View
4
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
คณติศาสตร ์ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560)ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1
ผูเรียบเรียงนางกนกวลี อุษณกรกุล
นางสาวปาจรีย วัชชวัลคุ
ดร. สุเทพ บุญซอน
ผูตรวจนางจินดา อยูเปนสุข
นายรณชัย มาเจริญทรัพย
นายสุกิจ พุทธชาติเสวี
บรรณาธิการรศ.ดร. อําพล ธรรมเจริญ
หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน
ม.1เล่ม 1
สงวนลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติปที่พิมพ 2561
พิมพครั้งที่ 1 จํานวนพิมพ 10,000 เลมISBN : 978-616-203-757-3
รหัสสินคา 2116013
นักวิทยาศาสตร์ได้ประดิษฐ์และพัฒนาเครื่องวัดอุณหภูมิขึ้นมา เรียกว่า เทอร์โมมิเตอร์
ที่ท�าจากหลอดแก้วซึ่งภายในบรรจุของเหลวประเภทปรอทหรือแอลกอฮอล์ โดยของเหลวภายใน
หลอดแก้วจะหดตัวเมื่อได้รับความเย็นและขยายตัวเมื่อได้รับความร้อน นอกจากนี้บนหลอดแก้ว
จะมีสเกลที่ระบุตัวเลขส�าหรับบอกระดับอุณหภูมิต่างๆ อีกด้วยเช่น อุณหภูมิโดยเฉลี่ยในเดือน
กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2560 ณ เมืองหลวงของประเทศต่างๆ ในทวีปเอเชีย ซึ่งแสดงอุณหภูมิด้วย
เทอร์โมมิเตอร์ดังรูปต่อไปนี้
จากรูปแสดงอุณหภูมิจะได้ว่า
1. เมืองหลวงของประเทศที่มีอากาศร้อนที่สุดคือกรุงเทพฯประเทศไทย
2. เมืองหลวงของประเทศที่มีอากาศหนาวที่สุดคือโตเกียวประเทศญี่ปุน
3. อุณหภูมิของกรุงเทพฯสูงกว่าอุณหภูมิของจาการ์ตาอยู่2�C
4. อุณหภูมิของจาการ์ตาสูงกว่าอุณหภูมิของโตเกียวอยู่20�C
5. อุณหภูมิของโตเกียวต�่ากว่าอุณหภูมิของไทเปอยู่10�C
6. อุณหภูมิของไทเปต�่ากว่าอุณหภูมิของฮานอยอยู่3�C
นักเรียนจะพบว่าตัวเลขที่แสดงระดับอุณหภูมิณเมืองหลวงของประเทศต่างๆ ได้แก่29,
27,7,17และ20เป็น“จ�านวนนับ”ซึ่งเรียงจากมากไปหาน้อยได้ดังนี้29,27,20,17และ7
ควรรูก้่อนเรียน
กรุงเทพฯประเทศไทย
ที่มา:https://www.timeanddate.com/weather
จาการ์ตาประเทศอินโดนีเซีย
ไทเปประเทศไต้หวัน
โตเกียวประเทศญี่ปุน
ฮานอยประเทศเวียดนาม
°C
50 50
50 50
40 40
40 40
30 30
30 30
20 20
20 20
10 10
10 100 0
°C
50 50
50 50
40 40
40 40
30 30
30 30
20 20
20 20
10 10
10 100 0
°C
50 50
50 50
40 40
40 40
30 30
30 30
20 20
20 20
10 10
10 100 0
°C
50 50
50 50
40 40
40 40
30 30
30 30
20 20
20 20
10 10
10 100 0
°C
50 50
50 50
40 40
40 40
30 30
30 30
20 20
20 20
10 10
10 100 0
3
ลำาดับที่ของรูป 1 2 3 4 5 ... n
จำานวนของรูปสามเหลี่ยม 1 2 3 4 5 ... n
จงเขียนรูปถัดไปอีก 3 รูป ของแบบรูปต่อไปนี้
วิธีทำา พิจารณาแบบรูปที่กำาหนดให้จะพบว่า
รูปที่1มีจำานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวตั้งสามรูป
รูปที่2 มีจำานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวตั้ง3รูปและมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ด้านซ้ายและด้านขวาด้านละ1รูป
รูปที่3 มีจำานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวตั้ง3รูปและมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ด้านซ้ายและด้านขวาด้านละ2รูป
จะเห็นว่าจำานวนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เพิ่มขึ้นด้านซ้ายและด้านขวาจะน้อยกว่า
ลำาดับที่ของรูปอยู่1
ตัวอย่างที่ 5
รูปที่1 รูปที่2 รูปที่3
จากตารางจะพบว่าจำานวนของรูปสามเหลี่ยมเป็นจำานวนนับ1,2,3,4,...ซึ่งจำานวน
ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับจำานวนที่เป็นลำาดับที่ของรูปหรือกล่าวได้ว่าจำานวนของรูปสามเหลี่ยมมี
ความสัมพันธ์กับลำาดับท่ีของรูป ในกรณีท่ียังไม่ได้กำาหนดลำาดับท่ีของรูปจะสามารถบอกลำาดับท่ี
ของรูปในรูปท่ัวไปได้โดยนิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษเช่นnแทนลำาดับที่ของรูปนั้น
จากตัวอย่างนี้จะเขียนความสัมพันธ์ระหว่างลำาดับที่ของรูปกับจำานวนของรูปสามเหลี่ยม
ได้ว่าจำานวนของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับnเรียกnว่าตัวแปรความสัมพันธ์ที่มีตัวแปรnทำาให้
สามารถบอกจำานวนของรูปสามเหลี่ยมเมื่อทราบลำาดับที่ของรูปหรือค่าของ n ได้ เช่น ลำาดับที่
ของรูปที่100หรือn=100จะมีรูปสามเหลี่ยม100รูปเป็นต้น
ถ้านบัจำานวนก้านไม้ขดีของแต่ละรปูในแบบรปูแล้วพจิารณาว่าจำานวนก้านไม้ขดีทีน่บัได้เป็นแบบรปู
หรือไม่
ถ้าให้nแทนลำาดับที่ของรูปนักเรียนสามารถบอกจำานวนของก้านไม้ขีดเมื่อทราบลำาดับที่ของรูปได้
หรือไม่
Thinking Time
185
หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1จัดท�ำขึ้นส�ำหรับใช้ประกอบกำรเรียนกำรสอนชั้นมัธยมศึกษำปีที่1 โดยด�ำเนินกำรจัดท�ำให้สอดคล้อง
ตำมมำตรฐำนกำรเรียนรู้และตัวชี้วัดกลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์(ฉบับปรับปรุงพ.ศ.2560)
ตำมหลักสูตรแกนกลำงกำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช2551 ทุกประกำร เพื่อส่งเสริมทักษะ
ท่ีจ�ำเป็นส�ำหรบักำรเรยีนรูใ้นศตวรรษที่21ทัง้ทกัษะด้ำนกำรคดิวเิครำะห์กำรคดิอย่ำงมวีจิำรณญำณ
กำรแก้ปัญหำกำรคดิสร้ำงสรรค์กำรใช้เทคโนโลยีกำรส่ือสำรและกำรร่วมมือเพือ่ให้ผูเ้รยีนรูเ้ท่ำทนั
กำรเปลี่ยนแปลงของระบบเศรษฐกิจสังคมวัฒนธรรมและสภำพแวดล้อมสำมำรถแข่งขันและ
อยู่ร่วมกับประชำคมโลกได้
หนังสือเรียนกลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์ในระดับชั้นมัธยมศึกษำปีที่1นี้
คณะผู้เรียบเรียงได้จัดแบ่งออกเป็น2เล่มดังนี้
Thinking Timeค�ำถำมกระตุ้นให้ผู้เรียนคิดต่อยอดจำกเนื้อหำที่เรียน
ควรรู้ก่อนเรียน ทบทวนควำมรู้เดิมเพื่อเชื่อมโยงเข้ำสู่เนื้อหำใหม่
ตัวชี้วัด • เข้าใจจ�านวนตรรกยะและความสัมพันธ์ของจ�านวนตรรกยะและใช้สมบัติของจ�านวนตรรกยะในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง (ค 1.1 ม.1/1)
สาระการเรียนรู้แกนกลาง• จ�านวนเต็ม•สมบัติของจ�านวนเต็ม
ระบบจ�านวนเต็มหน่วยการเรียนรู้ที่
1
ทวปีแอนตาร์กตกิา เป็นทวปีท่ีมีอากาศหนาวเยน็ท่ีสุดในโลก
โดยมีอุณหภูมิเฉลี่ยอยู่ระหว่าง 5 ํC ในฤดูร้อน จนถึง -80 ํC ใน
ฤดหูนาว อณุหภมูสิงูสดุทีไ่ด้บนัทกึไว้ เมือ่เดอืนมนีาคม พ.ศ. 2558
อยู่ที่ 17.5 ํC และอุณหภูมิตํ่าสุดที่ได้บันทึกไว้เมื่อเดือนสิงหาคม
พ.ศ. 2553 อยู่ที่ -94.7 ํC1
จากสถานการณ์
ข้างต้น นักเรียนคิดว่า
อณุหภมูิที่ได้บนัทึกไว้ของทวีปแอนตาร์กติกา
ต่างกนัอย่างไร
Q.
