View
28
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
h
Citation preview
Silabus :
Bilangan Real ( sifat bilangan real, pertidaksamaan)
Relasi dan fungsi ( definisi fungsi, domain fungsi, operasi fungsi)
Limit fungsi ( definisi limit, sifat limit, limit kiri/kanan, kontinuitas)
Turunan ( derivatif ) : Definisi turunan, sifat –sifat turunan,aturan rantai, turunan fungsi trigonometri,turunan fungsi implisit)
Terapan turunan : Diferensial, maksimum/minimum
Integral Tak tentu
Bilangan real dan himpunan
Himpunan bilangan asli
ℕ = 1,2,3,4,5, …
Himpunan bilangan bulat
ℤ = … ,−3,−2,−1,0,1,2,3, …
Himpunan bilangan rasional
ℚ =𝑝
𝑞|𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0
Himpunan bilangan real
Gabungan bilangan rasional dan irrasional.
Limit fungsi
Ditinjau fingsi berikut 𝑓 𝑥 =3𝑥2−5𝑥−2
𝑥−2 ,
Untuk 𝑥 = 2, fungsi tidak terdefinisi ( 𝑓(2) tidak ada nilainya). Bagaimana nilai 𝑓(𝑥) jika
nilai 𝑥 diambil sangat dekat dengan 2 tetapi
tidak sama dengan 2.
Untuk 𝑥 ≠ 2 , fungsi di atas dapat
disederhanakan sebagai
𝑓 𝑥 =(3𝑥+1)(𝑥−2)
𝑥−2= 3𝑥 + 1
Lanjutan…
Perhatikan tabel berikut
Dari tabel terlihat bahwa jika nilai 𝑥 semakin dekat dengan 2 tetapi 𝑥 ≠ 2, maka nilai 𝑓(𝑥) semakin dekat dengan 6.
x f(x)
1 4
1,5 6,5
1.9999 6,9997
x f(x)
3 10
2,5 8,5
2.00001 6,00003
Definisi limit fungsi
Definisi :
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 artinya jika nilai 𝑥 sangat
dekat dengan 𝑐 tetapi 𝑥 ≠ 𝑐 , maka nilai
𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.
Sifat Limit
lim𝑥→𝑐
𝑘 = 𝑘
lim𝑥→𝑐
𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘 lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑐
𝑓 ∓ 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) ∓ lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
lim𝑥→𝑐
𝑓𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
lim𝑥→𝑐
𝑓
𝑔𝑥 =
lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) , asalkan lim
𝑥→𝑐𝑔(𝑥) ≠ 0
lim𝑥→𝑐
𝑓𝑛 𝑥 = (lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥))𝑛
lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)𝑛 = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)𝑛
Limit fungsi trigonometri
Rumus dasar :
1. lim𝑥→0
cos 𝑥 = 1
2. lim𝑥→0
sin 𝑥 = 0
3. lim𝑥→0
𝑥
sin 𝑥= 1 dan lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥= 1
4. lim𝑥→0
𝑥
tan 𝑥= 1 dan lim
𝑥→0
tan 𝑥
𝑥= 1
Limit kanan dan limit kiri
Definisi kanan :
lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝐿 artinya jika nilai 𝑥 sangat
dekat dengan 𝑐 tetapi 𝑥 > 𝑐 , maka nilai
𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.
Definisi kiri :
lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝐿 artinya jika nilai 𝑥 sangat
dekat dengan 𝑐 tetapi 𝑥 < 𝑐 , maka nilai
𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.
contoh
Diberikan fungsi berikut:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4
𝑥 − 2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > 2
2𝑥 + 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≤ 2
Tentukan lim𝑥→2+
𝑓 𝑥 , lim𝑥→2−
𝑓(𝑥)
Sifat
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 jika dan hanya jika
lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝐿
Akibat:
Jika lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 ≠ lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 , maka
lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) tidak ada.
Kontinuitas
Fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dikatakan kontinu di 𝑥 = 𝑐 jika lim
𝑥→𝑐𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)
Dari definisi diatas, aka ada 3 syarat agar fungsi kontinu di suatu titik.
1. 𝑓(𝑐) ada
2. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 ada
3. 𝑓 𝑐 = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
contoh
Diberikan fungsi
𝑓 𝑥 = 𝑥2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < −12 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = −1
−3𝑥 + 2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > −1
Apakah fungsi 𝑓(𝑥) kontinu di 𝑥 = −1
Contoh
Diberikan fungsi
𝑓 𝑥 = 𝑥2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < −11 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = −1
−3𝑥 − 2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > −1
Apakah fungsi 𝑓(𝑥) kontinu di 𝑥 = −1
Contoh lanjutan…
Diberikan fungsi berikut
𝑓 𝑥 =
(𝑥 − 1)2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0
𝐴 − 𝑥2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 0 ≤ 𝑥 < 1𝑥 + 𝐵 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 1
Tentukan nilai 𝐴 dan 𝐵 agar fungsi kontinu
di 0 dan 1.
