epsilon) vor. Teilweise wird auch das Winkelzeichen ∢ benutzt. Man schreibt dann: ∢a, ∢b usw.
Aufgabe 1Verbinde die Bilder mit den zugehörigen Winkelnamen. Die Buchstaben ergeben dann in der Reihen-folge von (1) bis (6) ein Lösungswort.
� � � � � �
(S)Voll-
winkel (A)spitzer Winkel (T)
gestreckter Winkel (K)
stumpfer Winkel (N)
über-stumpfer Winkel
(E)rechter Winkel
Das Lösungswort lautet: ___ ___ ___ ___ ___ ___ � � � � � �
Aufgabe 2Ergänze den Schenkel so, dass die angegebene Winkelart entsteht.
a) spitzer Winkel b) rechter Winkel c) stumpfer Winkel
d) gestreckter Winkel e) überstumpfer Winkel f) Vollwinkel
Aufgabe 3Neben der Bezeichnung mit griechischen Buchstaben kann man Winkel auch mit der Punkte- bzw. Buchstabenfolge angeben. Gib die Winkel jeweils durch Punkte an wie im Beispiel.
a) b)
a = BAD / DAB b = __________ a = _________ b = _________
g = __________ d = __________ g = _________ d = _________ e = _________
S
eckter WWinkel
egebene Win
hter Winkel
�
kelart en
erstumpfeWin
reW(
Aufgabe 2rgänze den S
spitzer
ort lautet:
(T)
___ _�
gestreckter Win (
�
ben er
�
eben dann in
8Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
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8Winkel bis 180° mit dem Geodreieck messen
Info Winkelgrößen werden in Grad angegeben. 1 Grad (geschrieben 1°) erhält man, wenn man einen Kreis (den Vollwinkel) in 360 gleich große Teile teilt. Zum Messen von Winkeln verwendet man oft das Geodreieck. Dieses wird mit dem Nullpunkt auf den Scheitelpunkt des Winkels gelegt und die Winkel-größe wird an der Skala abgelesen.
Aufgabe 1Miss jeweils die Größe der Winkel und gib an, um welche Winkelart es sich handelt. Tipp: Verlängere, wenn nötig, die Schenkel.
a) b) c) d)
Aufgabe 2Bestimme jeweils alle angegebenen Winkelgrößen. Schätze zuerst.
a) b) c)
Geschätzt / Gemessen Geschätzt / Gemessen Geschätzt / Gemessen
a = ______ / ______ a = ______ / ______ a = ______ / ______
b = ______ / ______ b = ______ / ______ b = ______ / ______
g = ______ / ______ g = ______ / ______ g = ______ / ______
d = ______ / ______ d = ______ / ______
e = ______ / ______
Aufgabe 3Gib jeweils die Größe bzw. den Größenbereich in ganzen Grad und die Winkelart an.
a) b) c) d)
______________ Rechter Winkel ______________ ______________
1° ≤ a ≤ 89° a = ___________ ____ ≤ a ≤ ____ a = ___________
Aufgabe 4Zeichne einen beliebigen Winkel (ohne zu messen). Dein Nachbar und du schätzen jetzt die Winkel-größe. Anschließend wird nachgemessen. Wer mit seiner Schätzung näher an der tatsächlichen Win-kelgröße liegt, bekommt einen Punkt. Anschließend zeichnet dein Nachbar, ihr schätzt, messt usw. Wer zuerst 5 Punkte hat, hat gewonnen.
be 3s die Gr
__
/ ______
eschätzt /
______ / ___
____
emessen
c)
Geschätzt
a = _____
=
ebenen W
b)
nkelgrößen.
handelt.
d)
9Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
9Winkel bis 180° mit dem Geodreieck zeichnen
Aufgabe 1Unten siehst du zwei Anleitungen zum Zeichnen von Winkeln bis 180°. Leider ist dabei sowohl die Rei-henfolge der Texte als auch die Reihenfolge der Bilder durcheinandergeraten. Bringe die Texte und Bilder wieder in die richtige Reihenfolge.
a) Gewünschten Winkel an der Winkelskala markieren.
Geodreieck auf den Scheitelpunkt des Winkels legen.
Winkelbogen einzeichnen und Winkelgröße eintragen.
