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Sistemas de Ecuaciones Lineales yMatrices
Oscar G Ibarra-Manzano, DSc
Departamento de Area Basica - Tronco Comun DES de IngenierıasFacultad de Ingenierıa, Mecanica, Electrica y Electronica
Trimestre Invierno 2008,10 de enero de 2008
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Contenido
1 Sistemas de ecuaciones lineales y matricesSistemas de ecuaciones lineales - eliminacion deGauss-JordanResumen
2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricialVectores y matrices - productos vectorial y matricialResumen
3 Matrices y sistemas de ecuaciones linealesMatrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Contenido
1 Sistemas de ecuaciones lineales y matricesSistemas de ecuaciones lineales - eliminacion deGauss-JordanResumen
2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricialVectores y matrices - productos vectorial y matricialResumen
3 Matrices y sistemas de ecuaciones linealesMatrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la lınea recta
x
y
(x2, y2)
(x1, y1)
∆x
∆y
La lınea rectaAlgunos hechos fundamentales sobre la lınearecta son:
Propiedad:
La pendiente m de una recta que pasa porlos puntos (x1, y1) y (x2, y2) esta dada por:
m = y2−y1x2−x1
= ∆y∆x si x1 6= x2
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la lınea recta
x
y
(x2, y2)
(x1, y1)∆x = 0
∆y
La lınea rectaAlgunos hechos fundamentales sobre la lınearecta son:
Propiedad:
Si x2 − x1 = 0 y y2 6= y1, entonces la rectaes vertical y se dice que la pendiente esindefinida.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la lınea recta
x
y
b
y = mx + bm = ∆y
∆x
La lınea rectaAlgunos hechos fundamentales sobre la lınearecta son:
Propiedad:
Cualquier recta (excepto una con pendienteindefinida) se puede describir escribiendosu ecuacion en la formapendiente-ordenada y = mx + b, donde mes la pendiente de la recta y b es laordenada.
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la lınea recta
x
y
L1 : m1
L2 : m2b1
b2
y = mx + b
La lınea rectaAlgunos hechos fundamentales sobre la lınearecta son:
Propiedad:
Dos rectas distintas son paralelas si y solosi tienen la misma pendiente.
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la lınea recta
x
y
m = − ab
ax + by = c
La lınea rectaAlgunos hechos fundamentales sobre la lınearecta son:
Propiedad:
Si la ecuacion de la recta se escribe en laforma ax + by = c (b 6= 0), entonces, sepuede calcular facilmente la pendiente dela recta como, m = − a
b .
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la lınea recta
x
y
L1 : m1 L2 : m2
m2 = − 1m1
La lınea rectaAlgunos hechos fundamentales sobre la lınearecta son:
Propiedad:
Si m1 es la pendiente de la recta L1, y m2es la pendiente de la recta L2, m1 6= 0 y L1y L2 son perpendiculares, entoncesm2 = − 1
m1.
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la lınea recta
x
y
L : m = 0
La lınea rectaAlgunos hechos fundamentales sobre la lınearecta son:
Propiedad:
Las rectas paralelas al eje x tienen unapendiente de cero.
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la lınea recta
x
y
L : m→ indefinida
La lınea rectaAlgunos hechos fundamentales sobre la lınearecta son:
Propiedad:
Las rectas paralelas al eje de las y tienenuna pendiente indefinida.
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Dos ecuaciones lineales con dos incognitas
Sistema de ecuacionesConsideremos el sistema dedos ecuaciones con dosincognitas:
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
Un sistema con una solucion unicaConsidere el sistema
x − y = 7x + y = 5
SolucionSumando ambas ecuaciones y despuesrestandolas, obtenemos:
x = 6y = −1
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Dos ecuaciones lineales con dos incognitas
Sistema de ecuacionesConsideremos el sistema dedos ecuaciones con dosincognitas:
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
Un sistema con un numero infinito desolucionesConsidere el sistema
x − y = 72x − 2y = 14
SolucionPara este sistema podemos observar que2(x − y = 7), por lo tanto la solucion es de laforma:
y = x − 7
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Dos ecuaciones lineales con dos incognitas
Sistema de ecuacionesConsideremos el sistema dedos ecuaciones con dosincognitas:
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
Un sistema sin solucionConsidere el sistema
x − y = 72x − 2y = 13
Solucion
En este caso tenemos 2(x − y = 132 ), por lo
tanto las rectas son paralelas y diferentes.
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Representacion matricial de sistemas lineales
La matriz de coeficientes, A es:
A =
2 4 64 5 63 1 −2
DefinicionUna Matriz es un arreglo rectangular denumeros. Por ejemplo, para el sistema deecuaciones lineales:
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Representacion matricial de sistemas lineales
La matriz aumentada del sistemaes: 2 4 6 | 18
4 5 6 | 243 1 −2 | 4
DefinicionUna Matriz es un arreglo rectangular denumeros. Por ejemplo, para el sistema deecuaciones lineales:
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Operaciones elementales en una matriz:
Operaciones elementales con renglones1 Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero.2 Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon.3 Intercambiar dos renglones.
