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7/30/2019 Tema 12 Centroides
1/51
Centroides
Supongamos que queremos determinar la
posicin media de un grupo de alumnos enun saln de clases.
Lo primero que necesitamos es un sistema
de referencia para establecer la posicin
exacta de cada banca.
Supongamos que los ejes estn alineados
con las paredes del saln como se muestra
en la figura.
Numeramos los estudiantes del 1 al N y
denotamos la posicin del estudiante i como
(xi, yi).
(xi, yi)
7/30/2019 Tema 12 Centroides
2/51
(xi, yi)
La coordenada x media es
La coordenada y media es
x
y
El punto medio es
rm
N
xx
N
1i
i
==
N
yy
N
1ii
==
( )
=
==
==
==N
1i
i
N
1i
i
N
1i
i
N
1i
i
m y,xN
1
N
y
,N
x
y,xr
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3/51
Estas ecuaciones sirven para determinar la posicin media de cualquier conjunto de
cantidades a las que podamos asociar posiciones.
Entonces, si ci es el nmero de libretas que tiene el estudiante i, la posicin media de las
libretas se encuentra mediante la suma del producto del nmero de libretas que cadaestudiante tiene por la coordenada de ese estudiante, y dividido entre el nmero total de
libretas:
Ahora, supongamos que queremos saber la posicin media de las libretas que tienen los
estudiantes, los cuales seguramente tendrn un nmero diferente de ellas.
Una posicin media obtenida de estas ecuaciones se denomina posicin de pesosponderados o centroide.
=
=
=
= ==N
1i
i
N
1i
ii
N
1i
i
N
1i
ii
c
yc
y
c
xc
x
( )
== ===
N
1i
ii
N
1i
iiN
1i
i
c yc,xc
c
1y,xr
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4/51
Centro de gravedad
Si lo que nos interesa es la posicin media de los pesos de una distribucin discreta de
objetos, el centro de gravedadoposicin media del peso, tenemos que
Si la distribucin del peso es continua, el centro de gravedadoposicin media del peso, es
dado por
====
====
dW
M
dW
ydWy
dW
M
dW
xdWx
MydWWyMxdWWx
xy
xy
==
=
==
=
==
====
====
N
1i
i
xN
1i
i
N
1i
ii
N
1i
i
yN
1i
i
N
1i
ii
x
N
1i
iiy
N
1i
ii
W
M
W
Wy
y
W
M
W
Wx
x
MWyWyMWxWx
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5/51
x=[-3,3]
x=0.1 y=x2-x+4 Masa=10( x) Ponderacinx Ponderaciny
-3.0000 16. 0000 0.0000 0.0000 0.0000
-2.9000 15. 3100 1.0000 -2.9000 15. 3100
-2.8000 14. 6400 1.0000 -2.8000 14. 6400
-2.7000 13. 9900 1.0000 -2.7000 13. 9900
-2.6000 13. 3600 1.0000 -2.6000 13. 3600
-2.5000 12. 7500 1.0000 -2.5000 12. 7500
-2.4000 12. 1600 1.0000 -2.4000 12. 1600
-2.3000 11. 5900 1.0000 -2.3000 11. 5900
-2.2000 11. 0400 1.0000 -2.2000 11. 0400
-2.1000 10. 5100 1.0000 -2.1000 10. 5100
-2.0000 10. 0000 1.0000 -2.0000 10. 0000
-1.9000 9.5100 1.0000 -1.9000 9.5100
-1.8000 9.0400 1.0000 -1.8000 9.0400