Markierungspunkt mit dem Scheitelpunkt verbinden. (1)
(1) Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels zeichnen.
b) Zweiten Schenkel des Winkels zeichnen.
Geodreieck auf den Scheitelpunkt des Winkels legen.
Winkelbogen einzeichnen und Winkelgröße eintragen.
Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels zeichnen.
Geodreieck bis zum gewünschten Winkel drehen.
Aufgabe 2Ergänze den Schenkel nach oben und nach unten, sodass je zweimal der angegebene Winkel entsteht.
a) 30° b) 75° c) 112° d) 152°
Aufgabe 3Zeichne jeweils einen Winkel mit der angegebenen Größe in dein Heft.
a) 20° b) 43° c) 66° d) 95° e) 135° f) 164° g) 180°
Geod
2
nkt un
ieck bis zum
d eine
unkt des
Winkelgröße e
inkels legen.Geo
W
ten Schen
dreieck au
kel des Win
enkel des W
unkt v
inkels
binden.
zeich
(1)
10Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
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10Winkel über 180° messen und zeichnen
Aufgabe 1a) Betrachte jeweils die Winkelpaare und beschreibe, was dir auffällt.
Es fällt auf,
b) Gib die gesuchten Winkelgrößen ohne zu messen an.
a = _____ b = _____ g = _____ d = _____ e = _____
c) Gib die gesuchten Winkelgrößen an.
a = _____ b = _____ g = _____ d = _____ e = _____
d) Beschreibe, wie man Winkel über 180° mit dem Geodreieck „messen“ oder „zeichnen“ kann.
Aufgabe 2Erkläre anhand der Bildfolge, wie man den überstumpfen Winkel mit der Größe 260° zeichnen kann.
(1) (2) (3) (4) (5)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Aufgabe 3Zeichne die überstumpfen Winkel mit der angegebenen Größe.
a) 195° b) 225° c) 247° d) 286° e) 302° f) 321° g) 333° h) 355°
260°– 180°
80°
260180
80°
en überstumpf
(3)
en
„mes en“ od
__
er „zeichn
=d =
Aufgabe 2kläre anha
_____
an Winkel über 18
=
d = _____
11Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
11
Aufgabe 1Ergänze den Lückentext mit den angegebenen Wörtern. Achte auf die Zeichnungen. Einzusetzende Wörter: Scheitelwinkel(paar), Nebenwinkel(paar), Geradenkreuzung
Schneiden sich zwei Geraden, so spricht man von einer .
Die dabei entstehenden Winkel a1 und a2 werden als
bezeichnet, da sie nebeneinander liegen.
Die Winkel b1 und b2 werden als bezeichnet.
Aufgabe 2Kennzeichne – die Nebenwinkel zu a1 und a2 rot, – die Scheitelwinkel zu b1 und b2 blau.
Aufgabe 3a) Miss jeweils die vier Winkel und notiere ihre Größe.
a1 = _____ b1 = _____ a2 = _____ b2 = _____
g1 = _____ d1 = _____ g2 = _____ d2 = _____
b) Notiere alle Nebenwinkelpaare.
c) Was kannst du über die Summe der Größe von Nebenwinkeln aussagen?
d) Notiere alle Scheitelwinkelpaare.
e) Was kannst du über die Größe von Scheitelwinkeln aussagen?
Aufgabe 4Berechne die Größe der fehlenden Winkel an der Geradenkreuzung.
a) a = 50° b = _____ g = _____ d = _____
b) a = _____ b = 75° g = _____ d = _____
c) a = _____ b = _____ g = 112° d = _____
d) a = _____ b = _____ g = _____ d = 173°
e) a = 90° b = _____ g = _____ d = _____
Nebenwinkel und Scheitelwinkel
s kannst
elw
u über die G
nkelpa
Größe von Nebenw
2 = _
= ___
___ b
d
= __a
Notiere a
) Was kanns
g1 = __
e Nebenwin
d no
__ b1 = ___
__ d1 = ___
lpaa
iere ihre Größe
hnet.
12Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
12
Aufgabe 1Ergänze den Lückentext mit den angegebenen Wörtern. Die Zeichnungen helfen dir dabei. Einzusetzende Wörter: Wechselwinkel(paar), Stufenwinkel(paar), doppelte Geradenkreuzung
Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, entsteht
eine ________________ ____________________________.
