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Curso 2006/2007Dpto. Física Aplicada III - Univ. de
SevillaJoaquín Bernal Méndez 1
Tema 1: Análisis vectorial
Campos Electromagnéticos2º Curso Ingeniería IndustrialDpto.Física Aplicada III
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 2
Tema 1: Índice (I)
Introducción
Campos escalares y vectoriales
Integrales de los camposCirculación
Flujo
Derivadas de los camposGradiente
Divergencia
Rotacional
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 3
Tema 1: Índice (II)
Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricas Operador nablaDelta de Dirac
Tipos especiales de campos:Campos irrotacionalesCampos solenoidalesCampos armónicos
Teorema de Helmholtz
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 4
Introducción
Escalar: cantidad caracterizada por su magnitud.Ejemplo: masa de una persona
Vector: cantidad caracterizada por su magnitud, dirección y sentido.Ejemplo: velocidad de un automóvil
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 5
Campos escalares (I)
Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud escalar.
Campo de temperaturas: T(x,y,z)
Altitud geográfica: h(x,y)
Campo de densidades de un material
Función debe ser monovaluada
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 6
Campos escalares (II)
Representación: Superficies equiescalares
( , , )x y z Cϕ =
-2
-1
0
1
2 -2
-1
0
1
2
-2-1
0
1
-2
-1
0
1
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 7
Campos escalares (III)
Ejemplo: Campo de presiones
( , , )x y z Cϕ =
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 8
Campos vectoriales (I)
Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud vectorial.
Campo de gravedad terrestre
Campo de velocidad de un fluido
Campo eléctrico y campo magnético
Ha de ser monovaluada
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 9
Campos vectoriales (II)Ejemplo:
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 10
Campos vectoriales (III)
Representación: Líneas de campo: curvas tangentes al campo en todo punto
x y z
dx dy dz
F F F= =
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Campos vectoriales (IV)
Ejemplo: Campo eléctrico de una carga puntual
Carga positiva
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 12
Campos vectoriales (V)
Ejemplo: líneas de campo para dos cargas puntuales
Cargas positivas Cargas de distinto signo
�-q
��q
�q
�q
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 13
Integrales sobre campos
Dos tipos de campos: escalares y vectorialesEs posible realizar integrales de línea, superficie y volumen.Dos tipos de integrales nos interesan por su sentido físico:
CirculaciónFlujo
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 14
Circulación (I): definición
Integral de línea de un campo vectorial:
,
B
AF dr
γΓ = ⋅∫
Propiedades importantes:El resultado es un escalar
El resultado depende del camino
Ejemplo: trabajo de una fuerza
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Circulación (II): sentido físico
Línea cerrada: es una medida del giro del campo
·L
C F dl= ∫
0C =L
0C ≠L
Para un campo de fuerzas: trabajo sobre una curva cerrada
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 16
Circulación (III): cálculo
¿Cómo se calcula?
Se parametriza la curva:
Calculamos la integral:
,
B
AF dr
γΓ = ⋅∫
{ }: ( ), t ( , )A Br r t t tγ = ∈
( ( ))B
A
t
t
drF r t dt
dtΓ = ⋅∫
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Flujo (I): definición
Integral de superficie de un campo vectorial
Propiedades:Es un escalarDepende de la S escogidaDebe especificarse el sentido de Si la superficie es cerrada: es saliente
SF dsΦ = ⋅∫
ss
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Flujo (II): sentido físicoEs una medida de la cantidad de campo que atraviesa una superficie
Ejemplo: campo de velocidades de un fluido
VSΦ =
·V SΦ =·
S
V dSΦ = ∫
d V dSΦ = ⋅
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 19
Flujo (III): cálculo
Si parametrizamos la superficie:
Entonces:
Calculamos la integral:
{ }1 2 1 2: ( , ), ( , ), ( , )S r r α β α α α β β β= ∈ ∈
r r
dS d dα βα β
⎛ ⎞∂ ∂= ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
( ( , )) r r
F r d dα β α βα β
⎛ ⎞∂ ∂Φ = ⋅ ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∫∫
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Resumen
Los campos pueden ser escalares o vectoriales
Para describir los campos escalares se usan las superficies equiescalares.
