TA NIEZWYKŁA LICZBA π

TA TA NIEZWYKŁANIEZWYKŁALICZBALICZBA π

• HISTORIA• MNEMOTECHNIKA• CIEKAWOSTKI

LICZBA π

HISTORIA

Liczba π została odkryta dość wcześnie, bo już w starożytności, kiedy to zauważono, że

stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą bliską liczbie 3

(a więc niezależną od wielkości koła).

3d

l

średnicad

obwódl

Od tej chwili starano się odkryć dokładną wartość stosunku obwodu koła do jego średnicy.

Stała ta okazała się liczbą niewymierną, a zatem liczbą, której rozwinięcie dziesiętne

jest nieskończone, nieokresowe i której nie można przedstawić w postaci ilorazu

dwóch liczb całkowitych.

3,14159265358979323846…

Niewymierność tej liczby udowodnił w roku 1761

Johann Heinrich Lambert.

Nie możemy podać dokładnej wartości tej liczby,a jedynie mniej lub bardziej dokładną

wartość przybliżoną.

Najczęściej stosowane przybliżenia tej liczby to:

3,1422/7

Liczba π to najstarsza odkryta liczba tego typu. Liczy sobie około 4000 lat.

Symbol π, jakim oznacza się tę liczbę, Został jednak wprowadzony znacznie później, bo w roku 1706, przez matematyka angielskiego Wiliama Jonesa.

Oznaczenie to początkowo nie zdobyło uznania ani rozgłosu wśród matematyków.

Rozpowszechnił je dopiero wybitny fizyk i matematyk szwajcarski

Leonhard Euler.

jest szesnastą literą greckiego alfabetu i pierwszą literą greckiego słowa

περίμετρον - perimetron, czyli

obwód.

Liczba π

nazywana bywa często

stałą Archimedesa

lub

ludolfiną.

Archimedes (III w. p.n.e.)

– matematyk i fizyk grecki – był prawdopodobnie pierwszym matematykiem

badającym dokładniej własności liczby π,który oszacował ją

z dokładnością do 2 miejsc po przecinku.

Do oszacowania wartości liczby π Archimedes użył metody bazującej na zależnościach geometrycznych.

Obwód koła o średnicy 1 równy jest liczbie π. W koło wpisujemy dowolny wielokąt foremny,

a następnie wielokąt ten opisujemy na kole. Obliczając obwody tych wielokątów i ich średnią arytmetyczną

otrzymujemy wartość zbliżoną do obwodu koła a więc do liczby π. Im więcej boków będzie liczyć nasz wielokąt tym lepsze przybliżenie liczby π uzyskamy.

Archimedes wykonał obliczenia dla 96 – kąta i uzyskał przybliżenie z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Przez następne wieki metoda Archimedesa

była najlepszą metodą pozwalającą uzyskiwać coraz bardziej dokładne przybliżenia liczby π.

Metoda ta była często i z powodzeniem wykorzystywana, niezależnie od prac Archimedesa, przez późniejszych matematyków,

którzy poszukiwali kolejnych przybliżeń liczby π.

Nazwa „ludolfina” pochodzi od imienia matematyka holenderskiego

Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby π

z dokładnością do 35 cyfr po przecinku.

Ludolf van Ceulen, pracując nad obliczeniem wartości liczby π,

stosował metodę Archimedesa (wieloboków foremnych). Uzyskane rezultaty opublikował w 1596 roku w książce „O kole”, w której podał wartość π

z dokładnością do 20 miejsc po przecinku. Nie zatrzymał się jednak na tym, pracował dalej

i pod koniec życia obliczył π z dokładnością do 35 miejsca po przecinku;

użył do tego wieloboku o ilości boków równej 262 czyli ponad milion.

Całe swoje życie poświęcił pracy nad coraz lepszym przybliżeniem wartości liczby PI.

Wartość, którą uzyskał, π z 35-a cyframi po przecinku, została wyryta na jego płycie nagrobkowej.

Jak wynika z powyższych przykładów, od momentu,

gdy odkryto liczbę będącą ilorazem obwodu koła przez jego średnicę,najwybitniejsi uczeni łamali sobie głowy

nad znalezieniem jej coraz bardziej dokładnych przybliżeń

(określeniem jak największej ilości liczb występujących po przecinku).

Historia obliczeń liczby π jest bardzo ciekawa.

Pierwsze zapiski na temat liczby π znaleziono w starożytnym Egipcie.

I to właśnie Egipcjanie podali jedno z pierwszych jej przybliżeń.

Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π

pochodzą dla odmiany ze starożytnego Babilonu.

Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e.,

pojawia się wartość 3,125.

Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie matematycznym Rhinda

zatytułowanym „Wprowadzenie do wiedzy

o wszystkich istniejących rzeczach” znajdują się rozwiązania zadań matematycznych,

zawierające odniesienia do wartości liczby π, przybliżonej przez ułamek 44/34, co wynosi 3,1604.

