TERMODINAMIKA Ravnotezne promjene stanja id plinova · 2020. 3. 18. · Izohorna promjena stanja...

TERMODINAMIKA

Ravnotežne promjene stanja idealnih plinova

Promjene stanja idealnog plina daju vezu između topline i mehaničkog rada te unutrašnje energije.

Promjene nazivamo ravnotežnim ili povrativim promjenamastanja ako su ispunjene pretpostavke ravnotežnog tijekapromjena stanja, i to u smislu ispunjenja unutrašnje toplinske, unutrašnje mehaničke i vanjske mehaničkeravnoteže.

Izohorna promjena stanja

Izohorna promjena stanja je takva promjena tijekom koje ostaje konstantan volumen V ili specifični volumen v

Primjer takve promjene stanja je zagrijavanje idealnog plina u zatvorenoj posudi čvrstih stijenki.

1

2mV

1

2

OS; ϑgϑg

ϑ2

ϑ1

ϑh

V V

RS; ϑh

Q12

konst.=V

Jednadžba izohore

konst.v =ili

1-2 Izohorno dovođenje topline (puna linija)2-1 Izohorno odvođenj topline (crtkana linija)

Postavljanjem jednadžbe stanje za točku 1 i točku 2

1 1p V mRT=

2 2p V mRT=

1

2

1

2

TT

pp

=

i njihovim međusobnim dijeljem

dobiju se odnosi među odgovarajućim veličinama stanja tijekom izohorne promjene

Omjeri apsolutnih tlakova, pri izohornoj promjeni stanja, jednaki su omjeru termodinamičkih (apsolutnih) temperatura

Za energijsku analizu ovoga procesa koristimo energijsku jednadžbu

+−=2

11212 )( VpUUQ dsust.

0=Vd

+−=2

11212 )( VpUUQ dsust.

,V konst=2

1

12 d 0V

V

W p V= =

12 2 1 sust.( )Q U U= −

( ) ( )12 v 2 1 v 2 1Q mc mc T Tϑ ϑ= − = −

012 >Q 12 TT >tada je Ako je

Pri izohornom zagrijavanju, idealnom plinu toplinu dovodimo, te moramo imati na raspolaganju ogrjevni toplinski spremnik,

Pri izohornom hlađenju, idealnom plinu toplinu odvodimo te moramo imati na raspolaganju rashladni toplinski spremnik.

1

2mV

1

2

OS; ϑgϑg

ϑ2

ϑ1

ϑh

V V

RS; ϑh

Q12

1-2 Izohorno zagrijavanje (puna linija)2-1 Izohorno hlađenje (crtkana linija)

Izobarna promjena stanja

Izobarna promjena stanja je takva promjena tijekom koje ostaje konstantan tlak p

1V 2V V

p 1 2

12Q

12Q

12W12W1U

1

p

m

OS; ϑg

ϑg

( )

( )12

2

1

12 d

VVp

VVpW

−=

= RS; ϑh

ϑh

p; ϑ1

F(V1)

F'(V1) F(V2) F'(V2)

OS RS

konst.p =

Jednadžba izobare

1-2 Izobarno dovođenje topline (puna linija)2-1 Izobarno odvođenje topline (crtkana linija)

1V 2V V

12W12W1U

1

m

p; ϑ1

F(V1)

F'(V1) F(V2) F'(V2)

OS RS

Početno toplinsko stanje idealnoga plina unutar zatvorenog sustava (prostor između čela stapa i površine horizontalnog cilindra) zadano je tlakom p, masom m i volumenom V

Zbog pretpostavljene unutrašnje toplinske i mehaničke ravnoteže, s unutrašnje strane na stap djeluje sila pAF =

Tu istu silu s druge strane stapa preuzima na sebe neka druga masa, da bi se ispunio uvjet vanjske mehaničke ravnoteže. Zbog konstantnog tlaka i površine stapa ostaje ista sila F tijekom izobarne promjene stanja

1V 2V V

p 1 2

12Q

12Q

12W12W1U

1

p

m

OS; ϑg

ϑg

( )

( )12

2

1

12 d

VVp

VVpW

−=

= RS; ϑh

ϑh

p; ϑ1

F(V1)

F'(V1) F(V2) F'(V2)

OS RS

Dovođenjem topline Q12 kroz granicu sustava, plin će se širiti uz stalan tlak uz porast temperature.