Die Winkel g1 und g2 werden als bezeichnet,
sie haben Ähnlichkeit mit Winkeln bei Treppenstufen.
Die Winkel d 1 und d 2 werden als bezeichnet.
Aufgabe 2Kennzeichne – die Stufenwinkel zu g1 und g2 mit rot,– die Wechselwinkel zu d 1 und d 2 mit blau.
Aufgabe 3a) Miss jeweils die acht Winkel und notiere ihre Größe.
a1 = _____ b1 = _____ g1 = _____ d1 = _____
a2 = _____ b2 = _____ g2 = _____ d2 = _____
b) Notiere alle Stufenwinkelpaare.
c) Was kannst du über die Größe von Stufenwinkeln aussagen?
d) Notiere alle Wechselwinkelpaare.
e) Was kannst du über die Größe von Wechselwinkeln aussagen?
Aufgabe 4Berechne die Größe der fehlenden Winkel an der doppelten Geradenkreuzung.
a) a1 = 55° b1 = _____ g1 = _____ d1 = _____
a2 = _____ b2 = _____ g2 = _____ d2 = _____
b) a1 = _____ b1 = _____ g1 = _____ d1 = _____
a2 = _____ b2 = 122° g2 = _____ d2 = _____
c) a1 = _____ b1 = _____ g1 = _____ d1 = 98°
a2 = _____ b2 = _____ g2 = _____ d2 = _____
Stufenwinkel und Wechselwinkel
nnst
4
du über die G
inkelpaa
röße
tufenwinkeln auss
d _
_____
___
) Notiere a
) Was kanns
a2 =
e Stufenwin
kel und no
= _____ b1 = _
_____ b2
ere ihre Grö
chnet.
13Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
13Vermischte Übungen zu Winkeln
Aufgabe 1Zeichne jeweils einen Winkel mit der angegebenen Größe in dein Heft.
a) 10° b) 52° c) 96° d) 165° e) 235° f) 264° g) 300° h) 360°
Aufgabe 2Kreuze an.
falsch richtig
Stumpfe Winkel sind größer als 180°.
Spitze Winkel sind kleiner als 90°.
Der gestreckte Winkel ist doppelt so groß wie der rechte Winkel.
Scheitelwinkel sind zusammen 180° groß.
Nebenwinkel sind gleich groß.
Stufenwinkel sind gleich groß.
Aufgabe 3Gib alle Nebenwinkelpaare, Scheitelwinkelpaare, Stufenwinkelpaare und Wechselwinkelpaare an.
Nebenwinkelpaare:
Scheitelwinkelpaare:
Stufenwinkelpaare:
Wechselwinkelpaare:
Aufgabe 4Berechne jeweils die fehlenden Winkel an der Geradenkreuzung.
a) a = 60° b = 40° g = ____ d = ____ e = ____ φ = ____
b) a = ____ b = ____ g = 47° d = ____ e = 74° φ = ____
c) a = ____ b = ____ g = ____ d = 90° e = ____ φ = 14°
d) a = 111° b = ____ g = ____ d = ____ e = 44° φ = ____
Aufgabe 5Welche zwei Winkel bilden jeweils die beiden Uhrzeiger? Bestimme die Winkel ohne zu messen. Tipp: Denke an den Vollwinkel.
a) ____ / ____ b) ____ / ____ c) ____ / ____ d) ____ / ____
) a
a = _
c) a = _
d)
nden W
60°
___
re:
n der
4
echs nkelpaare ae un
ufgabe 4
Sch
Stufe
Wec
Scheitelwi
ebenwinkelpaare
eitelwinkelpaa
ink
kelpaare, S
fal
14Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
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14
Aufgabe 1Geometrische Figuren werden bis auf wenige Ausnahmen nach der Anzahl der Ecken unterschieden. Ordne die Begriffe der entsprechenden geometrischen Figur zu, indem du die entsprechende Zahl in die Figur schreibst.
(1) Dreieck (2) Viereck (3) Fünfeck (4) Sechseck (5) Achteck (6) Kreis
Aufgabe 2Schreibe hinter die Begriffe die zugehörigen Buchstaben.