Para describir los campos vectoriales se emplean las líneas de campo
La circulación mide el giro del campo
El flujo mide cuanto campo atraviesa una superficie
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Derivadas de los campos
Del mismo modo que podemos realizar integraciones de campos escalares y vectoriales, podemos derivarlos.
Campos escalares: gradiente
Campos vectoriales: divergencia y rotacional
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Gradiente (I)
Para una función de una variable: ( )f x
0
0 0
0
( ) ( ) ( )lim
x
df x f x f x
dx ε
ε
ε→
+ −=
( )f x
xε
0( )f x ε+
0( )f x
La derivada nos informa de la variación de la función con x
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Gradiente (II): derivada direccional
¿Cómo expresar la variación de una función de varias variables (c.escalar)?
Hay que especificar la dirección:
vector unitario:
Derivada direccional:
0
( , , ) ( , , )lim x y zx v y v z v x y zd
ds ε
ϕ ε ε ε ϕϕε→
+ + + −=
( , , )x y zv v v v=
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 24
Gradiente (III)
Usando el concepto de derivada parcial:
Definición:
Por tanto:
x y z
dv v v
ds x y z
ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
, , vx y z
ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
grad x y zu u ux y z
ϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
d=grad
dsv
ϕ ϕ ⋅
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Gradiente (IV): significado físico
gradϕ
v
αEl módulo del gradiente coincide con el valor máximo que puede tomar la derivada direccional en ese punto
La dirección del gradiente coincide con la dirección hacia la que la derivada direccional es máxima (máximavariación de la función p.u.l. en ese punto)
d=grad
dsv⋅
ϕ ϕ
d= grad cos
ds
ϕ ϕ α
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Gradiente (V)
Variación de la función al desplazarnos:
El gradiente es perpendicular a las superficies equiescalares en cada punto:
grad gradd v ds drϕ ϕ ϕ= ⋅ = ⋅
0 gradd drϕ ϕ= = ⋅
|grad drϕ −
Cteϕ =
drgradϕ
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Gradiente (VI): Resumen
Es un campo vectorial.Su módulo en cada punto nos da el valor de la derivada direccional máxima.Su dirección en cada punto nos indica la dirección de máxima variación de la función.Es perpendicular en todo punto a las superficies equiescalares del campo.
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 28
Tema 1: Índice (I)
Introducción
Campos escalares y vectoriales
Integrales de los camposCirculación
Flujo
Derivadas de los camposGradiente
Divergencia
Rotacional
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 29
Divergencia (I)
Dado un campo vectorial, se define el campo escalar divergencia:
Divergencia en cartesianas:
0
1div ( ) lim
S
F r F dSτ
τ τ∆
∆ →= ⋅
∆ ∫
div ( ) yx zFF F
F rx y z
∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 30
Divergencia (II):sentido físico
La divergencia no nula indica fuente o sumidero de líneas de campo
Punto de divergencia no nulaPuntos de divergencia nula
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 31
Teorema de la divergencia:
Útil en la evaluación de integrales
Fundamental en el desarrollo teórico de la asignatura
Divergencia (III)
div ( )S
F r d F dSττ
τ = ⋅∫ ∫
z
xySτ
τ
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Rotacional(I)
Definición intrínseca:
Cálculo en cartesianas:
0
1rot ( ) lim
S
F r dS Fτ
τ τ∆
∆ →= ×
∆ ∫
rot ( ) y yz x z xx y z
F FF F F FF r u u u
y z z x x y
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 33
Rotacional(I)
Definición intrínseca:
Cálculo en cartesianas:
0
1rot ( ) lim
S
F r dS Fτ
τ τ∆
∆ →= ×
∆ ∫
rot ( )
x y z
x y z
u u u
F r y zx
F F F
∂ ∂ ∂=∂ ∂∂
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 34
Rotacional (II):sentido físico
Está relacionado con el giro local de las líneas de campo (torbellinos):
Rotacional no nulo Rotacional nulo Rotacional nulo
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Teorema de Stokes:
La curva se recorre siguiendo el criterio de la mano derecha respecto al Útil para:
Evaluación de integralesDesarrollo teórico de la asignatura
rotsS
F dS F drγ
⋅ = ⋅∫ ∫
Rotacional (III)
dSsγ
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Divergencia y rotacional: resumen
Derivadas de los campos vectoriales
Divergencia: campo escalar relacionado con la existencia de fuentes o sumideros.
