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7Soluciones a los ejercicios y problemas
PÁGINA 159
i s t e m a s d e e c u a c i o n e s . R e s o l u c i ó n g r á f i c a
1 Representa estas ecuaciones:
a) Escribe las coordenadas del punto de corte.
b)Escribe la solución del sistema que forman ambas ecuaciones.
y = 3 – x y = x – 1
a) Punto de corte: (2, 1). b) Solución del sistema: x = 2, y = 1.
2 Repite el ejercicio anterior para estas ecuaciones:
y = x – 2 y =
a) Punto de corte: (4, 2). b) Solución del sistema: x = 4, y = 2.
y = x – 2
12 – xy = — 4
X –4 0 4 8
Y 4 3 2 1
X 0 2 4 6
Y –2 0 2 4
12 – x4
x – y = 2x + 4y = 12
°¢£
y = 3 – x
y = x – 1
X –2 0 2 4
Y –3 –1 1 3
X –2 0 2 4
Y 5 3 1 –1
x + y = 3x – y = 1
°¢£
S
Pág. 1
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a los ejercicios y problemas
3 Resuelve gráficamente.
a) b)
a) y = 1 – x y =
Solución del sistema: x = –1, y = 2.
b) y = y = 3x + 3
Solución del sistema: x = –2, y = –3.
x – 4y = — 2
y = 3x + 3
X –4 –2 0 2
Y –9 –3 3 9
X –4 –2 0 2
Y –4 –3 –2 –1
x – 42
x + 5y = — 2
y = 1 – x
X –5 –3 –1 1
Y 0 1 2 3
X –5 –3 –1 1
Y 6 4 2 0
x + 52
x – 2y = 43x – y = –3
°¢£
x + y = 1x – 2y = –5
°¢£
Pág. 2
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a los ejercicios y problemas
4 Observa el gráfico y responde.
a) Escribe un sistema cuya solución sea x = 2, y = 4.
b)Escribe un sistema cuya solución sea x = 0, y = 5.
c) Escribe un sistema sin solución.
a) b) c)
i s t e m a s d e e c u a c i o n e s . R e s o l u c i ó n a l g e b r a i c a
5 Resuelve por sustitución despejando la incógnita más adecuada.
a) b)
c) d)
a) 8 x = 1; y = 2
b) 8 y = –1; x = 5
c) 8 y = 1; x = –3
d) 8 y = –5; x = –3
°§§¢§§£
2y – 5x = —5
2y – 54 · — – 3y = 35
°¢£
x = 1 – 4y2(1 – 4y) – y = –7
°¢£
x = 7 + 2y2(7 + 2y) – 3y = 13
°¢£
y = 5x – 32x + 3(5x – 3) = 8
5x – 2y = –54x – 3y = 3
°¢£
x + 4y = 12x – y = –7
°¢£
x – 2y = 72x – 3y = 13
°¢£
2x + 3y = 85x – y = 3
°¢£
S
2x – 3y + 15 = 02x – 3y + 1 = 0
°¢£
x + 2y = 102x – 3y + 15 = 0
°¢£
x + 2y = 103x – y = 2
°¢£
3x – y = 2
x + 2y = 10
2x – 3y + 1 = 0
2x – 3y + 15 = 0
Pág. 3
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a los ejercicios y problemas
6 Resuelve por igualación.
a) b)
c) d)
a) 3x – 5 = 5x – 1 8 x = –2; y = –11
b) 8 7 – y = y – 3 8 y = 5; x = 2
c)8 8 + 3y = 8 y = –1; x = 5
d)8 = 8 x = 3; y = –7
7 Resuelve por reducción.
a)
b)
c)
d)
a) b)
7x = 7 8 x = 1 5y = –10 8 y = –2
2 · 1 + y = 6 8 y = 4 3x + 4 · (–2) = 1 8 x = 3
c) d)
14x = 14 8 x = 1 –y = 3 8 y = –3
2 · 1 + 3y = 8 8 y = 2 6x – 10 · (–3) = 18 8 x = –2
6x – 10y = 18–6x + 9y = –15
2x + 3y = 812x – 3y = 6
3x + 4y = 1–3x + y = –11
2x + y = 65x – y = 1
3x – 5y = 92x – 3y = 5
°¢£
2x + 3y = 84x – y = 2
°¢£
3x + 4y = 13x – y = 11
°¢£
2x + y = 65x – y = 1
°¢£
–7x3
1 – 5x2
°§§¢§§£
1 – 5xy = —2
–7xy = —3
10 – 5y3
°§¢§£
x = 8 + 3y10 – 5yx = —
3
°¢£
x = 7 – yx = y – 3
5x + 2y = 17x + 3y = 0
°¢£
x – 3y = 83x + 5y = 10
°¢£
x + y – 7 = 0x – y + 3 = 0
°¢£
y = 3x – 5y = 5x – 1
°¢£
Pág. 4
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a los ejercicios y problemas