Ejemplo: 2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 −2 | 4
R1 →12
R1−−−−−−−→
1 2 3 | 94 5 6 | 243 1 −2 | 4
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Operaciones elementales en una matriz:
Operaciones elementales con renglones1 Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero.2 Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon.3 Intercambiar dos renglones.
Ejemplo:
2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 −2 | 4
R2 → R2 − 2R1−−−−−−−−−−−→
2 4 6 | 180 −3 −6 | −123 1 −2 | 4
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Operaciones elementales en una matriz:
Operaciones elementales con renglones1 Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero.2 Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon.3 Intercambiar dos renglones.
Ejemplo: 2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 −2 | 4
R1 � R2−−−−−−→
4 5 6 | 242 4 6 | 183 1 −2 | 4
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 −2 | 4
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 −2 | 4
R1 → 1
2 R1−−−−−−−→ 1 2 3 | 9
4 5 6 | 243 1 −2 | 4
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
1 2 3 | 94 5 6 | 243 1 −2 | 4
R2 → R2 − 4R1R3 → R3 − 3R1−−−−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9
0 −3 −6 | −120 −5 −11 | −23
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
1 2 3 | 90 −3 −6 | −120 −5 −11 | −23
R2 → − 1
3 R2−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9
0 1 2 | 40 −5 −11 | −23
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
1 2 3 | 90 1 2 | 40 −5 −11 | −23
R3 → R3 + 5R2−−−−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9
0 1 2 | 40 0 −1 | −3
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
1 2 3 | 90 1 2 | 40 0 −1 | −3
R3 → − 1
1 R3−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9
0 1 2 | 40 0 1 | 3
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
1 2 3 | 90 1 2 | 40 0 1 | 3
1x1 + 2x2 + 3x3 = 9
1x2 + 2x3 = 41x3 = 3 x1
x2x3
=
9− 2x2 − 3x34− 2x3
3
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
2 4 6 | 184 5 6 | 242 7 12 | 30
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
2 4 6 | 184 5 6 | 242 7 12 | 30
R1 → 1
2 R1−−−−−−−→ 1 2 3 | 9
4 5 6 | 242 7 12 | 30
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
1 2 3 | 94 5 6 | 242 7 12 | 30
R2 → R2 − 4R1R3 → R3 − 2R1−−−−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9
0 −3 −6 | −120 3 6 | 12
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
1 2 3 | 90 −3 −6 | −120 3 6 | 12
R2 → − 1
3 R2−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9
0 1 2 | 40 3 6 | 12
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
1 2 3 | 90 1 2 | 40 3 6 | 12
R1 → R1 − 2R2−−−−−−−−−−−→R3 → R3 − 3R2−−−−−−−−−−−→ 1 0 −1 | 10 1 2 | 40 0 0 | 0
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30
Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cjRi
4 Se repite para todos loselementos del pivote.
1 0 −1 | 10 1 2 | 40 0 0 | 0
1x1 − x3 = 1
1x2 + 2x3 = 4 x1x2x3
=
1 + x34− 2x3
x3
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Resumen
Resumen
TeoremaEl sistema
a11x + a12y = b1a21x + a22y = b2
Tiene una solucion unica si y solo si a11a22 − a12a21 6= 0.No tiene solucion o tiene un numero infinito de soluciones si ysolo si a11a22 − a12a21 = 0.
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Resumen
Resumen
Reduccion de Gauss & Gauss-JordanEn la eliminacion Gaussiana se reduce por renglon la matriz decoeficientes a la forma escalonada por renglones, se despeja elvalor de la ultima incognita y despues se usa la sustitucion haciaatras para las demas incognitas.En la eliminacion de Gauss-Jordan se reduce por renglon lamatriz de coeficientes a la forma escalonada reducida porrenglones usando el procedimiento descrito.
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Resumen
Resumen
Problemas - Tarea1 Pruebe que la distancia entre un punto (x1, y1) y la recta
ax + by = c esta dada por:
