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Analytische GeometrieUnterrichtsinhalte und Beispiele
Olaf Schimmel
1 Berechnungen an Flächen und Körpern
Beispiel 1 Berechnungen an einem Prisma.
Gegeben ist im Raum ein gerades vierseitiges Prisma ABCDEFGH mit der Höheh = 8 LE durch die Punkte der Grundfläche A(6; 2; -2); B(4; 6; -2), C(0; 4; -2)und D(2; 0; -2).
Skizzieren Sie das Prisma und bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkteder Deckfläche.
E(6; 2; 6); F(4; 6; 6); G(0; 4; 6); H(2; 0; 6)
Untersuchen Sie ob das Viereck ABCD besondere Eigenschaften hat.
ÝÝÑAB “
¨
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4
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“ÝÝÑDC ^
ÝÝÑAD “
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‚
“ÝÝÑBC
|ÝÝÑAB| “ |
ÝÝÑDC| “ |
ÝÝÑAD| “ |
ÝÝÑBC| “ 2
?5
Das Viereck ABCD ist ein Rhombus.
1
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Es ist ÝÝÑAB ˝ ÝÝÑAD “ 0 ñ ?BAD “ 90˝
Das Viereck ABCD ist sogar ein Quadrat.
Berechnen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt des Prismas.
V “ |ÝÝÑAB| ¨ |
ÝÝÑAD| ¨ |
ÝÑAE| “ 20 ¨ 8 “ 160 VE
AO “ 2 ¨ |ÝÝÑAB| ¨ |
ÝÝÑAD| ` 4 ¨ 2
?5 ¨ 8 “ p40` 64 ¨
?5q FE
Ein Punkt R teilt die Kante AE im Verhältnis 3:5. Bestimmen Sie R und be-rechnen Sie den Winkel ?BRG.
ÝÝÑOR “
ÝÑOA`
3
8¨ÝÑAE “
¨
˚
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6
2
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cos?BRG “
ÝÝÑRB ˝
ÝÑRG
|ÝÝÑRB| ¨ |
ÝÑRG|
“ ´5
?29 ¨ 65
?BRG “ 96, 61˝
Die Koordinatenebenen teilen das Prisma in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie dasVerhältnis, in dem die x-y-Ebene das Prisma zerlegt.
Da die Grundfläche ABCD parallel zur x-y-Ebene liegt, ist das teilungsverhältnisgleich dem, in dem die Höhe geteilt wird.
Anhand den Koordinaten der Punkte A und E erhält man:V1V2“h1h2“
2
6Das gesuchte Teilungsverhältnis beträgt 1:3.
Durch einen ebenen geraden Schnitt kann man das Prisma so in zwei Teilkörperzerlegen, dass zwei dreiseitige Prismen entstehen ohne dass neue Eckpunkte hin-zukommen. Beschreiben Sie einen solchen Schnitt und ermitteln Sie um wie vielProzent dabei der Oberflächeninhalt der beiden Teilkörper insgesamt zunimmt.
Der Schnitt erfolgt diagonal durch den Körper. Es gibt sechs Möglichkeiten:Schnittflächen sind dann ACGE, BDHF, ABGH, BCHE, CDEF oder DAFG.Die Inhalte sind: A “ 16
?10 für die ersten beiden und A “ 4
?105 für die
anderen.
2
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 2 Berechnungen an einem PyramidenstumpfGegeben ist ein gerader Pyramidenstumpf ABCDEFGH durch die Punkte A(5;0; 0) B(0; 5; 0), C(-5; 0; 0), D(0; -5; 0) und E(3; 0; 4).
Zeigen Sie, dass die Punkte ABCD Eckpunkte eines Quadrates sind. BestimmenSie den Flächeninhalt des Quadrates ABCD.
ÝÝÑAB “
ÝÝÑDC “
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^ÝÝÑAD “
ÝÝÑBC “
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‚
ÝÝÑAB ˝
ÝÝÑAD “ 0 ^ |
ÝÝÑAB| “ |
ÝÝÑAD| “ 5
?2
Damit ist das Quadrat ABCD nachgewiesen. Der Flächeninhalt beträgt: A = 50FE.
Geben Sie die Koordinaten der Punkte F, G und H an.
Die z-Koordinate wächst um 4 und die anderen Koordinaten werden von 5 auf3 bzw. -3 reduziert.Wir erhalten: F(0; 3; 4), G(-3; 0; 4) und H(0; -3; 4).
Bestimmen Sie den Oberflächeninhalt und das Volumen des Pyramidenstumpfes.
AO “ AG `AD ` 4 ¨AS
AG “ 50 FE; AD “ 18 FE; AS “1
2
´
|ÝÝÑAB ˆ
ÝÑAF | ` |
ÝÑAF ˆ
ÝÑAE|
¯
“ 24 FE
AO “ p50` 18` 96q “ 164 FE
Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Seitenflächen gegenüber der Grundfläche.
Die Mittelpunkte der Seiten AB, EF und DC sind R(2,5; 2,5; 0); S(1,5; 1,5; 4)und T(-2,5; -2,5; 0). Wir berechnen den Winkel ?TRS.
cos ?TRS “1
3ñ ?TRS “ 70.53˝
Alle anderen Seitenflächen haben denselben Neigungswinkel.
3
2 Gleichungen für Geraden und Strecken
2.1 Geradengleichungen in Parameterform
Def 2.1
Sei P P g und ~a ‖ g. Dann heißt jede Gleichung der Form:
~x “ÝÝÑOP ` t ¨ ~a t P R
Parametergleichung der Geraden g mit dem Parameter t. ÝÝÑOP heißt Stützvektor und ~aheißt Richtungsvektor von g.
Bemerkungen:
1. Für jede Belegung des Parameters t erhält man den Ortsvektor zu genau einemPunkt der Geraden und zu jedem Punkt auf g existiert genau ein Parameterwertt.
2. Sind zwei Punkte von g bekannt, so kann man aus ihnen eine Parametergleichungaufstellen. Man erhält aus A und B die Gleichung:
g : ~x “ÝÑOA` t ¨
ÝÝÑAB
Gilt in dieser Gleichung: 0 ď t ď 1, so erhält man die Punkte der Strecke AB.
3. Für dieselbe Gerade sind unendlich viele unterschiedliche Parametergleichungenmöglich, denn jeder Punkt auf g kann als Stützvektor verwendet werden und jederVektor, der zu g parallel liegt, kann als Richtungsvektor dienen.
4. Jede Parametergleichung einer Geraden ist eine n-dimensionale Vektorgleichungund kann in n lineare Gleichungen mit der Variablen t zerlegt werden.
Beispiel 1 Stellen Sie eine Gleichung der Geraden durch die Punkte P(3; 1; -1) undQ(8; 2; -4) auf.
Stützvektor: ÝÝÑOP ; Richtungsvektor: ÝÝÑPQ
g : ~x “
¨
˚
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` t ¨
¨
˚
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1
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‚
t P R
4
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 2 Prüfen Sie, ob die Punkte A(3; 2; -4) und B(2; 0; 1) auf
g: ~x “
¨
˚
˝
1
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` t ¨
¨
˚
˝
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2
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liegen.
¨
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ñ t “ 2 ñ A P g
¨
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` t ¨
¨
˚
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1
2
´3
˛
‹
‚
ñ n.l. ñ B R g
Beispiel 3 Untersuchen Sie, für welchen Parameterwert a der Punkt A(a; 2a+1) auf
g: ~x “
˜
1
2
¸
` t ¨
˜
´2
´3
¸
liegt.
˜
a
2a` 1
¸
“
˜
1
2
¸
`t ¨
˜
´2
´3
¸
ñ a “ 1´2t ^ 2a`1 “ ´3t`2
t “ 1 ^ a “ ´1 ñ A(-1; -1) liegt auf g.
Beispiel 4 Zeigen Sie, dass der Punkt P(3; 8; 5) auf der Strecke AB mit A(-2; -2; 10)und B(5; 12; 3) liegt. Bestimmen Sie das Verhältnis, in dem er die Strecketeilt.
¨
˚
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3
8
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‚
ñ 0 ď t “5
7ď 1 ñ P P AB
ÝÑAP “
5
7¨ÝÝÑAB ñ AP : PB “ 5 : 2
Beispiel 5 Bestimmen Sie den Punkt auf der Strecke AB mit A(3; 0; 1) und B(5; 5;-4), der diese im Verhältnis 3:7 teilt.
Gleichung: ~x “
¨
˚
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3
0
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‚
` t ¨
¨
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‚
^ 0 ď t ď 1
TV = 3:7 ñ t “3
10ñ T p3, 6; 1, 5;´0, 5q
5
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
2.2 Parameterfreie Geradengleichungen
In der Ebene kann man Geraden auch durch eine einzige Gleichung parameterfrei be-schreiben. In der Gleichung tauchen dann nur die Koordinaten x und y auf.
