Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini...

Vektori

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 1 / 72

Osnovni pojmovi

O ravnini i prostoru:

dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznacavat cemo s E 2,

trodimenzionalni euklidski prostor (tj. bašprostor) cemo oznacavati sE 3

Nadalje:

tocke iz prostora oznacavat cemo s velikim tiskanim slovimaA,B,C ,P,Q, . . .duzinu s krajevima u tockama A i B oznacavat cemo s AB

udaljenost tocaka A i B oznacavat cemo s d(A,B) ili jošs |AB | (toje ujedno i duljina duzine AB).

Osnovni pojmovi

Nadalje:

Osnovni pojmovi

Nadalje:

Osnovni pojmovi

Nadalje:

Osnovni pojmovi

Nadalje:

Osnovni pojmovi

Nadalje:

tocke iz prostora oznacavat cemo s velikim tiskanim slovimaA,B,C ,P,Q, . . .

duzinu s krajevima u tockama A i B oznacavat cemo s AB

Osnovni pojmovi

Nadalje:

Osnovni pojmovi

Nadalje:

udaljenost tocaka A i B oznacavat cemo s d(A,B) ili jošs |AB |

(toje ujedno i duljina duzine AB).

Osnovni pojmovi

Nadalje:

Osnovni pojmovi

Motivacija.

Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:

1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.

temperatura zraka vjetar

Osnovni pojmovi

Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:

Osnovni pojmovi

1 samo intenzitet

- dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.

Osnovni pojmovi

1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,

2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.

Osnovni pojmovi

1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer

- ne mogu se opisati samo brojem.

Osnovni pojmovi

temperatura zraka

vjetar

Osnovni pojmovi

temperatura zraka

vjetar

Osnovni pojmovi

Neformalnije receno, do pojma "vektor" dolazimo tako da:

1 definiramo pojam usmjerene duzine,2 uvedemo relaciju slicnosti usmjerenih duzina (koja dijeli usmjereneduzine u klase),

3 definiramo vektor kao klasu slicnih usmjerenih duzina.

Ovo radimo jer ne zelimo da pojam vektor ovisi o polozaju u prostoru.

Osnovni pojmovi

1 definiramo pojam usmjerene duzine,

2 uvedemo relaciju slicnosti usmjerenih duzina (koja dijeli usmjereneduzine u klase),

Osnovni pojmovi

1 definiramo pojam usmjerene duzine,2 uvedemo relaciju slicnosti usmjerenih duzina

(koja dijeli usmjereneduzine u klase),

Osnovni pojmovi

Definicija.

Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka

ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.

Definicija. Usmjerene duzine−→AB i

−→CD su slicne (pišemo

−→AB ∼ −→CD), ako

duzine AD i BC imaju isto polovište.

Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.

Osnovni pojmovi

Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka

ure�en,

pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.

Osnovni pojmovi

ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine,

a tocka Bkrajem.

Osnovni pojmovi

Definicija.

Usmjerene duzine−→AB i

Osnovni pojmovi

−→CD su slicne

(pišemo−→AB ∼ −→CD), ako

Osnovni pojmovi

−→AB ∼ −→CD),

akoduzine AD i BC imaju isto polovište.

Osnovni pojmovi

Definicija.

Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.

Osnovni pojmovi

Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:

duljina,

smjer,

orijentacija.

Osnovni pojmovi

duljina,

smjer,

orijentacija.

Osnovni pojmovi

duljina,

smjer,

orijentacija.

Osnovni pojmovi

duljina,

smjer,

orijentacija.

Osnovni pojmovi

duljina,

smjer,

orijentacija.

Osnovni pojmovi

duljina,

smjer,

orijentacija.

Osnovni pojmovi

duljina,

smjer,

orijentacija.

Kazemo da su dva vektora:

kolinearni - ako imaju isti smjer (duljina i orijentacija mogu bitirazliciti).

Osnovni pojmovi

duljina,

smjer,

orijentacija.

kolinearni

- ako imaju isti smjer (duljina i orijentacija mogu bitirazliciti).

Osnovni pojmovi

duljina,

smjer,

orijentacija.

kolinearni - ako imaju isti smjer

(duljina i orijentacija mogu bitirazliciti).

Osnovni pojmovi

duljina,

smjer,

orijentacija.

Osnovni pojmovi

duljina,

smjer,

orijentacija.

Osnovni pojmovi

Definicija.

Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.

Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine

oblika−→PP.

Uocimo da za nul-vektor vrijedi:

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.

Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.

Osnovni pojmovi

Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Osnovni pojmovi

Nul-vektor oznacavamo s−→0 ,

predstavnici su mu sve usmjerene duzineoblika

−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Definicija.

Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Definicija. Neka je −→a 6= −→0 .

Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a

je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a ,

ali je duljine jedan.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Definicija.

Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.

Osnovni pojmovi

oblika−→PP.

duljina mu je nula,

smjer nema,

orijentaciju nema.

Osnovni pojmovi

Uvest cemo sljedece operacije s vektorima:

zbrajanje vektora

vektor + vektor = vektor ,

mnozenje vektora sa skalarom (brojem)

broj · vektor = vektor ,

skalarni produkt vektora

vektor · vektor = broj ,

vektorski produkt vektora

vektor × vektor = vektor .

Osnovni pojmovi

zbrajanje vektora

Osnovni pojmovi

zbrajanje vektora

Osnovni pojmovi

zbrajanje vektora

Osnovni pojmovi

zbrajanje vektora

Osnovni pojmovi

zbrajanje vektora

Osnovni pojmovi

zbrajanje vektora

Osnovni pojmovi

zbrajanje vektora

Osnovni pojmovi

zbrajanje vektora

Osnovni pojmoviZbrajanje vektora

Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je

vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.

pravilo trokuta pravilo paralelograma

Definicija.

Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je

Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori.

Zbroj vektora −→a i−→b je

pravilo trokuta

pravilo paralelograma

pravilo trokuta

Osnovni pojmovi

Zadatak.

Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera i duljine. Odredi

graficki vektor −→a +−→b po: a) pravilu trokuta, b) pravilu paralelograma!

Osnovni pojmovi

Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera i duljine.

Odredigraficki vektor −→a +−→b po: a) pravilu trokuta, b) pravilu paralelograma!

Osnovni pojmovi

Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera i duljine. Odredi

graficki vektor −→a +−→b po:

a) pravilu trokuta, b) pravilu paralelograma!

Osnovni pojmovi

graficki vektor −→a +−→b po: a) pravilu trokuta,

b) pravilu paralelograma!

Osnovni pojmovi

graficki vektor −→a +−→b po: a) pravilu trokuta, b) pravilu paralelograma!

Osnovni pojmovi

Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:

Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),

Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),

Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),

Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).

Osnovni pojmovi

Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c )

(asocijativnost),

Osnovni pojmovi

Z2) −→a +−→b = −→b +−→a

(komutativnost),

Osnovni pojmovi

Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a

(postojanjeneutralnog elementa),

Osnovni pojmovi

Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0

(postojanje suprotnog elementa).

Osnovni pojmovi

Pravilo mnogokuta.

Ako su zadani vektori

−→a 1 =−−→OA1,

−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =

−−−−→An−1An,

onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =

−−→OAn.

Ovo pravilo slijedi iz pravila trokuta i svojstva asocijativnosti zbrajanja.

Osnovni pojmovi

Pravilo mnogokuta. Ako su zadani vektori

−→a 1 =−−→OA1,

−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =

−−−−→An−1An,

onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =

−−→OAn.

