Semana 01 New

Departamento de Ciencias Cajamarca 2014

CURSO: MATEMÁTICA IV

Tema :

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Las ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes tienen numerosas aplicaciones y

pueden resolverse de manera sistemática. Existen, sin embargo, casos donde son preferibles

los métodos alternativos de esta sesión. Recuérdese, por ejemplo, las ecuaciones

)(''' tFkxcxmx y )('1

''' tEIC

RILI

Correspondientes a un sistema masa-resorte-amortiguador y a un circuito RLC en serie,

respectivamente. Con frecuencia ocurre en la práctica que los términos de excitación )(tF

o )(' tE tienen discontinuidades – por ejemplo, cuando el voltaje suministrado a un circuito

eléctrico se activa o desactiva periódicamente –. En este caso los métodos estudiados

pueden ser inconvenientes, por lo que resulta más adecuado el método de transformada de

Laplace.

El operador diferencial D puede verse como una transformación cuando se aplica a la

función )(tf , a partir de la cual se obtiene la nueva función )(')( tftfD . La

transformada de Laplace L { )(tf }= )(sF de una nueva variable independiente s. Después

de aprender como calcular la transformada de Laplace )(sF de una función )(tf , se

presentará la forma en que la transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial

con función desconocida )(tf en una ecuación algebraica )(sF . Debido a que las

ecuaciones algebraicas son generalmente más fáciles de resolver que las ecuaciones

diferenciales, éste es un método que simplifica el problema de encontrar la solución )(tf .

Transformada de Laplace y transformadas inversas


Definición La transformada de Laplace

Dada una función )(tf definida para toda 0t , la transformada de Laplace de f es la

función de F definida como sigue:

)(sF = L { )(tf }=

0)( dttfe st

(1)

para todo valor de s en los cuales la integral impropia converge.

Recuérdese que una integral impropia en un intervalo infinito está definida como el límite

de la integral en el intervalo acotado; esto es,

b

abadttgdttg )(lim)( (2)

Si el límite en (2) existe, entonces se dice que la integral impropia converge; de otra manera

diverge o no existe. En los siguientes ejemplos, la integral impropia de la definición de

L { )(tf } normalmente converge para algunos valores de s y diverge para los otros.

Ejemplo 1

Con 1)( tf para 0t , la definición de la transformada de Laplace en (1) obtiene

L { )(tf } =

se

se

sdte bs

b

stst 11lim

1

00

y por tanto

L {1} = s

1 para 0s (3)

Como en (3), es una buena práctica especificar el dominio de la transformada de Laplace –

tanto en problemas como en ejemplos – . Además, en este cálculo se ha utilizado la

abreviatura común

ba

ba

tgtg )(lim)(

(4)

Observación

El límite calculado en el ejemplo 1 no existiría si s < 0, porque el término bses /1 estaría

no acotado conforme b . Así, L {1} está definida sólo para s > 0. Esto es algo

normal de las transformadas de Laplace; el dominio de la transformada es normalmente de

la forma s > a para algún valor a.

Ejemplo 2

Con atetf )( para 0t , se obtiene


L {ate } =

se

sas

edtedtee bs

b

tastasatst 11

lim

0

)(

0

)(

0

Si s – a > 0 , entonces 0)( tase conforme t ; así, se concluye que

L {ate } =

as

1 para as (5)

Ejemplo 3

Supóngase que attf )( donde a es real y 1a . Entonces

L {at }=

0dtte ast

Si se sustituye stu , = sut / y = sdudt / en la integral, se obtiene

L {at }=

101

)1(1

a

au

a s

aduue

s

para toda s > 0 (de tal manera que 0 stu ). Debido a que !)1( nn si n es un entero

no negativo, se observa que

L {nt }=

1

!ns

n para 0s (6)

Por ejemplo

L { t }= 2

1

s , L {

2t }= 3

2

s , y L {

3t }= 4

6

s

LINEALIDAD DE LAS TRANSFORMADAS

No es necesario realizar a fondo los cálculos de la transformada de Laplace directamente de

la definición. Una vez que se conocen las transformadas de Laplace de varias funciones,

éstas pueden combinarse para obtener las transformadas de otras funciones. La razón es que

la transformada de Laplace es una operación lineal.

TEOREMA 1 Linealidad de la transformada de Laplace

Si a y b son constantes, entonces

L { )()( tbgtaf }= a L { )(tf } + bL { )(tg } (7)

para toda s tal que las transformadas de Laplace tanto de f como de g existen.


Ejemplo 4

El cálculo de L {2/nt } se basa en el conocido valor especial

2

1

de la función gamma, y las propiedades 1)1( y )()1( xxx . por ejemplo , se

concluye que

4

3

2

1

2

1.

2

3

2

3

2

3

2

5

Ahora, con las fórmulas (6) y (7) se obtiene

L {2/32 43 tt } = 3.

