View
10
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
- 13 -
ÜÇGEN
Doğrusal olmayan A , B , C gibi üç nokta
verildiğinde bu noktaları uç kabul eden
doğru parçalarının birleĢimine
ABC üçgeni denir.
ABC=[AB] [BC] [AC] dir.
Üçgende bir dıĢ açının ölçüsü
kendisine komĢu olmayan iki iç açının
ölçüleri toplamına eĢittir.
Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı
180o ,
dıĢ açıların ölçüleri toplamı 360o dir.
SONUÇLAR:
KarĢılıklı ikiĢer açıları eĢ olan
üçgenlerin üçüncü açıları da eĢtir.
Dik üçgende dik açı en büyük açıdır.
Diğer açılar dar açı olup ölçüleri toplamı
90o dir.
Bir üçgenin en az iki açısı dar açıdır.
Doğruya dıĢındaki bir noktadan bir
tek dikme çizilebilir.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
x+830=1380 , x=50
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
A+B+C=1800 biliniyor.
A-B=150 ve B-C=300 verilmiĢ.
B=A-150 , A-150-C=300 , C=A-450
A+A-150+A-450=1800 , 3A=2400 A=800
ÜÇGEN
- 14 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
3x+500=5x , 2x=500 , x=250
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
4x+5x=1800 , 9x=1800 , x=200
y+3x=5x , y=2x , y=2.200 , y=400
ÖRNEK:
ABCD Paralelkenar.
ÇÖZÜM:
300+x+42=180 , x=1080
1000+y+300=1800 , y=500
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
700+y=900 , y=200
2(200+x)+700+600=1800 , x=50
VEYA:
x= 000
52
6070
, x=50
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ΔPAC de mC=450
ΔCBD de x=1350
ΔDEF de y=750
ÖRNEK:
EĢitliğini gösteriniz.
ÇÖZÜM:
y+a=t , a=t-y
a+z=x , x=t-y+z
- 15 -
ÖRNEK:
EĢitliğini gösteriniz.
ÇÖZÜM:
a+k=c , k=c-a
b+x=k=c-a , x=c-a-b
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
x=900+2
80=1300 , mA=700
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
900+2
A=1250 , x=700+220=920
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
x=74o-35o=39o
ÖRNEK:
AEAD
ÇÖZÜM:
DAE ikizkenar dik üçgen. mD=mE=45o
ABD de: x+ omA45
2
ADC de: oomA7245
2 omA
272
x+27o=45o , x=18o
- 16 -
ÜÇGENDE AÇI-KENAR
BAĞINTILARI
Bir üçgende büyük kenar karĢısında
büyük açı bulunur.
Bir üçgende büyük açı karĢısında
büyük kenar bulunur.
mC< mB< mA AB BCAC
ÖRNEK:
BDADCD
ÇÖZÜM:
ABC deki tüm açılar hesaplandığında:
ABD de; mB < mA < mD
|AD| < |BD| < |AB|
ADC de; mA < mC < mD
|DC| < |AD| < |AC|
Ġki eĢitsizlikten :
|DC| < |AD| < |BD| bulunur.
Bir noktanın bir doğruya uzaklığı,
o noktadan doğruya çizilen dikmenin
uzunluğudur.
Bd , Cd ve AB d ise ACAB
A noktasının, d doğrusu üzerindeki
dik izdüĢümü B noktasıdır.
Bir üçgende bir kenarın uzunluğu,
diğer iki kenar uzunluğu farkından
büyük, toplamından küçüktür.
ACABBCACAB
mA < 900 ise: 22
ACABBCACAB
mA > 900 ise:
ACABBCACAB 22
ÖRNEK:
1) x in alabileceği tamsayı değerleri?
ÇÖZÜM:
|5-12| < x < 5+12 ,
7 < x < 17 9 tane
2) mA < 90o ise:
ÇÖZÜM:
7 < x < 13 5 tane
3) mA > 90o ise:
ÇÖZÜM:
13 < x < 17 3 tane
- 17 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
mC < mA < mB olduğundan :
8 < x < 19
19-8 < x < 19+8 , 11 < x < 27
eĢitsizliklerinden 11 < x < 19 bulunur.