Osnovni pojmovi

−→a 1 =−−→OA1,

−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =

−−−−→An−1An,

onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =

−−→OAn.

Osnovni pojmovi

−→a 1 =−−→OA1,

−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =

−−−−→An−1An,

onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =

−−→OAn.

Osnovni pojmovi

−→a 1 =−−→OA1,

−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =

−−−−→An−1An,

onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =

−−→OAn.

Osnovni pojmovi

−→a 1 =−−→OA1,

−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =

−−−−→An−1An,

onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =

−−→OAn.

Osnovni pojmovi

−→a 1 =−−→OA1,

−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =

−−−−→An−1An,

onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =

−−→OAn.

Osnovni pojmovi

−→a 1 =−−→OA1,

−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =

−−−−→An−1An,

onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =

−−→OAn.

Osnovni pojmovi

−→a 1 =−−→OA1,

−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =

−−−−→An−1An,

onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =

−−→OAn.

Osnovni pojmovi

−→a 1 =−−→OA1,

−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =

−−−−→An−1An,

onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =

−−→OAn.

Osnovni pojmovi

Zadatak.

Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera i duljine.Odredi graficki vektor −→a +−→b +−→c .

Osnovni pojmovi

Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera i duljine.

Odredi graficki vektor −→a +−→b +−→c .

Osnovni pojmovi

Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera i duljine.Odredi graficki vektor −→a +−→b +−→c .

Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom

Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:

λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:

duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.

Definicija.

Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:

Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar.

Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:

Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a ,

a koji je definiran sa:

λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .

U suprotnom, vektor λ−→a ima:

duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,

smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.

duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,

orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.

Napomena.

Vektor−→b je kolinearan vektoru −→a ako i samo je

−→b = λ−→a

za neki λ ∈ R.

Napomena. Vektor−→b je kolinearan vektoru −→a

ako i samo je−→b = λ−→a

za neki λ ∈ R.

Napomena. Vektor−→b je kolinearan vektoru −→a ako i samo je

−→b = λ−→a

za neki λ ∈ R.

Osnovni pojmovi

Zadatak.

Skiciraj neki vektor −→a . Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32

−→a .

Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera. Odredi graficki

vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .

Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera. Odredigraficki vektor −→a + 1

2−→b − 2−→c .

Osnovni pojmovi

Zadatak. Skiciraj neki vektor −→a .

Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32

−→a .

vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .

2−→b − 2−→c .

Osnovni pojmovi

Zadatak. Skiciraj neki vektor −→a . Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32

−→a .

vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .

2−→b − 2−→c .

Osnovni pojmovi

−→a .

Zadatak.

Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera. Odredi graficki

vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .

2−→b − 2−→c .

Osnovni pojmovi

−→a .

Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera.

Odredi grafickivektor: a) 2−→a + 1

2−→b , b) −→a − 3−→b .

2−→b − 2−→c .

Osnovni pojmovi

−→a .

vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .

2−→b − 2−→c .

Osnovni pojmovi

−→a .

vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .

Zadatak.

Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera. Odredigraficki vektor −→a + 1

2−→b − 2−→c .

Osnovni pojmovi

−→a .

vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .

Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera.

Odredigraficki vektor −→a + 1

2−→b − 2−→c .

Osnovni pojmovi

−→a .

vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .

2−→b − 2−→c .

Osnovni pojmovi

Mnozenje vektora skalarom ima sljedeca svojstva:

M1) λ(−→a +−→b ) = λ−→a + λ−→b (distributivnost prema zbrajanju u V 3),

M2) (λ+ µ)−→a = λ−→a + µ−→a (distributivnost prema zbrajanju u R),

M3) (λµ)−→a = λ(µ−→a ) (kompatibilnost mnozenja),M4) 0−→a = −→0 ,M5) 1−→a = −→a (netrivijalnost mnozenja).

Osnovni pojmovi

M3) (λµ)−→a = λ(µ−→a ) (kompatibilnost mnozenja),

M4) 0−→a = −→0 ,M5) 1−→a = −→a (netrivijalnost mnozenja).

Osnovni pojmovi

M3) (λµ)−→a = λ(µ−→a ) (kompatibilnost mnozenja),M4) 0−→a = −→0 ,

M5) 1−→a = −→a (netrivijalnost mnozenja).

Osnovni pojmovi

Koordinatizacija ravnine

Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:

fiksiramo ishodišnu tocku O,

fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:

me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (

∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),cine desnu dvojku vektora.

me�usobno okomiti (~i⊥~j),

jedinicne duljine (∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),

cine desnu dvojku vektora.

∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),

cine desnu dvojku vektora.

Svaki vektor −→a ∈ V 2 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:

pocetak u ishodištu O(0, 0),

kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay ).

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .

Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j ,

|−→a | =√a2x + a2y .

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .

Koordinatizacija prostora

fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:

me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (

∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.

me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),

jedinicne duljine (∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),

cine desnu trojku vektora.

∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),

cine desnu trojku vektora.

pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),

kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .

Dakle, vrijedi

−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k,

|−→a | =√a2x + a2y + a2z .

Dakle, vrijedi

Zadatak.

Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:

a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).

Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.

Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.

Zadatak. Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:

a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).

a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);

b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).

a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);

c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).

a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).

Zadatak.

Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.

a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).

Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).

Napiši radij vektor −→a tocke A.

a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).

Zadatak.

Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.

a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).

Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k.

Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.

a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).

Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom

Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

Propozicija.

Neka su −→a = ax−→i + ay

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

u ravnini,

a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

u ravnini, a λ ∈ R skalar.

Tada vrijedi

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

Propozicija.

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k dva vektora u prostoru, a λ ∈ R skalar. Tada

vrijedi

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j + (az + bz )

−→k ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j + (λaz )

−→k .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k dva vektora u prostoru,

a λ ∈ R skalar. Tadavrijedi

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j + (az + bz )

−→k ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j + (λaz )

−→k .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k dva vektora u prostoru, a λ ∈ R skalar.

Tadavrijedi

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j + (az + bz )

−→k ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j + (λaz )

−→k .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

vrijedi

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j + (az + bz )

−→k ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j + (λaz )

−→k .

−→j i−→b = bx

−→i + by

−→j dva vektora

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j .

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

vrijedi

−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )

−→j + (az + bz )

−→k ,

λ−→a = (λax )−→i + (λay )

−→j + (λaz )

−→k .

Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru

Zadatak.

Zadani su vektori

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

Zadatak. Zadani su vektori

−→a = 2~i −~j +~k ,

−→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .

Rješenje. Vrijedi:

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje.

Vrijedi:

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b =

(2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k =

= 3~i + 2~j − 3~k2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a =

2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) =

4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k

−−→b = −~i − 3~j + 4~k−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) =

= −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b =

−~i − 3~j + 4~k−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) =

= −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b =

(2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) =

= −~i − 10~j + 13~k

−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.

−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k

2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k

−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k

Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB

Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

Dokaz. Po pravilu trokuta vrijedi

−→OB =

−→OA+

−→AB,

pa je onda

−→AB =

−→OB −−→OA =

(bx−→i + by

−→j)−(ax−→i + ay

−→j)

= (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j . QED

Propozicija.

Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

−→OB =

−→OA+

−→AB,

pa je onda

−→AB =

−→OB −−→OA =

(bx−→i + by

−→j)−(ax−→i + ay

−→j)

= (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j . QED

Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.

Tada je −→AB = (bx − ax )

−→i + (by − ay )

−→j .

