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Introducao ao eletromagnetismo
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Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
Teoria Eletromagnética
Prof. José Patrocínio da Silva
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Ementa:
Equações de Maxwell. Condições de contorno para quantidades eletromagnéticas
variáveis no tempo. Campos variando harmonicamente no tempo. Potenciais auxiliares.
Método para solução de problemas de contorno. Vetor de Poyting. Ondas planas, ondas
progressivas e ondas estacionárias. Reflexão e Refração de ondas eletromagnéticas
planas.
Fundamentação matemática importante:
•Álgebra vetorial; Escalares e vetores, vetor unitário, operações com vetores, vetor posição e vetor distância,
componentes de um vetor.
•Sistemas e transformação de coordenadas; Coordenadas: cartesianas (x, y, z), cilíndricas (, , z) e esféricas (r, , )
•Cálculo vetorial Integrais: de linha, de superfície e de volume; o operador del; gradiente de um escalar; divergência
de um vetor e teorema da divergência; rotacional de um vetor e o teorema de Stokes; laplaciano de
um escalar.
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Bibliografia:
Matthew N. O. Sadiku, Elementos de Eletromagnetismo, Editora Bookmam;
William H. Hayt Jr. E John A. Buck, Eletromagnetismo, Editora LCT;
Stuart M. Wentworth, Eletromagnetismo Aplicado, Editora Bookmam;
Branislav M. Notaros, Eletromagnetismo, Editora Pearson.
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
A Lei de Coulomb e Campos Eletrostáticos
• Lei de Coulomb
Quando as cargas possuem o mesmo sinal, a força 𝐹 é de repulsão.
As cargas tendem a se atraírem quando os sinais pertencentes a estas
cargas são opostos.
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
A lei de Coulomb estabelece que: A força entre dois objetos pequenos, separados pelo vácuo ou pelo
espaço livre, a uma distância grande comparada com o os seus
tamanhos, é diretamente proporcional ao produto das cargas de cada um
e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.
2
21
R
QQkF
K – Constante de proporcionalidade;
Q1 e Q2 – Cargas em Coulombs (C),
R – Distância entre as cargas em metros (m);
F – Força em Newtons (N)
FmkmF /109 e /36
1010854,8 9
912
0
Representa a constante
dielétrica no espaço livre.
Origem
Q1
Q2
r1
r2 F12
F21
R12
Se as cargas pontuais estiverem
localizadas em pontos cujos vetores são
respectivamente r1 e r2, então a força F12
sobre a carga Q2 devido a Q1 é dada por:
122
0
2112
ˆ4
raR
QQF
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
R
Ra
RR
rrR
R12
12
12
2112
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
Onde:
Se houver mais de duas cargas pontuais, pode-se usar o princípio da
superposição para determinar a força sobre uma determinada carga. Ou seja, se
houver n cargas Q1, Q2, ... Qn, localizadas, respectivamente, em pontos cujos
vetores posição são r1, r2, ..., rn, a força resultante F sobre a carga Q localizada
no ponto r é dada pela soma vetorial das forças exercidas sobre Q devido as
cargas Q1, Q2, ..., Qn.
3
0
3
20
22
3
10
11
|ˆˆ|4
)ˆˆ(...
|ˆˆ|4
)ˆˆ(
|ˆˆ|4
)ˆˆ(
n
nn
rr
rrQQ
rr
rrQQ
rr
rrQQF
ou
310 |ˆˆ|
)ˆˆ(
4 n
nN
n
nrr
rrQ
QF
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Intensidade de Campo Elétrico:
O vetor intensidade de campo elétrico é
dado pela força por unidade de carga
imersa neste campo elétrico.