jawaban
Di titik 𝑥 = 0
𝑓 0 = 𝐴
lim𝑥→0−
(𝑥 − 1)2= 1
lim𝑥→0+
𝐴 − 𝑥2 = 𝐴
Syarat kontunu di 𝑥 = 0 adalah 𝑓 0 =lim𝑥→0−
𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+
𝑓(𝑥)
𝐴 = 1 = 𝐴
Jadi agar fungsi kontinu di𝑥 = 0, maka 𝐴 = 1
Derivatif ( turunan)
Definisi:
Diberikan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dengan domain
𝐷𝑓 . Turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) di sebarang
titik 𝑥 dengan notasi 𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥
didefinisikan sebagai ,
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Asalkan nilai limit ini ada.
Rumus dasar turunan
Jika 𝑓 𝑥 = 𝑘 maka 𝑓′ 𝑥 = 0
Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1
Jika 𝑓 𝑥 =𝑈
𝑉, maka 𝑓′ 𝑥 =
𝑈′𝑉−𝑈𝑉′
𝑉2
Jika 𝑓 𝑥 = 𝑈𝑉, maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑈′𝑉 +𝑈𝑉′
Jika 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥
Jika 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 =1
𝑥𝑙𝑛𝑎
Aturan rantai
Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang
mempunyai turunan, maka fungsi komposisi
𝑓°𝑔 juga mempunyai turunan , lebih lanjut
jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) , maka
turunan dari 𝑦 = (𝑓°𝑔)(𝑥) adalah 𝑑𝑦
𝑑𝑥= (
𝑑𝑦
𝑑𝑢)(𝑑𝑢
𝑑𝑥)
Contoh
Tentukan 𝑓′ 𝑥 :
1. 𝑓 𝑥 = sin(2𝑥2 + 4)
2. 𝑓 𝑥 = (3𝑥2 + 5𝑥 + 9)17
3. 𝑓 𝑥 = sin1
𝑥
4. 𝑓 𝑥 = sin(𝑥+1
𝑥−1)
5. 𝑓 𝑥 = (𝑥2 + 4𝑥 − 9)53
Turunan tingkat tinggi
Suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dapat dilakukan
proses penurunan lebih dari satu kali,
sehingga dikenal turunan tingkat ke-2, ke-
3, dst.
Notasi turunan tingkat ke-2, ke-3 , dst dari
fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dinyatakan berturut-turut
𝑓′′ 𝑥 , 𝑓′′′ 𝑥 ,… , 𝑓𝑛(𝑥).
Turunan fungsi implisit
Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit maupun implisit.
Suatu fungsi dikatakan dalam bentuk eksplisit jika berbentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥) , sedangkan dikatakan dalam bentuk implisit jika berbentuk 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0
Contoh fungsi bentuk ekplisit : 𝑓 𝑥 = 2𝑥 −1 ,𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 9
Contoh fungsi bentuk implisit : 2𝑥 − 𝑦 +8 = 0, 𝑥2 + xy − 𝑦3 = 0
Lanjutan…
Setiap fungsi bentuk eksplisit dengan
mudah bisa dibawa ke bentuk implisit,
tetapi sebaiknya belum tentu.
Turuna fungsi bentuk eksplisit dengan
mudah bisa didapatkan, bagaimana
mencari turunan fungsi bentuk implisit
yang tidak mudah dibawa ke bentuk
eksplisit?
Langkah penurunan fungsi implisit
Tuliskan fungsi dalam bentuk 𝐹 𝑥, 𝑦 =0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑘
Turunkan kedua ruas terhadap variabel 𝑥
dengan mengingat aturan rantai (
𝑦 𝑑𝑖𝑝𝑎𝑛𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑥)
Selesaikan 𝑑𝑦
𝑑𝑥 sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑦.
Diferensial
Diberikan fungsi terdiferensial 𝑓 dan ∆𝑥
menyatakan perubahan nilai 𝑥.
Diferensial dari 𝑦 dengan notasi 𝑑𝑦 ,
didefinisikan sebagai 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)∆𝑥.
Diferensial dari 𝑥 dengan notasi 𝑑𝑥 ,
didefinisikan sebagai 𝑑𝑥 = ∆𝑥 ≠ 0
Lanjutan…
Untuk 𝑑𝑥 = ∆𝑥 yang cukup kecil , 𝑑𝑦 merupakan pendekatan yang baik untuk
∆𝑦. Secara matematis ditulis sebagai
jika ∆𝑥 ≈ 0 maka ∆𝑦 ≈ 𝑑𝑦
Untuk 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 cukup kecil (
nilai 𝑥 cukup dekat dengan 𝑥0),
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)
fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) disebut pendekatan linear 𝑓 di 𝑥0.
Recommended