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7/25/2019 O Papel Da Intuio Na Fundamentao Da Aritmtica No Pensamento Tardio de Frege
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O papel da Intuio na fundamentao da aritmtica
no pensamento tardio de Frege
Por Luciano Carvalho Cardoso
Doutorando em Filosofia da Linguagem
Unifesp, 2015
Resumo
A intuio foi um dos pontos elementares da construo do
conhecimento na filosofia de Immanuel Kant, fundamento de todoconhecimento sinttico a priori. Precisamente por esse motivo,
Gottlob Frege rejeita a justificativa de Kant em definir a aritmtica
como fundamentada em verdades ou conhecimentos sintticos a
priori. Dessa recusa, Frege estabelece, em Os Fundamentos da
Aritmtica (1884), as bases do logicismo, tentativa de Frege de
estabelecer a Aritmtica como assentada sobre conhecimentos
analticos. Entretanto, a partir de 1923, Frege elabora um conjunto de
escritos que prope uma reviso dos fundamentos da aritmtica,
reconhecendo as bases sinttico a priori, bem como a necessidade de
recorrer intuio, afirmando que esse movimento devolve a unidade
matemtica, unidade encontrada nos princpios geomtricos. Nosso
objetivo consiste em traar o caminho percorrido por Frege e buscar
compreender como essa passagem se deu e em que ela se alicera.
Tambm buscamos estender algumas hipteses sobre quais os
possveis impactos que essa mudana de paradigma causaria na
estrutura dopensamento, tal como Frege o concebe.
Introduo
Em 1884, Gottlob Frege publicou Os Fundamentos da Aritmtica, obra
em que define os principais elementos que passam a compor o
logicismo. As principais definies de Frege nessa obra podem ser
expressas, em linhas gerais, como se segue:
1. Nmeros e noes aritmticas podem ser definidos pela lgica
formal;
2. Proposies numricas podem ser derivadas a partir dosaxiomas da lgica;
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3. Verdades derivadas da aritmtica so analticas;
4. Geometria no pode ser reduzida lgica, pois suas verdades
so sintticas a priori;
5. Noo de que os nmeros so extenses de conceitos apenas;
6. Adoo do conceito de conjunto de Cantor;
7. Estrutura de equivalncia de conceitos pela extensionalidade
8. Um conceito equivalente a outro se os nmeros que
caem sob ele so os mesmos para o outro conceito, ou seja, se
um conceito for equinumrico a outro;
9. Sugesto do princpio de contexto;
10. Distino entre conceito e objeto;
11. Distino dos campos subjetivo, objetivo sensvel e
objetivo no-efetivo (campo da objetividade lgica).
Esses onze elementos centrais dos Fundamentos perfazem o
ncleo do Projeto Logicista de Frege. Nenhum desses elementos
gratuito em seu sistema lgico, e todos eles tem por finalidade
fundamentar a aritmtica nas leis da lgica, leis analticas e que,
em contrapartida, so tambm as leis do pensamento. De acordocom Frege:
As verdades aritmticas governam o domnio do enumervel.
Este o mais inclusivo; pois no lhe pertence apenas o
efetivamente real, no apenas o intuvel, mas todo o
pensvel. No deveriam, portanto, as leis dos nmeros
manter com as do pensamento a mais ntima das conexes?
(FREGE, G. Os Fundamentos da Aritmtica, 14, pg. 217).
Essa conexo, ademais, consiste no ponto de permeabilidade
entre matemtica e linguagem, entre os nmeros e o pensamento.Mas que leis seriam essas? Estabelecer quais seriam as leis que
governam os nmeros equivale a definir as leis que governam o
pensamento e, indiretamente, a linguagem pela qual o
pensamento se expressa.
O ponto principal de Frege, em Os Fundamentos, consiste em
estabelecer esses parmetros, e ele o faz de forma a se contrapor
com alguns dos pressupostos tcitos da lgica clssica.
Primeiramente, Frege recusa (j desde a Conceitografia), a
estrutura bsica do silogismo fundamentado nas relaes entresujeito e predicado. Essa estrutura, baseada na linguagem, abre
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reconsiderar a natureza da aritmtica, e a defini-la como sinttica
a priori. Para sermos mais exatos, em seus textos, o que fica ainda
mais explcito o reconhecimento da necessidade de recorrermos
intuio para fundamentarmos a aritmtica. Considerando que
Frege, em todos os trabalhos posteriores aos Fundamentos,
equipara a fundamentao da aritmtica fundamentao do
pensamento, uma vez que ambos compartilhariam das mesmas
leis lgicas, convm determo-nos nessas passagens e buscarmos
uma melhor compreenso do significado das recusas de Frege em
1884 e quais os contextos que conduziriam Frege a reconsiderar
sua posio. Tambm empreenderemos algumas consideraes
sobre os possveis impactos para o logicismo nas reflexes tardias
de Frege, registradas nos escritos pstumos a partir de 1920.
