View
26
Download
2
Category
Preview:
Citation preview
1
TKS 4007 Matematika III
Diferensial Vektor (Pertemuan IV)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Fungsi Vektor
Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A,
maka A bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t),
yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan
fungsi dari nilai skalar t. Dalam R2, fungsi vektor biasa ditulis
dengan :
Sedangkan dalam R3, fungsi vektor ditulis dengan :
2
Fungsi Vektor (lanjutan)
Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik
(x,y,z) di R3 dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa
dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut:
Turunan Biasa
Definisi :
A(t) adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah
variabel t. Jika liminya ada, didefinisikan turunan dari A(t),
sebagai berikut :
Jika fungsi vektor 𝐀 𝑡 = A1𝐢 + A2𝐣+A3𝐤 dengan fungsi
skalar A1 𝑡 , A2 𝑡 , dan A3 𝑡 dapat diferensialkan terhadap
variabel t, maka A(t) mempunyai turunan variabel terhadap t
yang dirumuskan sebagai berikut :
3
Turunan Biasa (lanjutan)
Sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor :
Jika A, B, dan C adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah
skalar t yang diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari t
yang diferensiabel, maka sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor
adalah sebagai berikut :
Turunan Biasa (lanjutan)
4
Turunan Biasa (lanjutan)
Bukti :
(i)
Turunan Biasa (lanjutan)
(ii)
Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), dan (vi) dijadikan untuk
latihan!
5
Turunan Biasa (lanjutan)
Contoh :
Jika 𝐀 = 𝑡2 + 2𝑡 𝐢 + 2𝑡𝐣 + 𝑡3𝐤 dan 𝐀 = 𝑡2 + 2𝑡 𝐢 + 2𝑡𝐣 +
𝑡3𝐤. Tentukan 𝑑
𝑑𝑡𝐀.𝐁 di t = 0.
Penyelesaian :
Cara 1
Turunan Biasa (lanjutan)
pada saat t = 0, maka :
6
Turunan Biasa (lanjutan)
Cara 2 (menggunakan sifat turunan)
pada saat t = 0, maka :
Turunan Parsial
Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih,
prinsipnya sama dengan definisi turunan fungsi vektor satu
variabel, dimana semua variabel dianggap konstan, kecuali
satu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu diturunkan.
Misalkan A adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung
kepada variabel skalar x, y, dan z, maka dapat ditulis sebagai
A = A(x,y,z). Ketiga turunan parsialnya didefinisikan sebagai
berikut:
7
Turunan Parsial (lanjutan)
adalah masing-masing turunan parsial dari A terhadap x, y,
dan z, jika limitnya ada.
Turunan Parsial (lanjutan)
Jika fungsi vektor 𝐀 𝑥, 𝑦, 𝑧 = A1 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + A2 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 +A3 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤 dengan fungsi skalar A1 𝑥, 𝑦, 𝑧 , A2 𝑥, 𝑦, 𝑧 , dan
A3 𝑥, 𝑦, 𝑧 mempunyai turunan parsial terhadap variabel x, y,
dan z, maka juga mempunyai turunan variabel terhadap x, y,
dan z yang dirumuskan sebagai berikut :
8
Turunan Parsial (lanjutan)
Sifat-sifat turunan parsial fungsi vektor :
Jika A dan B adalah fungsi-fungsi vektor dan adalah fungsi
skalar x, y, dan z yang diferensiabel terhadap ketiga variabel
tersebut, maka berlaku :
Turunan Parsial (lanjutan)
Bukti :
(i)
9
Turunan Parsial (lanjutan)
Pembuktian sifat (iii), (iv), dan (v) dijadikan untuk latihan!
(ii)
Turunan Parsial (lanjutan)
Aturan Rantai
Jika fungsi vektor 𝐅 = 𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧 terdiferensial terhadap
variabel x, y, dan z, dimana 𝑥 = 𝑥 𝑠, 𝑡, 𝑢 , 𝑦 = 𝑦 𝑠, 𝑡, 𝑢 ,
dan 𝑧 = 𝑧 𝑠, 𝑡, 𝑢 adalah fungsi skalar yang terdiferensial
terhadap variabel s, t, dan u, maka bentuk fungsi tersusun F
dapat ditulis seperti berikut :
10
Turunan Parsial (lanjutan)
Turunan parsial F terhadap variabel s, t, dan u dapat diberikan
sebagai berikut :
Turunan Parsial (lanjutan)
Contoh :
1. Jika 𝐅 = 𝑥𝑦𝑧2𝐢 + 𝑦𝑧2𝐣 + 2𝑥𝑦2𝐤, tentukan 𝜕𝐅
𝜕𝑥, 𝜕𝐅
𝜕𝑦, dan
𝜕𝐅
𝜕𝑧.
Penyelesaian
11
Turunan Parsial (lanjutan)
2. Jika 𝐳 = 3𝑥2𝐢 − 𝑦2𝐣 dengan 𝑥 = 2𝑠 + 7𝑡 dan 𝑦 = 5𝑠𝑡 ,
tentukan 𝜕𝑧
𝜕𝑡 dan nyatakan dalam bentuk s dan t.
Penyelesaian :
Latihan
1. Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang
bergerak sepanjang kurva 𝑥 = 2 sin 3𝑡 , 𝑦 = 2 cos 3𝑡 ,
𝑧 = 8𝑡 pada saat t > 0.
2. Jika 𝐀 = 5𝑡2𝐢 + 𝑡𝐣 − 𝑡3𝐤 dan 𝐁 = sin 𝑡 𝐢 − cos 𝑡 𝐣, carilah 𝑑
𝑑𝑡𝐀.𝐁 .
3. Jika 𝐅 = sin 𝑥𝑦2𝑧 𝐢 + 2𝑦𝑧𝐣 + 𝑧3𝐤, tentukanlah 𝜕2𝐅
𝜕𝑥2.
4. Jika 𝐀 = 𝑥2𝑦𝑧𝐢 − 2𝑥𝑧3𝐣 + 𝑥𝑧2𝐤 dan 𝐁 = 2𝑧𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑥2𝐤,
carilah 𝜕2
𝜕𝑥𝜕𝑦𝐀 × 𝐁 di titik (1,0,–2).
12
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!
Recommended