Stiffness 9

Lecture No. : 9 تاسعةالمحاضرة ال

F = K Dl l l

T K =g

K l

T T

m m

Drive the member local stiffness matrix

Obtain the member global stiffness matrix

Drive the member transformation matrix

T

Solution Steps of assembly method :

Remember

Make assembly F = K D

Kuu

Kru

Kur

Krr

Fu

Fr

Du

Dr

=

Make partition

Kg

m Kg

m Kg

m Kg

m

Remember

Kuu

Kru

Kur

Krr

Fu

Fr

Du

Dr

=

Extract the stiffness equation

KuuFuDu= Kur

Dr+

KuuDu =

-1

{ }Fu KurDr-

Obtain the deformation

Remember

Find internal forces in members

Calculate the reactions

KruFrDu= Krr

Dr+

gF = K

l lm m mT D

T

Remember

d1

d2

d3

d1

d2

Normal Force doesn’t taken

Drive the member local stiffness

matrix

k11F1

F2

=

k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

F4k41 k42 k43

k14

k24

k34

k44

d1

d2

d3

d4

d1

d2d4

d3

First column in

Local Stiffness matrix

d1 =1

DD6 EI

L2

D6 EI

L2

D12 EI

L3

D12 EI

L3

d3

d4

d2

d2

D12 EI

L3

F2 =

F3 = -

F4 =

F1 =D12 EI

L3

D6 EI

L3

D6 EI

L3

DD6 EI

L2

D6 EI

L2

D12 EI

L3

D12 EI

L3

=

k31

12 EI

L3

6 EI

L2

-12EI

L3

6 EI

L2

k11

k21

k41

Second column in

Local Stiffness matrix

d2 =1

q

q4 EI

L

q2 EI

L

q6 EI

L2

q6 EI

L2

d3

d4

d1

d2

F3 =F1

=

F4 =F2 =

q6 EI

L2

q6 EI

L2-

q2 EI

L

q4 EI

L

q

q4 EI

L

q2 EI

L

q6 EI

L2

q6 EI

L2

Second column in

Local Stiffness matrix

=

k12

k22

k32

k42

6 EI

L2

4 EI

L

6 EI

L2-

2 EI

L

Third column in

Local Stiffness matrix

d3 =1

D

D6 EI

L2

D6 EI

L2

D12 EI

L3

D12 EI

L3

d3

d4

d1

d2

D12 EI

L3

D6 EI

L2

D6 EI

L2

D12 EI

L3F1

=

F3 =

F4 =F2 = - -

-

DD6 EI

L2

D6 EI

L2

D12 EI

L3

D12 EI

L3

Third column in Local Stiffness matrix

=

k13

k23

k33

k33

12 EI

L3

6 EI

L2

12 EI

L3

6 EI

L2

-

-

-

Fourth column in

Local Stiffness matrix

d4 =1

q

q4 EI

Lq2 EI

Lq6 EI

L2

q6 EI

L2

d3

d4

d1

d2

F1

=

F3=

F2

=

F4=

q6 EI

L2

q2 EI

L

q4 EI

L

D6 EI

L2-

q

q4 EI

Lq2 EI

Lq6 EI

L2

q6 EI

L2

Fourth column in

Local Stiffness matrix

=

k14

k24

k34

k44

6 EI

L2

2 EI

L

6 EI

L2-

4 EI

L

K l

12 EI

L3

6 EI

L2

6 EI

L2

4 EI

L

-12 EI

L3

=

-12 EI

L3

-6 EI

L2

-6 EI

L2

12 EI

L3

-6 EI

L2

6 EI

L2

2 EI

L

6 EI

L2

2 EI

L

-6 EI

L2

4 EI

L

K l

12 EI

L3

6 EI

L2

6 EI

L2

4 EI

L

-12 EI

L3

=

-12 EI

L3

-6 EI

L2

-6 EI

L2

12 EI

L3

-6 EI

L2

6 EI

L2

2 EI

L

6 EI

L2

2 EI

L

-6 EI

L2

4 EI

L

K l

=EI

L3

K l

12 EI

L3

6 EI

L2

6 EI

L2

4 EI

L

-12

EIL3

= -12

EIL3

-6 EI

L2

-6 EI

L2

12 EI

L3

-6 EI

L2

6 EI

L2

2 EI

L

6 EI

L2

2 EI

L

-6 EI

L2

4 EI

L

12

6 L

- 12

6 L

6 L

- 6 L

4 L2

2 L2

- 12

6 L

12

6 L

- 6 L

2 L2

4 L2

6 L

d1

d2

Normal Force doesn’t taken

d1

If Shear is omitted

Drive the member local stiffness

matrix

k11F1

F2

=k21

k12

k22

d1

d2

d1d2

K l

12 EI

L3

6 EI

L2

6 EI

L2

4 EI

L

-12 EI

L3

=

-12 EI

L3

-6 EI

L2

-6 EI

L2

12 EI

L3

-6 EI

L2

6 EI

L2

2 EI

L

6 EI

L2

2 EI

L

-6 EI

L2

4 EI

L

K l

4 EI

L=

2 EI

L

2 EI

L

4 EI

L

K l

=2EI

L1

2

2

1

Construct the stiffness matrix

for the shown beam where EI

is constant for all members

Example 1:

8 10

A CB

First element : (A-B )

Start Joint : A End Joint : B

K l

=EI

L3

12

6 L

- 12

6 L

6 L

- 6 L

4 L2

2 L2

- 12

6 L

12

6 L

- 6 L

2 L2

4 L2

6 L

K l K

g=

K l

12 EI

L3

6 EI

L2

6 EI

L2

4 EI

L

-12 EI

L3

=

-12 EI

L3

-6 EI

L2

-6 EI

L2

12 EI

L3

-6 EI

L2

6 EI

L2

2 EI

L

6 EI

L2

2 EI

L

-6 EI

L2

4 EI

L

K l

=EI

L3

12

6 L

- 12

6 L

6 L

- 6 L

4 L2

2 L2

- 12

6 L

12

6 L

- 6 L

2 L2

4 L2

6 L

K l

= EI

.023

.0937

-.023

.0937

.0937

.5

.0937

.25

-.023

.0937

.023

-.0937

.0937

.25

-.0937

.5

A B

A

B

Second element : ( B-c)

Start Joint : B End Joint : c

K l

12 EI

L3

6 EI

L2

6 EI

L2

4 EI

L

-12 EI

L3

=

-12 EI

L3

-6 EI

L2

-6 EI

L2

12 EI

L3

-6 EI

L2

6 EI

L2

2 EI

L

6 EI

L2

2 EI

L

-6 EI

L2

4 EI

L

K l

= EI

.012

.06

-.012

.06

.06

.4

-.06

.2

-.012

-.06

.012

-.0937

.06

.20

-.06

.4

B C

C

B

Assembly :

K =g

1 EI

.023

.0937

-.023

.0937

.0937

.5

.0937

.25

-.023

.0937

.023

-.0937

.0937

.25

-.0937

.5

A B

B

A

EI . 06

-.012

.06

.06

.4

.2

-.012

-.06

.012

-.06

.06

.2

-.06

.012

-.06

K =g

2

.4

B C

B

C

Ks = EI

.023

.0937

-.023

.0937

0

0

.0937

.5

.0937

.25

0

0

-.023

.0937

.035

-.0337

-.012

.06

.0937

.25

-.0337

.9

-.06

.2

0

0

-.012

-.06

.012

-.06

0

0

.06

.2

-.06

.4

A B C

B

A

C

Partition

KuuK =

Kru

Kur

Krr

u r

u

r

Kuu = EI .90

Example 2:

Construct the stiffness matrix for the shown

beam where EI is constant for all members

4254

ECB DA

= E I

12/L^3

6/L^2

-12/L^3

6/L^2

6/L^2

2/L

6/L^2-

4/L

12/L^3-

6/L^2-

12/L^3

6/L^2-

6/L^2

-6/L^2

4/L

2/L

K g

K l

=

K l

First element : (A-B )

Start Joint : A

End Joint : B

Angle : 0

s = sin q = 0

c = cos q = 1

Is conastant EA

LAB = 400 cm

Kl= EI

.1875

.375

-.1875

.375

.375

1

-.375

.5

-.1875

-.375

.1875

-.375

.375

.5

-.375

1

A B

B

A

Second element : B-C )

Start Joint : B

End Joint : c

Angle : 0

s = sin q = 0

c = cos q = 1

Is conastant EA

LBC = 500 cm

EI .24

-.096

.24

.24

.8

.4

-.096

-.24

.096

-.24

.24

.4

-.24

.096

-.24

.8

B C

B

C

K =g

1

End Joint : D

Third element : (C-D )

Start Joint : C

Angle : 0

s = sin q = 0

c = cos q = 1

LCD = 200 cm

Is conastant EA

= EI

1.5

1.5

-1.5

1.5

1.5

2

-1.5

.2

-1.5

-1.5

1.5

-1.5

1.5

1

-1.5

.2

C D

D

C

K l

Fourth element : (D-E )