1 Antarctica sets record for coldest temperature on Earth. Retrieved October 17, 2017, from http://www.pbs.org/newshour/nation/antarctica-sets-record-for-coldest-temperature-on-earth
ค�ำถำมประจ�ำหน่วย กำรเรียนรู้ ที่ครอบคลุมตัวชี้วัดสูงสุดในหน่วยกำรเรียนรู้
สำระกำรเรียนรู้แกนกลำง ขอบข่ำยเนื้อหำในหน่วยกำรเรียนรู้
ตัวชี้วัด ที่สอดคล้องกับเนื้อหำในหน่วยกำรเรียนรู้
กิจกรรม คณิตศาสตร์
1.การบวกจ�านวนเต็มสองจ�านวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของ(-2)+(-3)
-1 -1
-1 -1 -1
ดังนั้น(-2)+(-3)=-5
จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้
1) 2+4 2) 6+3 3) (-3)+(-4) 4) (-5)+(-2)
2. การบวกจ�านวนเต็มสองจ�านวนที่มีเครื่องหมายต่างกัน
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของ5+(-2)
1 1 1 1 1
-1 -1
ดังนั้น5+(-2)=3
จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้
1) 7+(-3) 2) (-5)+8 3) 4+(-9) 4) (-8)+2
ให้นกัเรยีนจบัคูก่บัเพือ่นแล้วช่วยกนัหาผลบวกของจÓนวนเตม็โดยใช้บตัรตวัเลข 1 และ -1
-1 -1 -1 -1 -1
1 1 1 1 1 -1 -1
1 1 1
จ�านวนตรงข้ามบวกกันเท่ากับศูนย์
ข้อตกลง 1) ให้ 1 แทนตัวเลขแสดงจ�านวน1และ -1 แทนตัวเลขแสดงจ�านวน-1
2) ใช้บัตรตัวเลขแสดงจ�านวนเต็มต่างๆ เช่น
1 1 1 หมายถึง1+1+1=3
-1 -1 -1 หมายถึง(-1)+(-1)+(-1)=-3
1 -1 หมายถึง1+(-1)=0
14 การหาผลบวกของจ�านวนเต็มโดยใช้บัตรตัวเลข
กิจกรรมคณิตศำสตร ์เพื่อส่งเสริมกำรเรียนรู้แบบActiveLearning
QR Code รองรับกำรเรียนรู้ผ่ำนสื่อดิจิทอล
H.O.T.S. ค�ำถำมท้ำทำยกำรคิดขั้นสูง
ตำมทฤษฎีกำรเรียนรู้ของบลูม(Bloom’sTaxonomy)
คณิตศำสตร์ในชีวิตจริง เชื่อมโยงควำมรู้คณิตศำสตร์ไปใช้ในชีวิตจริง
สรุปแนวคิดหลัก โดยรวมของทั้งหน่วยกำรเรียนรู้เพื่อทบทวนควำมรู้ให้แก่ผู้เรียน
แบบฝึกทักษะประจ�ำหน่วย กำรเรียนรู้ เพื่อประเมินควำมรู้ควำมเข้ำใจของผู้เรียนประจ�ำหน่วยกำรเรียนรู้
คณิตศาสตรใ์นชีวิตจริง
ก�รแพร่เชื้อไวรัสไข้หวัดใหญ่(HongKongFlu)โดยก�รจ�ม
ไข้หวัดใหญ่ฮ่องกง(HongKongFlu)เป็นกำรแพร่ระบำดของเชื้อไวรัสไข้หวัดใหญ่เอช3
เอ็น2โดยมีต้นก�ำเนิดมำจำกเกำะฮ่องกงซึ่งสำมำรถติดเชื้อไวรัสนี้ได้จำกกำรจำมของผู้ปวยได้
• กำรจำม1ครั้งจะมีจ�ำนวนละอองเกิดขึ้นประมำณ40,000ละอองโดยละอองมีขนำด
เส้นผ่ำนศนูย์กลำง0.5ถงึ5ไมโครเมตรและจะเตม็ไปด้วยเช้ือไวรสัถ้ำบคุคลนัน้อยูใ่นระยะตดิต่อ
• ละอองที่ออกมำจะมีควำมเร็วประมำณ150กิโลเมตรต่อชั่วโมงหรือประมำณ42เมตร
ต่อวินำที
• ระยะกำรกระจำยตัวของละอองไปได้ไกลถึง30เมตร
• เชือ้ของไวรสัไข้หวดัใหญ่ทีอ่อกมำกบัละอองน�ำ้ทีเ่กดิจำกกำรจำมเมือ่เข้ำไปสูต่วัคนภำยใน
ไม่กี่ชั่วโมง ไวรัสตัวนี้ก็สำมำรถลุกลำมถึงปอดอย่ำงรวดเร็ว ถ้ำเป็นเชื้อไวรัสไข้หวัดใหญ่ทั่วไป
จะใช้เวลำ2-3วันแต่ไวรัสตัวนี้จะใช้เวลำภำยในไม่กี่ชั่วโมงหรือแค่1-2วันผู้ปวยจะมีอำกำร
ทรุดลงอย่ำงรุนแรงซึ่งเป็นสำเหตุให้คนไข้เสียชีวิตได้ดังนั้น เพื่อปองกันกำรติดเชื้อไวรัสจึงควร
ล้ำงมือทุกครั้งเมื่อจับต้องสิ่งของต่ำงๆ เช่น ลูกบิดประตู ปุมกดลิฟต์ ธนบัตร พื้นผิวโต๊ะ และ
เฟอร์นิเจอร์เป็นต้น
ที่มำ:http://pr.moph.go.th/iprg/include/admin_hotnew/show_hotnew.php?idHot_new=98667
จำกข้อมูลข้ำงต้นให้นักเรียนตอบค�ำถำมต่อไปนี้ในรูปสัญกรณ์วิทยำศำสตร์
1) ละอองหนึ่งละอองมีขนำดเส้นผ่ำนศูนย์กลำงกี่เมตร(1ไมโครเมตร=10-6เมตร)
2) ถ้ำผู้ปวยคนหนึ่งจำมติดต่อกัน7ครั้งจะมีจ�ำนวนละอองที่เกิดขึ้นประมำณกี่ละออง
136
ข้อควรระวัง อธิบำยในสิ่งที่ผู้เรียนมักเข้ำใจผิดหรือคลำดเคลื่อน
คณิตน่ำรู้ เสริมควำมรู้หรือข้อสังเกตที่ได้จำกเนื้อหำ
ลองท�ำดูเพื่อให้ผู้เรียนได้ฝึกท�ำจนเกิดควำมช�ำนำญ
นำา94มาลบออกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ x3 + 94 - 94 = 5
4 - 94
หรือ x3 = -4
4
x3 = -1
นำา3มาคูณทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ x3 × 3 = (-1) × 3
หรือ x = -3
ตรวจสอบคำาตอบ
แทนxด้วย-3ใน 2x3 + 94 = 2(-3)3 + 94 =(-2)+94
= 14
และ x3 + 54 = (-3)3 + 54 = (-1) + 54
= 14 ทำาให้สมการเป็นจริง
ดังนั้นคำาตอบของสมการ2x3 + 94 = x3 + 54คือ -3 ตอบ
นักเรียนคิดว่า
1) ถ้าa,b,cและdเป็นจำานวนเต็มซึ่งa+b=5,b+c=10,b+d=12
และc+d=16แล้วa,b,cและdมีค่าเท่ากับเท่าใด
2) ถ้าa,b,cและdเป็นจำานวนเต็มซึ่งa×b=6,b×c=15,b×d=18
และc×d=30แล้วa,b,cและdมีค่าเท่ากับเท่าใด
คาํถามทาทายการคดิขัน้สูง
ในตัวอย่างที่21นักเรียน
สามารถแก้สมการได้อีก
วิธีหนึ่งโดยการนำาค.ร.น.
ของตัวส่วนมาคูณทั้งสอง
ข้างของสมการเพื่อทำาให้
ตัวส่วนหมดไป
คณิตน่ารู้
จงแก้สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 7x5 - 13 =
x5 +
23
2) 4x - 54 = 6-x3
ลองทําดู
214
จงพิจำรณำเลขยกก�ำลังต่อไปนี้
สัญลักษณ์ 34 อ่ำนว่ำ“สำมยกก�ำลังสี่”หรือ“สำมก�ำลังสี่”
34มี3เป็นฐำนและมี4เป็นเลขชี้ก�ำลัง
34แทน3×3×3×3
34=81
(-2)4 อ่ำนว่ำ“ลบสองทั้งหมดยกก�ำลังสี่”หรือ“ลบสองทั้งหมดก�ำลังสี่”
(-2)4มี-2เป็นฐำนและมี4เป็นเลขชี้ก�ำลัง
(-2)4แทน(-2)×(-2)×(-2)×(-2)
(-2)4=16
(-3)3 อ่ำนว่ำ“ลบสำมทัง้หมดยกก�ำลงัสำม”หรอื“ลบสำมทัง้หมดก�ำลงัสำม”
(-3)3มี-3เป็นฐำนและมี3เป็นเลขชี้ก�ำลัง
(-3)3แทน(-3)×(-3)×(-3)
(-3)3=-27
(12)2 อ่ำนว่ำ“เศษหนึ่งส่วนสองทั้งหมดยกก�ำลังสอง”หรือ“เศษหนึ่ง
ส่วนสองทั้งหมดก�ำลังสอง”
(12)2มี12เป็นฐำนและมี2เป็นเลขชี้ก�ำลัง
(12)2แทน(12) × (12)
(12)2=14
(- 35)3 อ่ำนว่ำ“ลบเศษสำมส่วนห้ำทั้งหมดยกก�ำลังสำม”หรือ“ลบเศษสำม
ส่วนห้ำทั้งหมดก�ำลังสำม”
(- 35)3มี-35เป็นฐำนและมี3เป็นเลขชี้ก�ำลัง
(- 35)3แทน(- 35) × (- 35) × (- 35)
(- 35)3=-27125
-24 =(-2)×(-2)×(-2)×(-2) -24=-(2×2×2×2)
=16 =-16
✘ ✔¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇѧ
109
สรุปแนวคิดหลัก
เส้นจํานวน
-3 -2 -1 0 1 2 3
บนเส้นจ�านวนจ�านวนเต็มที่อยู่ทางขวาจะมีค่ามากกว่าจ�านวนเต็มที่อยู่ทางซ้ายเสมอ
จํานวนตรงข้ามและค่าสัมบูรณ์ เมื่อaเป็นจ�านวนเต็มใดๆ
•เขียนแทนจ�านวนตรงข้ามของaด้วยสัญลักษณ์-aเช่น
จ�านวนตรงข้ามของ3เขียนแทนด้วย-3
จ�านวนตรงข้ามของ-3เขียนแทนด้วย-(-3)
•เขียนแทนค่าสัมบูรณ์ของaด้วยสัญลักษณ์∙a∙เช่น
ค่าสัมบูรณ์ของ3เขียนแทนด้วย∙3∙
ค่าสัมบูรณ์ของ-3เขียนแทนด้วย∙-3∙
การบวกและการลบจํานวนเต็ม
1) การบวกจํานวนเต็ม
ก�าหนดให้aและbแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ จะได้ว่า
a+b = a+b
(-a)+(-b) = -(a+b)
a+(-b) = a-b เมื่อa≥ b
a+(-b) = -(b-a) เมื่อb> a
(-a)+b = -(a-b) เมื่อa≥ b
(-a)+b = b-a เมื่อb> a
จํานวนเต็ม
ศูนย์0
จ�านวนเต็มบวก1,2,3,…
จ�านวนเต็มลบ-1,-2,-3,…
37
● ●●
●
● ●
●●
●
●
แบบฝึกทักษะประจ�าหน่วยการเรียนรู้ท่ี 5
1. จากแบบรูปที่กำาหนดในแต่ละข้อจงหาจำานวนในลำาดับที่10และเขียนความสัมพันธ์ระหว่าง
ลำาดับที่กับจำานวนในลำาดับที่n
1) 2,4,8,16,...
3) 1,8,27,64,...
2) 14,11,8,5,...
4) 23, 34, 45, 56 , ...
2. จงหาจำานวนอีกห้าจำานวนถัดไปของแบบรูปที่กำาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 4,7,10,13,...
3) 17,15,13,11,...
5) -9,-12,-15,-18,...
2) 3,7,11,15,...
4) 8,4,2,1,...
6) 43 ,2,
83, 103 , ...
