[sb] คณิตฯ พื้นฐาน ม4 N1 002-045academic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1520485563_example.pdf · กลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์

แผนการเรยน

ไมเนนวทยาศาสตรแผนการเรยน

ไมเนนวทยาศาสตร

ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวดกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

คณตศำสตร ม.4

ผเรยบเรยง

Dr. Yeap Ban Har Asst. Prof. Dr. Choy Ban Heng Dr. Joseph Yeo Boon WooiMr. Teh Keng Seng นำยไอศรย สดประเสรฐ

ผตรวจ

นำงจนดำ อยเปนสขนำยรณชย มำเจรญทรพยนำงสำวบรนำถ เฉยฉน

บรรณำธกำร

นำงสำวจนทรเพญ ชมคช

4ชนมธยมศกษาปท

สงวนลขสทธตามพระราชบญญตปทพมพ 2561

พมพครงท 1 จานวนพมพ 10,000 เลมISBN : 978-616-203-763-4รหสสนคา 3416003

ค�ำแนะน�ำในกำรใชสอ

องคประกอบตาง ๆ ในแตละหนวย

Class Discussion

ค�ำถำมอภปรำยในชนเรยน เพอกระตนใหผเรยนไดควำมรใหม และฝกทกษะกระบวนกำรทำงคณตศำสตร กำรใหเหตผลและกำรสอสำร

Investigation

กจกรรมเพอใหผเรยนไดคนหำ concept ทส�ำคญทำงคณตศำสตร

Performance Task

“Mini project” เพอใหผเรยน ไดฝกทกษะในศตวรรษท 21

Journal Writing

ค�ำถำมใหผเรยนไดสะทอน ควำมรทไดเรยนมำ เพอใชประเมนตนเองเบองตน

QR Code

รองรบกำรเรยนรผำนสอดจทอล

เซตทกเซตเปนสบเซต

ของตวเองนนคอถา

Aเปนเซตใดๆ แลว

A ⊂ A

เนองจากสมาชกทกต

วของเซตCเปนสม

าชกของเซตEและ

C=EดงนนเซตC

เปน

สบเซตของเซตEแ

ตเซตCไมเปนสบ

เซตแทของเซตEซ

งสามารถเขยนแผนภ

าพแสดงเซต

CและเซตEไดดงร

ป

ใหนกเรยนจบคแลวช

วยกนตอบค�าถามตอ

ไปน

- จากแผนภาพเซตA

เปนสบเซตของเซต

Bหรอไม

และเซตBเปนสบเซ

ตของเซตAหรอไม

Class Discussion

จากค�าถามในกจกรร

มClassDiscussion

จะเหนวามสมาชก

ของเซตAคอx,yแ

ละz

ไมเปนสมาชกของเซ

ตBดงนนเซตAไม

เปนสบเซตของเซตB

CD

𝒰𝒰

9687

CE

6

8

7

𝒰𝒰

AB

x p

yrzq

𝒰𝒰

ก�ำหนด A และ B เปนเซต กลำววำ

เซต A เปนสบเซตแทของเซต B กตอเมอ A ⊂ B

และ A ≠ B


เซต A ไมเปนสบเซตของเซต B กตอเมอ มสมำชก

อยำงนอยหนงตวของเซต A ทไมเปนสมำชกของเซต B เขยนแทนดวย A ⊄ B


A ⊂ B และ B ⊂ A กตอเมอ A = B

บทนยาม

บทนยาม

บทนยาม

เซต 13

ก�าหนดp,qและr

เปนประพจนใหนก

เรยนเลอกวธเพอแสด

งการตรวจสอบวารป

แบบของ

ประพจนทก�าหนดให

ในแตละขอตอไปนเ

ปนสจนสนดรหรอไม

เปนสจนรนดร โดย

ใชวธหาขอขดแยง

หรอการสมมลกนของ

รปแบบของประพจน

พรอมระบเหตผลทเล

อกวธนนๆ

1. (p∧q)→(p→q) 2. (p→∼q)∨(q→

∼r)3. [(p→r)∧(q→r)]↔[(p∨q)→

r]Journal Writing

แบบฝกทกษะ 2.6

ระดบพนฐาน

ระดบกลาง

ระดบทาทาย

1. ใหตรวจสอบวำรปแบบ

ของประพจนทก�ำหนด

ใหเปนสจนรนดรหรอไ

ม โดยกำรสรำงตำรำ

ง

คำควำมจรง

1) p∨∼p 2) p∧∼

p 3) [∼p∧(p∨q)]→

q 4) (p∨∼p)→q

5) [(p∧q)→r]↔[(p→r)∨(q→r)]

6) [p∧(q∨r)]↔[(p∧q)∨

(p∧r)]

2. ใหตรวจสอบวำรปแบ

บของประพจนทก�ำหน

ดใหเปนสจนรนดรหร

อไม

1) [(p→q)∧q]→

p2) [(p→

q)∧∼q]→∼p

3) [p→(q∨r)]→[(p→q)∨r]

4) [(p∧q)→r]→[p→(q→r)]

5) (p↔q)∨(q↔p)

6) (∼p→∼q)∨(p↔

q)

7) ∼(p→q)↔(q∧∼p)8) ∼(p∨∼q

)↔(p∧q)

9) ∼(p∨q)↔(∼p→q)

10) ∼(p↔q)↔(∼p↔q)

3. ก�ำหนดpและqเป

นประพจน“∇”

และ“∗”เปนตวเ

ชอมประพจนทมคำค

วำมจรง

ดงตำรำงตอไปน

ใหพจำรณำวำรปแบบ

ของประพจน(q∗p

)∇pเปนสจนรนดร

หรอไม

pq

p∇qp∗q

TT

FF

TF

TT

FT

TT

FF

FT

ตรรกศาสตร

เบองตน79

จากหวขอท 1.1 นกเรยนทราบมาแลววา ถาเซต A เปนเซตจ�ากดใด ๆ จ�านวนสมาชกของ

เซต A เขยนแทนดวยสญลกษณ n(A) และในหวขอน นกเรยนจะไดศกษาเกยวกบจ�านวนสมาชก

ของเซตจ�ากด

1.4 จ�านวนสมาชกของเซตจ�ากด

จาก Investigation นกเรยนสามารถหาสมการความสมพนธของ n(A), n(B), n(A ∪ B) และ n(A ∩ B) โดยใชแผนภาพ ไดดงน ก�าหนด A และ B เปนเซตจ�ากด เมอ A ∩ B ≠ ∅

จากแผนภาพ จะไดวา

n(A - B) + n(A ∩ B) = n(A) ดงนน n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) ......➊ n(B - A) + n(A ∩ B) = n(B) ดงนน n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B) ......➋

Investigation ใหนกเรยนตอบค�าถามตอไปน

1. จากแผนภาพ ใหหา

1) n(A) 2) n(B) 3) n(A ∪ B) 4) n(A ∩ B)

2. ใหหาสมการแสดงความสมพนธของ n(A), n(B), n(A ∪ B) และ n(A ∩ B)

𝒰𝒰A

r

s

p

q

tu y

B

𝒰𝒰A B

A - B B - AA ∩ B

เซต 33

ใหเขยนประพจนตอไปนใหอยในรปสญลกษณ พรอมทงหาคาความจรงของประพจน

1) 2 เปนจานวนค และ 3 เปนจานวนเฉพาะ

2) 2 + 3 = 4 และ π เปนจานวนอตรรกยะ

วธทา 1) กาหนด p แทน 2 เปนจานวนค ซงมคาความจรงเปนจรง

และ q แทน 3 เปนจานวนเฉพาะ ซงมคาความจรงเปนจรง

ดงนน เขยนประพจน “2 เปนจานวนค และ 3 เปนจานวนเฉพาะ” ใหอยในรป

สญลกษณไดเปน p ∧ q ซงมคาความจรงเปนจรง

2) กาหนด r แทน 2 + 3 = 4 ซงมคาความจรงเปนเทจ

และ s แทน π เปนจานวนอตรรกยะ ซงมคาความจรงเปนจรง

ดงนน เขยนประพจน “2 + 3 = 4 และ π เปนจานวนอตรรกยะ” ใหอยในรป

สญลกษณไดเปน r ∧ s ซงมคาความจรงเปนเทจ

ตวอยางท 2

จาก Class Discussion จะไดวา ประพจนยอย n ประพจน จะไดคาความจรงทเปนไปได

ทงหมดของรปแบบของประพจน คอ 2n กรณ

1. การเชอมประพจนดวยตวเชอม “และ”

กาหนด p และ q เปนประพจน

ประพจน “p และ q” เขยนแทนดวย p ∧ q โดย

1) p ∧ q มคาความจรงเปนจรง เมอคาความจรงของ p และ q เปนจรงทงค

2) p ∧ q มคาความจรงเปนเทจ เมอคาความจรงของ p หรอ q ตวใดตวหนงเปนเทจ

หรอเปนเทจทงค

คาความจรงของ p ∧ q แสดงไดดงตาราง

p ∧ q จะมคาความจรงเปนจรงเพยงกรณเดยวเทานน คอ เมอ p และ q เปนจรงทงค ซงหมายความวา ถามประพจนใดประพจนหนงเปนเทจ รปแบบของประพจน p ∧ q จะเปนเทจ

ATTENTION

p q p ∧ q

T T T

T F F

F T F

F F F

การเชอมประพจนดวยตวเชอม “และ” โดยการนาเสนอดวยแผนภาพเวนน ตรรกศาสตร

เบองตน 53

จากการส�ารวจงานอดเรกของเยาวชนจ�านวน 90 คน พบวา 43 คน ชอบเลนดนตร 42 คน

ชอบอานหนงสอ 48 คน ชอบเลนกฬา 16 คน ชอบเลนดนตรและอานหนงสอ 17 คน

ชอบอานหนงสอและเลนกฬา และ 22 คน ชอบเลนกฬาและดนตร ถาใหเยาวชนแตละคน

มงานอดเรกอยางนอยหนงกจกรรม ใหหาจ�านวนเยาวชนทม

งานอดเรกทงสามกจกรรม

ลองทาด

ฝกทาตอแบบฝกทกษะ 1.4 ขอ 5,7-10

จากสตร n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C)- n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

จะได n(A ∪ B ∪ C) = 40 + 50 + 30 - 15 - 10 - 20 + 7

n(A ∪ B ∪ C) = 82 ดงนน จ�านวนอาสาสมครทชอบน�าหอมอยางนอยหนงกลนเทากบ 82% และจ�านวน

อาสาสมครทไมชอบน�าหอมทงสามกลนนเทากบ 100 - 82 = 18%

Performance Taskใหนกเรยนส�ารวจเพอนรวมชนของนกเรยนวาเดนทางมาโรงเรยนอยางไร น�าเสนอผลการส�ารวจ

โดยใชแผนภาพ และตอบค�าถามตอไปน A = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงรถโดยสารประจ�าทางมาโรงเรยน }

B = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงรถไฟฟามาโรงเรยน }

C = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงรถรบ-สงมาโรงเรยน }

D = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงแทกซมาโรงเรยน }

E = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงรถยนตมาโรงเรยน }

F = { x | x เปนเพอนนกเรยนทเดนมาโรงเรยน }

G = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงเฮลคอปเตอรมาโรงเรยน }

H = { x | x เปนเพอนนกเรยนทมาโรงเรยนดวยวธอน ๆ นอกเหนอจากทกลาวมา }

1. นกเรยนคดวา การส�ารวจในกจกรรมนมเซตใดเปนเอกภพสมพทธ

2. จากการส�ารวจมเซตวางหรอไม ถาม นกเรยนจะเขยนเซตวางลงบนแผนภาพหรอไม

เพราะเหตใด3. แมวานกเรยนทกคนจะเดนทางดวยวธทตางกน แตทกคนตองเดนเขามายงโรงเรยน นกเรยน

จะรวมสวนททกคนเดนเทาไวในการส�ารวจหรอไม เพราะเหตใด

4. มเซตททบซอนกนหรอไม ถาม นกเรยนจะแสดงเซตเหลานในแผนภาพอยางไร

5. นกเรยนจะนบตนเองลงในการส�ารวจนหรอไม เพราะเหตใด

เซต 39

X ∪ Y′ คอ เซตของสมาชกทงหมดทอยในเซต X หรอ Y′ดงนน ใหแรเงาพนททงหมดทมเครองหมายถกอยางนอย 1 เครองหมาย

PROBLEM SOLVING TIP

ในตวอยางน แบงแผนภาพออกเปน 4 สวน

PROBLEM SOLVING TIP

X

✔ ✔

Y 𝒰𝒰

XY 𝒰𝒰

𝒰𝒰

✔

XY

✔ ✔

✔

𝒰𝒰X

Y

X ∩ Y′ คอ เซตของสมาชกทงหมดทพบทงในเซต X และ Y′

PROBLEM SOLVING TIP

ใหแรเงาแผนภาพทก�าหนด เพอแสดงเซตตอไปน

1) X ∪ Y′ 2) X ∩ Y′

3) (X ∩ Y)′

วธท�า 1) ขนท 1 : ใสเครองหมายถกลงบนสวนทแสดงพนททงสองของเซต X

ขนท 2 : ใสเครองหมายถกลงบนสวนทแสดงพนททงสองของ Y′

ขนท 3 : เนองจาก X ∪ Y′ ใหแรเงาพนททงหมดท

มเครองหมายถกอยางนอย 1 เครองหมาย

2) เนองจาก X ∩ Y′ ใหแรเงาพนททงหมดทม

เครองหมายถก 2 เครองหมาย


𝒰𝒰X

Y

28

PROBLEM SOLVING TIP

ชแนะวธกำรแกโจทยปญหำและเทคนคตำง ๆ ทำงคณตศำสตร

หนำเปดหนวยกำรเรยนร

เนนเชอมโยงควำมรทำงคณตศำสตรไปใชในชวตจรง

1

นกเรยนสามารถจ�าแน

กประเภทของสตวตาง

ๆ

ไดหลายวธ โดยวธหน

งคอ การจ�าแนกประ

เภท

ของสตวตามทอย อ

าศย เชน สตวทอ

าศย

อยบนบก สตวทอา

ศยอยในน�า หรอสต

วท

อาศยอย ไดทงบนบ

กและในน�า แผนภ

าพท

แสดงนเรยกวา แผนภ

าพเวนน (Venn Diagr

am)

ซงใชแสดงการจ�าแนก

ประเภทของสตวโดยก

าร

จดกลมสตวตาง ๆ ต

ามทอาศยอย

เซต

หนวยการเรยนรท

ตวชวด• เขาใจแล

ะใชความรเกยวกบเซ

ตและตรรกศาสตรเบ

องตนใน

การสอสารและสอคว

ามหมายทางคณตศา

สตร (ค 1.1 ม.4/1)