Start Joint :D

End Joint : E

Angle : 0

s = sin q = 0

c = cos q = 1

Is conastantEA

LD-E = 400 cm

Kl

=EI

.1875

.375

-.1875

.375

.375

1

-.375

.5

-.1875

-.375

.1875

-.375

.375

.5

-.375

1

D E

D

E

K =

s

.1875 .375

.375 1

-.1875 -.375

.375 .5

0 0

0 0

0 0

0 0

-.096 -.24

.24 .4

0 0

0 0

0

0

0 0

0

00

0 0

0 0

0

0

0

0

0

0 0

0

0

-.1875 .375

-.375 .5

.2835 -.135

-.135 1.8

00

00

-.096

-.24

.24

.4

1.596 1.26

1.26 2.8

-1.5 1.5

1.5 1

0 0

0 0

0

0

-1.5 1.5

1.5 1

1.687 -1.125

-1.125 3

-.1875

.375

-.375

.5

0

0

0

0

0

0

-.1875 .375

-.375 .5

.1875

-.375 1

-.375

A B C D E

A

B

C

D

E

KUU

1.8 EI

0.4 EI

0

0.4 EI

2.8 EI

EI

0

EI

3 EI

=

1.8

0.4

0

0.4

2.8

1

0

1

3

EI=

Example 3:

Calculate the deformation of the shown

beam where EI = 105 kN.m2 for all members

4254DCB

EA 30 kNm50 kNm60 kNm

KUU

1.8 EI

0.4 EI

0

0.4 EI

2.8 EI

EI

0

EI

3 EI

=

1.8

0.4

0

0.4

2.8

1

0

1

3

EI

The stiffness equation

F = K D

Stiffness matrix From Exampl (2)

F1

F2

=

-60

-50

F3

30

= d1

d2

-60

-50

1.8

.4

.4

2.8

F = K D

30 d3

0

1

01 3

D =

qB

qC

qD

D = K-1 F

- 60

- 50

30

=

1.8

0.4

0

0.4

2.8

1

0

1

3

qB

qC

qD

1

EI

-1

- 60

- 50

30

=

7.4

-1.2

.4

-1.2

5.4

-1.8

.4

-1.8

4.88

qB

qC

qD

1

105

1

12.84=

- 0.290

- 0.196

0.165

X10-3

rad

Example 4:

Draw B.M.D for the shown beam where EI =

105 kN.m2 for all members

4

A

B

E

5 2 4C D

60 kNm 50 kNm 30 kNm

From the previous example

=

qB

qC

qD

- 0.290

- 0.196

0.165

X10-3

rad

4

A

B

E

5 2 4C D

=

qB

qC

qD

- 0.290

- 0.196

0.165

X10-3

rad

EI = 105 kN.m2

For member AB

LAB

MAB = =

= - 14.5 kN.m2 EI

LAB

MBA= (2 qB + qA ) =5x104(2X-0.029)x10-3

5x104(0-0.29)x10-3(2 qA + qB )2 EI

= - 29 kN.m

4

A

B

E

5 2 4C D

=qC

qD

- 0.290

- 0.196

0.165

X10-3

rad

qB

EI = 105 kN.m2

For member BC

LBC

MBC = (2 qB + qC ) =

2 EI

LBC

MCB= (2 qC + qB ) =

4x104(2x-0.29-0.196)x10-3

= - 31 kN.m

4x104(2x-0.196-0.029)x10-3

= - 27.3 kN.m

MAB = - 14.5 kN.m

MBA= - 29 kN.m

MBC = - 31 kN.m

MCB= - 27.3 kN.m

MCD = - 22.7 kN.m

MDC= 13.5 kN.m

MDE = 16.5 kN.m

MED= 8.3 kN.m

A B B C C D D E

14.5 29 31 27.3 22.7 13.5 16.5 8.3

A B B C C D D E

14.5 29 31 27.3 22.7 13.5 16.5 8.3

14.5

31

27.3

22.7

13.5

16.5

B.M.D

14.513.5

16.527.3

22.731

29

A

B

E

C D

60 kNm 50 kNm 30 kNm

Example 5:

Draw B.M.D for the shown beam where EI is

constant for all members

2

A B CD

1 2 2 1 2

100 kN 200 kN 150 kN

Solution Steps of assembly method :