d = |ax1+by1+c|√a2+b2
2 Encuentre la distancia entre la recta 2x − y = 6 y el punto deinterseccion de las rectas 2x − 3y = 1 y 3x + 6y = 12.
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Resumen
Resumen
Problemas - Tarea - Reduccion de Gauss-Jordan1 ¿Para que valor de k tendra soluciones no triviales el siguiente
sistema?:
1x + 1y + 1z = 02x + 3y + 4z = 03x + 4y + kz = 0
2 Comprueba el resultado aplicando la reduccion de Gauss-Jordan
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Contenido
1 Sistemas de ecuaciones lineales y matricesSistemas de ecuaciones lineales - eliminacion deGauss-JordanResumen
2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricialVectores y matrices - productos vectorial y matricialResumen
3 Matrices y sistemas de ecuaciones linealesMatrices y sistemas de ecuaciones lineales
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Definiciones y operaciones basicas
Vector renglon de n componentes
Se define a un vector renglon de n componentes como unconjunto ordenado de n numeros escritos de la siguiente manera:(
x1 x2 · · · xn)
Ejemplo: 5-vector renglon
x =(
2 1 3 5 −1)
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Definiciones y operaciones basicas
Vector columna de n componentes
Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenadode n numeros escritos de la siguiente manera:
x1x2...
xn
Ejemplo: 3-vector columna
u =
−110
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Definiciones y operaciones basicas
Espacio vectorial Rn
Se usa el sımbolo Rn para denotar al conjunto de todos losn-vectores:
a1a2...
an
cada ai es un numero real
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Definiciones y operaciones basicas
MatrizUna matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn numerosagrupados en m renglones y n columnas.
A =
a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 a2j a2n...
......
...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...
......
...am1 am2 · · · amj · · · amn
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicacion de matrices
Suma de matricesConsideremos A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices m × n. Entonces lasuma de A y B es una matriz m × n, A + B dada por:
A + B = aij + bij
=
a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
......
...am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn
Es decir, A + B es una matriz de m × n que se obtiene al sumar lascomponentes correspondientes de A y B.
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicacion de matrices
Multiplicacion de una matriz por un escalar
Si A = (aij ) es una matriz m × n y si α es un escalar, entonces lamatriz m × n, αA, esta dada por:
αA = (αaij )
=
αa11 αa12 · · · αa1nαa21 αa22 · · · αa2n
......
...αam1 αam2 · · · αamn
Es decir, αA = (αaij ) es una matriz obtenida al multiplicar cadacomponente de A por α.
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicacion de matrices
TeoremaSean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.Entonces:
1 A + 0 = A2 0A = 03 A + B = B + A (ley conmutativa)4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)6 1A = A7 (α + β)A = αA + βA
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicacion de matrices
TeoremaSean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.Entonces:
1 A + 0 = A2 0A = 03 A + B = B + A (ley conmutativa)4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)6 1A = A7 (α + β)A = αA + βA
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicacion de matrices
TeoremaSean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.Entonces:
1 A + 0 = A2 0A = 03 A + B = B + A (ley conmutativa)4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)6 1A = A7 (α + β)A = αA + βA
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicacion de matrices
TeoremaSean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.Entonces:
1 A + 0 = A2 0A = 03 A + B = B + A (ley conmutativa)4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)6 1A = A7 (α + β)A = αA + βA
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicacion de matrices
TeoremaSean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.Entonces:
1 A + 0 = A2 0A = 03 A + B = B + A (ley conmutativa)4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)6 1A = A7 (α + β)A = αA + βA
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicacion de matrices
TeoremaSean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.Entonces:
1 A + 0 = A2 0A = 03 A + B = B + A (ley conmutativa)4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)6 1A = A7 (α + β)A = αA + βA
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicacion de matrices
TeoremaSean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.Entonces:
1 A + 0 = A2 0A = 03 A + B = B + A (ley conmutativa)4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)6 1A = A7 (α + β)A = αA + βA
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
Definicion: Producto escalar
Sean a =
a1a2...
an
y b =
b1b2...
bn
dos vectores. Entonces el
producto escalar de a y b, representado por a · b, esta definidocomo:
a · b = a1b1 + a2b2 + · · · anbn
Para poder realizar el producto escalar de a y b es necesario que a y b tengan elmismo numero de componentes
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
TeoremaSean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1 a · 0 = 02 a · b = b · a (ley conmutativa)3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)4 (αa) · b = α(a · b)
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
TeoremaSean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1 a · 0 = 02 a · b = b · a (ley conmutativa)3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)4 (αa) · b = α(a · b)
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Producto escalar
TeoremaSean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1 a · 0 = 02 a · b = b · a (ley conmutativa)3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)4 (αa) · b = α(a · b)
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Producto escalar
TeoremaSean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1 a · 0 = 02 a · b = b · a (ley conmutativa)3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)4 (αa) · b = α(a · b)
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Producto de dos matrices
Definicion:Sea A = (aij ) una matriz m × n, y sea B = (bij ) una matriz de n × p.Entonces el producto de A y B es una matriz de m × p, C = (cij ), endonde:
cij = (renglon i de A) · (columna j de B)
Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglon i de Ay la columna j de B. Si esto se extiende, se obtiene:
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj
Si el numero de columnas de A es igual al numero de renglones de B, entonces sedice que A y B son compatibles bajo la multiplicacion.