Def 2.2
In der Ebene heißt die Gleichung der Form:
a ¨ x` b ¨ y “ c
Geradengleichung in allgemeiner Form. Dabei dürfen a und b nicht beide den Wert 0annehmen.
Bemerkungen:
1. Für a “ 0 und b ‰ 0 erhält man nach Umstellen: y “c
b, also eine Parallele zur
x-Achse.
2. Für a ‰ 0 und b “ 0 erhält man nach Umstellen: x “c
a, also eine Parallele zur
y-Achse.
3. Für a ‰ 0 und b ‰ 0 erhält man durch Umstellen nach y: y “ ´a
b¨ x`
c
bdie Glei-
chung einer linearen Funktion mit dem Anstieg m “ ´a
bund dem Achsenabschnitt
n “c
b.
Beispiel 6 Stellen Sie eine Gleichung der Geraden durch die Punkte A(3; -1) undB(5; 2) in Parameterform und in parameterfreier Form auf.
Parameterform: ~x “
˜
3
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¸
` t ¨
˜
2
3
¸
t P R
parameterfreie Form:
x “ 3` 2t nach x: t “1
2x´
3
2
Ergebnis in y: y “ ´1` 3 ¨
ˆ
1
2x´
3
2
˙
ñ y “3
2¨ x´
11
2
Beispiel 7 Geben Sie für die Gerade g: y = -2x + 7 eine Parametergleichung an.
Lösung: Berechnung zweier Punkte, daraus die Geradengleichung
P1p0; 7q;P2p1; 5q ñ ~x “
˜
0
7
¸
` t ¨
˜
1
´2
¸
6
3 Lage von Geraden
3.1 Rechnerische Untersuchungen in der Ebene
In der Ebene kann man die gegenseitige Lage zweier Geraden eindeutig anhand derAnzahl der Schnittpunkte schließen. Um die Anzahl der Schnittpunkte zu ermitteln,kann man die Geradengleichungen gleichsetzen und erhält ein Gleichungssystem. Dabeikönnen folgende Fälle auftreten:
1. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, dann sind die Geraden parallel undverschieden.
2. Gibt es genau eine Lösung, so schneiden sich beide Geraden in genau einemPunkt.
3. Hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so beschreiben beide Glei-chungen dieselbe Gerade, bzw. die Geraden sind identisch.
Beispiel 1 Untersuchen Sie die Lage der Geraden
g: ~x “
˜
3
´1
¸
` t ¨
˜
1
´2
¸
und h: ~x “
˜
2
0
¸
` u ¨
˜
´2
1
¸
3` t “ 2´ 2u ^ ´1´ 2t “ u
3` t “ 2´ 2p´1´ 2tq
3t “ ´1 ñ t “ ´1
3u “ ´
1
3
Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt: Sˆ
8
3;´
1
3
˙
Bemerkung:Den Schnittpunkt erhält man durch Einsetzen eines der errechneten Parameterwerte indie zugehörige Geradengleichung.
7
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 2 Untersuchen Sie die Lage der Geraden
g: ~x “
˜
3
´1
¸
` t ¨
˜
1
´2
¸
und h: 2x´ 3y “ 6
Aus der Geradengleichung von g ergibt sich: x “ 3` t und y “ ´1´ 2t
Setzen wir dies in die Gleichung für h ein, erhalten wir:
2p3` tq ´ 3p´1´ 2tq “ 6 ñ t “ ´3
8
Die Geraden schneiden sich in einem Punkt Sˆ
21
8;´
1
4
˙
Beispiel 3 Gegeben ist eine Geradenschar ga : ~x “
˜
1
4
¸
` t ¨
˜
a
a´ 4
¸
t; a P R
und eine Gerade h: ~x “
˜
2
6
¸
` u ¨
˜
3
´1
¸
u P R.
Untersuchen Sie die Lage in Abhängigkeit vom Parameter a.
Die Geraden liegen parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängigsind, also wenn gilt:
˜
a
a´ 4
¸
“ r ¨
˜
3
´1
¸
ñ r “ 1^ a “ 3
Für a = 3 folgt:
˜
1
4
¸
“
˜
2
6
¸
` u ¨
˜
3
´1
¸
n.l. und damit g1 ‖ h.
Für a ‰ 3 folgt:
˜
1` t ¨ a
4` t ¨ pa´ 4q
¸
“
˜
2` 3u
6´ u
¸
Lösung des Gleichungssystems führt auf:
t “7
4a´ 12^ u “
a` 4
4a´ 12
ga und h schneiden sich im Punkt: Saˆ
11a´ 20
4a´ 12;23a´ 76
4a´ 12
˙
8
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
3.2 Lagemöglichkeiten und ihre Untersuchung im Raum
Die folgende Tabelle zeigt die Lagemöglichkeiten zweier Geraden im Raum und zugehö-rige rechnerische Merkmale:
Lagebeschreibung Schnittgebilde Richtungsvektoren
g und h schneiden sich ineinem Punkt S.
g X h “ tSu
Das Gleichungssystem hat genau ei-ne Lösung für jeden Parameter.
~g ∦ ~h
g und h sind parallel undverschieden.
g X h “ H
Das Gleichungssystem hat keine Lö-sung.
~g ‖ ~h
g und h sind identisch. g X h “ g “ h
Das Gleichungssystem hat unend-lich viele Lösungen.
~g ‖ ~h
g und h liegen windschief. g X h “ H
Das Gleichungssystem hat keine Lö-sung.
~g ∦ ~h
Um also die Lage vollständig zu untersuchen reicht es nicht aus, das Gleichungssystemzu lösen. Es empfiehlt sich folgende
Vorgehensweise:
1. Untersuche, wie viele Lösungen das Gleichungssystem aus g X h besitzt.Fall 1: unendliche viele Lösungen ñ g “ h
Fall 2: genau eine Lösung ñ g X h “ S (S aus Parametern berechnen.)Fall 3: keine Lösung: ñ weiter mit 2.
2. Untersuche die Richtungsvektoren auf Parallelität.Fall 3.1: ~g ‖ ~h ñ g ‖ hFalls 3.2: ~g ∦ ~h ñ g windschief zu h.
Die Richtungsvektoren müssen nur dann untersucht werden, wenn das Gleichungssystemkeine Lösungen besitzt.
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O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 4 Untersuchen Sie die Lage der Geraden
g: ~x “
¨
˚
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3
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‚
` r ¨
¨
˚
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und h: ~x “
¨
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` s ¨
¨
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‚
Untersuchung des Gleichungssystems g X h:
¨
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‚
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¨
˚
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‹
‚
2r ` s “ 1
´r ` 2s “ 2
2r ` s “ 4
1 “ 4 ñ L “ H
Lage noch nicht eindeutig bestimmt. Die Geraden können windschief oderparallel zueinander liegen.
Untersuchung der Richtungsvektoren:
¨
˚
˝
´2
1
´2
˛
‹
‚
“ λ ¨
¨
˚
˝
1
2
1
˛
‹
‚
λ “ ´2
λ “1
2λ “ ´2
λ ist nicht eindeutig bestimmt. (Widerspruch)
~g ∦ ~h ñ g und h liegen windschief.
Bemerkung:Untersucht man zuerst die Richtungsvektorem auf Parallelität, so muss man in jedemFalle das Gleichungssystem noch Lösen. Daher ist es besser, zuerst dieses zu lösen.
10
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 5 Untersuchen Sie die Lage der Geraden
g: ~x “
¨
˚
˝
2
0
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˛
‹
‚
` r ¨
¨
˚
˝
´1
1
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und h: ~x “
¨
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˝
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Untersuchung des Gleichungssystems g X h:
¨
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˝
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` r ¨
¨
˚
˝
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¨
˚
˝
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¨
˚
˝
2
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4
˛
‹
‚
r ` 2s “ ´4
´r ´ 2s “ 4
2r ` 4s “ ´8
r “ ´2s´ 4
ñ L “ tpr; sq : r “ ´2s´ 4^ s P Ru
Die Geraden sind identisch.
Beispiel 6 Untersuchen Sie die Lage der Geraden
g: ~x “
¨
˚
˝
3
4
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˛
‹
‚
` r ¨
¨
˚
˝
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2
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‹
‚
und h: ~x “
¨
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˝
5
5
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‹
‚
` s ¨
¨
˚
˝
1
´1
1
˛
‹
‚
Untersuchung des Gleichungssystems g X h:
r ` s “ ´2
2r ` s “ 1
r ´ s “ 8
r “ 3 ^ s “ ´5
Die Geraden schneiden sich in einem Punkt S.
Wir erhalten: Sp0; 10; 1q
11
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 7 Untersuchen Sie die Lage der Geradenschar
ga: ~x “
¨
˚
˝
a
´1
a` 1
˛
‹
‚
` r ¨
¨
˚
˝
´1
1
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˛
‹
‚
und der Geraden
h: ~x “
¨
˚
˝
2
1
1
˛
‹
‚
` s ¨
¨
˚
˝
´1
0
1
˛
‹
‚
Untersuchung des Gleichungssystems ga X h:
a´ r ` s “ 2
r “ 2
a` 3r ´ s “ 0
a` s “ 4
a´ s “ ´6
ñ a “ ´1^ s “ 5
Für a = -1 schneiden sich die Geraden im Punkt Sp´3; 1; 6q.