Eckpunkt: ___________
Seite: ___________
(Eck)Winkel: ___________
Diagonale: ___________
Diagonalenschnittpunkt: ___________
Aufgabe 3Vervollständige die Bezeichnungen. Achtung: Bei geometrischen Figuren wird linksherum, also gegen den Uhrzeigersinn, bezeichnet.
a) b)
Aufgabe 4Trage jeweils die angegebenen Punkte in das Koordinatensystem ein, verbinde sie und bezeichne die Seiten. Welche Figur entsteht?
a) A(4 | –1) B(4 | 1,5)
C(1,5 | 1,5) D(1,5 | –1)
Figur: ____________________
Figuren unterscheiden und bezeichnen
4eweils di
natensyschne die
angegebe
etris
b)
hen Figuren wirden Uhrzeige
a)
e die Bezersinn, bezeic
____
hnunget
___
___
15Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
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15
Aufgabe 1Ergänze den Lückentext.
Einzusetzende Wörter: Winkeln, unregelmäßiges, stumpfwinkliges, spitzwinkliges, Seiten, rechtwinkliges, gleichseitigen, gleichschenkliges, Arten
Dreiecke kann man auf zwei unterschiedliche ________________________ einteilen. Eine Möglichkeit
ist eine Einteilung nach ________________________. Sind alle Seiten des Dreiecks gleich lang,
spricht man von einem ________________________ Dreieck. Sind nur zwei Seiten gleich lang, wird
das Dreieck als ________________________ Dreieck bezeichnet. Haben alle Seiten unterschiedliche
Längen, so ist es ein ________________________ Dreieck.
Die andere Art der Einteilung von Dreiecken erfolgt nach ________________________. Auch hier
gibt es drei unterschiedliche Möglichkeiten. Hat ein Dreieck drei spitze Winkel, wird es als
________________________ Dreieck bezeichnet. Hat es einen rechten Winkel, wird es als
________________________ Dreieck bezeichnet. Hat das Dreieck einen stumpfen Winkel,
nennt man es ________________________ Dreieck.
Aufgabe 2Bestimme durch messen, um welche Dreiecksart es sich handelt.
(1) (2) (3) (4)
Einteilung nach Seiten Einteilung nach Winkeln
Dreieck 1: _____________________ _____________________
Dreieck 2: _____________________ _____________________
Dreieck 3: _____________________ _____________________
Dreieck 4: _____________________ _____________________
Aufgabe 3Zeichne jeweils die Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft und gib an, um wel-che Dreiecksart (sowohl nach Seite als auch nach Winkel) es sich handelt.
a) A(3 | –2), B(1 | 2), C(–1 | –2) b) A(–3 | –1,5), B(2,5 | 2), C(–3 | 2)
Dreiecke und ihre Eigenschaften
Einte
sich handelt
p
wird es als
n Winkel,
hi
estimme d
(1)
ch messen,
ck
________
w
eichne
bezeichnet. H
___ Dreieck
olgt
ein Dr
Hat e
at da
________
eck drei spi
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______
W
iec
eiten g
le Seiten u
16Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
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16Winkelberechnung am Dreieck (1)
Aufgabe 1Teamarbeit für drei Schüler.
(1) Zeichnet auf ein Blatt Papier jeweils ein Dreieck: – Schüler 1 ein spitzwinkliges – Schüler 2 ein rechtwinkliges – Schüler 3 ein stumpfwinkliges
(2) Bezeichnet die drei Winkel in den Dreiecken mit a, b und g.
(3) Färbt die drei Winkel in verschiedenen Farben ein. Alle Winkel eines Dreiecks sollen aber die glei-che Farbe haben.
(4) Schneidet die Dreiecke aus.
(5) Schneidet anschließend die drei Ecken der Dreiecke ab.
(6) Legt die drei gleichfarbigen Eckwinkel jeweils zu einem (gesamten) Winkel zusammen.
(7) Vergleicht eure Ergebnisse in der Gruppe. Was fällt euch auf?
(8) Formuliert eine Regel zur Winkelsumme im Dreieck.Tipp: Was kann man über die Größe der drei Winkel zusammen aussagen?