3. จงเขียนรูปสามรูปถัดไปของแต่ละแบบรูปต่อไปนี้
1)
2)
4. ขนาดการรับประทานยาขนานหนึ่ง คิดเทียบกับนำ้าหนักตัวของคนคือ ยา 2 มิลลิกรัมต่อ
นำ้าหนักตัว15กิโลกรัม(รับประทานยาได้ไม่เกิน10มิลลิกรัม)
1) จงเขียนตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณยาที่รับประทานกับนำ้าหนักตัวของคน
2) ถ้าให้kแทนนำ้าหนักหน่วยเป็นกิโลกรัมของคนที่รับประทานยาจงเขียนความสัมพันธ์
ระหว่างปริมาณของยาที่รับประทานกับkซึ่งแทนนำ้าหนักตัวของคน
3) คนที่มีนำ้าหนัก60กิโลกรัมต้องรับประทานยาขนานนี้กี่มิลลิกรัม
5. กำาหนดความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางที่รถยนต์วิ่งได้กับเวลาที่ใช้ถ้าให้tแทนเวลาที่ใช้
ก. ระยะทางเท่ากับ40+10t ข. ระยะทางเท่ากับ40-10t
ค. ระยะทางเท่ากับ10+40t ง. ระยะทางเท่ากับ40t-10
จงใช้ความสัมพันธ์ที่กำาหนดให้แต่ละข้อหาค่าของระยะทางเมื่อt=2
224
แนะแนวคิดเทคนิคต่ำงๆ ที่ชี้แนะวิธีกำรแก้โจทย์ทำงคณิตศำสตร์
แบบฝึกทักษะ 5.5ระดับ พื้นฐาน
ระดับ กลาง
1. จงเขียนข้อความต่อไปนี้ในรูปของตัวแปรที่กำาหนด
1) bหารด้วย6
3) สามเท่าของyคูณด้วย10
2) สี่เท่าของxบวกด้วย6 4) aเท่าของ10รวมกับbเท่าของ20
2. จงเขียนสมการแทนข้อความที่กำาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) สองเท่าของจำานวนหนึ่งเท่ากับ16กำาหนดให้xแทนจำานวนหนึ่ง 2) จำานวนหนึ่งมากกว่า15อยู่80กำาหนดให้yแทนจำานวนหนึ่ง
3) รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีด้านยาวยาว12เซนติเมตรและมีเส้นรอบรูปยาว
40เซนติเมตรถ้าให้xแทนความยาวของด้านกว้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปนี้
3. อ้อมมีผลไม้กองหนึ่งเป็นส้ม27ของผลไม้ทั้งหมดถ้ามีส้ม14ผลผลไม้กองนี้มีกี่ผล
4. เศษสี่ส่วนเก้าของจำานวนหนึ่งมากกว่า2อยู่10จงหาจำานวนนั้น
5. ผลรวมของสองเท่าของจำานวนเต็มจำานวนหนึ่งกับ12มีค่าเท่ากับ26จงหาจำานวน
จำานวนนั้น
6. เมื่อ6ปีที่แล้วบุตรมีอายุเป็นหนึ่งในสามของอายุบิดาถ้าปัจจุบันบุตรมีอายุ18ปี
อยากทราบว่าปัจจุบันบิดามีอายุกี่ปี
7. จุ๊บแจงมีเงินเหรียญทั้งหมด24 เหรียญ มีเหรียญบาทจำานวน5 เท่าของเหรียญสิบบาท
ถ้าจำานวนเหรยีญทัง้หมดคดิเป็นเงิน75บาทอยากทราบว่ามีเหรยีญบาทและเหรยีญสิบบาท
อย่างละกี่เหรียญ
8. แม่ค้าซือ้มะม่วงอกร่องและมะม่วงเขยีวเสวยมาขายรวมกนั
60 กิโลกรัม มะม่วงอกร่องกิโลกรัมละ60 บาท มะม่วง
เขียวเสวยกิโลกรัมละ50บาทถ้าอัตราส่วนระหว่างมะม่วง
อกร่องต่อมะม่วงเขียวเสวยเป็น6:7 แม่ค้าซื้อมะม่วง
แต่ละชนิดมาขายอย่างละกี่กิโลกรัม
ระดับ ท้าทาย
อัตราส่วน a ต่อ b คือ
a : b หรือ ab
แนะแนวคิด
221
แบบฝึกทักษะ แบ่งระดับควำมยำกง่ำยเหมำะสมกับระดับกำรเรียนรู้ของผู้เรียน
หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 - 5
หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 - 4
ค�ำแนะน�ำในกำรใช้สื่อ
องค์ประกอบต่ำงๆ ในแต่ละหน่วย
สำรบัญ
ระบบจ�ำนวนเต็ม 21.1จ�ำนวนเต็ม 4 1.2กำรเปรียบเทียบจ�ำนวนเต็ม 4 1.3จ�ำนวนตรงข้ำมและค่ำสัมบูรณ์ 7 1.4กำรบวกและกำรลบจ�ำนวนเต็ม 10 1.5กำรคูณและกำรหำรจ�ำนวนเต็ม 181.6สมบัติของจ�ำนวนเต็ม 281.7กำรน�ำควำมรู้เกี่ยวกับจ�ำนวนเต็มไปใช้ในชีวิตจริง 32
คณิตศาสตรในชีวิตจริง 36 สรุปแนวคิดหลัก 37 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 1 39
จ�ำนวนตรรกยะ 402.1เศษส่วน 42 2.2ทศนิยม 672.3จ�ำนวนตรรกยะและสมบัติของจ�ำนวนตรรกยะ 94 คณิตศาสตรในชีวิตจริง 100 สรุปแนวคิดหลัก 101 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 2 104
เลขยกก�ำลัง 1063.1กำรเขียนเลขยกก�ำลังที่มีเลขชี้ก�ำลังเป็นจ�ำนวนเต็มบวก108 3.2กำรคูณและกำรหำรเลขยกก�ำลังเมื่อเลขชี้ก�ำลังเป็น จ�ำนวนเต็มบวก 1123.3กำรเขียนจ�ำนวนในรูปสัญกรณ์วิทยำศำสตร์ 126 3.4กำรน�ำควำมรู้เกี่ยวกับเลขยกก�ำลังไปใช้ในชีวิตจริง 132
คณิตศาสตรในชีวิตจริง 136 สรุปแนวคิดหลัก 137 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 3 138
หน่วยกำรเรียนรู้ที่
หน่วยกำรเรียนรู้ที่
หน่วยกำรเรียนรู้ที่
1
2
3 บรรณำนุกรม 226
มิติสัมพันธ์ของรูปเรขำคณิต 140
4.1หน้ำตัดของรูปเรขำคณิตสำมมิติ 142 4.2กำรอธิบำยภำพสองมิติที่ได้จำกกำรมองด้ำนหน้ำ ด้ำนข้ำงและด้ำนบนของรูปเรขำคณิตสำมมิติ 1504.3รูปเรขำคณิตสำมมิติที่ประกอบขึ้นจำกลูกบำศก์ 158
คณิตศาสตรในชีวิตจริง 170 สรุปแนวคิดหลัก 171 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 4 173
สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว 176
5.1แบบรูปและควำมสัมพันธ์ 178 5.2ค�ำตอบของสมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว 1945.3สมบัติของกำรเท่ำกัน 200 5.4กำรแก้สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว 2065.5กำรน�ำควำมรู้เกี่ยวกับสมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ไปใช้ในชีวิตจริง 218
คณิตศาสตรในชีวิตจริง 222 สรุปแนวคิดหลัก 223 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 5 224
หน่วยกำรเรียนรู้ที่
หน่วยกำรเรียนรู้ที่
4
5
คณิตศำสตร์ ชั้นมัธยมศึกษำปที่ 1 เล่ม 1
ตัวชี้วัด • เข้าใจจ�านวนตรรกยะและความสัมพันธ์ของจ�านวนตรรกยะและใช้สมบัติของจ�านวนตรรกยะในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์และปญหาในชีวิตจริง (ค 1.1 ม.1/1)
สาระการเรียนรูแกนกลาง• จ�านวนเต็ม•สมบัติของจ�านวนเต็ม
ระบบจํานวนเต็มหน่วยการเรียนรู้ที่
1 นักวิทยาศาสตร์ได้ประดิษฐ์และพัฒนาเครื่องวัดอุณหภูมิขึ้นมา เรียกว่า เทอร์โมมิเตอร์
ที่ท�าจากหลอดแก้วซึ่งภายในบรรจุของเหลวประเภทปรอทหรือแอลกอฮอล์ โดยของเหลวภายใน
หลอดแก้วจะหดตัวเมื่อได้รับความเย็นและขยายตัวเมื่อได้รับความร้อน นอกจากน้ีบนหลอดแก้ว
จะมีสเกลที่ระบุตัวเลขส�าหรับบอกระดับอุณหภูมิต่างๆ อีกด้วยเช่น อุณหภูมิโดยเฉลี่ยในเดือน
กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2560 ณ เมืองหลวงของประเทศต่างๆ ในทวีปเอเชีย ซึ่งแสดงอุณหภูมิด้วย
เทอร์โมมิเตอร์ดังรูปต่อไปนี้
จากรูปแสดงอุณหภูมิจะได้ว่า
1. เมืองหลวงของประเทศที่มีอากาศร้อนที่สุดคือกรุงเทพฯประเทศไทย
2. เมืองหลวงของประเทศที่มีอากาศหนาวที่สุดคือโตเกียวประเทศญี่ปุน
3. อุณหภูมิของกรุงเทพฯสูงกว่าอุณหภูมิของจาการ์ตาอยู่2�C
4. อุณหภูมิของจาการ์ตาสูงกว่าอุณหภูมิของโตเกียวอยู่20�C
5. อุณหภูมิของโตเกียวต�่ากว่าอุณหภูมิของไทเปอยู่10�C
6. อุณหภูมิของไทเปต�่ากว่าอุณหภูมิของฮานอยอยู่3�C
นักเรียนจะพบว่าตัวเลขที่แสดงระดับอุณหภูมิณเมืองหลวงของประเทศต่างๆ ได้แก่29,
27,7,17และ20เป็น“จ�านวนนับ”ซึ่งเรียงจากมากไปหาน้อยได้ดังนี้29,27,20,17และ7
ทวปีแอนตารกตกิา เปนทวีปท่ีมีอากาศหนาวเย็นท่ีสดุในโลก
โดยมีอุณหภูมิเฉลี่ยอยู่ระหว่าง 5 �C ในฤดูร้อน จนถึง -80 �C ใน
ฤดหูนาว อณุหภมูสิงูสดุทีไ่ด้บนัทกึไว้ เมือ่เดอืนมนีาคม พ.ศ. 2558
อยู่ท่ี 17.5 �C และอุณหภูมิต�่าสุดที่ได้บันทึกไว้เมื่อเดือนสิงหาคม
พ.ศ. 2553 อยู่ที่ -94.7 �C1
จากสถานการณ
ข้างต้น นักเรียนคิดว่า
ÍسËÀÙÁÔ·Õèä´ŒºÑ¹·Ö¡äÇŒของทวีปแอนตารกติกา
µ‹Ò§¡Ñ¹อย่างไร
Q.
ควรรูก้อนเรียน
กรุงเทพฯประเทศไทย
ที่มา:https://www.timeanddate.com/weather
จาการ์ตาประเทศอินโดนีเซีย
ไทเปประเทศไต้หวัน
โตเกียวประเทศญี่ปุน
ฮานอยประเทศเวียดนาม
°C
50 50
50 50
40 40
40 40
30 30
30 30
20 20
20 20
10 10
10 100 0
°C
50 50
50 50
40 40
40 40
30 30
30 30
20 20
20 20
10 10
10 100 0
°C
50 50
50 50
40 40
40 40
30 30
30 30
20 20
20 20
10 10
10 100 0
°C
50 50
50 50
40 40
40 40
30 30