-1.7000 8.5900 1.0000 -1.7000 8.5900
-1.6000 8.1600 1.0000 -1.6000 8.1600
-1.5000 7.7500 1.0000 -1.5000 7.7500
-1.4000 7.3600 1.0000 -1.4000 7.3600
-1.3000 6.9900 1.0000 -1.3000 6.9900
-1.2000 6.6400 1.0000 -1.2000 6.6400
-1.1000 6.3100 1.0000 -1.1000 6.3100
-1.0000 6.0000 1.0000 -1.0000 6.0000
-0.9000 5.7100 1.0000 -0.9000 5.7100
-0.8000 5.4400 1.0000 -0.8000 5.4400
-0.7000 5.1900 1.0000 -0.7000 5.1900
-0.6000 4.9600 1.0000 -0.6000 4.9600
-0.5000 4.7500 1.0000 -0.5000 4.7500
-0.4000 4.5600 1.0000 -0.4000 4.5600
-0.3000 4.3900 1.0000 -0.3000 4.3900
-0.2000 4.2400 1.0000 -0.2000 4.2400
-0.1000 4.1100 1.0000 -0.1000 4.1100
0.0000 4.0000 1.0000 0.0000 4.0000
0.1000 3.9100 1.0000 0.1000 3.9100
0.2000 3.8400 1.0000 0.2000 3.8400
0.3000 3.7900 1.0000 0.3000 3.7900
0.4000 3.7600 1.0000 0.4000 3.7600
0.5000 3.7500 1.0000 0.5000 3.7500
0.6000 3.7600 1.0000 0.6000 3.7600
0.7000 3.7900 1.0000 0.7000 3.7900
0.8000 3.8400 1.0000 0.8000 3.8400
0.9000 3.9100 1.0000 0.9000 3.9100
1.0000 4.0000 1.0000 1.0000 4.0000
1.1000 4.1100 1.0000 1.1000 4.1100
1.2000 4.2400 1.0000 1.2000 4.2400
1.3000 4.3900 1.0000 1.3000 4.3900
1.4000 4.5600 1.0000 1.4000 4.5600
1.5000 4.7500 1.0000 1.5000 4.75001.6000 4.9600 1.0000 1.6000 4.9600
1.7000 5.1900 1.0000 1.7000 5.1900
1.8000 5.4400 1.0000 1.8000 5.4400
1.9000 5.7100 1.0000 1.9000 5.7100
2.0000 6.0000 1.0000 2.0000 6.0000
2.1000 6.3100 1.0000 2.1000 6.3100
2.2000 6.6400 1.0000 2.2000 6.6400
2.3000 6.9900 1.0000 2.3000 6.9900
2.4000 7.3600 1.0000 2.4000 7.3600
2.5000 7.7500 1.0000 2.5000 7.7500
2.6000 8.1600 1.0000 2.6000 8.1600
2.7000 8.5900 1.0000 2.7000 8.5900
2.8000 9.0400 1.0000 2.8000 9.0400
2.9000 9.5100 1.0000 2.9000 9.5100
3.0000 10. 0000 1.0000 3.0000 10. 0000
Masa Total Momento Totalx Momento Totaly
60. 0000 3.0000 417.1000
0.0500 6.9517
Centro de Masa (x, y)
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Ejemplo 1:
[ ]3,3x = 4xxy 2 += x10m =
dx10dxdmdxdm === ( ) ( ) kg60310310x10dx10m 33
3
3
====
( ) ( ) ( ) m0kg60
kgm0
dm
dmx
xkgm03535x5dx10xdmx3
3
3
3223
3
2
3
3
3
3
=======
( )( ) ( )
m7kg60
kgm420
dm
dmy
y
kgm420x40xxdx104xxdmy
3
3
3
3
3
3
2
3103
310
3
3
2
3
3
===
=+=+=
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7/51
Centroides de reas
Sea un rea A arbitraria en el plano xy.
Dividamos esta rea en partes A1, A2, ,
AN y denotemos la posicin de las partes
mediante sus coordenadas (x1,y1), (x2,y2),
, (xN,yN).
El centroide oposicin media del rea es
=
=
=
= ==N
1i
i
N
1i
ii
N
1i
i
N
1i
ii
A
yA
y
A
xA
x
y
A
x
y
x
A
x i
yii
y
x
y
x
7/30/2019 Tema 12 Centroides
8/51
Sin embargo, cada sub-rea Ai tiene un rea
finita, por lo cual tenemos el problema de no
saber la posicin exacta de Ai.