8 Resuelve por el método que te parezca más adecuado.
a) b) c)
d) e) f )
a) Sustitución: b) Reducción:
2(2x + 10) = x + 8 8 x = –4 2x + y = –1
y = 2 · (–4) + 10 8 y = 2 –x – y = 4
x = 3
2 · 3 + y = –1 8 y = –7
c) Sustitución: d) Reducción:
x = –5 – 2y 6x – 2y = 2
(–5 – 2y) – 3y = 5 8 y = –2 5x + 2y = 9
x = –5 – 2 · (–2) 8 x = –1 11x = 11 8 x = 1
5 · 1 + 2y = 9 8 y = 2
e) Reducción: f ) Igualación:
8 = 8 y = 5
x = 8 x = 5
9 Resuelto en el libro de texto.
PÁGINA 160
10 Resuelve los siguientes sistemas:
a) b)
c)
a) 8 b) 8 c) 8 x = 6y = 8
°¢£
3x – 2y = 24x – 3y = 0
x = 1y = –3
°¢£
3x + 2y = –3x – 3y = 10
x = 2y = –1
°¢£
3x + 2y = 46x – y = 13
x – 4 y – 5— – — = 02 3
x y— + — = 2x – y3 4
°§§¢§§£
5(2x + 1) = 4(x – y) – 1x – y x + 5— = —
2 3
°§¢§£
2(3x + y) + x = 4(x + 1)6(x – 2) + y = 2(y – 1) + 3
°¢£
10 + 5 · 57
3y – 52
10 + 5y7
10 + 5yx = —7
3y – 5x = —2
°§§¢§§£
6x – 2y = 0–6x + 10y = –24
8y = –24 8 y = –36x – 2 · (–3) = 0 8 x = –1
7x – 5y = 102x – 3y = –5
°¢£
6x – 2y = 03x – 5y = 12
°¢£
3x – y = 15x + 2y = 9
°¢£
x + 2y = –5x – 3y = 5
°¢£
x + y = – 42x + y = –1
°¢£
2y = x + 8y = 2x + 10
°¢£
Pág. 5
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a los ejercicios y problemas
r o b l e m a s p a r a r e s o l v e r c o n s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s
11 La suma de dos números es 57, y su diferencia, 9. ¿Cuáles son esos nú-meros?
8
Los números son 33 y 24.
12 Calcula dos números sabiendo que su diferencia es 16 y que el doble delmenor sobrepasa en cinco unidades al mayor.
8
Los números son 37 y 21.
13 Calcula dos números sabiendo que:
— El primero sobrepasa en 4 unidades a la mitad del segundo.
— El segundo sobrepasa en 7 unidades a la mitad del primero.
8
Los números son 10 y 12.
14 La suma de dos números es 73, y al cuádruplo del menor le faltan dos uni-dades para alcanzar al triple del mayor. ¿Cuáles son esos números?
8
Los números son 31 y 42.
15 Entre Alejandro y Palmira llevan 15 euros. Si él le diera a ella 1,50 €, ellatendría el doble. ¿Cuánto lleva cada uno?
Alejandro 8 x
Palmira 8 y
8
Alejandro tiene 6,50 €, y Palmira, 8,50 €.
x = 6,5y = 8,5
°¢£
°¢£
x + y = 152(x – 1,5) = y + 1,5
x = 31y = 42
°¢£
°¢£
x + y = 734x + 2 = 3y
x = 10y = 12
°¢£
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yx = — + 42xy = — + 72
x = 37y = 21
°¢£
°¢£
x – y = 162y = x + 5
x = 33y = 24
°¢£
°¢£
x + y = 57x – y = 9
PPág. 6
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a los ejercicios y problemas
16 Un ciclista sube un puerto y, después, desciende por el mismo camino.Sabiendo que en la subida ha tardado 23 minutos más que en la bajada y quela duración total del paseo ha sido de 87 minutos, ¿cuánto ha tardado en su-bir? ¿Y en bajar?