30 30
20 20
20 20
10 10
10 100 0
°C
50 50
50 50
40 40
40 40
30 30
30 30
20 20
20 20
10 10
10 100 0
1 Antarctica sets record for coldest temperature on Earth.RetrievedOctober17,2017,fromhttp://www.pbs.org/newshour/nation/antarctica-sets-record-for-coldest-temperature-on-earth 3
1.2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม พิจารณาต�าแหน่งของจ�านวนเต็มบนเส้นจ�านวนจะเห็นว่า
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2อยู่ทางขวาของ-3แสดงว่า2มากกว่า-3ใช้สัญลักษณ์2>-3
-5อยู่ทางซ้ายของ-3แสดงว่า-5น้อยกว่า-3ใช้สัญลักษณ์-5<-3
จากเส้นจ�านวนจะเห็นว่า
• จ�านวนเต็มบวกทุกจ�านวนจะอยู่ทางขวาของศูนย์
ซึ่งเพิ่มขึ้นทีละ1และมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ โดยไม่มีที่สิ้นสุด
•จ�านวนเต็มลบทุกจ�านวนจะอยู่ทางซ้ายของศูนย์
ซึ่งลดลงทีละ1และมีค่าน้อยลงเรื่อยๆ โดยไม่มีที่สิ้นสุด
“ศูนย์”ไม่เป็นทั้งจ�านวนเต็มบวก
และจ�านวนเตม็ลบ และศนูย์อาจ
จะไม่แสดงความไม่มีค่าเสมอไป
เช่น อุณหภูมิ 0 องศา คือ
การแสดงระดับของอุณหภูมิที่
จุดเยือกแข็ง
ค³Ôตน่ารู้
จงเติมเครื่องหมาย > หรือ < ลงใน
1) -7 5 2) -2 -4
วิธีท�า -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
จากเส้นจ�านวน
1) -7อยู่ทางซ้ายของ5แสดงว่า-7<5
2) -2อยู่ทางขวาของ-4แสดงว่า-2>-4 ตอบ
จงหาจ�านวนเต็มอีก 3 จ�านวนต่อจากแบบรูปที่ก�าหนดให้ต่อไปนี้
1) -1,-3,-5,-7,… 2) -9,-6,-3,…
วิธีท�า 1) -1,-3,-5,-7,…จะสังเกตว่าการเรียงของจ�านวนที่ก�าหนดให้แต่ละคู่
ที่อยู่ติดกันลดลงทีละ2
ดังนั้นจ�านวนเต็มอีก3จ�านวนคือ-9, -11, -13
2) -9,-6,-3,…จะสังเกตว่าการเรียงของจ�านวนที่ก�าหนดให้แต่ละคู่ที่อยู่ติดกัน
เพิ่มขึ้นทีละ3
ดังนั้นจ�านวนเต็มอีก3จ�านวนคือ 0, 3, 6 ตอบ
ตัวอย่างที่ 1
ตัวอย่างที่ 2
จงเติมเครื่องหมาย > หรือ < ลงใน
1) 9 -3 2) -6 -2
จากแบบรูปที่ก�าหนดให้ต่อไปนี้ จงหาจ�านวนเต็มอีก 3 จ�านวนต่อจากแบบรูปที่ก�าหนดให้
1) -2,-5,-8,-11,… 2) -12,-7,-2,…
ลองทําดู
ลองทําดู
1.1 จํานวนเต็ม ในระดับชั้นประถมศึกษานักเรียนรู้จักจ�านวนมาแล้วได้แก่0และ1,2,3,4,…ซึ่งเรียก
จ�านวน1,2,3,4,…ว่าจ�านวนนบัหรอืเรยีกอกีชือ่หนึง่ว่า“จ�านวนเตม็บวก”แต่ในชวีติประจ�าวนั
นกัเรยีนจะพบว่ามีการใช้ตัวเลขแสดงระดับอณุหภมูิเช่นอณุหภมูทิีป่กกิง่ประเทศจนีเท่ากบั-10�C
อ่านว่าลบสบิองศาเซลเซยีสซึง่เป็นอณุหภมูติ�า่กว่าจุดเยือกแขง็นกัคณิตศาสตร์จึงก�าหนดตัวเลข
แสดงจ�านวนอกีชนดิหนึง่เป็นจ�านวนทีม่ค่ีาน้อยกว่าศูนย์เช่น-1,-2,-3,-4,…ขึน้มาและเรียกว่า
“จ�านวนเต็มลบ”
ดังนั้นจ�านวนเต็มประกอบด้วยจ�านวนเต็มบวกจ�านวนเต็มลบและศูนย์
นักเรียนสามารถแสดงจ�านวนเต็มโดยใช้เส้นจ�านวนได้ดังนี้
ศูนย์
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
จ�านวนเต็มบวกจ�านวนเต็มลบ
จากหัวข้อที่ 1.1 นักเรียนทราบแล้วว่า จ�านวนเต็มบวกอยู่ทางขวาของศูนย์ และจ�านวน
เต็มลบอยู่ทางซ้ายของศูนย์ดังนั้น
บนเส้นจ�านวนจ�านวนเต็มที่อยู่ทางขวาจะมีค่ามากกว่าจ�านวนเต็มที่อยู่ทางซ้ายเสมอ
4 5
1. จํานวนตรงขาม จงพิจารณาจ�านวนเต็มบนเส้นจ�านวนต่อไปนี้
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
จ�านวนตรงข้าม
จ�านวนตรงข้าม
จากเส้นจ�านวนจะเห็นว่า
3และ-3อยู่ห่างจาก0เป็นระยะ3หน่วยเท่ากัน
5และ-5อยู่ห่างจาก0เป็นระยะ5หน่วยเท่ากัน
แสดงว่า3เป็นจ�านวนตรงข้ามของ-3และ-3เป็นจ�านวนตรงข้ามของ3
5เป็นจ�านวนตรงข้ามของ-5และ-5เป็นจ�านวนตรงข้ามของ5
เรียก3และ-3ว่าเป็นจ�านวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน
5และ-5ว่าเป็นจ�านวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน
เมื่อaเป็นจ�านวนเต็มใดๆ เขียนแทนจ�านวนตรงข้ามของaด้วยสัญลักษณ์-a
เช่น จ�านวนตรงข้ามของ3 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์-3
จ�านวนตรงข้ามของ-3 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์-(-3)
จงพิจารณาเส้นจ�านวนต่อไปนี้
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
จากเส้นจ�านวนพบว่าจ�านวนตรงข้ามของ-3คือ3
ดังนั้น-(-3)=3
2. คาสัมบูรณ
ค่าสมับรูณของจ�านวนเตม็เป็นระยะห่างระหว่างจ�านวนเตม็นัน้กบัศนูย์บนเส้นจ�านวน
จ�านวนตรงข้ามของ0
คือ0
ค³Ôตน่ารู้
1.3 จํานวนตรงขามและคาสัมบูรณแบบฝึกทักษะ 1.2ระดับ พื้นฐาน
1. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ
1) -2เป็นจ�านวนเต็ม
3) 32 เป็นจ�านวนเต็มบวก
5) 1.8เป็นจ�านวนเต็ม
2) 93 เป็นจ�านวนเต็ม
4) 0เป็นจ�านวนเต็มบวก
6) จ�านวนนับเป็นจ�านวนเต็มบวก
2. จงเติมเครื่องหมาย>หรือ<ลงใน ให้ถูกต้อง
1) 7 -4
3) -3 -12
2) -125 3
4) -12 -10
3. จงหาจ�านวนเต็มอีก5จ�านวนต่อจากแบบรูปที่ก�าหนดให้ต่อไปนี้
1) -4,-3,-2,-1,0,…
3) -7,-10,-13,…
2) -6,-3,0,3,…
4) 1,-1,-3,…
ระดับ กลาง
ระดับ ท้าทาย
4. จงเรียงล�าดับจ�านวนที่ก�าหนดให้จากมากไปน้อย
1) 3,9,-4,7,2
3) 2,-4,8,-6,10,-11
5) 8,-6,-5,-1,1,-10
2) -22,22,-3,4,0
4) 9,8,-8,7,1,-2,10
6) 1,-11,-10,9,8,-7,7
5. จงเรียงล�าดับจ�านวนที่ก�าหนดให้จากน้อยไปมาก
1) 11,-6,5,0,-14,-2
3) -12,9,-15,4,-10
5) 1,3,-3,10,-11,12
2) 30,0,-100,20,-70,-10
4) -12,0,-7,48,-56,9
6) 7,-7,6,5,-5,4,3
6. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จจงอธิบายพร้อมยกตัวอย่าง
1) ถ้าaเป็นจ�านวนเต็มลบแล้วไม่สามารถหาจ�านวนเต็มลบที่น้อยกว่าaได้
2) ถ้าaเป็นจ�านวนเต็มแล้วไม่สามารถหาจ�านวนเต็มที่มากกว่าaได้
6 7
ในหัวข้อที่ผ่านมา นักเรียนทราบแล้วว่าจ�านวนตรงข้ามของ 3 เท่ากับ -3 ให้นักเรียน
ลองพิจารณาระยะห่างระหว่าง3กับ0และระยะห่างระหว่าง-3กับ0โดยใช้เส้นจ�านวนต่อไปนี้
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
3หน่วย 3หน่วย
จากเส้นจ�านวนจะเห็นว่า
3อยู่ห่างจาก0เป็นระยะ3หน่วยจะกล่าวว่าค่าสัมบูรณ์ของ3เท่ากับ3
-3อยู่ห่างจาก0เป็นระยะ3หน่วยจะกล่าวว่าค่าสัมบูรณ์ของ-3เท่ากับ3
เมื่อaเป็นจ�านวนเต็มใดๆ เขียนแทนค่าสัมบูรณ์ของaด้วยสัญลักษณ์∙a∙
เช่น ค่าสัมบูรณ์ของ3เท่ากับ3เขียนได้เป็น∙3∙=3
ค่าสัมบูรณ์ของ-3เท่ากับ3เขียนได้เป็น∙-3∙=3
ค่าสัมบูรณ์ของ0เท่ากับ0เขียนได้เป็น∙0∙ =0
ค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นจ�านวนเต็มบวก และค่าสัมบูรณ์
ของศูนย์เท่ากับศูนย์เสมอ
จงหาค่าต่อไปนี้
1) ∙17∙ 2) ∙-17∙ 3) -∙17∙ 4) -∙-17∙
วิธีท�า 1) ∙17∙=17
2) ∙-17∙=17
3) -∙17∙=-17
4) -∙-17∙=-17 ตอบ
ตัวอย่างที่ 3
จงหาค่าต่อไปนี้
1) ∙5∙ 2) ∙-15∙ 3) -∙24∙ 4) -∙-19∙
ลองทําดู
แบบฝึกทักษะ 1.3ระดับ พื้นฐาน
ระดับ กลาง
1. จงเขียนจ�านวนตรงข้ามและค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนต่อไปนี้
1) 4
4) -10
7) 511
2) 7
5) -56
8) -635
3) -2
6) -108
9) -702
2. จงหาค่าต่อไปนี้
1) -∙-3∙
4) ∙-9∙
2) ∙-3∙
5) -∙22∙
3) -∙-4∙
6) -∙-24∙
3. จงเติมเครื่องหมาย> <หรือ=ลงใน ให้ถูกต้อง
1) ∙4∙ ∙-8∙
3) ∙-33∙ ∙33∙
5) ∙-2∙ -∙-5∙
7) -∙-48∙ -∙-50∙
2) ∙-38∙ ∙-40∙
4) ∙-6∙ -∙6∙
6) -∙-9∙ ∙9∙
8) -∙-795∙ -∙-793∙
4. จงเติมค�าตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง
1) ค่าสัมบูรณ์ของ28และ-28เท่ากับ………………………………….
2) ค่าสัมบูรณ์ของ………………………………….และ-50เท่ากับ50
3) ค่าสัมบูรณ์ของ………………………………….และ………………………………….เท่ากับ132
4) 178เป็นค่าสัมบูรณ์ของ………………………………….และ………………………………….
5) ………………………………….เป็นค่าสัมบูรณ์ของ………………………………….และ-479
6) ………………………………….เป็นค่าสัมบูรณ์ของ2,810และ………………………………….