Rotacional: campo vectorial relacionado con los giros locales de las líneas de campo
Teoremas fundamentales:Teorema de la divergencia
Teorema del rotacional
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 37
Tema 1: Índice (I)
Introducción
Campos escalares y vectoriales
Integrales de los camposCirculación
Flujo
Derivadas de los camposGradiente
Divergencia
Rotacional
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 38
Tema 1: Índice (II)
Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricas Operador nablaDelta de Dirac
Tipos especiales de campos:Campos irrotacionalesCampos solenoidalesCampos armónicos
Teorema de Helmholtz
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 39
Coordenadas curvilíneas
Hasta ahora hemos trabajado en cartesianasA veces los problemas se simplificanusando otro sistemas de coordenadas:
CilíndricasEsféricas
No son las únicas alternativas que existen, pero sí las únicas que nosotros vamos a usar.
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 40
Coordenadas cartesianas (I)Asignan a cada punto la distancia a tres planos ortogonales (x,y,z)Líneas coordenadas: rectas paralelas a los ejes de coordenadasSuperficies coordenadas: planos paralelos a los planos coordenados
X
Y
Z
r
xy
z z = cte
y = cte
x = cte
X
Y
Z
x
y
z
•P
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Coordenadas cartesianas (II)
Vector de posición:
x y zr xu yu zu= + +
x y zdr dxu dyu dzu= + +
Base vectorial:
Y
X
Z
r0
i j
k
uz
uy
ux
P
Diferenciales de superficie:
xy zdS dxdyu=
Diferencial de volumen:
zx ydS dxdzu=yz xdS dzdyu=
d dxdydzτ =
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 42
Coordenadas cilíndricas (I)Fija la posición de P mediante tres parámetros diferentes:
X
Y
Z
r
ρ
z
φ
ρ (coordenada radial): distancia al eje Zφ (c. acimutal): ángulo que la proyección sobre el plano XY forma con el eje Xz (c. vertical): distancia al plano XY
0
0 2π
z
≤ < ∞≤ <
−∞ < < ∞
ρϕ
cos
sen
x
y
z z
===
ρ ϕρ ϕ ρ
φ
x
yX
Y
Z
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Coordenadas cilíndricas (II)
z=cte
z
ϕ=cte
ϕ
ρ
ρ=cteX
Y
Z
•P
Líneas coordenadas:ρ: Semirrectas horizontalesφ: Circunferencias horizontalesz: Rectas verticales
Superficies coordenadas:ρ=cte.: Cilindros verticalesφ=cte: Semiplanos verticalesz=cte: Planos horizontales
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 44
Coordenadas cilíndricas (III)
Base vectorial
Y
X
Z
r0
ρ
uρ
ux uy
uz
φ uφ
z
uz
P
cos senx y zr u u zuρ ϕ ρ ϕ= + +Vector de posición:
zr u zuρρ= +
zdr d u d u dzuρ ϕρ ρ ϕ= + +
Esta base dependede la posición
Desplazamiento infinitesimal:
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Coordenadas cilíndricas (IV)
z=cte
z
ϕ=cte
ϕ
ρ
ρ=cteX
Y
Z
•P
Diferenciales de superficie:
Diferencial de volumen:d d dzdτ ρ ρ ϕ=
cte : dS d dzuρρ ρ ϕ= =
cte : zz dS d d uρ ϕ ρ= =
cte : dS dzd uϕϕ ρ= =
En esta base a veces se usa la variable r en lugar de ρ
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 46
Gradiente, divergencia y rotacional en cilíndricas
1grad z
f f ff u u u
z
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ρ ϕρ ρ ϕ
( )1 1div z
F F FF
z
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂ρ ϕρ
ρ ρ ρ ϕ
1 1rot ( )z z
z
F F FF FF u u F u
z z
∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ϕ ρ ρρ ϕ ϕρ
ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 47
Coordenadas esféricas (I)
X
Y
Z
r
φ
θ r
r (coordenada radial): distancia al origenθ (c. polar): ángulo que el vector de posición forma con el eje Z
φ (c. acimutal): ángulo que la proyección sobre el plano XY forma con el eje X
0
0 π
0 2π
r≤ < ∞≤ ≤≤ <θϕ
sen cos
sen sen
cos
x r
y r
z r
θ ϕθ ϕθ
===
ρ
φ
x
yX
Y
Z
ρ
θ z
Z
r
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 48
Líneas coordenadas:r: Semirrectas radiales desde el origen
φ: Circunferencias horizontales (paralelos)
θ: Semicírculos verticales (meridianos)
Superficies coordenadas:r=cte.: Esferas concéntricas
φ=cte: Semiplanos verticales
θ=cte: Conos con vértice el origen
Coordenadas esféricas (II)
ϕ=cte ϕ
θ=cte
θr=cte
r
X
Y
Z
•P
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 49
Coordenadas esféricas (III)
Base vectorial
Y
X
Z
r0
ρ
ux uy
uz
ur
φ uφ
z
P
uθθ
sen cos sen sen cosx y zr r u r u r uθ ϕ θ ϕ θ= + +
Vector de posición:
Esta base dependede la posición
rr ru=
senrdr dr u rd u r d uθ ϕθ θ ϕ= + +
Desplazamiento infinitesimal:
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 50
Coordenadas esféricas (IV)
ϕ=cte ϕ
θ=cte
θr=cte
r
X
Y
Z
•P
Diferenciales de superficie:
Diferencial de volumen:2 send r drd dτ θ θ ϕ=
2cte : sen rr dS r d d uθ ϕ θ= =
cte : sendS r d druθθ θ ϕ= =
cte : dS rd druϕϕ θ= =
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 51
Gradiente y divergencia en esféricas
1 1grad
senr
f f ff u u u
r r r
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂θ ϕθ θ ϕ
22
1 1 1div ( ) (sen )
sen senr
FF r F F
r r r r
∂∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂ϕ
θθθ θ θ ϕ
(sen ) ( )1 1 1rot
sen sen
1 ( )
rr
r
F rFF FF u u
r r r
rF Fu
r r
ϕ ϕθθ
θϕ
∂ θ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ ∂θ ∂ϕ θ ∂ϕ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∂ ∂⎡ ⎤−⎢ ⎥∂ ∂θ⎣ ⎦
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 52
Tema 1: Índice (II)
Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricasOperador nablaDelta de Dirac
Tipos especiales de campos:Campos irrotacionalesCampos solenoidalesCampos armónicos
Teorema de Helmholtz
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 53
Operador nabla (I): definición
Permite una notación más cómoda.Se define el operador nabla:
Operador diferencial y vectorial:Se aplica a la función a su derechaObedece a las leyes del álgebra vectorial
x y zu u ux y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 54
Operador nabla (II)
grad
div
x y z
yx z
u u ux y z
FF FF F
x y z
ϕ ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂ ∂= + + = ∇∂ ∂ ∂
∂∂ ∂= + + = ∇ ⋅∂ ∂ ∂
rot
zyx
yx z
uuu
F Fy zxF F F
∂ ∂ ∂= = ∇×∂ ∂∂
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 55
Operador nabla (III)
Nabla puede expresarse en otros sistemas de coordenadas.Las operaciones realizadas con nabla son independientes del sistema de coordenadas.Cualquier identidad que pueda probarse con nabla en cartesianas es válida en otro sistema de coordenadas.
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 56
Nabla sobre un producto (I)
Pueden obtenerse campos escalares como producto de campos
Dos campos escalares:
Dos campos vectoriales:
¿Cómo se calcula el gradiente?
