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Lecture No. : 2 ال ثانيةالمحاضرة
Stiffness methodprincipals
10 KNA B
Example 1:
Calculate the horizontal displacement of point B due to the shown force
F = k
Stiffness
Stiffness Calculation methods :
First Method
F=1A B
F = k 1 = k
k = 1
Stiffness
Stiffness Calculation methods :
Second Method
FA B
F = k F = k x 1
k = F
10 KNA B
F = k
return to original example
k was calculated
Example 2:
Calculate the horizontal displacement of points (1, 2) due to the shown forces, where k1 and k2 are known
F2
F11 2
k1k2
F2
F11 2
k1k2
d1 d2
F2
F11 2
k1k2
d1 d2
First Step
d1 =1 d2 =0
1 2
d1=1
d1 =1 d2 =0
1 2
d1=1
k1k2
k1k1
k2k2
1 2k1k2
k1k1
k2k2
k1+k2
d1=1
k2
F2
F11 2
k1k2
d1 d2
Second Step
d1 =0 d2 =1
1 2
d2=1
d1 =0 d2 =1
k1 k2
k2k2
1 2
d2=1
k2 k2
k1 k21 2 d2=1
k2k2
Summary1 2k1
k2
k1+k2
d1=1
k2
k2 k2
k1 k21 2 d2=1
1 2k1k2
k1+k2
d1=1
k2
1 2k1k2
2(k1+k2)
d1=2
2 k2
1 2k1k2
k1+k2
d1=1
k2
1 2k1k2
d1(k1+k2)
d1
d1 k2
k2 k2
k1 k21 2 d2=1
2 k2 2 k2
k1 k21 2 d2=2
k2 k2
k1 k21 2 d2=1
d2 k2
k1 k21 2 d2
d2 k2
Summary1 2k1
k2
d1(k1+k2)
d1
d1k2
d2k2 d2k2
k1 k21 2 d2
1 2k1k2
d1(k1+k2)
d1
d1k2
d2k2 d2k2
d2
k1k2
d1(k1+k2) - d2k2
d1
d2k2 - d1k2
d2
k1k2
d1(k1+k2) - d2k2
d1
d2k2 - d1k2
d2
F1 = d1(k1+k2) - d2k2
F2 = d2k2 - d1k2
k1k2
d1(k1+k2) - d2k2
d1
d2k2 - d1k2
d2
F1 = d1(k1+k2) - d2k2F2 = d2k2 - d1k2
k1+k2F1
F2
=d1
d2
- k2
k2- k2
k1+k2F1
F2
=d1
d2
- k2
k2- k2
F = K D
F = K D
k1+k2F1
F2
=1
0
- k2
k2- k2
k1+k2F1
F2
=
d1
d2
- k2
k2- k2d1 =1 d2 =0
k1+k2F1
F2
=- k2
1 2k1k2
k1+k2
d1=1
k2
F = K D
k1+k2F1
F2
=0
1
- k2
k2- k2
k1+k2F1
F2
=
d1
d2
- k2
k2- k2
d1 =0 d2 =1F1
F2
=- k2
k2
k2 k2
k1 k21 2 d2=1
F = K Dk1+k2F1
F2
=
d1
d2
- k2
k2- k2
D = K-1 Fk1+k2 F1
F2
=
d1
d2
- k2
k2- k2
-1
Example 3:Calculate the horizontal displacement of points (1, 2, 3) due to the shown forces, where k1, k2 and k3 are known
F11 2
k1k2
F3
3
k3
F2
F11 2
k1k2
F3
3
k3
F2
Modeling
d1 d2d3
k11F1
F2 = k21
F = K D
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
First column in Stiffness matrix
d1 =1 d2 =0 d3 =0
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
1
0
0
k11
k21
k31
=
F1
F2
F3
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
First column in Stiffness matrix
d1 =1 d2 =0 d3 =0
1 2
k1k2
3
k3
d1=1
k1k1k2 k2
k1+k2 - k2 0
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
First column in Stiffness matrix
d1 =1 d2 =0 d3 =0
1 2 3d1=1
k1+k2 - k2 0
k11
k21
k31
=
F1
F2
F3
=
k1+k2
- k2
0
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
Second column in Stiffness matrix
d1 =0 d2 =1 d3 =0
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
0
1
0
k12
k22
k32
=
F1
F2
F3
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
second column in Stiffness matrix
d1 =0 d2 =1 d3 =0
1 2
k1k2
3
k3
d2=1
k2k2k3 k3
k2+k3 - k3- k2
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
Second column in Stiffness matrix
d1 =0 d2 =1 d3 =0
1 2 3d2=1