)(lim0 Q
FE
Q
3
00 |ˆˆ|4
)(ˆ
4 rr
rrQa
QE R
Para N cargas pontuais
3
0
3
20
22
3
10
11
|ˆˆ|4
)ˆˆ(...
|ˆˆ|4
)ˆˆ(
|ˆˆ|4
)ˆˆ(
n
nn
rr
rrQ
rr
rrQ
rr
rrQE
3
10 |ˆˆ|
)ˆˆ(
4
1
n
nN
n
nrr
rrQE
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Exercícios
Solução do exercício 1. Q1 = 1x10-3 C
Q2 = -2x10-3 C
Q3 = 10x10-9 C
mN ˆ5,7ˆ8,3ˆ5,6ˆ075,0ˆ038,0ˆ65,010
ˆ0453,0ˆ06,0ˆ015,0ˆ038,0ˆ019,0ˆ057,0109
57,132
3,4,12
38,52
2,1,3109
26
3,4,12
14
2,1,3
1036
14
101010
9161
3,4,12
419
2,1,3
4
10
|3,4,1|
3,4,12
|2,1,3|
2,1,3
4
10
|4,1,11,3,0|
4,1,11,3,0102
|1,2,31,3,0|
1,2,31,3,010
4|ˆˆ|
)ˆˆ(
|ˆˆ|
)ˆˆ(
4
|ˆˆ|4
)ˆˆ(...
|ˆˆ|4
)ˆˆ(
|ˆˆ|4
)ˆˆ(
2
2
2
339
93
330
3
330
3
3
3
3
3
03
2
22
31
11
0
30
320
22
310
11
zyxzyx
zyxzyx
n
nn
aaaFaaaF
aaaaaaF
F
QQF
Q
rr
rrQ
rr
rrQQF
rr
rrQQ
rr
rrQQ
rr
rrQQF
z
x
y
3
4
4 3
2
𝑄1
𝑄2
𝑄2
𝐹 13 𝐹 23
𝐹
𝑟
𝑟 23
𝑟 13
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Continuação da solução do exercício 1.
kV/m ˆ750ˆ380ˆ650
1010
ˆ5,7ˆ8,3ˆ5,610
9
3
zyx
zyxaaaE
aaa
Q
FE
Resposta do exercício 2.
nN ˆ04,128,1ˆ004,1 )( zyx aaaFa
V/m ˆ04,128,1ˆ004,1 )( zyx aaaFb
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Dividindo-se Fe por mg tem-se:
2
0
2
4 mas ,cos
coscos r
QFmgsenF
sen
mg
F
T
Tsen
mg
Fee
ee
senrmgsenr
Q2 mas ,cos
4 2
0
2
32
0
2
2
0
2
16coscos)2(4
senmgQmgsensen
Q
)(16cos
16 22
0
222
0
2
tgsenmgQ
sensenmgQ
Conforme solicitado do exemplo, para muito pequeno:
Tem-se:
32
0
2 16 então , mgQsentg
Com isso, isolando o ângulo na equação anterior tem-se:
32
0
2
16 mg
Qα
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Campo devido a distribuições contínuas de carga
Densidades de cargas:
• Densidade Linear L(C/m); Onde índice significa densidade
• Densidade Superficial S (C/m2);
• Densidade Volumétrica v (C/m3).
Onde as relações entre o elemento de carga e a carga são dadas por:
Rv
vv
RS
SSS
RL
LLL
aR
dvEdvQdvdQ
aR
dSEdsQdsdQ
aR
dEdlQdldQ
ˆ4
cargas) de (Volume
ˆ4
cargas) de Superfície
ˆ4
cargas) de (Linha
2
0
2
0
2
0
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
1 – Campo devido a uma linha de cargas:
dzdldQ LL
B
A
z
z
LdzQ
RL a
R
dlE ˆ
4 2
0
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
z
zyxzyx
RL
azzaR
azzayaxazzayaxR
aR
zdE
ˆ)(ˆ
ˆ)(ˆˆˆ)(ˆ)0(ˆ)0(
ˆ4 2
0
2122 )(
ˆ)(ˆˆ
zz
azza
R
Ra
z
R
212222
0
2
0 )(
ˆ)(ˆ
)(4ˆ
4 zz
azza
zz
zda
R
zdE
zLR
L
zd
zz
azzaa
R
zdE
zLR
L
23220
2
0 )(
ˆ)(ˆ
4ˆ
4
aEa
R
zdE L
RL ˆ
2ˆ
4 0
2
0
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
tem somente componente ao longo de z se a carga está distribuída no plano xy,
E um vetor unitário normal a lâmina.