5. จงหาค่าของจ�านวนต่อไปนี้
1) -(-17)
4) -(-89)
2) -(-42)
5) -(16)
3) -(-54)
6) -(560)
8 9
3) การบวกจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มลบ และการบวกจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มบวก
(1) พิจารณาการหาผลบวกของ5กับ-2โดยใช้เส้นจ�านวนดังนี้
3หน่วย -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
เริ�ม จบ
ดังนั้น5+(-2)=3
พิจารณาการหาผลบวกของ5กับ-2โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
ค่าสัมบูรณ์ของ5เท่ากับ5หรือ∙5∙ =5
ค่าสัมบูรณ์ของ-2เท่ากับ2หรือ∙-2∙=2
จะเห็นว่าถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ5ลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของ-2นั่นคือ
∙5∙-∙-2∙=5-2แล้วจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ3เช่นเดียวกับการหาผลบวกโดยใช้เส้นจ�านวน
จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้
1) (-3)+(-13) 2) [(-6)+(-2)]+(-8)
วิธีท�า 1) (-3)+(-13) =-(∙-3∙+∙-13∙)
=-(3+13)
=-16
2) [(-6)+(-2)]+(-8)=-(∙-6∙+∙-2∙)+(-8)
=-(6+2)+(-8)
=(-8)+(-8)
=-(∙-8∙+∙-8∙)
=-16 ตอบ
ตัวอย่างที่ 4
1. การบวกจํานวนเต็ม 1) การบวกจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวก หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า การบวกจ�านวนนับด้วยจ�านวนนับ
พิจารณาการหาผลบวกของ5กับ3โดยใช้เส้นจ�านวนดังนี้
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
8หน่วย
เริ�ม จบ
ดังนั้น5+3=8
การบวกจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวกจะได้ผลบวกเป็นจ�านวนเต็มบวก
2) การบวกจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบ
พิจารณาการหาผลบวกของ-5กับ-3โดยใช้เส้นจ�านวนดังนี้
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
8หน่วย
เริ�มจบ
ดังนั้น(-5)+(-3)=-8
พิจารณาการหาผลบวกของ-5กับ-3โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
ค่าสัมบูรณ์ของ-5เท่ากับ5หรือ∙-5∙=5
ค่าสัมบูรณ์ของ-3เท่ากับ3หรือ∙-3∙=3
จะเห็นว่า ถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ -5 บวกด้วยค่าสัมบูรณ์ของ -3 แล้วเขียนผลบวก
เป็นจ�านวนเต็มลบจะได้ผลบวกเท่ากับ-8เช่นเดียวกับการหาผลบวกโดยใช้เส้นจ�านวน
การบวกจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง
มาบวกกันแล้วเขียนผลบวกเป็นจ�านวนเต็มลบ
1.4 การบวกและการลบจํานวนเต็ม
เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางขวา 5 หน่วย แล้วนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 หน่วย จะไปสิ้นสุดที่ 8
เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางซ้าย 5 หน่วย แล้วนับต่อไปทางซ้ายอีก 3 หน่วย จะไปสิ้นสุดที่ -8
จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้
1) (-9)+(-16) 2) [(-11)+(-21)]+(-8)
ลองทําดู
เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางขวา 5 หน่วย แล้วนับลดไปทางซ้าย 2 หน่วย จะสิ้นสุดที่ 3
ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ
จะได้ว่า(-a)+(-b)=-(a+b)
ค³Ôตน่ารู้
10 11
(2) พิจารณาการหาผลบวกของ-4กับ6โดยใช้เส้นจ�านวนดังนี้
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2หน่วย
เริ�ม จบ
ดังนั้น(-4)+6=2
พิจารณาการหาผลบวกของ-4กับ6โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
ค่าสัมบูรณ์ของ-4เท่ากับ4หรือ∙-4∙=4 ค่าสัมบูรณ์ของ6เท่ากับ6หรือ∙6∙=6
จะเห็นว่าถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ6ลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของ-4นั่นคือ
∙6∙-∙-4∙=6-4แล้วจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ2เช่นเดียวกับการหาผลบวกโดยใช้เส้นจ�านวน
(3)พิจารณาการหาผลบวกของ3กับ-7โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 54หน่วย
เริ�มจบ
ดังนั้น3+(-7)=-4
พิจารณาการหาผลบวกของ3กับ-7โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
ค่าสัมบูรณ์ของ3เท่ากับ3หรือ∙3∙ =3 ค่าสัมบูรณ์ของ-7เท่ากับ7หรือ∙-7∙=7
จะเหน็ว่าถ้าน�าค่าสมับรูณ์ของ-7ลบด้วยค่าสมับรูณ์ของ3แล้วเขยีนผลลพัธ์เป็น
จ�านวนเต็มลบซึ่งเท่ากับ-4เช่นเดียวกับการหาผลบวกโดยใช้เส้นจ�านวน
(4)พิจารณาการหาผลบวกของ-6กับ3โดยใช้เส้นจ�านวนดังนี้
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 43หน่วย
เริ�มจบ
ดังนั้น(-6)+3=-3
เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางซ้าย 4 หน่วย แล้วนับเพิ่มไปทางขวา 6 หน่วย จะสิ้นสุดที่ 2
พิจารณาการหาผลบวกของ-6กับ3โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
ค่าสัมบูรณ์ของ-6เท่ากับ6หรือ∙-6∙=6
ค่าสัมบูรณ์ของ3เท่ากับ3หรือ∙3∙=3
จะเหน็ว่าถ้าน�าค่าสมับรูณ์ของ-6ลบด้วยค่าสมับรูณ์ของ3แล้วเขยีนผลลพัธ์เป็น
จ�านวนเต็มลบซึ่งเท่ากับ-3เช่นเดียวกับการหาผลบวกโดยใช้เส้นจ�านวน
การบวกจ�านวนเตม็บวกด้วยจ�านวนเตม็ลบและการบวกจ�านวนเตม็ลบด้วยจ�านวนเตม็
บวกให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนที่มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนที่น้อยกว่า
แล้วเขียนผลลัพธ์เป็นจ�านวนเต็มตามจ�านวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า
(5) กรณีที่ค่าสัมบูรณ์เท่ากัน สามารถเลือกจ�านวนใดเป็นตัวตั้งก็ได้ ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้
จะมีค่าเท่ากับศูนย์เสมอเช่น (-5)+5=∙-5∙-∙5∙=0
5+(-5)=∙5∙-∙-5∙=0
เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางขวา 3 หน่วย แล้วนับลดไปทางซ้าย 7 หน่วย จะสิ้นสุดที่ -4
เริ่มต้นที่ 0 นับไปทางซ้าย 6 หน่วย แล้วนับเพิ่มไปทางขวา 3 หน่วย จะสิ้นสุดที่ -3
จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้
1) 25+(-11) 2) (-16)+9
วิธีท�า 1) 25+(-11) =∙25∙-∙-11∙ =25-11
=14
2)(-16)+9 =-(∙-16∙-∙9∙) =-(16-9)
=-7 ตอบ
ตัวอย่างที่ 5
จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้
1) 12+(-23) 2) (-9)+17
ลองทําดู
ค³Ôตน่ารู้
ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ แล้ว a+(-b)=a-b เมื่อa≥b
a+(-b)=-(b-a) เมื่อb>a
(-a)+b=-(a-b) เมื่อa≥b
(-a)+b=b-a เมื่อb>a
12 13
กิจกรรม คณิตศาสตร์
1. การบวกจ�านวนเต็มสองจ�านวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของ(-2)+(-3)
-1 -1
-1 -1 -1
ดังนั้น(-2)+(-3)=-5
จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้
1) 2+4 2) 6+3 3) (-3)+(-4) 4) (-5)+(-2)
2. การบวกจ�านวนเต็มสองจ�านวนที่มีเครื่องหมายต่างกัน
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของ5+(-2)
1 1 1 1 1
-1 -1
ดังนั้น5+(-2)=3
จงหาผลบวกของจ�านวนต่อไปนี้
1) 7+(-3) 2) (-5)+8 3) 4+(-9) 4) (-8)+2
ให้นกัเรยีนจบัคูก่บัเพือ่นแล้วช่วยกนัหาผลบวกของจÓนวนเตม็โดยใช้บตัรตวัเลข 1 และ -1
-1 -1 -1 -1 -1
1 1 1 1 1 -1 -1
1 1 1
จ�านวนตรงข้ามบวกกันเท่ากับศูนย์
ข้อตกลง 1) ให้ 1 แทนตัวเลขแสดงจ�านวน1และ -1 แทนตัวเลขแสดงจ�านวน-1
2) ใช้บัตรตัวเลขแสดงจ�านวนเต็มต่างๆ เช่น
1 1 1 หมายถึง1+1+1=3
-1 -1 -1 หมายถึง(-1)+(-1)+(-1)=-3
1 -1 หมายถึง1+(-1)=0
2. การลบจํานวนเต็ม จงพิจารณาผลลบและผลบวกของจ�านวนเต็มต่อไปนี้
3-2 = 1และ3+(-2)=1
จะเห็นว่า 3-2 = 3+(-2)
4-2 = 2และ4+(-2)=2
จะเห็นว่า 4-2 = 4+(-2)
การลบจ�านวนเต็มใช้ข้อตกลงดังนี้
ตัวตั้ง-ตัวลบ=ตัวตั้ง+จ�านวนตรงข้ามของตัวลบ
นั่นคือ ถ้าก�าหนดให้aและbแทนจ�านวนเต็มใดๆ
a-b=a+จ�านวนตรงข้ามของb
หรือ a-b=a+(-b)
จงหาผลลบของจ�านวนต่อไปนี้
1) 3-7 2) (-2)-4 3) 5-(-2) 4) (-3)-(-8)
วิธีท�า 1) 3-7 =3+จ�านวนตรงข้ามของ7
=3+(-7)
=-4
2) (-2)-4 =(-2)+จ�านวนตรงข้ามของ4
=(-2)+(-4)
=-6
3) 5-(-2) =5+จ�านวนตรงข้ามของ-2
=5+2
=7
4) (-3)-(-8) =(-3)+จ�านวนตรงข้ามของ-8
=(-3)+8
=5 ตอบ
ตัวอย่างที่ 6
จงหาผลลัพธ์ของ(-33)+78-96
Thinking Time
จงหาผลลบของจ�านวนต่อไปนี้
1) 15-28 2) (-6)-3 3) 3-(-10) 4) (-12)-(-4)
ลองทําดู
14 15การหาผลบวกของจํานวนเต็มโดยใชบัตรตัวเลข
2. การลบจ�านวนเต็มด้วยจ�านวนเต็มลบ
ตัวอย่างที่ 3จงหาผลลบของ3-(-2)
1 1 1
-1 -1
ดังนั้น3-(-2)=5
ตัวอย่างที่ 4จงหาผลลบของ(-3)-(-4)
-1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 ดังนั้น(-3)-(-4)=1
จงหาผลลบของจ�านวนต่อไปนี้ 1) 7-(-2) 2) 4-(-5) 3) (-4)-(-8) 4) (-9)-(-5)
ให้นกัเรยีนจบัคูก่บัเพือ่นแล้วช่วยกนัหาผลลบของจÓนวนเตม็โดยใช้บตัรตวัเลข 1 และ -1
1 1 1
1 1
-1 -1 -1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
ข้อตกลง เมื่อใช้บัตรตัวเลขแสดงจ�านวนเต็มต่างๆ เราสามารถหาจ�านวนตรงข้ามได้เช่น
-1 -1 -1 1 1 1
-(-3) =31. การลบจ�านวนเต็มด้วยจ�านวนเต็มบวก
ตัวอย่างที่ 1จงหาผลลบของ4-6
1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1
ดังนั้น4-6=-2