12Q

Postavljanjem jednadžbe stanje za točku 1 i točku 2

1 1pV mRT=

2 2pV mRT=

2 2

1 1

V TV T

=

i njihovim međusobnim dijeljenjem

dobiju se odnosi među odgovarajućim veličinama stanja tijekom izobarne promjene

Omjeri volumena odgovaraju omjeru termodinamičkih (apsolutnih) temperatura u pripadajućim točkama

Za energijsku analizu ovoga procesa koristimo energijsku jednadžbu

+−=2

11212 )( VpUUQ dsust.

( )12 2 1 sust. 2 1( )Q U U p V V= − + −

,p konst= ( )2 2

1 1

12 2 1d dV V

V V

W p V p V p V V= = = −

( ) ( )12 v 2 1 2 1Q mc p V Vϑ ϑ= − + −

( ) ( )12 v 2 1 2 1Q mc T T mR T T= − + −

( )[ ]12 2 1 v

pc

Q m T T c R= − +

( )12 2 1pQ mc T T= −Pri izobarnom dovođenju topline idealnom plinu iz ogrjevnog spremnika dolazi do porasta volumena i temperature

Izotermna promjena stanja

Izotermna promjena stanja je takva promjena, tijekom koje ostaje konstantna temperatura; T=konst

1

2

V

1 2

OS; ϑg

ϑg

p

V

p1;ϑ

OSϑg

F1(V1)F2(V2)

p2;ϑ ( )22 VF′( )11 VF′

Izotermna promjena stanja

Polaganim dovođenjem topline Q12 kroz stijenke cilindra od ogrjevnog spremnika, plin će se polagano širiti,uz nepromijenjenu temperaturu T

konst.pV mRT= = istostrana hiperbola

Jednadžba izoterme

1 1 2 2konst p V p V= =

1

2

V

OS; ϑg

ϑg

p

VOS

Postavljanjem jednadžbe stanje za točku 1 i točku 2

1 1p V mRT=2 2p V mRT=

2 1

1 2

p Vp V

=

dobiju se odnosi među odgovarajućim veličinama stanja tijekom izotermne promjene stanja

Omjer apsolutnih tlakova je obrnuto proporcionalan omjeru volumena

Za energijsku analizu ovoga procesa koristimo energijsku jednadžbu

+−=2

11212 )( VpUUQ dsust.

2 1 sust.( ) 0U U− =T=konst

2

12 121

dQ W p V= =

Pri izotermnoj promjeni stanja toplina i mehanički rad su jednaki i po iznosu i po predznaku.

Pri izotermnoj ekspanziji dobije se onoliko mehaničkog rada koliko se od ogrjevnog spremnika idealnom plinu dovede topline,ili pri izotermnoj kompresiji utroši se onoliko mehaničkog rada koliko se od idealnog plina topline odvede.

+−=2

11212 )( VpUUQ dsust.

[ ]22 2

1 1 1

212

1

dd konst konst ln konst lnVV V

V V V

VVW p V VV V

= = = ⋅ = ⋅

212

1

konst ln VWV

= ⋅

2 112 12 1 1 1 1

1 2

ln lnV pQ W p V p VV p

= = =

2 112 12 2 2 2 2

1 2

ln lnV pQ W p V p VV p

= = =

Mehanički rad je prikazan šrafiranom površinom ispod izotermne promjene stanja

1

2

V

OS; ϑg

ϑg

p

V

p

V

ϑ1 < ϑ2 < ϑ3

ϑ3 = konst. = C3

ϑ2 = konst. = C2

ϑ1 = konst. = C1

V1 V2

Prikaz familija izotermi u p,V-dijagramu

Izborom različitih temperatura (izotermi) dobiva se familija istostranih hiperbola u p, V dijagramu

Izentropska promjena stanja

Tijekom izentropske promjene stanja ostaje konstantna veličina stanja koju nazivamo entropijom..

1

2

21

p

v

p1

p2

q12 = 0

δw = p(v)dv

( )=2

1

12 dv

v

vvpw

ϑ1

ϑ2

sp(v)

v dv

p1; s p2; s

q12 = 0

u1F1 u2

F2 w121F′2F ′

Izentropska promjena stanja isključujeizmjenu topline između sustava i toplinskog spremnika, pa se često ova promjena stanja naziva i adijabatskom

Adijabatski proces je po definiciji svaki proces tijekom kojeg nemaizmjene topline kroz granicu sustava.