สาระการเรยนรแกนก

ลาง

•ความรเบองตนและ

สญลกษณพนฐานเก

ยวกบเซต

•ยเนยน อนเตอรเซก

ซน และคอมพลเมน

ตของเซต

สตวทอาศยอยบนบก

สตวทอาศยอยในน�า

สตวทอาศยอยไดทงบนบ

ก

และในน�า

Thinking Time

ค�ำถำมกระตนใหผเรยนไดคดตอยอดจำกเนอหำทเรยน

4. เซตวาง(EmptySet) พจารณาเซตตอไปน A = { 0, 1, 2 }, B = { 0 } และ C = { } เซต A มจ�านวนสมาชก 3 ตว คอ 0, 1 และ 2 เซต B มจ�านวนสมาชก 1 ตว คอ 0 เซต C ไมมสมาชกอยในเซตเลย เรยก C วา เซตวาง เขยนแทนดวยสญลกษณ { } หรอ ∅

(∅ เปนตวอกษรกรก ตรงกบค�าภาษาองกฤษวา phi (ฟ))

นนคอ C = ∅

INFORMATIONเซต {∅} ไมใชเซตวาง แตเปนเซตทประกอบดวยสมาชก 1 ตว คอ ∅

เซตวางเปนเซตจ�ากด

ATTENTION

ก�าหนด A เปนเซตของตวอกษรทเปนสระในภาษาองกฤษซงอยในค�าวา “RHYTHM”

และ B = {H} 1) ใหเขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหตรวจสอบวา เซต A และเซต B เปนเซตทเทากนหรอไม เพราะเหตใด

วธท�า 1) A = { } 2) เซต A และเซต B เปนเซตทไมเทากน เพราะเซต A เปนเซตวางซงไมมสมาชก

อยในเซตเลย ในขณะทเซต B มสมาชกหนงตว คอ H


ก�าหนด P = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทมคานอยกวา 1 }

และ Q = { 0 }1) ใหเขยนเซต P แบบแจกแจงสมาชก2) ใหตรวจสอบวา เซต P และเซต Q เปนเซตทเทากนหรอไม

เพราะเหตใด

ลองทาด

ฝกทาตอแบบฝกทกษะ 1.1 ขอ 4, 8, 9, 12

ลองทาด

ถา n(A) = n(B) แลว A = B หรอไม หากไมจงยกตวอยางประกอบ

Thinking Time

เซตวำง คอ เซตทไมมสมำชกอยเลย

บทนยาม

8

ลองท�ำด

ค�ำถำมทคลำยตวอยำง เพอเนนใหผเรยนไดฝกท�ำจนเกดควำมช�ำนำญ

INFORMATION

ขอมลทนำสนใจ หรอขอสงเกต ทไดจำกเนอหำ

ATTENTION

ขอมลทส�ำคญทผเรยนควรร

เพมเตม

ฝกท�ำตอ

ระบขอค�ำถำมในแบบฝกทกษะ ทคลำยกบตวอยำง เพอใหผเรยนสะดวกในกำรคนหำ

ตวชวด

ตวชวดทสอดคลองกบเนอหำในหนวยกำรเรยนร

สำระกำรเรยนรแกนกลำง

ขอบขำยเนอหำในหนวยกำรเรยนร

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 จดท�ำขน

ส�ำหรบใชประกอบกำรเรยนกำรสอนชนมธยมศกษำปท 4 โดยด�ำเนนกำรจดท�ำใหสอดคลองตำมมำตรฐำน

กำรเรยนร ตวชวดและสำระกำรเรยนรแกนกลำง กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ.

2560) ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551 ทกประกำร สงเสรมทกษะท

จ�ำเปนส�ำหรบกำรเรยนรในศตวรรษท 21 ทงทกษะดำนกำรคดวเครำะห กำรคดอยำงมวจำรณญำณ

กำรแกปญหำ กำรคดสรำงสรรค กำรใชเทคโนโลย กำรสอสำร และกำรรวมมอ เพอใหผเรยนรเทำทน

กำรเปลยนแปลงของระบบเศรษฐกจ สงคม วฒนธรรม และสภำพแวดลอม สำมำรถแขงขนและอยรวม

กบประชำคมโลกได

กำรเรยบเรยงหนงสอเลมน เปนควำมรวมมอระหวำง บรษท อกษรเจรญทศน อจท. จ�ำกด กบ

Shing Lee Publishers Pte Ltd. ประเทศสงคโปร ซงภำยในเลมนมองคประกอบตำง ๆ ในแตละหนวย

ดงน

แบบฝกทกษะ

ทบทวนควำมร ควำมเขำใจและ

พฒนำทกษะของผเรยน โดยแบง

ระดบควำมยำกงำย ส�ำหรบน�ำไป

ปรบใชใหเหมำะสมกบระดบ

กำรเรยนรของผเรยน

สรปแนวคดหลก

สรปเนอหำโดยรวมของหนวย

กำรเรยนร เพอทบทวนควำมร

ใหแกผเรยน

Math in Real Life

เชอมโยงเนอหำคณตศำสตรไปใช

ในกำรแกปญหำในชวตจรง

แบบฝกทกษะประจ�ำหนวยกำรเรยนร

เพอวดควำมรควำมเขำใจของ

ผเรยนตำมเนอหำประจ�ำหนวย

กำรเรยนร


1. ใหเขยนเซตตอไปนแ

บบแจกแจงสมาชก

1) A = { x | x เปนจ�า

นวนเตมบวกตงแต

1 ถง 10 }

2) B = { x | x เปนจ�า

นวนเตมลบตงแต -1

0 ถง -1 }

3) C = { x | x เปนจ�า

นวนค และ -2 < x ≤

12 }

4) D เปนเซตของตว

อกษรทเปนสระในภา

ษาองกฤษซงอยในค

�าวา “HAPPY”

2. ใหหาจ�านวนสมาชกข

องแตละเซตตอไปน

1) A = { 1, 2, 3, 4

, 5, ..., 26 }

2) B = { 7, 9, 11,

13, 15, ..., 37 }

3) C เปนเซตของจ�า

นวนก�าลงสองสมบร

ณทอยระหวาง 10 ก

บ 90

3. ก�าหนด A เปนเซตข

องจ�านวนคทนอยกว

า 11

1) ใหเขยนเซต A แ


2) ใหบอกจ�านวนส

มาชกของเซต A

3) ใหพจารณาวา เ

ซต A เปนเซตจ�ากดห

รอไม


บบแจกแจงสมาชก แ

ละตรวจสอบวาเซตนน

เปนเซตวางหรอไม

1) E เปนเซตของจ�า

นวนคทหารดวย 2 ล

งตว

2) F = { x | x เปนชอ

เดอนทลงทายดวยค

�าวา “ยน” }

3) G เปนเซตของรป

สเหลยมทมจดยอด

5 จด

4) H = { x | x เปนจ�า

นวนเฉพาะทเปนจ�าน

วนค }




1) I เปนเซตของตว

อกษรทเปนพยญชน

ะในภาษาองกฤษซงอ

ยในค�าวา “SYMMET

RY”

2) J = { x | x เปนสข

องสายรง }

3) K = { x | x เปนชอ

จงหวดในประเทศไทย

ทขนตนดวยพยญชน

ะ “ก” }

4) L = { x | x เปนเซ

ตของจ�านวนเฉพาะท

มากกวา 2 แตนอยก

วา 50 }


เซต 9

6. ใหเขยนเซต N แบบแ

จกแจงสมาชก เมอ

N = { x | x เปนจ�านวน

ก�าลงสามสมบรณระหวาง

2 ถง 200 }

7. ก�าหนด P เปนเซตข

องจ�านวนก�าลงสองส

มบรณทมคามากกวา 1 แล

ะนอยกวา 50

1) ใหหาวา 10∊P หรอไม

2) ใหเขยนเซต P แ


8. ก�าหนด Q = { x | x เป

นจ�านวนก�าลงสองสม

บรณระหวาง 10 กบ 15 }

และ R = { x | x เปนจ�านวน

เตมบวกทนอยกวา 5

ทเปนจ�านวนก�าลงส

องสมบรณและ

จ�านวนก�าลงสามสม

บรณ }

1) ใหเขยนเซต Q แ

ละเซต R แบบแจกแ

จงสมาชก

2) ใหพจารณาวา Q

และ R เปนเซตวาง

หรอไม

9. ก�าหนด S = { x∊I | 1 ≤ x ≤ 10} แล

ะ T = {x∊R | 1 ≤ x ≤ 10 } ให

ตรวจสอบวา

S และ T เปนเซตทเ

ทากนหรอไม เพราะ

เหตใด

10. ใหเขยนเซตตอ

ไปนแบบแจกแจงสม

าชกและตรวจสอบว

าเซตใดเปนเซตจ�าก

ด และเซตใด

เปนเซตอนนต

1) S = { x | x เปนพ

หคณของ 7 และ 11

}

2) T = { x∊R | x

2 - 6x - 8 = 0 }

3) U = { x∊R | x

2 = -1 }

11. ใหตรวจสอบวาข

อความตอไปนเปนจร

งหรอเปนเทจ ถาเปน

เทจ จงอธบายเหตผล

1) c∉{ c, a, r }

2) car∊{ c, a, r }

3) { c }∊{ c, a, r }

12. ใหตรวจสอบวาข

อความตอไปนเปนจร

งหรอเทจ ถาเปนเทจ

จงอธบายเหตผล

1) { 0 } = ∅

2) ∅ = { }

3) { ∅ } เปนเซตวาง

4) n(∅)

= 0


10

เซต


A B �

1. เซต เปนการอธบายการรวมกนของสงตางๆ ซงสามารถระบไดวาสงใดอยหรอไมอยในเซต

นนอยางชดเจน (well-defined) และเรยกสงทอยในเซตวา สมาชก (element)

2. โดยทวไปมวธเขยนเซตได 2 แบบ คอ 1) การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก เชน A = { 2, 4, 6, 8 }

2) การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชก เชน

A = { x | x เปนจานวนคบวกทนอยกวา 10 } 3. เซตจากด เปนเซตทมจานวนสมาชกเทากบศนย หรอเทากบจานวนเตมบวกใด ๆ

4. เซตอนนต เปนเซตทมจานวนสมาชกมากมายนบไมถวน ซงไมสามารถบอกจานวนสมาชก

ของเซตได 5. เซต A เทากบเซต B หมายถง สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B และสมาชก

ทกตวของเซต B เปนสมาชกของเซต A นนคอ A = B กตอเมอ A ⊂ B และ B ⊂ A

6. เซตวาง เปนเซตทไมมสมาชกอยเลย เขยนแทนดวยสญลกษณ { } หรอ ∅

7. เอกภพสมพทธ คอ เซตทกาหนดขอบขายในการพจารณาสมาชกของเซตทกลาวถง

เขยนแทนดวยสญลกษณ � 8. การเขยนแผนภาพเวนนแทนเซตจะชวยใหเขาใจความสมพนธระหวางเซตตาง ๆ ไดงาย

และชดเจนมากขน 9. เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B

เขยนแทนดวย A ⊂ B 10. เซต A เปนสบเซตแทของเซต B กตอเมอ A ⊂ B และ A ≠ B

42

AB

𝒰𝒰

AB

𝒰𝒰

A 𝒰𝒰

AB

𝒰𝒰

11. ถาเซต A มสมาชกเทากบ n ตว แลวจ�านวนสบเซตทงหมดของ A เทากบ 2n เซต

12. เพาเวอรเซตของเซต A คอ เซตของสบเซตทงหมดของ A เขยนแทนดวย P(A) และถาเซต A

มสมาชกเทากบ n ตว แลวจ�านวนสมาชกของ P(A) เทากบ 2n ตว นนคอ n(P(A)) = 2n

13. ถา A และ B เปนสบเซตของเอกภพสมพทธแลว จะไดวา

1) อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอ เซตของ

สมาชกทซ�ากนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย

A ∩ B นนคอ A ∩ B = { x | x∊A และ x∊B } 2) ยเนยนของเซต A และเซต B คอ เซตของสมาชกท

อยในเซต A หรอเซต B เขยนแทนดวย A ∪ B นนคอ A ∪ B = { x | x∊A หรอ x∊B หรอ x เปนสมาชกของทงสองเซต }

3) คอมพลเมนตของเซต A คอ เซตของทกสมาชก

ในเซต 𝒰𝒰 แตไมอยในเซต A เขยนแทนดวย A′ นนคอ

A′ = { x | x∊𝒰𝒰 และ x∉A } 4) ผลตางระหวางเซต A และเซต B หรอคอมพลเมนต

ของเซต B เทยบกบเซต A คอ เซตทมสมาชกอยใน

เซต A แตไมอยในเซต B เขยนแทนดวย A - B นนคอ

A - B = { x | x∊A และ x∉B } 14. ถา A และ B เปนเซตจ�ากดใด ๆ แลว จะไดวา n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

15. ถา A, B และ C เปนเซตจ�ากดใด ๆ แลว จะไดวา

(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

เซต 43

สำรบญ คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4

2

3

เซต 21.1 เซต 41.2 แผนภำพเวนน เอกภพสมพทธ สบเซต และเพำเวอรเซต 111.3 กำรด�ำเนนกำรของเซต 181.4 จ�ำนวนสมำชกของเซตจ�ำกด 33 สรปแนวคดหลก 42 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 44

ตรรกศาสตรเบองตน 462.1 ประพจน 482.2 กำรเชอมประพจน 512.3 กำรหำคำควำมจรงของรปแบบของประพจน 592.4 กำรสรำงตำรำงคำควำมจรง 612.5 รปแบบของประพจนทสมมลกน 642.6 สจนรนดร 73 สรปแนวคดหลก 80 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 2 82

หลกการนบเบองตนและความนาจะเปน 843.1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบกำรนบ 863.2 กำรเรยงสบเปลยน 983.3 กำรจดหม 1103.4 ควำมนำจะเปน 117 สรปแนวคดหลก 140 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 3 142

Math in Real Life 146

บรรณานกรม 148

ค�ำชแจง:ใหนกเรยนตอบค

�าถามตอไปน

แบบฝกทกษะประจำาหนว

ยการเรยนรท

1. ก�าหนด A เปนเซตข

องจ�านวนคบวกทมค

านอยกวา 11

1) ใหเขยนเซต A แ


3) เซต A เปนเซตจ

�ากดหรอไม

2) ใหบอกจ�านวนสม

าชกของเซต A


บบแจกแจงสมาชก แ

ละตรวจสอบวาเซตนน

เปนเซตวางหรอไม

1) B เปนเซตของจ�า

นวนเฉพาะทหารลงต

วดวย 2

2) C = { x | x เปนชอ

วนในหนงสปดาหทข

นตนดวยตวอกษร “พ

” }

3) D = { x | x เปนจ�า

นวนเตมบวกทเปนต

วประกอบของ 24 แ

ละเปนพหคณของ 9

}

4) E เปนเซตของรป

สเหลยมทมมมสามม

มเปนมมปาน

3. ก�าหนด 𝒰𝒰 = { -5, -4

, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

} ใหหาคอมพลเมนต

ของเซตแตละเซตตอไ

ปน

1) A = { -5, -3, -1

, 2 }

2) B = { -5, -4, -3

, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

3) C = { x | x เปนจ�า

นวนเฉพาะ }

4) D = { x | x เปนจ�า

นวนเตมทเปนพหคณ

ของ 3 }

4. ก�าหนด A = { ∅, { ∅

}, { 1, 2 } }

1) ใหหาสบเซตทงห

มดของเซต A

2) ใหหาเพาเวอรเซ

ตของเซต A

5. ใหตรวจสอบวาขอคว

ามตอไปนเปนจรงหร

อเทจ

1) ถา A∊X และ X ⊂ Y แลว a

∊Y

3) ถา X ⊂ Y และ Y

⊂ Z แลว X ⊂ Z

5) ถา a∊X และ a∊P(X)