W biblijnej Drugiej Księdze Kronikpochodzącej z V – IV wieku p.n.e.

znajduje się relacja:

„Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci,

wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci” (2 Krn 4,2).

Z tego opisu wynika, iż wykonawca owego „morza” przyjął oszacowanie

π = 3.

Wśród wybitnych postaci starających się na przestrzeni wieków oszacować liczbę π,

oprócz wspomnianych już – Archimedesa i Ceulena,znajdziemy między innymi

Ptolemeusza, Bhâskarę, Piotra Metiusa, Françoisa Viete’a , Leonharda Eulera

i Gotfrieda Wilhelma Leibnitza.

Ptolemeusz

Francois Viete

Gotfried Wilhelm Leibnitz

Z biegiem czasu uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości liczby PI,

sięgające kilkuset miejsc po przecinku.

1853 rok Wiliam Rutherford

440 miejsc po przecinku

1874 rokWiliam Shanks

527 miejsc po przecinku

1946 rok – Ferguson – 620 miejsc po przecinku, z tym że on, w końcowych obliczeniach wspomagał się już

kalkulatorem.

Wiliam Shanks

Od 1949 r. aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko

przy użyciu komputerów.

Przy pomocy komputera ENIAC obliczono wówczas

2037 miejsc po przecinku.

ENIAC – pierwszy komputer cyfrowy

W 2009 roku Fabrice Bellard

obliczył π z dokładnością do 2699999990000 miejsc po przecinku.

Obliczenia ze sprawdzeniem zajęły mu 131 dni.

W 2010 rokuobliczono 2 000 000 000 000 000 cyfrę

liczby π i wynosi ona zero. Obliczenia trwały 23 dni.

Oczywiście ludzie ciągle bili i bić będą rekordy

w wyznaczaniu kolejnych przybliżeń liczby π.

Nim się do tego zabierzemy, warto pamiętać, że w praktyce wystarcza nam osiem cyfr tego rozwinięcia.

Liczba π pojawia się w wielu dziedzinach

matematyki i fizyki.

Współczesna matematyka bez liczby π

po prostu nie istnieje.

MNEMOTECHNIKA

Termin mnemotechnika (z gr. mnéme 'pamięć' + technika - gr. technikós

'wykonany zgodnie ze sztuką' od téchne 'sztuka') oznacza ogół technik służących

lepszemu zapamiętywaniu oraz przypominaniu sobie

informacji na drodze skojarzeń.

Zapamiętanie kilkunastu początkowych cyfr po przecinku

w rozwinięciu dziesiętnym liczby π, nie jest sprawą łatwą, lecz tutaj

matematyce przychodzi na pomoc poezja.

Księga Guinnessa zawiera listę ludzi którzy zapamiętali

najwięcej cyfr liczby π.

W przypadku liczby pi najczęściej używaną sztuczką mnemotechniczną

jest zapamiętanie wierszyka,w którym liczba liter kolejnego słowa

to kolejna cyfra liczby pi.

Znane są takie wierszyki w różnych językach,m.in. angielskim, francuskim, rosyjskim.

Witold Rybczyński nadał takim wierszykom nazwę "pi-emat"

Kuć i orać w dzień zawzięcie, Bo plonów niema bez trudu!

Złocisty szczęścia okręcie, kołyszesz...

Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu!

1Oto niektóre z polskich wierszy:

3,14159265358979323846264

Był to pierwszy polski wiersz tego typu, nieco toporny,

napisany przez Kazimierza Cwojdzińskiego w 1930 roku

i zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr

poświęconemu nauczaniu matematyki.

Należy także pamiętać, że tekst powstał przed reformą ortografii z 1936 roku.

Wówczas pisano nie ma w znaczeniu 'nie posiada'

i niema w znaczeniu 'nie jest'.

Jaś o kole z werwą dyskutujebo dobrze temat ten czuje

zastąpił ludolfinę słowami wierszykaczy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika?

Oto i wiem i pomnę doskonale... Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła.

2

3, 1415926535897932384626

Raz w maju, w drugą niedzielę Pi liczył cyfry pan Felek. Pomnożył, wysumował,

Cyferki zanotował, Ale ma ich niewiele...

3

3, 141592653589793238

Podczas zmagań sportowych na Mundialu w Argentynie

ułożono wiersz,który pozwala zapamiętać 30 cyfr po przecinku:

Już i Lato i Deynastrzelili do bramki obcej

dwa karneLubański dostrzegł mistrza Szarmacha

gdy on tak wypuścił cios szachaże zdobyć musi cel gry

krzyknął Gol na Mundial! Argentyna.

4

3,141592653589793238462643383279

CIEKAWOSTKI

Liczba 31415926535897932384626433832795028841, zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia

dziesiętnego liczby Pi, jest pierwsza.

1.

2.Koncentracja cyfr liczby pi jest prawie równa,

jednak na pierwszych 30 miejscach po przecinku nie występuje cyfra 0.