ตัวอย่างที่ 2จงหาผลลบของ(-5)-2
-1 -1 -1 -1 -1
-1 -1
ดังนั้น(-5)-2=-7
จงหาผลลบของจ�านวนต่อไปนี้ 1) 7-4 2) 3-6 3) (-2)-4 4) (-5)-4
4-6สามารถเขียนเป็น4+(-6)ได้
(-5)-2สามารถเขยีนเป็น(-5)+(-2)ได้
จ�านวนตรงข้ามบวกกันเท่ากับศูนย์
1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1
3-(-2)สามารถ
เขียนเป็น3+2ได้
(-3)-(-4)สามารถ
เขียนเป็น(-3)+4ได้
แบบฝึกทักษะ 1.4ระดับ พื้นฐาน
ระดับ กลาง
1. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) (-5)+17
4) 54+(-46)
7) 15-(-9)
2) (-12)+(-25)
5) 7-16
8) (-4)-(-18)
3) (-60)+28
6) (-12)-23
9) (-28)-(-11)
5. จงเติมจ�านวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ลงในตารางต่อไปนี้โดยที่สัญลักษณ์ที่เหมือนกัน
เป็นจ�านวนเดียวกัน
ข้อ ช่องที่ 1 ช่องที่ 2
1
2
3
4
+
( + ) + -
( - ) -
+
+ ( + ) -
- ( - )
1) จงหาค่าผลลัพธ์จากตารางในช่องที่1และช่องที่2
2) จงเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้จากตารางในช่องที่1และช่องที่2
2. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 55+(-19)+30
4) 23-46-11
2) 34+(-27)+(-51)
5) (-25)-(-17)-15
3) (-61)+(-9)+(-32)
6) 35-(-18)+(-21)
3. จงเติมจ�านวนลงใน ให้ถูกต้อง
1) 5- =12
4) (-8)+ =6
2) 7- =-13
5) +7=3
3) (-9)- =-15
6) +(-13)=-14
4. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) ∙6+(-8)∙ 4) -∙-38∙+(-51)
2) -∙(-5)+17∙ 5) -∙-59∙+∙28∙
3) ∙(-13)-(-7)∙ 6) 46-∙-25∙
ระดับ ท้าทาย
กิจกรรม คณิตศาสตร์
-
-
-
16 17
1.5 การคูณและการหารจํานวนเต็ม
1. การคูณจํานวนเต็ม
1) การคูณจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวก นักเรียนสามารถหาผลคูณได้โดยใช้
การบวกจ�านวนเต็มบวกซ�้าๆ เช่น
2×9=9+9=18
3 ×4=4+4+4=12
5×3=3+3+3+3+3=15
7×7=7+7+7+7+7+7+7=49
การคูณจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวกจะได้ผลคูณเป็นจ�านวนเต็มบวก
2) การคูณจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มลบ นักเรียนสามารถหาผลคูณได้โดยใช้
การบวกจ�านวนเต็มลบซ�้าๆ เช่น
2×(-3)=(-3)+(-3)=-6
3 ×(-4)=(-4)+(-4)+(-4)=-12
5×(-2)=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=-10
พิจารณาการหาผลคูณของ3กับ-4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
ค่าสัมบูรณ์ของ3เท่ากับ3หรือ∙3∙ =3
ค่าสัมบูรณ์ของ-4เท่ากับ4หรือ∙-4∙=4
จะเห็นว่า ถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ 3 คูณด้วยค่าสัมบูรณ์ของ -4 แล้วเขียนผลคูณเป็น
จ�านวนเต็มลบ จะได้ผลคูณเท่ากับ -12 เช่นเดียวกับการหาผลคูณโดยใช้การบวกจ�านวนเต็มลบ
ซ�้าๆ
การคูณจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มลบให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง
มาคูณกันแล้วเขียนผลคูณเป็นจ�านวนเต็มลบ
จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้
1) 3 × (-5)
3) 9 × (-11)
2) 5 × (-3)
4) 11 × (-9)
วิธีท�า 1) 3 ×(-5) =-(∙3∙ × ∙-5∙)
=-(3 ×5)
=-15
2) 5×(-3) =-(∙5∙ × ∙-3∙)
=-(5× 3)
=-15
3) 9×(-11)=-(∙9∙ × ∙-11∙)
=-(9× 11)
=-99
4) 11 ×(-9)=-(∙11∙ × ∙-9∙)
=-(11 ×9)
=-99 ตอบ
ตัวอย่างที่ 7
จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้
1) 8 ×(-12) 2) 6 ×(-4)
ลองทําดู
ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ
จะได้ว่าa×(-b)=-(a×b)
ค³Ôตน่ารู้
3) การคูณจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มบวก นักเรียนไม่สามารถหาผลคูณโดยใช้
การบวกจ�านวนซ�้าๆ ได้ดังนั้นจึงน�าสมบัติการสลับที่ส�าหรับการคูณมาช่วยในการหาผลคูณเช่น
(-3)×4=4×(-3)=-12
พิจารณาการหาผลคูณของ-3กับ4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
ค่าสัมบูรณ์ของ-3เท่ากับ3หรือ∙-3∙=3
ค่าสัมบูรณ์ของ4เท่ากับ4หรือ∙4∙=4
18 19
จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้
1) (-1)× 3
3) (-3)×2
2) (-2)×5
4) (-4)×6
วิธีท�า 1) (-1)× 3 =-(∙-1∙ × ∙3∙)
=-(1 × 3)
=-3
2) (-2)×5 =-(∙-2∙ × ∙5∙)
=-(2×5)
=-10
3) (-3)×2 =-(∙-3∙ × ∙2∙)
=-(3 ×2)
=-6
4) (-4)×6 =-(∙-4∙ × ∙6∙)
=-(4 ×6)
=-24 ตอบ
ตัวอย่างที่ 8
4) การคูณจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบ
พิจารณาการหาผลคูณของ-3กับ-4ดังนี้
เนื่องจาก (-4)+4 = 0
น�า-3คูณเข้าทั้งสองข้าง (-3) × [(-4)+4] = (-3) × 0
จากสมบัติการแจกแจง [(-3) × (-4)]+[(-3) × 4]= 0
นั่นคือ [(-3) × (-4)]+(-12) = 0
แสดงว่า(-3) × (-4)กับ-12ต้องเป็นจ�านวนตรงข้ามกันซึ่งจ�านวนตรงข้ามของ-12
คือ12
ดังนั้น(-3) × (-4)=12
พิจารณาการหาผลคูณของ-3กับ-4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
ค่าสัมบูรณ์ของ-3เท่ากับ3หรือ∙-3∙=3
ค่าสัมบูรณ์ของ-4เท่ากับ4หรือ∙-4∙=4
จะเห็นว่าถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ-3คูณด้วยค่าสัมบูรณ์ของ-4จะได้ผลคูณเป็นจ�านวน
เต็มบวกซึ่งเท่ากับ12เช่นเดียวกับการหาผลคูณโดยใช้สมบัติการแจกแจง
การคูณจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง
มาคูณกันจะได้ผลคูณเป็นจ�านวนเต็มบวก
จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้
1) (-4)×6
2) (-8)×7
ลองทําดู
ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ
จะได้ว่า(-a)×b=-(a×b)
ค³Ôตน่ารู้
จะเห็นว่า ถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ -3 คูณด้วยค่าสัมบูรณ์ของ 4 แล้วเขียนผลคูณเป็น
จ�านวนเต็มลบจะได้ผลคูณเท่ากับ-12เช่นเดียวกับการหาผลคูณโดยใช้สมบัติการสลับที่ส�าหรับ
การคูณ
การคูณจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มบวกให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง
มาคูณกันแล้วเขียนผลคูณเป็นจ�านวนเต็มลบ
จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้
1) (-4)×(-3)
3) (-8)×(-11)
2) (-6)×(-5)
4) (-23)×(-5)
วิธีท�า 1) (-4)×(-3) =∙-4∙ × ∙-3∙
=4 × 3
=12
2) (-6)×(-5) =∙-6∙ × ∙-5∙
=6×5
=30
ตัวอย่างที่ 9
ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ
จะได้ว่า(-a)×(-b)=a×b
ค³Ôตน่ารู้
20 21
จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้
1) [2×(-2)]× 3 2) 6×[3×(-2)]
วิธีท�า 1) [2×(-2)]× 3 =-(∙2∙ × ∙-2∙) × 3
=-(2×2)× 3
=(-4)× 3
=-(∙-4∙ × ∙3∙)
=-12
2) 6 ×[3×(-2)] =6 ×[-(∙3∙ × ∙-2∙)]
=6 ×[-(3 ×2)]
=6 ×(-6)
=-(∙6∙ × ∙-6∙)
=-36 ตอบ
ตัวอย่างที่ 10
นักเรียนคิดว่าผลคูณของ
2×(-2)×3เหมือนกับ
ผลคูณในตัวอย่างที่10หรือไม่
เพราะเหตุใด
Thinking Time
จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้
1) [5 ×(-2)] × 3
2) 4 ×[5 × (-3)]
ลองทําดู
จงหาผลคูณของจ�านวนต่อไปนี้
1) (-3) ×(-12) 2) (-7) ×(-6)
ลองทําดู
2. การหารจํานวนเต็ม
ในหน่วยการเรียนรู้น้ีนักเรียนจะเรียนการหารจ�านวนเต็มด้วยจ�านวนเต็มท่ีเป็นการหาร
ลงตัวโดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณและการหารดังนี้
ตัวตั้ง=ตัวหาร×ผลหาร
1) การหารจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวก
พจิารณาการหาผลหารของ12กบั4โดยใช้ความสมัพนัธ์ของการคณูและการหารดงันี้
เนื่องจาก 12 = 4× 3
ดังนั้น 12÷4 = 3
การหารจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มบวกจะได้ผลหารเป็นจ�านวนเต็มบวก
2) การหารจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบ
พิจารณาการหาผลหารของ-12กับ-4โดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณและการหาร
ดังนี้
เนื่องจาก -12 = (-4)× 3
ดังนั้น (-12)÷(-4) = 3
พิจารณาการหาผลหารของ-12กับ-4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
ค่าสัมบูรณ์ของ-12เท่ากับ12หรือ∙-12∙=12
ค่าสัมบูรณ์ของ-4เท่ากับ4หรือ∙-4∙=4
จะเห็นว่า ถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ -12 หารด้วยค่าสัมบูรณ์ของ -4 จะได้ผลหารเป็น
จ�านวนเต็มบวก ซึ่งเท่ากับ 3 เช่นเดียวกับการหาผลหารโดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณและ
การหาร
การหารจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มลบให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง
มาหารกันจะได้ผลหารเป็นจ�านวนเต็มบวก
3) (-8)×(-11) =∙-8∙ × ∙-11∙
=8× 11
=88
4) (-23)×(-5) =∙-23∙ × ∙-5∙
=23×5
=115 ตอบ
22 23
3) การหารจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มบวก
พิจารณาการหาผลหารของ -12 กับ 4 โดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณและการหาร
ดังนี้
เนื่องจาก -12 = 4×(-3)
ดังนั้น (-12)÷4 = -3
พิจารณาการหาผลหารของ-12กับ4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
ค่าสัมบูรณ์ของ-12เท่ากับ12หรือ∙-12∙=12
ค่าสัมบูรณ์ของ4เท่ากับ4หรือ∙4∙ =4
จะเห็นว่าถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ-12หารด้วยค่าสัมบูรณ์ของ4แล้วเขียนผลหารเป็น