Regel:
Aufgabe 2Gib die fehlenden Winkel der Dreiecke an. Nutze dazu die Ergebnisse aus Aufgabe 1.
a) g = _____ b) b = _____ c) a = _____
Aufgabe 3Berechne die fehlenden Winkel. Gib auch an, ob es sich um ein rechtwinkliges, spitzwinkliges oder stumpfwinkliges Dreieck handelt.
a) a = 45° b = ____ g = 65° b) a = ____ b = 11° g = 111°
______________________________ ______________________________
c) a = 126° b = 50° g = ____ d) a = 45° b = ____ g = 45°
______________________________ ______________________________
an. Nut
= _____
azu die Ergebnisse
ufgabe 2Gib die fehlen
a) g = _____
den Winke
r drei W
Was f
DreiecWinkel
euch auf?
zusamme
mten) Winke
cks so
zusam
17Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
17
Aufgabe 1Beweise mithilfe der nebenstehenden Zeichnung (a || g), dass die Winkelsumme im Dreieck immer 180° beträgt. Tipp: Suche nach Wechselwinkeln und zeichne sie ein.
Begründung: Für Dreieck gilt immer a + b + g = 180°, weil
Aufgabe 2Berechne die fehlenden Winkelgrößen.
a) a1 = ______ b1 = ______ g1 = 75°
a2 = ______ b2 = ______ g2 = ______
a3 = 35° b3 = ______ g3 = ______
a4 = ______ b4 = ______ g4 = ______
b) a1 = ______ b1 = ______ g1 = ______
a2 = ______ b2 = 156° g2 = ______
a3 = ______ b3 = ______ g3 = ______
a4 = 34° b4 = ______ g4 = ______
Aufgabe 3a) Miss die Größe der Winkel in den gleichseitigen Dreiecken.
a = ______ a = ______
b = ______ b = ______
g = ______ g = ______
b) Was kannst du über die Größe der Winkel in gleichseitigen Dreiecken aussagen?
Aufgabe 4a) Miss die Größe der Winkel in den gleichschenkligen Dreiecken.
a = ______ a = ______
b = ______ b = ______
g = ______ g = ______
b) Was kannst du über die Größe der Winkel in gleichschenkligen Dreiecken aussagen?
Winkelberechnung am Dreieck (2)
s kannst du über di
ichseitigen Drreiec
4 = 34
Aufgabe 3Miss die G
b3 = _
= ___
g = _
56° g2 = __
_____ = _
_____
____
18Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
18
Aufgabe 1 Verbinde die Bezeichnungen der Vierecke mit den zugehörigen Abbildungen und Steckbriefen wie im Beispiel.
Drachenviereck
Es hat zwei Symmetrieachsen. Die Diagonalen e und f sind gleich lang und halbieren sich. Alle Winkel sind 90° groß. Je zwei Seiten sind paral-lel und gleich lang.
�
Parallelogramm
Es hat eine Symmetrieachse. Eine der Diagona-len wird von der anderen halbiert. Zwei gegen-überliegende Winkel sind gleich groß. Je zwei nebeneinanderliegende Seiten sind gleich groß.
�
Quadrat
Es hat zwei Symmetrieachsen. Die Diagonalen e und f halbieren sich. Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß. Alle vier Seiten sind gleich lang. Je zwei Seiten sind parallel zuein-ander.
�
Raute
Es hat vier Symmetrieachsen. Die beiden Diago-nalen e und f stehen senkrecht aufeinander, sind gleich lang und halbieren sich. Alle vier Winkel sind 90° groß. Alle vier Seiten sind gleich lang. Je zwei Seiten sind parallel zueinander.
�
Rechteck
Es hat keine Symmetrieachse. Die beiden Dia-gonalen e und f halbieren sich. Die gegenüber-liegenden Winkel sind gleich groß. Je zwei Sei-ten sind parallel zueinander und gleich lang.
�
TrapezEs hat keine Symmetrieachse. Die beiden Dia-gonalen e und f schneiden sich. Es gibt keine zueinander parallelen Seiten.
�
unregelmäßigesViereck
Die beiden Diagonalen e und f schneiden sich. Mindestens zwei Seiten sind parallel zueinan-der.
