Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016

Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm1dari6

Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM

�http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/

UJIANAKHIRSEMESTERSTATISTIKADANPROBABILITAS

AMN–IST–ISIRabu,15Juni2016|100menit

[Bolehmembukabuku|Tidakbolehmemakaikomputer]

SOAL1[30%]

Hasilsigi(survei)lalulintasdisuatukawasan,yangdibagimenjadidelapanzona,menghasilkandatajumlahperjalanandanjumlahmobilsetiapharisepertidisajikanpadatabeldibawahini.

zona jumlahmobil jumlahperjalanan1 240 7802 200 4203 90 1004 500 13405 440 11006 120 4407 400 10008 330 900

(a) Temukanlahhubunganantarakeduavariabel(jumlahperjalanansebagaifungsijumlahmobil)

denganteknikregresilinear,metodekuadratterkecil.[Bobot15%]Catatan:keduavariabeladalahvariabeldiskrit,jumlahperjalanandanjumlahmobiladalahbilanganbulatpositif.

(b) Berapakahkoefisienkorelasihubunganlinearkeduavariabeltersebut?[Bobot15%]

PENYELESAIAN

(a)Regresilinear[bobot15%]

JikajumlahperjalanandinyatakansebagaivariabelYdanjumlahmobildalamperjalanantersebutdinyatakansebagaivariabelX,makahubunganantarakeduavariabel,yangdiperolehdariregresilinear,dapatdinyatakandalampersamaandibawahini:

𝑌 = 𝑎! + 𝑎!𝑋

Variabel𝑌atauseringpuladisimbolkandengan𝑌! adalahjumlahperjalanansebagaifungsijumlahmobil.Nilaia0dana1dalampersamaanregresidicaridenganpersamaanberikut:

𝑎! =𝑛 𝑥!𝑦!!

!!! − 𝑥!!!!! 𝑦!!

!!!

𝑛 𝑥!!!!!! − 𝑥!!

!!!! dan 𝑎! = 𝑌 − 𝑎!𝑋

Dalampersamaandiatas,nadalahukuransampelataujumlahdata,𝑌dan𝑋adalahjumlahperjalananrata-ratadanjumlahmobilrata-rata.HitunganregresilineardenganmetodekuadratterkecildisajikanpadaTabel1padahalamansetelahhalamanini.DariTabel1,diperolehinformasisebagaiberikut:

§ jumlahdata,n=8;§ jumlahperjalananrata-rata,𝑌 = 𝑦!!

!!! 𝑛 = 6.080 8 = 760;§ jumlahmobilrata-rata,𝑋 = 𝑥!!

!!! 𝑛 = 2.320 8 = 290.

Koefisien𝑎! dan 𝑎!padapersamaangarisregresidihitungsebagaiberikut:

Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm2dari6

Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM

�http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/

𝑎! =𝑛 𝑥!𝑦!!

!!! − 𝑥!!!!! 𝑦!!

!!!

𝑛 𝑥!!!!!! − 𝑥!!

!!!! =

8×2.184.000 − 2.320×6.0808×832.600 − 2.320!

= 2.6333.

𝑎! = 𝑌 − 𝑎!𝑋 = 760 − 2.6333×290 = −3.6546.

Dengandemikian,hubunganantarajumlahperjalanandanjumlahmobilyangdiperolehdariregresilinearantarakeduavariabeladalah:

𝑌 = −3.6546 + 2.6333 𝑋atau𝑦! = 2.6333 𝑥! − 3.6446.

TABEL1HITUNGANREGRESILINEARHUBUNGANANTARAJUMLAHPERJALANANDANJUMLAHMOBILDENGANMETODEKUADRATTERKECIL

i 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊𝒚𝒊 𝒙𝒊𝟐1 240 780 187.200 57.6002 200 420 84.000 40.0003 90 100 9.000 8.1004 500 1.340 670.000 250.0005 440 1.100 484.000 193.6006 120 440 52.800 14.4007 400 1.000 400.000 160.0008 330 900 297.000 108.900Σ 2.320 6.080 2.184.000 832.600

(b)Koefisienkorelasi[bobot15%}

Koefisienkorelasi,r,dinyatakandalampersamaanberikut:

𝑟 =𝑆! − 𝑆!𝑆!

=𝑦! − 𝑌 !!

!!! − 𝑦! − 𝑌!!

!!!

𝑦! − 𝑌 !!!!!

atau

𝑟 =𝑛 𝑥!𝑦!!

!!! − 𝑥!!!!! 𝑦!!

!!!

𝑛 𝑥!!!!!! − 𝑥!!

!!!! 𝑛 𝑦!!!

!!! − 𝑦!!!!!

!

HitunganuntukmendapatkannilaiStdannilaiSrdilakukansecaratabulasidalamTabel2bawahini.Hitunganmengacukepadapersamaanrdiatasyangdisebelahkiri.

