Vorlesung 8 Roter Faden - ETP Institut für Experimentelle ... · Literatur: Modern Cosmology,...

Vorlesung 8

Roter Faden:

1. Entstehung der Galaxien-> Materie nurg30% der Gesamtenergie

2 Galaxienstruktur-> m < 0 23 eV2. Galaxienstruktur-> mν < 0.23 eV

Literatur: Modern Cosmology, Scott DodelsonIntroduction to Cosmology, Barbara Ryden (SEHR gut)

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Evolution of the universe

Early Universe

Th C iThe Cosmic screen

i

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Present Universe

Present distribution of matterPresent distribution of matter

Few Gpc.

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SLOAN DIGITAL SKY SURVEY (SDSS)

Dichtefluktuationen In Galaxienverteilung und Temp.flukt. In CMB haben gleichen Ursprung

CMBLarge scale structure

1 2( ) ( ) ( )r r rξ δρ δρ=r r CMB

• AutokorrelationsfunktionC(θ)=<∆Θ(n1)·∆Θ(n2)>|

(4 ) 1 Σ (2l 1)C P ( θ)=(4π)-1 Σ (2l+1)ClPl(cosθ)• Pl sind die

Legendrepolynome:

Dichteflukt. innerhalb Kugelstatt Kugelfläche-> Entwicklung nachAbständen λ im Raum oder Wellenvektor

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• da CMB auf Kugelflächek=2π/λ

Terminology

• We want to quantify the Power• On different scales• On different scales

– either as l (scale-length) or k (wave number)

ρρδ −=

• Fluctuations fieldρ

• Fourier Transform of density field∑∑ •−= rki

k eδδ

• Power Spectrum ( ) 2kkP δ=

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Measures the power of fluctuations on a given scale k

Harrison-Zeldovich Spektrum

• Dichtefluktuationen mit δρ/ρ ~ 10-4 wachsen erst nachdem Materie Potential bestimmt und wenn sie im kausalen Kontakt sind (“innerhalb des Horizontssind”). Vorher eingefroren.

• Kleine Skalen (größere k) eher im Horizont, mehr Zeit zum Wachsen, d.h. mehr Power. Oder P ∝ kn n= powerindex.

( ) nkkP ∝2δkeq (ρStr= ρM )

og P

(k) ( ) k kkP ∝= δ

Log (k)

Lo

D t 0 96±0 02g ( )

Harrison-ZeldovichData: n=0.96±0.02

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1=n

Warum entspricht n=1 skalenfreies Spektrum?(Harrison-Zeldovich Spektrun)

Skalenfrei bedeutet alle Längen haben gleich viel power.g g pBetrachte Kugel mit Radius L und Überdichte δM- oder Potentialfluktuation δΦ = G δM/L ∝ δM /M1/3 ∝ δM / (M M-2/3)

Es gilt: δM /M = M –(3+n)/6 (Beweis folgt)

Daher: δΦ ∝ (δM / (M M-2/3 )∝ M (1-n)/6 Daher: δΦ ∝ (δM / (M M )∝ M ( )

D.h. n=1 ist einziger Wert, wobei Potentialfluktuation nichtdivergiert für kleine oder große Massen (oder Kugel der Skale L-> skalenfrei)Erwartet nach Inflation-> alle Skalen gleich stark vergrößert

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δM /M = M –(3+n)/6

Beweis: nehme an das Dichtefluktuationen nach einerBeweis: nehme an das Dichtefluktuationen nach einerGaußglocke mit Standardabweichung σ verteilt sind.

2 V/(2 )3 ∫ P(k) d3k V/(2 )3 ∫ kn k2dkdΩ k(3+n)σ2= V/(2π)3 ∫ P(k) d3k= V/(2π)3 ∫ kn k2dkdΩ= ∝ k(3+n)

P(k) = kn

Fouriertransformierte einer Gauss-Fkt= Gauss-Fktmit gleicher Varianz d h im Raum der Dichteflukt gilt auch:

σ 2 =(δM /M )2 ∝ k(3+n)

mit gleicher Varianz, d.h. im Raum der Dichteflukt. gilt auch:

σ=(δM /M ) ∝ k(3+n)/2 ∝ L-(3+n)/2 ∝ M-(3+n)/6

M=4π/3 L3 ε/c2

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Zeitpunkt und Skale wo ρstr und ρm gleich sind

ρm=ρstr bei z=3570Beweis: ρm=ρm0(1+z)3

4: ρstr=ρstr0(1+z)4

: ρm0=0.3 ρcrit: ρ =8 4 10-5 ρ (aus CMB): ρstr0=8.4 10 5 ρcrit(aus CMB): ρstr/ρm=2.8 10-4 (1+z) =1 für z=1/(2.8 10-4 )=3570 oder t=47.000 a

(S∝t2/3∝1/(1+z))( ( ))

Hubble Abstand = Abstand für kausalen Kontakt zum Zeitpunkt/ ( ) 0 026d=c/H(teq)=0,026 Mpc

(H aus: H2(z)/H02=Ωst0(1+z)4+ Ωm0(1+z)3 )

Bei teq: k=2π/(d(1+z))=Bei teq: k=2π/(d(1+z))=

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(korrigiert für ΩΛ , siehe Plots in Buch: Modern Cosmology, Scott Dodelson )

Alter des Universums mit ΩΛ≠ 0

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Kombinierte Korr. der CMB und Dichteflukt.

