-
1
TKS 4003 Matematika II
Persamaan Diferensial – Faktor Integral –
(Differential: Factor of Integration)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Definisi
PD Non Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat
satu
yang berbentuk :
𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 (1)
dan memenuhi syarat :
𝝏𝑴 𝒙,𝒚
𝝏𝒚≠
𝝏𝑵 𝒙,𝒚
𝝏𝒙
Penyelesaian PD Non Eksak dapat diperoleh dengan dengan
mengalikan Pers. 1 dengan suatu fungsi u yang disebut Faktor
Integral (FI), sehingga diperoleh PD Eksak yaitu :
𝒖 𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒖 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 (2)
-
2
karena PD (Pers. 2) sudah berbentuk eksak, maka memenuhi :
𝝏 𝒖 𝑴
𝝏𝒚=
𝝏 𝒖 𝑵
𝝏𝒙
𝒖𝝏𝑴
𝝏𝒚+𝑴
𝝏𝒖
𝝏𝒚= 𝒖
𝝏𝑵
𝝏𝒙+ 𝑵
𝝏𝒖
𝝏𝒙
𝒖𝝏𝑴
𝝏𝒚−
𝝏𝑵
𝝏𝒙= − 𝑴
𝝏𝒖
𝝏𝒚− 𝑵
𝝏𝒖
𝝏𝒙
Definisi (lanjutan)
Definisi (lanjutan)
Rumus umum FI :
𝒖 𝒙, 𝒚 =− 𝑴
𝝏𝒖
𝝏𝒚 − 𝑵
𝝏𝒖
𝝏𝒙𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
(3)
Secara umum FI u terdiri dari tiga kondisi yaitu :
1. FI u sebagai fungsi x saja
2. FI u sebagai fungsi y saja
3. FI u sebagai fungsi x dan y
-
3
FI u fungsi x saja
Karena u sebagai fungsi x saja, maka :
𝝏𝒖
𝝏𝒙=
𝒅𝒖
𝒅𝒙 dan
𝝏𝒖
𝝏𝒚= 𝟎
sehingga Pers. 3, dapat ditulis menjadi :
𝒖 𝒙 =𝑵𝒅𝒖
𝒅𝒙𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙𝒅𝒙 = 𝑵
𝒅𝒖
𝒖(𝒙)
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑵𝒅𝒙 =
𝒅𝒖
𝒖(𝒙)
FI u fungsi x saja (lanjutan)
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑵𝒅𝒙 =
𝒅𝒖
𝒖(𝒙)
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑵𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒖
𝒖(𝒙) =
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑵𝒅𝒙
𝒆
𝒖 𝒙 = 𝒉 𝒙 𝒅𝒙𝒆
dengan 𝒉(𝒙) =
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑵
-
4
FI u fungsi y saja
Karena u sebagai fungsi y saja, maka :
𝝏𝒖
𝝏𝒙= 𝟎 dan
𝝏𝒖
𝝏𝒚=
𝒅𝒖
𝒅𝒚
sehingga Pers. 3, dapat ditulis menjadi :
𝒖 𝒚 =−𝑴
𝒅𝒖
𝒅𝒚𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙𝒅𝒚 = −𝑴
𝒅𝒖
𝒖(𝒚)
−
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑴𝒅𝒚 =
𝒅𝒖
𝒖(𝒚)
FI u fungsi y saja (lanjutan)
−
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑴𝒅𝒚 =
𝒅𝒖
𝒖(𝒚)
−
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑴𝒅𝒚 = 𝒍𝒏 𝒖
𝒖(𝒚) = −
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑴𝒅𝒚
𝒆
𝒖 𝒚 = 𝒉 𝒚 𝒅𝒙𝒆
dengan 𝒉(𝒚) =
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑴
-
5
FI u fungsi x dan y
𝑭𝑰 ∶ 𝒖 = 𝒖(𝒙, 𝒚)
Jika bentuk peubah x, y = v, maka 𝑭𝑰 ∶ 𝒖 = 𝒖(𝒗)
𝝏𝒖
𝝏𝒙=
𝝏𝒖
𝝏𝒗
𝝏𝒗
𝝏𝒙 (4)
𝝏𝒖
𝝏𝒚=
𝝏𝒖
𝝏𝒗
𝝏𝒗
𝝏𝒚 (5)
𝝏𝒖
𝝏𝒚=
𝒅𝒖
𝒅𝒗 (6)
Jika Pers. 4, 5, dan 6 disubstitusikan ke Pers. 3, maka :
− 𝑴
𝝏𝒖
𝝏𝒚 − 𝑵
𝝏𝒖
𝝏𝒙𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
= 𝒖(𝒙, 𝒚)
FI u fungsi x dan y (lanjutan)
− 𝑴𝝏𝒖
𝝏𝒗.𝝏𝒗
𝝏𝒚 − 𝑵
𝝏𝒖
𝝏𝒗.𝝏𝒗
𝝏𝒙
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