TABEL2HITUNGANKOEFISIENKORELASIANTARAJUMLAHPERJALANANDANJUMLAHMOBIL

i 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒊 − 𝒀 𝟐 𝒚𝒊 𝒚𝒊 − 𝒚𝒊 𝟐1 240 780 400 628 23.1042 200 420 115.600 523 10.6093 90 100 435.600 233 17.6894 500 1.340 336.400 1.313 7295 440 1.100 115.600 1.155 3.0256 120 440 102.400 312 16.3847 400 1.000 57.600 1.050 2.5008 330 900 19.600 865 1.225 𝑺𝒕 = 1.183.200 𝑺𝒓 = 75.265

Catatan:𝑦! adalahjumlahperjalanan,variabeldiskrit,bilanganbulat.

Koefisienkorelasi:

𝑟 =𝑆! − 𝑆!𝑆!

=1.183.200 − 75.265

1.183.200= 0.9677.

Akarkuadratdapatbernilaipositifataunegatif.Koefisienkorelasidapatbernilaipositifataunegatif.Karenagradiengarisregresi,𝑎!,bernilaipositif,ataudengankatalainjumlahperjalanan

Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm3dari6

Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM

�http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/

berbandinglurusdenganjumlahmobil,makakoefisienkorelasipunbernilaipositif,r=0.9677.Gambar1menyajikandatasecaragrafis.Gambarinitidakwajibdibuatkarenasoaltidakmemintanya.

GAMBAR1HUBUNGANLINEARANTARAJUMLAHPERJALANANDANJUMLAHMOBIL

SOAL2[70%]

Angka-angkadibawahiniadalahkuatdesakbetondalamsatuanMPayangdiperolehdariujilaboratoriumterhadap36buahsampel.

28 26 30 28 29 32

34 26 28 34 31 28

33 32 30 30 30 32

26 28 30 30 26 24

34 28 32 32 28 30

34 32 37 30 30 32

(a) Buatlahtabelfrekuensidenganrentangkelas2MPa,batasbawahrentangkelaspertama

adalah23MPa(rentangkelaspertama23-25MPa).[Bobot15%](b) Hitunglahnilairata-rata,median,danmodus(mode)kuatdesakbetondenganmemakaitabel

frekuensi.[Bobot15%](c) Hitunglahnilaisimpanganbakukuatdesakbetondenganmemakaitabelfrekuensi.[Bobot

10%](d) Hitunglahrentangkeyakinankuatdesakrata-ratadengantingkatkeyakinan90%.[Bobot15%](e) Ujilahhipotesisyangmenyatakanbahwakuatdesakrata-ratabetontersebutadalah32MPa

dengantingkatkeyakinan95%.[Bobot15%]

y=2.6333x-3.6546r²=0.93652

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 100 200 300 400 500 600

Jumlahperjalanan,Y

Jumlahmobil,X

Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm4dari6

Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM

�http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/

PENYELESAIAN

(a)Tabelfrekuensi[bobot15%]

Tabelfrekuensiadalahsalahsatucarapenyajiandata.Kuatdesakbetonadalahvariabelrandomkontinu.Datadiatasdiperolehdariujilaboratorium.Datakuatdesaktersebutadalahdatasampel,bukandatapopulasi.TabelfrekuensidisajikanpadaTabel3dibawahini.

TABEL3KUATDESAKBETONHASILUJILABORATORIUM

i Kuatdesak,X[MPa] Frekuensi𝒇𝒊

𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊𝟐Kelas 𝒙𝒊1 23 - 25 24 1 24 5762 25 - 27 26 4 104 27043 27 - 29 28 8 224 62724 29 - 31 30 10 300 90005 31 - 33 32 8 256 81926 33 - 35 34 4 136 46247 35 - 37 36 1 36 1296 Σ= 36 1080 32664

Ukuransampelataujumlahdatadalamsampelujikuatdesakbetonadalah 𝑓! = 36.Operatorpenjumlahan 𝑓! dibaca 𝑓!!

!!! .Indekspadaoperatorpenjumlahantidakdituliskanuntukmenyederhanakanpenulisan.

DatadapatpuladisajikandalambentukgrafikbatangatauhistogramsepertidisajikanpadaGambar2.Grafikinitidakwajibdibuatkarenasoaltidakmemintanya.Perhatikanbentukkurvapadagambartersebut.Tampakjelasbahwabentukkurvamengindikasikanbahwasampelkuatdesakbetonberdistribusinormal.

GAMBAR2KUATDESAKBETONHASILUJILABORATORIUM

(b)Nilairata-rata,median,modus[bobot15%]

Nilairata-ratadihitungdenganbantuantabelfrekuensi,yaitudenganmenambahkansatukolomyangberisinilaifrekuensidikalikandengannilaidata,𝑓!𝑥! .