532/53

36

2/54!2

ssss

Ejemplo 5

Recuérdese que 2/cosh ktkt eekt . Si 0k , entonces el teorema 1 y el ejemplo 2 en

conjunto dan como resultado

L { ktcosh } = 2

1 L {

kte } 2

1 L {

kte} =

ksks

11

2

1

esto es,

L { ktcosh } = 22 ks

s

para 0 ks (8)

De manera similar,

L { ktsenh } = 22 ks

k

para 0 ks (9)

Debido a que 2/cos iktikt eekt la fórmula en (5), con a = ik, proporciona

L { ktcos } = 22

2

2

111

iks

s

iksiks

y así,

L { ktcos } = 22 ks

s

para 0s (10)

(Se concluye que el dominio es para s > Re[ik] = 0). De manera similar,

L { ktsen } = 22 ks

k

para 0s (11)


Ejemplo 6

Aplicando la linealidad, la fórmula dada en (10) y la conocida identidad trigonométrica se

obtiene

L { tsene t 3 23 22 } = L { te t 6cos13 2 }

0 para

)36)(2(

72 1443

36

1

2

3

2

3

2

ssss

ss

s

s

ss

TRANSFORMADAS INVERSAS

Si )(sF es la transformada de alguna función continua )(tf , entonces )(tf está

determinada de manera única. Esta observación permite construir la siguiente definición,

Definición

Si )(sF L { )(tf } , entonces se llama )(tf a la transformada inversa de Laplace de

)(sF , y se escribe

)(tf L – 1

{ )(sF } (12)

Ejemplo 7

Empleando las transformadas de Laplace que se obtuvieron en los ejemplos 2, 3 y 5, se

observa que

L – 1

{3

1

s} =

2

2

1t , L

– 1 {

2

1

s} =

te 2 , L

– 1 {

9

22 s

} = tsen 3 3

2

Notación – Funciones y sus transformadas

A lo largo de esta sesión se han representado las funciones de t con letras minúsculas. La

transformada de una función siempre se representará con la misma letra, pero mayúsculas.

Así, F(s) es la transformada de Laplace de f (t), y x(t) es la transformada inversa de Laplace

de X(s).

FUNCIONES CONTINUAS POR TRAMOS

Definición

Se dice que la función f (t) es continua por tramos en el intervalo acotado bta siempre

que [a, b] pueda subdividirse en varios subintervalos finitos colindantes, de tal manera que:

1. f sea continua en el interior de cada uno de estos subintervalos; y

2. f (t) tenga un límite finito conforme t se aproxime a cada extremo de cada

subintervalo desde su interior.


Se dice que f es continua por tramos para 0t

si es continua por tramos en todo subintervalo

acotado de ,0[ . Así, una función continua

por tramos tiene sólo discontinuidades simples

(si las hubiera) y únicamente en puntos aislados.

En estos puntos el valor de la función

experimenta un salto finito, como se indica en la

figura

El salto en f (t) en el punto c está definido como )()( cfcf , donde

)(lim)(0

cfcf y )(lim)(0

cfcf

Probablemente la función continua por tramos más simple (pero discontinua) es la función

escalón unitario, cuya gráfica se muestra en la figura. Esta función se define como sigue

0 1

0 0 )(

tpara

tparatu

Debido a que 1)( tu para 0t , y a que la transformada de Laplace involucra sólo

valores de la función para 0t , se observa inmediatamente que

L { )(tu } = s

1

La gráfica de la función escalón unitario )()( atutua se muestra en la figura. El salto

de esta función ocurre en t = a en vez de en t = 0; de manera equivalente,

atpara

atparaatutua

1

0 )()(

Ejemplo 8

Encuentre L { )(tua } si 0a

Solución

L { )(tua } = )0 ,0( ,lim)(0

ass

e

s

edtedttue

asb

at

st

ba

st

a

st


Definición

Se dice que la función f es de orden exponencial conforme t si existen constantes no

negativas M, c y T tales que

ctMetf )( para Tt

(13)

Así, una función es de orden exponencial siempre que su incremento (conforme t ) no

sea más rápido que un múltiplo constante de alguna función exponencial con un exponente

lineal. Los valores particulares de M, c y T no son tan importantes; lo importante es que

algunos de esos valores existan de tal manera que la condición en (13) se satisfaga.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Aplique la definición para encontrar la transformada de Laplace de las funciones

a) ttf )(

b) 2)( ttf

c) 13)( tetf

d) ttf cos)(

e)

f)

g)

h)