Ako se adijabatski proces istovremeno odvija i ravnotežno, kažemo da je izentropski.

Izentropa je svaka ravnotežna adijabata.

Jednadžba izentrope

Polazi se od diferencijalnoga oblika Prvog stavka termodinamike

wuq δdδ +=

012 =q 0=qd

d δ 0u w+ =

0=+ vpTc ddv

( )pvvpR

T ddd += 1

d d Rdp v v p T+ =

pv RT=

Deriviranjem gornje jednadžbe dobivamo

0=+ vpTc ddv ( )1d d dT p v v pR

= +

( )v1 d d d 0c p v v p p vR

+ + =

v vd d d 0c cp v v p p vR R

+ + =

v v1 d d 0c cp v v pR R

+ + =

v vd d 0c R cp v v pR R+ + =

vd d 0pc cp v v pR R

+ =

v

d d 0pcp v v p

c+ =

vd d 0pc p v c v p+ =

v

d d 0pc v pc v p

+ = Diferencijalni oblik jednadžbe izentrope u p,v dijagramu

v

ln ln lnpcv p C

c+ =

Nakon integriranja gornje jednadžbe

i antilogaritmiranja

1 1 2 2konst p v p vκ κ= =

Jednadžba izentrope u p,v dijagramukonstpvκ =

v

pcc

κ =

v

pcc

κ = Izentropski eksponent

Gornja jednadžba vrijedi samo za idealne plinove budući da su tijekom izvođenja jednadžbe korištene konstitutivne jednadžbe idealnog plina

konstpvκ =

konstpV κ =

Izentropa kroz istu točku je uvijek strmija od pripadajuće izoterme u p,Vdijagramu

p

v

p

v

s = konst.

ϑ = konst.

αsαϑ

αs < αϑ

IzentropaIzoterma

0=+ pvvp dd

konstpv =konstpvκ =

ϑϑ

αtgdd =−=

vp

vp

ss

tgdd ακ =−=

vp

vp

Nakon deriviranja1 1d d 0 / :p v v v p vκ κ κκ − −+ =

d d 0p v v pκ + =

Nakon deriviranja

p

v

p1

p2

pvκ = C1 = konst1pvκ = C2 = konst2pvκ = C3 = konst3

p1v1κ = p2v2

κ = C3

v1 v2

Familija izentropa u p,v-dijagramu

1 2 3C C C> >

Odnos među relevantnim veličinama stanja na promatranoj izentropi.

1 2

2 1

p Vp V

κ

=

1 1 2 2

konstpVp V p V

κ

κ κ

==

2

1

2

1

2

1

VV

pp

TT

=

1 1 1p V mRT=

2 2 2p V mRT=

1 2 1

2 1 2

T V VT V V

κ

=

1 2

2 1

p Vp V

κ

=

1

1 2 2

2 1 1

T V VT V V

κ −

=

1

1 2

2 1

T VT V

κ −

=

1

1 1

2 2

T pT p

κκ−

=

1 1 1p V mRT=

2 2 2p V mRT=

1 2

2 1

p Vp V

κ

=

2

1

2

1

2

1

VV

pp

TT

=1

2 1

1 2

V pV p

κ =

2

1

2

1

2

1

VV

pp

TT

=1

1 1

2 2

V pV p

κ−

= 1

1 1 1

2 2 2

T p pT p p

κ−

=

( )22 2

1 1 1

1

12konstd d konst

1

VV V

V V V

VW p V V VV

κ

κ κ

− = = = −

Mehanički rad

1 12 1

12 konst1

V VWκ κ

κ

− − −= − 1 1 1

12 1 1 1 212 1 1 1 1

1

11 1

V V p V VW p V VV

κ κ κ κκ κ

κκ κ

− − −−

−

−= = − − −

11 1 1

12 12

11p V VW

V

κ

κκ

−

−

= − −

1

1 1 112

2

11

p V VWV

κ

κ

− = − −

1

1 1 112

2

11

p V VWV

κ

κ

− = − −

W12 je pozitivan ako je a W12 je negativan ako je12 VV > 2 1V V<

što je u skladu s činjenicom da pri ekspanziji mehanički rad dobivamo, a pri kompresiji mehanički rad trošimo.

1

1 1 2 1 1 212

1 1

1 11 1

p V p p V TWp T

κκ

κ κ

− = − = − − −

Energijska razmjena tijekom izentropske promjene stanja

+−=2

11212 )( VpUUQ dsust.