k12
k22
k32
=
F1
F2
F3
= k2+k3
- k3
k2+k3 - k3- k2
- k2
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
Third column in Stiffness matrix
d1 =0 d2 =0 d3 =1
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
0
0
1
k13
k23
k33
=
F1
F2
F3
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
Third column in Stiffness matrix
d1 =0 d2 =0 d3 =1
1 2
k1k2
3
k3
d3=1
k3k3
- k30 k3
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
Third column in Stiffness matrix
d1 =0 d2 =0 d3 =1
1 2 3 d3=1
k13
k23
k33
=
F1
F2
F3
=
k3
0
- k30 k3
- k3
Summaryk11
k21
k31
=
k1+k2
- k2
0
k12
k22
k32
= k2+k3
- k3
- k2k13
k23
k33
=
k3
0
- k3
K =
k1+k2
- k2
0
k2+k3
- k3
- k2
k3
0
- k3
F1
F2 =
F = K D
F3
d1
d2
d3
k1+k2
- k2
0
k2+k3
- k3
- k2
k3
0
- k3
D = K-1 F
Example 4:Calculate the horizontal displacement of points (1, 2, 3) due to the shown forces, where k1, k2 and k3 as shown, and check the results with the first principals
F1=200kN
1 2k1=200kN/cm
F3=150kN
3
F2=100kN
k2=100kN/cm k3=50kN/cm
From the previous example
K =
k1+k2
- k2
0
k2+k3
- k3
- k2
k3
0
- k3 =
300
- 100
0
150
- 50
- 100
50
0
- 50
F1=200kN
1 2k1=200kN/cm
F3=150kN
3
F2=100kN
k2=100kN/cm k3=50kN/cm
F1=200kN
1
F3=150kN
3
F2=100kN
F1
F2 =
F3
200
-100
150
2
F = K D200
-100
150
=
300
- 100
0
150
- 50
- 100
50
0
- 50
d1
d2
d3
D = K-1 F
D = K-1 F
200
-100
150
=
300
- 100
0
150
- 50
- 100
50
0
- 50
d1
d2
d3
-1
200
-100
150
=
300
- 100
0
150
- 50
- 100
50
0
- 50
d1
d2
d3
300
- 100
0
150
- 50
- 100
50
0
- 50
-1
=
0.005
0.005
0.005
0.005
0.015
0.015
0.005
0.015
0.035
200
-100
150
=
d1
d2
d3
0.005
0.005
0.005
0.005
0.015
0.015
0.005
0.015
0.035
=
1.25
1.75
4.75
=
d1
d2
d3
1.25
1.75
4.75
From the first principals
F1=200kN
1 2k1=200kN/cm
F3=150kN
3
F2=100kN
k2=100kN/cm k3=50kN/cm
Draw the N.F.D
15050
250
From the first principalsF1=200kN
1 2k1=200kN/cm
F3=150kN
3
F2=100kN
k2=100kN/cm k3=50kN/cm
15050
250
=F
k
=sp
250
200=
50
100=
150
50= 1.25 = 0.5 = 3.0sp
sp
sp
sp
sp
From the first principalsF1=200kN
1 2
F3=150kN
3
F2=100kN
= 1.25
= 1.75
= 1.25 = 0.5 = 3.0sp sp sp
= sp
= sp + sp
= 4.75 = sp + sp+ sp
=
d1
d2
d3
1.25
1.75
4.75
SummaryF1
1 2
k1k2
F3
3
k3
F2
k11F1
F2 = k21
F = K D
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
The Stiffness equation
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
First column in Stiffness matrix
d1 =1 d2 =0 d3 =0
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
1
0
0
k11
k21
k31
=
F1
F2
F3
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
Second column in Stiffness matrix
d1 =0 d2 =1 d3 =0
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
0
1
0
k12
k22
k32
=
F1
F2
F3
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
d1
d2
d3
Third column in Stiffness matrix
d1 =0 d2 =0 d3 =1
k11F1
F2 = k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
0
0
1
k13
k23
k33
=
F1
F2
F3
F = K D
D = K-1 F
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