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Procesamiento Morfológicode Imágenes

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Morfología Matemática

Se usa para extraer componentes de imágenesútiles para la representación y descripción de forma de regiones, tales como

Extracción de límites o bordesesqueletoscerco convexofiltrado morfológico, adelgazamiento (thinning)pruning (poda)

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Z2 and Z3

Los conjuntos de la morfologíamatemática representan los objetos en una imagen. Por ejemplo el conjunto de todos los pixeles negros de una imagen binaria, es una descripción morfológica de la imagen.

Imagen binaria (0 =blanco, 1 = negro) : cada elemento de un conjunto es un par de coordenadas de un pixel negro de la imagen.Los conjuntos pertenecen a Z2

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Z2 and Z3

Imágenes en escalas de grises: unelemento del conjunto esta formado porlas coordenadas del pixel, y su nivel de gris. Z3

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Teoría básica de conjutos

Union,intersección,complemento,Diferencia de conjuntos. Resultado en gris.

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Reflección de B

} ,|{ˆ Bfor bbwwB ∈−==

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Traslación de A en z.

} ,|{)( Afor azaccA z ∈+==

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Operaciones Lógicas

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Ejemplo:

Operaciones lógicas entre imágenes binarias, recordar que el negro representa el uno y blanco el cero.

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Dilatación

}ˆ{ ΦA)Bz|(BA z ≠∩=⊕Se obtiene la reflexión de B respecto de suorigen,y se traslada este reflexión en z. La dilatación está formada por todos los z, talque A y B reflejado-desplazado, al menos se superpongan en un punto.B se llama elemento estructural.

A y B son dos conjuntos de Z2. La dilatación de A por B se define :

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Dilatación

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Dilatación

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Dilatación : llena lagunas

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Erosión

}{ Az|(B)BA z ⊆=−

A y B son dos conjuntos de Z2. La erosión de A por B se define :

La erosión de A por B es el conjunto de todoslos puntos z, tal que B trasladado en z, estécontenido en A.

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Erosión

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Erosión

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Dualidadc

zc ABzBA })(|{)( ⊆=−

BABA cc ˆ)( ⊕=−

Notar que el complemento del conjunto de zs quesatisfacen , es el conjunto de zs tales que

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Erosión : elimina detalles irrelevantes

Elemento estructural B = 13x13 pixels de 1s

(a) imagen de cuadrados de tamaños 1 3 5 7 9 y 15 pixeles de lado.(b) Erosión de (a) con un elemento cuadrado de unos de 13 pixeles de lado. (c) Dilatación de (b) con el mismo elemento estructural .

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Erosión : elimina detalles irrelevantes

Notar *que se usa un elemento estructural (13x13), que es apenas más chico que el elemento que se quiere Conservar (15x15).* que se han usado elementos blancos como objetos y no negros* que se ha restablecido el tamaño original delos elementos, dilatando con el mismo elemento estructural, o sea que en general, la dilatación norestaura los objetos erosionados.

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Apertura y cierre

Apertura, generalmente suaviza el contorno de un elemento, rompe uniones angostas (istmos) y elimina salientes finas.

Cierre, también tiende a suavizar contornos, pero a diferencia de la anterior, une cortes en partes angostas y golfos largos y finos, elimina pequeños huecos y llena baches en los contornos.

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Apertura:erosión seguida de dilatación.

(a) elemento B rodando a lo largo del borde interior de A.(b) Elemento estructural. (c) linea gruesa indica el borde de la apertura. (d) apertura completa.

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Apertura

Apertura, Otra interpretación más gráfica: trasladar B dentro de A, como tocando el borde interiormente.En expresión de conjuntos:la apertura de A por B, se obtiene tomando la unión de todas las traslaciones de B, tal que B está todo dentro de A.

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Cierre: dilatación seguida de erosión

BBABA −⊕=• )(

(a) elemento estructural B rodando a lo largo del borde exterior de A.(b) La linea gruesa es el borde exterior del cerramiento. (c) cerramiento completo.

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Dualidad )ˆ()( BABA cc o=•

PropiedadesApertura(i) A°B es un subconjunto (subimagen) of A(ii) Si C es un subconj. de D, ent. C °B es un subconj. de D °B(iii) (A °B) °B = A °B

Cierre(i) A es un subconjunto (subimagen) de A•B(ii) Si C es un subconj. de D, ent. C •B es un subconj.de D •B(iii) (A •B) •B = A •B

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APERTURA.(a) conjunto A .(b) Varias posiciones del círculo que erosiona A. (c) notar como se ha eliminado la unión entre las dos partes principales de A. El elementoestructural no pudo caber completamente. (d) dilatación del conjunto erosionado. (e) resultado final de la operación de apertura. Las esquinas exteriores redondeadas, esquinas interiores no redondeadas.

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CERRAMIENTO.(a) conjunto A .(f) y (g) Dilatación de A con el círculo. (h) e (i) erosióndel resultado anterior. Notar que las esquinas interiores se han redondeado, mientras que las exteriores quedan iguales. La entrada de la izquierda de A, se reduja bastante, porqueel disco no cabía ahí.

