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OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES
FUNCIONES DE 2 VARIABLES
Página 3
Optimización de Sistemas
y Funciones. CONTENIDO
Carmen Aguilar
Marianlys Aguilera
José Valencia
Optimizar, Función,
Restricciones………………… 4
Variables de Decision y
Parametros…………………... 5
Funcion Objetivo…………… 5
Optimizacion
Sin Restricciones…………… 6
Importancia de la
Optimizacion sin
Restricciones………………... 7
Optimizacion para Todo…… 8
Funcion Objetivo de una
Variable……………………… 9
Funcion Objetivo de dos
Variables……………………. 10
Ejercicios Propuestos……... 12
Sopa de Letras…………….... 18
Página 4
¿Qué es Optimizar?
-Es Buscar la mejor manera de realizar una
Actividad.
Si la actividad puede modelizarse con una función
de una o varias variables, optimizar requiere hallar
el menor o el mayor valor de la función para los
valores admisibles de las variables.
¿Qué es una Función?
Una función es un objeto matemático que se
utiliza para expresar la dependencia entre dos
magnitudes, y puede presentarse a través de
varios aspectos complementarios.
¿Qué son Restricciones?
Las restricciones son relaciones entre las
variables de decisión y magnitudes que dan
sentido a la solución del problema y las acotan a
valores factibles
ConozCamos…
y = f(x)
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Variables de decisión y
parámetros.
Las variables de decisión son incógnitas
que deben ser determinadas a partir de la
solución del modelo. Los parámetros
representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar.
Función Objetivo La función objetivo es una relación matemática entre las
variables de decisión, parámetros y una magnitud que
representa el objetivo o producto del sistema
ConozCamos…
Si el objetivo del sistema es minimizar
los costos de operación, la función
objetivo debe expresar la relación entre
el costo y las variables de decisión. La
solución ÓPTIMA se obtiene cuando el
valor del costo sea mínimo para un
conjunto de valores factibles de las
variables.
Es decir hay que determinar las variables x1, x2,..., xn que
optimicen el valor de Z = f(x1, x2,..., xn) sujeto a
restricciones de la forma g(x1, x2,..., xn) ? b. Donde x1,
x2,..., xn son las variables de decisión Z es la función
objetivo, f es una función matemática.
Ejemplo
:
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OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES
-Optimizar una función es el proceso que
permite encontrar el valor máximo y/o
mínimo que puede tomar una función así
como aquellos valores de la variable
independiente que hacen que la función
sea óptima.
El método sin restricciones puede ayudar en gran
manera a la solución de ciertas clases de
problemas complejos en el área de ingeniería
causando un impacto significativo en la solución
de ciertos Problemas.
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Una buena técnica de
optimización de variables es
fundamental por al menos tres
razones:
• En muchos problemas las
restricciones se pueden incluir
dentro de la función objetivo, por
lo que la dimensionalidad del
problema se reduce a una
variable.
• Algunos problemas sin
restricciones, inherentemente
incluyen una única variable.
• Las técnicas de optimización
con y sin restricciones,
generalmente incluyen pasos de
búsqueda unidireccional en sus
algoritmos.
IMPORTANCIA DE LA OPTIMIZACIÓN SIN
RESTRICCIONES.
En optimización sin restricciones se minimiza una función
objetivo que depende de variables reales sin restricciones
sobre los valores de esas variables y su formulación es:
(OSR) = _minx
f(x) ∈IRn
Donde f es una función suficientemente regular.
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¡¡Optimización para
Todo!!!
La Optimización es aplicable a un sin
fin de problemas:
Diseño de aviones y estructuras aeroespaciales para
minimizar peso.
Encontrar trayectorias óptimas de vehículos espaciales
Diseño de estructuras de obras civiles (puentes, torres,
chimeneas, presa) al precio más bajo.
Peso mínimo de estructuras resistentes a terremotos y
viento.
Diseño de reservas de agua para un uso eficiente.
Camino más corto pasando por una serie de puntos.
Planificación de una producción óptima.
Análisis de datos estadísticos y construcción de modelos a
partir de datos experimentales para obtener la
representación más realista de un fenómeno físico.
Control de los tiempos de espera en una línea de
producción para minimizar costes.
Planificación de la mejor estrategia para obtener el máximo
beneficio en presencia de competidores.
Diseño óptimo de sistemas de control.
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Función Objetivo de Una variable.
Sea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener
el (los) máximo(s) o mínimo(s) relativo(s) serán:
1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e
igualarla a 0, dy0dx=0
2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y
revisar los signos. Esta condición es llamada “condición
suficiente”. Si un punto crítico es “a”, entonces:
f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un
máximo relativo
f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un
mínimo relativo
f′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar
el test de las “derivadas sucesivas”:
Si el primer valor diferente de cero de una derivada de
orden superior, cuando se evalúa un punto crítico es una
derivada de grado impar (tercer, quinto, etc.) la función
es un punto de inflexión.
Si el primer valor diferente de cero de una derivada de
orden superior, cuando es evaluado en un punto crítico
es una derivada de grado par, entonces la función es un
extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene valor
negativo entonces la función es cóncava en “a” (y por
ende, es un máximo relativo). Caso contrario, la función
es convexa y presenta un mínimo relativo en “a”.