7 tane değer alabilir.
Bir üçgende en uzun kenar, çevrenin
üçte birinden büyük,
yarı çevreden küçüktür.
ÖRNEK:
Çevresi 24 birim olan üçgende en uzun
kenar tamsayı olarak 9,10,11 birim
olabilir.
ÇÖZÜM:
2
24
3
24 x , 8 < x < 12
ÖRNEK:
Çevresi 12cm. ve kenar uzunlukları
tamsayı olan kaç çeĢit üçgen çizilebilir?
ÇÖZÜM:
Üçgende kenar eĢitsizliğinden, üç değiĢik
üçgen çizilebileceği görülür.
I. üçgenin kenar uzunlukları: 4,4,4
II. üçgenin kenar uzunlukları: 5,5,2
III. üçgenin kenar uzunlukları: 3,4,5
ÖRNEK:
Kenar uzunlukları tamsayı ve çevresi 77
birim olan ikizkenar üçgenin tabanı
en çok kaç birim olabilir?
ÇÖZÜM:
2x+y=77 ve 77/3 < y < 77/2 den
y=37 bulunur.
ÖRNEK:
Kenar uzunlukları tamsayı, çevresi 113
br. olan kaç tane ikizkenar üçgen
çizilebilir?
ÇÖZÜM:
Kenar uzunluklarını x, x ve y ile
gösterirsek;
2x+y=113 ve 2x > y olduğundan
y’nin alabileceği tamsayı değerleri
1, 3, 5, 7, … , 55 dir.
2n-1=55 , n=28 tane değer alır.
Pd olmak üzere |AP|+|PB|
toplamı en küçüktür.
|AP|+|PB|=|AP|+|PB’|=|AB’|
BaĢka bir K noktası için ;
|AK|+|KB’| > |AB’| olur.
- 18 -
Kd olmak üzere |AK|-|BK|=|AB|
farkı en büyüktür.
BaĢka bir P noktası için ;
||AP|-|PB|| < |AB| olur.
!!! EK BİLGİ:
Üçgenin iç bölgesinde, köĢelerden
uzaklıkları toplamı en küçük olan nokta
S dir. (Steiner) Fermat noktası.
Üçgenin kenarları üzerine ve dıĢına
çizilen eĢkenar üçgenlerin üçüncü
köĢelerini ABC nin karĢı köĢelerine
birleĢtiren doğruların kesim noktasıdır.
ÖRNEK:
Kenar uzunlukları verilen Ģekildeki ABCD
dörtgeninde ;
|AC|+|BD| köĢegen uzunlukları
toplamının alabileceği değerler nedir?
ÇÖZÜM:
ABC üçgeninde ; 10-9 < |AC| < 10+9
1 < |AC| < 19
ADC üçgeninde ; 15-13 < |AC| < 15+13
2 < |AC| < 28 öyleyse
2 < |AC| < 19 dur.
ABD üçgeninde ; 13-9 < |BD| < 13+9
4 < |BD| < 22
BCD üçgeninde ; 15-10 < |BD| < 15+10
5 < |BD| < 25
öyleyse
5 < |BD| < 22 dir.
2 < |AC| < 19
5 < |BD| < 22 eĢitsizlikleri taraf tarafa
toplandığında ;
7 < |AC|+|BD| < 41 bulunur.
!!! EK BİLGİ :
KöĢegenlerin kesim noktası olan P ,
köĢelerden uzaklıkları en küçük olan
noktadır.
- 19 -
ÜÇGENLERDE EġLĠK
ABCDEF eĢlemesinde :
mA=mD DEAB
mB=mE ve EFBC ise ABC DEF
mC=mF DFAC
K.A.K EŞLİĞİ:
KarĢılıklı ikiĢer kenarları ve bu
kenarların oluĢturduğu açıları eĢ olan iki
üçgen eĢtir.