3,141592653589793238462643383279

Na ciekawy fakt zwrócili uwagę badacze piramidy Cheopsa.

Stwierdzili oni, że iloraz otrzymany z podziału sumy dwóch boków podstawy piramidy

przez jej wysokość jest równy 3,1416, co jest zadziwiająco dokładnym przybliżeniem liczby .

Trudno jednak z całą pewnością stwierdzić, czy jest to tylko przypadek,

czy też efekt świadomych obliczeń ówczesnych uczonych wykorzystujących znajomość wartości liczby.

3.

Pi nierzadko pojawia się i w filmach. W "Pi" Darrena Aaronofskyego genialny matematyk Max Cohen próbuje rozszyfrować tajny kod,

dający władzę nad materialnym i duchowym światem.

Aaronofsky nie ustrzegł się zresztą błędu w samej liczbie, co ochoczo wytknęli mu widzowie - długi sznur liczb na

początku filmu przedstawiających pi jest błędny od dziewiątego miejsca po przecinku,

dodatkowo w filmie jest mowa o 216-cyfrowej liczbie, jednak po przeliczeniu jej cyfr okazuje się,

że jest ich "aż" 218.

4.

Nie sposób nie wspomnieć o odkryciu polskiej noblistki Wisławy Szymborskiej,

która w jednym z wierszy „Liczba Pi” zasugerowała, że

w rozwinięciu liczby pi można znaleźć dowolną liczbę naturalną

(np. dowolny numer telefonu, koszuli, liczbę mieszkańców etc.).

W 2008 roku okazało się to być prawdą! Od tej pory wszystkie liczby, które mają taką cechę

(tzn. ich rozwinięcia zawierają wszystkie liczby naturalne, jak np. najprostsza z takich liczb

0,1234567891011121314...), nazywa się "liczbami Szymborskiej".

5.

7.

8.

Wzmianka o pi i o jej boskiej naturze pojawia się również w książce

Umberto Eco - "Wahadło Foucaulta”.

Liczba π weszła także do języka potocznegow postaci różnych powiedzonek:

"pi razy oko”,„pi razy drzwi”.

Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi,

wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby Pi.

Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę

i rozpoznają nasz komunikat.

8.

Liczba pi inspiruje też zwykłych ludzi, którzy starają się ustanowić nowe rekordy

w zapamiętywaniu jej rozwinięcia.

Na przykład 60 – letni Japończyk Akira Haraguchi w 2006 roku wyrecytował z pamięci 100 tysięcy cyfr

składających się na liczbę pi. Zajęło mu to 16,5 godziny.

Haraguchi rozpoczął recytację w środę o 9 rano i do 100-tysięcznej liczby po przecinku

doszedł o pierwszej dwadzieścia osiem w czwartek. Haraguchi robił sobie co dwie godziny pięciominutowe

przerwy na odpoczynek i małą przekąskę w postaci kulek z ryżu.

9.

Liczba pi od tysiącleci fascynuje naukowców. Ma swoich wielu wielbicieli.

Nic dziwnego, że doczekała się swojego dnia, a nawet kilku.

14 marca obchodzimy Światowy Dzień Liczby π (amerykański sposób liczbowego zapisu tej daty to 3.14),

a następnie22 lipca – dzień aproksymacji liczby π

(europejski sposób zapisu tej daty to ułamek22/7=~3.1428,

znany był już około półtora tysiąca lat temu w Chinach, jako przybliżenie, zresztą bardzo dobre, liczby π).

10.

Pierwsze obchody Dnia Liczby Pi

miały miejsce 14 marca 1988 roku (14 marca jest to również dzień urodzin Alberta Einsteina

i polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego) w muzeum nauki Exploratorium w San Francisco.

Od roku 1988, z okazji tego niezwykłego święta, ludzie, którym bliska jest matematyka

i jej popularyzowanie organizują prelekcje poświęcone różnym dziedzinom

i problemom matematyki, konkursy matematyczne. Młodzież szkolna i studenci przygotowują okolicznościowe gazetki, quizy, przedstawienia, konkursy recytatorskie pi-

ematów, itp.

Pi ma swoje święto również 26 kwietnia, czyli w dniu, w którym Ziemia pokonuje od nowego roku 2 radiany swojej orbity

(długość orbity podzielona przez ten dystans wynosi właśnie pi).

Kolejny dzień to 10 listopada, który jest 314 dniem roku

(w roku przestępnym to święto obchodzone jest 9 listopada).

MATERIAŁY ŹRÓDŁOWE:MATERIAŁY ŹRÓDŁOWE:

[1] www.swiatmatematyki.pl [1] www.swiatmatematyki.pl

[2] www.serwis-matematyczny.pl [2] www.serwis-matematyczny.pl

[3] www.edulandia.pl [3] www.edulandia.pl

[4] pl.wikipedia.org [4] pl.wikipedia.org