Kuatdesakrata-rataadalah:

0

2

4

6

8

10

12

23-25 25-27 27-29 29-31 31-33 33-35 35-37

Frekuensi

KuatdesakbetondalamsatuanMPa

Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm5dari6

Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM

�http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/

𝑋 =𝑓!𝑥!𝑓!

=108036

= 30MPa.

Nilaimediandannilaimodusdapatdilihatlangsungpadatabelfrekuensidiatas:

§ mediankuatdesakadalah30MPaatau29-31MPa,§ moduskuatdesakadalah30MPaatau29-31MPa.

(c)Simpanganbaku[bobot10%]

Simpanganbakukuatdesakbetondihitungdenganbantuantabelfrekuensi,yaitudenganmenambahkankolomyangberisi𝑓!𝑥!!.Nilaisimpanganbakuadalah:

𝑠! =𝑥! − 𝑋 !

𝑓! − 1=

𝑓!𝑥!! − 𝑓! 𝑋 !

𝑓! − 1=

32664 − 36×30!

36 − 1= 2.7464 MPa.

(d)Rentangkeyakinankuatdesakrata-rata[bobot15%]

Rentangkeyakinankuatdesakrata-rata,denganasumsibahwakuatdesakbetontersebutberdistribusinormal,dinyatakandenganpersamaanberikut:

prob 𝑙 ≤ 𝜇! ≤ 𝑢 = 1 − 𝛼

Dalampersamaandiatas,ladalahbatasbawahrentangkeyakinan,uadalahbatasatasrentangkeyakinan,dan1 − 𝛼adalahtingkatkeyakinan.Batasbawahdanbatasatasrentangkeyakinankuatdesakbetonrata-ratadinyatakandenganpersamaanberikut:

𝑙 = 𝑋 −𝑠!𝑛𝑡!!! !,!!!dan𝑢 = 𝑋 +

𝑠!𝑛𝑡!!! !,!!!

Nilai𝑡!!! !,!!!adalahnilaitpadapdfdistribusitsedemikianhinggaprob 𝑇 < 𝑡 = 1 − 𝛼 2padanilaiderajatkebebasan𝜈 = 𝑛 − 1,nukuransampel(jumlahdata).Karenatingkatkeyakinantelahditetapkan,yaitu1 − 𝛼 = 90%,maka1 − 𝛼 2 = 95%.Nilai𝑡!!! !,!!! = 𝑡!.!",!"dibacapadatabeldistribusit.Bacaantabelmenjadimudahdilakukandengancaramembuatsketsapdfdistribusit.

Daritabeldistribusit,diperoleh:

𝑡!.!",!" = 1.6896

Dengandemikian,batasbawahdanbatasatasrentangadalah:

𝑙 = 30 − 1.68962.746436

= 29.23 MPa.

𝑢 = 30 + 1.68962.746436

= 30.77 MPa.

Dengandemikian,rentangkeyakinan90%kuatdesakrata-rataadalah:

prob 29.33 MPa ≤ 𝜇! ≤ 30.77 MPa = 0.90.

(e)Ujihipotesiskuatdesakrata-rata[bobot15%]

H0: 𝜇! = 32 MPa

H1: 𝜇! ≠ 32 MPa

Karenavarianspopulasitidakdiketahui(𝜎!!tidakdiketahui),makastatistikaujiadalah:

𝑡!.!",!"𝑡!.!",!" = −𝑡!.!",!"

1 − 𝛼 = 0.90𝛼 2⁄ = 0.05𝛼 2⁄ = 0.05

Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2016.docx hlm6dari6

Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM

�http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/

𝑇 =𝑛𝑠!

𝑋 − 𝜇! =36

2.746430 − 32 = −4.3693.

Batas-bataspenerimaanataupenolakanstatistikaujidengantingkatkeyakinan1 − 𝛼 = 95%danjumlahsampeln=36adalah:𝑡! !,!!! = 𝑡!.!"#,!"dan𝑡!!! !,!!! = 𝑡!.!"#,!".

Daritabeldistribusit,diperoleh:

𝑡!.!"#,!" = 2.0301𝑡!.!"#,!" = −2.0301

Dengandemikian,statistikauji𝑇 = −4.3693beradadiluarrentangpenerimaanhipotesisH0( 𝑇 >𝑡!.!"#,!"),sehinggahipotesisyangmenyatakanbahwakuatdesakrata-

rataadalah32MPatidakditerimaatauditolak.

-o0o-

𝑡!.!"#,!" = 2.0301𝑡!.!"#,!" = −2.0301

1 − 𝛼 = 0.95𝛼 2⁄ = 0.025𝛼 2⁄ = 0.025