= 𝒖 𝒗
𝝏𝒖
𝒅𝒗𝑴
𝝏𝒗
𝝏𝒚− 𝑵
𝝏𝒗
𝝏𝒙= −
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙𝒖 𝒗
−𝝏𝑴
𝝏𝒚−𝝏𝑵
𝝏𝒙𝒅𝒗
𝑴𝝏𝒗
𝝏𝒚−𝑵
𝝏𝒗
𝝏𝒙
=𝒅𝒖
𝒖
-
6
FI u fungsi x dan y (lanjutan)
−
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑴𝝏𝒗
𝝏𝒚 −𝑵
𝝏𝒗
𝝏𝒙
𝒅𝒗 = 𝒅𝒖
𝒖
−
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑴𝝏𝒗
𝝏𝒚 −𝑵
𝝏𝒗
𝝏𝒙
𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 𝒖
𝒖(𝒗) = −
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑴𝝏𝒗
𝝏𝒚 −𝑵
𝝏𝒗
𝝏𝒙
𝒅𝒗𝒆
𝒖 𝒗 = 𝒉 𝒗 𝒅𝒗𝒆
dengan 𝒉(𝒗) =−
𝝏𝑴
𝝏𝒚 −
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑴𝝏𝒗
𝝏𝒚 −𝑵
𝝏𝒗
𝝏𝒙
𝒅𝒗
Contoh 1
1. 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒙 𝒙 + 𝟐𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎
Penyelesaian :
Misal :
𝑴 𝒙, 𝒚 = 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙 → 𝝏𝑴
𝝏𝒚= 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚
𝑵 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝒙 + 𝟐𝒚 → 𝝏𝑵
𝝏𝒙= 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚
𝝏𝑴
𝝏𝒚≠
𝝏𝑵
𝝏𝒙 →
𝟏
𝑵
𝝏𝑴
𝝏𝒚−
𝝏𝑵
𝝏𝒙=
𝟐(𝟐𝒙+𝟐𝒚)
𝒙(𝒙+𝟐𝒚)=
𝟐
𝒙
Fungsi dari x saja
Sehingga FI adalah :
𝟐
𝒙𝒅𝒙
𝒆= 𝒍𝒏𝒆 𝒙
𝟐 = 𝒙𝟐
-
7
Contoh 1 (lanjutan)
Selanjutnya diperoleh PD Eksak sebagai berikut :
𝒙𝟐 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒙𝟑 𝒙 + 𝟐𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎
𝝏𝑭
𝝏𝒚𝒅𝒙 +
𝝏𝑮
𝝏𝒙𝒅𝒚 = 𝟎
Karena PD tersebut sudah berbentuk PD Eksak, maka dapat
digunakan Penyelesaian PD Eksak.
ambil 𝝏𝑭
𝝏𝒚= 𝒙𝟐 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙
= 𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝒙𝟑
Contoh 1 (lanjutan)
𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝒙𝟑 𝒅𝒙𝒙
+ 𝒈 𝒚
= 𝒙𝟒𝒚 + 𝒙𝟑𝒚𝟐 −𝟏
𝟒𝒙𝟒 + 𝒈(𝒚)
𝝏𝑭
𝝏𝒚= 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑𝒚 + 𝒈′(𝒚)
karena 𝝏𝑭
𝝏𝒚= 𝑮(𝒙, 𝒚), sehingga :
𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝟑(𝒙 + 𝟐𝒚)
𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑𝒚 → 𝒈′ 𝒚 = 𝟎
→ 𝒈 𝒚 = 𝑪
Solusi PD : 𝒙𝟒𝒚 + 𝒙𝟑𝒚𝟐 −𝟏
𝟒𝒙𝟒 + 𝑪
-
8
Contoh 2
2. 𝒚(𝒙 + 𝒚 + 𝟏)𝒅𝒙 + 𝒙 𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎
Penyelesaian :
Misal :
𝑴 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 + 𝒚 → 𝝏𝑴
𝝏𝒚= 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏
𝑵 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 + 𝟐𝒙 → 𝝏𝑵
𝝏𝒙= 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐
𝝏𝑴
𝝏𝒚≠
𝝏𝑵
𝝏𝒙 →
𝟏
𝑴
𝝏𝑴
𝝏𝒚−
𝝏𝑵
𝝏𝒙=
−(𝒙+𝒚+𝟏)
𝒚(𝒙+𝒚+𝟏)= −
𝟏
𝒚
Fungsi dari y saja
Sehingga FI adalah :
−𝟏
𝒚𝒅𝒚
𝒆= 𝒍𝒏𝒆 𝒚 = 𝒚
Contoh 2 (lanjutan)
Selanjutnya diperoleh PD Eksak sebagai berikut :
𝒚𝟐 𝒙 + 𝒚 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝒙𝒚 𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎
𝝏𝑭
𝝏𝒚𝒅𝒙 +
𝝏𝑮
𝝏𝒙𝒅𝒚 = 𝟎
Karena PD tersebut sudah berbentuk PD Eksak, maka dapat
digunakan Penyelesaian PD Eksak.