Tiempo de subida 8 x
Tiempo de bajada 8 y
8
La subida ha durado 55 minutos, y la bajada, 32 minutos.
17 En cierta cafetería, por dos cafés y un refresco nos cobraron el otro día2,70 €. Hoy hemos tomado un café y tres refrescos y nos han cobrado 4,10 €.¿Cuánto cuesta un café? ¿Y un refresco?
Coste del café 8 x
Coste del refresco 8 y
8
Un café cuesta 0,80 €, y un refresco, 1,10 €.
18 Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo launidad. Andrea se lleva 5 melones y 2 sandías, que le cuestan 13 €. Julián paga12 € por 3 melones y cuatro sandías. ¿Cuánto cuesta un melón? ¿Y una sandía?
Coste de un melón 8 x
Coste de una sandía 8 y
8
Un melón cuesta 2 € y una sandía 1,5 €.
19 Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 200 paquetes,unos de 2 kg y otros de 5 kg. ¿Cuántos envases de cada clase utiliza?
Envases de 2 kg 8 x
Envases de 5 kg 8 y
8
Utiliza 150 envases de 2 kg y 50 envases de 5 kg.
x = 150y = 50
°¢£
°¢£
x + y = 2002x + 5y = 550
x = 2y = 1,5
°¢£
°¢£
5x + 2y = 133x + 4y = 12
x = 0,80y = 1,10
°¢£
°¢£
2x + y = 2,70x + 3y = 4,10
x = 55y = 32
°¢£
°¢£
x + y = 87x = 23 + y
Pág. 7
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a los ejercicios y problemas
20 Una tienda de artículos para el hogar pone a la venta 100 juegos de camaa 70 € el juego. Cuando lleva vendida una buena parte, los rebaja a 50 €, con-tinuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 6 600 €.¿Cuántos juegos ha vendido sin rebajar y cuántos rebajados?
Juegos sin rebaja 8 x
Juegos con rebaja 8 y
8
Ha vendido 80 juegos de cama sin rebaja y 20 con rebaja.
21 Un frutero pone a la venta 80 kg de cerezas. Al cabo de unos días ha ven-dido la mayor parte, pero considera que la mercancía restante no está en bue-nas condiciones y la retira. Sabiendo que por cada kilo vendido ha ganado 1 €,que por cada kilo retirado ha perdido 2 € y que la ganancia ha sido de 56 €,¿cuántos kilos ha vendido y cuántos ha retirado?
Kilos vendidos 8 x
Kilos retirados 8 y
8
Ha vendido 72 kilos y ha retirado 8.
22 En el zoo, entre búfalos y avestruces hay 12 cabezas y 34 patas. ¿Cuántosbúfalos son? ¿Y avestruces?
☞ Búfalos 8 x Avestruces 8 y
Patas de búfalo 8 4x Patas de avestruz 8 2y
Búfalos 8 x
Avestruces 8 y
8
Hay 5 búfalos y 7 avestruces.
PÁGINA 16123 En una granja, entre gallinas y conejos se cuentan 127 cabezas y 338 pa-
tas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja?
Gallinas 8 x
Conejos 8 y
8
Hay 85 gallinas y 42 conejos.
x = 85y = 42
°¢£
°¢£
x + y = 1272x + 4y = 338
x = 5y = 7
°¢£
°¢£
x + y = 124x + 2y = 34
x = 72y = 8
°¢£
°¢£
x + y = 80x – 2y = 56
x = 80y = 20
°¢£
°¢£
x + y = 10070x + 50y = 6 600
Pág. 8
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a los ejercicios y problemas
24 Rosendo tiene en el bolsillo 12 monedas, unas de 20 céntimos y otras de50 céntimos. Si en total tiene 3,30 euros, ¿cuántas monedas de cada tipo lleva?
Monedas de 20 céntimos 8 x
Monedas de 50 céntimos 8 y
8
Tiene 9 monedas de 20 céntimos y 3 monedas de 50 céntimos.
25 Cristina tiene el triple de edad que su prima María, pero dentro de diezaños solo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada una?
8
Cristina tiene 30 años, y María, 10 años.