Bir doğru parçasının orta dikmesi
üzerindeki noktalar uçlardan eĢit
uzaklıktadır.
Verilen iki noktadan eĢit uzaklıkta
bulunan noktaların geometrik yeri, bu iki
noktayı uç kabul eden doğru parçasının
orta dikme doğrusudur.
Y.G:
POA POB ve QOA QOB (K.A.K)
Ġkizkenar üçgenin taban açıları eĢtir.
ÖRNEK:
ACAB , CDCB ise x=?
ÇÖZÜM:
ABC ikizkenar: mB=mC=70o
CBD ikizkenar: mB=mD=70o , mC=40o
x=70o-40o=30o
ÖRNEK:
OCOBOA ve AB //OC ise x=?
ÇÖZÜM:
0AB ikizkenar: mA=mB=65o
mCOB=65o içters
COB ikizkenar: mB=mC=x=57,5o
A.K.A EŞLİĞİ:
KarĢılıklı ikiĢer açıları ve bu açıların
ortak kenarları eĢ olan iki üçgen eĢtir.
Ġki açısı eĢ olan üçgen bir ikizkenar
üçgendir.
Açıortay üzerindeki noktalar açının
kenarlarından eĢit uzaklıktadır.
- 20 -
KesiĢen iki doğrudan eĢit uzaklıkta
bulunan noktaların geometrik yeri,
oluĢturdukları açıların açıortay
doğrularıdır.
[OP , açı ortay
PAOA ve [PBOB ise;
|PA|=|PB| ve |OA|=|OB| dir.
Y.G: OPA OPB (A.K.A)
K.K.K EŞLİĞİ:
KarĢılıklı tüm kenarları eĢ olan iki üçgen
eĢtir.
KarĢılıklı birer dik kenarları ve
hipotenüsleri eĢ olan dik üçgenler eĢtir.
SONUÇLAR:
Bir eĢkenar üçgenin tüm açılarının
ölçüleri 60odir.
Tepe açısının ölçüsü 60o olan üçgen
bir eĢkenar üçgendir.
Bir açısının ölçüsü 30o olan dik
üçgende ,30o lik açı karĢısındaki kenar
hipotenüsün yarısıdır.
ÖRNEK:
DAB ve EAC eĢkenar üçgen. x=?
ÇÖZÜM:
DAC BAE (K.A.K)
ΔDAC de; mD+60o+mBAC+mC=180o
ABPC dörtgeninde;
x=mD+mBAC+mC=120o
ÖRNEK:
DCBD , BCPD , [AP açıortay,
ABPT , ACPK iken
ACABAT 2
1=|AK|
|BT|=2
1(|AB|-|AC|)=|CK|
ÇÖZÜM:
[AP açıortay olduğundan; APT APK
(A.K.A) |AT|=|AK| ve |PT|=|PK|
DP orta dikme olduğundan;
PDB PDC (K.A.K) ve |PB|=|PC|
KarĢılıklı birer dik kenarları ve
hipotenüsleri eĢ olan dik üçgenler eĢ
olacağından PTB PKC olur ki
|TB|=|KC|
|AB|=|AT|+|TB| ve |AC|+|CK|=|AK|
|AT|=|AK|=2
1(|AB|+|AC|) ve
|BT|=|CK|=2
1(|AB|-|AC|) bulunur.
- 21 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AC ye BT dikmesi çizildiğinde:
QRA ATB (A.K.A) |AT|=7
DSC CTB (A.K.A) |CT|=3
x=|AT|+|TC|=7+3=10
ÖRNEK:
ACDE kare. FD =?
ÇÖZÜM:
BC ye DT dikmesi çizildiğinde;
ABC DTC (A.K.A) |BC|=|DT|=4
DTBF dikdörtgeninde; |DT|=|FB|=4
|AB|=5+4=9=|CT|
|FD|=|BT|=4+9=13
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
FAC BAE (K.A.K)
FAC ve ABOC de açılar toplamı
hesaplanırsa mBOC=90o bulunur.