Para evitar este problema, hacemos un
proceso lmite haciendo tender cada sub-rea
Ai a cero, por lo que la posicin media es
dada por
Entonces, el centroidedel rea es
==
A
A
A
A
dA
ydA
ydA
xdA
x
y
x
A
x i
yii
y
x
y
x
=
=
=
=
==
N
1i
i
N
1i
ii
0AN
1i
i
N
1i
ii
0A
A
yA
limy
A
xA
limxii
y
xx
y
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9/51
Losprimeros momentos de rea son definidos por las integrales
Qx es el primer momentos de rea respecto al eje y y Qy es el primer momentos de rea
respecto al eje x.
Los centroides de figuras geomtricas simtricas se encuentras en el eje de simetra.
==A
y
A
x xdAQydAQ
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Ejemplo 1. Determinar el centroide del rea triangular mostrado en la figura
x
y
h
b
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Respuesta: Sea dA el rea de una franja vertical.
xdx
x
y
h
b
dA
a
La base de esta franja es dx y la altura a se
encuentra usando los tringulos semejantes
que se forman.
Entonces,
Por lo tanto, el rea de la franja es
Entonces, la coordenada x del centroide del rea es
xb
h
b
h
xtan === a
a
dxxb
hdxdA == a
3
b2
2
b
b
h
3
b
b
h
2
x
b
h
3
x
b
h
dxxb
h
dxxb
h
dxxb
h
dxxb
hx
dA
xdA
x2
3
b
0
2
b
0
3
b
0
b
0
2
b
0
b
0
A
A ====
==
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para calcular la coordenada y del centroide de rea, seleccionamos a y como la ordenada del
punto medio de la franja
xdx
x
y
h
b
dA
a/2Entonces,
3
h
2
b
b
h
3
b
b2
h
2
x
b
h
3
x
b2
h
dxxb
h
dxxb2
h
dxxb
h
dxxb
hx
b
h
2
1
dA
ydA
y2
3
2
2
b
0
2
b
0
3
2
2
b
0
b
0
2
2
2
b
0
b
0
A
A ====
==
xb2
h
2yx
b
h===
a
a
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13/51
x
y
h
b
3h
dA
ydA
y
A
A ==3
b2
dA
xdA
x
A
A ==
3
hy =
3b2x =
=
3
h,
3
b2rc
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14/51
Ejemplo 2. Determinar el centroide del rea triangular mostrado en la figura
x
y
h
b
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15/51
x
y
h
b
Respuesta: Sea dA el rea de una franja vertical
xdx
dA
a
La base de esta franja es dx y la altura a se
encuentra teniendo en cuenta que los
tringulos que se forman son semejantes
Entonces,
Por lo tanto, el rea de la franja es
Entonces, la coordenada x del centroide del
rea es
( )xbb
h
b
h
xb==
a
a
( ) dxxxbb
hdxdA == a
( )
( )
( )
( )3
b
2
b
6
b
2
bb
3
b
2
b
2
xbx
b
h
3
x
2
xb
b
h
dxxb
b
h
dxxbxb
h
dxxb
b
h
dxxbb
hx
dA
xdA
x2
3
22
33
b
0
2
b
0
32
b
0
b
0
2
b
0
b
0
A
A ==
=
=
=
==
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16/51
para calcular la coordenada y del centroide de rea, seleccionamos a y como la ordenada del
punto medio de la franja
Entonces,
x
y
h
b
xdx
dA
y=a/2
( ) ( )
( )
( )
( )
3
h
2
b
3
b
2
h
2
bb
3
bbb
b2
h
2
xbx
3
x
2
xb2xb
b2
h
dxxb
b
h
dxxbx2bb2
h
dxxb
b
h
dxxbb
hxb
b2
h
dA
ydA
y
2
3
22
333
b
0
2
b
0
322
b
0
b
0
22
2
2
b
0
b
0
A
A
=
=
+
=
+
=
+
=
==
( )
( )xbb2h
2y
xbb
h
b
h
xb
==
==
a
a
a
( ) dxxbb
hdxdA == a
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17/51
x
y
h
b
3
h
dA
ydA
y
A
A ==
3
b
dA
xdA
x
A
A ==
3
hy =
3
bx =
=
3
h,
3
brc
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18/51
x
y
h
b
x
y
h
b
3h
dA
ydA
y
A
A ==3
b2
dA
xdA
x
A
A ==
3
hy =
3b2x =
3
h
dA
ydA
y
A
A ==
3
b
dA
xdA
x
A
A ==
3
hy =
3
bx =
= 3h
,3
b
rc
=
3
h,
3
b2rc