�
Aufgabe 2Ergänze jeweils zu der angegebenen Viereckart.
a) Parallelogramm b) Quadrat c) Raute d) Rechteck
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Viereckarten und ihre Eigenschaften
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n. Die Diaggegenüberliegle vier Seiten ssind parallel
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19Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
19Winkelberechnung am Viereck (1)
Aufgabe 1Teamarbeit für vier Schüler.
(1) Zeichnet auf ein Blatt Papier jeweils ein Viereck: – Schüler 1 ein Rechteck – Schüler 2 ein Parallelogramm – Schüler 3 ein Drachenviereck – Schüler 4 ein unregelmäßiges Viereck
(2) Bezeichnet die vier Winkel in den Vierecken jeweils mit a, b, g und d.
(3) Färbt die vier Winkel in verschiedenen Farben ein. Alle Winkel eines Vierecks sollen aber die glei-che Farbe haben.
(4) Schneidet die Vierecke aus.
(5) Schneidet anschließend die vier Ecken der Vierecke ab.
(6) Legt die vier gleichfarbigen Eckwinkel jeweils zu einem gesamten Winkel zusammen.
(7) Vergleicht eure Ergebnisse in der Gruppe. Was fällt euch auf?
(8) Formuliert eine Regel zur Winkelsumme im Viereck.Tipp: Was kann man über die Größe der vier Winkel zusammen aussagen?
Regel:
Aufgabe 2Gib die fehlenden Winkel der Vierecke an. Nutze dazu die Ergebnisse aus Aufgabe 1.
a) g = _______ b) b = _______ c) a = _______
Aufgabe 3Berechne die fehlenden Winkel.
a) a = 17° b = 99° g = 125° d = ____ b) a = 55° b = 82° g = ____ d = 60°
c) a = 105° b = ____ g = 90° d = 114° d) a = ____ b = 64° g = 73° d = 21°
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den Winkel
_
V
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20Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
20
Aufgabe 1Beweise mithilfe der nebenstehenden Zeichnung (g II h), dass für Parallelogramme immer gilt:
a) a + b = 180°
Für Parallelogramme gilt immer a + b = 180°, weil
b) a = g und b = d
Für Parallelogramme gilt immer a = g und b = d, weil
Tipp: Suche nach Stufen- und Wechselwinkeln und zeichne sie ein.
Aufgabe 2a) Miss die Größe der Winkel in den Rauten.
a1 = ____ a2 = ____ a1 = ____ a2 = ____
b1 = ____ b2 = ____ b1 = ____ b2 = ____
g1 = ____ g2 = ____ g1 = ____ g2 = ____
d1 = ____ d2 = ____ d1 = ____ d2 = ____
e1 = ____ e 2 = ____ e 1 = ____ e 2 = ____
b) Was kannst du über die Größe der Teilwinkel a1 und a2, b1 und b2, g1 und g2, d1 und d2 jeweils aus-sagen?
c) Was kannst du über die Diagonalen in Rauten aussagen?
Aufgabe 3Berechne die fehlenden Winkelgrößen.
a) a1 = 43° b1 = ____ g1 = ____ d1 = ____
a2 = ____ b2 = ____ g2 = ____ d2 = ____
a3 = ____ b3 = ____ g3 = ____ d3 = ____
a4 = ____ b4 = ____ g4 = ____ d4 = ____
b) a1 = 55° b1 = ____ g1 = ____ d1 = ____
a2 = ____ b2 = ____ g2 = ____ d2 = ____
Winkelberechnung am Viereck (2)
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____
und hne sie ein
21Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
21
Aufgabe 1Ordne die Begriffe den jeweiligen Zahlen am Kreis zu. Die Buchstaben ergeben dann in der Reihenfolge von (1) bis (6) ein Lösungswort.
Buchstabe Bezeichnung Symbol
E Durchmesser d
I Kreislinie k
K Mittelpunkt M
L Radius r
R Sehne s
Z Tangente t
Das Lösungswort lautet: ___ ___ ___ ___ ___ ___ � � � � � �
Aufgabe 2Zeichne einen Kreis mit einem beliebigen Radius in dein Heft. Kennzeichne mit verschiedenen Farben den Durchmesser, die Kreislinie, den Mittelpunkt und den Radius.