Drive the member local stiffness

matrix

Localk11F1

F2

=

k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

F4k41 k42 k43

k14

k24

k34

k44

d1

d2

d3

d4

d3

d1

d2d4

First column in

Local Stiffness matrixD

=1D6 EI

L2

D6 EI

L2

D12 EI

L3

F1 = D12 EI

L3

F2 = D6 EI

L2

D6 EI

L2

F3 = D12 EI

L3

-

F4 =

first column in Local Stiffness

matrix

=

k31

k41

D12 EI

L3

D6 EI

L2

D-12 EI

L3

D6 EI

L2

k11

k21

Second column in

Local Stiffness matrix

d2 =1

q4 EI

L

q2 EI

L

q6 EI

L2

q6 EI

L2

F3 =F1

=

F4 =F2 =

q6 EI

L2q6 EI

L2

-

q2 EI

L

q4 EI

L

Second column in

Local Stiffness matrix

=

k12

k22

k32

k42

q6 EI

L2

q4 EI

L

q6 EI

L2

- q2 EI

L

Third column in Local Stiffness matrix

d3 =1

D12 EI

L3D12 EI

L3

D6 EI

L2

D6 EI

L2

Third column in Local Stiffness matrix

=

k13

k23

k33

k33

D-12 EI

L3

D-6 EI

L2

D12 EI

L3

D-6 EI

L2

D12 EI

L3

D-6 EI

L2

D-6 EI

L2F4 =

F3 = F1 = D-12 EI

L3

F2 =

Fourth column in

Local Stiffness matrix

q6 EI

L2

q6 EI

L2

q4 EI

L

q2 EI

L

F1

=F3=

F2

=

F4

=

q6 EI

L2

q2 EI

L

D-6 EI

L2

q4 EI

L

K l

D12 EI

L3

q6 EI

L2

q6 EI

L2

q4 EI

L

D-12 EI

L3

=

D-12 EI

L3

D-6 EI

L2

D-6 EI

L2

D12 EI

L3

D-6 EI

L2

q6 EI

L2

q2 EI

L

q6 EI

L2

q2 EI

L

D-6 EI

L2

q4 EI

L

First element : (A-B )

Start Joint : A

End Joint : B

Angle : 0

s = sin q = 0

c = cos q = 1

EA Is conastant

LAB = 300 cm

K l K

g=

K l

=E I

12/L^3

6/L^2

-12/L^3

6/L^2

6/L^2

2/L

6/L^2-

4/L

12/L^3-

6/L^2-

12/L^3

6/L^2-

6/L^2

-6/L^2

4/L

2/L

K l

= EI

0.44

0.67

-0.44

0.67

0.67

1.33

-0.67

0.67

-0.44

-0.67

0.44

-0.67

0.67

0.67

-0.67

1.33

A B

A

B

Second element : ( B-c)

Start Joint : B End Joint : c

=E I

12/L^3

6/L^2

-12/L^3

6/L^2

6/L^2

2/L

6/L^2-

4/L

12/L^3-

6/L^2-

12/L^3

6/L^2-

6/L^2

-6/L^2

4/L

2/LK

l

K l

= EI

0.1875

0.375

-0.1875

0.375

0.375

1

-0.375

0.5

-0.1875

-0.375

0.1875

-0.375

0.375

0.5

-0.375

1

B C

C

B

Second element : ( C-D )

Start Joint : C End Joint : D

=E I

12/L^3

6/L^2

-12/L^3

6/L^2

6/L^2

2/L

6/L^2-

4/L

12/L^3-

6/L^2-

12/L^3

6/L^2-

6/L^2

-6/L^2

4/L

2/LK

l

K l

= EI

0.44

0.67

-0.44

0.67

0.67

1.33

-0.67

0.67

-0.44

-0.67

0.44

-0.67

0.67

0.67

-0.67

1.33

C D

C

D

K g

= EI

0.44

0.67

-0.44

0.67

0.67

1.33

-0.67

0.67

-0.44

-0.67

0.44

-0.67

0.67

0.67

-0.67

1.33

A B

A

B

K g

= EI

0.1875

0.375

-0.1875

0.375

0.375

1

-0.375

0.5

-0.1875

-0.375

0.1875

-0.375

0.375

0.5

-0.375

1

B C

C

B

K g

= EI

0.44

0.67

-0.44

0.67

0.67

1.33

-0.67

0.67

-0.44

-0.67

0.44

-0.67

0.67

0.67

-0.67

1.33

C D

C

D

Ks = EI

0.44

.

0

9

3

7

0.67

-0.44

0.67

0

0

0.67

1.33

-0.67

0.67

0

0

0.67

0.67

.-0.295

2.33

-0.375

0.5

0

0

-0.1875

-.375

.2525

0.295

0

0

0.375

0.5

0.295

2.33

0

0

-.44

-.67

A B C

B

A

C

K l K

g=

00 0 -.44 -.67 -.67

0 0 0 .67 0.67 1.33

D

D

-0.44

-0.67

.0.6275

-0.295

-0.1875

0.375

0

0

0

0

.67

0.67

0

0

0

0

-.67

0.44

Partition

KuuK =

Kru

Kur

Krr

u r

u

r

Kuu = EI

2.33

2.33

0.5

0.5

Force vectorTransformation from member forces to Joint forces

L

P

8

LP

8

LP

90

P a b2

L2

L

P

a b P b a2

L2

2

A B CD

1 2 2 1 2

100 kN 200 kN 150 kN

100 kN 150 kN

200 kN

100 kNm100 kNm

44.4 kNm

22.2 kNm

66.7 kNm

33.3 kNm

Fixed End

Reaction

(FER)

2

A B CD

1 2 2 1 2

100 kN 200 kN 150 kN

100 kN 150 kN

200 kN

100 kNm100 kNm

44.4 kNm

22.2 kNm

66.7 kNm

33.3 kNm

Fixed End

Action

(FEA)