−→OB =

−→OA+

−→AB,

pa je onda

−→AB =

−→OB −−→OA =

(bx−→i + by

−→j)−(ax−→i + ay

−→j)

= (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j . QED

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

−→OB =

−→OA+

−→AB,

pa je onda

−→AB =

−→OB −−→OA =

(bx−→i + by

−→j)−(ax−→i + ay

−→j)

= (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j . QED

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

Dokaz.

Po pravilu trokuta vrijedi

−→OB =

−→OA+

−→AB,

pa je onda

−→AB =

−→OB −−→OA =

(bx−→i + by

−→j)−(ax−→i + ay

−→j)

= (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j . QED

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

−→OB =

−→OA+

−→AB,

pa je onda

−→AB =

−→OB −−→OA =

(bx−→i + by

−→j)−(ax−→i + ay

−→j)

= (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j . QED

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

−→OB =

−→OA+

−→AB,

pa je onda

−→AB =

−→OB −−→OA =

(bx−→i + by

−→j)−(ax−→i + ay

−→j)

= (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j . QED

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

−→OB =

−→OA+

−→AB,

pa je onda

−→AB =

−→OB −−→OA =

(bx−→i + by

−→j)−(ax−→i + ay

−→j)

= (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j . QED

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

−→OB =

−→OA+

−→AB,

pa je onda

−→AB =

−→OB −−→OA =

(bx−→i + by

−→j)−(ax−→i + ay

−→j)

= (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j . QED

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

−→OB =

−→OA+

−→AB,

pa je onda

−→AB =

−→OB −−→OA =

(bx−→i + by

−→j)−(ax−→i + ay

−→j)

= (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

−→OB =

−→OA+

−→AB,

pa je onda

−→AB =

−→OB −−→OA =

(bx−→i + by

−→j)−(ax−→i + ay

−→j)

= (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j . QED

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

Propozicija.

Neka su A(ax , ay , az ) i B(bx , by , bz ) proizvoljne tocke uprostoru. Tada vrijedi

−→AB = (bx − ax )

−→i + (by − ay )

−→j + (bz − az )

−→k .

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

Propozicija. Neka su A(ax , ay , az ) i B(bx , by , bz ) proizvoljne tocke uprostoru.

Tada vrijedi

−→AB = (bx − ax )

−→i + (by − ay )

−→j + (bz − az )

−→k .

AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )

−→j .

Propozicija. Neka su A(ax , ay , az ) i B(bx , by , bz ) proizvoljne tocke uprostoru. Tada vrijedi

−→AB = (bx − ax )

−→i + (by − ay )

−→j + (bz − az )

−→k .

Zadatak.

Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

Zadatak. Zadane su tocke A i B sa:

a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1),

b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3).

Odredi vektor−→AB.

Rješenje. a) Vrijedi

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje.

a) Vrijedi

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a)

Vrijedi

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi

−→AB =

(2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =

~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB =

(−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k =

− 3~i + 4~j

−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k

b) Vrijedi

−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j

Zadatak.

Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi

−→OB =

−→OA+

−→AB = (

−→i + 2

−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)

= 3−→i +−→j + 2

−→k ⇒ B(3, 1, 2)

Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je

A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi

−→OB =

−→OA+

−→AB = (

−→i + 2

−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)

= 3−→i +−→j + 2

−→k ⇒ B(3, 1, 2)

Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1)

i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi

−→OB =

−→OA+

−→AB = (

−→i + 2

−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)

= 3−→i +−→j + 2

−→k ⇒ B(3, 1, 2)

Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.

Rješenje. Vrijedi

−→OB =

−→OA+

−→AB = (

−→i + 2

−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)

= 3−→i +−→j + 2

−→k ⇒ B(3, 1, 2)

Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje.

Vrijedi

−→OB =

−→OA+

−→AB = (

−→i + 2

−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)

= 3−→i +−→j + 2

−→k ⇒ B(3, 1, 2)

Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi

−→OB =

−→OA+

−→AB = (

−→i + 2

−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)

= 3−→i +−→j + 2

−→k ⇒ B(3, 1, 2)

−→OB =

−→OA+

−→AB =

(−→i + 2

−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)

= 3−→i +−→j + 2

−→k ⇒ B(3, 1, 2)

−→OB =

−→OA+

−→AB = (

−→i + 2

−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)

= 3−→i +−→j + 2

−→k ⇒ B(3, 1, 2)

−→OB =

−→OA+

−→AB = (

−→i + 2

−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)

= 3−→i +−→j + 2

−→k

⇒ B(3, 1, 2)

−→OB =

−→OA+

−→AB = (

−→i + 2

−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)

= 3−→i +−→j + 2

−→k ⇒ B(

3, 1, 2)

−→OB =

−→OA+

−→AB = (

−→i + 2

−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)

= 3−→i +−→j + 2

−→k ⇒ B(3, 1, 2)

Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruDuljina vektora

Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay

−→j vektor u ravnini. Tada je

|−→a | =√a2x + a2y .

−→j + az

−→k vektor u prostoru. Tada

|−→a | =√a2x + a2y + a2z .

Propozicija.

Neka je −→a = ax−→i + ay

|−→a | =√a2x + a2y .

−→j + az

|−→a | =√a2x + a2y + a2z .

−→j vektor u ravnini.

Tada je

|−→a | =√a2x + a2y .

−→j + az

|−→a | =√a2x + a2y + a2z .

|−→a | =√a2x + a2y .

−→j + az

|−→a | =√a2x + a2y + a2z .

|−→a | =√a2x + a2y .

Propozicija.

−→j + az

|−→a | =√a2x + a2y + a2z .

|−→a | =√a2x + a2y .

−→j + az

−→k vektor u prostoru.

Tadaje

|−→a | =√a2x + a2y + a2z .

|−→a | =√a2x + a2y .

−→j + az

|−→a | =√a2x + a2y + a2z .

|−→a | =√a2x + a2y .

−→j + az

|−→a | =√a2x + a2y + a2z .

|−→a | =√a2x + a2y .

−→j + az

|−→a | =√a2x + a2y + a2z .

Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruJedinicni vektor

Uocimo da vektor 1|−→a | ·

−→a ima:

smjer i orijentaciju kao vektor −→a ,duljinu 1, jer vrijedi ∣∣∣∣ 1|−→a | · −→a

∣∣∣∣ = 1|−→a | · |

−→a | = 1.

Zakljucujemo da je−→a 0 =

1|−→a | ·

−→a .

−→a ima:

∣∣∣∣ = 1|−→a | · |

−→a | = 1.

1|−→a | ·

−→a .

−→a ima:

smjer i orijentaciju kao vektor −→a ,

duljinu 1, jer vrijedi ∣∣∣∣ 1|−→a | · −→a∣∣∣∣ = 1|−→a | · |

−→a | = 1.

1|−→a | ·

−→a .

−→a ima:

smjer i orijentaciju kao vektor −→a ,duljinu 1,

jer vrijedi ∣∣∣∣ 1|−→a | · −→a∣∣∣∣ = 1|−→a | · |

−→a | = 1.

1|−→a | ·

−→a .

−→a ima:

∣∣∣∣ =

1|−→a | · |

−→a | = 1.

1|−→a | ·

−→a .

−→a ima:

∣∣∣∣ = 1|−→a | · |

−→a | =

1|−→a | ·

−→a .

−→a ima:

∣∣∣∣ = 1|−→a | · |

−→a | = 1.

1|−→a | ·

−→a .

−→a ima:

∣∣∣∣ = 1|−→a | · |

−→a | = 1.

1|−→a | ·

−→a .

Propozicija.