12 0Q =

12 1 2 sust.( )W U U= −

( )12 1 2vW mc T T= − mehanički rad se dobiva isključivo na račun promjene unutrašnje energije idealnog plina

Dobiveni rad pri izentropskoj ekspanziji odgovara jednakom smanjenju unutrašnje energije plina,

dovedeni mehanički rad pri izentropskoj kompresiji jednak je povećanjunjegove unutrašnje energije.

( )2112 TTmcW −= v

Dobivena jednadžba se može dovesti u oblik prikazan na slajdu 26

212 v 1

1

1 TW mc TT

= −

vpc c R− =

v

pcc

κ=

v vc c Rκ − =

( )v 1c Rκ − =

v 1Rc

κ=

−

212 1

1

11

TRW m TTκ

= − −

1

1 1 112

2

11

p V VWV

κ

κ

− = − −

Politropske promjene stanja

Diferencijalna izmijenjena toplina u općem slučaju može se izrazitijednadžbom

δ dnQ m c T=

ili u integralnom obliku, za slučaj da nije temperaturno ovisan

( ) −==2

1

1212

T

T

TTmcTcmQ nnd

vn cc =

n pc c=izohora

izobara

n 0c =

nc → ±∞

izentropa jer je

izoterma

012 =Q .0≠ΔT

12 0Q ≠

a

a 0TΔ =jer je

politropski specifični toplinski kapacitet idealnog plinanc

+∞≤≤∞− nc

Definicija politropskog specifičnog toplinskog kapaciteta

nTQ

mc

=

dδ1

n

koja pokazuje da politropski specifični toplinski kapacitet, osim o vrstiidealnog plina, ovisi o načinu izmjene topline idealnog plina s toplinskimspremnikom.

Sve promjene stanja idealnih plinova svrstavamo u opću skupinu politropskihpromjena stanja.

vv

pp dnd −=

nv

npncccc

−−

= eksponent politrope

diferencijalni oblik jednadžbe politrope u p,v dijagramu

integralni oblik jednadžbe politrope idealnoga plina u p,v dijagramu

n konstpv = n n1 1 2 2konst p v p v= =

n konstpV = n n1 1 2 2konst=p V p V=

1

2

1 2

p

v

p1

p2

ϑ1

ϑ2

δW = p(V)dVQ12 ≠ 0

n = konst.p(V)

V dV

( )=2

1

12 dV

V

VVpW

αn

V1 V2

p1;V1;u1 p2 ;V2 ;u2

Q12

F1

F2

W121F ′2F ′

n konstpV =Jednadžba politrope

Odnosi među veličinamastanja koja leže na istojpolitropi:

nnn-1

1 2 1

2 1 2

p V Tp V T

= =

+ +--∞

cpcv

cn ∞

cn = f(n)

0 κ n ∞

-∞

Politropski specifični toplinski kapacitet idealnog plina

1−−=

nncc κ

vn

n=κ 01 n κ< <U intervalu

je negativan

n=0

n=1 ∞n ∞ =

v m3/kg

p

T = konst., n = 1

p = konst.v

= ko

nst.

n = 0

0 < n < 1

-1 < n < 0

n = -1

-∞ <

n <

-1

n →

± ∞

n →

± ∞

κ < n < +∞

n = κ1 < n < κ

n = -1

-∞ <

n < -1

-1 < n < 0

n = 1

0 < n < 1

q12 > 0

q12 < 0

w12 > 0w

12 <

0

kompresija, w12 < 0 ekspanzija, w12 > 0 v

n = κ1 < n < κ

κ < n < +∞

Ako se sve politropekvalitativno prikažu kroz istu točku u p,V dijagramu, dobiva se prikaz (slika lijevo)

Mehanički rad izvršen tijekom politropske promjene stanja može se odrediti iz jednadžbe

( )22 2

1 1 1

1 n

12 n

dd konst konst1 n

VV V

V V V

V VW p V VV

− = = = −

2

1

1 n 1 n1 n2 1

12 konst konst1 n 1 n 1 n

V

V

V VVW− −−

= = − − − − 1 n

1 n 212 1 1 n

1

konst 11 n

VW VV

−−

−

= − −

n 1 n1 n1 1 2

12 1 1 n1

11 np V VW V

V

−−

−

= − −

1n1 1 1

122

11

np V VWn V

− = − −

n-1n-1n

1 1 1 1 1 2 1 1 212

2 1 1

1 1 1n-1 n-1 n-1p V V p V p p V TW

V p T

= − = − = −

Drugi oblici formule za mehanički rad tijekom politropske promjene stanja

Gornji izraz omogućuje izračunavanje mehaničkog rada tijekom svih politropskih promjena stanja, izravnim uvrštavanjem vrijednosti eksponenta n