Für a ‰ ´1 hat das System keine Lösung.
Untersuchung der Richtungsvektoren:
¨
˚
˝
´1
1
3
˛
‹
‚
“ λ ¨
¨
˚
˝
´1
0
1
˛
‹
‚
λ “ 1
λ “ n.d.
λ “ 3
λ ist nicht bestimmt. (Widerspruch)
~ga ∦ ~h ñ ga und h liegen für a ‰ ´1 windschief.
12
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
3.3 Schnittwinkel zwischen zwei Geraden
Wenn sich zwei Geraden in genau einem Punkt S schneiden, so kann man zwischen ihneneinen Schnittwinkel definieren.
Der Schnittwinkel zwischen zwei Ge-raden ist stets der maximal rechteWinkel zwischen ihnen.Berechnet man den Winkel zwischenden Richtungsvektoren könnte manjedoch auch den stumpfen Winkelerhalten.
Ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren bereits sowieso der spitze Winkel, erhältman direkt den Winkel αS . Ist der Winkel dagegen stumpf, gilt offensichtlich die Bezie-hung αS “ 180˝ ´ α2. Aufgrund der Eigenschaften der Kosinusfunktion gilt dann abercosαS “ ´ cosα2. Da nun aber für stumpfe Winkel das Skalarprodukt der Richtungs-vektoren negativ ist, folgt für den Schnittwinkel in diesem Fall, dass man den entgegen-gesetzten Wert erhält, also den Betrag des Skalarproduktes.Zusammengefasst erhält man:
Satz 3.1
Gegeben seien die Geraden g und h mit den Richtungsvektoren ~g und ~h. Wenn sich dieGeraden in einem Punkt schneiden, gilt für den Schnittwinkel:
cos ?pg, hq “|~g ˝ ~h|
|~g| ¨ |~h|
Beispiel 8 Begründen Sie, dass sich die Geraden
g: ~x “
¨
˚
˝
1
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˛
‹
‚
` r ¨
¨
˚
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´1
´2
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und h: ~x “
¨
˚
˝
0
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‚
` s ¨
¨
˚
˝
1
3
2
˛
‹
‚
in einem Punkt schneiden und berechnen Sie den Schnittwinkel.
Für r = 1 erhält man den Stützvektor von h. ~g ∦ ~h, also gilt: S(0; 2; 1).
cosαS “| ´ 1 ¨ 1´ 2 ¨ 3` 1 ¨ 2|
?6 ¨?
14« 0, 5455
αS “ 56, 94˝
13
4 Ebenen und ihre Beschreibung
4.1 Parametergleichungen einer Ebene
Eine Ebene ist durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen eindeutig bestimmt.In ähnlicher Weise wie bei einer Geraden kann man daraus eine Parametergleichungaufstellen, mit der jeder Punkt auf der Ebene beschrieben werden kann.
Def 4.1
Sei E eine Ebene mit den drei nichtkollinear liegenden Punkten A, B und C. Dann heißtjede Gleichung der Form:
~x “ÝÑOA` u ¨
ÝÝÑAB ` v ¨
ÝÑAC u, v P R
Parametergleichung der Ebene E mit den Parametern u und v.ÝÑOA heißt Stützvektor. ÝÝÑAB und ÝÑAC heißen Spannvektoren von E.
Bemerkungen:
1. Für jede Belegung beider Parameter u und v erhält man den Ortsvektor zu genaueinem Punkt der Ebene und zu jedem Punkt auf E existiert genau ein geordnetesPaar zugehöriger Parameterwerte u und v.
2. Für dieselbe Ebene sind unendlich viele unterschiedliche Parametergleichungenmöglich, denn jeder Punkt auf E kann als Stützvektor dienen und beliebige nicht-parallele Vektoren, die auf E liegen, können als Spannvektoren verwendet werden.
3. Jede Parametergleichung einer Ebene ist eine n-dimensionale Vektorgleichung undkann in n lineare Gleichungen mit den Variablen u und v zerlegt werden.
Beispiel 1 Stellen Sie eine Gleichung der Ebene durch die Punkte P(3; 1; -1); Q(6; 3;4) und R(0; 2; 1) auf.
Stützvektor: ÝÝÑOP ; Spannvektoren: ÝÝÑPQ; ÝÑPR
E : ~x “
¨
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u, v P R
14
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 2 Gegeben ist die Ebene E durch:
~x “
¨
˚
˝
2
3
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` u ¨
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˚
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1
3
˛
‹
‚
u, v P R
Untersuchen Sie, ob die Punkte P(4; 4; 2) bzw. Q(-6; 2; 6) zu E gehören.Für welchen Parameterwert r liegt R(r; 4; r) auf E?
Wir setzen die Punkte in die Ebenengleichung ein und lösen das Glei-chungssystem.
¨
˚
˝
4
4
2
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“
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u´ 2v “ 2
2u` v “ 1
u` 3v “ 3
p1q; p3q ñ u “12
5^ v “
1
5Probe mit (2): 5 “ 1 falsche Aussage
ñ P R E
¨
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˝
´6
2
6
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‚
“
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2
3
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¨
˚
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1
2
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‚
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¨
˚
˝
´2
1
3
˛
‹
‚
u´ 2v “ ´8
2u` v “ ´1
u` 3v “ 7
p1q; p3q ñ u “ ´2 ^ v “ 3
Probe mit (2): ´ 1 “ ´1 wahre Aussage
ñ Q P E
Es entstehen Gleichungssysteme aus drei Gleichungen mit nur zwei Varia-blen. Man löst das System aus zwei Gleichungen und führt mit der drittendie Probe aus.
15
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
¨
˚
˝
r
4
r
˛
‹
‚
“
¨
˚
˝
2
3
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` u ¨
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1
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‚
` v ¨
¨
˚
˝
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1
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˛
‹
‚
r ´ u` 2v “ 2
2u` v “ 1
r ´ u´ 3v “ ´1
p1q ´ p3q : ñ v “3
5^ u “
1
5^ r “ 1
Für r = 1 liegt der Punkt R(1; 4; 1) in der Ebene E.
Bemerkung:Mit Hilfe von Parametergleichungen kann man auch prüfen, ob ein Punkt P zu einemDreieck ABD oder zu einem Parallelogramm ABCD gehört. Zunächst stellt man dieEbenengleichung in der Form:
~x “ÝÑOA` u ¨
ÝÝÑAB ` v ¨
ÝÝÑAD u, v P R
auf. Dann gelten folgende Bedingungen:
1. P gehört zum Dreieck ABC genau dann, wenn gilt:
u ě 0^ v ě 0^ u` v ď 1
2. P liegt im Parallelogramm ABCD, wenn gilt:
0 ď u ď 1 ^ 0 ď v ď 1
Beispiel 3 Untersuchen Sie, ob der Punkt P(4; 3; 6) zum Dreieck ABC mitA(0; -2; 1); B(8; 10; 5); C(4; 2; 9) gehört.
¨
˚
˝
4
3
6
˛
‹
‚
“
¨
˚
˝
0
´2
1
˛
‹
‚
` u ¨
¨
˚
˝
8
12
4
˛
‹
‚
` v ¨
¨
˚
˝
4
4
8
˛
‹
‚
2u` v “ 1
12u` 4v “ 5
4u` 8v “ 5
u “1
4^ v “
1
2ñ u` v ă 1 ñ P P ∆ABC
16
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
4.2 Punkt-Normalenform der Ebenengleichung
Eine Ebene ist durch einen Punkt P,der zur Ebene gehört und einen Nor-malenvektor ~n zur Ebene eindeutig be-stimmt. Für jeden Punkt X, der eben-falls zur Ebene gehört ist dann das Ska-larprodut aus den Vektoren ÝÝÑPX und ~nstets gleich Null.
Verfolgen wir diesen Gedanken weiter, so erhalten wir:
ÝÝÑPX ˝ ~n “ 0
´
ÝÝÑOX ´
ÝÝÑOP
¯
˝ n “ 0
ÝÝÑOX ˝ ~n “
ÝÝÑOP ˝ ~n
Def 4.2
Sei P ein Punkt der Ebene E und ~n ein Normalenvektor zur Ebene E. Dann heißt dieGleichung der Form:
~x ˝ ~n “ÝÝÑOP ˝ ~n
Punkt-Normalengleichung der Ebene E.
Beispiel 4 Stellen Sie die Punkt-Normalengleichung der Ebene E durch A(2; 1; 0),B(1; 3; 2) und C(0; 3; 1) auf und prüfen Sie, ob Q(2; 1; 6) zu E gehört.