2) ถา a∊X และ X ⊂ Y แลว a

∊y

4) ถา X′ = ∅ และ X = 𝒰𝒰

6) ถา a∊X และ {a}∊P(X)

6. ก�าหนด 𝒰𝒰 = { x | x เปนจ�านวนเต

มและ -7 ≤ x ≤ 7 }

A = { x | x เปนจ�านว

นเตมและ -7 < x < 7

}

และ B = { x | x เปนจ�านว

นเตมและ 0 < x ≤ 7

}

1) ใหเขยนเซต 𝒰𝒰, เซต A แ

ละเซต B แบบแจกแ

จงสมาชก

2) ใหหา

(1) A′

(2) A ∩ B

(3) A ∪ B

1

44

7. ก�าหนด 𝒰𝒰 = { x | x เป

นจ�านวนเตมและ 0 <

x < 16 }

A = { x | x เปนก�าลง

สองสมบรณ }

และ B = { x | x เปนตวปร

ะกอบของ 26 }

1) ใหเขยนแผนภาพ

แทนเซต 𝒰𝒰, เซต A แ

ละเซต B

2) จากแผนภาพในข

อ 1) ใหหา A′ ∩ B′

8. ก�าหนด 𝒰𝒰 = { x | x เป

นจ�านวนเตมทอยระห

วาง 0 และ 21 }

A = { x | x เปนจ�านว

นทหารลงตวดวย 5

}

และ B = { x | x ไมเปนจ�า

นวนเฉพาะ }


แทนเซต 𝒰𝒰, เซต A แ

ละเซต B

2) จากแผนภาพในข

อ 1) ใหหา A ∩ B′ และ A -

B

9. ก�าหนด 𝒰𝒰 = { 1, 2,

3, 4, 6, 8, 12, 16, 2

4, 48 }

P = { 3, 6, 12, 24,

48 }

Q = { 1, 2, 3, 4, 6,

8, 12, 24 }

และ R = { 4, 8, 12, 16,

24 }


แทนเซต 𝒰𝒰, เซต P,

เซต Q และเซต R

2) ใหหา

(1) P - (Q ∪ R)

(3) Q - (P ∪ R)

(2) (Q ∪ R) - P

(4) (P ∪ Q) - R

10. ก�าหนด n(A) = 60,

n(B) = 55 และ n(𝒰𝒰

) = 80 ใหหาคาทมา

กทสดและนอยทสด

ทเปนไปไดของ n(A ∩

B)

11. จากการส�ารวจนกเรย

น 200 คน พบวาชอบ

วชาฟสกส 100 คน ช

อบวชาคณตศาสตร 1

50 คน

และชอบทงสองวชา

80 คน ใหหา

1) จ�านวนนกเรยนท

ชอบฟสกสอยางเดยว


ชอบคณตศาสตรอย

างเดยว


ไมชอบทงสองวชา

12. จากการส�ารวจการปร

ะกอบอาชพการท�าน

า ท�าสวน และท�าไร

ของชาวบานในอ�าเภ

อหนง

พบวา 59% ประกอบอ

าชพท�านา 48% ปร

ะกอบอาชพท�าสวน

46% ประกอบอาชพ

ท�าไร

29% ประกอบอาชพท

�านาและท�าสวน 20%

ประกอบอาชพท�าสว

นและท�าไร 30% ประ

กอบ

อาชพท�านาและท�าไร

9% ประกอบอาชพท

งสามอาชพน อยาก

ทราบวา

1) ชาวบานทประกอ

บอาชพท�านาและท�า

สวน แตไมท�าไร มกเ

ปอรเซนต

2) ชาวบานทประกอ

บอาชพอยางนอยสอ

งอาชพในสามอาชพน

มกเปอรเซนต

3) ชาวบานทไมไดป

ระกอบอาชพทงสามอ

าชพน มกเปอรเซนต

เซต 45

โดยทวไป หางสรรพสนคาจะมแผนผงเพอบอกตาแหนงของรานคาในแตละชน เพอใหลกคาสะดวกในการคนหารานคาตาง ๆ ดงรป

ใหนกเรยนสารวจตาแหนงของรานคาตาง ๆ ภายในหางสรรพสนคาทใกลบานของนกเรยน

แลวตอบคาถามตอไปนกาหนด � เปนเซตของชอรานคาภายในหางสรรพสนคา

1. นกเรยนคดวา หางสรรพสนคาทนกเรยนสารวจมวธการแบงประเภทของรานคาทงหมดภายใน

หางอยางไร เพอใหลกคาสะดวกในการคนหารานคาตาง ๆ

2. ใหนกเรยนแสดงผลการสารวจตาแหนงของรานคาตาง ๆ ภายในหางสรรพสนคาโดยใชแผนภาพ

3. ถาให A เปนเซตของชอรานคาทอยบรเวณชน 1 ของหางสรรพสนคาและ B เปนเซตของชอ

รานขายเสอผา (1) ใหนกเรยนเขยนชอรานคาทอยใน A ∪ B (2) วณาไมตองการซอเสอผาทอยบรเวณชน 1 ของหางสรรพสนคา ใหนกเรยนเขยนชอของ

รานคาทวณาตองการซอเสอ

แผนผงแสดงตาแหนงรานคาในหางสรรพสนคา

Math in Real Life คณตศาสตรในชวตจรง

A B C( )

146

สนและเพอน ๆ ไปรวมงานเพอการกศล และไดรวมกนซอสลากการกศล ซงสลากทจาหนาย

มราคาใบละ 100 บาท เธอและเพอนซอสลากจานวน 2 เลม สลาก 1 เลม ม 10 ใบ ไดเลขท

41311 - 41320 และเลขท 51241 - 51250 โดยมรางวลดงรายละเอยดตอไปน

สลากเพอการกศล

จากรายละเอยดขางตนใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน1. ใหหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน • เหตการณทถกรางวลไดสรอยคอทองคาหนก 3 บาท

• เหตการณทถกรางวลไดสรอยคอทองคาหนก 2 บาท

• เหตการณทถกรางวลไดสรอยคอทองคาหนก 1 สลง

• เหตการณทถกรางวลไดสรอยคอทองคาหนกไมเกน 1 บาท

2. สนบอกเพอนวา “ความนาจะเปนทไดรางวลสรอยคอทองคา หนก 1 บาท มากกวาไดรางวล

สรอยคอทองคาหนก 3 บาท” นกเรยนเหนดวยหรอไม เพราะเหตใด

3. ถาสนหวงจะถกรางวลในครงน เธอจงบอกเพอน ๆ วา “รวมกนซอสลากเพมอก 2 เลม” นกเรยน

เหนดวยหรอไม เพราะเหตใด

สลากเพอการกศล

นายสมชาต รกษอกษรประธานฝายสลาก

สลากจดพมพจานวน 59,999 ฉบบ เรยงหมายเลขตงแต 00001 - 59999 ผถอสลากเทานนทจะมสทธรบรางวลได

รางวลสลากเพอการกศล

รางวลท 1 สรอยคอทองคา หนก 3 บาท 1 รางวล



รางวลท 4 สรอยคอทองคา หนก 2 สลง 5 รางวล

รางวลท 5 สรอยคอทองคา หนก 1 สลง 120 รางวล

147



1หนวยการเรยนรท

1นกเรยนสามารถจ�าแนกประเภทของสตวตาง ๆ ไดหลายวธ โดยวธหนงคอ การจ�าแนกประเภทของสตวตามทอย อาศย เชน สตวทอาศยอยบนบก สตวทอาศยอยในน�า หรอสตวท อาศยอย ไดทงบนบกและในน�า แผนภาพท แสดงนเรยกวา แผนภาพเวนน (Venn Diagram) ซงใชแสดงการจ�าแนกประเภทของสตวโดยการจดกลมสตวตาง ๆ ตามทอาศยอย

เซต


ตวชวด• เขาใจและใชความรเกยวกบเซตและตรรกศาสตรเบองตนใน

การสอสารและสอความหมายทางคณตศาสตร (ค 1.1 ม.4/1)

สาระการเรยนรแกนกลาง•ความรเบองตนและสญลกษณพนฐานเกยวกบเซต

•ยเนยน อนเตอรเซกซน และคอมพลเมนตของเซต

สตวทอาศยอยบนบก สตวทอาศยอยในน�า

สตวทอาศยอยไดทงบนบกและในน�า

ในชวตประจ�าวน นกเรยนจะเหนการรวมกนเปนกลมของ

สงตาง ๆ เชน หนงสอหนงกอง กญแจหนงพวง และผเลนหนงทม

เปนตน ซงใชค�าศพททแตกตางกน เชน “กอง” “พวง” และ

“ทม” เปนตน เพอเรยกการรวมกนเปนกลมของสงตาง ๆ ใน

วชาคณตศาสตร จะใชค�าวา “เซต” เพออธบายการรวมกนของ

สงตาง ๆ ซงสามารถระบไดวาสงใดอยหรอไมอยในเซตนนอยาง

ชดเจน (well-defined) และเรยกสงทอยในเซตวา สมาชก

(element)

1.1 เซต(Set)

1. การเขยนเซต

โดยทวไปมวธเขยนเซตไดสองแบบ ดงน

1) การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก เปนการเขยนสมาชก

ทกตวของเซตลงในเครองหมายวงเลบปกกา และคนสมาชก

แตละตวดวยเครองหมายจลภาค (,) เชน เซตของจ�านวนเตม

บวกทนอยกวา 5 เขยนแทนดวย { 1, 2, 3, 4 }

ในกรณทเซตมจ�านวนสมาชกมาก นยมใช (...) เพอ

ใช ตวอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญ เพอแสดงถงเซต เชน A, B และ C เปนตน และใชตวอกษรภาษาองกฤษตวพมพเลก เพอแสดงสมาชกของเซตเชน a, b และ c เปนตน

ATTENTION

การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก ล�าดบของสมาชกในเซตสามารถสลบทกนไดอยางอสระ

ATTENTION

เซตของจ�านวนเตมบวก คอเซตของจ� านวนนบ หรอ I+ = N

ATTENTION

ใหนกเรยนจบคแลวชวยกนตอบค�าถามตอไปน

1. ให H เปนกลมของนกแสดงทมชอเสยงในประเทศไทย H จะเปนเซตหรอไม

Hint เซต คอ การรวมกนของสงทนยามไดอยางชดเจน H นยามไดหรอไม

2. ให S เปนเซตของตวอกษรในค�าวา “CLEVER” นกเรยนจะเขยนแจกแจงสมาชกของเซตน

อยางไร

Hint ตวอกษร E ในค�าวา “CLEVER” แตกตางกนหรอไม

Class Discussion

ตวอยางเชน ให A แทนเซตของตวอกษรทเปนสระในภาษาองกฤษ ซงสามารถเขยนแจกแจง

สมาชกทกตวของเซต A ดวย A = { a, e, i, o, u }

เนองจาก ตวอกษร “a” เปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย a∊A

ตวอกษร “b” ไมเปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย b∉A

และ เซต A มสมาชก 5 ตว เขยนแทนดวย n(A) = 5

สญลกษณ “∊” ใชแสดงวา “เปนสมาชกของ”

สญลกษณ “∉” ใชแสดงวา “ไมเปนสมาชกของ” และ

n(A) ใชแสดง “จ�านวนของสมาชกของเซต A”

จากค�าถามขอ 2 ในกจกรรม Class Discussion จะเหนวา ตวอกษร “E” ในค�าวา “CLEVER”

นนไมแตกตางกน เพราะวาตวอกษร “E” ทใชในการสรางค�าศพทเปนตวเดยวกน และการเขยน

เซตแบบแจกแจงสมาชก นยมเขยนสมาชกทซ�ากนเพยงครงเดยวเทานน ดงนนจงเขยนเซต S

ไดวา S = { C, L, E, V, R }

แสดงวามสมาชกอน ๆ ทเขาใจตรงกนวามสมาชกใดบางในเซตนน เชน A = { 1, 2, 3, ..., 9 }

สญลกษณ ... แสดงวาม 4, 5, 6, 7 และ 8 เปนสมาชกของเซตดวย

2) การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชก เปนการเขยนโดยใชตวแปรแทนสมาชก แลว

ก�าหนดเงอนไขเกยวกบตวแปรนน เพอใหทราบวาตวแปรนนแทนสมาชกใดบาง เชน

A = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทนอยกวา 10 } อานวา A เปนเซตซงประกอบดวยสมาชก x

โดยท x เปนจ�านวนเตมบวกทนอยกวา 10 เครองหมาย “ | ” แทนค�าวา โดยท

ในการเขยนเซตของจ�านวน สามารถใชสญลกษณแทนเซตของจ�านวนตาง ๆ ดงน

R แทน เซตของจ�านวนจรง

I แทน เซตของจ�านวนเตม หรอ I = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

I- แทน เซตของจ�านวนเตมลบ หรอ I- = { -1, -2, -3, ... }

I0 แทน เซตของจ�านวนเตมศนย หรอ I0 = { 0 }

I+ แทน เซตของจ�านวนเตมบวก หรอ I+ = { 1, 2, 3, ... }

N แทน เซตของจ�านวนนบ หรอ N = { 1, 2, 3, ... }

4 เซต 5

1) ก�าหนด A = { x | x เปนจ�านวนเตมบวก และ 2 ≤ x < 11 } และ B = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกตงแต 3 ถง 11 } (1) ใหเขยนเซต A และเซต B แบบแจกแจงสมาชก

(2) ใหตรวจสอบวา เซต A และเซต B มสมาชกเหมอนกนหรอไม เพราะเหตใด

2) ใหเขยนเซต C แบบบอกเงอนไขของสมาชก เมอ C = { 5, 10, 15, 20, 25, … }

วธท�า 1) (1) A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 }

(2) เนองจาก 2∊A แต 2∉B

ดงนน เซต A และเซต B มสมาชกไมเหมอนกน

2) C = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทเปนพหคณของ 5 } หรอ C = { x | x = 5n เมอ n เปนจ�านวนนบ }

