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Esercizi su integrali doppi: formule di riduzione
Riccarda Rossi
Universita di Brescia
Analisi Matematica B
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 1 / 177
Formule di riduzione (1)
Domini normali rispetto all’asse x
T = {(x , y) 2 R2 : a x b, ↵(x) y �(x)}
Si ha ZZ
Tf (x , y) dx dy =
Z b
a
Z �(x)
↵(x)f (x , y) dy
!dx
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Formule di riduzione (2)
Domini normali rispetto all’asse y
T = {(x , y) 2 R2 : c y d , �(y) x �(y)}
Si ha ZZ
Tf (x , y) dx dy =
Z d
c
Z �(y)
�(y)f (x , y) dx
!dy
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Es. 1.
I =
ZZ
T
1
1 + xdx dy ,
ove dove T e il dominio limitato da y = x2 e x = y2.
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T come
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Y=×2y=x2 e x=y2
ask.s.fi#a. dcxt XZ
q@
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×z<f× PH
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Ddxtfoljfxdx= ( Cxzttthghtxtffetzfog G)
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I In - Iz= E- Iz - bogk)
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Es. 2.
I =
ZZ
T
x2
1 + xydx dy
ove T e il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), e (1, 1).
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T={uyKR4o£× es
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Fyftoghtxytf
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'x light 'eld×
g=e+×2dS=2xdx
2 → ×dx=1zdS=f
,
log 's) dsz =
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-
nz ( sbgists ] ?=
?zf 2 eogcz) - 2+s]= logcz) -12
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Es. 3.
I =
ZZ
Txy dx dy
ove T e il triangolo di vertici (�1, 0), (0, 1), e (2, 0).
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ze
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.
z ? x
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integral .
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2
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y= -21×+1 4- lexszzyK
- }x=y-k⇒x=2-2y=piy )
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- § + 12 ] . 3g ?¥6 = 11g
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Es. 4.
I =
ZZ
Tx2 dx dy
ciao
ciao
ciao
ciao
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^
T=Q - @•
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•
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.
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§Edxdy
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= 4 fote (fotxzdx] oy
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I = $ × 'd*dy=QIQS
=
64g - 4g =20
.
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Simmetrie (I)
Supponiamo che T sia simmetrico rispetto all’asse delle y
e che f sia pari in x , cioe
f (x , y) = f (�x , y) 8 (x , y) 2 T .
Allora ZZ
Tf (x , y) dx dy = 2
ZZ
T+f (x , y) dx dy
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Simmetrie (I)
Supponiamo che T sia simmetrico rispetto all’asse delle y
e che f sia DISpari in x , cioe
f (x , y) = �f (�x , y) 8 (x , y) 2 T .
Allora ZZ
Tf (x , y) dx dy = 0.
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Simmetrie (II)
Analogamente per T simmetrico rispetto all’asse delle x
e f pari (DISpari) in y ....
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Es. 5.
I =
ZZ
Tx cos(y3) dx dy
conT =
�(x , y) 2 R2 : x2 + y2 2
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-
=D
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T= × cosfy 3)
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 62 / 177
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Es. 6.
I =
ZZ
[�1,1]⇥[�1,1]
�x2 + y2 + x sin(x2 + y4)
�
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^ y
1 § xsimex2y4|
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y
, 1
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,Verifone
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 83 / 177
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 84 / 177
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 85 / 177
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Es. 7.Calcolare il volume V compreso fra i grafici delle funzioni
f (x , y) = x2, g(x , y) = x2 + y
sul triangolo di vertici (�1, 0), (0, 0), (0, 1).
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.-
^Z
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z
ywpidaenoeoL f§×2= volume
×cgiune wmpreee
frebesnpuf . zose epnanot -0 .
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 89 / 177
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° £Year( 1) : Y = ×e1= pcx)
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 90 / 177
= f. Mayag) dx
= teatime=
12 µ Cxti )2
else
= z # P ]a°= %
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 100 / 177
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 102 / 177
Es. 8.
I =
ZZ
[0,2]⇥[0,1]sin(|y � x |) dx dy
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fixyksrmay .at/him4 →
F×zosrmfly . xD
X 11
^ srmltt )srmexy )
k
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y
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 104 / 177
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• • >1 2
×
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Per lladolitwie ' deel ' integral
§ srm Ay - xl ) dx=
ffzsrmcy- × )
dxdy+ §zsrncx . y )dxdy
€ :
ffqsrncy -
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ly=x ⇒ ×=y=
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Tz come nozmaee Esp . assex ;
B douusse essae def . atnak ;e '
integrate s spear role.
Tz : domino normale osp . any
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)dx]dyX=
=gpe - as 'aDIdYya
= fdfs -eosczytfdg.IT#rmlzyD=1tsrmG) - srmcz ) to
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Es. 9.
I =
ZZ
Tx2y dx dy ,
con
T =n(x , y) 2 R2 : x2 + y2 � 1 0 e x + y � 1 � 0
o.
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 118 / 177
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1 ו USARE Form
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 119 / 177
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 120 / 177
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=Efjx2Ca-x4-a-xs4dxItyfolx2fHx44x1dxfol@3.x
" )dx=Lso
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 127 / 177
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 128 / 177
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 129 / 177
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 130 / 177
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 131 / 177
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 132 / 177
Es. 10.
ZZ
T
1
x2 + y2dx dy
conT = {(x , y) 2 R2 : 1 x e, 0 y x}.
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 133 / 177
€5 .. dsegmoret ( tnapezw)TE grei in forma noanale
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Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 134 / 177
§ ¥pd×M= ftp.t#dgfdx= #⇐t¥p•yp×
Yitx #EnterHehn
→oy ( avian (1×1)
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 135 / 177
g- x
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y=o= f? I E. =
Ee
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Es. 11.
I =
ZZ
T(5xy2 + 6) dxdy
doveT =
�(x , y) 2 R2 : x2 + y2 < 1 , x � 0 , y � �x
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Es. 12.
I =
ZZ
T
p4� x2 � y2 dxdy
conT =
�(x , y) 2 R2 : x2 + y2 4
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