2 – Campo devido a uma superfície de cargas:
Lâmina infinita de carga, no plano xy com uma densidade Uniforme de carga S, a
carga associada a uma área elementar dS é dada por:
naE
nS
s
s
aE
dSQ
dSdQ
ˆ2 0
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Comprovação:
nS
zs
zs
S
zzs
z
zs
ss
aE
ahh
E
adh
dh
Eah
ahddE
EdEh
ahaddEd
dSQdSdQ
ˆ2
ˆ24
ˆ4
ˆ4
ˆ
4
ˆˆ
.por dada é totalcarga a
0
0
2122
0
2
0 0
23220
2322
0
2
2322
0
A contribuição da superfície
1 para o campo elétrico no
ponto p(0, 0, 1) é dada por:
dddSdQ
h
aha
R
Ra
hahaR
aR
dQEda
R
QE
ss
zrr
zr
rr
2122
2122
2
0
2
0
ˆ)ˆ(ˆ
RRˆ)ˆ(
ˆ4
ˆ4
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
3 – Campo devido a um volume de cargas:
Seja uma distribuição volumétrica de carga com densidade uniforme de carga v,
como mostra a figura abaixo. A carga dQ associada ao elemento de volume dv é:
3
3
4aQ
dvQdvdQ
v
vv
asenaa
aR
dvEd
zR
Rv
ˆˆcosˆ
ˆ4 2
0
Devido a simetria de cargas, só temos
componente do campo na direção z
Campo devido a um
volume de cargas
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
zzv
a
z
a rz
rz
z
rz
rz
a
z
rz
rz
a
z
rz
rz
a
z
az
QEa
zdrr
zEdr
R
rzRr
zE
dRdrR
rzr
zEdRdr
R
rz
R
Rr
zE
RzR
rRzdr
zr
RdRrdE
ˆ4
)3
4(
4
1''4
4'
''
4
''
1'8
2'
''
8
2
)1
2
'('
'''
4
2
0
3
2
00
2
2
00
'
'
22
2
0
'
'
2
22
0
2
0
'
'
2
22
2
2
0
2
0
2
'
'
2222
2
0 00
dvRR
dvdEaEE vv
zz 2
02
0
cos
4cos
4cosˆ
Usando a regra dos cossenos, Fig. 4.8, tem-se:
'2
''cos
2
'cos
cos2'
'cos'2'
222
222
222
222
zr
Rrz
zR
rRz
zRRzr
zrrzR
Derivando-se a expressão do cos’ e mantendo-se z e r’
fixos, tem-se: '' zrRdRsen
'''''2 dddrsenrdv
Devido a simetria de cargas, só temos componente do campo na direção z.
Precisamos de 𝑑𝑣, 𝑅2 𝑒 cos (𝛼).
(Coordenadas esféricas)
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
zz az
QE ˆ
4 2
0 Resultado para o campo elétrico no ponto P(0, 0, z). Devido à
simetria da distribuição de cargas, o campo elétrico em P(r, , )
pode ser dado pela expressão abaixo:
raz
QE ˆ
4 2
0
Que é idêntico ao campo elétrico produzido, no mesmo ponto,
por uma carga pontual Q localizada na origem ou no centro de
distribuição esférica de carga.
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Resolução de Exercícios:
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Solução:
Para uma linha de cargas (a):
RL a
R
dlE ˆ
4 2
0
(b) derivando a expressão acima com relação a h,
tem-se:
(b) Continuação:
Para o máximo, tem-se: E
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
(c) Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade de carga da linha pode ser dada por:
Fazendo a 0, tem-se
Este resultado, como já era de se esperar, é o mesmo de uma carga pontual.
𝑄 = 𝜌𝐿𝑑𝑙 → 𝑄 = 𝜌𝐿 𝑑𝑙 → 𝑄 = 𝜌𝐿2𝜋𝑎, logo: 𝜌𝐿 =𝑄
2𝜋𝑎
𝐸 =𝜌𝐿𝑎ℎ𝑎 𝑧
2𝜀0 ℎ2 + 𝑎2 3/2
𝐸 =𝑄ℎ
4𝜋𝜀0 ℎ2 + 𝑎2 3/2𝑎 𝑧
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
LEI DE GAUSS E TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
A de Lei de Gauss constitui-se em uma das leis fundamentais do eletromagnetismo.