Ako je −→a = ax−→i + ay

−→j , onda je

−→a 0 =1√

a2x + a2y

(ax−→i + ay

−→j)=

ax√a2x + a2y

−→i +

ay√a2x + a2y

−→j .

Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay

−→j + az

−→k , onda je

−→a0 =1√

a2x + a2y + a2z

(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)=

=ax√

a2x + a2y + a2z

−→i +

ay√a2x + a2y + a2z

−→j +

az√a2x + a2y + a2z

−→k .

−→j ,

onda je

−→a 0 =1√

a2x + a2y

(ax−→i + ay

−→j)=

ax√a2x + a2y

−→i +

ay√a2x + a2y

−→j .

−→j + az

−→k , onda je

−→a0 =1√

a2x + a2y + a2z

(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)=

=ax√

a2x + a2y + a2z

−→i +

−→j +

−→k .

−→j , onda je

−→a 0 =1√

a2x + a2y

(ax−→i + ay

−→j)=

ax√a2x + a2y

−→i +

ay√a2x + a2y

−→j .

−→j + az

−→k , onda je

−→a0 =1√

a2x + a2y + a2z

(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)=

=ax√

a2x + a2y + a2z

−→i +

−→j +

−→k .

−→j , onda je

−→a 0 =1√

a2x + a2y

(ax−→i + ay

−→j)=

ax√a2x + a2y

−→i +

ay√a2x + a2y

−→j .

−→j + az

−→k , onda je

−→a0 =1√

a2x + a2y + a2z

(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)=

=ax√

a2x + a2y + a2z

−→i +

−→j +

−→k .

−→j , onda je

−→a 0 =1√

a2x + a2y

(ax−→i + ay

−→j)=

ax√a2x + a2y

−→i +

ay√a2x + a2y

−→j .

Propozicija.

Ako je −→a = ax−→i + ay

−→j + az

−→k , onda je

−→a0 =1√

a2x + a2y + a2z

(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)=

=ax√

a2x + a2y + a2z

−→i +

−→j +

−→k .

−→j , onda je

−→a 0 =1√

a2x + a2y

(ax−→i + ay

−→j)=

ax√a2x + a2y

−→i +

ay√a2x + a2y

−→j .

−→j + az

−→k ,

onda je

−→a0 =1√

a2x + a2y + a2z

(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)=

=ax√

a2x + a2y + a2z

−→i +

−→j +

−→k .

−→j , onda je

−→a 0 =1√

a2x + a2y

(ax−→i + ay

−→j)=

ax√a2x + a2y

−→i +

ay√a2x + a2y

−→j .

−→j + az

−→k , onda je

−→a0 =1√

a2x + a2y + a2z

(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)=

=ax√

a2x + a2y + a2z

−→i +

−→j +

−→k .

−→j , onda je

−→a 0 =1√

a2x + a2y

(ax−→i + ay

−→j)=

ax√a2x + a2y

−→i +

ay√a2x + a2y

−→j .

−→j + az

−→k , onda je

−→a0 =1√

a2x + a2y + a2z

(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)=

=ax√

a2x + a2y + a2z

−→i +

−→j +

−→k .

Zadatak.

Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k.

Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a ,

tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a .

Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.

Rješenje. Vrijedi:

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje.

Vrijedi:

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:

|−→a | =

√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 =

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =

1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a =

13(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) =

23~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =

√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99=

|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =

√9 = 3

−→a 0 =1|−→a |−→a = 1

3(2~i −~j + 2~k) = 2

3~i − 1

Provjera:

|−→a 0| =√(23)2 + (−1

3)2 + (

23)2 =

√49+19+49=

√99= 1

Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruPrikloni kutevi

Definicija. Neka je −→a vektor u ravnini (odnosno prostoru). Prikloni kutevivektora −→a su kutevi koje taj vektor zatvara s vektorima

−→i i−→j (odnosno

vektorima−→i ,−→j i−→k ), a oznacavamo ih redom s α i β (odnosno α, β i γ).

Definicija.

Neka je −→a vektor u ravnini (odnosno prostoru). Prikloni kutevivektora −→a su kutevi koje taj vektor zatvara s vektorima

Definicija. Neka je −→a vektor u ravnini (odnosno prostoru).

Prikloni kutevivektora −→a su kutevi koje taj vektor zatvara s vektorima

vektorima−→i ,−→j i−→k ),

a oznacavamo ih redom s α i β (odnosno α, β i γ).

Propozicija.

−→j ravninski vektor. Tada je

cos α =ax√a2x + a2y

, cos β =ay√a2x + a2y

−→j ravninski vektor.

Tada je

Propozicija.

−→j + az

−→k prostorni vektor. Tada je

cos α =ax√

a2x + a2y + a2z, cos β =

, cosγ =az√

a2x + a2y + a2z.

−→j + az

−→k prostorni vektor.

Tada je

cos α =ax√

, cosγ =az√

a2x + a2y + a2z.

−→j + az

cos α =ax√

a2x + a2y + a2z,

cos β =ay√

a2x + a2y + a2z, cosγ =

−→j + az

cos α =ax√

cosγ =az√

a2x + a2y + a2z.

−→j + az

cos α =ax√

, cosγ =az√

a2x + a2y + a2z.

−→j + az

cos α =ax√

, cosγ =az√

a2x + a2y + a2z.

−→j + az

cos α =ax√

, cosγ =az√

a2x + a2y + a2z.

Uocimo da vrijedi:

−→a0 =ax√

a2x + a2y + a2z︸︷︷︸cos α

−→i +

ay√a2x + a2y + a2z︸︷︷︸

cos β

−→j +

az√a2x + a2y + a2z︸︷︷︸

cos γ

−→k .

−→j + az

cos α =ax√

, cosγ =az√

a2x + a2y + a2z.

Uocimo da vrijedi:

−→a0 =ax√

a2x + a2y + a2z︸︷︷︸cos α

−→i +

ay√a2x + a2y + a2z︸︷︷︸

cos β

−→j +

az√a2x + a2y + a2z︸︷︷︸

cos γ

−→k .

Zadatak.

Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.

Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

Rješenje.

Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:

1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:

1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,

2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =

√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 =

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =

12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) =

12~i +

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12

⇒ α = π3

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α =

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22

⇒ β = π4

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β =

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12

⇒ γ = 2π3

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ =

|−→a | =√1+ (

√2)2 + (−1)2 =

√4 = 2

−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1

√22~j − 1

Sada je

cos α = 12 ⇒ α = π

cos β =√22 ⇒ β = π

cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3

Mnozenje vektora

Podsjetimo se, trebamo uvesti jošdvije operacije sa vektorima:

vektor · vektor = broj

vektorski produktvektor × vektor = vektor

Mnozenje vektora

vektorski produkt

vektor × vektor = vektor

Mnozenje vektora

Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora

Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).

Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo

−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:

ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,

ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,

ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.

Definicija.

Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora,

te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).Skalarni produkt vektora −→a i

−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj)

kojeg oznacavamo−→a · −→b , a koji je definiran formulom

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

−→a · −→b ,

a koji je definiran formulom

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

Napomena.

Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula

ako je −→a = −→0 ili−→b =

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

Napomena.

Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ,

te vrijedi:

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

ϕ je oštri kut ⇔

broj −→a · −→b je pozitivan,

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

ϕ je pravi kut ⇔

broj −→a · −→b je nula,

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

ϕ je tupi kut ⇔

broj −→a · −→b je negativan.

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.

−→0 ili je −→a ⊥−→b .