ก�าหนด A เปนเซตของจ�านวนคบวกทนอยกวา 10

และ B เปนเซตของจ�านวนนบทเปนพหคณของ 4

1) ใหเขยนเซต A และเซต B แบบแจกแจงสมาชก

2) ใหหาจ�านวนสมาชกของเซต A และเซต B

3) ใหพจารณาวา เซต A และเซต B เปนเซตจ�ากดหรอไม

วธท�า 1) A = { 1, 3, 5, 7, 9 } และ B = { 4, 8, 12, 16, 20, ... }

2) n(A) = 5 และ n(B) มสมาชกเปนอนนต

3) A เปนเซตจ�ากด และ B เปนเซตอนนต

ตวอยางท 1 ตวอยางท 2

ก�าหนด C เปนเซตของจ�านวนคบวกทนอยกวา 10และ D เปนจ�านวนนบทเปนพหคณของ 61) ใหเขยนเซต C และเซต D แบบแจกแจงสมาชก2) ใหหาจ�านวนสมาชกของเซต C และเซต D3) ใหพจารณาวา เซต C และเซต D เปนเซตจ�ากดหรอไม

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.1 ขอ 3, 10

1) ก�าหนด E = { x | x เปนจ�านวนเตมทอยระหวาง 10 กบ 18 } และ F = { x | x เปนจ�านวนเตม และ 10 ≤ x < 18 } (1) ใหเขยนเซต E และเซต F แบบแจกแจงสมาชก (2) ใหตรวจสอบวา เซต E และเซต F มสมาชกเหมอนกนหรอไม เพราะเหตใด

2) ใหเขยนเซต G แบบบอกเงอนไขของสมาชก เมอ G = { -6, -3, 0, 6, 9 }

ลองทาดลองทาด

ลองทาด

2. เซตจ�ากด(FiniteSet)และเซตอนนต(InfiniteSet) เซตของจ�านวนเตมบวกทเปนพหคณของ 3 เชน { 3, 6, 9, 12, 15, ... } ประกอบไปดวยสมาชก

มากมายนบไมถวน ซงไมสามารถบอกจ�านวนสมาชกของเซตได เรยกเซตนวา เซตอนนต

แตเซตของจ�านวนเตมบวกทเปนพหคณของ 4 และมคานอยกวา 50 เชน { 4, 8, 12, 16,

20, ..., 49 } ประกอบไปดวยสมาชกทมจ�านวนจ�ากด เรยกเซตนวา เซตจ�ากด และเมอเขยน

แจกแจงสมาชกของเซตนจะได { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48 } ซงเซตน

มจ�านวนสมาชกเทากบ 12

3. เซตทเทากน(EqualSets) เซตสองเซตเทากน กตอเมอ สมาชกของเซตทงสองเหมอน

กนทกสมาชก เชน A = { 1, 2, 3, 4 } และ B = { 2, 4, 1, 3 }

ซงจะเหนวา สมาชกทงหมดของเซต A และเซต B เหมอนกน

ทกตว ถงแมวาล�าดบของสมาชกในเซต A และเซต B แตกตาง

กน จะไดวาเซต A เทากบเซต B เขยนแทนดวย A = B

ถาเซต A ไมเทากบเซต B เขยนแทนดวย A ≠ B ซงหมายความวา มสมาชกอยางนอยหนงตวของเซต A ไมเปนสมาชกของเซต B หรอมสมาชกอยางนอยหนงตวของเซต B ไมเปน

สมาชกของเซต A เชน A = { 2, 4, 6, 8 } และ B = { 2, 4, 6 } ซงจะเหนวา 8∊A แต 8∉B

ดงนน A ≠ B

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.1 ขอ 1-2,5-7, 11 ถา A = B แลว

n(A) = n(B)

ATTENTION

เซตจ�ำกด เปนเซตทมจ�ำนวนสมำชกเทำกบศนย หรอเทำกบจ�ำนวนเตมบวกใด ๆ

เซตอนนต เปนเซตทไมสำมำรถบอกจ�ำนวนสมำชกของเซตได

บทนยาม

เซต A เทำกบเซต B หมำยถง สมำชกทกตวของเซต A เปนสมำชกของเซต B และสมำชก

ทกตวของเซต B เปนสมำชกของเซต A

บทนยาม

6 เซต 7

4. เซตวาง(EmptySet) พจารณาเซตตอไปน

A = { 0, 1, 2 }, B = { 0 } และ C = { }

เซต A มจ�านวนสมาชก 3 ตว คอ 0, 1 และ 2

เซต B มจ�านวนสมาชก 1 ตว คอ 0

เซต C ไมมสมาชกอยในเซตเลย

เรยก C วา เซตวาง เขยนแทนดวยสญลกษณ { } หรอ ∅

(∅ เปนตวอกษรกรก ตรงกบค�าภาษาองกฤษวา phi (ฟ))

นนคอ C = ∅

INFORMATION

เซต {∅} ไมใชเซตวาง แตเปนเซตทประกอบดวยสมาชก 1 ตว คอ ∅

เซตวางเปนเซตจ�ากด

ATTENTION

ก�าหนด A เปนเซตของตวอกษรทเปนสระในภาษาองกฤษซงอยในค�าวา “RHYTHM”

และ B = {H}

1) ใหเขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชก

2) ใหตรวจสอบวา เซต A และเซต B เปนเซตทเทากนหรอไม เพราะเหตใด

วธท�า 1) A = { }

2) เซต A และเซต B เปนเซตทไมเทากน เพราะเซต A เปนเซตวางซงไมมสมาชก

อยในเซตเลย ในขณะทเซต B มสมาชกหนงตว คอ H


ก�าหนด P = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทมคานอยกวา 1 } และ Q = { 0 }1) ใหเขยนเซต P แบบแจกแจงสมาชก2) ใหตรวจสอบวา เซต P และเซต Q เปนเซตทเทากนหรอไม เพราะเหตใด

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.1 ขอ 4, 8, 9, 12

ลองทาด


1. ใหเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1) A = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกตงแต 1 ถง 10 } 2) B = { x | x เปนจ�านวนเตมลบตงแต -10 ถง -1 } 3) C = { x | x เปนจ�านวนค และ -2 < x ≤12 }

4) D เปนเซตของตวอกษรทเปนสระในภาษาองกฤษซงอยในค�าวา “HAPPY”

2. ใหหาจ�านวนสมาชกของแตละเซตตอไปน

1) A = { 1, 2, 3, 4, 5, ..., 26 }

2) B = { 7, 9, 11, 13, 15, ..., 37 }

3) C เปนเซตของจ�านวนก�าลงสองสมบรณทอยระหวาง 10 กบ 90

3. ก�าหนด A เปนเซตของจ�านวนคทนอยกวา 11


2) ใหบอกจ�านวนสมาชกของเซต A

3) ใหพจารณาวา เซต A เปนเซตจ�ากดหรอไม

4. ใหเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก และตรวจสอบวาเซตนนเปนเซตวางหรอไม

1) E เปนเซตของจ�านวนคทหารดวย 2 ลงตว

2) F = { x | x เปนชอเดอนทลงทายดวยค�าวา “ยน” } 3) G เปนเซตของรปสเหลยมทมจดยอด 5 จด

4) H = { x | x เปนจ�านวนเฉพาะทเปนจ�านวนค }


5. ใหเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1) I เปนเซตของตวอกษรทเปนพยญชนะในภาษาองกฤษซงอยในค�าวา “SYMMETRY”

2) J = { x | x เปนสของสายรง } 3) K = { x | x เปนชอจงหวดในประเทศไทยทขนตนดวยพยญชนะ “ก” } 4) L = { x | x เปนเซตของจ�านวนเฉพาะทมากกวา 2 แตนอยกวา 50 }


ถา n(A) = n(B) แลว A = B หรอไม หากไมจงยกตวอยางประกอบ

Thinking Time

เซตวำง คอ เซตทไมมสมำชกอยเลยบทนยาม

8 เซต 9

6. ใหเขยนเซต N แบบแจกแจงสมาชก เมอ N = { x | x เปนจ�านวนก�าลงสามสมบรณระหวาง

2 ถง 200 }

7. ก�าหนด P เปนเซตของจ�านวนก�าลงสองสมบรณทมคามากกวา 1 และนอยกวา 50

1) ใหหาวา 10∊P หรอไม

2) ใหเขยนเซต P แบบแจกแจงสมาชก

8. ก�าหนด Q = { x | x เปนจ�านวนก�าลงสองสมบรณระหวาง 10 กบ 15 }

และ R = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทนอยกวา 5 ทเปนจ�านวนก�าลงสองสมบรณและ

จ�านวนก�าลงสามสมบรณ }

1) ใหเขยนเซต Q และเซต R แบบแจกแจงสมาชก

2) ใหพจารณาวา Q และ R เปนเซตวางหรอไม

9. ก�าหนด S = { x∊I | 1 ≤ x ≤ 10} และ T = {x∊R | 1 ≤ x ≤ 10 } ใหตรวจสอบวา

S และ T เปนเซตทเทากนหรอไม เพราะเหตใด

10. ใหเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชกและตรวจสอบวาเซตใดเปนเซตจ�ากด และเซตใด

เปนเซตอนนต

1) S = { x | x เปนพหคณของ 7 และ 11 } 2) T = { x∊R | x2 - 6x - 8 = 0 } 3) U = { x∊R | x2 = -1 }

11. ใหตรวจสอบวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเปนเทจ ถาเปนเทจ จงอธบายเหตผล

1) c∉{ c, a, r }

2) car∊{ c, a, r }

3) { c }∊{ c, a, r }

12. ใหตรวจสอบวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเทจ ถาเปนเทจ จงอธบายเหตผล

1) { 0 } = ∅ 2) ∅ = { }

3) { ∅ } เปนเซตวาง 4) n(∅) = 0


1. แผนภาพเวนน(VennDiagram)และเอกภพสมพทธ(RelativeUniverse)

ในการแกปญหาตาง ๆ ดวยเซต นกคณตศาสตรสองทาน คอ จอหน เวนน และ เลออนารด

ออยเลอร พบวาการเขยนแผนภาพแทนเซตจะชวยสอความคด ท�าใหเหนภาพของปญหาชดเจนขน

ซงแผนภาพออยเลอรจะแสดงความสมพนธระหวางเซตทเกดขนจรงหรอมอยจรง สวนแผนภาพ

เวนนจะแสดงความสมพนธระหวางเซตทสามารถเปนไปไดทงหมด โดยไมค�านงวาสามารถเกดขน

ไดจรงหรอไม ในอดตนยมเรยกแผนภาพแทนเซตวา แผนภาพเวนน - ออยเลอร เพอเปนเกยรต

แกนกคณตศาสตรทงสอง แตในปจจบนเรยกแผนภาพดงกลาววา แผนภาพเวนน เนองจาก

แผนภาพเวนนและแผนภาพออยเลอรมความแตกตางกนตามทกลาวมาขางตน และบางครง

เพอความสะดวก จะเรยกอยางสน ๆ วา แผนภาพ

นกเรยนสามารถใชแผนภาพเขยนแทนเซต ไดดงรป

1.2 แผนภาพเวนน(VennDiagram)เอกภพสมพทธ(RelativeUniverse)สบเซต(Subset)และ เพาเวอรเซต(PowerSet)

จากรป จะเหนวารปสเหลยมมมฉากแสดงถงเซตของ

สมาชกทงหมดทอยภายใตขอบเขตสงทตองการจะศกษาโดยม

ขอตกลงวา ตอไปจะกลาวถงสมาชกของเซตนเทานน ซงเรยก

เซตนวา เอกภพสมพทธ เขยนแทนดวยสญลกษณ 𝒰 นนคอ

𝒰 = { 1, 2, 3, 4, 5 } และสวนวงกลมในรปแสดงถงเซต A ซง

A = { 1, 2, 3 }

ก�าหนด 𝓤= { x | x เปนจ�านวนเตมตงแต 1 ถง 10 }

และ A = { x | x เปนจ�านวนก�าลงสองสมบรณ }

1) ใหเขยนเซต 𝓤 และเซต A แบบแจกแจงสมาชก

2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝓤 และเซต A


𝒰A

1

32

4

5

เอกภพสมพทธ คอ เซตทก�ำหนดขอบขำยในกำรพจำรณำสมำชกของเซตทกลำวถงบทนยาม

10 เซต 11

ก�าหนด 𝒰 = { x | x เปนจ�านวนเตมตงแต 1 ถง 13 } และ B = { x | x เปนจ�านวนเฉพาะ }1) ใหเขยนเซต 𝒰 และเซต B แบบแจกแจงสมาชก2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝒰 และเซต B

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.2 ขอ 1

ลองทาด

2. สบเซต(Subset)และสบเซตแท(ProperSubset) ก�าหนด A = { 1, 2, 3 } และ B = { 1, 2, 3, 4, 5 } นกเรยนจะเขยนแผนภาพแทนเซต A

และเซต B ไดอยางไร

เนองจากการเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก นยมเขยนสมาชกแตละตวเพยงตวเดยวเทานน

ดงนนจงเขยนแผนภาพแสดงเซต A และเซต B ไดดงรป

เซตทกเซตเปนสบเซตของตวเอง นนคอ ถา A เปนเซตใด ๆ แลว A ⊂ A

พจารณาเซต C = { 6, 7, 8 }, D = { 6, 7, 8, 9 } และ E = { 6, 7, 8 }

เนองจากสมาชกทกตวของเซต C เปนสมาชกของเซต D และ C ≠ D กลาวไดวาเซต C เปนทงสบเซตและสบเซตแทของเซต D ซงสามารถเขยนแผนภาพแสดงเซต C และเซต D ได

ดงรป

เนองจากสมาชกทกตวของเซต C เปนสมาชกของเซต E และ C = E ดงนนเซต C เปน

สบเซตของเซต E แตเซต C ไมเปนสบเซตแทของเซต E ซงสามารถเขยนแผนภาพแสดงเซต

C และเซต E ไดดงรป


- จากแผนภาพ เซต A เปนสบเซตของเซต B หรอไม

และเซต B เปนสบเซตของเซต A หรอไม

Class Discussion

จากค�าถาม ในกจกรรม Class Discussion จะเหนวา มสมาชกของเซต A คอ x, y และ z ไมเปนสมาชกของเซต B ดงนน เซต A ไมเปนสบเซตของเซต B

C D 𝒰

9687

C E6

8

7

𝒰

A Bx

py r

zq

𝒰

𝒰B

A 1 23

4

5

ก�ำหนด A และ B เปนเซต กลำววำ เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมำชกทกตว

ของเซต A เปนสมำชกของเซต B เขยนแทนดวย A ⊂ B

ก�ำหนด A และ B เปนเซต กลำววำ เซต A เปนสบเซตแทของเซต B กตอเมอ A ⊂ B

และ A ≠ B

ก�ำหนด A และ B เปนเซต กลำววำ เซต A ไมเปนสบเซตของเซต B กตอเมอ มสมำชก

อยำงนอยหนงตวของเซต A ทไมเปนสมำชกของเซต B เขยนแทนดวย A ⊄ B

ก�ำหนด A และ B เปนเซต กลำววำ A ⊂ B และ B ⊂ A กตอเมอ A = B

บทนยาม

บทนยาม

บทนยาม

บทนยาม

เซต A ไมไดประกอบดวยสมาชกทเปนจ�านวนก�าลงสองสมบรณทกจ�านวน เพราะสมาชกในเอกภพสมพทธเปนเพยงจ�านวนเตมตงแต 1 ถง 10

PROBLEM SOLVING TIPวธท�า 1) 𝒰 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 1, 4, 9 }

2)

A 1

9 4

2 35 67 810

𝒰

จากรป จะเหนวาเซต A อยภายในเซต B ทงหมด

นนคอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B

ซงกลาวไดวา A เปนสบเซตของ B

12 เซต 13

ก�าหนด X เปนเซตของตวอกษรในค�าวา “SINGAPORE”และ Y เปนเซตของตวอกษรในค�าวา “PINS” 1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต X และเซต Y 2) เซต Y เปนสบเซตของเซต X หรอไม เพราะเหตใด 3) เซต Y เปนสบเซตแทของเซต X หรอไม เพราะเหตใด

วธท�า 1) XY

P IN S

G AO RE

2) เซต Y เปนสบเซตของเซต X เพราะสมาชกทกตวของเซต Y เปนสมาชกของเซต X

3) เซต Y เปนสบเซตแทของเซต X เพราะสมาชกทกตวของเซต Y เปนสมาชกของเซต X และ Y ≠ X


1. ก�าหนด C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } และ D = { 1, 3, 5, 7 } 1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต C และเซต D 2) เซต D เปนสบเซตของเซต C หรอไม เพราะเหตใด 3) เซต D เปนสบเซตแทของเซต C หรอไม เพราะเหตใด

2. ก�าหนด P = { x | x เปนจ�านวนเตม และ 0 < x ≤ 13 } Q = { x | x เปนจ�านวนเฉพาะทนอยกวา 13 } และ R = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทไมมากกวา 13 } 1) ใหเขยนเซต P และเซต Q แบบแจกแจงสมาชก

2) ใหตรวจสอบวา Q ⊂ P หรอ P ⊂ Q หรอไม เพราะเหตใด 3) ใหเขยนเซต R แบบแจกแจงสมาชก 4) เซต R และเซต P มความสมพนธกนอยางไร ใหอธบาย

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

3. เพาเวอรเซต(PowerSet)

ก�าหนด A = { 1, 2 }

สบเซตทงหมดของเซต A คออะไรบาง

เนองจากสบเซตทงหมดของเซต A คอ เซตทงหมดทเปน

สมาชกของเซต A ดงนน { 1 }, { 2 } และ { 1, 2 } เปนสบเซตของ

เซต A ดงรปท 1, 2 และ 3

และจากรปท 4 จะเหนวามเซตวางอยในเซต A ได ดงนน เซตวางจงเปนสบเซตของเซต A

ดวย นนคอ A = { 1, 2 } มสบเซต คอ ∅, { 1 }, { 2 } และ { 1, 2 }

ถาเซต A มสมาชกเทากบ n ตว แลวจ�านวนสบเซตของ A เทากบ 2n เซต

เพาเวอรเซตของเซต A คอ เซตของสบเซตทงหมดของ

เซต A เขยนแทนดวย P(A) ดงนน P(A) = { ∅, { 1 }, { 2 }, {1, 2 } }

ถาเซต A มสมาชกเทากบ n ตว แลวจ�านวนสมาชกของ

P(A) เทากบ 2n ตว นนคอ n(P(A)) = 2n

จ�านวนสมาชกของ P(A) เทากบ จ�านวนสบเซตของ A

ATTENTION

𝒰

รปท 1

A A A A1 1 1 1

2 2 2 2

รปท 2 รปท 3

เซตวาง

รปท 4

𝒰 𝒰 𝒰 𝒰ก�าหนด G เปนเซตของจ�านวนคบวกทนอยกวา 11และ H เปนเซตของจ�านวนเฉพาะทนอยกวา 11 1) ใหเขยนเซต G และเซต H แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหตรวจสอบวา G ⊂ H หรอ H ⊂ G หรอไม เพราะเหตใด

วธท�า 1) G = { 1, 3, 5, 7, 9 } H = { 2, 3, 5, 7 }

2) จะเหนวา มสมาชกของเซต G คอ 1 และ 9 ไมเปนสมาชกของเซต H

ดงนน G ⊄ H และจะเหนวา มสมาชกของเซต H คอ 2 ไมเปนสมาชกของเซต G ดงนน H ⊄ G


INFORMATION

เซตวางเปนสบเซตของเซตทกเซต นนคอ ถาเซต A เปนเซตใด ๆ แลว ∅ ⊂ A

14 เซต 15

ใหหาเพาเวอรเซตของแตละเซตตอไปน1) C = { 7, 8 } 2) D = { a, b, c }

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

ใหหาจ�านวนสมาชกของเพาเวอรเซตของแตละเซตตอไปน1) D = { a } 2) D = { ∅, 1 }

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

ใหหาจ�านวนสมาชกของเพาเวอรเซตของแตละเซตตอไปน

1) A = { 0 } 2) B = { 0, 1 } 3) C = ∅

วธท�า 1) จาก A = { 0 } จะไดวาเซต A มสมาชก 1 ตว คอ 0

ดงนน จ�านวนสมาชกของ P(A) เทากบ 21 = 2 ตว

2) จาก B = { 0, 1 } จะไดวาเซต B มสมาชก 2 ตว คอ 0 และ 1

ดงนน จ�านวนสมาชกของ P(B) เทากบ 22 = 4 ตว

3) จาก C = ∅ จะไดวาเซต C ไมมสมาชกอยเลย

ดงนน จ�านวนสมาชกของ P(C) เทากบ 20 = 1 ตว


เพาเวอรเซตของเซตใด ๆ จะไมเปนเซตวาง เพราะเซตใด ๆ มเซตวางเปนสบเซตเสมอ

ATTENTION

ใหหาเพาเวอรเซตของแตละเซตตอไปน

1) A = { 4, 5 } 2) B = { p, q, r }

วธท�า 1) จาก A = { 4, 5 } จะไดวาจ�านวนสบเซตทงหมดของเซต A เทากบ 22 = 4 เซต

คอ ∅, { 4 }, { 5 } และ { 4, 5 }

ดงนน P(A) = { ∅, { 4 }, { 5 }, { 4, 5 } }

2) จาก B = { p, q, r } จะไดวาจ�านวนสบเซตทงหมดของเซต B เทากบ

23 = 8 เซต คอ ∅, { p }, { q }, { r }, { p, q }, { p, r }, { q, r } และ { p, q, r }

ดงนน P(B) = { ∅, { p }, { q }, { r }, { p, q }, { p, r }, { q, r }, { p, q, r } }


16 เซต 17



1. ก�าหนด 𝓤 = { x | x เปนจ�านวนเตมตงแต 1 ถง 10 } และ A = { x | x เปนจ�านวนค } 1) ใหเขยนเซต 𝒰 และเซต A แบบแจกแจงสมาชก

2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝒰 และเซต A

2. ก�าหนด A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3 } และ B = { 0, 1, 2, 3 }

1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต B

2) ใหตรวจสอบวา เซต B เปนสบเซตแทของเซต A หรอไม เพราะเหตใด

6. ก�าหนด A = { 0, 1, { 2, 3 } } ใหพจารณาวาขอใดตอไปนถกหรอผด

1) 0∊A 2) 1∊A

3) 2∊A 4) 3∊A

5) { 2, 3 }∊A 6) { 0, 1 } ⊂ A 7) { 2, 3 } ⊂ A 8) { 1, { 2, 3 } }∊A

9) { 1, { 2, 3 } }∊P(A) 10) { 0, 1, { 2, 3 } }∊P(A)



3. ก�าหนด E = { x | x เปนจ�านวนเตม และ 0 < x ≤ 20 } F = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทเปนพหคณของ 4 ซงนอยกวา 20 }

และ G = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทนอยกวา 21 } 1) ใหเขยนเซต E และเซต F แบบแจกแจงสมาชก

2) ใหตรวจสอบวา F ⊂ E หรอ E ⊂ F หรอไม เพราะเหตใด 3) ใหเขยนเซต G แบบแจกแจงสมาชก

4) เซต E และเซต G มความสมพนธกนอยางไร ใหอธบาย

4. ใหหาเพาเวอรเซตของแตละเซตตอไปน

1) A = { x, y } 2) C = { 3, 4, 5 } 3) D = { a, b, c, d }

5. ใหหาจ�านวนสมาชกของเพาเวอรเซตของแตละเซตตอไปน

1) A = { a, b } 2) B = { 0, ∅, 1 }

3) C = { 1, 2, 3, 4 } 4) D = { 0, ∅, { 0 }, 1 }

5) E = { 0, ∅, { 0, 1 } } 6) F = { 0, 1, 2, { 3, 4 }, { 5 } }

1. อนเตอรเซกชน(I ntersection) ในหนา 2 และ 3 นกเรยนจะเหนแผนภาพเวนนทประกอบดวยเซตสองเซต เซตหนงแทน

เซตของสตวทอาศยอยบนบก อกเซตหนงแทนเซตของสตวทอาศยอยในน�า และสวนของวงกลม

ททบซอนตรงกลางของแผนภาพแทนเซตของสตวทอาศยอยไดทงบนบกและในน�า จากแผนภาพ

นสามารถเชอมโยงกบเรองการด�าเนนการของเซต ไดดงน

พจารณา A = { 1, 2, 3, 4, 5 } และ B = { 3, 5, 6, 7 } จะเขยนแผนภาพแทนเซต A

และเซต B ไดอยางไร

1.3 การด�าเนนการของเซต(SetOperation)

จากแผนภาพ จะเหนวา 3 และ 5 เปนสมาชกของทงเซต A และเซต B โดยเรยก { 3, 5 } วา

อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย A ∩ B ดงนน A ∩ B = { 3, 5 } อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอ เซตของสมาชกทซ�ากนของเซต A และเซต B

ดงบทนยาม

ก�าหนด A = { r, s, t, u, v, w, x }, B = { s, t, w, y, z }, C = { a, b, c } และ D = { r, t, w } 1) ใหหา A ∩ B และเขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต B 2) ใหหา A ∩ C และเขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต C 3) ใหหา A ∩ D และเขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต D

วธท�า 1) A ∩ B = { s, t, w } เขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต B ไดดงน

2) A ∩ C = ∅ เขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต C ไดดงน

3) A ∩ D = { r, t, w } = D เขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต D ไดดงน


1. ก�าหนด A = { x | x เปนจ�านวนค และ 0 ≤ x ≤ 20 } และ B = { x | x หารดวย 4 ลงตว และ 0 ≤ x ≤ 30 } 1) ใหเขยนเซต A และเซต B แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหหา A ∩ B 3) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต B2. ก�าหนด E = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทเปน ตวประกอบของ 12 } และ F = { x | x เปนจ�านวนเฉพาะตงแต 5 ถง 13 } 1) ใหเขยนเซต E และเซต F แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหหา E ∩ F 3) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต E และเซต F3. ก�าหนด C = { x | x เปนพหคณของ 6 และ 0 < x ≤ 18 } และ D = { x | x เปนพหคณของ 3 และ 0 < x ≤ 18 } 1) ใหเขยนเซต C และเซต D แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหหา C ∩ D 3) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต C และเซต D 4) ใหตรวจสอบวา C ∩ D = C หรอไม เพราะเหตใด

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.3 ขอ 1-2, 8

ลองทาด

อนเตอรเซกชนของสองเซตใด ๆ จะไดเซตทเปนสบเซตของเซตทงสอง นนคอ

ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา (A ∩ B) ⊂ A และ (A ∩ B) ⊂ B

𝒰A B

1 2

4

35

6

7

𝒰CA r s t

u v w x

a b c

𝒰BA

r u

v xy

z

stw

• ถ าสมาชกท งหมดของเซต A อยในเซต B นนคอ เซต A เปนสบเซตของเซต B แลว A ∩ B = A

•ถาเซต A และเซต B ไมมสมาชกรวมกน แลว

A ∩ B = ∅

ATTENTION ก�ำหนด A และ B เปนเซต กลำววำ A ∩ B = { x | x∊A และ x∊B }บทนยาม

𝒰A

r t w

D su

v

x เนองจากการเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก นยมเขยน

สมาชกแตละตวเพยงตวเดยวเทานน ดงนนจงเขยนแผนภาพ

แสดงเซต A และเซต B ไดดงรป

18 เซต 19

3) เขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต D ไดดงน

A ∪ D = { f, g, h, i, j, k } = A

ก�าหนด A = { f, g, h, i, j, k }, B = { h, i, p, q }, C = { r, s, t, } และ D = { f, g, i, k } 1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต B แลวหา A ∪ B 2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต C แลวหา A ∪ C 3) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต D แลวหา A ∪ D

วธท�า 1) เขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต B ไดดงน

A ∪ B = { f, g, h, i, j, k, p, g }

2) เขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต C ไดดงน

A ∪ C = { f, g, h, i, j, k, r, s, t }

ตวอยางท10

1. ก�าหนด A = { x | x เปนจ�านวนคบวกทนอยกวา 10 } และ B = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทเปนตวประกอบของ 30 } 1) ใหเขยนเซต A และเซต B แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต B 3) จากแผนภาพ ใหหา A ∪ B2. ก�าหนด E = { x | x เปนพหคณของ 7 และ 0 < x < 63 } และ F = { x | x เปนพหคณของ 9 และ 0 < x < 63 } 1) ใหเขยนเซต E และเซต F แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต E และเซต F 3) จากแผนภาพ ใหหา E ∪ F3. ก�าหนด C = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทเปนตวประกอบของ 8 } และ D = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทเปนตวประกอบของ 16 } 1) ใหเขยนเซต C และเซต D แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต C และเซต D 3) จากแผนภาพ ใหหา C ∪ D 4) ใหตรวจสอบวา C ∪ D = D หรอไม เพราะเหตใด

𝒰D

A

f g ik

jh

𝒰BA

f gj k

pq

h

i

𝒰A

f g hi j k

C

r s t

เซตสองเซตใด ๆ จะเปนสบเซตของเซตทงสองทยเนยนกน นนคอ ให A และ B

เปนเซตใด ๆ จะไดวา A ⊂ (A ∪ B) และ B ⊂ (A ∪ B)

ลองทาดลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.3 ขอ 2, 4,6, 8

ถาเซต C เปนสบเซตแทของเซต D แลว C ∪ D = D

ATTENTION

PROBLEM SOLVING TIP

การเขยนแผนภาพเวนนตองหา A ∩ B กอน

2. ยเนยน(Union) ก�าหนด A = { 1, 2, 3, 4, 5 } และ B = { 3, 5, 6, 7 } จะเขยนแผนภาพแทนเซต A และ

เซต B ไดดงน

จากแผนภาพ ถานกเรยนเขยนเซต C แบบแจกแจง

สมาชก โดยทสมาชกของเซต C เปนสมาชกของเซต A หรอ

เซต B หรอของทงสองเซต จะได C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

เรยกเซต C วา ยเนยนของเซต A และเซต B เขยนแทน

ดวย A ∪ B ดงนน A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ยเนยนของเซต A และเซต B คอ เซตของสมาชกทอยในเซต A หรอเซต B หรอทงสองเซต

ดงบทนยาม

𝒰A B

1 2

4

35

6

7


A ∪ B = { x | x∊A หรอ x∊B หรอ x เปนสมำชกของทงสองเซต }

บทนยาม

20 เซต 21

3.คอมพลเมนต(Complement) ก�าหนด 𝒰 = { 1, 2, 3, 4, 5 } และ A = { 1, 2, 3 } จะเขยนแผนภาพแทนเซต 𝒰 และเซต A

ไดดงน

A

1 2

3

45

จากแผนภาพ จะเหนวา 4 และ 5 อยภายนอกวงกลมของเซต A แตยงอยภายในสเหลยม

มมฉากของเซต 𝒰 ดงนน 4∉A และ 5∉A เรยกเซตของทกสมาชกในเซต 𝒰 แตไมอยในเซต A

วา คอมพลเมนตของเซต A เขยนแทนดวย A′ นนคอ A′ = { 4, 5 }

𝒰

A

1 49

2 3 56 7 8 10

1) จากแผนภาพทก�าหนด ใหหา A′ 2) ใหหาจ�านวนสมาชกของเซต 𝓤, เซต A และ A′ 3) ใหตรวจสอบวา n(A) + n(A′) = n(𝓤) หรอไม เพราะเหตใด

วธท�า 1) A′ = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 } หรอ

A′ = { x | x เปนจ�านวนเตมตงแต 1 ถง 10 ซงไมใชจ�านวนก�าลงสองสมบรณ }

2) n(𝒰) = 10, n(A) = 3 และ n(A′) = 7

3) เพราะวาเซต A และ A′ ประกอบดวยทกสมาชกของเซต 𝒰 โดยทเซต A และ

A′ ไมประกอบดวยสมาชกทเหมอนกน ดงนน n(A) + n(A′) = n(𝒰)

ตวอยางท 11 𝒰

B2 35 711 13

1 4 68 9 10 12

จากแผนภาพ ใหหา B′

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

ก�าหนด A = { 1, 2, 3 } ถาโจทยไมนยามเซต 𝒰 นกเรยนสามารถหา A′ ไดหรอไม

Thinking Time

𝒰

𝒰A B1 2

3

4

5

6 7

8

4.ผลตาง(Difference) พจารณาเซต A และเซต B ซงเปนสบเซตของเอกภพสมพทธเดยวกน

ก�าหนด A = { 1, 2, 3, 4, 5 } และ B = { 4, 5, 6, 7, 8 } จะเขยนแผนภาพแทนเซต A

และเซต B ไดดงน

จากแผนภาพ จะเหนวาเซต A ประกอบดวยสมาชกทอยในเซต B และสมาชกทไมอยใน

เซต B เชน 1∊A และ 1∉B เรยกเซตทมสมาชกอยในเซต A แตไมอยในเซต B วา ผลตาง

ระหวางเซต A และเซต B หรอ คอมพลเมนตของเซต B เทยบกบเซต A เขยนแทนดวย A - B

นนคอ A - B = { 1, 2, 3 }

และจากแผนภาพ จะเหนวาเซต B ประกอบดวยสมาชกทอยในเซต A และสมาชกทไมอย

ในเซต A เชน 6∊B และ 6∉A เรยกเซตทมสมาชกอยในเซต B แตไมอยในเซต A วา ผลตาง

ระหวางเซต B และเซต A หรอ คอมพลเมนตของเซต A เทยบกบเซต B เขยนแทนดวย B - A

นนคอ B - A = { 6, 7, 8 }

ก�ำหนด 𝒰 เปนเอกภพสมพทธ และ A เปนเซต กลำววำ A′ = { x | x∊𝒰 และ x∉A }

ก�ำหนด A และ B เปนเซต กลำววำ A - B = { x | x∊A และ x∉B }

ก�ำหนด A และ B เปนเซต กลำววำ B - A = { x | x∊B และ x∉A }

บทนยาม

บทนยาม

บทนยาม

22 เซต 23

ก�าหนด A = { x | x เปนจ�านวนคบวกทนอยกวา 10 }และ B = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทเปนตวประกอบของ 20 }ใหหา A - B และ B - A

วธท�า เขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชกได A = { 2, 4, 6, 8 }

เขยนเซต B แบบแจกแจงสมาชกได B = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }

เขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต B ไดดงน

จะได A - B = { 6, 8 }

B - A = { 1, 5, 10, 20 }

ก�าหนด A = { x | x เปนพหคณของ 4 และ 0 < x ≤ 24 } B = { x | x เปนจ�านวนเฉพาะทนอยกวา 24 }และ C = { x | x เปนพหคณของ 8 และ 0 < x ≤ 24 } 1) ใหหา A - B และ B - A

2) ใหหา A - C และ C - A

วธท�า 1) เขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชกได A = { 4, 8, 12, 16, 20, 24 }

เขยนเซต B แบบแจกแจงสมาชกได B = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 }

เขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต B ไดดงน

จะได A - B = { 4, 8, 12, 16, 20, 24 }

B - A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 }

2) เขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชกได A = { 4, 8, 12, 16, 20, 24 }

เขยนเซต C แบบแจกแจงสมาชกได C = { 8, 16, 24 }

เขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต C ไดดงน

จะได A - C = { 4, 12, 20 }

C - A = ∅



1. ก�าหนด C = { x | x เปนจ�านวนคบวกทนอยกวา 10 } และ D = { x | x เปนตวประกอบของ 15 } ใหหา C - D และ D - C

2. ก�าหนด M = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทหารดวย 7 ลงตว และ 0 < x ≤ 30 } N = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทหารดวย 8 ลงตว และ 0 < x ≤ 30 } และ L = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทหารดวย 4 ลงตว และ 0 < x ≤ 30 } 1) ใหหา M - N และ N - M

2) ใหหา N - L และ L - N

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

𝒰

68

1 5 10 20

24

BA

𝒰

4 12

20

8 16 24

AC

𝒰BA 4 8 12 16 20 24

2 3 5 7 11 13 17 19 23

24 เซต 25

เนองจากเซต 𝒰 เปนเซตของจ�านวนเตมบวกทนอยกวา 11 ดงนน สมาชกในเซต Aจงเปนเพยงจ�านวนคทเปนจ�านวนเตมบวกและนอยกวา 11

PROBLEM SOLVING TIP

การเขยนแผนภาพเวนน ในขอ 2) ใหเตมสมาชกของ A ∩ B กอนทกครง

5.การหาผลการด�าเนนการของเซตตงแตสองการด�าเนนการขนไป(TwoorMoreSetOperations)

ก�าหนด 𝓤= { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทนอยกวา 11 } A = { x | x เปนจ�านวนคบวก }และ B = { x | x เปนตวประกอบของ 12 } 1) ใหเขยนเซต 𝓤 เซต A และเซต B แบบแจกแจงสมาชก

2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝓤, เซต A และเซต B

3) ใหหา (A ∪ B)′ และ A ∩ B′

วธท�า 1) 𝒰 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 2, 4, 6, 8, 10 }

B = { 1, 2, 3, 4, 6 }

2)

3) (A ∪ B)′ = { 5, 7, 9 } จาก A = { 2, 4, 6, 8, 10 }

และ B′ = { 5, 7, 8, 9, 10 }

ดงนน A ∩ B′ = { 8, 10 }


A B810

13

5 7 9

24 6

𝒰

INFORMATION

จากตวอยางจะไดวา

A ∩ B′ = A - B

ก�าหนด 𝒰 = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทไมมากกวา 9 } A = { x | x เปนจ�านวนคบวก }และ B = { x | x เปนตวประกอบของ 3 } 1) ใหเขยนเซตของ 𝒰 เซต A และเซต B แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝒰, เซต A และเซต B

3) ใหหา (A ∪ B)′ และ A ∩ B′

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.3 ขอ 7, 11, 15-16

ลองทาด

ก�าหนด 𝓤= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 1, 3, 5, 7, 9 }

B = { 1, 3, 6, 8 }

และ C = { 3, 5, 6, 7, 10 }

1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝓤, เซต A, เซต B และเซต C

2) ใหหา A - (B ∪ C) และ (B ∪ C) - A

วธท�า 1)

2) A - (B ∪ C) = { 9 } (B ∪ C) - A = { 6, 8, 10 }


9

10

8

65 7

13

A B

C2 4

𝒰

ก�าหนด 𝒰 = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 } D = { 2, 4, 6, 8, 10 } E = { 2, 4, 14, 16, 18 }และ F = { 4, 10, 12, 16 }

1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝒰, เซต D, เซต E และเซต F 2) ใหหา D - (E ∪ F) และ (E ∪ F) - D

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

26 เซต 27

X ∪ Y′ คอ เซตของสมาชกทงหมดทอยในเซต X หรอ Y′

ดงนน ใหแรเงาพนททงหมด

ทมเครองหมายถกอยางนอย

1 เครองหมาย

PROBLEM SOLVING TIP

ในตวอยางน แบงแผนภาพออกเปน 4 สวน

PROBLEM SOLVING TIPX

✔ ✔

Y 𝒰

X Y 𝒰

𝒰

✔

X Y

✔ ✔

✔

3) ขนท 1 : ใสเครองหมายถกลงบนสวนทแสดงพนทของ X ∩ Y

ขนท 2 : เนองจาก (X ∩ Y)′ ใหแรเงาพนทไมมเครองหมายถกอย

𝒰X YX ∩ Y′ คอ เซตของสมาชกทงหมดทพบทงในเซต X และ Y′

PROBLEM SOLVING TIP


1) X′ ∪ Y 2) X′ ∩ Y 3) (X ∪ Y)′ 4) X′ ∪ Y′ 5) X′ ∩ Y′ 6) (X ∩ Y′)′

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.3ขอ 13-14, 17

ลองทาด

ใหตรวจสอบวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเปนเทจ

1. (X ∪ Y)′ มคาเทากบ X′ ∪ Y′ และ X′ ∩ Y′

2. (X ∩ Y)′ มคาเทากบ X′ ∩ Y′ และ X′ ∪ Y′

Thinking Time

𝒰

✔

X Y

X Y 𝒰

𝒰X Y


1) X ∪ Y′ 2) X ∩ Y′ 3) (X ∩ Y)′

วธท�า 1) ขนท 1 : ใสเครองหมายถกลงบนสวนทแสดงพนททงสองของเซต X

ขนท 2 : ใสเครองหมายถกลงบนสวนทแสดงพนททงสองของ Y′

ขนท 3 : เนองจาก X ∪ Y′ ใหแรเงาพนททงหมดท

มเครองหมายถกอยางนอย 1 เครองหมาย

2) เนองจาก X ∩ Y′ ใหแรเงาพนททงหมดทม

เครองหมายถก 2 เครองหมาย


𝒰X Y

28 เซต 29


1. ก�าหนด A = { 1, 2, 3, 4, 7 } และ B = { 2, 4, 8, 10 }

1) ใหเขยน A ∩ B แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต A และเซต B

2. ก�าหนด C = { สน�าเงน, สเหลอง, สชมพ, สมวง, สด�า }

และ D = { สน�าเงน, สเขยว, สเหลอง, สสม, สแดง, สชมพ }

1) ใหเขยน C ∩ D แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต C และเซต D

3. ก�าหนด E = { 11, 13, 15, 17 } และ F = { 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20 }

1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต E และเซต F

2) จากแผนภาพ ใหเขยน E ∪ F แบบแจกแจงสมาชก

4. ก�าหนด G = { แอปเปล, สม, กลวย, องน, ทเรยน, ลกแพร }

และ H = { แอปเปล, กลวย, องน, สตรอวเบอรร }

1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต G และเซต H

2) จากแผนภาพ ใหเขยน G ∪ H แบบแจกแจงสมาชก

5.

1) จากแผนภาพทก�าหนด ใหหา A′ 2) ใหหาจ�านวนสมาชกของเซต 𝒰, เซต A และ A′ 3) ใหตรวจสอบวา n(A) + n(A′) = n(𝒰) หรอไม


6. ก�าหนด A = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทมคานอยกวา 6 } และ B = { x | x เปนตวประกอบของ 6 } ใหหา A - B และ B - A

7. ก�าหนด 𝓤 = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทนอยกวา 16 } I = { x | x เปนพหคณของ 4 }

และ J = { x | x เปนตวประกอบของ 8 } 1) ใหเขยนเซต 𝒰, เซต I และเซต J แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝒰, เซต I และเซต J 3) จากแผนภาพ ใหหา (I ∪ J)′ และ I ∩ J′

𝒰A 2

4 6

8

1 3

5

7

ระดบพนฐาน ระดบกลาง

8. ก�าหนด M = { x | x เปนจ�านวนก�าลงสองสมบรณ และ 0 < x < 70 } และ P = { x | x เปนจ�านวนก�าลงสามสมบรณ และ 0 < x < 70 } 1) ใหเขยนเซต M และเซต P แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต M และเซต P 3) จากแผนภาพ ใหเขยน M ∩ P แบบแจกแจงสมาชก

9. ก�าหนด T = { x | x เปนพหคณของ 4 และ 0 < x < 16 } และ S = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกและเปนตวประกอบของ 24 } 1) ใหเขยนเซต T และเซต S แบบแจกแจงสมาชก 2) เขยนแผนภาพแทนเซต T และเซต S 3) จากแผนภาพ ใหหา T ∪ S 4) ใหตรวจสอบวา T ∪ S = S หรอไม เพราะเหตใด

10. ก�าหนด V = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกและเปนตวประกอบของ 25 } และ W = { x | x เปนพหคณของ 6 และ 0 < x < 25 } 1) ใหเขยนเซต V และเซต W แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต V และเซต W 3) จากแผนภาพ ใหหา V ∪ W

11. ก�าหนด 𝓤 = { x | x เปนจ�านวนเตมทไมใชจ�านวนเตมลบ และ x < 12 } P = { x | x เปนพหคณของ 3 } และ Q = { x | x เปนพหคณของ 9 } 1) ใหเขยนเซต 𝒰, เซต P และเซต Q แบบแจกแจงสมาชก 2) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝒰, เซต P และเซต Q 3) จากแผนภาพ ใหหา (1) P ∪ Q (2) (P ∪ Q)′ (3) P′ ∩ Q