26 El doble de la edad de Javier coincide con la mitad de la edad de su pa-dre. Dentro de cinco años, la edad del padre será tres veces la de Javier. ¿Cuántosaños tiene hoy cada uno?
8
Javier tiene 10 años, y su padre, 40.
27 La base de un rectángulo es 8 cm más larga que la altura, y el perímetromide 42 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo.
8
El rectángulo mide 14,5 cm Ò 6,5 cm.
x = 14,5 y = 6,5
°¢£
°¢£
x – y = 8x + y + x + y = 42
Diferencia entre los lados:x – y = 8
Perímetro:x + y + x + y = 42
x
y
x = 10y = 40
°¢£
°§¢§£
y2x = —2
3(x + 5) = y + 5
x = 30y = 10
°¢£
°¢£
x = 3yx + 10 = 2(y + 10)
x = 20y = 3
°¢£
°¢£
x + y = 1220x + 50y = 330
Pág. 9
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
H OY D E N T R O D E 10 A Ñ O S
C R I S T I N A x x + 10M A R Í A y y + 10
E D A D H OY E D A D D E N T R O D E 5 A Ñ O S
J AV I E R x x + 5E L PA D R E y y + 5
☞
7Soluciones a los ejercicios y problemas
28 Para cercar una parcela rectangular, 25 metros más larga que ancha, se hannecesitado 210 metros de alambrada. Calcula las dimensiones de la parcela.
8
La parcela tiene unas dimensiones de 65 m de largo Ò 40 m de ancho.
29 Un concurso televisivo está dotado de un premio de 3 000 € para repar-tir entre dos concursantes. El reparto se hará en partes proporcionales al nú-mero de pruebas superadas. Tras la realización de estas, resulta que el primerconcursante ha superado cinco pruebas, y el segundo, siete. ¿Cuánto corres-ponde a cada uno?
☞ El primer concursante se lleva 8 x El segundo concursante se lleva 8 y
Entre los dos se llevan 8 x + y
El premio conseguido es proporcional al número de pruebas superadas 8 x/5 = y/7
8
El primer concursante se lleva 1 250 €,y el segundo, 1 750 €.
30 ¿Qué cantidades de aceite, uno puro de oliva, a 3 €/litro, y otro de orujo,a 2 €/litro, hay que emplear para conseguir 600 litros de mezcla a 2,40 €/litro?
Aceite de oliva 8 x litros
Aceite de orujo 8 y litros
8
Hay que emplear 240 litros de aceite de oliva y 360 litros de aceite de orujo.
31 Un ciclista sale de paseo y recorre un tramo de carretera, cuesta arriba, a 8 km/h. Después, sigue llaneando, a 20 km/h, hasta que llega a su destino. Si elpaseo ha durado 3 h, y la velocidad media resultante ha sido de 16 km/h, ¿cuán-to tiempo ha invertido en cada tramo?
☞ Tiempo de subida 8 x Tiempo en llano 8 y Tiempo total 8 3 h
Distancia en subida 8 8x
Distancia en llano 8 20y
Distancia total 8 16 · 3 = 48 km
8
Ha subido durante una hora y ha llaneado durante dos horas.
x = 1y = 2
°¢£
°¢£
8x + 20y = 48x + y = 3
x = 240y = 360
°¢£
°¢£
x + y = 6003x + 2y = 600 · 2,40
x = 1 250y = 1 750
°¢£
°§¢§£
x + y = 3 000x y— = —5 7
x
x
y yx = 65y = 40
°¢£
°¢£
x = y + 252x + 2y = 210
Pág. 10
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a los ejercicios y problemas
32 Dos ciudades, A y B, distan 270 km. En cierto momento, un coche partede A hacia B a 110 km/h, y, a la vez, sale de B hacia A un camión a 70 km/h.¿Qué distancia recorre cada uno hasta que se encuentran?
☞ La suma de las distancias es 270 8 x + y = 270
Los tiempos invertidos por el coche y el camión, hasta el encuentro, son iguales 8x/110 = y/70
8
El coche recorre 165 km, y el camión, 105 km.
33 Un camión parte de cierta población a 90 km/h. Diez minutos después,sale un coche a 110 km/h. Calcula el tiempo (t ) que tarda en alcanzarle y ladistancia recorrida desde el punto de partida.
distancia = velocidad · tiempo
8
Le alcanza en tres cuartos de hora, tras recorrer 82,5 km.
