Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)

KALKULUS LANJUT Pertemuan ke-1

Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.

Point Penilaian Nilai akhir akan ditentukan dengan komponen sebagai berikut:

• Terstruktur (TST): 20%

• Mandiri (MDR): 20%

• Ujian Tengah Semester (UTS): 20%

• Ujian Akhir Semester (UAS): 40%

Konversi Huruf Mutu :

A >=80

B 70-79,99

C 55-69.99

D 45-54,99

E <45

Aturan Nilai Akhir

1. Tidak ada ujian susulan untuk kuis. 2. Ujian Susulan untuk UTS dan UAS dapat

dilakukan dengan alasan sakit dan menunjukkan surat keterangan sakit dari dokter.

3. Keterlambatan pengumpulan Tugas atau Latihan Soal maksimal satu minggu dengan konsekuensi nilai yang diberikan hanya 80% dari nilai maksimal.

4. Jika terbukti melakukan kecurangan akademik berupa mencontek atau bekerja sama pada saat kuis, UTS dan UAS, maka akan mendapatkan sanksi nilai 0.

Aturan Perkuliahan

1. Toleransi Keterlambatan 15 Menit dari jadwal Perkuliahan

2. Handphone/Smartphone, Tablet dan alat Elektronik pribadi lainnya WAJIB di Silent

3. Tidak berbincang-bincang selama proses belajar mengajar

4. Tidak meninggalkan sampah di ruangan kelas

5. Membawa Kalkulator

Aturan Pengumpulan Tugas

1. Pada setiap jawaban tugas WAJIB mencantumkan Tanggal Penugasan

2. Nama lengkap

3. NIM

4. Kelas

5. Program Studi

Referensi

• Purcell, E. J. et all., Kalkulus Jilid 1 Edisi ke-8, Jakarta, Erlangga, 2003.

• Leithold, Louis. The Calculus with Analytic Geometry, 3rd edition, Happer & Row Publishers, New York. 1976.

• Apostol, Tom M. Calculus Volume 1, 2nd Edition. John Wileu & Sons, Inc. 1967.

• Paul A. Foerster, Calculus, Concepts and Applications, Key Curriculum Press, 2005.

• Robert Oman & Daniel Oman, Calculus for the Utterly Confused, Mc Graw Hill, 1999

Materi

1. Integral Tak tentu

-integral fungi Rasional

-integral fungsi logaritma

-integral fungsi Eksponensial

-integral fungsi Trigonometri

-integral substitusi

-integral parsial

2. Integral Tentu

3. Penggunaan Integral

4. Deret Tak Berhingga

Definisi Integral Tak Tentu

Purcell et all. (2003) : Kita menyebut F suatu antiturunan f pada selang I jika Dx F(x)=f(x) pada I, yakni, jika F’(x)=f(x) untuk semua x dalam I.

Paul A. Foerster (2005) :

Contoh

Mencari suatu fungsi F yang memenuhi F’(x)=4x3 untuk semua x real.

Berdasarkan differensiasi, diketahui bahwa F(x)=x4 pastilah antiturunan.

Lebih lanjut lagi, F(x)=x4 +6 juga memiliki turunan F’(x)=4x3

Dengan demikian :

F(x)=x4 +C adalah antiturunan dari F’(x)=4x3 pada ,

Aturan Pangkat

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka :

Proof :

Untuk menunjukkan bahwa suatu hasil berbentuk

Cukup menunjukkan :

Dalam kasus ini :

11

1

r rx dx x Cr

f x dx F x C

xD F x C f x

1 111 11 0

1 1

rr r

xD x C r x xr r

Contoh

Carilah antiturunan (integral) dari :

Penyelesaian :

4

3f x x

4

3

4 13

73

1

4 13

3

7

f x dx x dx

x C

x C

Aturan Sin dan Cos

sin cos

cos sin

x dx x C

x dx x C

Aturan Operator Linear

Purcell et all. (2003) :

Integral tak tentu adalah operator linear

Andaikan f dan g mempunyai antiturunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta maka :

i k f x dx k f x dx

ii f x g x dx f x dx g x dx

iii f x g x dx f x dx g x dx

Aturan Operator Linear

Paul A. Foerster (2005) :

Contoh

Dengan menggunakan kelinearan hitunglah :

2

32

2

3 4

3 14

1

a x x dx

b u u du

c t dtt

Contoh

2 2

3 2

1 2

3 2

1 2

3 2

3 4 3 4

3 4

3 2

2

2

a x x dx x dx xdx

x c x c

x x c c

x x C

3 32 2

3 1 221 2 3

522

1 2 3

522

3 14 3 14 1

1 314

3 212

2 314

5 2

2 314

5 2

b u u du u du u du du

u c u c u c

u u u c c c

u u u C

1

22 2

32

1 1

1 2

3

c t dt dt t dtt t

t Ct

Aturan Pangkat yang Digeneralisir

Purcell et all. (2003) :

Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka :

Paul A. Foerster (2005) :

11

1

r r

g x g x dx g x Cr

Contoh (1)

