Métodos Numéricos en Ingeniería

Métodos Numéricos en

IngenieríaIntegración Numérica

M.C. Lourdes Sánchez Guerrero

Introducción

Con frecuencia se tiene la necesidad de integrar funciones que sería, en general, de alguna de lastres formas siguientes:

Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una funcióntrigonométrica. La integral simplemente es una función que se puede evaluar usando métodosanalíticos aprendidos en el cálculo

Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.

Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos discretos, como esel caso, de datos experimentales.

En los dos últimos casos, se deben emplear métodos aproximados.

Formulas de integración de Newton-Cotes

Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más

comunes dentro de la integración numérica

Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada

o un conjunto de datos tabulares con alguna función

aproximada que sea más fácil de integrar

La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios

aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de

longitud constante.

Existen las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes.

Las formulas cerradas se conocen (puntos al principio y al final )los límites de

integración.

Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del

rango de los datos ( no se usan en la integración definida, se usan

extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias )

REGLA DEL TRAPECIO

La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas

de Newton-Cotes.

Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y

X = b se muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área

bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas ∆x (delta x ) de

ancho y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio,

como se indica en la figura.

Delta X =

Figura 1

Llamando a las ordenadas Yi (i = 1, 2, 3, ...., n+1), las áreas de los

trapecios son:

El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:

Sustituyendo las ecs. (1) en esta expresión se obtiene:

La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:

El método consiste en dividir el intervalo en intervalos pequeños y aproximar la

curva

Y = f(X)

en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya

integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos

extremos de los intervalos.

Tarea

El alumno analizará y desarrollará un resumen del error que se genera en este

método de la regla del trapecio. Este se entregara como tarea de la sesión en

este tema.

Ejemplo: por REGLA TRAPEZOIDAL de cuatro segmentos o fajas para calcular la

integral

desde A = 0 hasta B = 0.8 y calcular el error sabiendo que el valor correcto de la integral es 1.64053334

n = 4X

f(X)

0.0

0.200

0.2

1.288

0.4

2.456

0.6

3.464

0.8

0.232

• Usando la fórmula:

ex = 1.64053334 - 1.4848 = 0.15573334e% = 9.5 %

Método de Simpson

Otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral, es

empleando polinomios de orden superior para conectar los puntos.

Si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se

pueden conectar con un polinomio de tercer orden.

A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les

llaman Reglas de Simpson.

Simpson 1/3

Simpson de 1/3 proporciona una mejor aproximación.

Consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante

parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener

el área aproximada bajo la curva.

Si el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, se aproximamediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los trespuntos:

(Xi ,Yi) (Xi+1 ,Yi+1) (Xi+2 ,Yi+2)

Figura 2. Gráfica de la función f(x).

Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que

las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en

lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no

afecta la generalidad de la derivación.

Figura 3.

La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado

que conecta los tres puntos:

(7)

La integración de la ec. (7) desde - ∆x hasta ∆x proporciona el

área contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo

tanto:

(8)

La sustitución de los límites en la ec. (8) produce:

Las constantes A y C se pueden determinar sabiendo que los puntos

(-∆X, Yi), (0, Yi+ 1), y (-X, Yi+2) debe satisfacer la ec. (7). La

sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce:

(9)

(10)

La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes A, B, C, noslleva a:

La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce:

que nos da el área en función de tres ordenadas Yi, Yi+1, Yi+2 y el ancho ∆X de una faja

(11)

(12)

La regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de

igual ancho.

Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en N fajas uniformes (N par), la

aplicación de la ec. (12) muestra que:

Sumando estas áreas, podemos escribir:

(13)

(14)

O bien

(15)

Donde n es par

La ec. (15) es REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO para determinar el área

aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número

par de fajas de ancho ∆X.

• Ejemplo: la REGLA DE SIMPSON 1/3 con N = 4 para calcular la integral del inciso

anterior:

X

f(X)

0.0

0.200

0.2

1.288

0.4

2.456

0.6

3.464

0.8

0.232

ex = 1.64053334 - 1.62346667 = 0.01706667e% = 1.04 %

Método de Simpson 3/8

La derivación de la REGLA DE SIMPSON DE LOS TRESOCTAVOS es similar a la regla de un tercio, excepto que se

determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4

puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de

tercer grado es:

(17)

Figura 4.

En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la

parábola pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva

mostrada en la fig. 4.

El intervalo de integración es de –(3∆X)/2 a (3∆X)/2, lo que produce:

es la Regla de Simpson Tres Octavos

• REGLA DE SIMPSON 3/8 para calcular la integral anterior:

Son necesarios cuatro puntos o tres fajas para la regla de Simpson

de 3/8, entonces:

X

f(X)

0.0000

0.20000000

0.2667

1.43286366

0.5333

3.48706521

0.8000

0.23200000

Por Simpson 3/8

ex = 1.64053334 - 1.51917037 = 0.121164

e% = 7.4 %

las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para integrar la misma función usando

cinco segmentos.

X

f(X)

0.00

0.20000000

0.16

1.29691904

0.32

1.74339328

0.48

3.18601472

0.64

3.18192896

0.80

0.23200000

Delta X = 0.16 La integral de los primeros dos segmentos se obtiene

usando la Regla de Simpson 1/3:

los últimos tres segmentos, se usa la Regla de Simpson 3/8 para obtener:

La integral total se calcula sumando los dos resultados:

I = 0.38032370 + 1.26475346 = 1.64507716

ex = 1.64053334 - 1.64507716 = -0.00454383

e% = -0.28 %

Tarea

1.- El alumno analizará la información y desarrollará el resumen de error que

se genera en este método de Simpson 1/3. La fecha de entrega de esta tarea

será la siguiente clase.

2.- El alumno analizará la información y desarrollará el resumen de error que

se genera en este método de Simpson 1/3. La fecha de entrega de esta tarea

será la siguiente clase.