2

A B CD

1 2 2 1 2

100 kN 200 kN 150 kN

100 kNm

44.4 kNm 66.7 kNm

100 kNm

33.3 kNm55.6 kNm

2

A B CD

1 2 2 1 2

100 kN 200 kN 150 kN

33.3 kNm55.6 kNm

F1

F2

=

-55.6

33.3

F = K D

k11F1

F2

=k21

k12

k22

d1

d2

-55.6

33.3=

7/3

0.5 7/3

0.5EI

qB

qC

qB

qC

=1

EI

7/3

0.5 7/3

0.5-1

-55.6

33.3

qB

qC

=1

EI

7/3

0.5 7/3

0.5-1

-55.6

33.3

qB

qC

=1

EI

-28.18

20.31

Internal forces in beam elements

2 EI

LMAB= ( 2 + )qA qB

MBA=2 EI

L( + 2 )qA qB

MBA=2 EI

L( + 2 )qA qBM(FER) BA +

MAB= ( 2 + )qA qBM(FER) AB +2 EI

L

2

A B CD

1 2 2 1 2

100 kN 200 kN 150 kN

100 kN 150 kN

200 kN

100 kNm100 kNm

44.4 kNm

22.2 kNm

66.7 kNm

33.3 kNm

Fixed End

Reaction

(FER)

qB

qC

=1

EI

-28.18

20.31

2 EI

LMAB= ( 2 + )qA qBM(FER) AB +

MBA=2 EI

L( + 2 )qA qBM(FER) BA +

100 kN

44.4 kNm22.2 kNm

= 22.2 + 2/3 (-28.18) = 3.4

= -44.4 + 2/3 (2x-28.18) = - 82

A B

qB

qC

=1

EI

-28.18

20.31

2 EI

LMBC= ( 2 + )qB qCM(FER) BC +

MCB=2 EI

L( + 2 )qB qCM(FER) CB +

= 100 + 2/4 (2x-28.18+20.31) = 82

= -100 + 2/4 (-28.18+2x20.31) = - 93.8

200 kN

100 kNm100 kNm

B C

qB

qC

=1

EI

-28.18

20.31

2 EI

LMCD= ( 2 + )qC qDM(FER) CD +

MDC=2 EI

L( + 2 )qC qDM(FER) DC +

= 66.7 + 2/3 (2x20.31) = 93.8

= -33.3 + 2/3 (20.31) = - 19.8

150 kN

33.3 kNm66.7 kNm

C D

MAB= 3.4

MBA= -82

MBC= 82MCB= -93.8

MCD= 93.8MDC= -19.8

3.4

82

19.8

93.8

B.M.D

3.4

82

19.8

93.8

B.M.D

2

A B CD

1 2 2 1 2

100 kN 200 kN 150 kN

55.887.9

69.1

66.7

10.9

200

112.1

100

30.9

Example 6:

Draw B.M.D for the shown beam where EI is

shown in figure

3

AB C D

5 5 2

100 kN 200 kN 100 kN

3 2

250 kN

III2 I2 I2 I

E

Solution Steps of assembly method :

Drive the member local stiffness

matrix

Localk11F1

F2

=

k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

F4k41 k42 k43

k14

k24

k34

k44

d1

d2

d3

d4

d3

d1

d2d4

First column in

Local Stiffness matrixD

=1

`D6 EI

L2

D6 EI

L2

D12 EI

L3

F1 = D12 EI

L3

F2 = D6 EI

L2

D6 EI

L2

F3 = D12 EI

L3

-

F4 =

first column in Local Stiffness

matrix

=

k31

k41

D12 EI

L3

D6 EI

L2

D-12 EI

L3

D6 EI

L2

k11

k21

Second column in

Local Stiffness matrix

d2 =1

q4 EI

L

q2 EI

L

q6 EI

L2

q6 EI

L2

F3 =F1

=

F4 =F2 =

q6 EI

L2q6 EI

L2

-

q2 EI

L

q4 EI

L

Second column in

Local Stiffness matrix

=

k12

k22

k32

k42

q6 EI

L2

q4 EI

L

q6 EI

L2

- q2 EI

L

Third column in Local Stiffness matrix

d3 =1

D12 EI

L3D12 EI

L3

D6 EI

L2

D6 EI

L2

Third column in Local Stiffness matrix

=

k13

k23

k33

k33

D-12 EI

L3

D-6 EI

L2

D12 EI

L3

D-6 EI

L2

D12 EI

L3

D-6 EI

L2

D-6 EI

L2F4 =

F3 = F1 = D-12 EI

L3

F2 =

Fourth column in

Local Stiffness matrix

q6 EI

L2

q6 EI

L2

q4 EI

L

q2 EI

L

F1

=F3=

F2

=

F4

=

q6 EI

L2

q2 EI

L

D-6 EI

L2

q4 EI

L

K l

D12 EI

L3

q6 EI

L2

q6 EI

L2

q4 EI

L

D-12 EI

L3

=

D-12 EI

L3

D-6 EI

L2

D-6 EI

L2

D12 EI

L3

D-6 EI

L2

q6 EI

L2

q2 EI

L

q6 EI

L2

q2 EI

L

D-6 EI

L2

q4 EI

L

First element : (B-C )