Max. wenn ρStr= ρM bei t=teq qoder k=keq =2π/d mitd= c/H(teq )= HubbleAbstand = Abstand mit kausalem Kontakt.Für t<teq oder k>keq kein Anwachsen, wegenAnwachsen, wegen Strahlungsdruck und free-streaming von NeutrinosNeutrinos

d=350/h Mpc entsprichtΩ 0 3 fü 0ΩM=0.3 für mν=0

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Lyman-αAbsorptionslinien zeigen DF als Fkt. von z

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Fluctuations in forest trace fluctuations in density

Flux

BBaryon Density

Position along line of Sight

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Gnedin & Hui, 1997

Kombination aller Daten

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Strukturbildung: zuerst lineares Anwachsen,dann Gravitationskollaps, wenn Δρ/ρ ≥ 1

Galaxien: 1011 Solarmassen, 10 kpcGalaxiencluster: 1012 – 1013 Sol.m., 10 Mpc,S l t 1014 1015 S l 100 MSupercluster: 1014 -1015 Sol.m., 100 Mpc.

Idee: Struktur entstand aus Dichtefluktuationen (DF) imIdee: Struktur entstand aus Dichtefluktuationen (DF) imfrühen Univ., die durch Gravitation anwachsen, nachdemdie Materiedichte überwiegt (nach ca. 47000 y, z=3600)g ( y, )

Wenn die JEANS-Grenze erreicht ist, (Δρ/ρ ≥ 1), folgt nicht-linearer Gravitationskollaps zu Sternen und späterG l i Cl d S l

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Galaxien, Cluster, und Supercluster.

Anwachsen der DF bestimmt durch Meszaros Gl.

Betrachte Kugel mit Radius R mit Überdichte <ρ>+δρ=<ρ>(1+δ) und Masse M (mittlere Dichte <ρ> und δ= ρ- <ρ>/ <ρ>).Beschleunigung R`` für Masse m auf der Kugelfläche:

R``= GM/R2 = 4π/3 G <ρ>(1+δ )R (1)R =-GM/R = -4π/3 G <ρ>(1+δ )R (1)Massenerhaltung beim Anwachsen: M=4π/3 <ρ>(1+δ )R3 oder

R(t)=S(t)(1+δ)-1/3 (<ρ>=M/ 4π/3 S3) (2)Zweite Ableitung nach der Zeit:R``/R S``/S δ``/3 2S` δ`/3S S``/S δ``/3 2H δ`/3 (3)R``/R= S``/S- δ``/3 -2S` δ`/3S = S``/S - δ``/3 -2H δ`/3 (3)

(1)=(3) ergibt mit (2) S``/S - δ``/3 -2H δ`/3 = -4π/3 G <ρ>(1+δ )S (4)Für δ=0: S``/S = -4π/3 G <ρ> (5)

(5) in (4): δ`` + 2H δ` = 4π G <ρ>δ (Meszaros Gl.)

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( ) ( ) ρ ( )Term ∝ δ` ist “Reibungsterm” der Hubble Expansion

Lösungen der Meszaros Gl.: δ = a t2/3

δ`` + 2H δ` = 4π G <ρ>δ oder mit relativ. Verallgemeinerung: εm=<ρ>c2 und Ωm=8πG εm /3c2H2

m ρ m m

δ`` + 2H δ` - 3Ωm H2δ /2=0

Strahlungs dominiert: S∝t1/2 oder H=2/t und Ωm =0: δ`` + δ` /t=0 Lösung: δ = a + b ln t (nur logarithmisches Anwachsen)

Materiedominiert: S∝t2/3 oder H=2/3t : δ`` + 4δ` /3t -2 δ /3t2=0 Lösungsansatz: δ = a tn

2 2 2Einsetzen: n(n-1)a tn-2 + 4n/3atn-2 -2/3a tn-2=0 odern(n-1) + 4n/3 -2/3=0 Lösung: n=-1 oder n=2/3oder : δ = a t2/3 + bt-1 d h 2 Moden: anwachsend mit t2/3 undoder : δ = a t /3 + bt , d.h. 2 Moden: anwachsend mit t /3 undAbfallend mit 1/t. Nach einiger Zeit dominiert anwachsender ModeWenn δ = 1 erreicht wird: keine lineare Entwicklung mehr sondern

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Wenn δ 1 erreicht wird: keine lineare Entwicklung mehr, sondernGravitationskollaps

Kriterium für Gravitationskollaps:Jeans Masse und Jeans Länge

Gravitationskollaps einer Dichtefluktuation, wenn Expansionsratep , p1/tExp≅ H ≅ √Gρ langsamer als die Kontraktionsrate 1/tKon≅ vS / λJ ist.