BBABA −⊕=• )(

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APERTURA Y CERRAMIENTO producen un suavizado del objeto, con un elemento estructural circular.

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Filtros morfológicos

Las operaciones morfológicas sirven paraconstruir filtros.Por ejemplo una apertura seguida de un cierre.

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(a) Imagen ruidosa A.(b) Elem. Estructural. (c) Imagen erosionada. (d) apertura de A (e) dilatación de la apertura. (f) Cerramiento de la apertura.En total es una apertura seguida de uncierre.

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Transformación Hit-or-Miss

)]([)( XWAXABA c −−∩−=∗

•Es una herramienta básica para detección de formas.•La definición es la siguiente, veamos en un ejemplo que se obtiene.

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Transformación Hit-or-Miss

(a) Conjunto A.(b) Ventana W y fondo local paraX, con respecto a W., (W-X). (c) Complemento de A.(d) Erosión de A

por X.

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Transformación Hit-or-Miss

Erosión de (complemento de A)por (W-X)

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Transformación Hit-or-Miss

)]([)( XWAXABA c −−∩−=∗

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Transformación Hit-or-Miss

)]([)( XWAXABA c −−∩−=∗

A

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Transformación Hit-or-Miss

Si llamamos B=(B1,B2), con B1=X y B2=(W-X) la expresión de la transformada de Hit-or-miss se puede poner de la forma:

contiene todos los puntos en los cuales, simultaneamente B1 encuentra un match(hit) en A y B2 encuentra un match en

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Transformación Hit-or-Miss

La razón por la cual se usa un elemento estructural B1 asociado con los objetos y un elemento B2 asociado con el fondo (background), se basa en una definición de que dos o mas objetos son distintos sólo si forman conjuntos disjuntos (desconectados). Esto se asegura requiriendo que cada objeto tenga al menos un background de ancho de un pixel alrededor de él.

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Algoritmos Morfológicos básicos

En el caso de imágenes binarias, los algoritmos morfológicas se usan para extraercomponenetes de una imagen utiles para la representación y descripción de formas.

Se usan en los ejs siguientes mini-imágenes.Los 1s se muestran sombreados, los 0s blancos.Algoritmos básicos:Extracción de bordes,Region filling, thinning, thickening, prunning.

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Extracción de bordes

)()( BAAA −−=β

(a) Conjunto A.(b) Elememento estructural.(c) A erosionada

con B. (d) Borde obtenido de la resta entre A y su imagen erosionada.

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Ejemplo(a) Imagen

binaria simple, (unosen blancoaqui)

(b) Resultado de aplicar la expresiónpara obtenerel borde

Con elementoestructuralde 3x3 de unos.

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Llenado de regiones,...3,2,1 )( 1 =∩⊕= − kABXX c

kkEl ojbetivo es comenzando

por un punto p interior al borde, llenar la region con 1s.Se supone que lo que no es borde tiene valor 0.-El algoritmo termina en el paso k, si

El conjunto unión de A conXk contiene el objeto rellenado y su borde.

1k kX X −=

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Llenado de regiones,...3,2,1 )( 1 =∩⊕= − kABXX c

kk

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Ejemplo (imagenes de esferas, que al binarizaraparece el hueco negro interior.)

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Extracción de componentesconectados

Se trata de determinar los pixeles que estan unidos co conectados, en una imagen.

Supongamos para el ejemplo, que hay un objeto Y, dentro de uno A. Y supongamos que el punto p de Y es conocido.

Para extraer todos los componentes conectados se usa la expresión siguiente(arranca con Xo=p):

El algoritmoconverge si

Entonces Y=Xk

1k kX X −=

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Extracción de componentesconectados

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Ejemplo

La idea esdeterminar eltamaño de loscomponentesconectados, contando elnumero de pixels de cadacomponente, esto permitedeterminar sison objetosextraños

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Cerco Convexo

Un conjunto A es convexo, si cualquier segmento que une dos puntos de A, está todo contenido en A.

El cerco convexo H de un conjunto arbitrario S, es el menor conjunto convexo que contiene a S.

H-S se llama deficiencia convexa de S. ambas definiciones se usan para DESCRIPCION de objetos.

Un algoritmo para calcular el cerco convexo C(A) de un conjunto A :

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Cerco Convexo

i

iDAC

4

1)(

=∪=

,...3,2,1 and 4,3,2,1 )( ==∪∗= kiABXX iik

ik

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Adelgazamiento (thinning)

cBAABAABA

)()(

∗∩=

∗−=⊗

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Adelgazamiento (thinning)

cBAABAABA

)()(

∗∩=

∗−=⊗

El adelgazamiento de un conjunto A, por un elemento estructural B,se define en terminos de la transformada Hit-or-miss:

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Ensanchado(Thickening)

)( BAABA ∗∪=•

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Esqueletos

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Pruning(poda)

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