ψϕ
F G⋅
( )ϕψ ϕ ψ ψ ϕ∇ = ∇ + ∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇
x y zF F F Fx y z
∂ ∂ ∂⋅∇ = + +
∂ ∂ ∂ ( ) ( )F G F G⋅∇ ≠ ∇ ⋅
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 57
Nabla sobre un producto (II)
También se obtienen campos vectorialesEscalar y vectorial:
Dos campos vectoriales: F G×Fϕ
( )( )F F Fϕ ϕ ϕ∇ ⋅ = ∇⋅ + ∇ ⋅
( ) ( )F F Fϕ ϕ ϕ∇× = ∇× + ∇ ×
( ) ( ) ( )F G F G F G∇⋅ × = ∇× ⋅ − ⋅ ∇×
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇× × = ∇ ⋅ − ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅∇
Divergencia:
Rotacional:
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 58
Nabla sobre un producto: resumen
( )ϕψ ϕ ψ ψ ϕ∇ = ∇ + ∇
( )( )F F Fϕ ϕ ϕ∇ ⋅ = ∇⋅ + ∇ ⋅
( ) ( )F F Fϕ ϕ ϕ∇× = ∇× + ∇ ×
( ) ( ) ( )F G F G F G∇⋅ × = ∇× ⋅ − ⋅ ∇×
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇× × = ∇ ⋅ − ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅∇
Gradiente:
Divergencia:
Rotacional:
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 59
Aplicación doble de nabla (I)
Es posible aplicar nabla dos veces, hay 5 posibilidades:
El gradiente es un vector:Divergencia del gradienteRotacional del gradiente
La divergencia es un escalar:Gradiente de la divergencia
El rotacional es un vectorDivergencia del rotacionalRotacional del rotacional
( )ϕ∇ ⋅ ∇( )ϕ∇× ∇
( )F∇⋅ ∇×( )F∇× ∇×
( )F∇ ∇⋅
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 60
Aplicación doble de nabla (II)
2 2 22
2 2 2( )
x y z
ϕ ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂ ∂∇ ⋅ ∇ = + + = ∇
∂ ∂ ∂( ) 0ϕ∇× ∇ =
( ) 0F∇⋅ ∇× =
2( ) ( )F F F∇× ∇× = ∇ ∇ ⋅ −∇
( )F∇ ∇⋅
Laplaciano2( )∇
Aparece poco2¡ ( ) ( ) !F F F∇ ∇⋅ ≠ ∇ ⋅∇ = ∇
Muy importante
Muy importante
Ya definidas
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 61
Tema 1: Índice (II)
Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricas Operador nablaDelta de Dirac
Tipos especiales de campos:Campos irrotacionalesCampos solenoidalesCampos armónicos
Teorema de Helmholtz
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 62
Función delta de Dirac (I)
Supongamos el campo vectorial:
Es radial y saliente, pero:
Ahora bien, integrando en una esfera (R):
2 3ru r
vr r
= =
22 2
1 10v r
r r r
∂ ⎛ ⎞∇ ⋅ = =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
2 220 0
sen 4rr
S
uv d v dS u R d d
Rτ
π π
τ
τ θ θ ϕ π∇⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫Teorema de la divergencia
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 63
Función delta de Dirac (II)El problema está en
En resumen, la función cumple:
Hemos “encontrado” una función peculiar: la delta de Dirac
0r =2
2 20
1 1¡¡ !!
r
v rr r r =
∂ ⎛ ⎞∇ ⋅ = = ∞⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
2ru
r∇⋅
2 2
0 0 con 4
0r r
ru ud
rr rτ
τ π≠⎧
∇ ⋅ = ∇ ⋅ =⎨∞ =⎩∫
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 64
Función delta de Dirac (III)Función delta de Dirac monodimensional:
Distribución: límite de una sucesión de funciones
-
0 0( ) con ( ) 1
0
xx x dx
xδ δ
∞
∞
≠⎧= =⎨∞ =⎩
∫
2
2
0 0
1( ) lim ( ) lim e
π
x
x x−ε
εε→ ε→δ = δ =
ε
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 65
Función delta de Dirac (IV)
0
1
2
3
4
5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
δε(x
)
x
ε=1ε=0.5ε=0.25
ε=0.125
2
2εε
1( ) e
ε π
x
xδ−
=
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 66
Función delta de Dirac (IV)Producto por una función:
Es suficiente que el intervalo de integración incluya el máximo:
El máximo de la delta puede desplazarse:
( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0)x f x x f x f x dx f∞
−∞
= ⇒ =∫δ δ δ
( ) ( ) (0)x f x dx f−
=∫ε
ε
δ
( ) ( ) ( )x a f x dx f a∞
−∞
− =∫ δ