Hitunglah :

Misalkan :

Maka :

30

4 33 4 3x x x dx

4

3

3

4 3

g x x x

g x x

30 304 3

31

314

3 4 3

1

31

3

31

x x x dx g x g x dx

g x C

x xC

Contoh (2)

Hitunglah :

Misalkan :

Sehingga :

Maka :

5

3 26 6 12x x x dx

3

2

2

6

3 6

3 6

u x x

dux

dx

du x dx

2 26 12 2 3 6 2x dx x dx du

53 2 5 5 6

63

16 6 12 2 2 2

3

16

3

x x x dx u du u du u C

x x K

Persamaan Diferensial

Purcell et all. (2003) :

Sebarang persamaan dengan yang tidak diketahui berupa suatu fungsi yang melibatkan turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui ini disebut sebagai persamaan diferensial.

Firdanza, dkk. (2005) :

Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan dari fungsi satu peubah yang tidak diketahui.

Orde :

turunan tertinggi dari fungsi yang terlibat dalam persamaan

Derajat/pangkat :

pangkat tertinggi dari turunan (tertinggi) fungsi yang terlibat dalam persamaan

Persamaan Diferensial

Contoh :

Persamaan diferensial orde 1, Derajat 1

Persamaan diferensial orde 2, Derajat 1

Persamaan diferensial orde 2, Derajat 5

4dy

ydx

2 sin 0y x

5 4 63 1y y y

Persamaan Diferensial

Definisi 1 :

Fungsi y=g(x) disebut sebagai solusi persamaan diferensial biasa jika y=g(x) disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial menghasilkan kesamaan yang berlaku untuk semua x (kesamaan identitas)

Definisi 2 :

Jika y=g(x) memuat konstanta sembarang, maka solusinya disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.

Contoh :

• y=sin x + c solusi umum dari PDB y’-cos x = 0 , karena

(sin x + c)’- cos x = cos x – cos x =0

• y=cos x + 5 solusi khusus dari PDB y’+ sin x =0 karena

(cos x +5)’+ sin x = -sin x +sin x = 0

Persamaan Diferensial

Pemisahan peubah :

Perhatikan persamaan diferensial

Jika kedua ruas dikalikan dengan y2 dx , akan diperoleh :

Dalam bentuk ini, persamaan diferensial mempunyai peubah-peubah terpisah yakni, suku-suku y berada pada suatu ruas dari persamaan dan suku-suku x pada ruas lainnya.

Dalam bentuk terpisah, kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial dengan menggunakan metode integral.

2

2

3dy x x

dx y

2 23y dy x x dx

Persamaan Diferensial Contoh :

Selesaikan persamaan diferensial

Kemudian carilah penyelesaian yang memenuhi y=6 bilamana x=0

Penyelesaian :

y=6 bilamana x=0

2

2

3dy x x

dx y

2 2

2 2

3 2 3

1 2

3 2 3

2 1

3 2 3

2 33

3

3

1 1

3 2

13

2

33

2

33

2

y dy x x dx

y dy x x dx

y c x x c

y x x c c

y x x C

y x x C

2 33

3

36 0 3 0

2

6

216

C

C

C

2 333

3 2162

y x x

Persamaan Diferensial Contoh :

Dekat permukaan bumi, percepatan benda jatuh karena gravitasi adalah 32 kaki per detik kuadrat, asalkan kita menganggap bahwa hambatan udara dapat diabaikan. Jika suatu benda dilempar ke atas dari suatu ketinggian 1000 kaki dengan kecepatan 50 kaki per detik, carilah kecepetan dan tingginya 4 detik kemudian.

Penyelesaian :

Ingat kembali mengenai s(t) yaitu posisi, v(t) yaitu kecepatan dan a(t) yaitu percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis ordinat, maka :

2

2

dsv t s t

dt

dv d sa t v t

dt dt

Persamaan Diferensial

Berdasarkan soal, anggap bahwa tinggi s diukur secara positif ke atas, sehingga v adalah positif dan a adalah negatif (tarikan gravitasi cenderung memperkecil v).

Titik awal persamaan diferensial :

Dengan syarat v=50 , s =1000 pada saat t=0, dengan demikian :

Karena v=50, s=1000 dan t=0, maka

32dv

dt

32

32

32

dv dt

v dt

t C

32

50 32 0

50

v t C

C

C

32 50v t

Persamaan Diferensial

Oleh karena maka :

Karena s=1000 dan t=0, sehingga :

dsv

dt

2

2

32 50

32 50

32 50

3250

2

16 50

dst

dt

ds t dt

s t dt

s t t C

s t t C

1000 16 0 50 0

1000

C

C

216 50 1000s t t

Persamaan Diferensial

Akhirnya untuk t=4 :

Dapat disimpulkan bahwa :

22

32 50 32 4 50 78det

16 50 1000 16 4 50 4 1000 944

kakiv t

s t t kaki

0

2

0

32

32

16 50

a

v t v

s t t s

Fungsi Transenden

Fungsi transenden adalah fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y=k dan fungsi kesatuan y=x.