34 Un peatón sale de A hacia B caminando a una velocidad de 4 km/h.Simultáneamente, sale de B hacia A un ciclista a 17 km/h. Si la distancia entre Ay B es de 7 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen?
Distancia desde A del peatón 8 x
Distancia desde A del ciclista 8 7 – x
Tiempo 8 t
8
Tardan h = 20 min en encontrarse.
El encuentro se produce a km › 1 km 333 m del punto de partida, A, del peatón.43
13
1t = —34x = —3
°§§¢§§£
°§§¢§§£
x = t · 4
7 – x = t · 17
3t = —4
x = 82,5
°§¢§£
°§¢§£
x = 110 · t1x = 90 · (t + —)6
x = 165y = 105
°¢£
°§¢§£
x + y = 270x y— = —
110 70
Pág. 11
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
D I S TA N C I A V E L O C I D A D T I E M P O
C O C H E x 110 tC A M I Ó N x 70 t + 10/60
☞
7Soluciones a los ejercicios y problemas
35 ¿Cuánto cuesta el frasco de zumo? ¿Y el tarro de mermelada? ¿Y la caja degalletas?
8 8 8
El zumo cuesta 1 €, el tarro de mermelada, 2 €, y la caja de galletas, 3 €.
G = 3M = 2Z = 1
°¢£
G – M = 1G + M = 5
°¢£
Z = 3 – M(3 – M ) + G = 4M + G = 5
°§¢§£
Z + M = 3Z + G = 4M + G = 5
M + G = 5 €
Z + M = 3 €Z + G = 4 €
Pág. 12
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 148
En esta unidad vas a trabajar con ecuaciones de dos incógnitas.Varias de esas ecuaciones forman un sistema.Los sistemas de ecuaciones te servirán, también, para resolver proble-mas.
1 a) Calcula la edad de cada uno de los personajes que charlan en el parque.b) ¿Qué valores de x e y cumplen simultáneamente estas dos igualdades?:
a) Edad del abuelo: 78 años. Edad de la abuela: 72 años.
b) x = 78; y = 72
x + y = 150x – y = 6
°¢£
Pág. 1
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
SÍ, RAIMUNDO, PERO YOSIGO SIENDO 6 AÑOSMÁS JOVEN QUE TÚ.
ESTAMOS HECHOS UNOSCHAVALES. ENTRE LOS
DOS, 150 AÑOS.x
AÑOS yAÑOS
x + y = 150x – y = 6
2a + 2b = 103a + 2b = 18
8 a 8 b
2 + = 103 + 2 = 18
10 kg
18 kg
°¢£
7Soluciones a las actividades de cada epígrafe
2 a) Observa las balanzas. ¿Cuánto pesa la esfera? ¿Y la pirámide?b) ¿Qué valores deben tomar a y b para que estas igualdades sean ciertas?:
a) La esfera pesa 2 kg, y la pirámide, 6 kg.