Aufgabe 3Zeichne die Kreise in dein Heft. Kennzeichne jeweils den Mittelpunkt M, den Radius r und den Durch-messer d.
a) r = 3 cm b) r = 4,6 cm c) d = 4 cm d) d = 50 mm
Aufgabe 4a) Miss jeweils den Radius und den Durchmesser der Kreise.
r = _____ r = _____ r = _____
d = _____ d = _____ d = _____
b) Was fällt dir auf?
Aufgabe 5Ergänze die Tabelle.
Radius r Durchmesser d Radius r Durchmesser d
5 cm 112 mm
9 cm 2,2 dm
58 mm 1 m
Kreise und ihre Eigenschaften (1)
____
s und d
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en Mitt
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elpunkt M, en R
mit verschiedenen Fzeic
chne diemesser d.
a) r = 3 cm
ufgabe 4
reise in dein
ebiginie, den M
eft. K
en Radius in dtelpunkt u
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22Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
22
Aufgabe 1Der Radius der kleinen Kreise beträgt 1 cm.
a) Aus wie vielen Kreisen besteht die Figur? _____
b) Welche Radien haben die mittleren Kreise? _____ _____
c) Welchen Durchmesser hat der große Kreis? _____
d) Übertrage die Figur in dein Heft.
Aufgabe 2Zeichne zwei Kreise mit unterschiedlichen Radien in dein Heft,
a) die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben.
b) von denen der kleine Kreis durch den Mittelpunkt des großen Kreises geht.
c) von denen der große Kreis durch den Mittelpunkt des kleinen Kreises geht.
d) die keinen gemeinsamen Punkt haben, d. h. sich nicht berühren.
e) die einen gemeinsamen Punkt haben, d. h. sich berühren.
f) die zwei gemeinsame Punkte haben, d. h. sich schneiden.
Aufgabe 3Teile die Kreise in die angegebene Anzahl an gleichgroßen Teilflächen.
a) 2 Teile b) 3 Teile c) 4 Teile d) 6 Teile e) 8 Teile
Aufgabe 4a) Zeichne in dein Heft einen Kreis mit dem Radius 2 cm.
b) Zeichne um den Kreis ein Quadrat, dessen Seiten genau in der Mitte von dem Kreis berührt werden.
c) Zeichne um das Quadrat einen zweiten Kreis, der durch alle vier Eckpunkte des Quadrates geht.
d) Zeichne um diesen Kreis wieder ein Quadrat wie bei Teilaufgabe b.
e) Zeichne um dieses Quadrat einen dritten Kreis, der durch alle vier Eckpunkte geht.
f) Zeichne um diesen Kreis ein drittes Quadrat wie bei Teilaufgabe b und d.
g) Bestimme jeweils den Durchmesser der Kreise.
h) Bestimme jeweils die Seitenlänge der Quadrate.
i) Was fällt dir auf? Tipp: Kannst du eine Regelmäßigkeit erkennen?
Kreise und ihre Eigenschaften (2)
be 4e in dein
ßen T
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eilflächen.
6 Teilea) 2 Teile
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en, d. h. sich
n, d. h. sich sc
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s kleinen K
ht berühren
reises geht
eises g
23Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
23
Aufgabe 1Zeichne ein Koordinatensystem (Einheit 1cm) in dein Heft. Zeichne die gegebenen Punkte ein und er-gänze zu der genannten Figur. Gib jeweils die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an.
a) Quadrat A(2 | 1,5) B(–2 | 1,5) C(____ | ____) D(____ | ____)
b) Rechteck A(–2 | –3) B(1 | –3) C(1 | 2,5) D(____ | ____)
Aufgabe 2Welche der Figuren sind a) Trapeze:
b) Parallelogramme:
c) Rauten:
Aufgabe 3Berechne die fehlenden Winkel.
