Системы булевых функций. Применение булевых функций к...

Применение булевых функций к релейно-контактным схемам.

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: “1” и “0”. Алгебра логики нашла широкое применение первоначально при разработке релейно-контактных схем.

на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;

Вывод:

Клод Шеннон

В 1938 г. американец Клод Шеннон опубликовал статью «Символический анализ релейно-контактных схем». После этой статьи проектирование ЭВМ не обходилось без применения булевой алгебры. Развитие технологии позволило объединять несколько логических элементов на одной интегральной схеме.

Логические схемы на контактных элементах.

Логический элемент – это схема, реализующая логические операции И, ИЛИ, НЕ.

Реализация логических элементов через электрические контактные схемы

Контакты на схемах обозначаются латинскими буквами.

1. Последовательное соединение контактов

2. Параллельное соединение контактов

a b

a

b

Таблица зависимости состояния цепей от всевозможных комбинаций состояния контактов:

1 – контакт замкнут, ток в цепи есть 0 – контакт разомкнут, тока в цепи нет

А В Состояние цепи с последова-тельным соединением

Состояние цепи с парал-лельным соединением

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

Как видно, цепь с последовательным соединением соответствует логи-ческой операции И, цепь с параллельным соединением соответствует логической операции ИЛИ. Логическая операция НЕ реализуется через контактную схему электро-магнитного реле. Контакт не Х называется инверсией контакта Х.

Основная работа над электрическими схемами

Чтение электрических схем. Составление электрической схемы на конт

актных элементах по формуле. Составление формулы по схеме. Анализ и упрощение схем. Составление контактной схемы по таблице

истинности (синтез).

Чтение электрических схем Определить состояние электрической схемы (т.е. есть ток

или нет) в зависимости от состояния контактов при подключении источника тока.

Дана схема:

y

xz

Состояние контактов задается таблицей, в которой используются введенныеранее обозначения: 0 – контакт разомкнут, 1 – контакт замкнут. ТребуетсяЗаполнить колонку состояния схемы

X Y Z Состояние схемы

0 1 1 1 (есть)

1 0 1 1 (есть)

1 1 0 0 (нет)

1) (0; 1; 1) – замкнуты У и Z

2) (1; 0; 1) – замкнуты Х и Z

3) (1; 1; 0) – Z не замкнут, обрыв цепи

Составление электрической схемы на контактных элементах по формуле.

1) F(a, b, d, e, f) = (А или В) и F и (D или Е) =

= (А v В) ^ F ^ (D v Е)

a

bf

e

d

2) F(a, b, c, e, f) = (А и В и С) или (Е или F) = = (А ^ В ^ C) v (E v F)

ba c

f

e

Составление формулы по схеме.

Составьте формулы логических функций к схемам:

а) F(a, b, c) = (A v B) ^ (B v C)

Анализ и упрощение схем.

1) Произвести анализ контактной схемы:

y

не хх

Схеме соответствует логическая функция F(x, y) = x и (не х или у).Составим таблицу истинности:

X Y не Х не Х или У F(x, y) = x и (не х или у)

0 0 1 1 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 1 0 1 1

Т.о. ток в цепи протекает только при замкнутых контактах Х и У, разомкнутом не Х. При других комбинациях тока в цепи нет.

Упрощение контактной схемы

сводится к упрощению соответствующей формулы с использованием законов логики.

2) Используя законы логики упростить логическую формулу из предыдущего задания

F(x, y) = x и (не х или у) = (х и не х) или (х и у)= = 0 или (х и у) = х и у

Как видно, результат упрощения формулы позволил убрать из исходной схемы один контакт.

y

не хх

Дано: Результат:

х у

Составление контактной схемы по таблице истинности (синтез).

Синтез контактной схемы заключается в разработке схемы, условие работы которой задано таблицей истинности или словесным описанием.

Упражнение 1

Синтезируйте контактную схему по таблице

А В F(A, B)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Логическая формула, соответствующая данной таблице, составляется так:

Из таблицы выбираются наборы переменных А и В, для которых F(A, B) = 1, а это строки со значением переменных

(0;1), (1;0), (1,1).

А В F(A, B)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Для каждого набора записывается формула с логической операцией И, истинная для этого набора. Очевидно, что для этого достаточно переменные, под которыми в строке стоит «0» взять со знаком отрицания, а со знаком «1» без отрицания.

(продолжение)

Для набора (0;1): не А и ВДля набора (1;0): А и не ВДля набора (1;1): А и В

Полученные формулы объединяют в одну логической операцией ИЛИ

F(A,B)=(не А и В)или((А и не В)или(А и В)

Полученная формула истинна, т.к. истинна одна или несколько из ее составляющих. Формулу можно проверить таблицей истинности.

(продолжение)

Прежде чем строить схему по формуле, ее надо упростить

F(A,B)= (не А и В) или (А и не В) или (А и В)=

= (не А и В) или А =

= (не А или А) и (А или В) = А или В

Полученную схему можно проверить составив таблицу истинности

a

b

Упражнение 2

Составить схему:

Результат:

F(A,B,C)= A и (В или С)

Схема:

A B C F(А,B,C)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

c

bа