A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície
fechada é igual à carga total encerrada por esta superfície.
Q
intQ
Onde o fluxo é medido em Coulombs
SD
S
S
fechada Superfície
SdD
vol
vdvQSdD fechada Superfície
Representa a densidade de fluxo elétrico no espaço livre.
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
z
D
y
D
x
DQSdD zyx
S
O Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss) é um teorema
da matemática que está relacionado com o cálculo vetorial. É o resultado de ligações
entre divergência de um campo vetorial com o valor da integral de superfície do fluxo
definido pelo campo.
v
Q
v
SdD
z
D
y
D
x
D
v
S
S
v
zyx
00
limlim
acS
S
v
zyx
v
SdD
z
D
y
D
x
Darg
0lim
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
v
SdD
z
D
y
D
x
D S
S
v
zyx
0lim
v
SdDS
S
v
0limD div D de aDivergênci
A divergência do vetor de fluxo D é a variação do fluxo através de uma
superfície fechada de pequeno volume que tende a zero. Portanto,
as)(cartesian z
D
y
D
x
DDdiv zyx
as)(cilíndric 1
)(1
z
DDD
xDdiv z
)(esféricas 1
)(1
)(1
2
2
D
rsenDsen
rsenDr
rrDdiv r
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
v
S
dvDdivSdDdQ
S v
vdvSdDQ
Aplicando o teorema da divergência à integral de superfície da equação anterior, tem-se:
ade cdensidade D arg
Retomando o procedimento matemático temos:
vS
dvDSdD
Comparando, entre si, as duas últimas equações em relação as integrais de volume, obtem-se:
A equação acima representa uma das quatro equações de Maxwell e estabelece que a densidade
volumétrica de carga é igual a divergência da densidade de fluxo elétrico.
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Exemplo com densidade de fluxo elétrico:
Carga pontual
Linha de carga
Ponto onde se deseja
determinar 𝐷
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Aplicações da Lei Gauss
Carga Pontual
Suponha uma carga pontual posicionada na origem. A escolha da superfície gaussiana
deverá satisfazer as condições de simetria, logo deve-se escolher uma superfície esférica.
Carga pontual
Aplicando-se a lei de Gauss que afirma que Ψ = 𝑄𝑒𝑛𝑙𝑎ç𝑎𝑑𝑎, obtem-
se:
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Aplicações da Lei Gauss
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Aplicações da Lei Gauss
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Aplicações da Lei Gauss
Esfera uniformemente carregada
Esfera de raio a com uma distribuição uniforme de carga 𝜌𝑣 𝐶
𝑚3 . Nesse caso, para
determinar 𝐷 em qualquer ponto, usa-se superfícies gaussianas considerando os casos em
que corre 𝑟 ≤ 𝑎 e 𝑟 ≥ 𝑎. Para 𝑟 ≤ 𝑎, tem-se:
Como = 𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎, disso resulta:
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Aplicações da Lei Gauss
Esfera uniformemente carregada para 𝑟 ≥ 𝑎. Nesse caso, a carga encerrada pela superfície
gaussiana externa a esfera é a carga total distribuída na esfera, ou seja,
𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌𝑣
4
3𝜋𝑎3
Logo, o fluxo total será dado por:
Ψ = 𝐷. 𝑑𝑆 =𝐷𝑟4𝜋𝑟2
mas Ψ = 𝑄𝑖𝑛𝑡, logo:
𝐷𝑟4𝜋𝑟2 = 𝜌𝑣
4
3𝜋𝑎3 → 𝐷 =
𝑎3
3𝑟2 𝜌𝑣𝑎 𝑟, para r ≥ 𝑎.
Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica
Portando, em qualquer ponto considerando uma espera uniformemente carregada, 𝐷
será dado por:
𝐷 =
𝑟
3𝜌𝑣𝑎 𝑟 0 < 𝑟 ≤ 𝑎
𝑎3
3𝑟2 𝜌𝑣𝑎 𝑟 𝑟 ≥ 𝑎
E o módulo de 𝐷 varia segundo o gráfico mostrado na figura abaixo
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