a) a1 = ____ b1 = ____ g1 = ____ d1 = 79°
a2 = ____ b2 = ____ g2 = ____ d2 = ____
b) a1 = ____ a2 = ____ a3 = ____ a4 = ____
b1 = ____ b2 = ____ b3 = ____ b4 = ____
g1 = ____ g2 = 33° g3 = ____ g4 = ____
d1 = ____ d2 = ____ d3 = ____ d4 = ____
c) a1 = 27° a2 = ____ a3 = ____ a4 = ____
b1 = ____ b2 = ____ b3 = ____ b4 = ____
g1 = 73° g2 = ____ g3 = ____ g4 = ____
d1 = ____ d2 = ____ d3 = ____ d4 = ____
e1 = ____ e 2 = ____ e 3 = ____ e 4 = ____
Aufgabe 4a) Zeichne in dein Heft ein Quadrat mit a = 2 cm.
b) Zeichne um dieses Quadrat drei weitere Quadrate, die jeweils einen Abstand von 1,5 cm zu dem nächst kleineren Quadrat haben.
c) Gib die Seitenlängen der neu entstandenen Quadrate an.
Vermischte Übungen zu Figuren
27°
____
°
= 33
d ____
a2 = ____
b =
_ b
d3
_
__ d2 =
__ a4 = ___
_
79°
___
echne d
a) a ____
a2 = ____
a1 = ___
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b1 = _
kel.
24Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
24
Aufgabe 1Zeichne zu der Geraden drei Parallelen.
Aufgabe 2Zeichne die Senkrechten durch die Punkte P, Q und R zu g.
Aufgabe 3Zeichne die gegebenen Punkte in die Koordinatensysteme und ergänze zu der genannten Figur. Gib jeweils die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an.
a) Drachenviereck b) Parallelogramm c) Raute
A(2,5 | 2) B(1 | 3,5) A(__ | __) B(1,5 | –1) A(–1 | 1) B(__ | __)
C(–2,5 | 2) D(__ | __) C(3,5 | 1) D(–0,5 | 1) C(3 | 1) D(1 | 3)
Aufgabe 4Welche Winkel bilden die Uhrzeiger jeweils zur angegebenen Uhrzeit? Hinweis: Bestimme die Winkel unter der Annahme, dass der Stundenzeiger auf die volle Stunde zeigt.
a) ____ / ____ b) ____ / ____ c) ____ / ____ d) ____ / ____
Aufgabe 5Trage jeweils eine Uhrzeit in die Uhren ein, zu der der angegebene Winkel gebildet wird.
a) 72° b) 120° c) 180° d) 210° e) 282° f) 312°
Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (1)
___
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Uhrzeier Stu
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25Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
25Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (2)
Aufgabe 1a) Zeichne die Punkte A(4 | 3), B(–5 | 3), C(–4 | 7), D(–4 | –1), E(8 | 1) und F(4 | –6)
in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm).
b) Zeichne die Strecke AB und miss ihre Länge.
c) Zeichne die Halbgerade AC.
d) Zeichne die Gerade AD.
e) Zeichne durch E eine Parallele zu AD.
f) Zeichne durch F eine Senkrechte zu AD.
g) Gib die Schnittpunkte der Geraden AD mit den beiden Achsen an.
h) Gib die Schnittpunkte der Parallelen mit den beiden Achsen an.
i) Gib die Schnittpunkte der Senkrechten mit den beiden Achsen an.
j) Gib den Schnittpunkt der Senkrechten mit der Parallelen an.
k) Gib den Schnittpunkt der Halbgeraden mit der y-Achse an.
l) Gib den Schnittpunkt der Halbgeraden mit der Senkrechten an.
Aufgabe 2Kreuze an.
falsch richtig
Ein Drachenviereck hat zwei Symmetrieachsen.
Eine Raute hat zwei Symmetrieachsen.
Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck.
Man kann jedes Viereck in zwei Dreiecke teilen.
Alle Vierecke sind rechteckig.
Alle Parallelogramme sind auch Trapeze.
Ein Quadrat hat vier Symmetrieachsen.
Die Diagonalen eines Parallelogramms stehen senkrecht aufeinander.
Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander.
Aufgabe 3a) Ergänze die Tabelle. b) Zeichne ein Beispiel zu jeder Winkelart.
Winkelart Winkelgröße
0 < a < 90°
90°
stumpfer Winkel
gestreckter Winkel
180 < a < 360°
Vollwinkel
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26Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
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27Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
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28Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
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30Michael Körner: Grundlagen der Geometrie
© Persen Verlag
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Illustrationen: Sven LehmkuhlSatz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH
Bestellnr.: 21000DA1
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