Mnozenje vektora

Zadatak.

Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

Rješenje. a) Vrijedi:

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:

a) |−→a | = 2,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

Rješenje.

a) Vrijedi:

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

Rješenje. a)

Vrijedi:

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b =

|−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ =

2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

2 · 3 · 12= 3,

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b =

|−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ =

1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

1 · 2 · (−√22) = −

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) =

−√2.

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,

b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π

3= 2 · 3 · 1

b) Vrijedi

−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π

4= 1 · 2 · (−

√22) = −

Mnozenje vektora

Zadatak.

Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:

a) tupi b) pravi, c) oštri, d) oštri.

Mnozenje vektora

Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1,

b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0,

c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2,

d) −→a · −→b = 12 .

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

Rješenje.

Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

tupi b) pravi, c) oštri, d) oštri.

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

a) tupi

b) pravi, c) oštri, d) oštri.

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

a) tupi b)

pravi, c) oštri, d) oštri.

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

a) tupi b) pravi,

c) oštri, d) oštri.

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

a) tupi b) pravi, c)

oštri, d) oštri.

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

a) tupi b) pravi, c) oštri,

d) oštri.

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

a) tupi b) pravi, c) oštri, d)

oštri.

Mnozenje vektora

a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .

Mnozenje vektora

Geometrijsko znacenje.

Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:

duljine vektora −→a (velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora

−→b na vektor −→a (velicina

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).

Mnozenje vektora

Geometrijsko znacenje. Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).

Mnozenje vektora

duljine vektora −→a

(velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).

Mnozenje vektora

duljine vektora −→a (velicina |−→a |) i

skalarne projekcije vektora−→b na vektor −→a (velicina

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).

Mnozenje vektora

−→b na vektor −→a

(velicina∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).

Mnozenje vektora

∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).

Mnozenje vektora

Skalarni produkt ima sljedeca svojstva:

S1) −→a · −→b = −→b · −→a (komutativnost),

S2) −→a (−→b +−→c ) = −→a −→b +−→a −→c (distributivnost),

S3) λ(−→a · −→b ) = (λ−→a ) · −→b = −→a · (λ−→b ) (homogenost),

S4) vrijedi

−→i · −→i =

−→j · −→j = −→k · −→k = 1,

−→i · −→j =

−→i · −→k = −→j · −→k = 0,

(skalarni produkt koordinatnih vektora),

S5) −→a · −→a = |−→a |2 (kvadriranje vektora).

Mnozenje vektora

S4) vrijedi

−→i · −→i =

−→j · −→j = −→k · −→k = 1,

−→i · −→j =

−→i · −→k = −→j · −→k = 0,

Mnozenje vektora

S4) vrijedi

−→i · −→i =

−→j · −→j = −→k · −→k = 1,

−→i · −→j =

−→i · −→k = −→j · −→k = 0,

Mnozenje vektora

S4) vrijedi

−→i · −→i =

−→j · −→j = −→k · −→k = 1,

−→i · −→j =

−→i · −→k = −→j · −→k = 0,

Mnozenje vektora

S4) vrijedi

−→i · −→i =

−→j · −→j = −→k · −→k = 1,

−→i · −→j =

−→i · −→k = −→j · −→k = 0,

Mnozenje vektora

S4) vrijedi

−→i · −→i =

−→j · −→j = −→k · −→k = 1,

−→i · −→j =

−→i · −→k = −→j · −→k = 0,

Mnozenje vektora

Zadatak.

Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi

−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +

+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =

= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b

ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k

i−→b = 2~i + 4~j + 5~k.

Rješenje. Vrijedi

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.

Rješenje. Vrijedi

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje.

Vrijedi

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi

−→a · −→b =

(2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) =

{distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} =

= (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) +

+(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} == 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) =

{homogenost} == 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)

−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) +

+6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) =

{koord. vek.} == 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) =

{koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =

= 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.

Mnozenje vektora

Propozicija.

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k vektori. Tada vrijedi

−→a · −→b = axbx + ayby + azbz .

Dokaz. Iz svojstava skalarnog mnozenja slijedi

−→a · −→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k) (bx−→i + by

−→j + bz

−→k)=

= {distributivnost,homogenost} =

= axbx (−→i · −→i ) + axby (

−→i · −→j ) + axbz (

−→i · −→k ) +

+aybx (−→j · −→i ) + ayby (

−→j · −→j ) + aybz (

−→j · −→k ) +

+azbx (−→k · −→i ) + azby (

−→k · −→j ) + azbz (

−→k · −→k ) =

= {koord. vek.} = axbx + ayby + azbz .

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k vektori.

Tada vrijedi

−→a · −→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k) (bx−→i + by

−→j + bz

−→k)=

= axbx (−→i · −→i ) + axby (

−→i · −→j ) + axbz (

−→i · −→k ) +

+aybx (−→j · −→i ) + ayby (

−→j · −→j ) + aybz (

−→j · −→k ) +

+azbx (−→k · −→i ) + azby (

−→k · −→j ) + azbz (

−→k · −→k ) =

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a · −→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k) (bx−→i + by

−→j + bz

−→k)=

= axbx (−→i · −→i ) + axby (

−→i · −→j ) + axbz (

−→i · −→k ) +

+aybx (−→j · −→i ) + ayby (

−→j · −→j ) + aybz (

−→j · −→k ) +

+azbx (−→k · −→i ) + azby (

−→k · −→j ) + azbz (

−→k · −→k ) =

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

Dokaz.

Iz svojstava skalarnog mnozenja slijedi

−→a · −→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k) (bx−→i + by

−→j + bz

−→k)=

= axbx (−→i · −→i ) + axby (

−→i · −→j ) + axbz (

−→i · −→k ) +

+aybx (−→j · −→i ) + ayby (

−→j · −→j ) + aybz (

−→j · −→k ) +

+azbx (−→k · −→i ) + azby (

−→k · −→j ) + azbz (

−→k · −→k ) =

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a · −→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k) (bx−→i + by

−→j + bz

−→k)=

= axbx (−→i · −→i ) + axby (

−→i · −→j ) + axbz (

−→i · −→k ) +

+aybx (−→j · −→i ) + ayby (

−→j · −→j ) + aybz (

−→j · −→k ) +

+azbx (−→k · −→i ) + azby (

−→k · −→j ) + azbz (

−→k · −→k ) =

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a · −→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k) (bx−→i + by

−→j + bz

−→k)=

= axbx (−→i · −→i ) + axby (

−→i · −→j ) + axbz (

−→i · −→k ) +

+aybx (−→j · −→i ) + ayby (

−→j · −→j ) + aybz (

−→j · −→k ) +

+azbx (−→k · −→i ) + azby (

−→k · −→j ) + azbz (

−→k · −→k ) =

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a · −→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k) (bx−→i + by

−→j + bz

−→k)=

= axbx (−→i · −→i ) + axby (

−→i · −→j ) + axbz (

−→i · −→k ) +

+aybx (−→j · −→i ) + ayby (

−→j · −→j ) + aybz (

−→j · −→k ) +

+azbx (−→k · −→i ) + azby (

−→k · −→j ) + azbz (

−→k · −→k ) =

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a · −→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k) (bx−→i + by

−→j + bz

−→k)=

= axbx (−→i · −→i ) + axby (

−→i · −→j ) + axbz (

−→i · −→k ) +

+aybx (−→j · −→i ) + ayby (

−→j · −→j ) + aybz (

−→j · −→k ) +

+azbx (−→k · −→i ) + azby (

−→k · −→j ) + azbz (

−→k · −→k ) =

= {koord. vek.} =

axbx + ayby + azbz .