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19/51
Ejemplo 3. Determinar el centroide del rea mostrado en la figura
y
x
y=x
y=x
(1,1)
2
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20/51
Respuesta: Sea dA el rea de una franja vertical, como se muestra en la figura. La base de esta franja es
dx, y la altura es la resta de las funciones
y
x
x-x
(1,1)
2
xdx
( )dxxxdA 2=
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( ) 2
1
12
6
xx
xx
dxxx
dxxx
dxxx
dxxxx
dA
xdA
x
61
121
31
21
41
31
1
0
3
312
21
1
0
4
413
31
1
0
2
1
0
32
1
0
2
1
0
2
A
A ===
=
=
=
==
7/30/2019 Tema 12 Centroides
21/51
Para calcular y media, tomamos y como la ordenada del punto medio de la franja, ver la
figura, entonces
y
x(x+x)
(1,1)
2
x
2
1
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( ) 5
2
30
12
xx
xx
dxxx
dxxx
dxxx
dxxxxx
dA
ydA
y
61
152
21
31
21
51
31
21
1
0
3
312
21
1
0
5
513
31
21
1
0
2
1
0
42
21
1
0
2
1
0
22
21
A
A ===
=
=
=
+
==
7/30/2019 Tema 12 Centroides
22/51
5
2
dA
ydA
y
A
A ==
2
1
dA
xdA
x
A
A ==
y
x
y=x
y=x
(1,1)
2
x
y
7/30/2019 Tema 12 Centroides
23/51
7/30/2019 Tema 12 Centroides
24/51
7/30/2019 Tema 12 Centroides
25/51
En muchos casos, el objeto bajo estudio puede ser dividido en figuras comunes, esto
permite calcular sus centroides usando los centroides de estas reas comunes. Por ejemplo:
7/30/2019 Tema 12 Centroides
26/51
Ejemplo 4.: Para el rea mostrada en la figura, determine: (a) los primeros momentos con
respecto a los ejes; (b) la ubicacin de su centroide.
7/30/2019 Tema 12 Centroides
27/51
Respuesta: Para simplificar el problema dividimos la figura en partes de rea conocida, por
ejemplo rectngulos, crculos y semicrculos.
7/30/2019 Tema 12 Centroides
28/51
Ahora se calculan las reas y los primeros momentos:
( )( )2
21
21
trian
m0036.0
m06.0m12.0
alturabaseA
=
=
=
( )
( )m02.0,m04.0
3
m06.0,
3
m12.0
3h,
3by,x 1
=
=
=
( ) ( )( )( )3434
33
yx
m101.44,m1072.0
m0.000144,m0.000072
xA,yAQ,Q
=
=
=
7/30/2019 Tema 12 Centroides
29/51
( )( )2
rect
m0096.0
m08.0m12.0
alturabaseA
=
==
( )
( )m04.0,m06.0
2
m08.0,
2
m12.02
h,
2
by,x 2
=
=
=
( ) ( )( )( )3434
33
yx
m10765.,m103.84
m0.000576,m0.000384
xA,yAQ,Q
=
=
=
7/30/2019 Tema 12 Centroides
30/51
( )( )
2
2
21
2
21
semic
m005655.0
m06.0
radioA
=
=
=
( )
( )
( )m0.1055,m06.0
3
m06.04h,m06.0
3
r4h,ry,x
2
121
=
+=
+=
( ) ( )( )( )3434
33
yx
m103929.3,m105.9639
m0.00033929,m90.00005963
xA,yAQ,Q
=
=
=
7/30/2019 Tema 12 Centroides
31/51
( )2
2
2circ
m005027.0
m04.0
radioA
=
=
=
( ) ( )( )m08.0,m06.0
h,ry,x 22
==
( ) ( )( )( )3434
33
yx
m100159.3,m100212.4
m0.00030159,m0.00040212
xA,yAQ,Q
=
=
=
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(a) los primeros momentos con respecto a los ejes
(b) la ubicacin de su centroide
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )3434
34343434
34343434yx
m107.577,m105.0627
m101.44,m1072.0m10765.,m103.84
m103929.3,m105.9639m100159.3,m100212.4Q,Q
=++
+=
( )
( ) ( )m106612.3m,104795.5m036612.0m,054795.0
m0.013828
m105.0627,
m0.013828
m107.577
A
Q,
A
Qy,x
22
2
34
2
34xy
==
=
=
2
2222
semiccircrecttrian
m0.013828
m005027.0m005655.0m0096.0m0036.0
AAAAA
=
++=
++=
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Ejemplo 5: Localice el centroide del rea mostrada en la figura.