จ�านวนเต็มลบจะได้ผลหารเท่ากับ-3เช่นเดียวกับการหาผลหารโดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณ
และการหาร
การหารจ�านวนเต็มลบด้วยจ�านวนเต็มบวกให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง
มาหารกันแล้วเขียนผลหารเป็นจ�านวนเต็มลบ
จงหาผลลัพธ์ของ(-72)÷(-3)÷(-4)
Thinking Timeจงหาผลหารของจ�านวนต่อไปนี้
1) (-42) ÷(-7) 2) (-75) ÷(-5)
ลองทําดู
จงหาผลหารของจ�านวนต่อไปนี้
1) (-30)÷(-5) 2) (-144)÷(-8)
วิธีท�า 1) (-30)÷(-5) =∙-30∙ ÷ ∙-5∙
=30÷5
=6
2) (-144)÷(-8) =∙-144∙ ÷ ∙-8∙
=144 ÷8
=18 ตอบ
ตัวอย่างที่ 11
ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ
จะได้ว่า(-a)÷(-b)=a÷b
ค³Ôตน่ารู้
4) การหารจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มลบ
พิจารณาการหาผลหารของ 12 กับ -4 โดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณและการหาร
ดังนี้
เนื่องจาก 12 = (-4)×(-3)
ดังนั้น 12÷(-4) = -3
พิจารณาการหาผลหารของ12กับ-4โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ดังนี้
ค่าสัมบูรณ์ของ12เท่ากับ12หรือ∙12∙=12
ค่าสัมบูรณ์ของ-4เท่ากับ4หรือ∙-4∙=4
จะเห็นว่าถ้าน�าค่าสัมบูรณ์ของ12หารด้วยค่าสัมบูรณ์ของ-4แล้วเขียนผลหารเป็น
จ�านวนเต็มลบจะได้ผลหารเท่ากับ-3เช่นเดียวกับการหาผลหารโดยใช้ความสัมพันธ์ของการคูณ
และการหาร
การหารจ�านวนเต็มบวกด้วยจ�านวนเต็มลบให้น�าค่าสัมบูรณ์ของจ�านวนทั้งสอง
มาหารกันแล้วเขียนผลหารเป็นจ�านวนเต็มลบ
จงหาผลหารของจ�านวนต่อไปนี้
1) (-36)÷ 3 2) 45÷(-5)
วิธีท�า 1) (-36)÷ 3 =-(∙-36∙ ÷ ∙3∙)
=-(36÷ 3)
=-12
2)45÷(-5) =-(∙45∙ ÷ ∙-5∙)
=-(45÷5)
=-9 ตอบ
ตัวอย่างที่ 12
ให้a,bแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ
จะได้ว่า (-a)÷b=-(a÷b)
และ a÷(-b)=-(a÷b)
ค³Ôตน่ารู้
จงหาผลหารของจ�านวนต่อไปนี้
1) (-54) ÷6 2) 108 ÷(-6)
ลองทําดู
24 25
แบบฝึกทักษะ 1.5
1. จงหาผลคูณในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 3 ×17
3) (-6)×7
5) (-2)× 3 ×15
2) 8×(-9)
4) (-7)×(-5)
6) 3×(-6)×2
2. จงหาผลหารในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 65÷5
3) (-57)÷ 3
5) 60÷(-4)
2) (-38)÷(-2)
4) 132÷(-11)
6) (-48)÷(-8)
3. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) (-2)+(3×15)
3) [(-5)×6]×(-4)
5) (-12)÷[4-(-2)]
7) [(-48)÷(-3)]-7
9) (-78)+14× 4
11) 63÷(-9)+(-2)×(-10)
2) [(-5)+(-2)]×(-3)
4) 8×[(-4)×(-7)]
6) [(-12)+2]÷(-5)
8) (-5)+[54÷(-6)]
10) 40+(-36)÷9
12) (-8)×(-5)-(-36)÷9
4. จงเติมจ�านวนลงใน ให้ถูกต้อง
1) 2×(-3)× =-48
3) ×(-4) ×(-3)=-60
5) ÷8 =-83
7) 180 ÷ ×(-22)=132
2) (-3)× ×(-2)=24
4) ÷(-2) =-72
6) (-672) ÷ =96
8) ÷7 ×9 =-675
5. จงเตมิจ�านวนลงในตารางให้ถกูต้องเมือ่ก�าหนดจ�านวนท่ีอยูใ่นแนวนอนเป็นตวัตัง้และจ�านวน
ที่อยู่ในแนวตั้งเป็นตัวหาร
6. จงเติมจ�านวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ลงในตารางต่อไปนี้โดยที่สัญลักษณ์ที่เหมือนกัน
เป็นจ�านวนเดียวกัน
ข้อ ช่องที่ 1 ช่องที่ 2
1
2
3
4
×
( × ) ×
÷
( ÷ ) ÷
×
× ( × ) ÷
÷ ( ÷ )
1) จงหาค่าผลลัพธ์จากตารางในช่องที่1และช่องที่2
2) จงเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้จากตารางในช่องที่1และช่องที่2
12 -12
-6 -2
4
-12 3
3
ตัวตั้งตัวหาร
ระดับ ท้าทาย
ระดับ พื้นฐาน
ระดับ กลาง
26 27
1.6 สมบัติของจํานวนเต็ม
1. สมบัติของหนึ่งและศูนย 1) สมบัติของศูนย
(1) จ�านวนเต็มใดๆ บวกด้วยศูนย์ หรือศูนย์บวกด้วยจ�านวนเต็มใดๆ จะได้ผลบวก
เท่ากับจ�านวนนั้นเช่น 3+0 = 0+3=3
(-5)+0 = 0+(-5)=-5
a+0=0+a=aเมื่อaแทนจ�านวนเต็มใดๆ
(2) จ�านวนเต็มใดๆ คูณด้วยศูนย์หรอืศนูย์คณูด้วยจ�านวนเตม็ใดๆ จะได้ผลคณูเท่ากบั
ศูนย์เช่น 3×0 = 0×3 =0
(-5)×0 = 0×(-5) =0
a×0=0×a=0เมื่อaแทนจ�านวนเต็มใดๆ
(3) ศูนย์หารด้วยจ�านวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะได้ผลหารเท่ากับศูนย์เช่น
03 = 0
0(-7) = 0
0a=0เมื่อaแทนจ�านวนเต็มใดๆ ที่ไม่เท่ากับ0
(4) ถ้าผลคูณของจ�านวนเต็มสองจ�านวนใดๆ เท่ากับศูนย์ แล้วจ�านวนใดจ�านวนหนึ่ง
ต้องเท่ากับศูนย์กล่าวคือถ้า aและbแทนจ�านวนเต็มใดๆ และa×b=0แล้วa=0
หรือb=0
2) สมบัติของหนึ่ง
(1) จ�านวนเตม็ใดๆ คณูด้วยหนึง่หรอืหนึง่คณูด้วยจ�านวนเตม็ใดๆ จะได้ผลคณูเท่ากบั
จ�านวนนั้นเช่น 1×3 = 3×1 = 3
1 ×(-5) = (-5)×1 = -5
1 ×a=a×1=aเมื่อaแทนจ�านวนเต็มใดๆ
ถ้าaแทนจ�านวนเต็มใดๆ
แล้วa0 ไม่มีความหมาย
ทางคณิตศาสตร์
ค³Ôตน่ารู้
(2) จ�านวนเต็มใดๆ หารด้วยหนึ่งจะได้ผลหารเท่ากับจ�านวนนั้นเช่น
3 ÷1 = 3
(-5)÷1 = -5
a÷1=aเมื่อaแทนจ�านวนเต็มใดๆ
จงหาผลลัพธของจ�านวนต่อไปนี้
1) (18-17) × (-9) 2) 6÷[(-4)+5]
วิธีท�า 1) (18-17) × (-9) =1× (-9) 2)6÷[(-4)+5] =6÷ 1
=-9 =6 ตอบ
ตัวอย่างที่ 13
2. สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณจํานวนเต็ม
1) สมบัติการสลับที่
(1) การบวกจ�านวนเต็มสองจ�านวน เราสามารถสลับท่ีระหว่างตัวตั้งและตัวบวกได้
โดยที่ผลบวกยังคงเท่ากันเช่น 3+(-5) = (-5)+3=-2
ถ้าaและbแทนจ�านวนเต็มใดๆ แล้วa+b=b+a
(2) การคณูจ�านวนเตม็สองจ�านวนเราสามารถสลบัทีร่ะหว่างตวัตัง้และตวัคณูได้โดยที่
ผลคูณยังคงเท่ากันเช่น 3×(-5) = (-5)×3=-15
ถ้าaและbแทนจ�านวนเต็มใดๆ แล้วa×b=b×a
2) สมบัติการเปลี่ยนหมู่
(1) สมบัติการเปลี่ยนหมู ่ส�าหรับการบวก เมื่อมีจ�านวนเต็มสามจ�านวนบวกกัน
นักเรียนสามารถบวกจ�านวนเต็มคู่แรกหรือคู่หลังก่อนได้โดยที่ผลบวกสุดท้ายยังคงเท่ากันเช่น
[2+(-7)]+(-3) = 2+[(-7)+(-3)]=-8
จงหาผลลัพธของจ�านวนต่อไปนี้
1) (12- 11) × (-7) 2) 9 ÷[23+(-22)]
ลองทําดู
28 29
ถ้าa,bและcแทนจ�านวนเต็มใดๆ แล้ว(a+b)+c=a+(b+c)
(2) สมบัติการเปลี่ยนหมู่ส�าหรับการคูณเมื่อมีจ�านวนเต็มสามจ�านวนคูณกันนักเรียน
สามารถคูณจ�านวนเต็มคู่แรกหรือคู่หลังก่อนได้โดยที่ผลคูณสุดท้ายยังคงเท่ากันเช่น
[2×(-7)]×(-3) = 2×[(-7)×(-3)]=42
ถ้าa,bและcแทนจ�านวนเต็มใดๆ แล้ว(a×b)×c=a×(b×c)
3) สมบัติการแจกแจงเป็นสมบัติที่เกี่ยวข้องระหว่างการบวกและการคูณเช่น 3 ×[4+(-6)] = (3×4)+[3×(-6)] =-6
[(-2)+8]×(-3) = [(-2)×(-3)]+[8×(-3)] =-18
ถ้าa,bและcแทนจ�านวนเต็มใดๆ แล้วa×(b+c)=(a×b)+(a×c)
และ(b+c)×a=(b×a)+(c×a)
จงหาผลบวกของ (-18) + 31 + (-34)
วิธีท�า (-18)+31+(-34) =(-18)+(-34)+31 (สมบัติการสลับที่ส�าหรับการบวก)
=[(-18)+(-34)]+31 (สมบัติการเปลี่ยนหมู่ส�าหรับการบวก)
=(-52)+31
=-21 ตอบ
จงหาผลคูณของ (-3) × (-5) × 4
วิธีท�า (-3) × (-5) × 4 =(-3) × [(-5) × 4] (สมบัติการเปลี่ยนหมู่ส�าหรับการคูณ)
=(-3) × (-20)
=60 ตอบ
ตัวอย่างที่ 14
ตัวอย่างที่ 15
จงหาผลบวกของ (-27) + 35 + (-42)
จงหาผลคูณของ (-7) × 5 × (-6)
ลองทําดู
ลองทําดู
จงหาผลคูณของ 123 × (-15)
วิธีท�า 123 × (-15) =123 × [(-10)+(-5)]
=[123×(-10)]+[123×(-5)] (สมบัติการแจกแจง)
=(-1,230)+(-615)
=-1,845 ตอบ
ตัวอย่างที่ 16
1. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 0+(-23)
5) 1×(-11)
2) (-9)-0
6) (-49)÷ 1
3) (-58)×0
7) 1×a3
4) 0÷(-36)
8) (a×b)÷ 1
2. จงเติมจ�านวนเต็มใดๆ ใน และ เพื่อท�าให้แต่ละประโยคต่อไปนี้เป็นจริง
1) +13=13+(-29)
2) (-5)× =7×(-5)
3) (6+2)+(-3)= +[2+(-3)]
4) ( ×7)×(-4)=8×[7×(-4)]
5) (-5)+ =(-2)+
6) (-4)×(32× )=( ×32)×(-7)
7) (8×11)+(8× )= ×[11+(-5)]
3. จงหาผลคูณในแต่ละข้อต่อไปนี้โดยใช้สมบัติของจ�านวนเต็ม
1) 18×74 2) 138×(-65) 3) 123×996
แบบฝึกทักษะ 1.6
จงหาผลคูณของ 213 × (-26)
ลองทําดู
ระดับ พื้นฐาน
ระดับ กลาง
30 31
1.7 การนําความรูเกี่ยวกับจํานวนเต็มไปใชในชีวิตจริง ในชีวิตประจ�าวันมีการน�าความรู้เกี่ยวกับจ�านวนเต็มและสมบัติของจ�านวนเต็มไปใช้ เช่น
การซือ้สิง่ของต่างๆ และการแสดงจ�านวนเงนิทีข่าดทนุจากการค้าขายโดยใช้จ�านวนเต็มลบเป็นต้น
ซึ่งนักเรียนจะได้ศึกษาจากตัวอย่างต่อไปนี้
รจนาซื้อดินสอ ไม้บรรทัด วงเวียน และปากกาเปนเงิน 12 บาท 27 บาท 28 บาท และ 13 บาท
ตามล�าดับ จงหาว่ารจนาซื้อสินค้าทั้งหมดกี่บาท
วิธีท�า รจนาซื้อสินค้าทั้งหมดเป็นเงิน12+27+28+13บาท
=12+28+27+13บาท (สมบัติการสลับที่ส�าหรับการบวก)
=(12+28)+(27+13)บาท
=40+40บาท
=80บาท
ดังนั้นรจนาซื้อสินค้าทั้งหมด80บาท ตอบ
พ่อค้าขายส้ม ฝรั่ง และเงาะได้ก�าไร 242 บาท 256 บาท และ 268 บาท ตามล�าดับ แต่การ
ขนส่งท�าให้มะม่วงบางส่วนเกิดรอยช�้า จึงต้องลดราคาท�าให้ขายมะม่วงขาดทุน 246 บาท
อยากทราบว่าพ่อค้าขายผลไม้ทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไรกี่บาท
วิธีท�า ให้จ�านวนเต็มบวกแสดงจ�านวนเงินที่แม่ค้าขายผลไม้ได้ก�าไรและจ�านวนเต็มลบ
แสดงจ�านวนเงินที่แม่ค้าขายผลไม้ขาดทุน
พ่อค้าขายผลไม้ทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไร242+256+268+(-246)บาท