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a · −→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k) (bx−→i + by

−→j + bz

−→k)=

= axbx (−→i · −→i ) + axby (

−→i · −→j ) + axbz (

−→i · −→k ) +

+aybx (−→j · −→i ) + ayby (

−→j · −→j ) + aybz (

−→j · −→k ) +

+azbx (−→k · −→i ) + azby (

−→k · −→j ) + azbz (

−→k · −→k ) =

Mnozenje vektora

Zadatak.

Odredi −→a · −→b ako je:

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

Rješenje.

a) Vrijedi:

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

Rješenje. a)

Vrijedi:

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b =

2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+

1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+

3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 =

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b =

1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+

(−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+

4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) =

− 7.

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,

b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.

Mnozenje vektora

Zadatak.

Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

Rješenje.

a) Vrijedi:

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

Rješenje. a)

Vrijedi:

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b =

2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 =

0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0

⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒

−→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b =

2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) =

3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3

⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒

−→a /⊥−→b .

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k

, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k

−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,

b) Vrijedi

−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .

Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora

Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i

−→b je

vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:

duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,

smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,

orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.

Definicija.

Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i

−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

Definicija. Neka su −→a i−→b vektori.

Vektorski produkt vektora −→a i−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

vektor

kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b ,

a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:

−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0

ako je −→a = −→0 ili−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

−→b je

−→b =

−→0 ili −→a ‖−→b .

Mnozenje vektora

Vektorski produkt ima sljedeca svojstva:

V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a

)(anti-komutativnost),

V2) −→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c (distributivnost),

V3) λ(−→a ×−→b ) = (λ−→a )×−→b = −→a × (λ−→b ) (homogenost),

V4) vrijedi

−→i ×−→i =

−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,

−→i ×−→j =

−→k ,

−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,

−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,

(produkt koordinatnih vektora),

V5) vrijedi∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = |−→a | ∣∣∣−→b ∣∣∣ sin ϕ, pri cemu je ϕ = ](−→a ,−→b )

(duljina vektorskog produkta).

Mnozenje vektora

V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a

V4) vrijedi

−→i ×−→i =

−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,

−→i ×−→j =

−→k ,

−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,

−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,

Mnozenje vektora

V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a

V4) vrijedi

−→i ×−→i =

−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,

−→i ×−→j =

−→k ,

−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,

−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,

Mnozenje vektora

V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a

V4) vrijedi

−→i ×−→i =

−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,

−→i ×−→j =

−→k ,

−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,

−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,

Mnozenje vektora

V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a

V4) vrijedi

−→i ×−→i =

−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,

−→i ×−→j =

−→k ,

−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,

−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,

Mnozenje vektora

V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a

V4) vrijedi

−→i ×−→i =

−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,

−→i ×−→j =

−→k ,

−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,

−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,

Mnozenje vektora

Zadatak.

Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi

−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b

akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k

i−→b = 2~i + 4~j + 5~k.

Rješenje. Vrijedi

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.

Rješenje. Vrijedi

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje.

Vrijedi

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi

−→a ×−→b =

(2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) =

{distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} =

= 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)

−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) +

+6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} == 4

−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) =

{koord. vek.} == 4

−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i +

+6~j + 12(−~i) + 15 −→0 == −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)

−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =

= −22~i − 4~j + 12~k

Mnozenje vektora

Propozicija.

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

ax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )

−→i − (axbz − azbx )

−→j + (axby − aybx )

−→k .

Dokaz. Slijedi iz svojstava V1)-V4) vektorskog produkta primijenjenih na

−→a ×−→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)×(bx−→i + by

−→j + bz

−→k). QED

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k vektori.

Tada vrijedi

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

ax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )

−→k .

−→a ×−→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)×(bx−→i + by

−→j + bz

−→k). QED

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

ax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ =

= (aybz − azby )−→i − (axbz − azbx )

−→k .

−→a ×−→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)×(bx−→i + by

−→j + bz

−→k). QED

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

ax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )

−→k .

−→a ×−→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)×(bx−→i + by

−→j + bz

−→k). QED

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

ax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )

−→k .

Dokaz.

Slijedi iz svojstava V1)-V4) vektorskog produkta primijenjenih na

−→a ×−→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)×(bx−→i + by

−→j + bz

−→k). QED

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

ax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )

−→k .

Dokaz. Slijedi iz svojstava V1)-V4) vektorskog produkta

primijenjenih na

−→a ×−→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)×(bx−→i + by

−→j + bz

−→k). QED

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

ax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )

−→k .

−→a ×−→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)×(bx−→i + by

−→j + bz

−→k).

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k i

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

ax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )

−→k .

−→a ×−→b =(ax−→i + ay

−→j + az

−→k)×(bx−→i + by

−→j + bz

−→k). QED

Mnozenje vektora

Zadatak.

Odredi −→a ×−→b ako je:

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

Rješenje.

a) Vrijedi

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

Rješenje. a)

Vrijedi

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣

−~j∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣

∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ =

= (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i

− (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j

+ (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k =

− 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5

∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4

∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

Rješenje. b)

Vrijedi

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2

∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1

∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

Rješenje. b) Vrijedi

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2

∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1

∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣−2 41 −2

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2

∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1

∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2

∣∣∣∣

−~j∣∣∣∣1 43 −2

∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1

∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2

∣∣∣∣+

∣∣∣∣1 −23 1

∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2

∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1

∣∣∣∣ =

= (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2

∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1

∣∣∣∣ == (4− 4)~i

− (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2

∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1

∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j

+ (1+ 6)~k = 14~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2

∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1

∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k =

14~j + 7~k

Mnozenje vektora

a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k

, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2

∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2

∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2

∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1

∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k

Mnozenje vektora

Zadatak.

Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b

ako je:

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:

−→a =~i − 4~j + 3~k

i−→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje.

Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c =

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =

~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) =

= −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)

−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) =

= −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6)

+~k(5+ 8) =

= −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) =

= −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a =

− 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 =

0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0

⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒

−→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a

−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b =

− 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 =

0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0

⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒

−→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.

Rješenje. Vrijedi

−→c = −→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1

∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k

Provjera:

−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b

Mnozenje vektora

Zadatak.

Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

Rješenje. Vrijedi P = 12

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b

ako je:

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:

−→a = 2~i +~j +~k

i−→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

Rješenje.

Vrijedi P = 12

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

Rješenje. Vrijedi P =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ .

Sada je

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =

~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) =

= 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)

−~j(6− 1) +~k(−2− 1) =

= 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1)

+~k(−2− 1) =

= 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) =

= 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

Mnozenje vektora

−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =

√42 + (−5)2 + (−3)2 =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12

Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora

Uvodimo i:

mješoviti produkt vektora

(vektor × vektor︸︷︷︸vektor

) · vektor = vektor · vektor =

= skalar

Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom

(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c

Uvodimo i:

= skalar

(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c

Uvodimo i:

= skalar

(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c

Uvodimo i:

) · vektor =

vektor · vektor =

= skalar

(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c

Uvodimo i:

= skalar

(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c

Uvodimo i:

= skalar

(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c

Uvodimo i:

= skalar

Definicija.

Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom

(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c

Uvodimo i:

= skalar

Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori.

Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom

(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c

Uvodimo i:

= skalar

Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj)

kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom

(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c

Uvodimo i:

= skalar

Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ),

a definiran jeformulom

(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c

Uvodimo i:

= skalar

(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c

Mnozenje vektora

Propozicija.

Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori.

Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c

vrijedi

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c )

i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri,

ondavrijedi

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =

∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Mnozenje vektora

V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .

Dokaz.

V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =

∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72

Mnozenje vektora

Propozicija.

−→j + az

−→k ,

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k i −→c = cx

−→i + cy

−→j + cz

−→k vektori. Tada

vrijedi

(−→a ×−→b ) · −→c =

∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz

∣∣∣∣∣∣ == ax (by cz − bzcy )− ay (bxcz − bzcx ) + az (bxcy − by cx ).

Dokaz. Ova formula slijedi iz odgovarajucih formula za skalarni i vektorskiprodukt. QED

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k ,

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k i −→c = cx

−→i + cy

−→j + cz

−→k vektori.

Tadavrijedi

(−→a ×−→b ) · −→c =

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k ,

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k i −→c = cx

−→i + cy

−→j + cz

vrijedi

(−→a ×−→b ) · −→c =

∣∣∣∣∣∣ =

= ax (by cz − bzcy )− ay (bxcz − bzcx ) + az (bxcy − by cx ).

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k ,

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k i −→c = cx

−→i + cy

−→j + cz

vrijedi

(−→a ×−→b ) · −→c =

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k ,

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k i −→c = cx

−→i + cy

−→j + cz

vrijedi

(−→a ×−→b ) · −→c =

Dokaz.

Ova formula slijedi iz odgovarajucih formula za skalarni i vektorskiprodukt. QED

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k ,

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k i −→c = cx

−→i + cy

−→j + cz

vrijedi

(−→a ×−→b ) · −→c =

Dokaz. Ova formula slijedi iz odgovarajucih formula za skalarni i vektorskiprodukt.

Mnozenje vektora

−→j + az

−→k ,

−→b = bx

−→i + by

−→j + bz

−→k i −→c = cx

−→i + cy

−→j + cz

vrijedi

(−→a ×−→b ) · −→c =

Mnozenje vektora

Zadatak.

Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c )

ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k,

−→b = 2~i −~j + 4~k

i −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~k

i −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.

Rješenje. Vrijedi

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje.

Vrijedi

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ =

1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣

− 2 ·∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣

− 3 ·∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ =

= 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)

− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)

− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) =

− 20.

Mnozenje vektora

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3

∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2

∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.

Mnozenje vektora

Zadatak.

Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→c

ako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k,

−→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.

Rješenje. Vrijedi V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k

i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.

Rješenje. Vrijedi V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje.

Vrijedi V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ =

2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣

− 4 ·∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣

− 3 ·∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ =

= 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,V =

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)

− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,V =

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)

− 3 · (1+ 2) = − 13,V =

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) =

− 13,V =

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ =

|−13| = 13.

Mnozenje vektora

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| =

Mnozenje vektora

∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1

∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,

V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.

Mnozenje vektora

Kazemo da su vektori:

kolinearni ako leze na istom pravcu,

komplanarni ako leze u istoj ravnini.

Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:

1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,

2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,

3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.

Mnozenje vektora

kolinearni

ako leze na istom pravcu,

Mnozenje vektora

komplanarni

ako leze u istoj ravnini.

Mnozenje vektora

Napomena.

Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:

Mnozenje vektora

Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora.

Tada vrijedi:

Mnozenje vektora

1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti

ako i samo ako je −→a · −→b = 0,2 vektori −→a i

−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,

Mnozenje vektora

2 vektori −→a i−→b su kolinearni

ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.

Mnozenje vektora

3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni

ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.

Mnozenje vektora

Linearna (ne)zavisnost vektora

Definicija. Neka su −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n vektori. Linearna kombinacijavektora −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n je vektor

λ1−→a 1 + λ2

−→a 2 + . . .+ λn−→a n

pri cemu su λ1,λ2, . . . ,λn realni brojevi.

Uocimo da za zadane vektore −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n postoji beskonacno mnogorazlicitih linearnih kombinacija tih vektora.

Definicija.

Neka su −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n vektori. Linearna kombinacijavektora −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n je vektor

λ1−→a 1 + λ2

−→a 2 + . . .+ λn−→a n

Definicija. Neka su −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n vektori.

Linearna kombinacijavektora −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n je vektor

λ1−→a 1 + λ2

−→a 2 + . . .+ λn−→a n

λ1−→a 1 + λ2

−→a 2 + . . .+ λn−→a n

λ1−→a 1 + λ2

−→a 2 + . . .+ λn−→a n

λ1−→a 1 + λ2

−→a 2 + . . .+ λn−→a n

Uocimo da za zadane vektore −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n

postoji beskonacno mnogorazlicitih linearnih kombinacija tih vektora.

λ1−→a 1 + λ2

−→a 2 + . . .+ λn−→a n

Zadatak.

Napiši (barem) dvije linearne kombinacije vektora

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .

Rješenje.

2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

−(2−→j −−→k

)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k

−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k

)− 2

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+3(2−→j −−→k

)= 6−→i −−→j + 2−→k

Zadatak. Napiši (barem) dvije linearne kombinacije vektora

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .

Rješenje.

2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

−(2−→j −−→k

)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k

−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k

)− 2

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+3(2−→j −−→k

)= 6−→i −−→j + 2−→k

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .

Rješenje.

2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

−(2−→j −−→k

)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k

−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k

)− 2

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+3(2−→j −−→k

)= 6−→i −−→j + 2−→k

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .

Rješenje.

2−→a + 3−→b −−→c =

2(2−→i −−→j +−→k

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

−(2−→j −−→k

)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k

−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k

)− 2

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+3(2−→j −−→k

)= 6−→i −−→j + 2−→k

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .

Rješenje.

2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

−(2−→j −−→k

− 2−→i + 5−→j − 3−→k−→a − 2−→b + 3−→c =

(2−→i −−→j +−→k

)− 2

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+3(2−→j −−→k

)= 6−→i −−→j + 2−→k

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .

Rješenje.

2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

−(2−→j −−→k

)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k

−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k

)− 2

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+3(2−→j −−→k

)= 6−→i −−→j + 2−→k

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .

Rješenje.

2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

−(2−→j −−→k

)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k

−→a − 2−→b + 3−→c =

(2−→i −−→j +−→k

)− 2

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+3(2−→j −−→k

)= 6−→i −−→j + 2−→k

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .

Rješenje.

2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

−(2−→j −−→k

)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k

−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k

)− 2

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+3(2−→j −−→k

6−→i −−→j + 2−→k

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .

Rješenje.

2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

−(2−→j −−→k

)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k

−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k

)− 2

(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+3(2−→j −−→k

)= 6−→i −−→j + 2−→k

Definicija.

Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.

Pojašnjenje. Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0

Imamo:

Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - UVIJEK postoji

Netrivijalnu kombinaciju: ?

Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori.

Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0

Imamo:

Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0

Imamo:

Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0

Imamo:

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0

Imamo:

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

Pojašnjenje.

Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0

Imamo:

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0

Imamo:

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0

Imamo:

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0

Imamo:

Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0

- UVIJEK postoji

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0

Imamo:

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

λ1−→a1 + λ2

−→a2 + . . .+ λn−→an =

−→0

Imamo:

Zadatak.

Zadani su vektori

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c

linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k ,

−→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k ,

−→c = 2−→i +−→j .

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora.

Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?

Rješenje. Vrijedi:

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje.