Izuzetak su izohora ±∞→n i izoterma n = 1

U tim slučajevima gornji izraz poprima neodređene oblike pa primjenivšiL' Hospitalovo pravilo na gornju jednadžbu, ona prelazi u jednadžbe:

012 =W za izohoru,

1

21112 V

VVpW ln= za izotermu

Često je potrebno na osnovi eksperimentalnih podataka odrediti eksponent politrope n

Tako npr. neka je indikatorom snimljen i prezentiran u p,v dijagramu tijek politropskepromjene stanja idealnog plina, kako to kvalitativno prikazuje slika

p

p1

p2

1

2′

2″

2 ′′′2

v1 v2 v

lgp

lgp1

lgp2

1

2′

2″

2

n = konst.

n ≠ konst.lgp1 - lgp2

lgv2 - lgv1

α

lgv1 lgv2 lgv

2 ′′′

Politropa u p,v dijagramu Politropa u log p, log v dijagramu

Potrebno je provjeriti leže li sve točke na politropi s istim eksponentom n

nn2211 vpvp =

nakon provedenog logaritmiranja, dobiva eksponent politrope n

12

21

vvpp

lglglglg

n−−

=

Ako se politropska promjena prikaže u lg p, lg v

v

dijagramu

tada se, prema gornjoj jednadžbi, politropa prikazuje kao pravac čiji koeficijentsmjera korespondira s eksponentom politrope n, tj.;

tgn α=

Otvoreni sustavi s idealnim plinom. Stalnotlačni procesi

Od velike suvažnosti u inženjerskojpraksi strojevi, koji setretiraju kao otvorenisustavi, kroz čije graniceprotječe idealni plin.Primjeri takvih strojevasu stapni iturbokompresori,ventilatori, plinsketurbine, pneumatski alati.Rad takvih strojevapodliježe zakonitostimaotvorenih sustava, uzdodatne specifičnosti(konstitutivne jednadžbe)idealnog plina.

1

2

p

v

a

b 2

1

δwteh = -v(p)dp

dp

nv(p)

(wteh)12

qm;p2;h2

ϑ2I.V.

U.V.

qm;p1;h1

ϑ1q12

(wteh)12

Prikaz rada stapnog kompresora

Pogonskim strojem (elektromotorom) preko motornoga mehanizma dolazi do pomicanja stapa od gornje mrtve točke udesno do donje mrtve točke. Stvoreni potlak u cilindru uvjetuje otvaranje usisnog ventila, kroz koji u cilindar ulazi idealni plin, pa se na liniji a - 1 puni cilindar idealnim plinom stalnih veličina stanja ( ),,,, 1111 uhTp

U točki 1 punjenje cilindra je završeno i usisni ventil se zatvara. Stap mijenja smjer kretanja i počinje kompresija plina, koja traje do stanja 2. U točki 2 otvara se ispušni ventil i dolazi do istiskivanja idealnoga plina iz cilindra u tlačni vod i dalje u tlačni spremnik (linija 2 - b). Toplinsko je stanje idealnog plina na liniji 2 - b konstantno i iznosi ( ),,,, 2222 uhTp

Tijekom kompresije postoji i izmjena toplinskog toka s rashladnim spremnikom, što utječe na eksponent politrope n

K

1 1

2 2

granica otvorenog sustava

qm

(p2; ϑ2; h2)

(W teh)12

Φ12

qm

(p1; ϑ1; h1)

Stapni kompresor

Prikazani proces pripada, prema svim svojim karakteristikama, u otvoreni sustav, jer osim energijskog toka kroz granicu sustava postoji i tok mase, pa se i ovaj proces može prikazati općom shemom otvorenog sustava

Vidi se da je ovakav proces realiziran između dvaju tlakova, tlaka usisavanja tlaka istiskivanja

1p2p

Za realizaciju ovakvog procesa moramo imati na raspolaganju dva tlačna spremnika, između kojih se odigrava određena promjena stanja 1 – 2.Stoga se često u literaturi ovakvi procesi nazivaju i stalnotlačnimprocesima.