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto de dos matrices
Ejemplificacion de la multiplicacion matricial
(cij) =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
ai1 ai2 · · · ain...
......
am1 am2 · · · amn
b11 b12 · · · b1j · · · b1p
b21 b22 · · · b2j · · · b2p...
......
...bn1 bn2 · · · bnj · · · bnp
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Resumen
Resumen
La notacion Σ
El producto escalar y la multiplicacion de dos matrices puede serexpresada de la siguiente forma:
Producto escalar
a · b = a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn
=n∑
i=1
aibi
Multiplicacion de dos matrices
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj
=n∑
k=1
aik bkj
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Resumen
Resumen
Problemas - Tarea1 Sean a11, a12, a21 y a22 numeros reales dados tales que
a11a22 − a12a21 6= 0. Encuentre los numeros b11, b12, b21 y b22
tales que(
a11 a12a21 a22
)(b11 b12b21 b22
)=
(1 00 1
).
2 Calcule A2 si A =
(−1 2
3 4
).
3 Se dice que dos vectores a y b son ortogonales si a · b = 0.Determine todos los numeros α y β tales que los vectores
1−α
23
y
45
−2β7
sean ortogonales.
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Contenido
1 Sistemas de ecuaciones lineales y matricesSistemas de ecuaciones lineales - eliminacion deGauss-JordanResumen
2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricialVectores y matrices - productos vectorial y matricialResumen
3 Matrices y sistemas de ecuaciones linealesMatrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Sistema de m ecuaciones y n incognitas
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
......
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
La matriz de coeficientes es:
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
......
am1 am2 · · · amn
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Sistema de m ecuaciones y n incognitas
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
......
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
Los vectores x y b son:
x =
x1x2...
xn
b =
b1b2...
bm
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Sistema de m ecuaciones y n incognitas
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
......
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones:
Ax = b
Un sistema de ecuaciones lineales es homogeneo si:
Ax = 0
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Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Sistema de m ecuaciones y n incognitas
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
......
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
Ejemplo:
1x1 + 4x2 − 2x3 = 102x1 + 5x2 + 3x3 = 83x1 + 1x2 − 2x3 = 4
A =
1 4 −22 5 33 1 −2
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Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Sistema de m ecuaciones y n incognitas
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
......
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
Ejemplo (continuacion):
1x1 + 4x2 − 2x3 = 102x1 + 5x2 + 3x3 = 83x1 + 1x2 − 2x3 = 4
x =
x1x2x3
,b =
1084
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18
La representacion de la matriz aumentadade Ax = b es: 1 1 −1 | 7
4 −1 5 | 46 1 3 | 18
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18
Reduciendo la matriz aumentada a la formaescalonada, tenemos: 1 1 −1 | 7
4 −1 5 | 46 1 3 | 18
R2 → R2 − 4R1R3 → R3 − 6R1−−−−−−−−−−−→ 1 1 −1 | 7
0 −5 9 | −240 −5 9 | −24
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18
Reduciendo la matriz aumentada a la formaescalonada, tenemos (continuacion): 1 1 −1 | 7
0 −5 9 | −240 −5 9 | −24
R2 → −R2
5−−−−−−−→ 1 1 −1 | 70 1 − 9
5 | 245
0 −5 9 | −24
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18
Reduciendo la matriz aumentada a la formaescalonada, tenemos (continuacion): 1 1 −1 | 7
0 1 − 95 | 24
50 −5 9 | −24
R1 → R1 − R2
R3 → R3 + 5R2−−−−−−−−−−−→ 1 0 45 | 11
50 1 − 9
5 | 245
0 0 0 | 0
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Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18
La reduccion queda como: 1 0 45 | 11
50 1 − 9
5 | 245
0 0 0 | 0
La solucion serıa: x1
x2x3
=
115 −
45 x3
245 + 9
5 x3x3
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Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18
Considerando las soluciones x1 y x2 parax3 = 1 y x3 = 2, respectivamente:
x1,2 =
x1x2x3
=
115 −
45 x3
245 + 9
5 x3x3
La soluciones serıan:
x1 =
75
3351
x2 =
35
4252
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Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18
Consideremos ahora el vector x = x1 − x2:
x =
753351
− 3
54252
=
45− 9
5−1
efectuando la multiplicacion Ax: 1 1 −1
4 −1 56 1 3
45− 9
5−1
=
000
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Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
TeoremaSean x1 y x2 soluciones alsistema no homogeneo.Entonces su diferencia x1 − x2,es una solucion al sistemahomogeneo relacionado
A(x1 − x2) = Ax1 − Ax2 = 0
Consideremos ahora el vector x = x1 − x2:
x =
753351
− 3
54252
=
45− 9
5−1
efectuando la multiplicacion Ax: 1 1 −1
4 −1 56 1 3
45− 9
5−1
=
000
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