Vrijedi:

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

−2−→a −−→b +−→c =

− 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=

−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0

⇒ −→c = 2−→a +−→b

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 ,

pa su vektori −→a , −→b i −→clinearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i

−→b po formuli

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

linearno zavisni.

Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli

−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b

po formuli−→c = 2−→a +−→b .

−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .

−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k

)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k

+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b

−→c = 2−→a +−→b .

Neka je −→a neki ne-nul vektor.

Vektor−→b je:

linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a ) ako i samo ako −→b lezi na istom

pravcu kao vektor −→a ,linearno nezavistan od −→a (

−→b 6= α−→a ) ako i samo ako −→b ne lezi na

istom pravcu kao vektor −→a .

Neka je −→a neki ne-nul vektor. Vektor−→b je:

linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a )

ako i samo ako−→b lezi na istom

pravcu kao vektor −→a ,

linearno nezavistan od −→a (−→b 6= α−→a ) ako i samo ako −→b ne lezi na

−→b 6= α−→a )

ako i samo ako−→b ne lezi na

Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori

(tj. ne leze na istom pravcu).Vektor −→c je:

linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β

−→b ) ako i samo ako −→c lezi

u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .

linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β

−→b ) ako i samo ako −→c

ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .

Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).

Vektor −→c je:

−→b )

ako i samo ako −→c lezi

Vektor −→c je:

−→b )

ako i samo ako −→cne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i

−→b .

Vektor −→c je:

Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori

(tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor

−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c

(−→d = α−→a + β

−→b + γ−→c ).

Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.

Dakle, za prostor V 3 vrijedi:

postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,

sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,

standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},dimenzija prostora V 3 je 3.

Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).

Svaki vektor−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c

(−→d = α−→a + β

−→b + γ−→c ).

Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor

(−→d = α−→a + β

−→b + γ−→c ).

(−→d = α−→a + β

−→b + γ−→c ).

(−→d = α−→a + β

−→b + γ−→c ).

Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.

Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.

(−→d = α−→a + β

−→b + γ−→c ).

(−→d = α−→a + β

−→b + γ−→c ).

(−→d = α−→a + β

−→b + γ−→c ).

(−→d = α−→a + β

−→b + γ−→c ).

(−→d = α−→a + β

−→b + γ−→c ).

standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},

dimenzija prostora V 3 je 3.

(−→d = α−→a + β

−→b + γ−→c ).

Zadatak.

Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora

−→a .Rješenje. a) Vrijedi

−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k.

Odredi vektor−→b tako da je:

a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora

−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:

a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora

−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a ,

b)−→b linearno nezavisan od vektora

−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora

−→a .

−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

−→a .Rješenje.

a) Vrijedi

−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

−→a .Rješenje. a)

Vrijedi

−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

−→b =

3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

−→b = 3−→a =

3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =

~i + 3~j + 4~k.

−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.

b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.

Zadatak.

Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c

linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od

vektora −→a i−→b .

Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti

−→c =~i + 3~j + 4~k.

Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k.

Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni?

Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→clinearno zavisan od vektora −→a i

−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je:

a) vektor −→clinearno zavisan od vektora −→a i

−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c

linearno zavisan od vektora −→a i−→b ,

b) vektor −→c linearno nezavisan odvektora −→a i

−→b .

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

Rješenje.

Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni,

jer im koeficijenti nisuproporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c =

2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b =

2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) =

2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti

−→c =~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

b) Uocimo da −→a i−→b leze u

xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti

−→c =~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini.

Dovoljno je uzeti

−→c =~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =

~i + 3~j + 4~k.

proporcionalni.

a) Vrijedi

−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.

−→c =~i + 3~j + 4~k.

Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini...

Documents

Krivulje i plohe drugog reda - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Jelena Sedlar (FGAG) Krivulje i plohe drugog reda 2 / 63 Kvadratna forma Podsjetimo

4-Tehnicko crtanje i kotiranje - FSB Online crtanje... · crtaju zaokrenuti u ravninu crtanja. U pogledu se crta samo središnjica Zavod za tehnologiju – Katedra za alatne strojeve

Rješenje o odobrenju teme diplomskog radanacrti, montažni i drugi. Tehnički nacrti izrađuju se metodama nacrtne geometrije te se objekt projicira na ravninu. Izvorno projekcija

1marjan.fesb.hr/~spodrug/mehanika loma/leml.doc · Web viewInicirana pukotina definirane duljine postavlja se u kritičnu lokaciju na kritičnu ravninu pa se provodi analiza metodom

Euklidski Prostori

s M êÌ -ªrqÃ - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Geodezija i geoinformatika/PSG... · Title: s_M êÌ -ªrqÃ Author: TXZ Created Date: d ßÚX»ÕP þ;' M¾® 4ÿ§v

Sa sfere u ravninu, s poliedra na sferu: Matematika ...bruckler/stereo2.pdfsterografske projekcije s centralnom projekcijom iz N s na , a centralna projekcija preslikava kru znice

red Sa sfere u ravninu, s poliedra na sferu: …prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/stereo4.pdfistom pravcu. Os zone je pravac kroz O paralelan ravninama jedne zone. Dakle, u sfernoj projekciji

Iskorištenje vodnih snaga - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Privredna hidrotehnika/DSG... · 3 Snaga vode Izgubljena potencijalna energija mo že se pretvoriti u snagu

Nice-Vilko-44 - grad.hr · pravca t. Što vrijedí' za pravac l, koji smo odabrali po volji u ravnini p, vrijedi i za sve ostale pravce vrha A u ravnini p, a što vrijedi za ravninu

Različiti tokovi opterećenja - FSB Online · ravninu, na dvoplatnost i strukturne greške u području zavara (npr. prozračivanjem) a)ižljebljen i zavaren korijen b)prelazi zavara

KARTOGRAFSKE PROJEKCIJE - pmf.unizg.hr · PDF fileElipsoid se preslikava u ravninu – tu zadaću imaju kartografske projekcije ... Uspravne ekvivalentne cilindrične projekcije Izvor:

EUKLIDSKI PROSTORI - web.math.pmf.unizg.hru Rijeci. Od ˇcitatelja se oˇcekuje poznavanje standardnih matematiˇckih sadrˇzaja prve godine studija matematike, posebice sadrˇzaja

enter 3 radno copy4 - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/Referada/Upisi/PSSA... · 19. Autor zgrade IBM u Rochesteru na slici (gore) je:$ a) Alvar Aalto$ b) Eero Saarinen$ c)

PREDDIPLOMSKI STUDIJ MATEMATIKE · Teorija skupova 2 + 0 + 2 5 Euklidski prostori 2 + 0 + 2 5 ... Samostalni zadaci X Multimedija i internet X Obrazovanje na daljinu X Konzultacije

Baricentri£ni sistem koordinata master rad · £iti zadaci iz geometrije i algebre. ... Par (V;S) u kome je V alaner vektorski prostor, a Sska-larni proizvod na V, naziva se euklidski

EUKLIDSKI PROSTORI - bib.irb.hr · PDF fileAko je iz konteksta jasno o kojim se operacijama radi, ka•zemo i da je V vektorski prostor. Vektorski prostor nad poljem R, odnosno C,

STROJEVI ZA NABIJANJE - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Organizacija... · • Eduard Slunjski, STROJEVI U GRAĐEVINARSTVU, HDGI, 1995. • Gorazd Bučar, NORMATIVI

Usporedba analitičkog i numeričkog proračuna vitkih ploča ... · meĐudjelovanja sila u ravnini i okomito na ravninu modela comparison of the analytical and the numerical computations

euklidski skripta