12. ก�าหนด 𝓤 = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 } A = { 3, 7, 13, 17, 23 } B = { 2, 5, 7 } และ C = { 2, 7, 11, 19, 29 } 1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝒰, เซต A, เซต B และเซต C 2) ใหหา

(1) A - (B ∪ C) (2) (B ∪ C) - A (3) B - (A ∪ C) (4) (A ∪ B) - C

30 เซต 31


13. ใหแรเงาแผนภาพทก�าหนด เพอแสดงเซตตอไปน

1) P ∪ Q′ 2) P ∩ Q′ 3) (P ∪ Q)′ 4) (P ∩ Q)′ 5) P′ ∪ Q′ 6) P′ ∩ Q′ 7) (P′ ∪ Q)′ 8) (P ∪ Q′)′

14. ใหแรเงาแผนภาพทก�าหนด เพอแสดงเซตตอไปน

1) X ∪ Y′ 2) X ∩ Y′ 3) (X ∪ Y)′ 4) (X ∩ Y)′ 5) X′ ∪ Y′ 6) X′ ∩ Y′ 7) (X′ ∪ Y)′ 8) (X ∪ Y′)′

P Q𝒰

𝒰X Y

𝒰A B

𝒰A B C

15. ส�าหรบเซต A ใด ๆ ใหหาผลการด�าเนนการของเซตตอไปน

1) A ∩ 𝒰 2) A ∪ 𝒰 3) A ∩ ∅ 4) A ∪ ∅

16. ถา A ⊂ B, C ⊂ B และ A ∩ C = ∅ ใหหาผลการด�าเนนการของเซตตอไปน

1) A ∩ B 2) A ∪ B 3) B ∩ C 4) A ∪ C 5) (B ∪ C) ∩ A 6) (B ∩ C) ∩ A 7) (A ∪ C) ∩ B 8) (A ∩ C) ∩ B

17. ใหเขยนเซตซงใชแทนบรเวณทแรเงาตอไปน

1) 2)

จากหวขอท 1.1 นกเรยนทราบมาแลววา ถาเซต A เปนเซตจ�ากดใด ๆ จ�านวนสมาชกของ

เซต A เขยนแทนดวยสญลกษณ n(A) และในหวขอน นกเรยนจะไดศกษาเกยวกบจ�านวนสมาชก

ของเซตจ�ากด

1.4 จ�านวนสมาชกของเซตจ�ากด

จาก Investigation นกเรยนสามารถหาสมการความสมพนธของ n(A), n(B), n(A ∪ B) และ n(A ∩ B) โดยใชแผนภาพ ไดดงน ก�าหนด A และ B เปนเซตจ�ากด เมอ A ∩ B ≠ ∅


n(A - B) + n(A ∩ B) = n(A) ดงนน n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) ......➊ n(B - A) + n(A ∩ B) = n(B) ดงนน n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B) ......➋

Investigation ใหนกเรยนตอบค�าถามตอไปน

1. จากแผนภาพ ใหหา

1) n(A) 2) n(B) 3) n(A ∪ B) 4) n(A ∩ B)

2. ใหหาสมการแสดงความสมพนธของ n(A), n(B), n(A ∪ B) และ n(A ∩ B)

𝒰A

r

s

p

q

tu y

B

𝒰A B

A - B B - AA ∩ B

32 เซต 33


ก�าหนด A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }

B = { 3, 6, 9, 12 }

และ C = { 6, 12, 18, 24 }

1. ใหเขยนแผนภาพแทนเซต A, เซต B และเซต C

2. ใหหาสมการแสดงความสมพนธของ n(A), n(B), n(C), n(A ∪ B ∪ C), n(A ∩ B), n(A ∩ C), n(B ∩ C) และ n(A ∩ B ∩ C)

Class Discussion

A

C

B𝒰

A

C

B𝒰

จาก Class Discussion นกเรยนสามารถหาสมการแสดงความสมพนธของ n(A), n(B), n(C),

n(A ∪ B ∪ C), n(A ∩ B), n(A ∩ C), n(B ∩ C) และ n(A ∩ B ∩ C) โดยแผนภาพ ไดดงน ก�าหนดเซต A เซต B และเซต C เปนเซตจ�ากด เมอ A ∩ B ∩ C ≠ ∅


n(A ∪ B ∪ C) = n[(A ∪ B) ∪ C] จาก n(A ∪ B) = [n(A) + n(B) - n(A ∩ B)] จะไดวา n(A ∪ B ∪ C) = n(A ∪ B) + n(C) - n[(A ∪ B) ∩ C] = [n(A) + n(B) - n(A ∩ B)] + n(C) - n[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - [n(A ∩ C) + n(B ∩ C)

- n[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)]] = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C)

+ n(A ∩ B ∩ C)

ดงนน n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

เมอ A ∩ B ∩ C ≠ ∅

ในกรณทเซต A เซต B และเซต C ไมมสมาชกรวมกน จะไดวา n(A ∩ B ∩ C) = 0 ซงเขยนแผนภาพไดดงน

จากแผนภาพ จะไดวา n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) เมอ A ∩ B ∩ C = ∅

และ n(A ∪ B) = n(A - B) + n(A ∩ B) + n(B - A)

จากสมการ ➊ และ ➋ จะไดวา

n(A ∪ B) = [n(A) - n(A ∩ B)] + n(A ∩ B) + [n(B) - n(A ∩ B)] = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

ดงนน n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) เมอ A ∩ B ≠ ∅

ในกรณทเซต A และเซต B ไมมสมาชกรวมกน จะไดวา n(A ∩ B) = 0 ซงเขยนแผนภาพไดดงน

จากแผนภาพ จะไดวา n(A ∪ B) = n(A) + n(B) เมอ A ∩ B = ∅

A B𝒰

34 เซต 35

n(A∪B) = n(𝒰) - n((A∪B)′)

PROBLEM SOLVING TIP

จากการส�ารวจพนกงานในบรษทแหงหนง ซงมจ�านวน 1,000 คน พบวา 600 คน ชอบดมชา

720 คน ชอบดมกาแฟ ถามพนกงาน 100 คน ไมชอบดมเครองดมทงสองชนดน ใหหา

จ�านวนพนกงานทชอบดมเครองดมทงสองชนด

วธท�า ก�าหนด A แทนเซตของพนกงานทชอบดมชา

และ B แทนเซตของพนกงานทชอบดมกาแฟ

วธท 1 ใชแผนภาพ

ก�าหนด x แทนจ�านวนพนกงานทชอบเครองดมทงสองชนด

จากแผนภาพ จะได (600 - x) + x + (720 - x) + 100 = 1,000 1,420 - x = 1,000 x = 420

ดงนน จ�านวนพนกงานทชอบดมเครองดมทงสองชนดม 420 คน

วธท 2 ใชสตร

จากโจทย จะไดวา n(A) = 600, n(B) = 720,

n(A ∪ B) = 900 และ n(A ∩ B) แทนจ�านวนนกเรยนทชอบดม เครองดมทงสองชนด

จากสตร n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) จะได 900 = 600 + 720 - n(A ∩ B) n(A ∩ B) = 420

ดงนน จ�านวนพนกงานทชอบดมเครองดมทงสองชนดม 420 คน


100

A

600 - x x 720 - x

B 𝒰

จากการส�ารวจนกเรยนหองหนงจ�านวน 35 คน พบวาม 27 คน ชอบเลนกฬาบาสเกตบอล

25 คน ชอบเลนกฬาเทนนส ถาใหนกเรยนแตละคนเลนกฬาอยางนอยหนงอยางจากสองอยาง

ใหหาจ�านวนนกเรยนทชอบเลนกฬาทงสองชนดน

วธท�า ก�าหนด A แทนเซตของนกเรยนทชอบเลนกฬาบาสเกตบอล

และ B แทนเซตของนกเรยนทชอบเลนกฬาเทนนส

วธท 1 ใชแผนภาพ

ก�าหนด x แทนจ�านวนนกเรยนทชอบเลนกฬาทงสองชนดน

จากแผนภาพ จะได (27 - x) + x + (25 - x) = 35 52 - x = 35 x = 17 ดงนน จ�านวนนกเรยนทชอบเลนกฬาทงสองชนดม 17 คน

วธท 2 ใชสตร

จากโจทย จะไดวา n(A) = 27, n(B) = 25, n(A ∪ B) = 35 และ n(A ∩ B) แทนจ�านวนนกเรยนทชอบเลนกฬาทงสองชนด จากสตร n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) จะได 35 = 27 + 25 - n(A ∩ B) n(A ∩ B) = 17 ดงนน จ�านวนนกเรยนทชอบเลนกฬา

ทงสองชนดม 17 คน


เนองจากนกเรยนแตละคนเลนกฬาอยางนอยหนงอยาง ดงนน n(A ∪ B) = n(𝒰)

PROBLEM SOLVING TIP

จากการส�ารวจนกเรยน 300 คน ซงทกคนจะตองเลอกเรยนวชาศลปะหรอวชาคอมพวเตอรอยางนอยหนงวชา พบวา มนกเรยน 220 คน เลอกเรยนวชาศลปะ 180 คน เลอกเรยนวชาคอมพวเตอร ใหหาจ�านวนนกเรยนทเลอกเรยนทงสองวชาน

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.4 ขอ 1-4,6, 11-12

A

27 - x x 25 - x

B 𝒰

36 เซต 37

ในการส�ารวจนกเรยนกลมหนงจ�านวน 40 คน ซงตองลงทะเบยนเรยนวชาภมศาสตร

ประวตศาสตร หรอวรรณกรรมอยางนอยหนงวชา พบวานกเรยนลงทะเบยนเรยนวชาภมศาสตร

20 คน วชาประวตศาสตร 22 คน และวชาวรรณกรรม 28 คน วชาภมศาสตรและวชา

ประวตศาสตร 12 คน วชาประวตศาสตรและวรรณกรรม 14 คน วชาภมศาสตรและวรรณกรรม

15 คน ใหหาจ�านวนนกเรยนทลงทะเบยนเรยนทงสามวชา

วธท�า ก�าหนด A แทนเซตของนกเรยนทลงทะเบยนเรยนวชาภมศาสตร

B แทนเซตของนกเรยนทลงทะเบยนเรยนวชาประวตศาสตร

และ C แทนเซตของนกเรยนทลงทะเบยนเรยนวชาวรรณกรรม

จากสตร n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

จะได 40 = 20 + 22 + 28 - 12 - 15 - 14 + n(A ∩ B ∩ C) 40 = 29 + n(A ∩ B ∩ C) n(A ∩ B ∩ C) = 11

ดงนน จ�านวนนกเรยนทลงทะเบยนเรยนทงสามวชาเทากบ 11 คน


บรษทผลตน�าหอมแหงหนงตองการส�ารวจความนยมกลมน�าหอม จงเชญอาสาสมครจ�านวนหนง

ใหทดลองใชน�าหอมของบรษท 3 กลน ไดแก กลนวนลลา กลนกหลาบ และกลนลาเวนเดอร

ปรากฏวา มอาสาสมครชอบกลนวนลลา 40% ชอบกลนกหลาบ 50% ชอบกลนลาเวนเดอร

30% ชอบกลนวนลลาและกลนกหลาบ 15% ชอบกลนกหลาบและลาเวนเดอร 10% ชอบกลน

วนลลาและกลนลาเวนเดอร 20% และชอบทงสามกลน 7% ใหหาจ�านวนอาสาสมครทชอบ

น�าหอมอยางนอยหนงกลน และจ�านวนอาสาสมครทไมชอบน�าหอมทงสามกลนน

วธท�า ก�าหนด A แทนเซตของอาสาสมครทชอบน�าหอมกลนวนลลา

B แทนเซตของอาสาสมครทชอบน�าหอมกลนกหลาบ

และ C แทนเซตของอาสาสมครทชอบน�าหอมกลนลาเวนเดอร

เนองจากโจทยใหขอมลจ�านวนสมาชกของเซตตางๆ ในรปเปอรเซนต จงสมมต

ใหการส�ารวจครงนมจ�านวนอาสาสมครทงหมด 100 คน ดงนน n(𝒰) = 100

และจากโจทย จะไดวา n(A) = 40, n(B) = 50, n(C) = 30, n(A ∩ B) = 15, n(B ∩ C) = 10, n(A ∩ C) = 20 และ n(A ∩ B ∩ C) = 7


จากการส�ารวจงานอดเรกของเยาวชนจ�านวน 90 คน พบวา 43 คน ชอบเลนดนตร 42 คนชอบอานหนงสอ 48 คน ชอบเลนกฬา 16 คน ชอบเลนดนตรและอานหนงสอ 17 คน ชอบอานหนงสอและเลนกฬา และ 22 คน ชอบเลนกฬาและดนตร ถาใหเยาวชนแตละคนมงานอดเรกอยางนอยหนงกจกรรม ใหหาจ�านวนเยาวชนทมงานอดเรกทงสามกจกรรม

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.4 ขอ 5,7-10

จากสตร n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C)- n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

จะได n(A ∪ B ∪ C) = 40 + 50 + 30 - 15 - 10 - 20 + 7 n(A ∪ B ∪ C) = 82 ดงนน จ�านวนอาสาสมครทชอบน�าหอมอยางนอยหนงกลนเทากบ 82% และจ�านวน

อาสาสมครทไมชอบน�าหอมทงสามกลนนเทากบ 100 - 82 = 18%

Performance Taskใหนกเรยนส�ารวจเพอนรวมชนของนกเรยนวาเดนทางมาโรงเรยนอยางไร น�าเสนอผลการส�ารวจ

โดยใชแผนภาพ และตอบค�าถามตอไปน

A = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงรถโดยสารประจ�าทางมาโรงเรยน } B = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงรถไฟฟามาโรงเรยน } C = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงรถรบ-สงมาโรงเรยน } D = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงแทกซมาโรงเรยน } E = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงรถยนตมาโรงเรยน } F = { x | x เปนเพอนนกเรยนทเดนมาโรงเรยน } G = { x | x เปนเพอนนกเรยนทนงเฮลคอปเตอรมาโรงเรยน } H = { x | x เปนเพอนนกเรยนทมาโรงเรยนดวยวธอน ๆ นอกเหนอจากทกลาวมา }1. นกเรยนคดวา การส�ารวจในกจกรรมนมเซตใดเปนเอกภพสมพทธ

2. จากการส�ารวจมเซตวางหรอไม ถาม นกเรยนจะเขยนเซตวางลงบนแผนภาพหรอไม


3. แมวานกเรยนทกคนจะเดนทางดวยวธทตางกน แตทกคนตองเดนเขามายงโรงเรยน นกเรยน

จะรวมสวนททกคนเดนเทาไวในการส�ารวจหรอไม เพราะเหตใด

4. มเซตททบซอนกนหรอไม ถาม นกเรยนจะแสดงเซตเหลานในแผนภาพอยางไร

5. นกเรยนจะนบตนเองลงในการส�ารวจนหรอไม เพราะเหตใด

38 เซต 39



1. ก�าหนด A, B และ C เปนเซต ซง n(A) = 10, n(B) = 6 และ n(A ∩ B) = 3 ใหหาจ�านวนสมาชกของเซต A ∪ B