1 - A alternativa da fundamentao analtica paraa aritmtica
O posicionamento de Frege a respeito da analiticidade da
aritmtica posta no debate fundacional do projeto logicista em
1884, na redao dos Fundamentos da Aritmtica. Essa obra de
Frege apresenta um forte intento de combater as principais
correntes filosficas vigentes no perodo. Combate o empirismo e o
mtodo mecanicista e agregacionista. Ataca o psicologismo e o
subjetivismo. Mas, sobretudo, ela estruturalmente se coloca contraa corrente kantiana. Na verdade, resolver o problema colocado
pela necessidade de estabelecer os fundamentos da aritmtica
implica em posicionar Kant em um piv condicional a respeito das
verdades analticas ou sintticas a priori encontradas na aritmtica.
Como Frege o expressa:
Se de outros pontos de vista e de maneira
fundamentada concluirmos que os princpios da
aritmtica so analticos, isso testemunhar
tambm em favor de sua demonstrabilidade e da
definibilidade do conceito de nmero. As razes em
favor do carter a posteriori destas verdades tero
um efeito contrrio. (FREGE, G. Os Fundamentos
da Aritmtica, pg. 95)
Essa passagem estabelece as condies iniciais de partida do autor
na busca da demonstrabilidade da definio do conceito de nmero.
Essa necessidade de definibilidade o motor condicional da
investigao. A demonstrao, a exemplo de Euclides, evidencia,
para Frege, o arcabouo lgico oculto sob as tentativas de explicar
os nmeros empiricamente ou gramaticalmente. O erro doempirismo consiste em acreditar que os nmeros se definem por
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seu carter abstrato de representar a agregao mecnica de
objetos concretos. Carter de abstrao, no entanto, que torna
indemonstrvel o conceito de nmero, sempre condicionado s
condies concretas e arbitrrias da experincia ou mesmo das
condies psicolgicas que influenciariam essa representao. J o
erro da linguagem seria tomar o nmero como propriedade dos
sujeitos, representando-os como predicados que atribuem uma
quantidade ao sujeito de um enunciado qualquer. Essa atribuio,
todavia, no escapa do contexto da representao entre linguagem
e mundo, e alterna-se entre as condies psicolgicas.
Portanto, atender ao critrio de demonstrabilidade do conceito de
nmero implica na excluso de quaisquer consideraesa posteriori
como forma de conhecimento ou demonstrao do conceito de
nmero. A questo epistemolgica envolvida nessa investigao,por si s, justifica a adoo dos conceitos kantianos de a priori, a
posteriori, analtico e sinttico, pois elas adentram a questo do
juzo e das condies de aferio de verdade:
As distines entre a priori e a posteriori, sinttico
e analtico, concernem, a meu ver, no ao
contedo do juzo, mas justificao da emisso
do juzo. Pois onde no h esta justificao,
desaparece tambm a possibilidade daquela
diviso. Um erro a priori neste caso algo to
absurdo quanto, digamos, um conceito azul. Se
uma proposio , em meu sentido, chamada de a
posteriori, ou de analtica, esto em julgamento
no as condies psicolgicas, fisiolgicas e fsicas
que tornam possvel formar na conscincia o
conceito do juzo, nem tampouco a maneira como
algum mais, talvez erroneamente, chegou a
tom-la por verdadeira, mas sim aquilo sobre o que
se assenta mais fundamentamente a justificao
de ser ela tomada como verdadeira. (FREGE, G. FA,
pg. 94.
A justificativa dos referidos juzos evidencia o nvel de validade do
juzo, na medida em que sinaliza para o tipo de verdade a ser
asserida. Se a justificativa for enraizada nas leis lgicas gerais e
definies, a demonstrao seguir pela via dos conhecimentos
analticos. Se a demonstrao necessitar de conhecimentos e
verdades fora do campo da lgica geral, evidenciar um juzo
sinttico. E, por fim, se a justificativa necessitar recorrer a questes
de fato, suas verdades so indemonstrveis, recorrendo a objetos
determinados.
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A indemonstrabilidade das verdades referentes s questes de fato,
caso nos quais se enquadram o empirismo, o mecanicismo, e o
psicologismo, esto no campo a posteriori de juzos. Explicar o
conceito de nmero por essa via torna impossvel a demonstrao
dos juzos, da justificao dos juzos e das supostas verdades da
aritmtica. Por esse motivo, Frege a recusa, reconhecendo que, no
limite, resultaria em uma questo de pontos de vista e relativismo.
Mas por que contradizer Kant, em sua afirmao de que o
fundamento da aritmtica, assim como a geometria, seria sinttico
a priori?
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