Principi di Elaborazione Digitale dei Segnali. SERIE TEMPORALI Sistemi lineari che elaborano segnali...

Principi di Elaborazione Digitale

dei Segnali

SERIE TEMPORALISERIE TEMPORALI

Sistemi lineari che elaborano segnali NEL TEMPO (problemi dinamici)

Introduzione della variabile t

Analisi nel dominio del tempo

Analisi nel dominio della frequenza

ES-1

ES-2Serie temporali e computer

I segnali del mondo reale possono essere modellati come funzioni reali x(•) di una variabile reale t (segnali analogici).

-tx

x

finita) (energia

smooth )(:Hp2

Necessità di segnali campionati

A/Dconvertersegnale nT

x(T)x(NT)

sequenza

T

NTxTxTxnTx ,,2,

Teorema di Nyquist

T = periodo di campionamento{x(nT)} = sequenza

ES-3Dal segnale discreto al vettore

Hp: x(t) ad energia finita {x(nT)} di lunghezza finita NT

1,,1, Nnxinxnxnxnx Proiezione lungo l’asse i

Punto dello spazio N-D

EixxL

Nnxinxnxnxx

N

i

T

1

0

2

1,,1,

Un segnale discreto di lunghezza N è un vettore in uno spazio N-dimensionale

{x(n)} = x

x(n)

x(n-1)

x(n-N+1)

ES-4L’operatore ritardo

iN

ii

ixinxixx

Nnxinxnxnxx1

0

1,,1,

ini ini

00

01

n

nn delta di Dirac

basi per rappresentare i segnali discreti nel dominio del tempo

Z-1x(n) x(n-1)

operatore ritardo

Z-1

Z-1

x(n) x(n)

x(n-1)

x(n-N+1)linea di ritardo

1

0

N

i

inixx

ES-5Lo spazio del segnale

Z-1

Z-1

input

linea di ritardo

asse x

asse y

asse z

x(n-3)

x(n-4)

x(n-5)

x(n-3)

x(n-2)

x(n-3)

x(n-4)

x(n-2)

x(n-1)

x(n-2)

x(n-3)

x(n-1)

x(n)

x(n-1)

x(n-2)

x(n)Spazio di ricostruzione

oSpazio del segnale

La “traiettoria” dipende dalle proprietà della serie temporale e può permettere ad un sistema connesso all’output della linea di ritardo di estrarre il modello della serie.

Un enorme numero di campioni enorme dimensione dello spazioSottospazio del segnale

x(n-3)

x(n-2) x(n-1)

x(n)

Traiettoriadel Segnale

yx

z

ES-6Il sottospazio del segnaleSegnale periodico

(K campioni) Spazio K’- dimensionale (K’ K )

K’ dipende dalla complessità della traiettoria

t

x

x1

basta 1-D K’ = 1

x1

x2

x

bastano 2-D K’ = 2(2 << K )Mappaggio uno a uno tra traiettoria e serie temporale

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

I rami si incrociano. Perdo il mappaggio 1 a 1

Potrebbe servire K-D K’=K ? ?

??

ES-7

Trovare la dimensione K’ dello spazio di ricostruzione che quantifichi appropriatamente le proprietà del segnale

x(T)x(NT)

1 2 K’

Finestra temporale “sliding”

ES-8IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE)IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE)

10

0

1

N

T

N

i

Ti

wwww

nxnxnxnx

wnxnxwinxwny

z-1

z-1

z-1

y(n)

x(n)

x(n-1)

x(n-N)

w0

w1

w2

pesi

Linea di ritardo

FIR FINITE IMPULSE RESPONSE(risposta impulsiva finita)

y(n) ha l’espressione vista nelle reti Hebbiane

ES-9

nxwinxwny TN

ii

0

y è la proiezione di x sul vettore peso w Il C.L. è un proiettore lineare dell’input nello spazio del segnale,

secondo la direzione dei pesi

La scelta ottimale dei pesi preserva al massimo l’informazione

contenuta nell’input

Idea base del filtraggio

x

x(n-1)

x(n)

x(n-N)

ES-10Esempi di filtraggio

ES-11ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPOANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO

(SISTEMI LINEARI)(SISTEMI LINEARI)

La risposta impulsiva

)(nhnynnx Risposta impulsiva [h(n)]

Descrive completamente un sistema lineare

Nnwnwnwinwnh N

N

ii

0

10 1

per il combinatore lineare

z-1

z-1

w0

w1

w2

(n)

La h(n) di un C.L. ha lunghezza finita FIR

h(0) h(1) h(2) h3

w0 w1

w2

h(i) = wi

ES-12La convoluzione

y(n) risposta ad un generico input x(n)

ii

ihinxinhixnhnxny

convoluzione

N

i

N

i

ihinxinhixnhnxny00

sistema causale

Per il combinatore lineare

06

35

234

1233

0122

011

000

2

21

210

210

10

0

y

xwy

xwxwy

xwxwxwy

xwxwxwy

xwxwy

xwy 2

43210

210

Nwwww

Mxxxxx

M + N campioni

(notare la pesantezza del calcolo)