~n “ÝÝÑAB ˆ
ÝÑAC “
¨
˚
˝
´1
2
2
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‹
‚
ˆ
¨
˚
˝
´2
2
1
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‹
‚
“
¨
˚
˝
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´3
2
˛
‹
‚
E : ~x ˝
¨
˚
˝
´2
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‚
“
¨
˚
˝
2
1
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‚
˝
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‚
“ ´7
¨
˚
˝
2
1
6
˛
‹
‚
˝
¨
˚
˝
´2
´3
2
˛
‹
‚
“ ´7
5 “ ´7 falsche Aussage Q R E
17
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
4.3 Koordinatengleichung einer Ebene
Wir bezeichnen den Normalenvektor ~n :“
¨
˚
˝
a
b
c
˛
‹
‚
und das Produkt ÝÝÑOP ˝ ~n :“ d.
Setzen wir das in die Punkt-Normalengleichung ein, so ergibt sich:
~x ˝
¨
˚
˝
a
b
c
˛
‹
‚
“ d
¨
˚
˝
x
y
z
˛
‹
‚
˝
¨
˚
˝
a
b
c
˛
‹
‚
“ d
ax` by ` cz “ d
Def 4.3
Eine Ebene im Raum kann durch eine Gleichung der Form
ax` by ` cz “ d a, b, c, d P R
beschrieben werden. Dabei dürfen a,b,c nicht alle gleich 0 sein. Eine Gleichung dieserForm heißt Koordinatengleichung der Ebene E.
Bemerkungen:
1. Eine Punktprobe geschieht durch Einsetzen der Punktkoordinaten in die Gleichung.und wird dadurch sehr einfach.
2. Wenn d = 0 ist, gehört der Ursprung zur Ebene E und umgekehrt. (Nachweis durchPunktprobe)
3. Die Gleichungen der Koordinatenebenen heißen:y-z-Ebene: x = 0; x-z-Ebene: y = 0 und x-y-Ebene: z = 0.
4. Wenn genau zwei der Parameter a, b, c den Wert 0 annehmen erhält man eineParallelebene zu einer der Koordinatenebenen.
5. Wenn genau einer der Parameter den Wert 0 annimmt, erhält man eine Parallele-bene zu einer der Koordinatenachsen.
6. Die Koordinatengleichung einer Ebene ist die wichtigste Gleichung. Viele Untersu-chungen an Ebenen können mit Hilfe dieser Gleichung am effektivsten durchgeführtwerden.
18
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 5 Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E durch A(1; 1; 0),B(1; 4; 1) und C(2; 2; 3) auf und prüfen Sie, ob Q(2; 1; 6) zu E gehört.
~n “ÝÝÑAB ˆ
ÝÑAC “
¨
˚
˝
0
3
1
˛
‹
‚
ˆ
¨
˚
˝
1
1
3
˛
‹
‚
“
¨
˚
˝
8
1
´3
˛
‹
‚
d “ÝÑOA ˝ ~n “ 9
E : 8x` y ´ 3z “ 9
Beispiel 6 Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E auf:
~x “
¨
˚
˝
4
3
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˛
‹
‚
` u ¨
¨
˚
˝
3
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5
˛
‹
‚
` v ¨
¨
˚
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u, v P R
~n “
¨
˚
˝
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‚
ˆ
¨
˚
˝
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1
2
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‚
“
¨
˚
˝
´7
´21
0
˛
‹
‚
Wir verwenden: ~n˚ “
¨
˚
˝
1
3
0
˛
‹
‚
d “
¨
˚
˝
4
3
´5
˛
‹
‚
˝ ~n˚ “ 13
E : x` 3y “ 13
Die Ebene weißt in der Gleichung keine z-Koordinate auf. Diese ist alsostets frei wählbar. Folglich liegt E parallel zur z-Achse.Die x-Achse schneidet sie im Punkt Sx “ p13; 0; 0q.
Die y-Achse schneidet sie im Punkt: Sy “ˆ
0;13
3; 0
˙
.
Bemerkung:Man kann den Normalenvektor beliebig „kürzen“, um auf diese Weise Vektoren mit klei-neren ganzzahligen Koordinaten zu erhalten.
19
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 7 Stellen Sie eine Parametergleichung der Ebene E auf: 2x´ 3y ` 5z “ 18
Wir ermitteln einfach drei Punkte und stellen aus diesen eine Parameter-gleichung auf. Als Punkte könnte man jeweils die Schnittpunkte mit denKoordinatenachsen verwenden.
x-Achse: y “ 0 ^ z “ 0 ñ x “ 9 ñ Sxp9; 0; 0q
y-Achse: x “ 0 ^ z “ 0 ñ y “ ´6 ñ Syp0;´6; 0q
z-Achse: x “ 0 ^ y “ 0 ñ z “18
5ñ Sz
ˆ
0; 0;18
5
˙
Daraus ergibt sich dann folgende Parametergleichung:
E : ~x “
¨
˚
˝
9
0
0
˛
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‚
` u ¨
¨
˚
˝
´9
´6
0
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` v ¨
¨
˚
˚
˝
´9
018
5
˛
‹
‹
‚
u, v P R
Beispiel 8 Eine Ebenenschar Et geht durch die Punkt Atpt; t ´ 1; 0q, B(2; 3; 1) undC(1 ; -1; 2). Stellen Sie eine Koordinatengleichung auf.
Wir benutzen zur Bestimmung des Normalenvektors die Vektoren ÝÑACund ÝÝÑBC:
~n “
¨
˚
˝
1´ t
´t
2
˛
‹
‚
ˆ
¨
˚
˝
´1
´2
1
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‹
‚
“
¨
˚
˝
4´ t
t´ 3
´2
˛
‹
‚
d “
¨
˚
˝
1
´1
2
˛
‹
‚
˝
¨
˚
˝
4´ t
t´ 3
´2
˛
‹
‚
“ ´2t` 3
E : p4´ tqx` pt´ 3qy ´ 2z “ ´2t` 3
Für t “3
2geht die Ebene durch den Ursprung.
Für t = 4 ist sie parallel zur x-Achse.
Für t = 3 liegt sie parallel zur y-Achse.
20
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
4.4 Achsenabschnittsgleichung
Gegeben sei eine Ebenengleichung in Koordinatenform mit d ‰ 0:
ax` by ` cz “ d
Dividiert man diese Gleichung durch d, so ergibt sich:
a
dx`
b
dy `
c
dz “ 1
Nun ersetzen wir (falls diese existieren): r “d
a, s “
d
bund t “
d
c. So ergibt sich:
x
r`y
s`z
t“ 1
Def 4.4
Gegeben seien reelle Zahlen r, s und t. Dann heißt eine Ebenengleichung der Form
x
r`y
s`z
t“ 1
Achsenabschnittsgleichung der Ebene E. Ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenach-sen sind dann: Sxpr; 0; 0q, Syp0; s; 0q und Szp0; 0; tq.
Beispiel 8 Eine Ebene schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten A(2; 0; 0);B(0; 3; 0) und C(0; 0; 9). Stellen Sie die Achsenabschnittsgleichung undeine Koordinatengleichung auf.
Achsenabschnittsgleichung:
x
2`y
3`z
9“ 1
Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner 36 und erhalten die Koordina-tengleichung:
18x` 12y ` 4z “ 36
Beispiel 9 Eine Ebene ist durch 4x ´ 6y “ ´12 gegeben. Stellen Sie die Achsenab-schnittsform auf und geben Sie die Schnittpunkte von E mit den Koordi-natenachsen an.
r “ ´3, s “ 2, t existiert nicht, da c = 0. Also ergibt sich:
´x
3`y
2“ 1
Die Achsenschnittpunkte sind: Sxp´3; 0; 0q und Syp0; 2; 0q.
21
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
4.5 Hessesche Normalengleichung
Die folgende Ebenengleichung ist zur Berechnung von Abständen hilfreich. Dazu ist eswichtig, dass man den Normalenvektor auf die Länge 1 „normiert“. Dies geschieht, indemman durch seinen Betrag dividiert.
Aus ~n “
¨
˚
˝
a
b
c
˛
‹
‚
folgt: |~n| “?a2 ` b2 ` c2
Wir gehen von der Koordinatengleichung aus und bringen zunächst d auf die andereSeite:
ax` by ` cz ´ d “ 0
Nun dividieren wir durch |~n| und erhalten:
ax` by ` cz ´ d?a2 ` b2 ` c2
“ 0
Diese Form der Ebenengleichung nennen wir Hessesche Normalengleichung.
Bemerkung:Wenn man Punkte dort einsetzt, die nicht zur Ebene E gehören, so erhält man ihrenAbstand zur Ebene. Für den Abstand des Ursprunges O von der Ebene E gilt:
apO,Eq “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
´d?a2 ` b2 ` c2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Beispiel 9 Stellen Sie die Ebene E 2x´3y`5z “ 18 in der Hesseschen Normalenformauf und bestimmen Sie ihre Entfernung vom Koordinatenursprung.
Es gilt |~n| “?
4` 9` 25 “?
38. Also ist die HNF:
2x´ 3y ` 5z ´ 18?
