Suma directas - Clases

subespacios linealmente independientes

M.C Marıa Esther Grimaldo Reyna.

May 1, 2014

M.C Marıa Esther Grimaldo Reyna. subespacios linealmente independientes

Definicion

Sean W1,W2, ...,Wk subespacios de un espacio vectorial V .Sedice que W1,W2, ...,Wk son independientes si:

α1 + α2 + ... + αk = 0

con αi ∈ Wi implica que αi = 0,∀i = 1, 2, ..., k .

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Definicion para k = 2

Para k = 2,el resultado queda ası:”Sean W1,W2 subespacios de un espacio vectorial V .Se diceque W1,W2 son subespacios independientes si

α1 + α2 = 0

con αi ∈ Wi implica que αi = 0, para i = 1, 2. ”

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Afirmacion para k = 2

W1,W2 son independientes si y solo si W1 ∩W2 = {0}

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Proof.

⇒ Supongamos que independientes. Seaα ∈ W1 ∩W2.Entonces α ∈ W1 y α ∈ W2.Por lo que

α + (−α) = 0 ∈ W1 + W2

Como W1 y W2 son independientes, se tiene que α = 0. Por lotanto:

W1 ∩W2 ⊂ {0}

Como {0} ⊂ W1 ∩W2,logramos:

W1 ∩W2 = {0}

.

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⇐) Suponga que W1 ∩W2 = {0} P.D W1,W2 sonindependientes. Sean α1 ∈ W1 y α2 ∈ W2.Supongamos queα1 + α2 = 0 ∈ W1 + W2, P.D α1 = 0 y α2 = 0. Comoα1 + α2 = 0, tenemos:

α1 = −α2 ∈ W2 ⇒ α1 ∈ W2 ⇒ α1 ∈ W1 ∩W2

α2 = −α2 ∈ W1 ⇒ α1 ∈ W1 ⇒ α2 ∈ W1 ∩W2

Como W1 ∩W2 = {0}:

α1 = 0, α2 = 0

Por lo tanto:W1 y W2 son independientes.

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Teorema

Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre un campoF y sea λ1, λ2, ..., λn una base de V . Si Wi es el subespaciounidimensional generado por λi , entonces:

V = W1

⊕W2

⊕...⊕

Wn

.

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Ejemplo

Sea n un entero positivo y F el campo de los numeroscomplejos y V el espacio de todas las matrices nxn sobre F .Sea W1 el espacio de todas las matrices simetricas,es decir,matrces A tal que AT = A. Sea W2 el subespacio de todas lasmatrices antisimetricas, es decir, matrices A tales queAT = −A.Entonces

V = W1

⊕W2

Notese que si A es cualquier matriz de V , la expresion unicapara A como suma directa de matrices, es:

A = A1 + A2

donde

A1 =1

2(A + AT ),A2 =

1

2A− AT

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Ejemplo

Sea T cualquier operador lineal sobre un espacio V dedimension finita. Sean α1, α2, ...αk los valores propios distintosde T y sea Wi el espacio de los vectores propios asociados alos valoers propios αi . EntoncesW1,W2, ...,Wk son independientes.En particular, si T es diagonalizable, entonces

V = W1

⊕W2

⊕...⊕

Wk

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Ejercicio 1

Considere los subespacios vectoriales de R4 y

W1 = L{(1, 0, 2, 1), (α, α, 1, 1}

W2 = L{(0, 1, 2, 2), (1, 2,−1, 1)}

. Determine los valores de α tales que W1

⊕W2 = R4.

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Ejercicio 2

Considere los siguientes subespacios vectoriales de R3,

W1 = L{(1, 0, 1)}

W2 = L{(1, 1, 0), (1, 0,−1)

Determine si R3 = W1

⊕W2.

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Teorema

Sea V un espacio vectorial de dimension finita y sea W1 unsubespacio de V .Demostrar que exıste un subespacio W2 de Vtal que V = W1

⊕W2.

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Demostracion

Considere que dim(V ) = n.Sea

B1 = {α1, α2, ..., αk}una base de W1, con k ≤ n. Luego,podemos completar unabase para V con

B2 = {αk+1, αk+2, ..., αn}.Observe que B2 es Linealmente Independiente.

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Continuacion...

DefinamosW2 = L{αk+1, αk+2, ..., αn}

P.D V = W1

⊕W2

P.D a)V = W1 + W2

P.D:i)V ⊂ W1 + W2

ii)W1 + W2 ⊂ V

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Continuacion...

i) Sea α ∈ V .Entonces:

α = c1α1 + c2α2 + ...+ ckαk + ck+1αk+1 + ck+2αk+2...+ cnαn

donde:c1α1 + c2α2 + ... + ckαk ∈ W1

yck+1αk+1 + ck+2αk+2... + cnαn ∈ W2

Por lo tanto:V ⊂ W1 + W2

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Continuacion...

Como W1 + W2 ⊂ V ,se tiene que

V = W1 + W2

�

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Continuacion...

P.D b)W1 ∩W2 = {0} P.D

i)W1 ∩W2 ⊂ {0}

ii){0} ⊂ W1 ∩W2

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Continuacion

Sea α ∈ W1 ∩W2 entonces α ∈ W1 y α ∈ W2.Ası que:

α = c1α1 + c2α2 + ... + ckαk

α = ck+1αk+1 + ck+2αk+2... + cnαn

α+(−α) = c1α1 +c2α2 + ...+ckαk−ck+1αk+1−ck+2αk+2− ...

...− cnαn = 0

donde ci = 0∀i = 1, 2, 3, ....n.Por lo que α = 0.Por lo tanto

α ∈ W1 ∩W2

V = W1

⊕W2

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Theorem

Sea V un espacio vectorial de dimension m + n y sea U unsubespacio de dimension m. Entonces exıste un subespacio Wde dimension n tal que:

V = U⊕

W

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Proof:Sea B1 = {u1, u2, ..., um} una base de U .Podemos encontrar vectores {w1,w2, ...,wn} de manera que

B = {u1, u2, ..., um,w1,w2, ...,wn}

sea una base de V . Entonces definamos

W2 = L{w1,w2, ...,wn}

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Es evidente que V = W1 + W2 ya que:

α = c1u1 + c2u2 + ... + cmum︸ ︷︷ ︸∈W1

+ d1w1 + d2w2 + ... + dnwn︸ ︷︷ ︸∈W2

Ahora supongamos que α ∈ W1 ∩W2. Entonces:α− α = 0⇔c1u1 + c2u2 + ... + cmum + d1w1 + d2w2 + ... + dnwn = 0

⇒ ci = 0∀i = 1, 2, 3, ...,m

di = 0∀i = 1, 2, 3, ..., n

Por lo que α = 0 ∈ U ∩W

U ∩W ⊂ {0}

Por lo tanto V = U⊕

W . LQQD

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