=242+268+256-246บาท (สมบัติการสลับที่ส�าหรับการบวก)
=(242+268)+(256-246)บาท
=510+10บาท
=520บาท
ดังนั้นพ่อค้าขายผลไม้ทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไร520บาท ตอบ
มินตราซื้อเสื้อราคาขายส่งตัวละ 179 บาท จ�านวน 95 ตัว มินตราซื้อเสื้อทั้งหมดกี่บาท
วิธีท�า วิธีคิดราคาเสื้ออาจคิดได้หลายวิธีเช่น
วิธีที่ 1 มินตราซื้อเสื้อทั้งหมดเป็นเงิน95 × 179บาท
=179 × 95บาท (สมบัติการสลับที่ส�าหรับการคูณ)
=179 × (100-5)บาท
=(179 × 100)-(179 × 5)บาท (สมบัติการแจกแจง)
=17,900-895บาท
=17,005บาท
ดังนั้นมินตราซื้อเสื้อทั้งหมดเป็นเงิน17,005 บาท
วิธีที่ 2 มินตราซื้อเสื้อทั้งหมดเป็นเงิน95 × 179บาท
=179 × 95บาท (สมบัติการสลับที่ส�าหรับการคูณ)
=(180-1) × 95บาท
=(180 × 95)-(1 × 95)บาท (สมบัติการแจกแจง)
=17,100-95บาท
=17,005บาท
ดังนั้นมินตราซื้อเสื้อทั้งหมดเป็นเงิน17,005บาท ตอบ
ตัวอย่างที่ 17
ตัวอย่างที่ 18
ตัวอย่างที่ 19
สุชาติเลี้ยงไก่ เปด ห่าน และวัวจ�านวน 107 ตัว 85 ตัว 32 ตัว และ 23 ตัว ตามล�าดับ
จงหาว่าสุชาติเลี้ยงสัตวทั้งหมดกี่ตัว
แม่ค้าขายขนมทองหยิบ ทองหยอด และฝอยทองได้ก�าไร 525 บาท 417 บาท และ 415 บาท
ตามล�าดับ แต่ช่วงบ่ายฝนตกส่งผลให้ขายขนมถ้วยฟูขาดทุน 207 บาท อยากทราบว่าแม่ค้า
ขายขนมไทยทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไรกี่บาท
ลองทําดู
ลองทําดู
สินีขายสมุด 256 เล่ม ราคาเล่มละ 37 บาท สินีได้รับเงินทั้งหมดกี่บาท
ลองทําดู
32 33
ขวัญข้าวซื้อสมุดปกแข็ง ราคาโหลละ 157 บาท จ�านวน 95 โหล สมุดปกอ่อนราคาโหลละ
106 บาท จ�านวน 90 โหล ขวัญข้าวต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท
วิธีท�า คิดเงินจากสมุดปกแข็งและสมุดปกอ่อนจ�านวน90โหลก่อนและคิดเงินจาก
สมุดปกแข็งที่เหลืออีก5โหลแล้วน�าเงินมาบวกกัน
จะได้จ�านวนเงินเท่ากับ[(90× 157)+(90× 106)]+(5× 157)บาท
=[(157× 90)+(106× 90)]+(157× 5)บาท(สมบัติการสลับที่ส�าหรับการคูณ)
=[(157 + 106)× 90]+785บาท (สมบัติการแจกแจง)
=[263 × (9× 10)]+785บาท
=[(263 × 9)× 10]+785บาท (สมบตักิารเปลีย่นหมูส่�าหรบัการคณู)
= (2,367 × 10)+785บาท
=23,670+785 บาท
=24,455บาท
ดังนั้นขวัญข้าวต้องจ่ายเงินทั้งหมด24,455บาท ตอบ
ตัวอย่างที่ 20
วีณาซื้อปากกาน�้าเงินราคาโหลละ 192 บาท จ�านวน 68 โหล ดินสอราคาโหลละ 146 บาท จ�านวน 60 โหล วีณาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท
ลองทําดู
1. นักเรียนคิดว่า
1) ท�าไมจึงควรใช้สมบัติการสลับที่ เพื่อเปลี่ยนอันดับที่ของการบวกจ�านวนเต็ม
ต่อไปนี้ก่อนหาผลบวก(-75)+(-173)+(-20)
2) เพราะอะไรจึงสลับที่จ�านวนเต็มสองจ�านวนนั้น
2. ค่าสมับรูณ์ของผลรวมของจ�านวนเต็มสองจ�านวนทีแ่ตกต่างกนัและมีเคร่ืองหมาย
เหมือนกันเท่ากับ 8 ถ้าสินีบอกว่ามีจ�านวนเต็มสามคู่ที่ตรงกับค�าอธิบายดังกล่าว นักเรียน
เห็นด้วยหรือไม่เพราะเหตุใด
คาํถามท้าทายการคดิขัน้สงู
แบบฝึกทักษะ 1.7ระดับ พื้นฐาน
ระดับ กลาง
1. แม่ค้าร้านอาหารแห่งหนึ่งซ้ือกุ้ง ปลา ปู และเนื้อไก่อย่างละ 25 กิโลกรัม 86 กิโลกรัม
18กโิลกรมัและ94กโิลกรมัตามล�าดบัอยากทราบว่าแม่ค้าซือ้อาหารสดทัง้หมดกีก่โิลกรมั
2. พ่อมีไม้4ท่อนท่อนแรกยาว229เซนติเมตรท่อนที่สองยาว134เซนติเมตรท่อนที่สาม
ยาว221เซนติเมตรและท่อนที่สี่ยาว178เซนติเมตรถ้าพ่อน�าไม้ทั้งสี่ท่อนมาวางต่อกัน
จะมีความยาวทั้งหมดกี่เซนติเมตร
3. นิธิศขายจาน ชาม และแก้วเซรามิคได้ก�าไร 1,567 บาท 1,482 บาท และ 973 บาท
ตามล�าดับ แต่นิธิศท�าถ้วยเซรามิคแตกเสียหายบางส่วน ท�าให้ขายถ้วยเซรามิคขาดทุน
642บาทอยากทราบว่านิธิศขายสินค้าเซรามิคทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไรกี่บาท
4. สมปองขายแก้วน�้า368ใบราคาใบละ45บาทสมปองได้รับเงินทั้งหมดกี่บาท
5. ธิดาซื้อเสื้อตัวละ89บาทจ�านวน4ตัวและกระโปรงตัวละ90บาทจ�านวน3ตัว
ธิดาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท
6. ปกปองต้องการซื้อเสื้อตัวละ198บาทจ�านวน5ตัวและกางเกงตัวละ280บาทจ�านวน
3ตัวปกปองซื้อของทั้งหมดกี่บาท
7. รสิาซือ้เงาะราคากโิลกรมัละ45บาทจ�านวน5กโิลกรมัและซือ้ส้มราคากโิลกรมัละ65บาท
จ�านวน5กิโลกรัมริสาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท
8. หน่อยซื้อกระเปาราคา268บาทจ�านวน8ใบและถุงเท้าราคาคู่ละ32บาทจ�านวน8คู่
หน่อยต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท
9. แม่คา้ซื้อนมรสหวานมา7ลังในหนึง่ลังมี48กลอ่งถ้าแมค่้าน�านมรสหวานมาขายกล่องละ
12บาทแม่ค้าจะได้รับเงินกี่บาทเมื่อขายนมรสหวานหมด7ลัง
10. วนิดามีพวงกุญแจตุกตาอยู่ 563 ชิ้น ขายไปแล้วยังเหลือพวงกุญแจตุกตาอีก 345 ชิ้น
ถ้าวนิดาขายพวงกุญแจตุกตาชิ้นละ85บาทวนิดาจะได้รับเงินกี่บาท
11. พ่อค้ามีข้าวสาร470กิโลกรัมแบ่งบรรจุใส่ถุงถุงละ5กิโลกรัมถ้าพ่อค้าขายข้าวสารถุงละ
239บาทพ่อค้าจะได้รับเงินทั้งหมดกี่บาท
34 35
ในชวิีตจรงิเราได้น�าความรูเ้กีย่วกบัจ�านวนเตม็และสมบตัขิองจ�านวนเตม็มาใช้ในสถานการณ์
ต่างๆ เช่น
คณิตศาสตรใ์นชีวิตจริง
สถานการณที่ 1 วายฝุากเงนิทีธ่นาคารพาณชิย์แห่งหนึง่ทกุเดอืนเดอืนละ1,355บาทจ�านวน
12เดือนซึ่งได้ดอกเบี้ยร้อยละ0.5ต่อป1ถ้าในวันที่1ของเดือนที่13วายุถอนเงินออกมาจาก
บัญชีธนาคารจ�านวน12,500บาทอยากทราบว่าวายุเหลือเงินในบัญชีธนาคารกี่บาท
สถานการณที่ 2 ร้านขายรองเท้าแห่งหนึ่งแม่ค้าติดราคาขายรองเท้าไว้คู่ละ399บาทถ้าซื้อ
2คู่แม่ค้าลดราคาให้25บาทดาวิกาต้องการซื้อรองเท้า5คู่เพื่อน�าไปฝากเพื่อน3คนคนละ
1คู่และอีก2คู่ส�าหรับตนเองอยากทราบว่าดาวิกาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท
สรุปแนวคิดหลัก
เส้นจ�านวน
-3 -2 -1 0 1 2 3
บนเส้นจ�านวนจ�านวนเต็มที่อยู่ทางขวาจะมีค่ามากกว่าจ�านวนเต็มที่อยู่ทางซ้ายเสมอ
จ�านวนตรงข้ามและค่าสัมบูรณ เมื่อaเป็นจ�านวนเต็มใดๆ
•เขียนแทนจ�านวนตรงข้ามของaด้วยสัญลักษณ์-aเช่น
จ�านวนตรงข้ามของ3เขียนแทนด้วย-3
จ�านวนตรงข้ามของ-3เขียนแทนด้วย-(-3)
•เขียนแทนค่าสัมบูรณ์ของaด้วยสัญลักษณ์∙a∙เช่น
ค่าสัมบูรณ์ของ3เขียนแทนด้วย∙3∙
ค่าสัมบูรณ์ของ-3เขียนแทนด้วย∙-3∙
การบวกและการลบจ�านวนเต็ม
1) การบวกจ�านวนเต็ม
ก�าหนดให้aและbแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ จะได้ว่า
a+b = a+b
(-a)+(-b) = -(a+b)
a+(-b) = a-b เมื่อa≥b
a+(-b) = -(b-a) เมื่อb>a
(-a)+b = -(a-b) เมื่อa≥b
(-a)+b = b-a เมื่อb>a
จ�านวนเต็ม
ศูนย์0
จ�านวนเต็มบวก1,2,3,…
จ�านวนเต็มลบ-1,-2,-3,…
1 อัตราดอกเบี้ยเงินฝากส�าหรับบุคคลธรรมดาของธนาคารพาณิชย.สืบค้นเมื่อ17ตุลาคม2560,จากhttp://www.bot.or.th/thai/statistics/_layouts/application/interest_rate/in_rate.aspx
36 37
2) การลบจ�านวนเต็ม
ก�าหนดให้aและbแทนจ�านวนเต็มใดๆ
a-b=a+จ�านวนตรงข้ามของbนั่นคือa-b=a+(-b)
การคูณและการหารจ�านวนเต็ม ก�าหนดให้aและbแทนจ�านวนเต็มบวกใดๆ
1) การคูณจ�านวนเต็ม
a×b = a×b
a×(-b) = -(a×b)
(-a)×b = -(a×b)
(-a)×(-b) = a×b
2) การหารจ�านวนเต็ม
a÷b = a÷b
(-a)÷(-b) = a÷b
(-a)÷b = -(a÷b)
a÷(-b) = -(a÷b)
สมบัติของจ�านวนเต็ม ก�าหนดให้a,bและcแทนจ�านวนเต็มใดๆ
1) สมบัติของศูนย
a+0 = 0+a=a
a×0 = 0×a=0
2) สมบัติของหนึ่ง
a×1 = 1×a=a
a÷1 = a
3) สมบัติการสลับที่
a+b = b+a
และa×b=b×a
4) สมบัติการเปลี่ยนหมู่
(a+b)+c = a+(b+c)
(a×b)×c = a×(b×c)
5) สมบัติการแจกแจง
a×(b+c) = (a×b)+(a×c)
และ(b+c)×a = (b×a)+(c×a)
แบบฝึกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 1
1. จงเขียนจ�านวน3จ�านวนต่อจาก-20โดยเพิ่มขึ้นทีละ4
2. จงเติมเครื่องหมาย<หรือ>ในช่องว่างที่ก�าหนดให้เพื่อท�าให้ประโยคต่อไปนี้เป็นจริง
1) -7 -2
3) -1,243 -1,234
2) -11 -14
4) -24,872 -24,882
3. จงเติมจ�านวนใดๆ ใน และ เพื่อท�าให้ประโยคต่อไปนี้เป็นจริง
1) (-3)+ =(-4)+(-3)
2) (-2)×(-3) = ×(-2)
3) (-3)+[ +(-4)] =[(-3)+5]+(-4)
4) ×(3+4) =[(-7)×3]+[(-7)× ]
5) ×13 =[(-2)×8]+[(-2)×2]+( × 3)
4. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) [(-5)-(-7)]×(-1)
3) [-∙-8∙+∙-5∙]-(-2)
2) [-(-12)-8]÷(-4)
4) [-∙(-3)-(-6)∙ ×(-8)]×[-∙(-4)-(-1)∙]
5. จงหาผลลบของ-[56-(-23)]-(-12)
6. จงหาผลลัพธ์ของ(-45)-(-53)+(-73)
7. จงหาผลลัพธ์ของ∙(-35)+(-49)∙-[27-12[(-6)+9]]
8. จงหาผลลัพธ์ของ[-∙24-32∙-∙19+(-36)∙]÷[-(6-14)]
9. จงหาผลลัพธ์ของ (-12)-[(-13)-(-15)](-12)×(-13)×(-15)-(-12)
10. สินีขายผักบุ้งจีนฟกเขียวและมะระจีนได้ก�าไร542บาท345บาทและ568บาท
ตามล�าดบัแต่มมีะเขอืเทศสดีาบางส่วนเน่าเสยีจงึท�าให้ขายมะเขอืเทศสดีาขาดทนุ125บาท
อยากทราบว่าสินีขายผักทั้งสี่ชนิดนี้ได้ก�าไรกี่บาท
11. กุลธิดาซื้อหนังสือเล่มละ82บาทจ�านวน8เล่มและกรอบรูปอันละ139บาท
จ�านวน8อันกุลธิดาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท
12. ลินดาขายตุกตาหมีราคาตัวละ785บาทจ�านวน15ตัวลินดาจะได้รับเงินกี่บาท
38 39
Recommended