Integral Fungsi Transenden

Fungsi Tansenden

Logaritma Asli

Eksponensial

Trigonometri

Fungsi Logaritma Asli

Fungsi logaritma asli dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai :

Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif.

1

1ln 0

x

x dt xt

Fungsi Logaritma Asli

Fungsi Logaritma Asli

Fungsi Logaritma Asli

Turunan Fungsi Logaritma Asli

Jika dan jika f terdiferensiasikan, maka :

1

1 1ln ; 0

x

x xD dt D x xt x

0u f x

1lnx xD u D u

u

Contoh 1

Tentukan

Misalkan maka :

lnxD x

12u x x

1

21

2

12

12

1ln

1 1

2

1

2

x xD x D xx

xx

x

Contoh 2

Tentukan

Misalkan maka

adalah positif jika x<-1 atau x>2, maka daerah asal yaitu

2ln 2xD x x

2 2u x x 0u

2 2 2 1x x x x

2ln ln 2u x x

, 1 2,

2 2

2 2

2 11ln 2 2

2 2x x

xD x x D x x

x x x x

Contoh 3

Buktikan bahwa 1

ln 0xD x xx

10 ln

1 10 ln

x

x x

x x x D xx

x

x x x D x D xx x

Berdasarkan contoh 3 :

Atau

1ln , 0dx x C x

x

1ln , 0du u C u

u

Contoh 4

Carilah integral

Misalkan :

5

2 7dx

x

2 7

2

1

2

u x

du dx

du dx

5 5 1

2 7 2

5 1

2

5ln

2

5ln 2 7

2

dx dux u

duu

u C

x C

Sifat-Sifat Logaritma Asli

Jika a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebarang bilangan rasional, maka :

ln1 0

ln ln ln

ln ln ln

ln lnr

i

aii a b

b

iii ab a b

iv a r a

Proof

Sifat (i) :

Sifat (ii) :

Karena untuk x>0

Dan

1

1

1ln1 0dt

t

1 1

lnxD ax aax x

1lnxD x

x

Proof

Sifat (ii) :

Berdasarkan Teorema tentang dua fungsi dengan turunan sama bahwa :

Jika untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikiran rupa sehingga :

Untuk semua x dalam (a,b)

F x G x

F x G x C

Proof

Sifat (ii) :

Untuk menghitung C, ambillah x=1 maka ln a = C, sehingga :

ln

ln

ln ln

F x ax

G x x

ax x C

ln ln lnax x a

Proof

Sifat (iii) : Gunakan a sebagai 1/b dalam sifat (ii) untuk memperoleh :

Jadi :

Dengan menerapkan sifat (ii), diperoleh :

1 1ln ln ln ln1 0b b

b b

1ln ln b

b

1 1ln ln ln ln ln ln

aa a a b

b b b

Proof

Sifat (iv) : Karena untuk x>0,

Dan

juga, berdasarkan teorema yang digunakan pada sifat (ii), diperoleh bahwa :

Andaikan x =1, yang memberikan C=0 maka

11ln r r

x r

rD x rx

x x

1

lnx

rD r x r

x x

ln lnrx r x C

ln lnrx r x

Contoh 1

Carilah dy/dx jika

Penyelesaian :

3

2

1ln , 1

xy x

x

13

2

2

2

1ln

11ln

3

1ln 1 ln

3

1ln 1 2 ln

3

xy

x

x

x

x x

x x

1 1 2

3 1

2

3 1

dy

dx x x

x

x x

Contoh 2

Carilah dy/dx jika

Penyelesaian :

2

23

1

1

xy

x

2

23

1 22 2 3

2

1ln ln

1

ln 1 ln 1

1 2ln 1 ln 1

2 3

xy

x

x x

x x

2

2

2

1 1 1 2 12

2 3 11

2

3 11

2

3 1

dyx

y dx xx

x

xx

x

x

Contoh 2

2

2

2

2 23

12 2

223

122 23

21

3 1

2

3 1

21

3 11

1 2

3 1 1

2

3 1 1

xdy

y dx x

xdyy

dx x

xx

xx

x x

x x

x

x x

Grafik Logaritma Asli

Daerah asal ln x adalah himpunan bilangan real, sehingga grafik y=ln x terletak di setengah bagian bidang kanan.

Untuk x>0 :

2

2

11 ln 0

12 ln 0

x

xD xx

D xx

Grafik Logaritma Asli

• Rumus (1) menunjukkan bahwa fungsi logaritma natural (asli) kontinu dan naik dengan x bertambah besar.

• Rumus (2) menunjukkan bahwa grafik cekung ke bawah di mana-mana

TUGAS 1

2

3

62 3

2 3

2

2

1. 1

2.

3. 5 1 5 3 8

4. Carilah penyelesaian umum dan khusus dari

; 4 pada 0

5. 2 8

16.

2 4 3

x dx

x x dx

x x x dx

duu t t u t

dt

zdz

z

tdt

t t

TERIMA KASIH