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 67
z
x
y
τ
Función delta de Dirac (V)Delta de Dirac tridimensional:
En general:
3( ) ( ) ( ) ( )r x y zδ δ δ δ=
( )( ) ( )
0
a ar r a d
aτ
ϕ τϕ δ τ
τ∈⎧
− = ⎨ ∉⎩∫
3( ) ( ) ( ) ( )x y zr a x a y a z aδ δ δ δ− = − − −
a
a
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 68
Función delta de Dirac (VI)
Volviendo a la función
Podemos escribir:
2ru
r∇⋅
2 2
0 0 con 4
0r r
ru ud
rr rτ
τ π≠⎧
∇ ⋅ = ∇ ⋅ =⎨∞ =⎩∫
24 ( )ru
rr
πδ∇ ⋅ =
003
0
4 ( )r r
r rr r
πδ⎛ ⎞−
∇ ⋅ = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠0
30 0
1 r r
r r r r
⎛ ⎞ −∇ = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠2
00
14 ( )r r
r rπδ
⎛ ⎞∇ = − −⎜ ⎟−⎝ ⎠
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 69
Tema 1: Índice (II)
Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricas Operador nablaDelta de Dirac
Tipos especiales de campos:Campos irrotacionalesCampos solenoidalesCampos armónicos
Teorema de Helmholtz
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 70
Campos vectoriales que cumplen:
Propiedades:
Deriva de un potencial:
Campos irrotacionales
0F∇× =
0F drγ
⋅ =∫
1 2, ,
B B
A A
F dr F drγ γ
⋅ = ⋅∫ ∫
F = −∇ϕA
B
1γ2γ
( ) 0S
F dr F dSγγ
⋅ = ∇× ⋅ =∫ ∫
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 71
Campos vectoriales que cumplen:Propiedades:
Flujo cte en tubos de campo:
Deriva de un potencial vectorial:
Campos solenoidales0F∇⋅ =
0S
F dSτ
⋅ =∫
1 2
1 2
si s s
S S
F dS F dS⋅ = ⋅ γ = γ∫ ∫
F A= ∇×
0S
F dS F dτ τ
⋅ = ∇⋅ τ =∫ ∫
S1
S2
SL
2dS
1dS1 2s sγ = γ
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 72
Tipos de campos vectoriales
0
0
F
F
∇⋅ ≠
∇× ≠
Campo irrotacional
Campo solenoidal
Solenoidal e irrotacional
0
0
F
F
∇⋅ ≠
∇× =
0
0
F
F
∇⋅ =
∇× ≠
0
0
F
F
∇⋅ =
∇× =
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 73
Campos armónicos
Campos escalares que cumplen:
Ejemplo: Sea un campo vectorial irrotacional y solenoidal:
2 0∇ ϕ = Ecuación de Laplace
0F∇× = F⇒ = −∇ϕ
0F∇⋅ = ( ) 0⇒ ∇⋅ −∇ϕ = 2 0⇒ ∇ ϕ =
Caso práctico: campo electrostático en una región sin fuentes
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 74
Tema 1: Índice (II)
Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricas Operador nablaDelta de Dirac
Tipos especiales de campos:Campos irrotacionalesCampos solenoidalesCampos armónicos
Teorema de Helmholtz
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 75
Teorema de Helmholtz (I)
Dado podemos calcular: y
¿Podemos calcular dados y ?
Supongamos:Fuentes escalares
Fuentes vectoriales
Si la información es insuficiente: muchas soluciones
Si la información es excesiva: puede no existir solución
F∇⋅ F∇×F
F F∇⋅ F∇×
F∇⋅ = ρF c∇× = ( 0)c∇⋅ =
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 76
Teorema de Helmholtz: enunciado
El sistema con definido en todo el espacio con:
Tiene solución única dada por:
con:
;F∇⋅ = ρ F c∇× = 0c∇⋅ =
2 2lim ( ) 0 ; lim ( ) 0 ; lim ( ) 0r r r
r r r c r F r→∞ →∞ →∞
ρ = = =
F A= −∇ϕ+∇×
1 1
1
1 ( )( ) y
4 esp
r dr
r r
ρ τϕ =
π −∫ 1 1
1
1 ( )( )
4 esp
c r dA r
r r
τ=
π −∫potencial escalar potencial vector
punto campopunto fuente
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 77
Tema 1: Índice (I)
Introducción
Campos escalares y vectoriales
Integrales de los camposCirculación
Flujo
Derivadas de los camposGradiente
Divergencia
Rotacional
Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 78
Tema 1: Índice (II)
Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricasOperador nablaDelta de Dirac
Tipos especiales de campos:Campos irrotacionalesCampos solenoidalesCampos armónicos
Teorema de Helmholtz
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