2. Utiliza las transformadas ya conocidas para encontrar las transformadas de Laplace de

las funciones en los ejercicios siguientes (puede necesitar una integración preliminar

por partes)

a) tttf 3)( 2 b) 35 43)( tttf


c) tettf 32)(

d) tettf 104)(

e) ttf 5cosh1)(

f) ttsentf 2cos2)(

g) ttf 2cos)( 2

h) ttsentf 3cos3)(

i) tttf 2cos)(

3. Utilice las transformadas conocidas para encontrar las transformadas inversas de

Laplace de las funciones en los ejercicios

a) 4

3)(

ssF

b) 3)( ssF

c) 5

21)(

sssF

d) 5

1)(

ssF

e) 4

3)(

ssF

f) 4

13)(

2

s

ssF

g) 9

35)(

2

s

ssF

h) 24

9)(

s

ssF

TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

TEOREMA

Suponga que la función )(tf es continua y suave por tramos para 0t y que es de orden

exponencial cuando t , entonces la L { )(' tf } existe para cs , y

L { )(' tf } = s L { )(tf } – )0()()0( fssFf

La función f se llama suave por tramos en el intervalo acotado [a, b] si es continua por

tramos en [a, b] y derivable salvo en ciertos puntos finitos, siendo )(' tf continua por

tramos en [a, b].

COROLARIO

Suponga que las funciones f , 'f , ''f , … , )1( nf son continuas y suaves por tramos para

0t y cada una de estas funciones es de orden exponencial con los mismos valores de M y

c. Entonces, la L { )()( tf n} existe cuando cs y

L { )()( tf n} =

ns L { )(tf } – 1ns )0(f –

2ns )0('f – … – )0()1( nf

= )0()0(...)0()( )1()2(1 nnnn fsffssFs


TEOREMA Traslación sobre el eje s

Si )(sF L { )(tf } existe para s > c , entonces L { )(tfeat} existe para s > a + c , y

L { )(tfeat} = )( asF

De manera equivalente,

L – 1

{ )( asF } = )(tfeat

Ejemplo 9

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

sss

ssF

82

1)(

23

2

Solución

Utilizamos fracciones parciales para descomponer

42)4)(2(

1

82

1 2

23

2

s

C

s

B

s

A

sss

s

sss

s

Al calcular los valores de A, B y C se obtienen los resultados

4

24/17

2

12/58/1

82

123

2

ssssss

s

y entonces,

L – 1

tt ee

sss

s 42

23

2

24

17

12

5

8

1

82

1

FUNCIÓN DE HEAVISIDE

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su

nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0

para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo. Tiene

aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representa una señal que

se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.


En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien

activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o

una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto

tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir

una función especial llamada función escalón unitario o función Heaviside.

La función Heaviside, es una función discontinua cuyo valor es 1 para el argumento

positivo y 0 en el resto del intervalo

at

atatu

, 1

, 0 )(

Definimos )( atu sólo en el eje t no negativo, puesto que es todo lo que nos interesa en el

estudio de la transformada de Laplace.

En el sentido más amplio, 0)( atu cuando t < a. Cuando una función f definida para

0t , se multiplica por )( atu , la función escalón unitario “desactiva” una porción de la

gráfica de esa función

TEOREMA Traslación sobre el eje t

Si L { )(tf } existe para s > c , entonces

L { )()( atfatu } = )(sFe as

y

L – 1

{ )(sFe as} = )()( atfatu

Para s > a + c

Obsérvese que

atatf

atatfatu

, )(

, 0 )()(

Así, el teorema implica que L – 1

{ )( asFe as } es la

función cuya gráfica para at es la traslación en a

unidades hacia la derecha de la gráfica de )(tf para

0t


FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC

En muchos sistemas mecánicos, eléctricos, etc; aparecen fuerzas externas muy grandes en

intervalos de tiempo muy pequeños, por ejemplo un golpe de martillo en un sistema

mecánico, o un relámpago en un sistema eléctrico. La forma de representar esta fuerza

exterior es con la función Dirac.

Consideremos la función )(tf , definida por

tsi

tsitf

0

0 1

)(

donde 0 y que es muy pequeño.

A la función )(tf , así definida se le denomina función impulso, y cuando 0 la

altura de la región rectangular sombreada crece indefinidamente y la base decrece, de tal

manera que el área siempre es igual a 1, es decir

1)(0

dttf

A la función )(lim)(0

tft

se denomina función impulso unitario o función Delta de

Dirac.