2. ก�าหนด C และ D เปนเซต ซง n(C ∪ D) = 44, n(C ∩ D) = 5 และ n(C) = 20 ใหหาจ�านวนสมาชกของเซต D

3. จากการสอบถามนกเรยนจ�านวน 35 คน พบวา 18 คน ชอบเรยนวชาภาษาองกฤษ และ 27 คน

ชอบเรยนวชาคณตศาสตร ใหใชแผนภาพในการหา

1) จ�านวนนกเรยนทชอบเรยนทงสองวชาน

2) จ�านวนนกเรยนทชอบเรยนวชาภาษาองกฤษแตไมชอบเรยนวชาคณตศาสตร

4. จากการสอบถามนกเรยน 120 คน พบวา 80 คน สามารถเลนกตารไดเพยงอยางเดยว 25 คน

สามารถเลนเปยโนไดเพยงอยางเดยว และ 3 คน ไมสามารถเลนไดทงสองอยาง ใหหาจ�านวน

นกเรยนทสามารถเลนไดทงกตารและเปยโน

5. ก�าหนด A, B และ C เปนเซต ซง n(A) = 30, n(B) = n(C) = 28, n(A ∩ B) = 7, n(B ∩ C) = 9, n(A ∩ B ∩ C) = 4 และ n(A ∪ B ∪ C) = 71 ใหหา n(A ∩ C)

6. ก�าหนด A ⊂ B, n(A) และ n(B) = 75 ใหหาคาของ 1) n(A ∩ B) 2) n(A ∪ B)

7. จากการสอบถามนกเรยนในชนเรยนหนง ซงมจ�านวน 38 คน เกยวกบประเทศทเคยเดนทาง

ไปทองเทยว 3 ประเทศ ซงไดแก ประเทศสงคโปร ประเทศญปน และประเทศจน ปรากฏผล

ดงน 4 คน เคยไปทงสามประเทศ 8 คน เคยไปประเทศสงคโปรและประเทศญปน 15 คน

เคยไปประเทศญปนและประเทศจน และ 11 คน เคยไปประเทศสงคโปรและประเทศจน

18 คน เคยไปประเทศสงคโปร 19 คน เคยไปประเทศประเทศญปน 26 คน เคยประเทศไปจน

ใหนกเรยนแสดงขอมลขางตนดวยแผนภาพและใหหา

1) จ�านวนนกเรยนทเคยไปเทยวเพยงประเทศเดยวในสามประเทศน

2) จ�านวนนกเรยนทเคยไปเทยวมากกวาหนงประเทศในสามประเทศน

3) จ�านวนนกเรยนทเคยไปเทยวประเทศสงคโปรหรอจน

4) จ�านวนนกเรยนทไมเคยไปเทยวทงสามประเทศมากอน



11. ก�าหนด n(A) = 24, n(B) = 17 และ n(𝓤) = 40 ใหหาคาทมากทสดและนอยทสดในแตละขอตอไปน

1) n(A ∩ B) 2) n(A ∪ B)

12. มานไปทวรท�าบญทางภาคเหนอครงหนง ปรากฏวา มฝนตกอย 6 วน แตไมมวนทฝนตกทงวน กลาวคอ ถาวนใดฝนตกตอนเชา ตอนบายจะมแดดจา และถาวนใดฝนตกตอนบาย วนนนตอนเชาอากาศจะแจมใส มานจ�าไดวาวนทอากาศแจมใสตอนเชามอย 8 วน และวนทแดดจาตอนบายมอย 10 วน มานไปทวรท�าบญทางภาคเหนอทงหมดกวน

8. ผลการส�ารวจนกเรยน 45 คน ซงทกคนตองเปนสมาชกชมรมกฬาอยางนอยหนงชมรม ไดแก ชมรมวายน�า ชมรมยโด และชมรมเทนนส พบวามนกเรยน 22 คน เปนสมาชกชมรมวายน�า14 คน เปนสมาชกชมรมยโด 32 คน เปนสมาชกชมรมเทนนส 5 คน เปนสมาชกชมรมวายน�าและชมรมยโด 8 คน เปนสมาชกชมรมยโดและชมรมเทนนส 7 คน เปนสมาชกชมรมวายน�าและชมรมเทนนส และ 2 คน เปนสมาชกทงสามชมรม ใหตรวจสอบวาผลการส�ารวจขางตนถกตองหรอไม พรอมทงอธบายเหตผลโดยใชแผนภาพ

9. จากการสมภาษณนกศกษากลมหนงทชอบฟงเพลง พบวา แตละคนชอบเพลงสากล เพลงลกทง และเพลงลกกรงอยางนอยหนงประเภท ดงน

85 คน ชอบเพลงสากล 40 คน ชอบเพลงลกกรงและเพลงลกทง 65 คน ชอบเพลงลกทง 30 คน ชอบเพลงสากลและเพลงลกทง 90 คน ชอบเพลงลกกรง 15 คน ชอบฟงเพลงทงสามประเภท 45 คน ชอบเพลงสากลและเพลงลกกรง 25 คน ไมชอบฟงเพลงทงสามประเภท

ใหหา 1) จ�านวนนกศกษาทงหมดทสมภาษณ 2) จ�านวนนกศกษาทชอบฟงเพลงสากลเพยงอยางเดยว

10. ในการส�ารวจความนยมของคนจ�านวน 150 คน ทมตอนายสมชาย นายสชาต และนายสมบต พบวา 95 คน ชอบนายสมชาย 80 คน ชอบนายสชาต 115 คน ชอบนายสมบต 55 คน ชอบทงนายสมชายและนายสชาต 42 คน ชอบทงนายสมชายและนายสมบต 60 คน ชอบทงนายสชาตและนายสมบต โดยทกคนตองแสดงความนยมคนทงสามอยางนอยหนงคน ใหหา

1) จ�านวนคนทชอบทงสามคน 2) จ�านวนคนทชอบนายสมชาย นายสชาต หรอนายสมบต คนใดคนหนงเพยงคนเดยว

40 เซต 41

เซต


A B 𝒰

1. เซต เปนการอธบายการรวมกนของสงตางๆ ซงสามารถระบไดวาสงใดอยหรอไมอยในเซต

นนอยางชดเจน (well-defined) และเรยกสงทอยในเซตวา สมาชก (element)

2. โดยทวไปมวธเขยนเซตได 2 แบบ คอ

1) การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก เชน A = { 2, 4, 6, 8 }

2) การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชก เชน

A = { x | x เปนจ�านวนคบวกทนอยกวา 10 }

3. เซตจ�ากด เปนเซตทมจ�านวนสมาชกเทากบศนย หรอเทากบจ�านวนเตมบวกใด ๆ

4. เซตอนนต เปนเซตทมจ�านวนสมาชกมากมายนบไมถวน ซงไมสามารถบอกจ�านวนสมาชก

ของเซตได

5. เซต A เทากบเซต B หมายถง สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B และสมาชก

ทกตวของเซต B เปนสมาชกของเซต A นนคอ A = B กตอเมอ A ⊂ B และ B ⊂ A

6. เซตวาง เปนเซตทไมมสมาชกอยเลย เขยนแทนดวยสญลกษณ { } หรอ ∅

7. เอกภพสมพทธ คอ เซตทก�าหนดขอบขายในการพจารณาสมาชกของเซตทกลาวถง

เขยนแทนดวยสญลกษณ 𝒰

8. การเขยนแผนภาพเวนนแทนเซตจะชวยใหเขาใจความสมพนธระหวางเซตตาง ๆ ไดงาย

และชดเจนมากขน

9. เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B

เขยนแทนดวย A ⊂ B

10. เซต A เปนสบเซตแทของเซต B กตอเมอ A ⊂ B และ A ≠ B

A B𝒰

A B𝒰

A𝒰

A B𝒰

11. ถาเซต A มสมาชกเทากบ n ตว แลวจ�านวนสบเซตทงหมดของ A เทากบ 2n เซต

12. เพาเวอรเซตของเซต A คอ เซตของสบเซตทงหมดของ A เขยนแทนดวย P(A) และถาเซต A

มสมาชกเทากบ n ตว แลวจ�านวนสมาชกของ P(A) เทากบ 2n ตว นนคอ n(P(A)) = 2n

13. ถา A และ B เปนสบเซตของเอกภพสมพทธแลว จะไดวา

1) อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอ เซตของ

สมาชกทซ�ากนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย

A ∩ B นนคอ A ∩ B = { x | x∊A และ x∊B }

2) ยเนยนของเซต A และเซต B คอ เซตของสมาชกท

อยในเซต A หรอเซต B เขยนแทนดวย A ∪ B นนคอ A ∪ B = { x | x∊A หรอ x∊B หรอ x เปนสมาชกของทงสองเซต }

3) คอมพลเมนตของเซต A คอ เซตของทกสมาชก

ในเซต 𝒰 แตไมอยในเซต A เขยนแทนดวย A′ นนคอ

A′ = { x | x∊𝒰 และ x∉A }

4) ผลตางระหวางเซต A และเซต B หรอคอมพลเมนต

ของเซต B เทยบกบเซต A คอ เซตทมสมาชกอยใน

เซต A แตไมอยในเซต B เขยนแทนดวย A - B นนคอ

A - B = { x | x∊A และ x∉B }

14. ถา A และ B เปนเซตจ�ากดใด ๆ แลว จะไดวา n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

15. ถา A, B และ C เปนเซตจ�ากดใด ๆ แลว จะไดวา

(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

42 เซต 43

ค�ำชแจง:ใหนกเรยนตอบค�าถามตอไปน

แบบฝกทกษะประจำาหนวยการเรยนรท

1. ก�าหนด A เปนเซตของจ�านวนคบวกทมคานอยกวา 11


3) เซต A เปนเซตจ�ากดหรอไม

2) ใหบอกจ�านวนสมาชกของเซต A

2. ใหเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก และตรวจสอบวาเซตนนเปนเซตวางหรอไม

1) B เปนเซตของจ�านวนเฉพาะทหารลงตวดวย 2

2) C = { x | x เปนชอวนในหนงสปดาหทขนตนดวยตวอกษร “พ” } 3) D = { x | x เปนจ�านวนเตมบวกทเปนตวประกอบของ 24 และเปนพหคณของ 9 } 4) E เปนเซตของรปสเหลยมทมมมสามมมเปนมมปาน

3. ก�าหนด 𝒰 = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } ใหหาคอมพลเมนตของเซตแตละเซตตอไปน

1) A = { -5, -3, -1, 2 }

2) B = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

3) C = { x | x เปนจ�านวนเฉพาะ } 4) D = { x | x เปนจ�านวนเตมทเปนพหคณของ 3 }

4. ก�าหนด A = { ∅, {∅}, { 1, 2 } }

1) ใหหาสบเซตทงหมดของเซต A 2) ใหหาเพาเวอรเซตของเซต A

5. ใหตรวจสอบวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเทจ

1) ถา A∊X และ X ⊂ Y แลว a∊Y

3) ถา X ⊂ Y และ Y ⊂ Z แลว X ⊂ Z 5) ถา a∊X และ a∊P(X)

2) ถา a∊X และ X ⊂ Y แลว a∊y

4) ถา X′ = ∅ และ X = 𝒰

6) ถา a∊X และ {a}∊P(X)

6. ก�าหนด 𝒰 = { x | x เปนจ�านวนเตมและ -7 ≤ x ≤ 7 } A = { x | x เปนจ�านวนเตมและ -7 < x < 7 } และ B = { x | x เปนจ�านวนเตมและ 0 < x ≤ 7 } 1) ใหเขยนเซต 𝒰, เซต A และเซต B แบบแจกแจงสมาชก

2) ใหหา

(1) A′ (2) A ∩ B (3) A ∪ B

1 7. ก�าหนด 𝒰 = { x | x เปนจ�านวนเตมและ 0 < x < 16 } A = { x | x เปนก�าลงสองสมบรณ } และ B = { x | x เปนตวประกอบของ 26 } 1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝒰, เซต A และเซต B

2) จากแผนภาพในขอ 1) ใหหา A′ ∩ B′

8. ก�าหนด 𝒰 = { x | x เปนจ�านวนเตมทอยระหวาง 0 และ 21 } A = { x | x เปนจ�านวนทหารลงตวดวย 5 } และ B = { x | x ไมเปนจ�านวนเฉพาะ } 1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝒰, เซต A และเซต B

2) จากแผนภาพในขอ 1) ใหหา A ∩ B′ และ A - B

9. ก�าหนด 𝒰 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 }

P = { 3, 6, 12, 24, 48 }

Q = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }

และ R = { 4, 8, 12, 16, 24 }

1) ใหเขยนแผนภาพแทนเซต 𝒰, เซต P, เซต Q และเซต R

2) ใหหา

(1) P - (Q ∪ R) (3) Q - (P ∪ R) (2) (Q ∪ R) - P (4) (P ∪ Q) - R

10. ก�าหนด n(A) = 60, n(B) = 55 และ n(𝒰) = 80 ใหหาคาทมากทสดและนอยทสด

ทเปนไปไดของ n(A ∩ B)

11. จากการส�ารวจนกเรยน 200 คน พบวาชอบวชาฟสกส 100 คน ชอบวชาคณตศาสตร 150 คน

และชอบทงสองวชา 80 คน ใหหา

1) จ�านวนนกเรยนทชอบฟสกสอยางเดยว

2) จ�านวนนกเรยนทชอบคณตศาสตรอยางเดยว

3) จ�านวนนกเรยนทไมชอบทงสองวชา

12. จากการส�ารวจการประกอบอาชพการท�านา ท�าสวน และท�าไร ของชาวบานในอ�าเภอหนง

พบวา 59% ประกอบอาชพท�านา 48% ประกอบอาชพท�าสวน 46% ประกอบอาชพท�าไร

29% ประกอบอาชพท�านาและท�าสวน 20% ประกอบอาชพท�าสวนและท�าไร 30% ประกอบ

อาชพท�านาและท�าไร 9% ประกอบอาชพทงสามอาชพน อยากทราบวา

1) ชาวบานทประกอบอาชพท�านาและท�าสวน แตไมท�าไร มกเปอรเซนต

2) ชาวบานทประกอบอาชพอยางนอยสองอาชพในสามอาชพน มกเปอรเซนต

3) ชาวบานทไมไดประกอบอาชพทงสามอาชพน มกเปอรเซนต

44 เซต 45

Documents

[sb] คณิตฯ พื้นฐาน ม4 N1 002-045academic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1520485563_example.pdf · กลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์