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Respuesta: Es claro que el rea se puede dividir en dos partes bsicas: un cuadrado y un
tringulo.
En el caso de reas simtricas el centroide seencuentra en el punto medio del rea,
entonces, para el rectngulo,
y el rea se encuentra multiplicando la base
por la altura, entonces,
Por lo que los primeros momentos son:
( ) ( )in4,in5y,x =
( )( ) 2rect in80in8in10A ==
[ ][ ][ ][ ] 32y
32x
in400in80in5AxQ
in320in80in4AyQ
===
===
x
y
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En el caso del triangulo, el centroide se encuentra mediante las ecuaciones obtenidas en el
ejemplo 2:
y el rea se encuentra multiplicando la
base por la altura, entonces,
Por lo que los primeros momentos son:
in43
in12
3
hy
in133
in9in10
3
bxx
0
====+=+=
( ) ( ) 221
trin in54in12in9A ==
[ ][ ][ ][ ] 32y
32x
in702in54in13AxQ
in216in54in4AyQ
===
===
x
y
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Los primeros momentos totales se encuentran sumando los momentos de las dos reas:
Entonces, el centroide del rea dada es
y el rea total se encuentran sumando las dos reas:
333y
333x
in1102in702in400Q
in536in216in320Q
tringulorectngulo
=+=
=+=
+
in4in134
in536
A
Qy
in8.2239in134
in1102
A
Qx
2
3x
2
3y
===
===
222trinrect in134in54in80AAA =+=+=
x
y
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Ejemplo 6: Localice el centroide del rea mostrada en la figura.
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Respuesta: Es claro que el rea se puede dividir en dos partes bsicas: un cuadrado y un
cuarto de crculo. Restando al cuarto de crculo el cuadrado encontramos el resultado:
Para el cuarto de crculo tenemos que
( )
( )
( ) 2222
crculoin201.0619in64
4
in16
4
rA
in6.7906in3
64
3
in164
3
r4
y
in6.7906in3
64
3
in164
3
r4x
41 ==
=
=
====
=
=
=
=
( )
( ) 332y
332x
in1365.3333in3
4096in64in
3
64xAQ
in1365.3333in3
4096in64in
3
64yAQ
==
==
==
==
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Para el cuadrado tenemos que
Los primeros momentos totales se encuentran restando los momentos del cuadrado a los del
cuarto de crculo:
y el rea total se encuentran restando el rea del cuadrado a la del cuarto de crculo :
( ) 222cuadrado in64in8Ain42
in8
2y
in42
in8
2x
======
===
a
a
a
( ) ( )( ) ( ) 32
y
32x
in256in64in4xAQ
in256in64in4yAQ
===
===
333y
333
x
41
in1109.3333in256in1365.3333Qin1109.3333in256in1365.3333Q
rectngulocrculo
====
222cuadradocrculo
in137.0619in64in0619.201AAA41 ===
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Entonces, el centroide del rea dada es
in8.0937in0619.137
in3333.1109
A
Qy
in8.0937in0619.137
in3333.1109
A
Qx
2
3x
2
3y
===
===
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Ejemplo 7 : Cul es el centroide del rea
mostrada en la figura. Las unidades
corresponden al SI.
x
y
1
1-1
-2
Respuesta: Es claro que el rea se puede
dividir en dos partes bsicas: un cuadrado y
un tringulo.