Start Joint : B

End Joint : C

Angle : 0

s = sin q = 0

c = cos q = 1

EA Is conastant

LAB = 1000 cm

K l K

g=

K l

=E I

12/L^3

6/L^2

-12/L^3

6/L^2

6/L^2

2/L

6/L^2-

4/L

12/L^3-

6/L^2-

12/L^3

6/L^2-

6/L^2

-6/L^2

4/L

2/L

K l

= EI

0.024

0.12

-0.024

0.12

0.12

0.8

-0.12

0.4

-0.024

-0.12

0.024

-0.12

0.12

0.4

-0.12

0.8

B C

B

C

First element : (C-D )

Start Joint : C

End Joint : D

Angle : 0

s = sin q = 0

c = cos q = 1

EA Is conastant

LAB = 500 cm

K l K

g=

K l

=E I

12/L^3

6/L^2

-12/L^3

6/L^2

6/L^2

2/L

6/L^2-

4/L

12/L^3-

6/L^2-

12/L^3

6/L^2-

6/L^2

-6/L^2

4/L

2/L

K l

= EI

0.096

0.24

-0.096

0.24

0.24

0.8

-0.24

0.4

-0.096

-0.24

0.096

-0.24

0.24

0.4

-024

0.8

C D

C

D

Assembly :

K g

= EI

0.024

0.12

-0.024

0.12

0.12

0.8

-0.12

0.4

-0.024

-0.12

0.024

-0.12

0.12

0.4

-0.12

0.8

B C

B

C

K g

= EI

0.096

0.24

-0.096

0.24

0.24

0.8

-0.24

0.4

-0.096

-0.24

0.096

-0.24

0.24

0.4

-024

0.8

C D

C

D

Ks = EI

0.024

.

0

9

3

7

0.12

-0.024

0.12

0

0

0.12

0.8

-0.12

0.4

0

0

-0.024

-0.12

0.12

0.12

-0.096

0.024

0.12

0.4

0.12

1.6

-0.024

0.4

0

0

-0.096

-0.24

0.096

-0.24

0

0

0.24

0.4

-0.24

0.8

B C D

C

B

D

K l K

g=

Partition

KuuK =

Kru

Kur

Krr

u r

u

r

Kuu = EI

0.8

0.4

0

0.4

1.6

0.4 0.8

0.4

0

Force vector

Transformation from member forces to Joint forces

L

P

8

LP

8

LP

128

P a b2

L2

L

P

a b P b a2

L2

100 kN

100 kN200 kN

250 kNm250 kNm

300 kNm

200 kNm

Fixed End Reaction (FER)

3

AB C D

5 5 2

100 kN 200 kN 100 kN

3 2

250 kN

E

250 kN180 kNm 120 kNm

100 kN

100 kN200 kN

250 kNm250 kNm

300 kNm

200 kNm

Fixed End Action (FEA)

3

AB C D

5 5 2

100 kN 200 kN 100 kN

3 2

250 kN

E

250 kN180 kNm 120 kNm

250 kNm250 kNm

300 kNm

200 kNm

3

AB C D

5 5 2

100 kN 200 kN 100 kN

3 2

250 kN

E

180 kNm 120 kNm

50 kNm 70 kNm 80 kNm

3

AB C D

5 5 2

100 kN 200 kN 100 kN

3 2

250 kN

E

50 kNm 70 kNm 80 kNm

F1

F2=

50

70

F3 - 80

F = K DThe stiffness equation

=

50

70

- 80

0.8

0.4

0

0.4

1.6

0.4

0

0.4

0.8

EI

qB

qC

qD

=

50

70

- 80

0.8

0.4

0

0.4

1.6

0.4

0

0.4

0.8

qB

qC

qD

1

EI

-1

=1

EI

27.08

70.83

- 135.42

=

qB

qC

qD

1

EI

27.08

70.83

- 135.42

Internal forces in beam elements

2 EI

LMAB= ( 2 + )qA qB

MBA=2 EI

L( + 2 )qA qB

M(FER) AB +

M(FER) BA +

100 kN

100 kN200 kN

250 kNm250 kNm

300 kNm

200 kNm

Fixed End Reaction (FER)

3

AB C D

5 5 2

100 kN 200 kN 100 kN

3 2

250 kN

E

250 kN180 kNm 120 kNm

2 E(2I)

LMBC= ( 2 + )qB qCM(FER) BC +

MCB=2 E(2I)