b) a = 2; b = 6
PÁGINA 149
ANTES DE COMENZAR, RECUERDA
1 Dados M = 2x + y y N = x – 2y, calcula.
a) M + N y M – N b)2M y 2N c) 2M + N y M – 2N
a) M + N = 3x – y; M – N = x + 3y
b) 2M = 4x + 2y; 2N = 2x – 4y
c) 2M + N = 5x + y; M – 2N = 5y
2 Calcula el valor numérico de las expresiones siguientes:
a) 4x – 5, para x = 1 b) 3x + 1, para x =
c) , para x = –2 d) , para x = 3
a) 4 · 1 – 5 = –1 b) 3 · + 1 =
c) = 1 d) =
3 Suprime denominadores.
a) – = b) – =
a) 12 · – = 12 · 8 6x – 8y = 9
b) 20 · – = 20 · 8 6a – 5b = 8c2c5)b
43a10(
34)2y
3x2(
2c5
b4
3a10
34
2y3
x2
13
2 · 3 – 46
–2 + 53
32
16
2x – 46
x + 53
16
2a + b = 103a + 2b = 18
°¢£
Pág. 2
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a las actividades de cada epígrafe
4 Despeja x en cada una de las igualdades siguientes:
a) x + 5y = 6 b) 2x – y = 3 c) – =
a) x = 6 – 5y b) x = c) x =
PÁGINA 150
1 Averigua cuáles de los siguientes pares de valores son soluciones de esta ecua-ción:
3x – 4y = 8
a) b) c)
d) e) f )
Son soluciones de la ecuación:
a) 3 · 4 – 4 · 1 = 8
c) 3 · 0 – 4 · (–2) = 8
e) 3 · (–4) – 4 · (–5) = 8
f ) 3 · 3 – 4 · = 8
2 Busca tres soluciones diferentes de esta ecuación:
2x – y = 5
Por ejemplo:
3 Completa la tabla con soluciones de esta ecuación:
3x + y = 12
X 0 1 3 4 5 –1 –2 –3
Y 12 9 3 0 –3 15 18 21
X 0 3 5 –1 –3
Y 9 0 18
X 0 1 2 3 –1 –2
Y –5 –3 –1 1 –7 –9
14
x = 3y = 1/4
°¢£
x = – 4y = –5
°¢£
x = 1y = –1
°¢£
x = 0y = –2
°¢£
x = 3y = 2
°¢£
x = 4y = 1
°¢£
9 + 8y6
3 + y2
34
2y3
x2
Pág. 3
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a las actividades de cada epígrafe
4 Reduce a la forma general las siguientes ecuaciones:
a) 2x – 5 = y b)y = c) x – 3 = 2(x + y) d) =
a) 2x – y = 5 b) x – 2y = –1 c) x + 2y = –3 d) 2x – 5y = –3
PÁGINA 151
5 Para cada ecuación, completa la tabla siguiente y represéntala:
a) x – y = 0 8 y = x
b)x – 2y = 2 8 y =
a) b)
6 Representa gráficamente.
a) 2x – y = 1 b)2x + y = 1 c) y = + 3
d)y = – 1 e) x + 3y = 3 f ) 2x – 3y – 3 = 0
a) y = 2x – 1
X –2 0 2
Y –5 –1 3
x2
x2
X –6 – 4 –2 0 2 4 6
Y –4 –3 –2 –1 0 1 2
X –6 – 4 –2 0 2 4 6
Y –6 –4 –2 0 2 4 6
X –6 – 4 –2 0 2 4 6 …
Y …x – 22
x – 15
x – y3
x + 12
Pág. 4
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a las actividades de cada epígrafe
b) y = 1 – 2x
c) y = + 3
d) y = – 1
e) y =
f ) y =
X –3 0 3
Y –3 –1 1
2x – 33
X –2 0 2
Y 2 1 0
3 – x3
X –2 0 2
Y –2 –1 0
x2
X –2 0 2
Y 2 3 4
x2
X –2 0 2
Y 5 1 –3
Pág. 5
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 152
1 Representa gráficamente y escribe la solución.
a) b)
a) y = 4 – x 8
y = x – 2 8
Solución: x = 3; y = 1
b) y = 2 + 8
y = 4 – 8
Solución: x = 2; y = 3
2 Resuelve gráficamente.
a) b)
a) y = x – 3 8
y = –2x 8
Solución: x = 1; y = –2
b) y = 8
y = –2x – 2 8
Solución: x = 0; y = –2
X –2 0 2
Y 2 –2 –6
X –3 0 3
Y –4 –2 02x – 6
3
X –2 –1 0 1 2
Y 4 2 0 –2 –4
X –2 –1 0 1 2
Y –5 –4 –3 –2 –1
2x – 3y – 6 = 02x + y + 2 = 0
°¢£
x – y = 32x + y = 0
°¢£
X –2 0 2 4
Y 5 4 3 2x2
X –2 0 2 4
Y 1 2 3 4x2
X 0 1 2 3 4
Y –2 –1 0 1 2
X 0 1 2 3 4
Y 4 3 2 1 0
y = 2 + x/2y = 4 – x/2
°¢£
x + y = 4x – y = 2
°¢£
Pág. 6
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
y = x – 2
y = 4 – x
xy = 4 – — 2
xy = 2 + — 2
y = x – 3
y = –2x
y = –2x – 2
2x – 6y = — 3
7Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 153
1 Resuelve por sustitución y comprueba que obtienes las soluciones que se ad-juntan abajo.
a) b)
c) d)