Dado que el cuadrado es una figura
geomtrica, el centroide se encuentra en el
punto medio, entonces
Para el tringulo, usamos las ecuaciones
encontradas en el ejemplo 2 para encontrar
el centroide.
m1y0x == my0x31==
( ) 22cuadrado m4m2A == ( )( )2
21
tringulo m1m1m2A ==
( ) ( )( ) ( ) 0m40xAQ
m4m4m1yAQ
2y
32x
===
=== ( )( )( ) ( ) 0m10xAQ
mm1myAQ
2y
3
312
31
x
===
===
m1h =
2 2
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Los primeros momentos totales se encuentran sumando los momentos del cuadrado y deltringulo
y el rea total se encuentran sumando las reas del cuadrado y del tringulo
Entonces, el centroide del rea dada es
( ) ( )0,m4Q,Q 3yx = ( ) ( )0,mQ,Q 331yx =
2cuadrado m4A =
2tringulo m1A =
( ) ( )( ) ( )0,m0,m4Q,Q 33113
31
yx =+=
222trinrect m5m1m4AAA =+=+=
( )
m15
11
m5
m
A
Qy
0m24
0
A
Qx
2
3
311
x
2
y
=
==
=+
==
Ejercicio 8 L li l t id d l t d l fi
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Ejercicio 8: Localice el centroide del rea mostrada en la figura.
Respuesta: El rea de esta figura se puede
dividir en 3 partes:
1) Rectngulo de 17 in de base por 9 in de altura que se suma.
1) Un rectngulo de 17 in de base por 9 in dealtura que se suma.
2) Un cuarto de crculo de 4.5 in de radio
que se resta.
3) Un cuarto de crculo de 6 in de radio que
se resta.
1
2 3
( ) ( )in5.4,in5.8y,x =
( )( ) 2cuadrado in153in9in17A ==
( ) ( )( ) ( ) 32
yrectngulo
32
xrectngulo
in5.1300in153in5.8Q
in5.688in153in5.4Q
==
==
2) C t d l d 4 5 i d di 3) C t d l d 6 i d di
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2) Cuarto de crculo de 4.5 in de radio que se
resta.
3) Cuarto de crculo de 6 in de radio que se
resta.
( )
( ) in7.0901in693
in5.44in9y
in6.0901in6
83
in5.44in8x
= ==
=
=
=
( ) 22
crculoin15.9043
4
in5.4A
41 =
=
( ) ( )
( )
( ) in6.4535in93in64
in9y
in10.5465in83
in64in8x
8
8
===
=+=
+=
( ) 22
crculoin28.2743
4
in6A
41 =
=
( ) ( )( ) ( ) 32y1c
32
x1c
in96.8588in9043.15in0901.6Qin112.7631in9043.15in0901.7Q
==== ( ) ( )( ) ( ) 32
y2c
32
x2c
in298.1949in2743.28in5465.10Qin182.4682in2743.28in4535.6Q
====
3333y
3333x
in905.4463in1949.298in8588.96in5.1300Q
in393.2687in4682.182in7631.112in5.688Q
==
==
2222 in108.8214in2743.28in9043.15in153A ==
in3.6139in8214.108
in2687.393
A
Qy
in8.3205in8214.108
in4463.905
A
Qx
2
3x
2
3y
===
===
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Ejercicio 9: Localice el centroide del rea
mostrada en la figura.
Respuesta: El rea de esta figura se puede
dividir en 2 tringulos:
1) Un tringulo de 90 mm de base y 270 mm
de altura.