ES-13Sistemi ricorrenti e stabilità

IL FILTRO IIRIL FILTRO IIR

Un filtro IIR è caratterizzato da connessioni ricorrenti o feedback

Esempio:

00

11

y

nxnyny

Eq.ne alle differenze +

y(n)

z-1

1-

y(n-1)

x(n)

inputoutput

Coefficiente di feedback

nnh

h

h

h

1

12

011

100

2

La h(n) ha estensione infinita IIR Infinite Impulse Response(risposta impulsiva infinita)

ES-14Analisi della stabilità

0 < < 1 stabile

= 0

1 h(n)decrescente

n

1h(n)

nmarginalmente stabile

< 01

h(n)

n

instabile

Obiettivo dell’elaborazione dei segnali: avere un sistema che risponda all’input a risposta impulsiva di durata finita

Importanza del coefficiente di feedback

ES-15ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZAANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

Descrizione di un segnale mediante il suo SPETTRO

x(t) {x(n)} Tf = N Tc n = 0, … , N-1Intervallo di campionamento

Numero di campioni

t

n = 0Tc

x(n) generico campione n = 0, … , N-1

c

N

nc nTtnxtx

1

0

segnale campionato

n=N-1

ES-16La trasformata di Fourier

cfnTjN

n

c

N

nc

enxfX

nTtnxtx

21

0

1

0

t

Tc(N-1)Tc

x(t)

fc

fcfc/20

X( f )

Spettro continuo

Tf = N Tc

Trasformata di Fourierdel segnale

N numeri

ES-17La trasformata di Fourier discreta (DFT)

1

0

21

0

2N

n

nkN

jN

n

nTfkj enxenxkX cf

N

k

nN

jekX

Nnx

1

21

DFT

IDFT

Tc

tN-1

Tf = NTc

N CAMPIONI

c

cfcf TNN

ffTNT

1

X (k)

k

Spettro di N righe

fffc/2

ES-18(n - N +1)

x(N -1)

(n - 1)x(1)

x(0)(n)

Dominio del tempo

X(N -1)

X(1)

X(0)

Dominio della frequenza

X(k) CX(k) = k - esimo coeff. di Fourier{X(k)} = trasformata di Fourier discreta

DFT o spettro{|X(k)|} = spettro delle ampiezze{/ X(k)} = spettro delle fasi

x(k) R

ES-19La Z-trasformata

n

n

n

n

zznzDn

znxzXnx

111

z C

z-1

operatore ritardoCombinatore lineare

zXzHzinxzih

zinxihzinxihzY

inxhny

N

i n

ni

N

i n

n

n

N

i

n

N

ii

0

00

0

)(

)()(

zXzHzY

nhZzHnxZzXnyZzY ;;

ES-20La funzione di trasferimento

zX

zYzH Funzione di trasferimento

nhZzihzHN

i

i

0

)( Z-trasformata della risposta impulsiva(polinomio algebrico)

nhnxny Convoluzione in t

zHzXnY Moltiplicazione in z

ES-21La risposta in frequenza

Tj

ezk

ez

kk k k

TkjnTjknTj

nTj

eHnxzHnxzkhnx

kheekhekhknxny

enx

TiTj

)(

H(e jt) = H’() risposta in frequenza

H’() è H(z) calcolata nel cerchio unitario |e jT|

Im(z)

z

z =1

z =j

z =-1

z =-j

Re(z)

z

0 1 /T /2T j /T 1

H’() è periodica in con 2/T (come e jT)

-1

ES-22

k

kTjTj ekheHH ' DFT della risposta impulsiva

Proprietà:

Risposta a regime

Calcolo veloce (FFT)

H’() C |H’(H’()

ES-23Poli e zeri della risposta in frequenza

111

1

)(])1(1[

1111

1

1

z

z

zzH

zXzzY

nxnynynxnyny

zeri: z = 0poli: z = 1-

Osservazioni qualitative:

valleuna ha '0

0'0

0

0

0

0

HeH

HeHTj

Tj

Stabilità

polo

zero

0< Polo nel cerchio unitario

ES-24Filtri lineari

Tc

y(1)y(N)

x(1)x(N)

H(k)kcut

Segnale +Rumore ad alta frequenza

Segnale filtrato

Tf = N Tc N

f

NTf c

cf

1

k

2cff

rumore|X(k)|

1 Nkcut

|H(k)|

k1 N

|Y(k)|

PASSA – BASSO

ES-25

fc

f

|H’()|

fc

f

|H’()|

fc

f

|H’()|

Passa - basso Passa - altoPassa - banda

Per la scelta dei wi :

Procedura di sintesi

Procedure di ottimizzazione

N

ii inxwny

0