L( + 2 )qB qCM(FER) CB +

= 250 + 4/10 (2x27.08+70.83) = 300

= -250 + 4/10 (27.08+2x70.83) = - 182.5

200 kN

250 kNm250 kNm

B C

=

qB

qC

qD

1

EI

27.08

70.83

- 135.42

2 E(2I)

LMBC= ( 2 + )qB qCM(FER) BC +

MCB=2 E(2I)

L( + 2 )qB qCM(FER) CB +

= 250 + 4/10 (2x27.08+70.83) = 300

= -250 + 4/10 (27.08+2x70.83) = - 182.5

200 kN

250 kNm250 kNm

B C

=

qB

qC

qD

1

EI

27.08

70.83

- 135.42

MBC= 300MCB= -182.5

MCD= 182.5MDC= -200

300

200

B.M.D

A

B C D

E

182.5

B.M.D

3

AB C D

5 5 2

100 kN 200 kN 100 kN

3 2

250 kN

E

300200

A

B C D

E

182.5241.25

500

258.75

189.5

300

110.5

Example 7:

Draw B.M.D for the shown beam where EI is

constant for all members

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

K l

D12 EI

L3

q6 EI

L2

q6 EI

L2

q4 EI

L

D-12 EI

L3

=

D-12 EI

L3

D-6 EI

L2

D-6 EI

L2

D 12 EI

L3

D-6 EI

L2

q6 EI

L2

q2 EI

L

q6 EI

L2

q2 EI

L

D-6 EI

L2

q4 EI

L

q4 EI

L

First element : (A-B )

EA conastant

LAB = 10 m

12 EI

L3=0.012EI

q6 EI

L2

q4 EI

L

q2 EI

L=0.06 EI

=0.4 EI

=0.2 EI

K l

=

0.012 EI

0.012 EI 0.012 EI

0.012 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.4 EI

0.4 EI

0.2 EI

0.2 EI

A

A

B

B

Second element : ( B-c)

EI conastant

LAB = 10 m

12 EI

L3=0.012EI

q6 EI

L2

q4 EI

L

=0.06 EI

=0.4 EI

=0.2 EIq2 EI

L

K l

=

0.012 EI

0.012 EI 0.012 EI

0.012 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.4 EI

0.4 EI

0.2 EI

0.2 EI

A

A

B

B

K g

K l

=

Assembly :

=

K gg1

0.012 EI 0.06 EI 0.012 EI 0.06 EI

0.06 EI 0.4 EI 0.06 EI 0.2 EI

0.012 EI 0.06 EI 0.06 EI0.012 EI

0.06 EI 0.2 EI 0.4 EI0.06 EI

2=

K gg

0.012 EI

0.012 EI 0.012 EI

0.012 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.4 EI

0.4 EI

0.2 EI

0.2 EI

A B

A

B

=

0.012

-0.012

-0.012

0.06

0.06

-0.06 0.06

0.06

-0.06

0.06

-0.06

0.4

0.4

0.2

0.2

A

A

B

B

K s

0.0

0.8

0.024

0.0

0.0

0.0

0.0 0.0

0.0

0

0.0

0.0

0.012

-0.012

-0.012

0.06

-0.06

0.2

0.2

-0.06

-0.06

EI

c

c

Partition

KuuK =

Kru

Kur

Krr

u r

u

r

Force vectorTransformation from member forces to Joint forces

L

P

8

LP

8

LP-

240 kN300 kNm300 kNm

Fixed End

Reaction

(FER)

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

120 kN150 kNm150 kNm

300 kNm300 kNm

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

150 kNm150 kNm

120120 6060

F1

F2

=

120

-300

F3

F6

F5

F4

180

150

60

150

120

-300

180

150

60

150

0.012

-0.012

-0.012

0.06

0.06

-0.06 0.06

0.06

-0.06

0.06

-0.06

0.4

0.4

0.2

0.2

0.0

0.8

0.024

0.0

0.0

0.0

0.0 0.0

0.0

0

0.0

0.0

0.012

-0.012

-0.012

0.06

-0.06

0.2

0.2

-0.06

-0.06

d1

d2

d3

d4

d5

d6

= EI

120

-300

180

150

60

150

-0.012 0.06

-0.06

0.06

-0.06

0.06

-0.06

0.4

0.4

0.2

0.2

0.0

0.8

0.024

0.0

0.0

0.0

0.0 0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.012

-0.012

-0.012

0.06

-0.06

0.2

0.2

-0.06

-0.06

d1

d2

d3

d4

d5

d6

=EI

=

qB

qC

150

150

0.8

0.2 0.4

0.2EI

qB

qC

=1

EI

-1150

150

0.8

0.2 0.4

0.2

qB

qC

=1

EI

107.14

321.43

qB

qC

=1

EI

-1150

150

0.8

0.2 0.4

0.2

Internal forces in beam elements

2 EI

LMAB= ( 2 + )qA qB

MBA=2 EI

L( + 2 )qA qB

M(FER) AB +

M(FER) BA +

240 kN300 kNm300 kNm

Fixed End

Reaction

(FER)