2) Un tringulo de 135 mm de base y 270
mm de altura.
1) Tringulo de 90 mm de base por 270 mm
de altura (ejemplo 1).
2) Tringulo de 135 mm de base por 270
mm de altura (ejemplo 2).
( ) ( )mm90,mm603
h,
3
b2y,x
=
=( ) ( )mm90,mm135
3
h,
3
bxy,x0
=
+=
( )( ) 221
1 in12150mm270mm90A == ( )( )2
21
2 in18225mm270mm135A ==
( ) ( )( ) ( ) 32
y1
32x1
mm729000mm12150mm60Q
mm1093500mm12150mm90Q
==
== ( ) ( )( ) ( ) 32
y2
32x2
mm2460375mm18225mm135Q
mm1640250mm18225mm90Q
==
==
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21 in12150A = 22 in18225A =
( ) ( )33
y1x1 mm729000,mm1093500Q,Q = ( ) ( )33
y2x2 mm2460375,mm1640250Q,Q =
( ) ( )33yx mm3189375,mm2733750Q,Q =
2in30375A =
mm90mm30375
mm2733750
A
Qy
mm510mm30375
mm3189375
A
Qx
2
3x
2
3
y
===
===
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Ejercicio 10 (Ejercicio 5.23): Un alambre
delgado y homogneo se dobla para formar
el permetro de la figura. Localice el centro
de gravedad de la figura formada por el
alambre.
x
y
225 mm
375 mm
Respuesta: Debido a que el alambre es
homogneo, su centro de gravedad coincide
con el centroide de la lnea, de manera que
cada segmento de alambre tiene esta misma
propiedad.
Entonces, para este problema, dividimos el alambre en 3 partes como se muestra en la
figura:
Pedazo 1: El segmento de la recta que empieza en (225 mm, 0) y termina en (375 mm, 0).
Pedazo 2: El segmento de la recta que empieza en (0, 225 mm) y termina en (375 mm, 0).
Pedazo 3: El arco que corresponde a al cuarto de circunferencia de radio 225 mm y
centrado en el origen, colocado en el segundo cuadrante
Pedazo 1: El segmento de la recta que
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En los segmentos lineales, los centroides se
encuentran a la mitad del mismo.
ed o : seg e o de ec que
empieza en (225 mm, 0) y termina en (375
mm, 0).
Pedazo 2: El segmento de la recta que empieza en (0, 225 mm) y termina en (375 mm, 0).
0y
mm75
2
mm375mm225x
1
1
=
=+
=
mm5.112
2
0mm225ymm5.187
2
mm3750x 22 =
+==
+=
( ) mm600mm225mm375xxL if1 ===
( ) ( ) ( ) ( ) mm437.3214mm22500mm375yyxxL 222if2
if2 =+=+=
( )( )
0Ly
mm45000mm600mm75Lx
11
211
=
==
( )( )
( )( ) 222
222
mm49198.6566mm3214.437mm5.112Ly
mm81997.7610mm3214.437mm5.187Lx
==
==
Pedazo 3: El arco que corresponde a al
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50/51
cuarto de circunferencia de radio 225 mm y
centrado en el origen, colocado en el
segundo cuadrante
( )
( )
=
=
==mm2252r2
y
mm2252r2
x
3
3 ( )2mm225
2rL3 ==
( ) ( )( )
( ) ( )( ) 2233
2233
mm50625mm2252
mm225mm2252Ly
mm50625mm2252
mm225mm2252Lx
==
=
==
=
mm1390.7506mm353.4292mm437.3214mm600LLL 321 =++=++
222332211
2222332211
mm99823.6566mm50625mm49198.65660LyLyLy
mm76372.7610mm50625mm81997.7610mm45000LxLxLx
=++=++
=+=++
mm71.7768mm7506.1390
mm6566.99823
y
mm54.9148mm7506.1390
mm7610.76372x
2
2
==
==
y
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Ejercicio 11: Localice el centroide de la
barra doblada en forma de arco parablico,
mostrada en la figura.
x
y
1 m
y=x2
1 m
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