SOLUCIONES
a) x = 3 b)x = 4 c) x = 9 d)x = 2y = 3 y = 2 y = 10 y = –1
a) 2y – y = 3 8 y = 3; x = 3
b) 2y + 3y = 10 8 y = 2; x = 4
c) 3x – 2(x + 1) = 7 8 x = 9 8 y = 9 + 1 = 10
d) 4x – (2x – 5) = 9 8 x = 2 8 y = 2 · 2 – 5 = –1
2 Resuelve por sustitución y comprueba las soluciones que se ofrecen.
a) b)
c) d)
SOLUCIONES
a) x = 3 b)x = 3 c) x = 5 d)x = –1y = 4 y = 5 y = –2 y = –4
a) x = 11 – 2y 8 3(11 – 2y) – y = 5 8 y = 4
x = 11 – 2 · 4 8 x = 3
b) y = 2x – 1 8 5x – 3(2x – 1) = 0 8 x = 3
y = 2 · 3 – 1 8 y = 5
c) x = 1 – 2y 8 2(1 – 2y) + 3y = 4 8 y = –2
x = 1 – 2 · (–2) 8 x = 5
d) x = 3 + y 8 7 · (3 + y) – 3y = 5 8 y = –4
x = 3 + (–4) 8 x = –1
x – y = 37x – 3y = 5
°¢£
x + 2y = 12x + 3y = 4
°¢£
2x – y = 15x – 3y = 0
°¢£
x + 2y = 113x – y = 5
°¢£
y = 2x – 54x – y = 9
°¢£
y = x + 13x – 2y = 7
°¢£
x = 2yx + 3y = 10
°¢£
y = x2x – y = 3
°¢£
Pág. 7
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 154
3 Resuelve por igualación y comprueba que obtienes las soluciones que se ad-juntan.
a) b)
c) d)
SOLUCIONES
a) x = 5 b)x = 2 c) x = 5 d)x = –1y = 5 y = 6 y = –1 y = –4
a) y = 3y – 10 8 y = 5; x = 5
b) 3x = 5x – 4 8 x = 2
y = 3 · 2 8 y = 6
c) 3 – 2y = 8 + 3y 8 y = –1 8 x = 3 – 2 · (–1) = 5
d) –2x – 6 = 5x + 1 8 x = –1 8 y = 5 · (–1) + 1 = –4
4 Resuelve por igualación y comprueba las soluciones que se ofrecen.
a) b)
c) d)
SOLUCIONES
a) x = 4 b)x = –1 c) x = –2 d)Sin solución.y = 1 y = –2 y = 5
a)= 7 – 3y 8 y = 1 8 x = 7 – 3 · 1 = 4
b)1 + y = 8 y = –2 8 x = 1 – 2 = –1
c)= 1 – 2x 8 x = –2 8 y = 1 – 2 · (–2) = 5
d)2x – 3 = 8 Sin solución.4x – 7
2
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y = 2x – 34x – 7y = —
2
–5x2
°§¢§£
–5xy = —2
y = 1 – 2x
4 + 3y2
°§¢§£
x = 1 + y4 + 3yx = —
2
10 + 2y3
°§¢§£
10 + 2yx = —3
x = 7 – 3y
2x – y = 34x – 2y = 7
°¢£
5x + 2y = 02x + y = 1
°¢£
x – y = 12x – 3y = 4
°¢£
3x – 2y = 10x + 3y = 7
°¢£
°¢£
y = –2x – 6y = 5x + 1
°¢£
x = 3 – 2yx = 8 + 3y
2x + y + 6 = 05x – y + 1 = 0
°¢£
x + 2y = 3x – 3y = 8
°¢£
y = 3xy = 5x – 4
°¢£
x = yx = 3y – 10
°¢£
Pág. 8
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 155
5 Resuelve por reducción sumando o restando directamente las ecuaciones.
a) b)
a) 2x = 8 8 x = 4 b) 3y = 9 8 y = 3
6y = 6 8 y = 1 5x + 3 = 8 8 x = 1
6 Resuelve por reducción siguiendo las instrucciones.
a) (Multiplica la 1.a ecuación por +3).
b) (Multiplica la 1.a ecuación por +5, y la 2.a, por +3).