Energijska analiza stalnotlačnih procesa

Zakon o održanju mase za stacionarne stalnotlačne procese

=u i

mm qq

Maseni protok koji ulazi u otvoreni sustav jednak je masenom protoku koji izlazi iz sustava.

U ovom primjeru kompresora postoji samo jedan ulaz, odnosno izlaz, jednadžba održanja mase poprima oblik

mmimu qqq ==

Za energijsku analizu polazimo od jednadžbe koja predstavlja I. glavni zakon zastacionarne otvorene sustave:

( ) ( ) ( )p1p2mk1k2m12m1212 eeqeeqhhqP −+−+−+=Φ

Ako se zanemare promjene kinetičke i potencijalne energije od ulaza 1 do izlaza 2 iz sustava i pretpostavi ravnotežni (povrativi) tijek promjene stanja tijekom kompresijegornja se jednadžba može napisati u obliku

( ) )( 21m12teh12 hhqW −+=Φ

iz kojeg se može izračunati ravnotežni tehnički rad ( )12tehW

( ) ( ) 1221m12teh Φ+−= hhqW

( ) ( )12 m n 2 1 m v 2 1n-n-1

q c T T q c T TκΦ = − = −

Ako u razmatranje uzmemo promatrani idealni plin, tada razliku specifičnih entalpija možemo pisati

( ) ( )1 2 n 2 1 v 2 1n-n-1

h h c T T c T Tκ− = − = −

pa je toplinski tok

Tehnički rad jednak je

( ) ( ) ( )teh m p 1 2 v 1 212

n-n-1

W q c T T c T Tκ = − − −

( ) ( )teh m 1 212

nn-1

W q R T T= −

( ) ( ) ( )teh m p v 1 212

nn-1

W q c c T T= − −

( )n-1n

2teh 1 V112

1

n 1n-1

pW p qp

= −

( )n-1n

2 2teh m 1 m 112

1 1

n n1 1n-1 n-1

T pW q RT q RTT p

= − = −

V1q m3/s, volumenski protok idealnog plina prije kompresije

Dijeljenjem gornje jednadžbe s masenim protokom mq

dobivaju se neki oblici specifičnog tehničkog rada,

( )n-1n

2 2teh 1 1 112

1 1

n n1 1n-1 n-1

T pw RT p vT p

= − = −

( )teh 1212w n w=

Komparirajući zadnji oblik izraza uočava se veza

koja pokazuje da je specifični tehnički rad idealnog plina n puta veći od specifičnog mehaničkog politropskog rada, dakako između istih toplinskih stanja.

Ako se gornji izraz napiše u diferencijalnom obliku, dobiva se

vpww dnnδδ teh ==

Ako se diferencira jednadžbu politrope, dobiva se

pvvp ddn −=

Proizlazi da je diferencijal specifičnog ravnotežnog tehničkog rada zadanjednadžbom

pvw dδ teh −=

Specifični tehnički rad dobiva se integriranjem gornje jednadžbeod stanja 1 do 2:

( ) ( )−=2

1

12

p

p

ppvw dteh

Predznak minus u jednadžbama stoji zbog toga što u smjeru pada tlaka specifični volumen raste

Kako pokazuju izvedene jednadžbe, kako specifični tako i ukupni tehnički rad ovisi, osim o vrsti plina, njegovom početnom stanju 1 i jednoj veličini stanja u stanju 2, još i o eksponentu politrope n

Tako se za pojedine karakteristične promjene stanja dobivaju jednadžbe za specifični tehnički rad, izravnim uvrštavanjem odnosnih eksponenata politrope nu jednadžbu

( )n-1n

2teh 1 112

1

1-1

pnw p vn p

= −

( ) ,012 =tehw 0n =za ( )izobara→

( )

−

−=

−κ

κ

κκ

1

1

2112 1

1 pp

RTwteh ( )izentropa,n →= κza

Za izotermu i izohoru izravno uvrštavanje eksponenta n u jednadžbu za tehw

dovodi do neodređenih oblika, koji se lako rješavaju korištenjemL' Hospitalova pravila.

- izohora n → ±∞

- izoterma 1n =

( ) ( )

−=−=

1

2121112 1

pp

vpppvwteh

( )1

21112 p

pvpw lnteh =