[LK] ve [KT] , FBC ve BCE de orta taban
olup, tabana paralel ve tabanın yarısına
eĢittir.
|AK|=|KS| olacak Ģekilde AK uzatılırsa;
ABSC paralelkenarından ACS EAF
(K.A.K) ve 2|AK|=|AS|=|EF| bulunur.
ÖRNEK:
OBOA ve OC // BD ise x=?
ÇÖZÜM:
AOB üçgeninde; 320+mB+800=1800
mB=680=mA AOB ikizkenar.
mOCA =320 içters açılar.
OCA üçgeninde; 320+x=680 , x=360
- 22 -
ÖRNEK:
Ç(ABC)=?
ÇÖZÜM:
|BD|=|BE|=z çizelim:
BDE ikizkenar; mD=mE=80o
mEDC=40o , EDC ikizkenar, |ED|=|EC|
|DE|=|DF| çizelim:
DFE ikizkenar; mF=mE=80o
mADB=mFDB=600 olur ki
ADB FDB (A.K.A) , |AD|=|DF|=x
|AD|=|DF|=|DE|=|EC|=x
mABC=mACB=40o
ABC ikizkenar, |AB|=|AC|=x+y
Ç(ABC)=|AB|+|BC|+|AC|
=(x+y)+(z+x)+(x+y)=3x+2y+z
ÖRNEK:
BEBD ise ECAD ?
Y.G: Bir önceki soruda:
|DE|=|EC| bulunmuĢtu.
|DE|=|DF| çizildiğinde eĢlikten;
|AD|=|DF| |AD|=|DF|=|DE|=|EC|
ÖRNEK:
BDAD ise x=?
ÇÖZÜM:
ADB ikizkenar. mB=mBAD=x=mDAC
ABC üçgeninde; x+2x+660=1800 , x=380
ÖRNEK:
ADBCAB ise
y nin x türünden eĢiti?
ÇÖZÜM:
ABC ikizkenar. mACB=x
ACD üçgeninde ; mD+y=x , mD=x-y
ABD ikizkenar. mB=mD=x-y
2(x-y)+x+y=1800 , 3x-y=1800
y=3x-1800
ÖRNEK:
ACAB ve AD // BC ise x=?
ÇÖZÜM:
mADB=mDBC=x içters.
ABC ikizkenar; mB=mC=2x
2x+400+2x=1800 , x=350
- 23 -
ÖRNEK:
ACAB ise x=?
ÇÖZÜM:
mADB=mBDE=y dersek;
ACD üçgeninde mACB=x+y
ABC ikizkenar mABC=mACB=x+y
EBD üçgeninde y+150=x+y , x=150
ÖRNEK:
ACAB , FEAF , BEBD
x=?
ÇÖZÜM:
AFE ikizkenar. mE=mA=x
EBD ikizkenar. mE=mD=x , mDBA=2x
BAC ikizkenar. mC=2x ,
2x+x+2x=1800 x=360
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AOB ikizkenar. mA=mB=700
BOC ikizkenar. mB=mC=550
mABC=700+550=1250
ÖRNEK:
ACAB , DCBE , FCBD
ÇÖZÜM:
ABC ikizkenar. mB=mC=550
EBD DCF (K.A.K)
mBED=mCDF ve mEDB=mDFC
mBED+mEDB=1250= mEDB+ mCDF
mEDB+x+mCDF=1800 , 1250+x=1800
x=550
ÖRNEK:
AFAE ise
d nin, b ve c türünden eĢiti?
ÇÖZÜM:
EBD üçgeninde; mDEA=b+d
EAF ikizkenar. mE=mF=b+d=mCFD
FCD üçgeninde; (b+d)+d=c
d=(c-b)/2
- 24 -
ÜÇGENLERDE BENZERLĠK
ABCDEF eĢlemesinde:
mA=mD
mB=mE ve kDF
AC
EF
BC
DE
AB ise
mC=mF
ABCDEF dir.
k, benzerlik oranıdır.