38“ 0
Ihr Abstand vom Ursprung beträgt: apO,Eq “18?
38“
9
19¨?
38
22
5 Lagebeziehungen zwischen Geradenund Ebenen
5.1 Gerade - Ebene
Die folgende Tabelle zeigt die Lagemöglichkeiten einer Gerade und einer Ebene im Raumund zugehörige rechnerische Merkmale:
Lagebeschreibung Schnittgebilde Vektoren
g und E schneiden sich ineinem Durchstoßpunkt S.
g X E “ tSu
Das Gleichungssystem bzw. die Glei-chung hat genau eine Lösung.
~g M ~nE
g und E schneiden sichnicht.g ‖ E
g X E “ H
Das Gleichungssystem hat keine Lö-sung.
~g K ~nE
g liegt in E. g X E “ g
Das Gleichungssystem hat unend-lich viele Lösungen.
~g K ~nE
Allein das Gleichungssystem reicht bereits aus, um die Lage eindeutig zu ermitteln. Da-mit erhalten wir folgende
Alternativen:
1. Setze die Parametergleichungen für g und E gleich und löse das Gleichungssystem:g X E.Fall 1: unendliche viele Lösungen ñ g liegt in EFall 2: genau eine Lösung ñ g X E “ tSu (S aus Parametern berechnen.)Fall 3: keine Lösung: ñ g ‖ E
23
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
2. Setze g koordinatenweise in die Koordinatengleichung für E ein.Fall 1: wahre Aussage: ñ g liegt in EFall 2: genau eine Lösung: ñ g X E “ tSu (S aus Parameter berechnen.)Fall 3: falsche Aussage: ñ g ‖ E.
Beispiel 1 Untersuchen Sie die Lage der Geraden g(A,B) mit A(2; 1; 5) undB(3; 3; 1) bezüglich der Ebene E: 4x -3y +z = 23.
Wir stellen g auf: ~x “
¨
˚
˝
2
1
5
˛
‹
‚
` r ¨
¨
˚
˝
1
2
´4
˛
‹
‚
Einsetzen in E:
4p2` rq ´ 3p1` 2rq ` p5´ 4rq “ 28
Wir erhalten r “ ´3 und damit S(-1; -5; 17).
Beispiel 2 Ermitteln Sie, wie die Gerade g: ~x “
¨
˚
˝
1
2
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˛
‹
‚
` r ¨
¨
˚
˝
´1
3
´2
˛
‹
‚
zur Ebene durch
die Punkte A(2;1; 0), B(4; 2; 1) und C(3; 3; 5) liegt. Prüfen Sie, ob dieGerade durch die Dreiecksfläche ABC geht.
Ebenengleichung: ~x “
¨
˚
˝
2
1
0
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‚
` u ¨
¨
˚
˝
2
1
1
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‹
‚
` v ¨
¨
˚
˝
1
2
5
˛
‹
‚
Ansatz g X E:
¨
˚
˝
1
2
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˛
‹
‚
` r ¨
¨
˚
˝
´1
3
´2
˛
‹
‚
“
¨
˚
˝
2
1
0
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‚
` u ¨
¨
˚
˝
2
1
1
˛
‹
‚
` v ¨
¨
˚
˝
1
2
5
˛
‹
‚
Gleichungssystem:r ` 2u` v “ ´1
´3r ` u` 2v “ 1
2r ` u` 5v “ ´2
Lösung: r “ ´1
2, u “ ´
1
6, v “ ´
1
6ñ S
ˆ
3
2;1
2;´1
˙
S liegt nicht im Dreiecks ABC da u < 0 und v < 0.
24
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Bemerkung:Wenn ausschließlich nach der Lage von g und E gefragt ist, empfiehlt es sich, die Koordi-natengleichung der Ebene zu verwenden. Dies gilt insbesondere auch dann, wenn Scharenzu untersuchen sind.
Beispiel 3 Gegeben ist die Ebene E: 4x ´ 2y ` 3z “ 12 und die Geradenschar ga:
~x “
¨
˚
˝
3
´2
´1
˛
‹
‚
` r ¨
¨
˚
˝
a
a` 3
1
˛
‹
‚
.
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage in Abhängigkeit von a.
Einsetzen von ga in E:
4p3` arq ´ 2p´2` rpa` 3qq ` 3p´1` rq “ 12
p2a´ 3qr “ ´1
a “3
2ñ keine Lösung, also: g ‖ E
a ‰3
2ñ r “ ´
1
2a´ 3ñ S
ˆ
5a´ 9
2a´ 3;3a` 3
2a´ 3;´2a` 2
2a´ 3
˙
Beispiel 4 Untersuchen Sie die Lage der Ebenenschar Ea : 2ax ´ pa ` 2qy ` z “ 4
zur Geraden g: ~x “
¨
˚
˝
1
´1
´3
˛
‹
‚
` r ¨
¨
˚
˝
2
4
´1
˛
‹
‚
Untersuchen Sie, ob es eine Ebene Ea gibt, für die der Schnittpunkt mit gin der x-y-Ebene liegt.Ansatz: 2ap1` 2rq ´ ap´1` 4rq ` p´3´ rq “ 4
Wir erhalten: r “ 3a´ 7
Die Gerade g schneidet jede Ebene der Schar in genau einem Punkt:
Sp6a´ 13; 12a´ 29;´3a` 4q.
Ansatz: zS “ ´3a` 4 “ 0
Für a “4
3liegt S in der x-y-Ebene.
Der Schnittpunkt ist dann Sp´5;´13; 0q.
25
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
5.2 Ebene - Ebene
Für zwei Ebenen im Raum kann man sich folgende Lagemöglichkeiten vorstellen.
Lagebeschreibung Schnittgebilde Normalenvektoren
E1 und E2 schneiden sichin einer Schnittgeraden gS .
E1 X E2 “ gs
Das Gleichungssystem hat unend-lich viele Lösungen. Die Lösungs-menge ist eindimensional.
~n1 ∦ ~n2
E1 und E2 liegen parallel E1 X E2 “ H
Das Gleichungssystem hat keine Lö-sung.
~n1 ‖ ~n2
E1 und E2 sind identisch. E1 X E2 “ E1 “ E2
Das Gleichungssystem hat unend-lich viele Lösungen. Die Lösungs-menge ist zweidimensional.
~n1 ‖ ~n2
Würde man beide Parametergleichungen der Ebenen gleichsetzen, entstünde ein Glei-chungssystem aus drei Gleichungen mit vier Variablen. Verwendet man dagegen beideEbenen in Koordinatenform, so entsteht ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mitdrei Variablen. Daher ergibt sich im Allgemeinen als die günstigste Variante zur Lösungeines Schnittproblems zwischen zwei Ebenen die folgende:
Vorgehensweise:
1. Setze die Parametergleichung der einen Ebene in die Koordinatengleichung derzweiten Ebene koordinatenweise ein.
2. Löse das Gleichungssystem.Fall 1: keine Lösung: E1 ‖ E2
Fall 2: wahre Aussage: E1 “ E2
Fall 3: Abhängigkeit zwischen den beiden Parametern: gs existiert.
3. Die Schnittgerade erhält man durch Einsetzen der Abhängigkeit in die Parameter-gleichung der zugehörigen Ebene.
26
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 5 Gegeben sind die Ebene E1: x´ 2y ` 3z “ 12 und die Ebene
E2: ~x “
¨
˚
˝
1
´2
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¨
˚
˝
2
1
1
˛
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‚
` s ¨
¨
˚
˝
2
´1
´2
˛
‹
‚
.
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage beider Ebenen.
Einsetzen von E2 in E1:
p1` 2r ` 2sq ´ 2p´2` r ´ sq ` 3p´1` r ´ 2sq “ 12
Wir erhalten: 3r ´ 2s “ 2 ñ s “3
2r ´ 1
Also: gS : ~x “
¨
˚
˝
1
´2
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2
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ˆ
3
2r ´ 1
˙
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¨
˚
˝
2
´1
´2
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Ergebns: gS : ~x “
¨
˚
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´1
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1
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˚
˝
5
´1
2´2
˛
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‹
‚
Beispiel 6 Zeigen Sie, dass die Ebenen E: 2x - 5y + z = 11 undF: -4x + 10y - 2z = 3 parallel liegen.
In diesem Fall betrachten wir das Gleichungssystem aus den beiden Ko-ordinatenformen. Wir addieren das Doppelte von E zu F und erhalten:0 “ 25. Es gibt also keine Punkte, die in beiden Ebenen liegen. Damit giltE ‖ F .
Beispiel 7 Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebene E: 2x + 4y + 3z = 5 mit derParallelebene zur x-y-Ebene F: z = 5 .