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10
Función Objetivo de Dos Variables
Para que una función como z = f (x,y) tenga un mínimo o
máximo relativo, tres condiciones deben ser satisfechas:
1. Las derivadas parciales de primer orden deben
simultáneamente ser iguales a cero. Ello indica que en
un punto dado (a,b) llamado “punto critico”, la función
no está creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes
principales sino a una superficie relativa.
2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser
negativas cuando ellas son evaluadas en el punto crítico
(a,b) para un máximo relativo y positivas para un mínimo
relativo. Ello asegura que la función es cóncava y
moviéndose hacia abajo en relación a los ejes
principales en el caso de un máximo relativo y la función
es convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los
ejes principales en el caso de un mínimo relativo.
3. El producto de las derivadas parciales de segundo
orden evaluadas en el punto crítico deben exceder el
producto de las derivadas parciales cruzadas también
evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es
necesaria para evitar un punto de inflexión. En resumen:
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En la situación que fxx fyy < (fxy)2, cuando fxx y fyy
tienen el mismo signo, la función esta en un punto de
inflexión. Caso contrario, la función estará en un punto de
silla. Si fxx fyy = (fxy)2 entonces se requeriría mayor
información.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
X1= 9 ; X2= 11
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EJERCICIOS PROPUESTOS
F’(X) = [(2X – 20) (X – 10)2 –(X2 – 20X + 99)
(2(X – 10))] / ((X – 10)2)2
F’(X) = (2 (X – 10)) [(X – 10)2 – (X2 – 20X +
99)] / (X – 10)4
F’(X) = (2 [X2 – 20X + 100 – X2+ 20X – 99] /
(X – 10)3
F’(X) = 2 (100 – 99) / (X – 10)3 = 2 / (X – 10)3
F” (9) = 2 / (9 – 10)3 = -2 < 0 ; máximo
F” (11) = 2 / (11 – 10)3 = 2 > 0 ; mínimo
Si X = 11
Y = 10 – 11 = -1 ---> Y = -1
Hay un mínimo en X = 11 , los números son : X = 11 ; Y =-1
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EJERCICIOS PROPUESTOS
2) Para la fabricación de un determinado producto, se necesita
invertir dinero en contratar empleados y comprar maquinas. El
dueño de la fábrica ha estimado que si compra “X” máquinas y
contrata “Y” empleados, el número de unidades de productos
que podía fabricar vendría dado por la función:
F (X, Y) = 90X – Y2 Cada máquina le supone una inversión de
2500 euros. Si el empresario dispone de un presupuesto de
22500 euros para este fin, determine el número de obreros que
debe contratar y el número de máquinas que debe comprar
para maximizar la producción.
F (X, Y) = 90X – Y2
2500X + 1500Y = 22500
5X + 3Y = 45 ---> Y = (45 – 5X) / 3
F(X) = 90X ((45 – 5X) / 3)
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EJERCICIOS PROPUESTOS
F(X) = 90X ((2025 – 450X + 25X2) / 9)
F(X) = 10X (25X2 – 450X + 2025)
F(X) = (250X3 – 4500X2 + 20250X)
F’(X) = (750X2 – 9000X2 + 20250)
F’(X) =0
750X2 – 9000X + 20250 = 0
X2 – 12X + 27 = 0
X = 9 ; Y = 0
X = 3 ; Y = 10
F’’(X) = 1500X – 9000
F’’(3) = 1500(3) – 9000 = -4500 < 0 ; maximo
F’’(9) = 1500(9) – 9000 = 4500 > 0 ; minimo
Para maximizar la producción se debe contratar 10 empleados y
comprar 3 maquinas.
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3) Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9
alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la
estructura de la empresa solo puede optar por dos tipos de
alarmas, de tipo A o de tipo B ; además, afirma que la seguridad
de la empresa se puede expresar como la décima parte del
producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el
cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B ¿Cuantas
alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para
maximizar su seguridad?
X ---> alarmas tipo B
Y ---> alarmas tipo A
Y = 9 – X
F(X) = (Y X2 / 10) = (9 - X) X2 / 10
F(X) = (9X2 – X3) / 10
F’(X) = (18X – 3X2) / 10
F’(X) = 0
(18X – 3X2) / 10 = 0
-3X (X - 6) = 0
X = 0 ---> Y = 9 – 0 = 9 ; P (0 , 9)
X = 6 ---> Y = 9 – 6 = 3 ; P (6 , 3)
EJERCICIOS PROPUESTOS
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EJERCICIOS PROPUESTOS
F’’(X) = (18 – 6X) / 10
F’’(0) = (18 – 6(0)) / 10 = 9 / 5 > 0 ; mínimo
F’’(X) = (18 – 6(6)) / 10 = - 9 / 5 > 0 ; máximo
P(6 , 3) ---> Hay un máximo en X = 6
Debemos instalar 6 alarmas de tipo “B” y 3 alarmas de tipo
“A”
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18
Sopa de Letras
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19
ALGORITMO DERIVADA EJERCICIO
FASES FORMULAS FUNCION
GRADIENTE HESSIANA MATEMATICA
MATRIZ MAXIMA MINIMIZAR
NEWTON NUMEROS OPTIMIZAR
PENDIENTE PROBLEMAS RESTRICCIONES
VALORES VARIABLE
Encuentra las
Palabras!!!
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20
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