ambil 𝝏𝑭
𝝏𝒚= 𝒚𝟐 𝒙 + 𝒚 + 𝟏
= 𝒙𝒚𝟐+𝒚𝟑 + 𝒚𝟐
-
9
Contoh 2 (lanjutan)
𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 + 𝒚𝟐 𝒅𝒙𝒙
+ 𝒈 𝒚
=𝟏
𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 + 𝒙𝒚𝟐 + 𝒈(𝒚)
𝝏𝑭
𝝏𝒚= 𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′(𝒚)
karena 𝝏𝑭
𝝏𝒚= 𝑮(𝒙, 𝒚), sehingga :
𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝒚(𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐)
𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 → 𝒈′ 𝒚 = 𝟎
→ 𝒈 𝒚 = 𝑪
Solusi PD : 𝟏
𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 + 𝒙𝒚𝟐 + 𝑪
Contoh 3
3. (𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝒚)𝒅𝒙 + (𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝒙)𝒅𝒚 = 𝟎
Penyelesaian :
Misal :
𝑴 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝒚 → 𝝏𝑴
𝝏𝒚= 𝟒𝒙𝟑𝒚 − 𝟏
𝑵 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝒙 → 𝝏𝑵
𝝏𝒙= 𝟒𝒙𝒚𝟑 − 𝟏
𝝏𝑴
𝝏𝒚≠
𝝏𝑵
𝝏𝒙
→ 𝝏𝑴
𝝏𝒚−
𝝏𝑵
𝝏𝒙= 𝟒𝒙𝟑𝒚 − 𝟏 − 𝟒𝒙𝒚𝟑 − 𝟏
= 𝟒𝒙𝒚 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐
-
10
Contoh 3 (lanjutan)
ambil 𝒗 = 𝒙𝒚 ⟹𝝏𝒗
𝝏𝒙= 𝒚 dan
𝝏𝒗
𝝏𝒚= 𝒙
𝑴𝝏𝒗
𝝏𝒚= 𝒙 𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝒚
𝑵𝝏𝒗
𝝏𝒙= 𝒚 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝒙
maka :
𝑴𝝏𝒗
𝝏𝒚− 𝑵
𝝏𝒗
𝝏𝒙= 𝟐𝒙𝟒𝒚𝟐 − 𝒙𝒚 − 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝒙𝒚
= 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐
Contoh 3 (lanjutan)
Sehingga FI adalah :
−𝟐
𝒙𝒚𝒅𝒚
𝒆= −𝟐. 𝒍𝒏𝒆 𝒙𝒚 =
𝟏
𝒙𝟐𝒚𝟐
Selanjutnya diperoleh PD Eksak sebagai berikut :
𝟏
𝒙𝟐𝒚𝟐𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝒚 𝒅𝒙 +
𝟏
𝒙𝟐𝒚𝟐𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎
𝝏𝑭
𝝏𝒚𝒅𝒙 +
𝝏𝑮
𝝏𝒙𝒅𝒚 = 𝟎
Karena PD tersebut sudah berbentuk PD Eksak, maka dapat
digunakan Penyelesaian PD Eksak.
-
11
Contoh 3 (lanjutan)
ambil 𝝏𝑭
𝝏𝒚=
𝟏
𝒙𝟐𝒚𝟐𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝒚
= 𝟐𝒙 −𝟏
𝒙𝟐𝒚
𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 + 𝒚𝟐 𝒅𝒙𝒙
+ 𝒈 𝒚
=𝟏
𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 + 𝒙𝒚𝟐 + 𝒈(𝒚)
𝝏𝑭
𝝏𝒚= 𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′(𝒚)
karena 𝝏𝑭
𝝏𝒚= 𝑮(𝒙, 𝒚), sehingga :
𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝒚(𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐)
𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 → 𝒈′ 𝒚 = 𝟎
→ 𝒈 𝒚 = 𝑪
Contoh 3 (lanjutan)
𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙 −𝟏
𝒙𝟐𝒚𝒅𝒙
𝒙+ 𝒈 𝒚
= 𝒙𝟐 +𝟏
𝒙𝒚+ 𝒈(𝒚)
𝝏𝑭
𝝏𝒚= −
𝟏
𝒙𝒚𝟐+ 𝒈′(𝒚)
karena 𝝏𝑭
𝝏𝒚= 𝑮(𝒙, 𝒚), sehingga :
−𝟏
𝒙𝒚𝟐+ 𝒈′ 𝒚 =
𝟏
𝒙𝟐𝒚𝟐𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝒙
−𝟏
𝒙𝒚𝟐+ 𝒈′ 𝒚 = 𝟐𝒚 −
𝟏
𝒙𝒚𝟐 → 𝒈′ 𝒚 = 𝟐𝒚
→ 𝒈 𝒚 = 𝒚𝟐
Solusi PD : 𝒙𝟐 +𝟏
𝒙𝒚+ 𝒚𝟐 = 𝟎
-
12
Latihan
xy’ + y + 4 = 0
(3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0
2x sin 3y dx + (3x2 cos 3y + 2y)dy = 0
cos y dx + (2y – x sin y)dy = 0
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!