Wir setzen z = 5 in E ein: 2x` 4y ` 15 “ 5 ñ x “ ´2y ´ 5
Nun wählen wir zwei Werte für y und erhalten somit zwei Punkte derSchnittgeraden:y “ 0 ñ x “ ´5 ^ z “ 5; y “ 1 ñ x “ ´7 ^ z “ 5
Wir erhalten daraus: ~x “
¨
˚
˝
0
´5
5
˛
‹
‚
` t ¨
¨
˚
˝
´2
1
0
˛
‹
‚
27
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 8 Gegeben sind die Ebene E: 2x´ y` z “ 12 und die Ebenenschar Fa durchdie Punkte Aapa; 2; a` 1q, Bp1; 1; 4q und Cp3; 6; 4q
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage beider Ebenen.
Wir stellen zunächst eine Parametergleichung für Fa auf.
Fa : ~x “
¨
˚
˝
1
1
4
˛
‹
‚
` r ¨
¨
˚
˝
a´ 1
1
a´ 3
˛
‹
‚
` s ¨
¨
˚
˝
2
4
0
˛
‹
‚
Wir erhalten nach einsetzen in E:
2p1` rpa´ 1q ` 2sq ´ 1´ r ´ 4s` 4` rpa´ 3q “ 12
Nach Vereinfachen erhält man:
3rpa´ 2q “ 7
Wir erkennen einen ersten Sonderfall, wenn gilt a “ 2. Es entsteht hiersofort eine falsche Aussage. Also liegt die Ebene F2 parallel zu E.
In allen anderen Fällen gibt es eine Schnittgerade, die von a abhängt, dader Parameter r von a abhängt.
r “7
3a´ 6
So entsteht als Schnittgerade:
gs : ~x “
¨
˚
˝
10a´133a´63a`73a´6
19a´453a´6
˛
‹
‚
` s ¨
¨
˚
˝
2
4
1
˛
‹
‚
28
6 Schnittwinkel
6.1 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
Die folgende Darstellung veranschaulicht den Schnitt einer Geraden g mit einer EbeneE. Wir erkennen, dass der Schnittwinkel αS der Winkel zwischen der Geraden und ihrersenkrechten Projektion auf Ebene ist.
Da dieser Winkel sich jedoch mit dem spitzen Winkel ?p~g, ~nq zu 90˝ ergänzt, kann mandiesen zur Berechnung nutzen.Wir berechnen mit der Kosinusformel zunächst den spitzen Winkel ?p~g, ~nq zwischen derGeraden und einer Normalen zur Ebene E. Anschließend berechnen wir:
αs “ ?pg,Eq “ 90˝ ´?p~g, ~nq
Beispiel 1 Bestimmen Sie den Winkel, unter dem die Gerade g: ~x “
¨
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`t ¨
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˝
1
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‚
die x-z-Ebene durchstößt.
Winkel zwischen ~g und ~n: cos ?p~g, ~nq “
¨
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˝
2
3
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˝
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0
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?17 ¨
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“3?
17
?pg,Eq “ 90˝ ´?p~g, ~nq “ 90˝ ´ 43, 31˝ “ 46, 69˝
29
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 2 Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel zwischen der EbeneE: 2x ´ y ´ z “ 18 und der Geraden g durch die Punkte Ap3; 1; 1q undBp4;´3; 0q
Geradengleichung: g : ~x “
¨
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3
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` t ¨
¨
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1
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‹
‚
Wir setzen in E ein: 2p3` tq ´ p1´ 4tq ´ p1´ tq “ 18 ñ t “ 2
Schnittpunkt: Sp5;´7;´1q
Normalenvektor: ~n “
¨
˚
˝
2
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‹
‚
Winkel zwischen ~g und ~n: cos ?p~g, ~nq “
¨
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2
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1
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‚
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18“
7
6?
3
?p~g, ~nq “ 47, 65˝
Winkel zwischen g und E: ?pg,Eq “ 90˝ ´?p~g, ~nq “ 42, 35˝
Zu einer etwas eleganteren Möglichkeit der Winkelberechnung kommt man durch dasAusnutzen trigonometrischer Beziehungen. Zwischen dem Sinus und dem Kosinus einesWinkels gilt die Beziehung: sinx “ cosp90˝ ´ xq. Wendet man das auf unsere beidenWinkel an, so erhält man:
sin ?pg,Eq “ cos ?p~g, ~nq
Da wir auch hier als Schnittwinkel nur maximal rechte Winkel zulassen wollen, ergibt sichsomit folgende Formel zur Berechnung der Schnittwinkels zwischen einer Geradeng und einer Ebene E:
sin ?pg,Eq “|~g ˝ ~nE |
|~g| ¨ |~nE |
Für unser Beispiel folgt: sin ?pg,Eq “7
6?
3
Winkel zwischen g und E: ?pg,Eq “ 42, 35˝
30
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
6.2 Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen
Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen E1 und E2 ist gleich dem Winkel zwischenihren Normalenvektoren ~n1 und ~n2. Auch hier wollen wir maximal einen rechten Winkelzulassen. Also verwenden wir im Zähler der Kosinusformel - wie schon beim Schnittwinkelzwischen Geraden - wieder den Betrag des Skalarproduktes. Wir erhalten:
cos ?pE1, E2q “ cos ?p~n1, ~n2q “|~n1 ˝ ~n2|
|~n1| ¨ |~n2|
Beispiel 3 Berechnen Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel zwischen den
Ebenen E: x´ 3y ` 2z “ ´4 und F:
¨
˚
˝
2
3
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‹
‚
.
Einsetzen F in E:
2` u´ 2v ´ 3p3` 2u` vq ` 2p´1` u` 3vq “ ´4
führt auf: v “ 3u` 5
Damit ergibt sich für die Schnittgerade:
gS : ~x “
¨
˚
˝
´8
8
14
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` u ¨
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˝
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‚
Für den Schnittwinkel benötigen wir noch einen Normalenvektor der EbeneF:
¨
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˝
1
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ˆ
¨
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ñ ~nF “
¨
˚
˝
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1
˛
‹
‚
Für den Schnittwinkel gilt dann:
cos ?pE,F q “ cos ?p~nE , ~nF q “
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ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
¨
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‚
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?3 ¨?
14“
6?
42
Damit ist dann ?pE,F q “ 22, 21˝.
31
7 Berechnung von Abständen imeuklidischen Raum
7.1 Abstand zwischen zwei Punkten
Als Abstand zwischen zwei Objekten bezeichnet man die kürzeste Entfernung zwischenzwei Punkten, die zu diesen Objekten gehören. Damit könnte man Abstandsaufgabenals Extremwertaufgaben auffassen. Wir werden jedoch sehen, dass man Abstände oftauch dadurch bestimmt, dass man einfach ein geeignetes Lot fällt und dann den Abstandzwischen Anfangs- und Endpunkt des Lotes berechnet. Zunächst halten wir fest:
Def 7.1
Gegeben seien zwei Punkte P pxP ; yP ; zP q und QpxQ; yQ; zQq. Dann nennen wir
apP,Qq :“ |ÝÝÑPQ| “
b
pxQ ´ xP q2 ` pyQ ´ yP q2 ` pzQ ´ zP q2
Abstand zwischen P und Q.
Beispiel 1 Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Punkten A(a; a+1; 4) und B(2;5; 2). Untersuchen Sie, für welchen Wert von a der Abstand
?14 beträgt.
apA,Bq :“ |ÝÝÑAB| “
a
p2´ aq2 ` p4´ aq2 ` p´2q2 “?
2a2 ´ 12a` 24
Ansatz:?
2a2 ´ 12a` 24 “?
14
Wir erhalten: a2 ´ 6a` 5 “ 0 ñ a1 “ 1 ^ a2 “ 5
Bemerkung:Diesen Abstand nennt man auch euklidischen Abstand, weil er unserer Vorstellung voneiner „direkten Entfernung“ entspricht. Mathematisch gesehen kann man Abstände auchanders definieren. So gibt es beispielsweise eine sogenannte Manhattan-Norm. Sie istfolgendermaßen definiert:
apP,Qq :“ |xQ ´ xP | ` |yQ ´ yP | ` |zQ ´ zP |
Sie macht dann „Sinn“, wenn man sich nur parallel zu den Koordinatenachsen von P nachQ „bewegen“ darf.
32
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
7.2 Abstand Punkt - Ebene
Veranschaulichen wir uns zunächst einmal das Problem in einer geeigneten Skizze.
Der Abstand von P zu E ist die kürzes-te Entfernung. Diese erhält man, wennman das Lot von P auf E fällt und denAbstand apP, F q zwischen P und demLotfußpunkt auf E bestimmt. Es er-gibt sich somit eine naheliegende Vorge-hensweise zur Berechnung des gesuch-ten Abstandes.
Vorgehensweise: Lotfußpunktverfahren:
1. Aufstellen einer Lotgeraden l zu E durch P: ~x “ ÝÝÑOP ` r ¨ ~n
2. Ermittlung des Schnittpunktes F durch Einsetzen von l in E.
3. Berechnung des Abstandes: apP,Eq “ |ÝÝÑPF |
Beispiel 2 Bestimmen Sie des Punktes P(3; -10; 4) von der Ebene E: 2x + y -2z = 6.