Oder die Jeanslänge (nach Jeans), d.h. die Länge einer Dichtefluktuation,Oder die Jeanslänge (nach Jeans), d.h. die Länge einer Dichtefluktuation,die unter Einfluß der Gravitation wachsen kann, ist von der Größenordnung

λ = v / √Gρ (v ist Schallgeschwindigkeit)λJ = vs/ √Gρ (vS ist Schallgeschwindigkeit)(exakte hydrodynamische Rechnung gibt noch Faktor √π größeren Wert)

Nur in Volumen mit Radius λJ /2 Gravitationskollaps. Diesentspricht eine Jeansmasse vonentspricht eine Jeansmasse von

MJ = 4π/3 (λJ/2)3 ρ = (π5/2 vs3 ) / (6G3/2√ρ)

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J ( J ) ρ ( s ) ( ρ)

Abfall der Schallgeschwindigkeit nach trwenn Photonkoppelung wegfällt

Die Schallgeschwindigkeit fällt a) für DM wenn diefür DM wenn die Strahlungsdichte nicht mehr dominiert und b) für Baryonen nach der Rekombination umnach der Rekombination um viele Größendordnungen (von c/√3 für ein relat. Plasma auf √5T/3 fü W t ff)√5T/3mp für Wasserstoff) D.h. DF die vor Rekombination stabil waren, kollabieren durch Gravitation.Galaxienbildung in viel kleineren Bereichen möglich, wenn vSklein!

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Top-down versus Bottom-up

Große Jeanslänge(relativistische Materie, Z.B.

Kleine Jeanslänge(non-relativistische Materie, Z.B.

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( ,Neutrinos mit kleiner Masse)

( ,Neutralinos der Supersymmetrie)

HDM (relativistisch ⇒ vS =c/√3) versus CDM

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Oder für gemischte DM Szenarien …

CDM WarmDM C+HDMColombi, Dodelson, & Widrow 1995

CDM WarmDM C+HDM

Structure is smoothed out in model with light neutrinos

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DM bildet Filamente erhöhter Dichte mit Leerräumen dazwischen

Simulation (jeder Punkt @ M. Steinmetz(jstellt eine Galaxie dar)Millenium Simulation

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Transfer Function (beschreibt wie Fluktuationen zumZeitpunkt der Rekombination heute beobachtbar sind

Baryons CDM( )( ) ( )zDz

zT kk δ

δ 0==

Baryons CDM

MDM

( ) ( )zDzkδ

Log

T k

MDM

HDM

Log k

L

Small scalesLarge scales

Hot Dark Matter: freestreaming mit relativ. Geschwindigkeit->schnellere Abnahme der Transferfkt als Fkt. von k=2π/λ ->schnellere Abnahme der Transferfkt als Fkt. von k 2π/λempfindlich für relativ. Massenanteil der Materie, d.h. empfindlich für Neutrinomasse!

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Powerspektrum bei kleinen Skalenempfindlich für Neutrinomasse!

Neutrino Masse < 0.23 eV (alle ν’s gleiche Massen, 95% C.L.)

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(Jedoch korreliert mit Index des Powerspektrums)

Strukturbildung aus Dichtefluktuationen: wachsen zuerst ∝S(t)Zum Mitnehmen

Strukturbildung aus Dichtefluktuationen: wachsen zuerst ∝S(t),dann Gravitationskollaps, wenn Jeans-Masse erreicht ist.

Maximum des Powerspektrums gegeben durch Zeitpunkt, woMaterie und Strahlung gleiche Dichte haben. -> Ωm=0,3

Hot Dark Matter (HDM) bildet zuerst große Strukturen,weil Jeanslänge ∝ v sehr groß (top down Szenario)weil Jeanslänge ∝ vS sehr groß (top down Szenario)

Cold Dark Matter (CDM) bildet zuerst kleine Strukturen,Co d e (C ) b de ue s e e S u u e ,weil Jeanslänge ∝ vS sehr klein (bottom up Szenario)

Kombination der Powerspektren von CMB und Galaxienverteilungen zeigt, dass HDM Dichte gering ist ⇒Neutrino Masse < 0 23 eV (alle ν’s gleiche Massen 95% C L )

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Neutrino Masse < 0.23 eV (alle ν’s gleiche Massen, 95% C.L.)(Besser als experimentelle Grenzen!)