A.A BENZERLİĞİ:
KarĢılıklı ikiĢer açıları eĢ olan üçgenler
benzerdir.
ÖRNEK:
mB=mD ve mC=mE yöndeĢ açılar.
ADEABC (A.A)
BC
DE
AC
AE
AB
AD
ÖRNEK:
A açısı ortak, mC=mD verilmiĢ.
ADEACB (A.A)
BC
DE
AB
AE
AC
AD
K.A.K BENZERLİĞİ:
KarĢılıklı ikiĢer kenarları orantılı,
bu kenarların oluĢturduğu açıları eĢ olan
üçgenler benzerdir.
ÖRNEK:
DBAD
ECAE ise BCDE // ve
2
BCDE dir.
ÇÖZÜM:
2
1
AC
AE
AB
AD ve A açısı ortak.
ADEABC (K.A.K)
2
1
BC
DE ,
2
BCDE ve
mB=mD olduğundan DE//BC dir.
- 25 -
ORTA TABAN:
Üçgenin iki kenarının orta noktalarını
birleĢtiren doğru parçası, üçüncü kenara
paralel olup uzunluğu kenar uzunluğunun
yarısıdır.
Üçgenin bir kenarının orta noktasından
ikinci kenara çizilen paralel doğru,
üçüncü kenarı ortalar.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
[DE] ve [DF] , ABC de orta taban olup
|DE|=5 ve |DF|=4 dir.
AEDF paralel kenar.
Ç(AEFD)=|AB|+|AC|=18
ÖRNEK:
EDAE ve CDEFAB //// için x=?
ÇÖZÜM:
EF uzatılır, EF ile P de kesiĢtirilirse;
[EP], ADC de orta taban |EP|=13/2
[FP], CAB de orta taban |FP|=9/2
x=2
ÖRNEK:
|BD|=|DC| ve |AP|=|PD| ise
AEEC 2 ve PEBP 3 dir.
ÇÖZÜM:
DF//BE çizilirse;
[DF], CBE de orta taban;
|EF|=|FC| , |BE|=2|DF|
[PE], ADF de orta taban;
|AE|=|EF| , |DF|=2|PE| eĢitliklerinden
|EC|=2|AE| ve |BP|=3|PE| dir.
ÇÖZÜM:
AC yi çizer, EF yi P de kestirirsek:
[EP], ABC nin, [PF] de CAD nin
orta tabanı olur.
ÇÖZÜM:
[SR], ADC nin, [PQ], ABC nin orta
tabanıdır.
- 26 -
K.K.K BENZERLİĞİ:
KarĢılıklı tüm kenarları orantılı olan
üçgenler benzerdir.
Üç yada daha fazla paralel doğru bir
kesen üzerinde eĢ parçalar ayırıyorsa,
her kesen üzerinde eĢ parçalar ayırır.
Ġkiden fazla paralel doğru iki kesen
üzerinde karĢılıklı orantılı parçalar
ayırır.
Üçgenin bir kenarına paralel bir
doğru diğer iki kenarı farklı noktalarda
keserse bu kenarlar üzerinde orantılı
parçalar ayırır.
AD // BE // CF iken zxy
111 dir.
ÇÖZÜM:
CBECAD (A.A) x
y
CD
CE
CA
CB
ABEACF (A.A) z
y
AF
AE
AC
AB
EĢitlikleri taraf tarafa toplanırsa;
z
y
x
y
AC
AB
CA
CB ve
zxy
111
ÖRNEK:
BC // DE ise x=? , y=?
ÇÖZÜM:
ADEABC (A.A) ,
BC
DE
AC
AE
AB
AD
8910
4 yx , x=3,6 , y=3,2
ÖRNEK:
12CT ise ?PK
ÇÖZÜM:
P den AB ye PF dikmesi çizilirse;
Açılar hesaplandığında PEK ikizkenar
çıkar.
[PE], ACT de orta taban. |PE|=6=|PK|
- 27 -
ÖRNEK:
PB // KC // TD ise x=?, y=?, z=?, m=?