Ahora calculemos su transforma de Laplace

L { )(tf } =

dttfedttfedttfe ststst )()()(00

ss

e

s

edt

e sstst

1

00

L { )(tf } s

e s

1

Como )(lim)(0

tft

L { )(t } = 0

lim

L { )(tf }

L { )(t } = 0

lim

s

e s

1=

0lim

s

se s

= 1


Por tanto L { )(t } = 1, además L { )( at } = ase


1. Aplique una transformada de Laplace a la ecuación diferencial

a) tey

dx

dy 23 sujeta a 1)0( y

b) 2)()(''4 tyty sujeta a 0)0( y , 2/1)0(' y

2. Aplique el teorema de traslación para encontrar las transformadas de Laplace de las

funciones

a) tettf 4)(

b) tettf 42/3)(

c) tsenetf t 3)( 2

d) 8/2cos)( 2/ tetf t

3. Emplee el teorema de traslación para obtener las transformadas inversas de Laplace de

las funciones

a) 42

3)(

ssF

b) 31

1)(

s

ssF

c) 44

1)(

2

sssF

d) 54

2)(

2

ss

ssF

e) 256

53)(

2

ss

ssF

f) 20129

32)(

2

ss

ssF

4. Utilice fracciones parciales para hallar las transformadas inversas de Laplace de las

funciones

a) 4

1)(

2

ssF

b) ss

ssF

3

65)(

2

c) 107

25)(

2

ss

ssF

d) sss

ssF

2

45)(

23

5. Utilice el teorema de traslación en el eje t para calcular la transformada de Laplace de

las funciones

a)

3 , 0

3 , 2 )(

t

ttf

b)

3 ,

3 , 0 )(

2 tt

ttg

c)

2 , 0

20 , )(

t

tsenttf

d)

2 , 0

20 , 2cos )(

t

tttf


6. Utilice el teorema de traslación en el eje t para calcular la transformada de Laplace de

las funciones

a) 2

3

)(s

esF

s

b) 2

3

)(s

eesF

ss

c) 2

)(

s

esF

s

d) 1

)(2

s

esF

s

TRANSFORMADAS DE PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

Se presentará ahora la aplicación de la transformada de Laplace para resolver una ecuación

diferencial con coeficientes constantes, tal como

)()()(')('' tftcxtbxtax (1)

con condiciones iniciales dadas 0)0( xx y ')0(' 0xx . Mediante la linealidad de la

transformada de Laplace podemos transformar la ecuación (1) tomando de manera separada

la transformada de Laplace de cada término de la ecuación. La ecuación transformada es

a L { )('' tx } + b L { )(' tx } + c L { )(tx } = L { )(tf } (2)

esta ecuación involucra las transformadas de las derivadas 'x y ''x de la función

desconocida )(tx .

Para transformar la ecuación (1) se necesita

L { )('' tx } = )0(')0()(2 xsxsXs

L { )(' tx } = )0()( xssX

Ejemplo

Resuélvase el problema con valores iniciales

1)0(' , 2)0( ; 06''' xxxxx

Solución

Con los valores iniciales dados, se tiene

L { )(' tx } = 2)()0()( ssXxssX

L { )('' tx } = 12)()0(')0()( 22 ssXsxsxsXs


donde )(sX representa la transformada de Laplace de la función desconocida )(tx . De

esta manera, la ecuación transformada es

0)(62)(12)(2 sXssXssXs

la cual se simplifica en

032)(62 ssXss

Así,

)2)(3(

32

6

32)(

2

ss

s

ss

ssX

Por el método de fracciones parciales se tiene

)(sX L { )(tx } 2

5/7

3

5/3

ss

Como L – 1

{ )/(1 as } = ate , se sigue que

tt eetx 23

5

7

5

3)(


1. Utilice la transformada de Laplace para resolver los problemas con valores iniciales en

a) 0)0(' , 5)0( , 04'' xxxx

b) 3)0(' , 2)0( , 015'8'' xxxxx

c) )0(' 0)0( , 2'' xxtsenxx

d )

0)0(' , 1)0( , 3cos'' xxtxx

e) 3)0(' , 2)0( , 025'6'' xxxxx

f) 0)0(' )0( , 8'4'' xxexxx t

2. Movimiento libre no amortiguado Una masa

que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte.

En t = 0 se libera la masa desde un punto que

está 8 pulgadas debajo de la posición de

equilibrio con una velocidad ascendente de 4/3

pie/s. Determine la ecuación del movimiento.


3. La figura muestra una viga de longitud 2 que está empotrada en un soporte por el

lado izquierdo y libre por la derecha. La deflexión vertical de la viga a una distancia x

del soporte se denota )(xy . Si la viga tiene una carga concentrada L que actúa sobre

ella en el centro de la viga, entonces la deflexión debe satisfacer el problema simbólico

con valores en la frontera

)()()4( xLxEIy

0)2(''')2('')0(')0( yyyy

donde E, es el módulo de

elasticidad, e I, es el momento de

inercia, son constantes. Determine

una fórmula para el desplazamiento

)(xy en términos de las constantes

, L, E, e I.

4. Vibraciones mecánicas La masa del sistema masa-resorte-amortiguador está sometida

a una fuerza periódica externa )2(4)( tsentf aplicada en el tiempo t = 0 .

Determinar el desplazamiento resultante de )(tx de la masa en el tiempo t, suponiendo

que la velocidad y posición iniciales son cero para ambos casos.


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