Lotgerade l: ~x “
¨
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3
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˝
2
1
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˛
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‚
Schnitt mit E: 2p3` 2rq ` p´10` rq ´ 2p4´ 2rq “ 6
Wir erhalten nach Vereinfachung: r “ 2 ñ F p7;´8; 0q
Damit ist: apP ;Eq “
ˇ
ˇ
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ˇ
ˇ
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2
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ˇ
ˇ
“ 6 LE
Bemerkung:Das Lotfußpunktverfahren ist ein sehr anschauliches Verfahren zur Abstandsbestimmung.Es geht schnell, wenn die Ebene bereits in Koordinatenform vorliegt. Falls das nicht derFall ist, muss man diese Form erst noch herstellen.Zudem hat das Verfahren den Vorteil, dass man als Zwischenergebnis den Punkt F erhält.Dieser ist beispielsweise dann nützlich, wenn man den Punkt P’ bei Spiegelung von Pan E bestimmen soll. Man überzeugt sich leicht, dass dann gilt:
ÝÝÑOP 1 “
ÝÝÑOP ` 2 ¨
ÝÝÑPF
33
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Herleitung einer Formel für den Abstand:
Im Bild sehen wir zwei sehr entschei-dende Gegebenheiten.Es gilt für jeden Punkt X der Ebene:ÝÝÑFP K
ÝÝÑFX
Damit folgt:
ÝÝÑFP ˝
ÝÝÑFX “ 0
Außerdem ist ÝÝÑFP ‖ ~n. Folglich gilt:
ÝÝÑFP
|ÝÝÑFP |
“ ˘~n
|~n|
Zur Herleitung gehen wir von einer Vektorgleichung aus, die man im Bild nachvollziehenkann:
ÝÝÑOP “
ÝÝÑOX `
ÝÝÑXF `
ÝÝÑFP Umstellen nach ÝÝÑFP
ÝÝÑFP “
ÝÝÑOP ´
ÝÝÑOX ´
ÝÝÑXF Multiplizieren mit ÝÝÑFP
ÝÝÑFP
2“pÝÝÑOP ´
ÝÝÑOX ´
ÝÝÑXF q ˝
ÝÝÑFP Ausmultiplizieren
ÝÝÑFP
2“pÝÝÑOP ´
ÝÝÑOXq ˝
ÝÝÑFP ´
ÝÝÑXF ˝
ÝÝÑFP
ÝÝÑXF ˝
ÝÝÑFP “ 0
ÝÝÑFP
2“pÝÝÑOP ´
ÝÝÑOXq ˝
ÝÝÑFP Verwenden: ÝÝÑFP
2“ |ÝÝÑFP
2|
|ÝÝÑFP
2| “p
ÝÝÑOP ´
ÝÝÑOXq ˝
ÝÝÑFP Division durch |ÝÝÑFP |
|ÝÝÑFP | “p
ÝÝÑOP ´
ÝÝÑOXq ˝
ÝÝÑFP
|ÝÝÑFP |
Ersetzen:ÝÝÑFP
|ÝÝÑFP |
“ ˘~n
|~n|
|ÝÝÑFP | “ ˘ p
ÝÝÑOP ´
ÝÝÑOXq ˝
~n
|~n|Umformen
|ÝÝÑFP | “
|ÝÝÑOP ˝ ~n´
ÝÝÑOX ˝ ~n|
|~n|Nutze: ~n “
¨
˚
˝
a
b
c
˛
‹
‚
^ÝÝÑOX ˝ ~n “ d
|ÝÝÑFP | “
|a ¨ xP ` b ¨ yP ` c ¨ zP ´ d|?a2 ` b2 ` c2
Wir fassen zusammen:
Satz 7.1
Gegeben sei eine Ebene E: ax` by ` cz “ d und ein Punkt P pxP ; yP ; zP q. Dann gilt fürden Abstand des Punktes P von E:
apP,Eq “|a ¨ xP ` b ¨ yP ` c ¨ zP ´ d|
?a2 ` b2 ` c2
34
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 3 Zeigen Sie das die Gerade g: ~x “
¨
˚
˝
5
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7
˛
‹
‚
` r ¨
¨
˚
˝
1
´1
1
˛
‹
‚
parallel zur Ebene E:
3x + y - 2z = 11 liegt und bestimmen Sie den Abstand.
Wir setzen g in E ein: 3p5` rq ` p´1´ rq ´ 2p7` rq “ 11
Wir erhalten: 0 “ 11 ñ g ‖ E
Für den Abstand setzen wir den Stützvektor von g in die Abstandsformelein, denn jeder Punkt von g hat denselben Abstand zur Ebene.
apg;Eq “|3 ¨ 5` 1 ¨ p´1q ´ 2 ¨ 7´ 11|
a
32 ` 12 ` p´2q2“
11
14
?14
Beispiel 4 Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen E: 2x - 5y + z = -9 und F: -2x+ 5y -z = 2 voneinander.
Man erkennt sofort, dass beide Ebenen parallel liegen, denn ihre Norma-lenvektoren sind kollinear und die Werte für d verschieden. Den Abstandbestimmen Wir indem wir einen Punkt von F in die Abstandsformel zu Eeinsetzen.
Ein Punkt von F ist: P p´1; 0; 0q.
Wir erhalten:
apF ;Eq “|2 ¨ ´1´ 5 ¨ 0` 0` 9|
?30
“7
30
?30
Bemerkung:
1. Wie wir in den letzten beiden Beispielen gesehen haben, lassen sich die Abstän-de von einer parallelen Geraden, beziehungsweise einer parallelen Ebene zu einerEbene auf den Abstand eines Punktes von der Ebene zurückführen.
2. Erhält man innerhalb der Abstandsformel im Zähler verschiedene Vorzeichen fürzwei Punkte, so liegen die zugehörigen Punkte auf verschiedenen Seiten bezüglichder Ebene. Das Vorzeichen entsteht nämlich dadurch, dass der VektorÝÝÑFP entwedergleich oder entgegengesetzt zu ~n orientiert ist.
3. Liegt P auf E, so erhält man für den Abstand 0.
35
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
7.3 Abstand Punkt - Gerade
Zur Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt P und einer Geraden g werden wirverschiedene Verfahren kennenlernen. Jedes von ihnen hat gewisse Vor- und Nachteile.Um diese besser vergleichen zu können, werden wir jeweils dasselbe Beispiel mit denverschiedenen Methoden behandeln.
7.3.1 Nutzung einer Lotebene
Um den Abstand des Punktes P zu gzu bestimmen, legen wir eine EbeneL so durch den Punkt, dass sie dieGerade g senkrecht schneidet. Diesist genau dann der Fall, wenn wir~g als Normalenvektor dieser Ebeneverwenden. F ist dann der Schnitt-punkt von g mit L und PF der ge-suchte Abstand von P zu g.
Wir leiten folgende Vorgehensweise zur Abstandsbestimmung ab.Vorgehensweise:
1. Aufstellen der Lotebene L: ÝÝÑOX ˝ ~g “ ÝÝÑOP ˝ ~g in Koordinatenform.
2. Bestimmung des Schnittpunktes F zwischen L und g.
3. Berechnen des Abstandes apP ; gq “ |ÝÝÑFP |
Beispiel 5 Berechnen Sie den Abstand des Punktes P p2; 7;´1q von der Geraden
g: ~x “
¨
˚
˝
5
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¨
˚
˝
1
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2
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‚
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Lotebene L: x´ 2y ` 2z “
¨
˚
˝
2
7
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˛
‹
‚
˝
¨
˚
˝
1
´2
2
˛
‹
‚
“ ´14
Rechnung: 5` r ´ 2p3´ 2rq ` 2p1` 2rq “ ´14 ñ r “ ´5
3
ggf. Schnittpunkt: Fˆ
10
3;19
3;´
7
3
˙
Abstand: apP ; gq “ |ÝÝÑFP | “
1
3¨
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ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
¨
˚
˝
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2
4
˛
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ˇ
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ˇ
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ˇ
ˇ
“1
3
?36 “ 2
36
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
7.3.2 Lotfußpunktverfahren
Um den Abstand des Punktes Pzu g zu bestimmen, suchen wir denPunkt F auf g, für den gilt:
~g ˝ÝÝÑPF “ 0.
Wir nutzen aus, dass F auf g liegt,also die Geradengleichung zu g er-füllt. Mit Hilfe des errechneten Pa-rameters bestimmen wir F und dengesuchten Abstand.
Wir leiten folgende Vorgehensweise zur Abstandsbestimmung ab.Vorgehensweise:
1. Ansatz: ÝÝÑPF ˝ ~g “ pÝÑOA` t ¨ ~g ´ÝÝÑOP q ˝ ~g “ 0
2. Bestimmung des Schnittpunktes F zwischen l und g.
3. Berechnen des Abstandes apP ; gq “ |ÝÝÑFP |
Beispiel 6 Berechnen Sie den Abstand des Punktes P p2; 7;´1q von der Geraden
g: ~x “
¨
˚
˝
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` r ¨
¨
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˝
1
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2
˛
‹
‚
über das Lotfußpunktverfahren.