ÇÖZÜM:
APBAKCATD (A.A)
KC
PB
AC
AB
AK
AP
z
y
x
15
15
16
10 x=9
TD
KC
AD
AC
AT
AK
2436
24
16
16 z
m
m=8 , z=16 ,
y=10
ÖRNEK:
? xEBDABC , ?CE
ÇÖZÜM:
9
9
13
39 CEx
x
x
x=4,5 , |CE|=22,5
ÖRNEK:
AE açıortay ,
DCBD , AEBE ise
2
ACABDE
dir.
Y.G: BE uzatılır, AC ile F de
kesiĢtirilirse;
ABF ikizkenar ve [DE], BCF de
orta taban.
ÖRNEK:
AE dıĢ açıortay,
DCBD , AEBE ise
2
ACABDE
dir.
Y.G: BE uzatılır, CA ile F de
kesiĢtirilirse;
AFB ikizkenar ve [ED], BFC de
orta taban.
- 28 -
ÖRNEK:
CDBE, açıortay ,
AEBE , ADCD ise
2
BCACABDE
dir.
Y.G: AD ve AE uzatılır,
BC ile P ve K da kesiĢtirilirse;
CPA ve BKA ikizkenar,
[DE] de APK da orta taban.
ÖRNEK:
ABCD kare ,
AK KM , EL KM , CM KM
EDAE , 5AK , 11EL ise
x=?
ÇÖZÜM:
D den KM ye DP dikmesi çizilirse;
[EL], AKPD yamuğunda orta tabandır.
112
5
DP , |DP|=17
|DP|=|AK|+|CM| , 17=5+x ,
x=12
ÖRNEK:
ACAB , BCP , PTKP ise
2
ATAKAB
?
Y.G: PE//AC ve PF//AB çizilirse;
EBP ve FPC ikizkenar.
[EP], KAT de, [PF], TAK de orta
tabandır. |AB|=|AE|+|EB|
|AT|=2|EP| , |AK|=2|PF|
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
DE//AC ; DB
CD
EB
AE ve
DF//AB; DC
BD
FC
AF
EĢitlikleri taraf tarafa çarpılırsa;
1. FC
AF
EB
AE bulunur.
- 29 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
DACCAB (K.A.K)
BC
DC
AB
AC
CA
DA
34
2
2
1 x , x=1,5
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AOBA’OB’ (A.A) 4
1
'''
BA
AB
OA
AO
AOPA’OP’ (A.A)
4
1
'5
3
''
OA
AO
y
x
PA
AP
4x-12=5-y , y=17-4x
x+y=x+(17-4x)=17-3x
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
DP//AC çizilirse; |BP|=|PC|=5 ve
[EC], FDP de orta taban olup |DP|=4
[DP], BAC de orta taban olup
|AC|=8 dir.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
PCEBPD (A.A)
ADPE paralel kenar.
PD
CE
BD
PE , |PE|.|PD|=|BD|.|DC|
|PE|=|AD| ve |PD|=|AE| yazılırsa
oran 1 bulunur.
- 30 -
ÖRNEK:
?TB
CT
ÇÖZÜM:
EPCBPA (A.A) 2
1
BA
EC
PB
EP
PK//EC çizilirse; BKPBCE (A.A)
3
2
BE
BP
EC
PK
BC
BK
PKTFBT (A.A) 6
1
BT
KT
FB
PK
eĢitliklerinden 4
3
TB
KTCK
TB
CT
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
BCP EĢkenar üçgeni çizildiğinde ;
|BC|=|BC|
m(BCD)=m(PCA)=600+m(BCA)
|CD|=|AC| olduğundan (KAK)
BCD PCA dır.
|BD|=|AP| olur ki ,
ABP dik üçgeninde :
|AP|2=|AB|2+|BP|2 olacağından
|BD|2=42+62=16+36=52
|BD|= 132 bulunur.
mB=300 ve ACD eĢkenar üçgen
olduğunda:
|BD|2=|AB|2+|BC|2 dir.
Recommended