a) 8 13x = 13 8 x = 1; 12 · 1 + 3y = 3 8 y = –3
b) 8 19x = 38 8 x = 2; 10 · 2 + 15y = 35 8 y = 1
7 Resuelve por el método de reducción y comprueba las soluciones.
a) b)
c) d)
SOLUCIONES
a) x = 2 b)x = –1 c) x = 3 d)x = 3y = –2 y = 1 y = –1 y = –2
a) x + 2y = –2 b) –4x – 6y = –2
6x – 2y = 16 4x – 5y = –9
7x = 14 8 x = 2 –11y = –11 8 y = 1
2 + 2y = –2 8 y = –2 4x – 5 · 1 = –9 8 x = –1
c) 10x + 6y = 24 d) 6x + 21y = –24
–9x – 6y = –21 8 x = 3 35x – 21y = 147
10 · 3 + 6y = 24 8 y = –1 41x = 123 8 x = 3
6 · 3 + 21y = –24 8 y = –2
2x + 7y = –85x – 3y = 21
°¢£
5x + 3y = 123x + 2y = 7
°¢£
2x + 3y = 14x – 5y = –9
°¢£
x + 2y = –23x – y = 8
°¢£
°¢£
10x + 15y = 359x – 15y = 3
°¢£
12x + 3y = 3x – 3y = 10
2x + 3y = 73x – 5y = 1
°¢£
4x + y = 1x – 3y = 10
°¢£
5x + 4y = 175x + y = 8
°¢£
x + 3y = 7x – 3y = 1
°¢£
Pág. 9
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 156
1 En una clase hay 29 alumnos y alumnas, pero el número de chicas supera entres al de chicos.
¿Cuántos alumnos y cuántas alumnas hay en la clase?
CHICOS 8 x CHICAS 8 y
8 En la clase hay 13 chicos y 16 chicas.
2 La suma de dos números es 12, y el triple del menor supera en una unidad aldoble del mayor.
¿Cuáles son esos números?
N.° MENOR 8 x N.° MAYOR 8 y
8 Los números son 5 y 7.
PÁGINA 157
3 He comprado tres bolígrafos y un rotulador por 6 €. Mi amiga Rosa ha paga-do 9,25 € por dos bolígrafos y tres rotuladores.
¿Cuánto cuesta un bolígrafo? ¿Y un rotulador?
8 Un bolígrafo cuesta 1,25 €, y un rotulador, 2,25 €.x = 1,25y = 2,25
°¢£
3x + y = 62x + 3y = 9,25
6 €
9,25 €
x = 5y = 7
°¢£
x + y = 123x = 2y + 1
°¢£
MENOR + MAYOR = 12TRIPLE DEL MENOR = DOBLE DEL MAYOR + 1
x = 13y = 16
°¢£
x + y = 29y = x + 3
°¢£
CHICOS + CHICAS = 29CHICAS = CHICOS + 3
Pág. 10
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
7Soluciones a las actividades de cada epígrafe
4 En la frutería, un cliente ha pagado 3,90 € por un kilo de naranjas y dos demanzanas. Otro cliente ha pedido tres kilos de naranjas y uno de manzanas, yha pagado 5,70 €.
¿Cuánto cuesta un kilo de naranjas? ¿Y uno de manzanas?
8 Un kilo de naranjas cuesta 1,5 €, y uno de manzanas,1,2 €.
PÁGINA 158
5 ¿Qué cantidades de café, uno de calidad superior, a 13 €/kg, y otro de calidadinferior, a 8 €/kg, hay que utilizar para conseguir 30 kg de mezcla que resultea 10 €/kg?
8
6 ¿Qué cantidades de oro, a 8 €/gramo, y de plata, a 1,7 €/gramo, se necesitanpara obtener 1 kg de aleación que resulte a 4,22 €/gramo?
8 Se necesitan 400 g de oro y 600 g de plata.x = 400y = 600
°¢£
x + y = 1 0008x + 1,7y = 4 220
Se necesitan 12 kg del café de calidadsuperior y 18 kg del de calidad inferior.
x = 12y = 18
°¢£
x + y = 3013x + 8y = 300
x = 1,5y = 1,2
°¢£
x + 2y = 3,93x + y = 5,70
3,90
5,70
1x 2y
3x 1y
Pág. 11
Unidad 7. Sistemas de ecuaciones
C A N T I D A D (kg) P R E C I O (€ /kg) C O S T E (€ )
C A F É S U P E R I O R x 13 13xC A F É I N F E R I O R y 8 8y
M E Z C L A 30 10 300
C A N T I D A D (g) P R E C I O (€ /g ) C O S T E (€ )
O R O x 8 8xP L ATA y 1,7 1,7y
A L E AC I Ó N 1 000 4,22 4 220
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