Ansatz Skalarprodukt:
¨
˚
˝
3` r
´4´ 2r
2` 2r
˛
‹
‚
˝
¨
˚
˝
1
´2
2
˛
‹
‚
“ 0
Berechnung: 9r ` 15 “ 0 ñ r “ ´5
3
ggf. Schnittpunkt: Fˆ
10
3;19
3;´
7
3
˙
Abstand: apP ; gq “ |ÝÝÑFP | “ 2
Bemerkung:Die beiden bisher vorgestellten Verfahren ermitteln den Lotfußpunkt F, den man auch zurBerechnung des Bildpunktes P’ verwenden kann, der bei Spiegelung von P an g entsteht.
37
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
7.3.3 Nutzung trigonometrischer Überlegungen
Um den Abstand des Punktes Pzu g zu bestimmen, nutzen wir dasbei F rechtwinklige Dreieck AFP.Da ~g und ÝÑAP bekannt sind, kannman über den Sinus des Winkels αden gesuchten Abstand berechnen.Es gilt:
cosα “|~g ˝ |
ÝÑAP |
|~g| ¨ |ÝÑAP |
Weiterhin ist dann: apP, gq “ |ÝÑAP | ¨ sinα. Somit ergibt sich die folgende
Vorgehensweise:
1. Berechne α aus cosα “|~g ˝
ÝÑAP |
|~g| ¨ |ÝÑAP |
.
2. Berechne apP, gq “ |ÝÑAP | ¨ sinα
Beispiel 7 Berechnen Sie den Abstand des Punktes P p2; 7;´1q von der Geraden
g: ~x “
¨
˚
˝
5
3
1
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‹
‚
` r ¨
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˚
˝
1
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2
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‹
‚
. über trigonometrische Formeln.
Vorbereitung: ÝÑAP “
¨
˚
˝
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4
´2
˛
‹
‚
ñ |ÝÑAP | “
?29
Winkelberechnung:
cosα “|p´3q ¨ 1` 4 ¨ p´2q ` p´2q ¨ 2|
?29 ¨ 3
“5?
29ñ α « 21.8˝
Abstand: apP ; gq “?
29 ¨ sin 21, 8˝ “ 2
Bemerkung:Dieses Verfahren ermittelt den Punkt F nicht. Außerdem wird durch die Berechnung derWinkel über die Winkelfunktionen der Abstand nur näherungsweise bestimmt. Wenn manihn exakt bestimmen möchte, muss man zusätzlich noch die Beziehung sin2 α “ 1´cos2 α
benutzen, um damit aus dem exakten Kosinuswert den exakten Sinuswert zu gewinnen.
38
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
7.3.4 Abstand als Extremwertaufgabe
Wenn sich ein Punkt Q auf der Gera-de bewegt, kann man immer den Ab-stand zu P berechnen. Wir suchenunter all diesen Abständen den mi-nimalen. Dazu müssen wir zunächstden Abstand allgemein als Funktiondarstellen. Diese Funktion untersu-chen wir dann auf ein globales Mini-mum.
Vorgehensweise:
1. Ansatz für Zielfunktion: apxQ, yQ, zQq “a
pxQ ´ xP q2 ` pyQ ´ yP q2 ` pzQ ´ zP q2.
2. Gerade g koordinatenweise für Q einsetzen. Es entsteht eine Ziefunktion in Abhän-gigkeit vom Parameter r.
3. Zielfunktion auf Extrema untersuchen.
4. Minimalen Abstand durch Einsetzen von r berechnen.
Beispiel 8 Berechnen Sie den Abstand des Punktes P p2; 7;´1q von der Geraden
g: ~x “
¨
˚
˝
5
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‚
` r ¨
¨
˚
˝
1
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2
˛
‹
‚
. über eine Extremwertaufgabe.
Hauptbedingung: apxQ, yQ, zQq “a
pxQ ´ 2q2 ` pyQ ´ 7q2 ` pzQ ` 1q2
Nebenbedingungen: xQ “ 5` r ^ yQ “ 3´ 2r ^ zQ “ 1` 2r
Zielfunktion:aprq “
a
p3` rq2 ` p´4´ 2rq2 ` p2` 2rq2 “?
9r2 ` 30r ` 29
Eine Wurzel wird dann minimal, wenn ihr Radikand positiv und minimalist. Daher untersuchen wir nur die quadratische Funktion unter der Wurzel.
Ableitung: f 1prq “ 18r ` 30 “ 0 ñ r “ ´5
3
Nachweis: f2prq “ 18 ą 0 ñ lokales Minimum für r “ ´5
3
Abstand: a`
´53
˘
“
b
9 ¨ 259 ´ 30 ¨ 53 ` 29 “?
4 “ 2
39
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
7.4 Abstand windschiefer Geraden
Wenn zwei Geraden g undh im Raum so liegen, dannist der Abstand auch hier diekürzeste Verbindung zwischenihnen. Diese entsteht genaudann, wenn die Verbindungs-strecke PQ senkrecht auf bei-den Geraden steht.
Wenn wir eine zu h parallele Ebene durch g legen und von H das Lot auf diese Ebenefällen, erhalten wir denselben Abstand: PQ “ HF . Daraus ergibt sich eine erste Möglich-keit zur Bestimmung des Abstandes. Anhand der folgenden Vorgehensweise entwickelnwir gleich eine Formel zur Berechnung.
Vorgehensweise:
1. Berechne den Vektor ~n “ ~g ˆ ~h
2. Wir stellen die Ebenengleichung für die Ebene in Punkt-Normalenform auf, die genthält und parallel zu h liegt.
E :pÝÝÑOX ´
ÝÝÑOGq ˝ ~n
|~n|“ 0
3. Wir bestimmen den Abstand von H zur Ebene E. Es ist der gesuchte Abstand.
apH,Eq “ apg, hq “|pÝÝÑOH ´
ÝÝÑOGq ˝ ~n|
|~n|
Wenn man eine fertige Gleichung nur aus den gegebenen Geraden g und h für den Abstandhaben möchte, so kann man ~n “ ~g ˆ ~h benutzen und erhält:
Satz 7.2
Gegeben seien zwei windschiefe Geraden g: ~x “ ÝÝÑOG` r ¨ ~g und h: ~x “ ÝÝÑOH ` s ¨~h. Danngilt für den Abstand zwischen g und h:
apg, hq “|pÝÝÑGHq ˝ p~g ˆ ~hq|
|~g ˆ ~h|
Bemerkung:Mit Hilfe dieses Verfahrens erhält man zwar den Abstand zwischen den beiden Geraden,nicht aber die Lage der Punkte P und Q, von denen aus der Abstand gemessen werdenkönnte. Eine zweite Vorgehensweise, die auch diese beiden Punkte ermittelt, wird spätervorgestellt.
40
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Beispiel 9 Berechnen Sie den Abstand der Geraden
g: ~x “
¨
˚
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und h:~x “
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‚
voneinander.
Zunächst untersuchen wir die Lage der Geraden:Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, denn ~h ‰ t ¨ ~g.
Schnitt g X h:
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˚
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‚
Die ersten beiden Gleichungen liefern als Lösung: r “16
7^ s “ ´
20
7.
Die Probe mit der dritten ergibt:39
7“ ´
93
7, also eine falsche Aussage.
g und h liegen windschief. zueinander.
Abstand: apg, hq “
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Wir erhalten: apg, hq “
ˇ
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“140
339
?339 « 7, 60 LE
Beispiel 10: Gegeben sind g: ~x “
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. Berechnen
Sie den Abstand.
apg, hq “
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41
O. Schimmel UMG Greiz Analytische Geometrie
Ein zweites Verfahren soll nunauch die Punkte P und Qmit liefern, zwischen denender Abstand der Geraden ge-messen werden kann. Dazu le-gen wir eine Ebene so durch g,dass sie h senkrecht schneidet.Das ist genau dann der Fall,wenn man als zweiten Spann-vektor für sie den Vektor ~gˆ~hverwendet.
Vorgehensweise:
1. Aufstellen der Ebene E mit g P E ^ h K E:
~x “ÝÝÑOG` r~g ` tp~g ˆ ~hq
2. Wir schneiden E mit h und erhalten Parameterwerte: r, s und t:
E X h :ÝÝÑOG` r ¨ ~g ` t ¨ p~g ˆ ~hq “
ÝÝÑOH ` s ¨ ~h
3. Berechnen von P und Q durch Einsetzen von r in g und s in h.
4. Berechnen von apg, hq “ |PQ|.
Beispiel 11 Berechnen Sie den Abstand der Geraden
g: ~x “
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Ebene E: ~x “
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mit: ~g ˆ ~h “
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Schnitt mit h liefert:
r ´ 2s´ 2t “ 3
´s` 3t “ ´4
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Punkte: P
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Q
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9
7;´
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7;8
7
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Abstand: apg, hq “9
7
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42