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

120 kN150 kNm150 kNm

2 EI

LMAB= ( 2 + )qA qB

MBA=2 EI

L( + 2 )qA qB

M(FER) AB +

M(FER) BA +

= 300 + 2/10 (107.14) = 321.4

= -300 + 2/10 (2x107.14) = - 257.1

qB

qC

=1

EI

107.14

321.43

240 kN

300 kNm300 kNm

A B

2 EI

LMBC= ( 2 + )qB qC

MCB=2 EI

L( + 2 )qB qC

M(FER) BC +

M(FER) CB +

= 150 + 2/10 (2x107.14+321.43) = 257.1

= -150 + 2/10 (107.14+2x321.43) = 0

120 kN

150 kNm150 kNm

B C qB

qC

=1

EI

107.14

321.43

MAB= 321.4

MBA= -257.1

MBC= 257.1MCB= 0

321.4

257.1

B.M.D

93.8

128.55

300

171.45

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

321.4

257.1

B.M.D

289.25

600

310.75

Beams with settlement

D

D6 EI

L2

D6 EI

L2D12 EI

L3

D12 EI

L3

Fixed End

Reaction

(FER)

Beams with settlement

D

D6 EI

L2

D6 EI

L2

D12 EI

L3

D12 EI

L3

Fixed End

Reaction

(FER)

Beams with settlement

D

D3 EI

L2D3 EI

L3

D3 EI

L3

Fixed End

Reaction

(FER)

Beams with settlement

D

D3 EI

L2D3 EI

L3

D3 EI

L3

Fixed End

Reaction

(FER)

169

Example 8:

Draw B.M.D for the shown beam due to the

shown loads and vertical downward

settlement at support B (2000/EI) and at

support C (1000/EI) where EI is constant for

all members

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

=0.8

0.2 0.4

0.2K EI

From example 7 :

240 kN300 kNm300 kNm

Fixed End

Reaction

(FER)

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

120 kN150 kNm150 kNm

For

Loads

Fixed End Reaction (FER)

A B

5 5

C

5 5

For

settlement

1000

EI

2000

EI

6 EIx1000

102 EI

6 EIx1000

102 EI

6 EIx2000

102 EI

6 EIx2000

102 EI

120

120 6060

300 kNm300 kNm

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

150 kNm150 kNmFor

Loads

For

settlement 120 120 60 60

Fixed End

Reaction

(FER)

210 kNmTotal 90 kNm

420 180 90 210

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

Fixed End

Reaction

(FER)

210 kNm90 kNm

Fixed End

Action

(FEA)

210 kNm90 kNm

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

Fixed End

Action

(FEA)

210 kNm90 kNm

F1

F2

=90

210

F = K D

k11F1

F2

=k21

k12

k22

d1

d2

=

qB

qC

qB

qC

=1

EI

-1

90

210

90

210

0.8

0.2 0.4

0.2EI

0.8

0.2 0.4

0.2

qB

qC

=1

EI

-21.43

535.71

qB

qC

=1

EI

-190

210

0.8

0.2 0.4

0.2

Internal forces in beam elements

2 EI

LMAB= ( 2 + )qA qB

MBA=2 EI

L( + 2 )qA qB

M(FER) AB +

M(FER) BA +

300 kNm300 kNm

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

150 kNm150 kNmFor

Loads

For

settlement 120 120 60 60

Fixed End

Reaction

(FER)

210 kNmTotal 90 kNm

420 180 90 210

2 EI

LMAB= ( 2 + )qA qB

MBA=2 EI

L( + 2 )qA qB

M(FER) AB +

M(FER) BA +

= 420 + 2/10 (-21.43) = 415.7

= -180 + 2/10 (2x-21.43) = - 188.6

180 kNm420 kNm

A B qB

qC

=1

EI

-21.43

535.71

2 EI

LMBC= ( 2 + )qB qC

MCB=2 EI

L( + 2 )qB qC

M(FER) BC +

M(FER) CB +

= 90 + 2/10 (2x-21.43+535.7) = 188.6

= -210 + 2/10 (-21.43+2x535.71) = 0

210 kNm90 kNm

B C qB

qC

=1

EI

-21.43

535.71

MAB= 321.4

MBA= -257.1

MBC= 257.1MCB= 0

415.7

188.6

B.M.D

93.8

94.3

300

205.7

A B

5 5

240 kN

C

5 5

120 kN

415.7

188.6

B.M.D

302.15

600

297.85